因式分解的应用
第三讲 因式分解的应用(含答案)-
第三讲 因式分解的应用在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础．因式分解是代数变形的重要工具．在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，现阶段．因式分解在数值计算，代数式的化简求值，不定方程(组)、代数等式的证明等方面有广泛的应用．同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高．因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一．例题求解【例1】若142=++y xy x 282=++x xy y ，则y x +的值为 ．(2002年全国初中数学联赛题)思路点拨 恰当处理两个等式，分解关于y x +的二次三项式．注：在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素．在军事、政治、商业、生活等领域中，信息的保密工作显得格外重要．现代保密技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用． 代数式求值的常用方法是：(1)代入字母的值求值； (2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值；(3)整体代入求值．【例2】已知 a 、b 、c 是一个三角形的三边，则222222444222a c c b b a c b a ---++的值( )A ．恒正B ．恒负C ．可正可负D ．非负(大原市竞赛题)思路点拨 从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束．【例3】计算下列各题：（1）)219961993()2107)(285)(263)(241()219971994()2118)(296)(274)(222(+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ； （2）20012000200019982000220002323-+-⨯-思路点拨 观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律．【例4】已知 n 是正整数，且n 4—16n 2+100是质数，求n 的值．(第13届“希望杯’邀请赛试题)思路点拔 从因数分解的角度看，质数只能分解成l 和本身的乘积(也可从整除的角度看)，故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的思路．【例5】(1)求方程07946=--+y x xy 的整数解；(上海市竞赛题)(2)设x 、y 为正整数，且096422=-++y y x ，求xy 的值．(第14届“希望杯”邀请赛试题)思路点拔 观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解题突破口．链接解题思路的获得，一般要经历三个步骤：(1)从理解题意中提取有用的信息，如数式特点、图形结构特征等；(2)从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式、定理、基本模式等；(3)将上述两组信息进行进行有效重组，使之成为一个舍乎逻辑的和谐结构．不定方程(组)的基本解法有：(1)枚举法； (2)配方法；(3)因数分解、因式分解法； (4)分离系数法．运用这些方法解不定方程时，都需灵活运用奇数偶数、质数合数、整除等与整数相关的知识．学历训练1．已知x+y ＝3，422=-+xy y x ，那么3344xy y x y x +++的值为 ．2．方程01552=-+--y x xy x 的整数解是 ． (第13届“希望杯”邀请赛试题)3．已知a 、b 、c 、d 为非负整数，且ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d ＝ ．4．对一切大于2的正整数n ，数n 5一5n 3+4n 的量大公约数是 ．(2003年四川省竞赛题)5．已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是( )A ．41，48B ．45，47C ．43，48D ．4l ，476，已知2x 2－3xy+y 2＝0(xy ≠0)，则xy y x +的值是( ) A ． 2，212 B ．2 C ．212 D ．－2，212- 7．(第17届江苏省竞赛题)a 、b 、c 是正整数，a>b ，且a 2-ac+bc=7，则a —c 等于( )A ．一2B ．一1C ．0D ． 28．如果133=-x x ，那么200173129234+--+x x x x 的值等于( )A ．1999B ．2001C ．2003D ．2005（2000年武汉市选拔赛试题）9．(1)求证：8l 7一279—913能被45整除；(2)证明：当n 为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差；（3）计算：)419)(417)(415)(413)(411()4110)(418)(416)(414)(412(4444444444++++++++++。
因式分解定理的应用
因式分解定理的两个应用刘学勇 (浙江省象山县荔港学校 315731)因式分解定理：用一次多项式x a -去除多项式()f x （()f x 表示关于x 的多项式）所得的余式是一个常数，这个常数等于()f a （当x a =时关于x 的多项式的值）。
推论：多项式()f x 能被x a -整除，则()0f a =；反之若()0f a =，则x a -整除多项式()f x 。
通俗的说成：如果x a =时，关于x 的多项式的值为零，那么x a -是该多项式的一个因式。
反之亦然。
利用此定理可以进行因式分解和解特殊的高次方程。
例1.若()()x a x b k ---中含有因式x b +，则k =分析：根据因式分解定理把x b =-代入()()x a x b k ---=0得2()0b a b k +-=，则k=2()b a b +例2.已知多项式32ax bx cx d +++ 除以1x -时，所得的余数是1，除以2x -时，所得的余数是3，那么多项式32ax bx cx d +++除以(1)(2)x x --时，所得的余式是（ ）A 。
21x -B 。
21x +C 。
1x +D 。
1x -（第12届初二第二试）解：设32()f x ax bx cx d =+++=(1)(2)a x x px q --++，由因式分解定理(1)1(2)3f f =⎧⎨=⎩ 解得21p q =⎧⎨=-⎩，所以多项式32ax bx cx d +++除以(1)(2)x x --时，所得的余式是21x -。
例3.已知a ，b ，c 均为实数，且多项式32x ax bx c +++能够被234x x +-整除。
（1）求4a c +的值。
（2）求 22a b c --的值；（3）若 a ，b ，c 为整数，且1c a ≥> 试确定a ，b ，c 的大小。
（第8届初二第二试） 解：（1）因为234(1)(4)x x x x +-=-+，所以1x -，4x +都能整除32x ax bx c +++，所以(1)0(4)0f f =⎧⎨-=⎩，即10641640a b c a b c +++=⎧⎨-+-+=⎩，整理得116464a b c a b c ++=-⎧⎨-+=⎩解得313b a =-，124c a =-，所以412a c +=，（2）22a b c --=22(313)(124)a a a ----=14。
阶段核心应用 因式分解的八种常见应用
解：规律为n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2. 理由如下：
n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2 ＝[n(n＋1)]2＋2n2＋2n＋1 ＝[n(n＋1)]2＋2n(n＋1)＋1 ＝[n(n＋1)＋1]2.
BS版 八年级上
阶段强化专题训练
专训1 探究光的反射定律
阶段强化专题训练
入射角 50° 40° 20°
反射角 50° 40° 20°
阶段强化专题训练
(2)海若按如图甲所示方式开始实验，纸板上显示出了两 条光线，她想把这两条光线的传播路径保留在纸板上 以便探究，请你为她设计一个简便的方法：_沿__光__路__用__ _铅__笔__相__隔__一__定__距__离__在__纸__板__上__各___ _点__两__点__，__再__过__两__点__用__直__尺__、__铅___ _笔__将__光__的__路__径__画__在__纸__板__上___。
8．若a，b，c为三角形的三边长，求证：(a2＋b2－c2)2－ 4a2b2的值一定为负． 证明：(a2＋b2－c2)2－4a2b2 ＝(a2＋b2－c2)2－(2ab)2 ＝(a2＋b2－c2＋2ab)(a2＋b2－c2－2ab) ＝[(a＋b)2－c2][(a－b)2－c2] ＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)．
4．先阅读下列材料，然后解题： 因为(x－2)(x＋3)＝x2＋x－6，所以(x2＋x－6)÷(x －2)＝x＋3，即x2＋x－6能被x－2整除．所以x－2 是x2＋x－6的一个因式，且当x＝2时，x2＋x－6＝0. (1)类比思考：(x＋2)(x＋3)＝x2＋5x＋6，所以x2＋ 5x ＋ 6 能 被x_＋__2_或__x_＋__3_ 整 除 ． 所 以 _x_＋__2_或__x_＋__3是 x2 ＋5x＋6的一个因式，且当x＝_－__2_或__－__3_时，x2＋ 5x＋6＝0.
