八年级数学-第十一章-第3节-角平分线的性质-人教新课标版

初二数学第十一章第3节角平分线的性质人教新课标版一、学习目标：1. 了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线；2. 掌握角平分线的性质和判定；3. 综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。

二、重点、难点：重点：角平分线的性质和判定。

难点：角平分线的性质和判定的综合应用。

三、考点分析：对角平分线的定义及角平分线的作法进行单独命题在中考中是比较少见的，但这两个知识点属于基础知识，出题者往往将其与线段的垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识综合在一起进行命题，题型多为作图题，属中档难度题。

角平分线的性质是本章的重要内容，它是除了用三角形全等证明线段相等之外的又一个证明线段相等的重要方法。

中考命题中，多将角平分线的作法及性质与其他知识点结合在一起进行考查，题型多为选择、填空、作图题，分值在3~6分。

这就要求学生必须熟练掌握用尺规作图法作角平分线的要领，并会应用角平分线的定义、性质解决相关问题。

1. 角平分线的定义2. 角平分线的尺规作法3. 角平分线的性质4. 角平分线的判定知识点一作角平分线例1：如图，已知点C为直线AB上一点，过C作直线CM，使CM AB⊥于C。

思路分析：由于AB是直线，要求作CM AB⊥，实际上就是要作平角ACB∠的平分线。

根据角平分线的尺规作图法就可以作出直线CM。

解答过程：作法：1、以C为圆心，适当的长为半径画弧，与CA、CB分别交于点D、E；2、分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，使两弧交于点M；3、作直线CM。

所以，直线CM即为所求。

解题后的思考：此题要求“大于12DE 的长为半径”的理由是：半径如果小于12DE ，则两弧无法相交；而半径如果等于12DE ，则两弧交点位于C 点处，无法作出直线CM 。

在数学学习中，不光要知道怎么做题，还要知道为什么要这样做。

小结：本题属于作图题。

在解决作图题时要求做到规范地使用尺规，规范地使用作图语言，规范地按照步骤作出图形，并且作图的痕迹要保留，不能擦掉。

知识点二 角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等。

角平分线性质的符号语言： P 在AOB ∠的平分线上PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E∴PD PE =例2：如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F 。

连接EF ，交AD 于点G 。

说出AD 与EF 之间有什么关系？证明你的结论。

思路分析：两条线段之间的关系有长度和位置两种关系，因此我们可以从这两方面去猜测判断。

角是以其平分线为对称轴的轴对称图形，此题可以利用这一点进行判断。

解答过程：EF AD ⊥，且EG FG = 证明：AD 平分BAC ∠DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F∴DE DF =在Rt DEA ∆和Rt DFA ∆中DE DFAD AD=⎧⎨=⎩∴Rt DEA Rt DFA∆≅∆（HL）∴ADE ADF∠=∠在△DGE和△DGF中DE DFGDE GDFDG DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DGE DGF∆≅∆（SAS）∴EG FG=，90DGE DGF∠=∠=∴EF AD⊥，且EG FG=。

解题后的思考：通过此题我们知道，证明两条线段相等，除了利用全等三角形的性质外，还可以利用角平分线的性质。

这样我们又多了一种证明线段相等的办法。

在利用角平分线的性质时，“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可。

例3：如图，D是ABC∆的外角ACE∠的平分线上一点，DF AC⊥于F，DE BC⊥于E，且交BC的延长线于E。

求证：CE CF=。

思路分析：由已知条件，可以利用角平分线的性质得到DE＝DF。

而要证明CE＝CF，只要证明以它们为边的两个三角形全等即可。

将两者结合起来分析就不难找到思路。

解答过程：CD是ACE∠的平分线，DF AC⊥于F，DE BC⊥于E∴90DEC DFC∠=∠=，DE DF=在Rt DEC∆和Rt DFC∆中DC DCDE DF=⎧⎨=⎩∴Rt DEC Rt DFC∆≅∆（HL）∴CE CF=解题后的思考：利用角平分线的性质可以证明线段相等，而线段相等可能又是证明其他结论所需要的条件。

小结：运用角平分线的性质时应注意以下三个问题：（1）这里的距离指的是点到角的两边的垂线段的长；（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形的性质； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有两个垂直。

知识点三 角平分线的判定到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

角平分线判定的符号语言：PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E且PD PE =∴P 在AOB ∠的平分线上（或写成OP 是AOB ∠的平分线）例4：如图，BE CF =，DFAC ⊥于F ，DE AB ⊥于E ，BF 和CE 交于点D 。

求证：AD 平分BAC ∠。

思路分析：要证AD 平分BAC ∠，已知条件中已经有两个垂直，即已经有点到角的两边的距离了，只要证明这两个距离相等即可。

而要证明两条线段相等，可利用全等三角形的性质来证明。

解答过程：DF AC ⊥于F ，DE AB ⊥于E ∴90DEB DFC ∠=∠= 在BDE ∆和CDF ∆中 DEB DFC BDE CDF BE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BDE CDF ∆≅∆（AAS ） ∴DE DF =又DF AC ⊥于F ，DE AB ⊥于E ∴AD 平分BAC ∠。

