新教材高中数学第3章排列组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.3第1课时组合与组合数学案

3.1.3 组合与组合数

第1

课时组合与组合数

学习任务核心素养

1．理解组合与组合数的概念．(重点)

2．会推导组合数公式，并会应用公式求值．(重点) 3．理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．(难点、易混点)1．通过学习组合与组合数的概念，培养数学抽象的素养．

2．借助组合数公式及组合数的性质进行运算，培养数学运算的素养．

高考不分文理科后，思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6大科目是选考的，如果考生任选3科作为自己的考试科目，那么选考的组合方式一共有多少种可能的情况？

问题：其中选物理不选历史和选历史不选物理的情况又分别有几种？

[提示]这几个问题都与顺序无关，学完本节内容便能顺利求解．

一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m 个对象的一个组合．

提醒：(1)所谓并成一组是指与顺序无关，例如组合a，b与组合b，a是同一组合，可以把一个组合看成一个集合．

(2)组合概念的两个要点：①n个对象是不同的；②“只取不排”，即取出的m个对象组成的组合与取出对象的先后顺序无关，无序性是组合的特征性质．

(3)如果两个组合中的对象完全相同，那么不管对象的顺序如何，它们都是相同的组合．如果两个组合中的对象不完全相同(即使只有一个对象不同)，那么它们就是不同的组合．拓展：

排列与组合的异同

排列组合

相同点从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象

不同点按照一定的顺序排成一列不管顺序地并成一组1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同．()

(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C23．

()

(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．()

(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．()

[答案](1)√(2)√(3)×(4)√

知识点2组合数的概念、公式

定义从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数

表示C m n(n，m∈N＋且m≤n)

组合数公式

乘积式C m n＝

A m n

A m m＝

n(n－1)·(n－2)…(n－m＋1)

m！

阶乘式C m n＝

n！

m！(n－m)！

“组合”与“组合数”是同一个概念吗？

[提示]同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两

个不同的概念．例如，从3个不同对象a，b，c中每次取出2个对象的所有组合为ab，ac，bc，共3种，其中每一种情况都是一个组合，而组合数是3．

拓展：(1)组合数公式C m n＝n(n－1)…[n－(m－1)]

m×(m－1)×…×2×1

的形式特点：①分子是m个数相乘，且第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n－m＋1；②分母是m的阶乘．

(2)组合数公式C m n＝A m n

A m m体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到．

(3)组合数公式C m n＝n！

(n－m)！m！

的主要作用有：①用于计算m，n较大时的组合数；②对含有字母的组合数的式子进行变形和证明．

2．C218＝________，C1718＝________．

15318[C218＝18×17

2＝153，

C1718＝

18！

17！(18－17)！

＝18．]

3．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________．

6[从四个数中任取两个数的取法为C24＝6．]

类型1组合的概念

【例1】判断下列各事件是排列问题还是组合问题．

(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？

(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？

(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？

(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？

[思路点拨]要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．

[解](1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．

(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．

(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．

(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表有顺序的区别．

1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．

2．区分有无顺序的方法

把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．

[跟进训练]

1．(对接教材P 22练习AT 2)从5个不同的元素a ，b ，c ，d ，e 中取出2个，写出所有不同的组合．

[解] 要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：

由此可得所有的组合为

ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ． 类型2 组合数公式的应用

【例2】 (1)式子n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)100！可表示为( )

A ．A 100n ＋100

B ．

C 100n ＋100 C ．101C 100n ＋100

D ．101C 101n ＋100

(2)求值：C 5－

n n ＋C 9－

n n ＋1．

[思路点拨] 根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明．

(1)D [分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n ＋100，最小的为n ，

故n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)100！

＝101·n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)101！

＝101C 101n ＋100

．] (2)[解] 由组合数定义知：

⎩⎪⎨⎪⎧

0≤5－n ≤n ，

0≤9－n ≤n ＋1，

所以4≤n ≤5，又因为n ∈N ＋， 所以n ＝4或5．

当n ＝4时，C 5－

n n ＋C 9－

n n ＋1＝C 1

4＋C 5

5＝5；