初中数学因式分解的12种方法
因式分解常用12种方法及应用【因式分解的12种方法】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：1.提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1.分解因式x3-2x2-x(2003淮安市中考题)x3-2x2-x=x(x2-2x-1)2.应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
@初中生家长例2.分解因式a2+4ab+4b2(2003南通市中考题)解：a2+4ab+4b2=(a+2b)23.分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n)，又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3.分解因式m2+5n-mn-5m解：m2+5n-mn-5m=m2-5m-mn+5n@初中生家长=(m2-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4.十字相乘法对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4.分解因式7x2-19x-6分析：1×7=7，2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)5.配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
@初中生家长例5.分解因式x2+6x-40解x2+6x-40=x2+6x+(9)-(9)-40=(x+3)2-(7)2=[(x+3)+7][(x+3)–7]=(x+10)(x-4)6.拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
初中数学 因式分解有什么作用
初中数学因式分解有什么作用因式分解在数学中有着广泛的应用和重要的作用。
以下是因式分解的一些主要作用：1. 简化计算：因式分解可以帮助我们简化复杂的计算。
通过将一个数或者一个多项式因式分解为若干个较简单的乘积，我们可以简化计算的过程。
这在进行数值计算、求解方程和进行代数运算时非常有用。
2. 解方程：因式分解可以帮助我们解决各种类型的方程。
通过将方程中的多项式进行因式分解，我们可以将复杂的方程转化为简单的线性方程或者二次方程，从而更容易地求解方程的根。
3. 理解多项式的性质：因式分解可以帮助我们理解多项式的性质和结构。
通过将多项式进行因式分解，我们可以看到多项式的因子之间的关系，了解多项式的根和零点，进而研究多项式的图像、极值点、拐点等特性。
4. 寻找最大公因数和最小公倍数：因式分解可以帮助我们寻找数之间的最大公因数和最小公倍数。
通过将数进行因式分解，我们可以找到它们的公因子和公倍数，从而确定最大公因数和最小公倍数。
5. 理解数的性质：因式分解可以帮助我们理解数的性质。
通过将一个数因式分解为质数的乘积，我们可以了解数的因数结构，从而推导出数的性质，如奇偶性、可约分性、完全平方数等。
6. 探索数论问题：因式分解在数论中有着重要的应用。
通过因式分解，我们可以研究素数、完全数、亲和数等数论问题，探索数的性质和规律。
总结起来，因式分解在数学中具有广泛的应用和重要的作用。
它可以帮助我们简化计算、解决方程、理解多项式的性质、寻找公因数和公倍数、探索数论问题等。
因此，掌握因式分解的方法和技巧对于数学学习和问题解决都是非常重要的。
希望这个解答对您有所帮助。
如果您还有任何问题，请随时提问。
因式分解的实际生活例题
因式分解的实际生活例题
以下是几个实际生活中可以应用因式分解的例子：
1. 房屋装修：假设你想在房子中安装地板和墙纸。
如果你知道要覆盖的地面和墙壁的面积，你可以使用因式分解来确定所需材料的数量。
例如，如果地板和墙壁的尺寸分别为(2x^2 + 5x + 3) 平方米和(3x + 2) 平方米，你可以因式分解后计算总面积为(2x+ 1)(x+ 3) 平方米。
2. 高速公路堵车问题：假设你开车在高速公路上行驶，交通拥挤导致车流缓慢。
假设你以速度2(x - 3) km/h行驶，而前方的拥堵导致你只能以速度3(x + 2) km/h行驶。
你可以使用因式分解来计算你的平均速度。
因为平均速度=总路程/总时间。
通过因式分解可以将总时间表示为表达式(2x - 6)(3x+ 6)，总路程为(2x - 6)(3x + 6) km。
然后，你可以通过总路程除以总时间来计算平均速度。
3. 金融投资：假设你在银行存款了一笔钱，并以每年4%的利率获得复利。
如果你打算将此存款投资10年，你可以使用因式分解来计算你在每一年的投资总额。
通过因式分解，你可以将投资总额表示为初始存款乘以(1 + 0.04)^10.
这些是在日常生活中可以应用因式分解的一些例子。
因式分解可以帮助我们根据给定的数学模型和问题，将复杂的表达式分解为更简单的形式，从而更容易进行计算和理解。
因式分解的应用因式分解在分式运算123
寒假作业1因式分解的应用因式分解在分式运算、解方程、解不等式、代数式的恒等变形等方面有广泛的应用，此外在中学数学中还有其他重要的应用．请看例子． 1．判断整除性例1 2n-1和2n+1表示两个连续的奇数(n是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除．证明(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n·2=8n，∴ 这两个连续奇数的平方差能被8整除．例3 x3+y3+z3-3xyz能被(x+y+z)整除．证明原式即 (x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)，∴x3+y3+z3-3xyz 能被(x+y+z)整除．例5 设4x-y为3的倍数，求证：4x2+7xy-2y2能被9整除．证明∵4x2+7xy-2y2=(4x-y)(x+2y)，又x+2y=4x-y-3x+3y =(4x-y)-3(x-y)．∵ 3/(4x-y)，3/3(x-y)，∴ 3/(x+2y)，于是 9/(4x2+7xy-2y2)．2．判定几何图形的形状例6 在△ABC中，三边a、b、c满足a3+b3+c3-3abc=0，试判定三角形的形状？解∵a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=0，而a+b+c≠0，∴a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，即 (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0，∴ a=b=c，即△ABC为等边三角形．例8 如果xyz+xy+yz+zx+x+y+z=1975，试求自然数x、y、z．解方程两边加1，得(x+1)(y+1)(z+1)=23·13·19，①(x，y，z)为(7，12，18)，②(7，18，12)，③(12，7，18)，④(12，18，7)，⑤(18，7，12)，⑥(18，12，7)共6组解．例9 求x2-y2=1979的整数解．解∵ 1979是质数，而 (x+y)(x-y)=1979．几类特殊多项式的因式分解例1 分解因式：(1)(x2+3x+2)(x2-9x+20)-72；(2)(a+1)(a+2)(a+3)(a+6)+a2．分析第(1)题中的(x2+3x+2)(x2-9x+20)可分解为：(x+1)(x+2)(x-4)(x-5)，其中(x+1)(x-4)=x2-3x-4，而(x+2)(x-5)=x2-3x-10．注意到此时出现了相同的项x2-3x，所以用整体代换就能分解它们．第(2)题的方法类似．解(1)原式=(x+1)(x+2)(x-4)(x-5)-72 =(x2-3x-4)(x2-3x-10)-72 =(x2-3x)2-14(x2-3x)-32 =[(x2-3x)-16][(x2-3x)+2] =(x2-3x-16)(x-1)(x-2)； (2)原式=(a2+6+7a)(a2+6+5a)+a2=(a2+6)2+12a(a2+6)+36a2=(a2+6+6a)2．例2 分解因式：x2+2xy-8y2-4x-10y+3．分析此题容易想到用分组分解法，但比较困难．考虑到x2+2xy-8y2=(x+4y)(x-2y)，且 -4x-10y=-3(x+4y)-(x-2y)，可用十字相乘法来分解．此题结果为原式=(x+4y-1)(x-2y-3)．因式分解中变换一、指数变换例1 因式分解x n+1-3x n+2x n-1．解x n+1-3x n+2x n-1=x2·x n-1-3x·x n-1+2x n-1(指数变换) =x n-1(x+1)(x-2)．二、符号变换例2 因式分解(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)．解(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)=(a-b)(x-y)+(a-b)(x+y)(符号变换) =(a-b)(x-y+x+y) =2x(a-b)．三、换元变换例3 因式分解(x2+5x+3)(x2+5x-2)-6．解设x2+5x-2=y，则(x2+5x+3)(x2+5x-2)-6=(y+5)y-6(换元) =y2+5y-6 =(y+6)(y-1)(x2+5x+4)(x2+5x-3)=(x+1)(x+4)(x2+5x-3)．