函数的值域与最值知识点梳理、经典例题及解析、近年高考题带答案

函数的值域与最值

【考纲说明】

1．理解值域和最值的区别与联系，掌握求函数值域和最值的基本方法； 2．通过函数最值求参数的范围，同时解决恒成立问题；

【知识梳理】

2.函数的值域

1、函数值域的概念

在函数y=f （x ）中，与自变量x 的值对应的y 值叫做函数值。函数值的集合叫做函数的值域。 2、确定函数值域的原则

（1）当函数y=f （x ）用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；

（2）当函数y=f （x ）用图像给出时，函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； （3）当函数y=f （x ）用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其解析式唯一确定； （4）当函数y=f （x ）由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定； 3、常见函数的值域

（1）一次函数y=kx+b （k ≠0）的值域为R ；

（2）二次函数y=ax 2

+bx+c （a ≠0），当a>0时值域为]44(0);44[02

2a

b a

c ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时 （3）反比例函数y=

x

k

（x ≠0）的值域为{}R y y y ∈≠且,0| （4）指数函数)10(≠>=a a a y x

且的值域为),0(+∞。 （5）对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ；

（6）正弦函数x y sin =,余弦函数x y cos =的值域都是]1,1[-。

（7）正切函数),2

(tan Z k k x x y ∈≠=∏+∏其中,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。

3.函数的最值

1、函数的最值

一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；

②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。记作()max 0y f x =

一、①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；

②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。那么，称M 是函数y =f (x )的最小值。记作()min 0y f x =

2、利用函数最值求参数的范围

通过分离变量，用自变量把参数表示出来，得到参数关于某个变量的函数或不等式，然后求出该函数的最值。 利用函数的最值，可得到参数的范围。

3、最值在实际问题中的应用

（1）在实际问题中建立函数模型，利用函数的最值求相关量的最值； （2）已知实际问题中有关量的最值，求相关量的取值范围；

4.求函数值域和最值的常用方法

1、基本函数法

对于基本函数的值域，可通过它的图像、性质直接求解； 2、配方法

对于形如y=ax 2+bx+c （a ≠0）或y = a [f(x)]2

+ b f(x) + c (a ≠0)类的函数的值域问题，均可用配方法求解； 3、换元法

利用代数或三角换元，将所给函数转化为易求值域的函数。 形如y=

)

(1

x f 的函数，令f （x ）=t ； 形如y=ax+b+d cx +(a 、b 、c 、d 均为常数，ac ≠0)的函数，令d cx +=t ；

形如2

2x a -的函数，可利用三角代换，令x=a cos θ，θ∈[0，π]；或令x=a sin θ ，θ∈]2

,2[π

π-

4、不等式法

利用基本不等式a+b ≥2ab 。注意条件“一正二定三相等” 5、函数的单调性法

确定函数在定义域上（或定义域上的某个子集）的单调性求出函数的值域。例如f （x ）=ax+x

b

（a>0，b>0） 当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性。 6、数形结合法

如果所给函数有较明显的几何意义，可借助于几何法求函数的值域。形如1

21

2x x y y --可联想两点（x 1，y 1）与

（x 2，y 2）连线的斜率。 7、函数的有界性法 形如y=

x

x

sin 1sin +，可用y 表示出sinx ，再根据-1< sinx ≤1，解关于y 的不等式，可求出y 的取值范围。

8、导数法

设y=f(x)的导数为f ’(x),由f ’(x)=0可求得极值点坐标。若函数定义域为[a,b],则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值。

【经典例题】

【例1】（2013年新课标1（理））已知函数()f x =22,0

ln(1),0

x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是

A.(,0]-∞

B.(,1]-∞

C.[2,1]-

D.[2,0]- 【解析】D

【例2】错误！未指定书签。（2013辽宁（理））已知函数

()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设

()()(){}()()(){}{}()

12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值,{}min ,p q 表示 ,p q 中的较小值,记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -= A.2216a a -- B.2

216a a +- C.16- D.16 【解析】B

【例3】（2012天津）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆2

2

(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取 值范围是

（A ）[1 （Ｂ）(,1)-∞∞

（Ｃ）[2- （Ｄ）(,2)-∞-∞ 【解析】D

【例4】错误！未指定书签。（2013年上海卷（理））设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0

x <时,2

()97a f x x x

=++, 若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为________ 【解析】87

a ≤-

【例5】（2010浙江）设,x y 为实数，若2

2

41,x y xy ++=则2x y +的最大值是 .。

【解析】

5

10

2