上海高三数学高考二轮复习教案类比专题之平面几何与立体几何含答案

沪教版（上海）高中数学度高三数学二轮复习

类比专题之

类比与转化②

------平面几何与立体几何类比

课前引入

将空间问题转化为熟知的平面问题是研究立体几何问题最重要的数学方法之一。如线面垂直的判定定理转化为三角形全等的平面几何问题；教材中的几种多面体和旋转体的侧面积公式的推导（除球面和球冠外）、侧面上最短线问题都是通过侧面展开转化为平面几何问题；旋转体的有关问题不也是转化为关于轴截面的平面几何问题吗？其实，立体几何中的三种角（线线角、线面角、二面角）和四种距离（线线距、点面距、线面距、面面距）从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转化。

教学目标

1、掌握平面几何和立体几何的类比关系；

2、利用类比原则解题

知识梳理

平面内的一般三角形与空间中的四面体性质类比

注意点：这些知识要根据学生的情况给到，进行适当删减，不能全部给到学生，否则时间不够。

三角形四面体

三角形两边之和大于第三边. 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面

积．

三角形的三条内角平分线交于一点且该点是三角形内切圆的圆心. 四面体的六个二面角的平分面交于一点，且该点是四面体内切球的球心．

三角形任意两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半. 四面体任意三条棱的中点连成的三角形的面积等于第四个面面积的

1

4

,且该三角形所在平面平行于第四个面.

三角形的任何一条边上的中线将三角形分成面积相等的两部分. 四面体的任何一个三角形面上的一条中线和这个三角形所在平面外一顶点所确定的平面将这个四

典例精讲

平面几何和立体几何之间常见的类比关系

（一） “直线”类比为“__平面___”，“角”类比为“___二面角 _____”，“角的两边”类比为“____构成二面角的两个半平面____________”等．（★）

例1、（★）对于平面几何中的命题：“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补．”在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“___如果两个二面角的平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补_______________________． ”其真假性是___真______．

变式练习、（★）我们所熟悉的从平面几何定理到立体几何定理还有不少类比的实例，例如： (1)平几：平行于同一直线的两直线平行； 立几：平行于同一平面的两平面平行． (2)平几：垂直于同一直线的两直线平行；

立几：垂直于同一平面的两直线平行；垂直于同一直线的两平面平行．

(3)平几：如果一条直线垂直于两平行直线中的一条直线，那么它也和另一条直线垂直； 立几：如果一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，那么它也和另一个平面垂直； (4)平几：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；

面体分成体积相等的两部分．

三角形的三条中线交于一点，且三角形的每一条中线被该点分成的两段的比为2：1.

将四面体的每一个顶点和对面的重心相连接，所得四条线段交于一点，且其中每一条线段被交点分成的两段的比都是3：1

在ΔABC 中，A ∠的平分线交BC 于D ，则AB BD AC DC =

； 在四面体ABCD 中，二面角C-AB-D 的平分面交棱CD 于点E ，则，BCE ABC BDE ABD S S

S S ∆∆∆∆=；

在ΔABC 中，

a b c

sin A sin B sinC

==

（正弦定理） 在四面体ABCD 中，棱AB 与面ACD 、BCD 的夹角分别α，β，则

BCD ACD

S S sin sin αβ

∆∆= 设ΔABC 的三边长分别为a 、b 、c ，ΔABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，则 （1）2S

r a b c

=

++

（2）2R r ≥

四面体S —ABCD 的四个侧面的面积分别为1S ，

2S ，3S ，4S ，内切球的半径为r ，外接球的半径

为R ，则（1）1234

3V

r S S S S =

+++

（2）3R r ≥

A

B

D

C

A 1

B 1

C 1

D 1

立几：如果一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别平行，那么这两个二面角相等或互补． 注意：这部分内容主要是让学生能理解平面几何和立体几何的对应规则，对于程度较好的学生可以适当删减。

(二) 三角形类比到_空间四面体_______________

例2 （★）平面几何中，有结论：“正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值，且定值等于该正三角形边长的__

2

3

_____倍”．类比这一结论，将其拓展到空间，可得到结论：_正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值，且定值为正四面体边长的3

6

_____________________倍__________________________________．

注意：让学生先明白在正三角形中此结论是通过面积的割补得到的，类比在四面体中就是通过体积的割补得到的。

变式练习 （★★）已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，高12AA =，求 （1）异面直线BD 与1AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）四面体11AB D C 的体积.

解析：(1)10

10

arccos

(2) 3

2212314241111111=⨯

⨯⨯-=-=--D AC B D C B A ABCD V V V 注意：对于第二问中，一定要给学生提到正难则反的转化思路，通过割补法求体积，并且可以用同样的方法求出正四面体的体积

（三）矩形类比到___长方体_______圆类比到_____球______

例4（★★） 矩形ABCD 的对角线AC 与边AB 和AD 所成的角分别为βα,，则1cos cos 2

2

=+βα，把它类比推广到长方体中，试写出一个相应的真命题：__长方体中体对角线和想交的三条棱所成的角分别为γβα,,，则1cos cos cos 2

2

2

=++γβα____________________________________.

例5 （★★） 222的体积为 ． 解析：π34