四、整体变换例4 因式分解(x+y)2-4(x+y-1)．解(x+y)2-4(x+y-1) =(x+y)2-4(x+y)+4(将x+y看作一整体)=(x+y-2)2．五、拆项变换例5 因式分解x2-11x+24．解 x2-11x+24=x2-3x-8x+24(将-11x拆为-3x-8x)=x(x-3)-8(x-3)=(x-3)(x-8)六、添项变换例6因式分解 4x4+1．解 4x4+1=(4x4+4x2+1)-4x2 (添4x2项)=(2x2+1)2-(2x)2=(2x2+2x+1)(2x2-2x+1)分组变换例8因式分解 x4-x3+x-1 解 x4-x3+x-1 =(x4-x3)+(x-1) (分解) =x3(x-1)+(x-1) =(x-1)(x+1)(x2-x+1) ．九、数域变换例9因式分解 4a4-1．解 4a4-1 =(2a2+1)(2a2-1) (有理数范围)十、综合变换例10因式分解a6-b6解 a6-b6=(a2)3-(b2)3 (指数变换) =(a2-b2)(a4+a2b2+b4) (公式变换) =(a2-b2)(a4+2a2b2+b4-a2b2) (添项变换) =(a2-b2)[(a4+2a2b2+b4)-(ab)2] (分组变换)=(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2) (公式变换)因式分解复习说明：1、首项是负数时，一般提负因式，同时将括号内各项变号．2、有些多项式若能看成某一字母的二次三项式，一般可用十字相乘法分解．3、对于四项式来说，一般采用“二二”分组或“一三”分组，分组后能提公因式或能运用公式，否则分组就是盲目的．4、分组的原则是分组后可再提公因式或分组后可用公式再分解，分组后能用十字相乘法再分解的也可以。
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。
1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。
下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。
在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。
例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。
专题 因式分解的应用(和拼图有关)(学生版)
专题32因式分解的应用（和拼图有关）1．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：可用图1来解释（a+b）2＝a2+2ab+b2．（1）请你写出图2所表示的代数恒等式；（2）试在图3的方框中画出一个几何图形，使它的面积等于a2+4ab+3b2．2．我们已经知道，乘法公式可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释其正确性，实际上还有很多代数恒等式也可用这种形式说明其正确性．例如图1可以用来解释：2a(a+b)=2a2+2ab．（1）试写出图2所表示的代数恒等式：；（2）试在图3的方框内画出一个平面图形，使它的面积能表示：(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2．3．阅读材料并回答问题：我们已经知道，完全平方公式，平方差公式可以用几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，比如图②可以解释为：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2．（1）请写出图③可以解释的代数等式：____________________________；（2）在下面虚线框中用图①中的基本图形若干块，拼成一个长方形（每种至少用一次，卡片之间不能有缝隙或重叠），使拼出的长方形面积为3a2+7ab+2b2，并写出这个长方形的长和宽是________________________．4．如图，有足够多的边长为a的小正方形(A类)、长为a宽为b的长方形(B类)以及边长为b的大正方形(C类)，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2(1)取图①中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为(2a+b)(a+2b)，在虚框中画出图形，并根据图形回答(2a+b)(a+2b)=_____________(2)若取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．根据你画的长方形，可得到恒等式_____________(3)如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x>y），观察图案，指出以下正确的关系式___________填写选项）．A．xy=224m n-B．x+y=m C．x2－y2=m·n D．x2+y2=222m n+5．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图（1）可以用来解释()2222a ab b a b ++=+，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．如图（2），将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n 的小正方形，五块是长为m ，宽为n 的全等小长方形，且m n >．（以上长度单位：cm ）（1）观察图形，可以发现代数式22252m mn n ++可以分解因式为_________（2）若每块小长方形的面积为210cm ，四个正方形的面积和为258,cm 试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．6．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A 可以用来解释a 2+2ab +b 2＝(a+b)2．现有足够多的正方形卡片1号，2号和长方形卡片3号，如图C ．（1）根据图B 完成因式分解：222a ab +=；（2）现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张．在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为；（3）现要拼出一个面积为()(3)a b a b ++的长方形，则需要1号卡片张，2号卡片张，3号卡片张．（4）比较图A 中的两个正方形面积之和1S 与两个长方形面积之和2S 的大小关系，并说明理由．（1）图B可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片，如图C：①若要拼出一个面积为（3a+b）（a+2b）的矩形，则需要1号卡片张，2号卡片张，3号卡片张；②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为6a2+7ab+2b2，并利用你画的图形面积对6a2+7ab+2b2进行因式分解.（1）图B 可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C ），试画出．．一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2223a ab b ++，并利用你所画的图形面积对2223a ab b ++进行因式分解．9．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题．初中数学中有一些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形面积来解释．某同学在学习的过程中动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．(1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②），根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是；(2)如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片张，3号卡片张；(3)当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式22a ab b++分解因式，其结果是；32(4)请你依照该同学的方法，在指定位置画出拼图并利用拼图分解因式22++＝．56a ab b10．阅读下列材料，并解答问题．面积与代数恒等式通过学习，我们知道可以用图1的面积来解释公式()2222a b a ab b +=++，人们经常称作用面积解释代数恒等式实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如可用图2表示()()22a b a b a b +-=-．请根据阅读材料，解答下列问题:（1）请写出图3所表示的代数恒等式：；（2）试画一个几何图形，使它的面积表示：()()2222252a b a b a ab b ++=++；（3）请仿照上述方法另写一个含有a ，b 的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．