八年级数学-第十一章-第3节-角平分线的性质-人教新课标版

初二数学第十一章第3节角平分线的性质人教新课标版

一、学习目标：

1. 了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线；

2. 掌握角平分线的性质和判定；

3. 综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。

二、重点、难点：

重点：角平分线的性质和判定。

难点：角平分线的性质和判定的综合应用。

三、考点分析：

对角平分线的定义及角平分线的作法进行单独命题在中考中是比较少见的，但这两个知识点属于基础知识，出题者往往将其与线段的垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识综合在一起进行命题，题型多为作图题，属中档难度题。

角平分线的性质是本章的重要内容，它是除了用三角形全等证明线段相等之外的又一个证明线段相等的重要方法。中考命题中，多将角平分线的作法及性质与其他知识点结合在一起进行考查，题型多为选择、填空、作图题，分值在3~6分。这就要求学生必须熟练掌握用尺规作图法作角平分线的要领，并会应用角平分线的定义、性质解决相关问题。

1. 角平分线的定义

2. 角平分线的尺规作法

3. 角平分线的性质

4. 角平分线的判定

知识点一作角平分线

例1：如图，已知点C为直线AB上一点，过C作直线CM，使CM AB

⊥于C。

思路分析：

由于AB是直线，要求作CM AB

⊥，实际上就是要作平角ACB

∠的平分线。根据角平分线的尺规作图法就可以作出直线CM。

解答过程：

作法：

1、以C为圆心，适当的长为半径画弧，与CA、CB分别交于点D、E；

2、分别以D、E为圆心，大于1

2

DE的长为半径画弧，使两弧交于点M；

3、作直线CM。

所以，直线CM即为所求。

解题后的思考：

此题要求“大于12DE 的长为半径”的理由是：半径如果小于1

2

DE ，则两弧无法相交；而半

径如果等于1

2

DE ，则两弧交点位于C 点处，无法作出直线CM 。

在数学学习中，不光要知道怎么做题，还要知道为什么要这样做。 小结：

本题属于作图题。在解决作图题时要求做到规范地使用尺规，规范地使用作图语言，规范地按照步骤作出图形，并且作图的痕迹要保留，不能擦掉。

知识点二 角平分线的性质

角平分线上的点到角的两边的距离相等。 角平分线性质的符号语言： P 在AOB ∠的平分线上

PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E

∴PD PE =

例2：如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F 。连接EF ，交AD 于点G 。说出AD 与EF 之间有什么关系？证明你的结论。

思路分析：

两条线段之间的关系有长度和位置两种关系，因此我们可以从这两方面去猜测判断。 角是以其平分线为对称轴的轴对称图形，此题可以利用这一点进行判断。 解答过程：

EF AD ⊥，且EG FG = 证明：AD 平分BAC ∠

DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F

∴DE DF =

在Rt DEA ∆和Rt DFA ∆中

DE DF

AD AD

=

⎧

⎨

=

⎩

∴Rt DEA Rt DFA

∆≅∆（HL）

∴ADE ADF

∠=∠

在△DGE和△DGF中

DE DF

GDE GDF

DG DG

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴DGE DGF

∆≅∆（SAS）

∴EG FG

=，90

DGE DGF

∠=∠=

∴EF AD

⊥，且EG FG

=。

解题后的思考：

通过此题我们知道，证明两条线段相等，除了利用全等三角形的性质外，还可以利用角平分线的性质。这样我们又多了一种证明线段相等的办法。

在利用角平分线的性质时，“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可。

例3：如图，D是ABC

∆的外角ACE

∠的平分线上一点，DF AC

⊥于F，DE BC

⊥于E，且交BC的延长线于E。

求证：CE CF

=。

思路分析：

由已知条件，可以利用角平分线的性质得到DE＝DF。而要证明CE＝CF，只要证明以它们为边的两个三角形全等即可。将两者结合起来分析就不难找到思路。

解答过程：

CD是ACE

∠的平分线，DF AC

⊥于F，DE BC

⊥于E

∴90

DEC DFC

∠=∠=，DE DF

=

在Rt DEC

∆和Rt DFC

∆中

DC DC

DE DF

=

⎧

⎨

=

⎩

∴Rt DEC Rt DFC

∆≅∆（HL）

∴CE CF

=

解题后的思考：

利用角平分线的性质可以证明线段相等，而线段相等可能又是证明其他结论所需要的条件。 小结：

运用角平分线的性质时应注意以下三个问题：

（1）这里的距离指的是点到角的两边的垂线段的长；

（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形的性质； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有两个垂直。

知识点三 角平分线的判定

到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 角平分线判定的符号语言：

PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E

且PD PE =

∴P 在AOB ∠的平分线上

（或写成OP 是AOB ∠的平分线）

例4：如图，BE CF =，DF

AC ⊥于F ，DE AB ⊥于E ，BF 和CE 交于点D 。 求证：AD 平分BAC ∠。

思路分析：

要证AD 平分BAC ∠，已知条件中已经有两个垂直，即已经有点到角的两边的距离了，只要

证明这两个距离相等即可。而要证明两条线段相等，可利用全等三角形的性质来证明。

解答过程：

DF AC ⊥于F ，DE AB ⊥于E ∴90DEB DFC ∠=∠= 在BDE ∆和CDF ∆中 DEB DFC BDE CDF BE CF ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴BDE CDF ∆≅∆（AAS ） ∴DE DF =

又

DF AC ⊥于F ，DE AB ⊥于E ∴AD 平分BAC ∠。 解题后的思考：

判定角的平分线时若题目中只给出一个条件DE DF =或DF AC ⊥，DE AB ⊥，那么得出AD