高等数学教材习题全解

高等数学教材习题全解

一、选择题

1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 4，那么f(-2)的值为多少？

答：将x替换为-2，计算得到f(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 36(-2) + 4 = 64 + 12 + 72 + 4 = 152。

2. 已知函数y = e^2x，那么y'(x)的值为多少？

答：对y = e^2x求导，得到y'(x) = 2e^2x。

3. 已知函数f(x) = ln(x^2 - 1)，那么f'(x)的值为多少？

答：对f(x) = ln(x^2 - 1)求导，得到f'(x) = 2x / (x^2 - 1)。

二、填空题

1. 若f(x) = x^2 + bx + c 是一个完全平方三项式，那么b和c的取值分别是多少？

答：对于完全平方三项式，b的取值为2ac，c的取值为a^2，其中

a、b、c为常数。所以b = 2ac，c = a^2。

2. 若y = 3x^2 + k 在点(2, -5)处的切线与y轴垂直，那么k的值为多少？

答：求导得到y' = 6x，切线的斜率为6，因为与y轴垂直，所以斜率为0。代入点(2, -5)得到6 * 2 + k = 0，解方程得到k = -12。

三、计算题

1. 计算∫(0 to π/2) sin^2 x dx。

答：∫sin^2 x dx = ∫(1/2 - 1/2cos2x) dx = 1/2x - 1/4sin2x + C。将上限和下限代入得到1/2(π/2) - 1/4sin(2(π/2)) = π/4。

2. 计算∫√(1 + x^3) dx。

答：将√(1 + x^3)展开得到√(1 + x^3) = (1 + x^3)^(1/2) = (√(x^3 + 1))/(x + 1)。所以∫√(1 + x^3) dx = ∫(√(x^3 + 1))/(x + 1) dx。采用换元法，

令u = x^3 + 1，那么du = 3x^2 dx，将原式变换得到(1/3)∫(√u)/(x + 1) du。再次换元，令v = √u，那么dv = (1/2√u) du，将原式变换得到(2/3)∫v/(x

+ 1) dv。将v替换为√(x^3 + 1)，得到(2/3)∫(√(x^3 + 1))/(x + 1) dx =

(2/3)∫v/(x + 1) dv = (2/3)∫1/(x + 1) dv。计算积分得到(2/3)ln|x + 1| + C。

四、证明题

证明：凸函数f(x)在[a, b]上的性质。

要证明凸函数f(x)在[a, b]上的性质，需要满足以下两个条件：

1. 对于任意的x1, x2 ∈ [a, b]，以及0 ≤ t ≤ 1，有f(tx1 + (1 - t)x2) ≤

tf(x1) + (1 - t)f(x2)。

2. 函数f(x)在[a, b]上连续，且在(a, b)内可导。

首先证明条件1：

假设函数f(x)满足条件1，那么对于任意的x1, x2 ∈ [a, b]，以及0

≤ t ≤ 1，有f(tx1 + (1 - t)x2) ≤ tf(x1) + (1 - t)f(x2)。

我们可以证明条件1等价于f''(x) ≥ 0，即二阶导数非负。

然后证明条件2：

根据条件2，可以得到函数f(x)在[a, b]上必须是连续的，并且在(a, b)内可导。

这是因为在(a, b)内可导可以保证有足够的导数信息来证明条件1，

并且连续性保证了函数f(x)在[a, b]上的无间断性。

综上所述，凸函数f(x)在[a, b]上的性质满足条件1和条件2。

五、应用题

某物体从100m的高度自由下落，设重力加速度为10m/s^2，求物

体落地时的速度。

设物体自由下落的时间为t，根据运动学公式s = vit + (1/2)at^2，其

中s为下落距离，vi为初始速度，a为重力加速度，t为时间。

根据题目设定，初始速度为0，下落距离为100m，重力加速度为

10m/s^2。代入运动学公式得到100 = 0 + (1/2) * 10 * t^2，解方程得到t = √20。

落地时的速度可以通过求导的方式得到。

根据v = at，代入a = 10m/s^2和t = √20，计算得到v = 10 * √20 m/s。

这样，我们就完成了高等数学教材习题的全解。以上展示了选择题、填空题、计算题、证明题和应用题的解答过程，希望对您的学习有所

帮助。