11．利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，如图1可以验证一个代数恒等式（a +b ）2＝（a ﹣b ）2+4ab ．（1）如图2，用若干张A ，B ，C 的卡片拼成一个长方形面积为（2a +b ）（a +b ），那么需要A ，B ，C 卡片各多少张？（2）如果用1张A ，5张B ，6张C 拼成一个长方形，那么这个长方形的边长分别是和．12．如图，有足够多的边长为a 的小正方形（A 类），长为b 、宽为a 的长方形（B 类）及边长为b 的大正方形（C 类）．发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为()()22232a b a b a ab b ++=++．(1)取图①中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为()()22a b a b ++，画出图形，并根据图形回答：()()22a b a b ++=______________．(2)若取其中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为2256a ab b ++，①你画的图中需C 类卡片___________张；②可将多项式2256a ab b ++分解因式为_______________；(3)如图③，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ．若用,x y 表示四个相同的长方形的两边长()x y >，观察图形并判断下列关系式：①224m n xy -=；②x y m +=；③22x y mn +=；④22222m n x y -+=，其中正确的是____________．13．一天小明和小丽玩纸片拼图游戏，他们发现利用图1中的三种类型的纸片可以拼出一些图形来解释某些等式，例如，由图2，我们可以得到22(2)()32a b a b a ab b ++=++．(1)由图3可以解释的等式是_________；(2)用边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a ，b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为_________；(3)小丽用5个长为b ，宽为a 的长方形按照图4方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角的面积为S 1，右下角的面积为S 2，当BC 的长变化时，S 2﹣S 1的值始终保持不变，求a 与b 的数量关系．14．【数学实验】如图，有足够多的边长为a 的小正方形（A 类）、长为a 宽为b 的长方形（B 类）以及边长为b 的大正方形（C 类），发现利用图①中的三种材料各若干个可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如图②可以解释为：（a ＋2b ）（a ＋b ）＝a 2＋3ab ＋2b 2．【初步运用】（1）仿照例子，图③可以解释为：；（2）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的边长分别为（2a ＋3b ）、（a ＋5b ），不画图形，试通过计算说明需要C 类卡片多少张；【拓展运用】若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的面积为2a 2＋5ab ＋3b 2，通过操作你会发现拼成的长方形的长宽分别是，将2a 2＋5ab ＋3b 2改写成几个整式积的形式为．15．阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如22(2)()23a b a b a ab b ++=++就可以用如下的图形面积来表示．（1）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：22()(3)43a b a b a ab b ++=++；（2）请仿照上述方法另写出一个含有a ，b 的代数恒等式（要求不同于上述多项式），并画出与之对应的几何图形．16．数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，如图1可以解释完全平方公式：()2222a b a ab b +=++．（1）如图2（图中各小长方形大小均相等），请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（不化简）：方法1：S =阴影_________________；方法2∶S =阴影_________________．（2）由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式?（3）①已知()216+=m n ，3mn =，请利用（2）中的等式，求m n -的值．②已知()2213m n +=，()225m n -=，请利用（2）中的等式，求mn 的值．17．阅读理解：数形结合作为一种数学思想方法，应用可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，借助于数（式）的计算来说明图形的某些性质；第二种情形是“以形助数”，借助图形的直观性来说明数（式）之间数量关系．本学期学习的整式乘法法则，可借助图形的面积，分别从整体．．、局部．．来计算同一个图形的面积来构建等式，进而解释、验证整式乘法法则．解决问题：如图1，利用A 、B 、C 三种纸片各若干，可以拼出一些图形来解释某些等式，比如图2可以解释等式22()(2)23a b a b a ab b ++=++．(1)图3可以解释等式：；(2)观察图4，请你写出2()a b +、2()a b -和ab 之间的数量关系是；(3)利用5张B 种纸片拼成如图5的大长方形，记长方形ABCD 的面积与长方形EFGH 的面积差为S ．①若CD ＝7时，试用含a 、b 的代数式表示S ；②设CD ＝x ，且当x 取不同数值时，S 永远为定值，求a 与b 之间的数量关系．18．【知识生成】我们已经知道，多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．例如利用图1的面积可以得到()2222a b a ab b +=++，基于此，请解答下列问题：（1）请你写出图2所表示的一个等式：________．（2）小明同学用图3中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a 、b 的长方形纸片拼出一个面积为()()22a b a b ++长方形，则x y z ++=________．【知识迁移】（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些等式，图4表示的是一个边长为x 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：________．。
因式分解在生活中的应用二例
因式分解在生活中的应用二例因式分解作为中学代数中的一个很重要的恒等变形，它的地位十分重要，它有着广泛的应用，利用它可以解决一些实际生活问题。
一.利用因式分解设计密码例：（05年浙江）在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：（x-y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是什么？（写出一个即可）.分析：按照原理，需把4x3y-xy3分解因式，再代入求值，就可以产生密码4x3y-xy3=x（4x2-y2）=x（2x+y）（2x-y）当x=10，y=10，各因式的值是：x=10，（2x+y）=30，（2x-y）=10又因为这六个数字不考虑顺序，所以产生的密码为103010；101030；301010二：利用因式分解解决扑克牌的问题例：小明与小红玩扑克游戏：共有两副扑克牌，现将牌最上面一张发出，将下一张放最下面，依此类推，直至发完所有的牌，问最后一张是什么牌？（牌的顺序：大王，小王，黑桃，红桃，梅花，方块，同种色顺序：A，2，……Q，K）。
分析：这么多的扑克牌，会给我们造成很大的麻烦。
我们可以先考虑简单的，从中找出规律，再思考复杂的情况。
我们按顺序给扑克牌编号，第一张1号，第二章2号，以此类推……（1）如果是3张牌，1号，2号，3号，结果是2号。
（2）如果6张牌，1号到6号，结果是4号。
（3）如果10张牌，1号到10号，结果是8号。
（4）若果12张牌，1号到12号，结果是8号。
（5）如果20张牌，1号到20号，结果是16号。
……从中我们可以得到什么规律呢？原来4分解为2×2，8分解为2×2×2，16分解为2×2×2×2，如果有n张牌，只要在不超过n的数中找到一个可以分解为若干个2相乘的最大的的数就对了。
【知识点解析】专题训练6 因式分解的七种常见应用
因式分解是整式的恒等变换的一种重要变形， 它与整式的乘法是两个互逆的过程，是代数恒等 变形的重要手段，在有理数计算、式子的化简求 值、几何等方面起着重要作用．
应用 1 用于简便计算
1．利用简便方法计算： 23×2.718＋59×2.718＋18×2.718. 解：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718 ＝(23＋59＋18)×2.718 ＝100×2.718 ＝271.8.