解题后的思考：判定角的平分线时若题目中只给出一个条件DE DF =或DF AC ⊥，DE AB ⊥，那么得出AD平分BAC ∠这一结论是错误的。

例5：如图，,F G 是OA 上两点，,M N 是OB 上两点，且FG MN =，PFG PMN S S ∆∆=，试问点P 是否在AOB ∠的平分线上？思路分析： 一方面，要判断点P 是否在AOB ∠的平分线上，只要判断点P 到角的两边距离是否相等即可；另一方面，由已知条件中三角形面积和底边相等可以推导出高相等。

这样已知和结论就联系起来了。

解答过程：证明：过点P 作PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E12PFG S FG PD ∆=⋅，12PMN S MN PE ∆=⋅，而PFG PMN S S ∆∆= ∴1122FG PD MN PE ⋅=⋅又FG MN =∴PD PE =又PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E∴P 在AOB ∠的平分线上。

解题后的思考：利用面积证明相关结论是一种常见方法。

面积法有着其他方法所不具有的优势，比如它不要求考虑线段的位置关系。

小结：角平分线的判定与角平分线的性质是互逆的。

判定角的平分线要满足两个条件：“垂直”和“相等”。

若已知“垂直”则设法证明“相等”，若已知“相等”则设法证明“垂直”。

知识点四 角平分线的综合应用例6：如图，在ABC ∆中，90C ∠=，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，F 在AC 上，BD DF =。

求证：CF EB =。

思路分析：由已知条件很容易得到DC＝DE ；要证明CF ＝EB ，只要证明其所在三角形全等即可，再由此去找全等条件。

解答过程：AD 平分BAC ∠，90C ∠=，DE AB ⊥ ∴DC DE=在Rt FCD ∆与Rt BED ∆中 DC DEDF BD =⎧⎨=⎩∴Rt FCD Rt BED ∆≅∆（HL ） ∴CF EB =。

解题后的思考：掌握角平分线的性质和判定固然重要，但学会分析题目所给条件更是解决问题的关键。

例7：如图，已知在ABC ∆中，BD DC =，12∠=∠。

求证：AD 平分BAC ∠。

思路分析：有两种方法证明AD 平分BAC ∠：一是直接利用定义证明BAD CAD ∠=∠；二是利用角平分线的判定，证明点D 到角的两边距离相等。

仔细观察，前者需要证明三角形全等，但此题使用全等条件中的“边边角”，无法证明两个三角形全等。

后者通过作垂线构造出三角形，其条件足以证明两个三角形全等。

解答过程：过点D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F 故，90BED CFD ∠=∠= 在BDE ∆与CDF ∆中 12BED CFD BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BDE CDF ∆≅∆（AAS ） ∴DE DF =又DE AB⊥于E，DF AC⊥于F∠。

∴AD平分BAC解题后的思考：当题目中有角平分线这一条件时，解题时常过角平分线上的点向角的两边作垂线；当有垂线这一条件时，常作辅助线得到角的平分线。

小结：用角平分线证明线段相等或角相等时，常常与证明三角形全等配合使用，证明时要先观察需证明的线段或角（或通过等量代换得到的线段或角）在哪两个可能全等的三角形中。

本节课我们主要学习了角平分线的性质和判定，它们都可以通过三角形全等得出证明；这样，我们又得到了证明线段相等或角相等的一种方法。

在解题中若能用它们直接得出线段或角相等时，就不需要再通过证明三角形全等来间接证明，这样可以减少这一条件麻烦。

在利用角平分线的性质时，可由“角平分线”和“距离”这两个条件得出线段相等，这两个条件缺一不可；同理，在利用角平分线的判定这一条件时，可由“距离”和“线段相等”这两个条件得出角平分线，这两个条件也是缺一不可的。

一、预习新知下一讲的内容是全章综合复习，请同学们提前复习本章主要知识点：1. 全等形和全等三角形的概念；2. 全等三角形的判定；3. 角平分线的性质与判定。

二、预习点拨1. 总结证明全等三角形的思路；2. 总结证明线段和角相等的方法；3. 总结分析题目的方法；4. 总结目前所学过的辅助线的作法。

（答题时间：45分钟）一、选择题：1. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A. 三条中线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条高的交点D. 三条角平分线的交点2. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，若32BC =，且:9:7BD CD =，则点D 到AB 的距离为（ ）A. 18B. 16C. 14D. 123. 如图，直线123,,l l l 表示三条互相交叉的公路，现要修建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有（ ）A. 一处B. 两处C. 三处D. 四处4. 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，BD 是ABC ∠的平分线，交AC 于D ，若CD n =，AB m =，则ABD ∆的面积是（ ）A.13m nB. 12mn C. mn D. 2mn 5. 如图，ABC ∆中，90C ∠=，点O 为ABC ∆的三条角平分线的交点，OD BC ⊥，OE AC ⊥，OF AB ⊥，点,,D E F 分别是垂足，且10AB cm =，8BC cm =，6CA cm =，则点O 到三边,,AB AC BC 的距离分别等于（ ）cmA. 2、2、2B. 3、3、3C. 4、4、4D. 2、3、5二、填空题： 6. 如图，已知,BA CA 分别是DBC ∠，ECB ∠的平分线，BD DE ⊥，CE DE ⊥，垂足分别为,D E ，则DA 与EA 有怎样的数量关系____________。