(2)x2y－2xy2＝xy(x－2y)＝1×3＝3.
应用 3 用于判断整除
4．随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两 位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另 一个两位数，并用较大的两位数减去较小的两 位数，所得的差一定能被9整除吗？为什么？
解：设该两位数个位上的数字是b，十位上的数 字是a，且a≠b，则这个两位数是10a＋b，将 十位数字与个位数字对调后的数是10b＋a， 则这两个两位数中，较大的数减较小的数的 差是|10a＋b－(10b＋a)|＝9|a－b|，所以所得 的差一定能被9整除．
∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0. 又∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0， (a－c)2≥0， ∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0， 即a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．
应用 5 用于比较大小
6．已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，指出 A与B哪个大，并说明理由．
解：B－A＝a2＋a－7－a－2＝a2－9 ＝(a＋3)(a－3)． 因为a＞2，所以a＋3＞0， 当2＜a＜3时，a－3＜0，所以A＞B； 当a＝3时，a－3＝0，所以A＝B； 当a＞3时，a－3＞0，所以A＜B.
解：规律：n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝(n2＋n＋1)2. 理由如下： n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2 ＝[n(n＋1)]2＋2n2＋2n＋1 ＝[n(n＋1)]2＋2n(n＋1)＋1 ＝[n(n＋1)＋1]2 ＝(n2＋n＋1)2.
因式分解的应用
因式分解的应用嘿，朋友们！今天咱就来唠唠因式分解的那些奇妙用处。
你说这因式分解啊，就像是一把神奇的钥匙，能打开好多知识大门呢！咱就拿解方程来说吧，有些方程那叫一个复杂，看着就头疼。
可要是咱会因式分解，嘿，一下子就能把它变得简单明了，轻松找到答案，这感觉是不是特爽？就好像你在迷宫里转悠半天找不到出口，突然发现了一条秘密通道，一下子就走出去啦！再说说几何图形。
有时候那些图形的边长、面积啥的，计算起来好麻烦呀。
但如果能巧妙地运用因式分解，哇塞，难题迎刃而解。
就好比你要爬上一座高山，因式分解就是那根能帮你省力的登山杖。
还有啊，在实际生活中也能瞧见因式分解的影子呢！比如说你要布置房间，怎么摆放家具最合理，这其实也能和因式分解挂上钩。
把空间当成一个式子，通过因式分解来找到最合适的布局，是不是很有意思？你想想看，数学的世界就像一个大宝藏，而因式分解就是其中闪闪发光的宝贝之一。
它能让复杂的问题变得简单，让我们能更轻松地探索数学的奥秘。
这就好像你有了一双神奇的翅膀，可以在数学的天空中自由自在地翱翔。
咱再打个比方，因式分解就像是一个贴心的小助手，随时随地帮你排忧解难。
当你遇到难题时，它会跳出来说：“嘿，别怕，有我在呢！”然后三下五除二就帮你搞定啦。
而且哦，学会了因式分解，你会发现自己对数学的理解更深了，就像挖井挖到了清泉，那股清凉和喜悦会涌上心头。
你难道不想拥有这样的体验吗？所以啊，可别小瞧了这小小的因式分解，它的用处可大着呢！它能让我们在数学的道路上走得更稳、更远，能让我们看到更多美丽的风景。
朋友们，赶紧拿起笔，去探索因式分解的奇妙世界吧，你一定会收获满满的惊喜和快乐！怎么样，还不赶紧行动起来？。
因式分解在实际生活中的应用
因式分解在实际生活中的应用
1. 经济学中的成本分析
在经济学中，成本分析是一种评估和决策的工具，它用于帮助企业或个人确定产出产品或提供服务的成本。
因式分解在成本分析中可以用于分析和确定各种成本组成部分。
通过将成本因式分解成不同的因素或变量，可以更好地理解和优化成本结构，从而做出更明智的决策。
2. 物理学中的力学分析
在物理学中，因式分解可以应用于力学分析。
力学涉及物体运动和作用力的研究。
多项式的因式分解可以用于分析和描述物体所受到的力的来源和性质。
通过将力因式分解成其组成部分，可以更好地理解物体的运动和力的相互作用。
3. 统计学中的回归分析
统计学中的回归分析是一种用于分析和预测变量之间关系的方法。
在回归分析中，因式分解可以应用于多元回归模型，用于解释
因变量与自变量之间的关系。
将多元回归模型进行因式分解可以帮
助我们理解不同自变量对因变量的影响，并确定哪些自变量是显著的。
4. 工程学中的电路分析
在工程学中，电路分析是一种用于分析和设计电路的方法。
因
式分解可以应用于电路分析中的电路方程组。
通过将电路方程组进
行因式分解，可以更好地理解电路中各个元件之间的相互作用和关系，以及电流和电压的分布情况。
总结而言，因式分解不仅仅在数学中有应用，而且在实际生活
中也有一些重要应用。
它可以用于经济学中的成本分析、物理学中
的力学分析、统计学中的回归分析以及工程学中的电路分析等领域。
通过将复杂的问题进行因式分解，我们可以更好地理解问题的本质
和相互关系，从而做出更准确的分析和决策。
6.4因式分解的简单应用OK
= m(a + b )
Hale Waihona Puke − b = (a + b )(a − b )
2
应用完全平方公式： 应用完全平方公式：a 2
± 2ab + b = (a ± b )
2
2
将下列各式因式分解． 将下列各式因式分解．
(1) (a + b) − 10(a + b) + 25 = (a + b − 5)
2
2
(2) 2ab − 8a b = 2ab(b − 4a )
2 2
(3) (2a − 1) − (3a − 1) = −a (5a − 2)
2 2
(4) 16 − x = (4 + x )(2 + x)(2 − x)
4 2
思考: 思考: 怎样计算
( 2ab
2
−8a b) ÷( 4a − b)
2
一、运用因式分解进行多项式除法. 运用因式分解进行多项式除法. 计算: 例1 计算
x = 0, 或 2 x + 1 = 0
只含有一个未知数的方程的解也叫做根。 只含有一个未知数的方程的解也叫做根。
注意： 注意：
当方程的根多于一个时， 当方程的根多于一个时，常用带足标的字母表示 x , x2 等 如 1
解下列方程： 例2：解下列方程： 2 2 ( （2）2 x − 1) = ( x + 2 )
x − 2x = 0
2
4 x = (x − 1)
2
2
1、移项，使等式一边变形为零； ３） 、移项，使等式一边变形为零； （ 2、等式另一边因式分解； 、等式另一边因式分解； 3、转化为解一元一次方程． 、转化为解一元一次方程． 答案： 答案：
因式分解在实际生活中的应用
因式分解在实际生活中的应用因式分解是把一个多项式写成几个整式乘积的形式，如果从运算角度上考虑，也就是把一个和在保持大小不变的条件下，写成一个乘积的形式，而有些运算积比和算起来要简单，因此因式分解在解决实际问题中有着重要应用．一、提取公因式法的应用例1某市为适应经济的快速发展，现需要将一条长3300m的道路重新拓宽，预计3个月完成，已知第一个月完成34%，第二月完成36%，问这两个月共完成多少米的拓宽任务？分析：总共有3300m的道路，第一个月完成了34%，即完成了3300×34%第二月完成了36%，即完成了3300×36%，两个月共完成了3300×34%+3300×36%，如果直接运算的话，显然麻烦些，如果将3300×34%+3300×36%提取公因式，就简单多了．解：3300×34%+3300×36%=3300（34%×36%）=3300×70%=2310所以这两个月共完成2310m拓宽任务．例2在电学公式：U=IR1+ IR2 +IR3，当R1=12.9 R2=18.5 R3=18.6，I=2时，求U的值分析：直接代入数值，U=IR1+ IR2 +IR3=2×12.9+2×18.5+2×18.6，如果直接计算，太麻烦，不妨提取公因式解：当R1=12.9 R2=18.5 R3=18.6，I=2时U=IR1+ IR2 +IR3=2×12.9+2×18.5+2×18.6=2×（12.9+18.5+18.6）=2×50=100 评注：某些实际问题，如果列出代数式中，含有公因式，而且提取公因式后，另一因式能够凑整，用提取公因式计算较简单．二、平方差公式的应用例3学校在一块边长为13.2m的正方形场地，准备在四个角落各建一个边长为3.4m的正方形喷水池，剩余的部分修成绿地，若购买130m2的草坪，够不够铺绿地？分析：原有的面积为13.22，四个正方形水池的面积为4×3.42，剩余部分的面积为13.22-4×3.42，如果先乘方，再减法，运算量较大，如果按照平方差公式分解因式，较简单解：依题意得13.22−4×3.42=13.22−(2×3.4)2=13.22−6.82=(13.2+6.8)(13.2−6.8)=20×6.4=128 因为130>128所以购买130m 2的草坪，够铺绿地．例4一种圆筒状包装的保鲜膜，如下图所示，其规格为“”，经测量这筒保鲜膜的内径φ1、外径φ的长分别为、，则该种保鲜膜的厚度约为_____（取3.14，结果保留两位有效数字）．分析：圆筒状包装的保鲜膜展开与未展开体积是相同的．设厚度为xcm ，展开时体积为x×20×6000(cm 3)未展开的体积为20×3.14×2)24.4(− 20×3.14×2)26.3( 解：设设厚度为xcm ，依题意得x×20×6000=20×3.14×2)24.4(−20×3.14×2)26.3( x×20×6000=20×3.14×(2.22−1.82)6000x=3.14×(2.2+1.8)(2.2−1.8)6000x=5.024解之得 x=8.4×10−4评注：如果由实际问题得到的代数式，满足平方差公式的结构特点，而且分解后，两个数的和或两个数的差运算较简单，通常应用平方差公式．三、完全平方公式的应用例5 达活泉公园有一块长为 51.2m 的正方形绿地，为了便于游人通行，决定修两条互相垂直的小路，如图小路宽 1.2m ，问剩余绿地的面积是多少？分析：用整块绿地的面积减去小路的面积就是剩余绿地的面积解：51.22−(2×1.2×51.2−1.22)=51.22−2×1.2×51.2+1.22=(51.2−1.2)2=502=2500所以剩余绿地的面积为2500m2评注：由实际问题列出的代数式满足完全平方公式的结构特点，且写成两个数和或两个数的差的平方又容易计算，通常应用完全平方公式．四、因式分解的综合应用例6（05年浙江）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4−y4，因式分解的结果是(x−y)(x+y)(x2+y2)，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x－y)=0，(x+y)=18，(x2+y2)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3y−xy3，取x = 10，y = 10时，用上述方法产生的密码是：(写出一个即可)．分析：按照原理，需把4x3y−xy3分解因式，再代入求值，就可以产生密码解：4x3y−xy3= x(4x2−y2) = x(2x+y)(2x−y)当x = 10，y = 10，各因式的值是：x = 10，(2x+y) = 30，(2x−y) = 10又因为这六个数字不考虑顺序，所以产生的密码为103010；101030；301010评注：在进行因式分解时，首先提取公因式，然后再考虑用公式，注意每一个因式要分解彻底．新课标第一网系列资料。
使用因式分解解决实际问题
使用因式分解解决实际问题
在数学中，因式分解是指把多项式表达式分解成乘积的形式。
除了数学领域，因式分解在实际问题中也有着重要的应用，能帮助我们更好地理解和解决问题。
下面是因式分解在实际问题中的三个应用：
1. 确定最小公倍数和最大公约数
因式分解可以帮助我们确定两个或多个数的最小公倍数和最大公约数。
例如，我们可以通过因式分解求出 24 和 36 的最大公约数为 12，最小公倍数为 72。
2. 解决分数的运算问题
因式分解在分数的加减乘除中非常有用。
通过因式分解，我们可以将分数式化简，更容易地进行加减乘除。
例如，我们可以把$\frac{8}{12}$ 化简为 $\frac{2}{3}$。
3. 解决代数式的问题
在代数学中，因式分解是一项基本技能。
通过因式分解，我们可以简化代数式，更方便求解。
例如，我们可以把 $x^2 + 6x +
8$ 分解为 $(x+2)(x+4)$，更容易地求出 x 的解。
因式分解是一项有用的技能，能够帮助我们更好地理解和解决实际问题。
通过这篇文章的介绍，我们能更全面地了解因式分解在实际问题中的应用。
因式分解的应用(含答案)
1.5 因式分解的应用◆赛点归纳因式分解在初中数学竞赛中，用途很广泛，具体来说用得较多的有如下几个方面：（1）利用因式分解简化计算；（2）利用因式分解求较复杂的代数式的值；（3）利用因式分解确定多项式中的某些相关的待定系数；（4）利用因式分解解决某些数的整除问题；（5）利用因式分解解某些特殊的方程或方程组等问题．◆解题指导例1化简：222 2000199819971997 19982000199820014+--⨯-．【思路探究】本题直接计算比较复杂，由于分子和分母都有平方与差的关系，由此可联想到运用因式分解方法简化计算．例2 （2001，“五羊杯”，初二）若（x－1）（y+1）=3，xy（x－y）=4，则x7－y7=_______．【思路探究】由（x－1）（y+1）=3，知xy+（x－y）=4，经观察可知，两个条件等式都含有xy和x－y的关系式．若设xy=u，x－y=v，则u+v=4，uv=4，于是有u（4－u）=4，经过变形知它符合完全平方公式，即（u－2）2=0，故可知u=2，v=2，即xy=2，x－y=2．至此，将x7－y7分解成和xy和x－y相关的因式就不难求值．【思维误区】有位同学这样解答例2，你认为对吗？解：∵（x－1）（y+1）=3，∴xy+（x－y）=4．设xy=u，x－y=v，则u+v=4．①uv=4．②由①、②，得u2－4u+4=0．∴（u－2）2=0．∴u=2．∴v=2．∴x2+y2=（x－y）2+2xy=22+2×2=8，x3－y3=（x－y）（x2+xy+y2）=2（8+2）=20，x4+y4=（x2+y2）2－2x2y2=82－2×22=56．∴x7－y7=（x4+y4）（x3－y3）=56×20=1120．例3 （2004，“TRULY○R信利杯”）已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=•2，•ax+by=5，则（a2+b2）xy+ab（x2+y2）的值为________．【思路探究】求待求式的值，由条件等式可知，需将待求式进行合理变形，使它含有因式ax+by．这里用多项式分解因式的方法是可以达到的．例4 （2001，北京市竞赛）证明恒等式：a4+b4+（a+b）4=2（a2+ab+b2）2．【思路探究】若能证明a4+b4+（a+b）4－2（a2+ab+b2）2的值为零，则可说明左右相等．•由观察可知，这个“差式”具有平方差公式的特征．因此，可先设法利用平方差公式分解因式，然后证明其中某个因式为零．例5 （2002，太原市竞赛）已知a、b、c为△ABC的三条边，且满足a2+ab－ac－bc=0，b2+bc－ba－ca=0，则△ABC是（）．A．等腰三角形B．直角三B．角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形【思路探究】要判断这个三角形的形状，由条件等式要么证明三边的平方关系，要么证明三边有两边或三边相等关系．这由条件等式分解因式就可判断．例6 （2000，“五羊杯”，初二）设自然数N是完全平方数，N至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2•位数字后，•剩下的数还是完全平方数．•则N•的最大值是_______．【思路探究】由N是完全平方数和去掉它的末两位数仍是完全平方数，可知这个数是一个特殊数．若设N=x2，去掉的末两位数为y，去后所得的整数M=m2，•则可得它们之间的关系式x 2=100m 2+y ，故y=x 2－100m 2．利用平方差公式可得两个关于x 的一次式．再根据题设不难探求N 的最大值．【拓展题】已知多项式x 3+bx 2+cx+d 的系数都是整数，bd+cd 是奇数，求证这个多项式不能分解为两个整系数多项式的积．◆探索研讨因式分解是初中数学的常用解题方法，加之解法比较多，因此，对于它在不同的方面的应用应选择不同的思维方式，有时要整体分解因式，有时要部分分解因式．请结合本节的例题，总结自己的发现．◆能力训练1．已知四个代数式：①m+n ；②m －n ；③2m+n ；④2m －n ，当用2m 2n 乘以上述四个式中的两个的积时，便得到多项式4m 4n －2m 3n 2－2m 2n 3，那么这两个式子的编号是（ ）．A ．①与②B ．①与③C ．②与③D ．③与④2．（2005，全国竞赛）已知A=48×（22211134441004+++---）．则与A 最接近的正整数是（ ）．A ．18B ．20C ．24D ．253．*若3x 3－x=1，则9x 4+12x 3－3x 2－7x+2002的值等于（ ）．A ．2002B ．2004C ．2005D ．20064．已知三个整数a 、b 、c 的和为奇数，那么，a 2+b 2－c 2+2ab （ ）．A ．一定是非零偶数B ．等于零C ．一定是奇数D ．可能是奇数，也可能是偶数5．关于x 、y 的方程x 2y=180的正整数解有（ ）．A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组6．方程2x 2－3xy －2y 2=98的正整数解有（ ）．A ．3组B ．2组C ．1组D ．0组7．（2001，全国竞赛）若x 2+xy+y=14，y 2+xy+x=28，则x+y 的值为______．8．*设m 2+m －1=0，则m 3+2m 2+2005=________．9．若x3+3x2－3x+k有一个因式是x+1，则k=______．10．（2000，“五羊杯”，初二）若x－y=1，x3－y3=4，则x13－y13=______．11．（2003，四川省竞赛）对一切大于2的正整数n，•数n5－5n3+4n的最大公约数是________．12．设x3+3x2－2xy－kx－4y可分解为一次与二次因式之积，则k=________．13．*若a=20052+20062+20052·20062，求证：a是一个完全平方数．14．某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11•个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（mn+9m+11n+145）元，•已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数．15．已知A=a+2b+3c+4d=3，B=a－2b+4c+5d=2，试求a+10b+c+2d的值．16．（2000，武汉市竞赛）如果一个自然数的立方的末三位数字为999，则称这样的自然数为“千禧数”，试求最小的“千禧数”．答案:解题指导例1 设1998=x，则原式=2222(54)(32)(1)(4)(1)(2) (2)(34)(1)(2)(1)(4)x x x x x x x xx x x x x x x x++-+++--=--+-+--+=1．例2 1136．[提示：设xy=u，x－y=v，则u+v=4，uv=4，从而可得（u－2）2=0，即u=2．∴v=2．于是x2+y2=（x－y）2+2xy=22+2×2=8，x3－y3=（x－y）（x2+xy+y2）=2（8+2）=20，x4+y4=（x2+y2）2－2x2y2=82－2×22=56．∴x7－y7=（x4+y4）（x3－y3）+x3y3（x－y）=56·20+23·2=1136．]例3 －5．[提示：由a+b=x+y=2，得（a+b）（x+y）=ax+by+ay+bx=4．①∵ax+by=5，将它代入①式，得ay+bx=－1．∴（a2+b2）xy+ab（x2+y2）=（a2xy+aby2）+（b2xy+abx2）=ay（ax+by）+bx（by+ax）=（ax+by）（ay+bx）=5×（－1）=－5．]例4 ∵a4+b4+（a+b）4－2（a2+ab+b2）=（a2+b2）2－2a2b2+（a2+2ab+b2）2－2（a2+ab+b2）2=[（a2+b2）2－（a2+ab+b2）2]+[（a2+2ab+b2）2]－（a2+ab+b2）2]－2a2b2=（2a2+2b2+ab）（－ab）+（2a2+3ab+2b2）·ab－2a2b2=ab（－2a2－2b2－ab+2a2+3ab+2b2－2ab）=0，∴a4+b4+（a+b）4=2（a2+ab+b2）2．你还能给出别的证法吗？不妨试一试．例5 C [提示：由a2+ab－ac－bc=0，得a（a+b）－c（a+b）=0，∴（a+b）（a－c）=0，∴a=c，a=－b （舍去）．由b2+bc－ba－ca=0，得b（b+c）－a（b+c）=0，∴（b+c）（b－a）=0，∴b=a，b=－c（舍去）．∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形．]例6 1681．[提示：设N=x2，x为自然数，N的末2位数字组成整数y，去掉此2•位数字后得到整数M，M=m2，m为自然数，则1≤y≤99．∴x2=100m2+y．∴y=x2－100m2=（x+10m）（x－10m）．令x+10m=a，x－10m=b，则b≥1，m≥1．x=10m+b≥11，a=x+10m≥21．若m≥4，则x=10m+b≥41，a=x+10m≥81，唯有b=1，m=4，x=41，a=81，y=81，M=16，N=1681．显然当m≤3时，x≤40，故N=1681为所求的最大值．]【拓展题】假设x3+bx2+cx+d=（x+p）（x2+qx+r），其中p、q、r均为整数．令x=0，得pr=d，由bd+cd=（b+c）d为奇数知，b+c与d•均为奇数，从而p、r也都是奇数，再取x=1．由假设有1+（b+c）+d=（1+p）·（1+q+r）．左边是3个奇数之和，必为奇数；右边的因式（1+p）为偶数，从而（1+p）（1+q+r）必为偶数，显然奇数不等于偶数，所以假设不成立，故原式不能分解成两个整系数多项式的积．能力训练1．C [提示：对多项式做因式分解：原式=2m2n（2m2－mn－n2）=2m2n（2m+n）（m－n）．]2．D [提示：对于正整数n（n≥3），有21111(),442211111148[(1)()]429856102111111112(1)2349910010110211112512().9910010110211114112()12,99100101102992n n n A =---+=⨯+++-+++=+++----=-++++++<⨯<则 ∴与A 最接近的正整数为25．]3．D [提示：由3x 3－x=1，得3x 3=x+1，∴3x 4=x （3x 3）=x （x+1）=x 2+x ．∴原式=3·3x 4+4·3x 3－3x 2－7x+2002=3（x 2+x ）+4（x+1）－3x 2－7x+2002=3x 2+3x+4x+4－3x 2－7x+2002=4+2002=2006．]4．C [提示：a 2+b 2－c 2+2ab=（a+b ）2－c 2=（a+b+c ）（a+b －c ）．∵a+b+c 为奇数，∴a 、b 、c 三数中可能有一个奇数、两个偶数，或者三个都是奇数． 当a 、b 、c 中有一个奇数、两个偶数时，则a+b －c 为奇数；当a 、b 、c 中三个都是奇数时，也有a+b －c 为奇数．∴（a+b+c ）（a+b －c ）是奇数．]5．D [提示：∵180=1×22×32×5，又x 2y=180．∴x 2y=1×22×32×5，且x 、y 为正整数/∴12,3,6,1804520 5.x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩或或或 故共有四组正整数解．]6．C [提示：∵（x －2y ）（2x+y ）=98，x 、y 是正整数，∴x>2y ，且2x+y>x －2y ．∴方程可能的解只有以下情形：21,22,27,298;249;214.x y x y x y x y x y x y -=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨+=+=+=⎩⎩⎩ 其中只有第二种情形有解x=20，y=9．]7．6或－7． [提示：把两个已知等式相加，得（x+y ）2+（x+y ）=42，即（x+y ）2+（x+y ）－42=0．∴（x+y －6）（x+y+y ）=0．∴x+y=6或x+y=－7．]8．2006． [提示：原式=m 3+m 2－m+m 2+m －1+2006=m （m 2+m －1）+（m 2+m －1）+2006=（m 2+m －1）（m+1）+2006．∵m 2+m －1=0，∴原式=2006．]9．－5． [提示：∵x 3+3x 2－3x+k 有一个因式是x+1，∴x 3+3x 2－3x+k=x 3+x 2+2x 2+2x －5x －5+5+k=x 2（x+1）+2x （x+1）－5（x+1）+（k+5）=（x+1）（x 2+2x －5）+（k+5）．∴当k+5=0，即k=－5时，原多项式有一个因式是x+1．]10．521． [提示：由x 3－y 3=（x －y ）（x 2+xy+y 2）=4和x －y=1，可得x 2+xy+y 2=4； 由（x －y ）2=x 2－2xy+y 2=1，可得xy=1．又x 6+y 6=（x 3－y 3）2+2x 3y 3）=42+2×13=18，x 4+y 4=（x 2+y 2）2－2x 2y 2=（1+2×1）2－2×12=7，x 7－y 7=（x 4+y 4）（x 3－y 3）+x 3y 3（x －y ）=7×4+1×1=29．从而x 13－y 13=（x 7－y 7）（x 6+y 6）－x 6y 6（x －y ）=29×18－16×1=522－1=521．] 11．120． [提示：n 5－5n 3+4n=（n －2）（n －1）n （n+1）（n+2）．对于大于2的任何正整数n，数n5－5n3+4n都含有公约数1×2×3×4×5=120．故这些数的最大公约数是120．]12．－2．[提示：x3+3x2－2xy－kx－4y=（x3+3x2－kx）－（2xy+4y）=x（x2+3x－k）－2y（x+2）．欲使此式可分解，则x2+3x－k应含因式x+2．将x=－2代入得（－2）+3（－2）－k=0，即－2－k=0，故k=－2．]13．∵a=20052+20062+20052·20062=（2005·2006）2+20052－1+20062+1=（2005·2006）2+（2005+1）（2005－1）+20062+1=（2005·2006）2+2006·2004+20062+1=（2005·2006）2+2006（2004+2006）+1=（2005·2006）2+2×2005·2006+1=（2005·2006+1）2．∴a是一个完全平方数．14．mn+9m+11n+145=（m+11）（n+9）+46，由已知m+11│（mn+9m+11n+145），（n+9）│（mn+9m+11n+145），m+11=n+9，得（m+11）│46，（n+9）│46．∵46=46×1=23×2，∴m+11=n+9=46，或m+11=n+9=23．由此可得，每人捐款数为47元或25元．15．设a+10b+c+2d=mA+mB=（m+n）a+（2m－2n）b+（3m+4n）c+（4m+5n）d．则m+n=1，2m－2n=10，3m+4n=1，4m+5n=2．解得m=3，n=－2．故a+10b+c+2d=3A－2B=3×3－2×2=5．16．设“千禧数”为x，则x3=1000k+999（k为自然数）．∴x3+1=1000（k+1），即（x+1）（x2－x+1）=1000（k+1）．∵x2－x+1=x（x－1）+1为奇数，可设x+1=8m（m为自然数），∴m（x2－x+1）=125（k+1）．下面证明5（x2－x+1）．若5│x，显然5（x2－x+1），若5トx，设x=5n+p（1≤p≤4）．当p=1时，x2－x+1=5n1+1；当p=2时，x2－x+1=5n2+3；当p=3时，x2－x+1=5n3+2；当p=4时，x2－x+1=5n4+3．综上所述5 ト（x2－x+1）．∴x+1=1000t，为使x最小，应取t=1，∴x=999．经验证得999是“千禧数”．故最小的“千禧数”是999．。
因式分解的应用与实例
因式分解的应用与实例引言因式分解是代数学中重要的概念和技巧之一。
它能够将复杂的代数式简化为更简洁且易于处理的形式，进而帮助解决各种数学问题。
本文将介绍因式分解的应用及其实例，并展示其在数学和实际生活中的重要性。
数学上的应用1. 简化代数式：因式分解能够将复杂的代数式拆解为由简单因子相乘的形式，从而简化计算过程。
例如，将多项式进行因式分解后，可以化简运算，提高计算效率。
2. 求解方程：因式分解在求解代数方程中发挥了重要作用。
通过将方程进行因式分解，可以得到方程的根，从而解决许多数学问题。
例如，对于二次方程，使用因式分解可以更轻松地找到方程的解。
实际生活中的应用1. 财务分析：因式分解可以用于财务数据的分析和解读。
例如，对于公司的利润总额，通过因式分解可以明确各部分成本对利润的影响程度，帮助企业制定合理的成本控制策略。
2. 电路分析：因式分解在电路工程中有广泛的应用。
通过对电路进行因式分解，可以简化电路的分析和计算，帮助设计师更好地理解电路的工作原理和性能。
3. 统计分析：统计学中常常需要对大量数据进行整理和分析。
因式分解可以将数据分解为不同的因子，从而更好地理解和解释数据的结构和特征。
实例1. 数学实例：如何因式分解多项式- 多项式 a^2 - 4b^2 可以因式分解为 (a + 2b)(a - 2b)- 多项式 x^2 + 4x + 4 可以因式分解为 (x + 2)^22. 经济实例：利润的因式分解- 假设一家公司的利润总额为L，经过因式分解，可以得到利润与销售额、成本和税收之间的关系。
如 L = S - C - T，其中S代表销售额，C代表成本，T代表税收。
3. 电路实例：电路的因式分解- 将一个复杂的电路进行因式分解，可以得到电路中各个组件之间的关系，从而更好地分析和设计电路。
结论因式分解作为一种重要的代数工具，在数学上和实际生活中都有广泛应用。
它能够简化复杂的代数式，帮助解决各种数学问题，同时也能够应用于财务分析、电路分析和统计分析等领域。
第13讲 因式分解及其应用
第13讲 因式分解及其应用考点·方式·破译1．因式分解地定义：把一个多项式化成几个整式地积地形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。
2．因式分解地基本方式有提公因式法，运用公式法，分组分解法等。
3．因式分解地基本原则：有公因式先提出公因式，分解一定进行到每一个多项式都不能再分解为止。
4．竞赛中常出现地因式分解问题,常用到换圆法，主圆法，拆项添项阿，配方式和待定系数法等方式，另外形如2x px q ++地多项式,当p ＝a ＋b ,q ＝ab 时可分解为（x ＋a ）（x ＋b ）地形式。
5．利用因式分解求代数式地值与求某些特殊方程地解.经典·考题·赏析【例１】⑴若229x kxy y ++是完全平方式,则k ＝______________⑵若225x xy ky -+是完全平方式,则k ＝______________【解法指导】形如222a ab b ±+地形式地式子,叫做完全平方式.其特点如下：⑴有三项。
⑵有两项是平方和地形式。
⑶还有一项是乘积地2倍,符号自由.解：⑴22229(3)x kxy y x kxy y ++=++是完全平方式,∴6kxy xy =± ∴6k =±。
⑵22225522y x xy ky x x ky -+=-⋅⋅+是完全平方式,∴225()2ky y = ∴254k =【变式题组】01．若22199m kmn n -+是一个完全平方式,则k ＝________02．若22610340x y x y +-++=,求x ，y 地值.03．若2222410a a b ab b +-++=,求a ，b 地值.04．（四川省初二联赛试题）已知a ，b ，c 满足22|24||2|22a b a c ac -++++=+,求a b c -+地值.【例2】⑴（北京）把3222x x y xy -+分解因式,结果正确地是（）A ．()()x x y x y +-B ．22(2)x x xy y -+C ．2()x x y +D ．2()x x y -⑵（杭州）在实数范围内分解因式44x -＝____________⑶（安徽）因式分解2221a b b ---＝_______________【解法指导】分解因式地一般步骤为：一提,二套,三分组,四变形解：⑴3222222(2)()x x y xy x x xy y x x y -+=-+=-⑵42224(2)(2)(2)(x x x x x x -=+-=+⑶22222221(21)(1)(1)(1)a b b a b b a b a b a b ---=-++=-+=++--【变式题组】⑴3223223612x y x y x y -+⑵2222(1)2a x ax +-⑶222045a bx bxy -⑷2249()16()a b b a --+⑸222(5)8(5)16a a -+-+【例3】要使二次三项式25x x p -+在实数范围内能进行因式分解,那么整数P 地取值可能有（）A ．2个B ．4个C ．6个D ．无数多个【解法指导】由2()()()x a b x ab x a x b +++=++可知,在整数范围内分解因式25x x p -+,p 为(5)n n -地积为整数,∴p 有无数多个,因而选D【变式题组】⑴已知212x ax +-能分解成两个整系数地一次因式地乘积,则符合款件地整数a 地个数是（）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个⑵在1~100间,若存在整数n ,使2x x n +-能分解为两个整系数地一次因式地乘积,则这样地n 有__个【例4】分解因式：⑴221112x x -+⑵22244x y z yz--+⑶22(52)(53)12x x x x ++++-⑷226136x xy y x y +-++-【解法指导】解：⑴ ∴221112(23)(4)x x x x -+=--⑵222244x y z y --+222(44)x y yz z =--+22(2)x y z =--(2)(2)x y z x y z =+--+⑶设2525x x ++=,则原式可变为2(1)1212(3)(4)t t t t t t +-=+-=-+∴原式＝22(523)(524)x x x x ++-+++21－3－422(51)(56)x x x x =+-++2(51)(2)(3)x x x x =+-++⑷226136x xy y x y +-++-22(6)(13)6x xy y x y =+-++-(2)(3)(13)6x y x y x y =-+++-(23)(32)x y x y =-++-【变式题组】01．分解因式：⑴2224912x y z yz ---⑵224443x x y y --+-⑶236ab a b --+⑷(1)(2)(3)(4)1x x x x +++++⑸261910y y -+【例5】⑴（上海竞赛试题）求方程64970xy x y +--=地整数解。
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因式分解的应用
1. 什么是因式分解
因式分解是指将一个多项式拆分成多个乘法的形式的过程。
在因式分解中，我们将多项式看作是多个因式相乘的结果，这些因式可以是整数、变量或者其他多项式。
2. 因式分解的重要性
因式分解在数学中具有重要的应用价值，它可以帮助我们简化复杂的多项式、解决方程以及分析函数的性质。
以下是因式分解的几个重要应用：
2.1 简化多项式
通过因式分解，我们可以将一个复杂的多项式简化为多个简单的乘积形式。
这样不仅可以方便计算，还可以使问题更加直观和容易理解。
2.2 解方程
在解方程的过程中，因式分解可以帮助我们将一个复杂的方程
转化为多个简单的因式相乘的形式。
这样可以更容易找到方程的解，减少计算的复杂性。
2.3 分析函数性质
对于给定的函数，我们可以通过因式分解来分析其性质。
通过
找到函数的因式分解式，我们可以确定函数的零点、极值点以及函
数的图像变化趋势等重要特征，从而更好地理解和应用这个函数。
3. 因式分解的实际应用举例
3.1 商业应用
在商业领域中，因式分解可以应用于利润分析、成本分析以及
市场需求预测等方面。
通过将复杂的商业问题转化为因式分解的形式，我们可以更容易地理解和解决这些问题。
3.2 自然科学
在自然科学中，因式分解也有广泛的应用。
例如，通过将复杂的物理方程因式分解，我们可以更好地理解和研究物理规律；通过将复杂的化学反应方程因式分解，我们可以更好地分析和预测化学反应的过程。
3.3 统计学
在统计学中，因式分解可以帮助我们分析数据、发现规律以及预测趋势。
通过将复杂的统计模型因式分解，我们可以更好地理解和应用这些模型，从而提高数据分析的准确性和效果。
4. 总结
因式分解是数学中一种重要的思维工具，它在数学、商业、科学以及统计学等领域都有着广泛的应用。
通过理解因式分解的概念和方法，我们可以更好地解决问题、分析函数性质以及预测趋势。
因此，掌握因式分解的应用是很有价值的，对于提升数学水平和解决实际问题都有重要意义。