高考数学专题复习：空间向量基本定理

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空间向量的基本定理

是不共面的三个向量，请问向量
AC' 与它们是什么关系？
A
AC' AB AD AA'
B
问题2：
D’ C’
D C
如果向量 AB AD AA' 分别和向量a、b、c共线，
能否用向量a、b、． c表示向量 AC' ?
AC'＝xa+yb+zc
一、空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一
OB
B’
故实数x、y、z是唯一的．
A
A’
P’
二、几个基本概念：
空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成，我们把｛a、b、c｝叫做空间的一个基底， a、b、c都叫做基向量．
说明：
①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量．（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面）
OB OC

1 2
OA
OG

1
OA
1 OB

1
A
OC.
633
O
G C N
B
三、课堂练习：
1、以知向量a,b,c是空间的一个基底，从a,b,c中选一个向量，一定可以与向量p=a+b,q=a-b构成空间的另一基底？ c
2、设空间四边形OABC，点M,N分别是边OA,BC,的中点，
开封市第二实验高中：孙义章
一、复习引入
1、平面向量基本定理：
同一平面内两个不共线的非零向量a、b，对平面内任意向量p，有且只有一对实数x，
y，使：
p= xa+yb ．（a、b称基底）

2 空间向量的基本定理(精讲)(解析版)

1.2 空间向量的基本定理1．空间向量基本定理(1)如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a ，b ，c 中，没有零向量．(3)单位正交基底：如果{e 1，e 2，e 3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e 1，e 2，e 3有公共的起点．【题型精讲】考点一基底的判断【例1】（2020·全国高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D 中，可以作为空间向量的一组基底的是（）A ．AB AC AD ，，B ．11AB AA AB ，，C ．11111D A DC D D ，，D ．111AC AC CC ，，【答案】C【解析】:AB AC AD ，，共面，排除A 11AB AA AB ，，共面，排除B 111AC AC CC ，，共面，排除D 11111 D A DC D D ，，三个向量是不共面的，可以作为一个基底.故选：C【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等【答案】C【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A 错.B 项，空间基底有无数个, 所以B 错.D 项中因为基底不唯一，所以D 错.故选C .2．（2018·全国高二课时练习）设向量,,a b c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )A ．{,,}a b b a a +-B ．{,,}a b b a b +-C ．{,,}a b b a c +-D ．{,,}a b c a b c +++ 【答案】C【解析】选项A,B 中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底.选项D 中，()a b c a b c ++=++，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，所以不能作为空间的一个基底.选项C 中,,a b b a c +-不共面,故可作为空间的一个基底.故选：C.3．（2018·开平市忠源纪念中学高二期末（理））若{a ⃑,b ⃑⃑,c ⃑}构成空间的一组基底，则( )A ．b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,a ⃑不共面B ．b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,2b ⃑⃑不共面C ．b ⃑⃑+c ⃑,a ⃑,a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑不共面D ．a ⃑+c ⃑,a ⃑−2c ⃑,c ⃑不共面【答案】A【解析】∵2b ⃑⃑=(b ⃑⃑+c ⃑)+(b ⃑⃑−c ⃑)，∴b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,2b⃑⃑共面 ∵a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑=(b ⃑⃑+c ⃑)+a ⃑，∴b ⃑⃑+c ⃑,a ⃑,a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑共面∵a ⃑+c ⃑=(a ⃑−2c ⃑)+3c ⃑，∴a ⃑+c ⃑,a ⃑−2c ⃑,c ⃑共面故选A考点二基底的运用【例2】（2020·佛山市荣山中学高二期中）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为11A C 的中点，AB a =，AD b =，1AA c =，则AO =（）A ．1122-++a b cB ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122a b c -+ 【答案】B【解析】O 为11A C 的中点， ∴()11111111111122AO AC AA AO AA AA A B A D =+=+++=()112AB AD AA =++()12c a b =++ 1122a c b =++．故选：B ．【玩转跟踪】1．（2020·甘肃靖远。

高三数学空间向量基本定理

熘土豆丝嘛，也是咱娘最拿手的厨艺哇！”耿英瞪了弟弟一眼，说：“你奇怪什么啊？难道说俺们这些年在南边儿吃过这些菜吗？”耿直忽然明白了，说：“可不是耶！江南没有土豆啊？”尚武说：“听也不曾听说过呢！”耿老爹说：“这土豆其实很好种的，估计江南也应该能种！你走的时候带一些回去哇，试着种种！”尚武说：“唔，好好好，如果真能种得成，那可就太好啦！”大家一边吃饭，一边继续聊着。耿正看到小妹妹耿兰一直拘谨地坐在那里默默地吃饭，就站起来探手给她的碗里夹一块儿红烧肉，亲切地说：“兰兰，这是爹、大哥、二哥和姐姐啊，你怎么不跟俺们说话呢？”看到耿兰红着脸不敢抬头看大哥的样子，耿直摇着头说：“唉，兰兰啊，你忘记了吗？咱爹带哥哥姐姐和俺走之前，你可是二哥的小尾巴呢！二哥在南边，像想娘一样想你„„”想起来离家一年之后的那个八月十五夜里耿直哭着睡去的情景，耿老爹、耿正、耿英和耿直都声噎了„„郭氏赶快说：“兰儿，你成天跟娘念叨爹和哥哥姐姐们，这会儿他们就在你的眼前儿了，你倒是叫啊！爹、大哥、二哥和姐姐想听呢！”耿兰怯怯地低着头小声儿说：“俺很想叫呢，可俺就是„„” 耿英含泪轻轻地推一推妹妹，小声说：“这是咱爹！你快叫啊！”耿兰慢慢地抬起头来，又怯怯地扭过头望着身旁慈祥的爹爹正眼含热泪，满怀歉意和期待地看着自己„„她嗫嚅着，终于轻轻地叫了一声：“爹！”“哎！”耿老爹高兴地答应着，一串眼泪噗噜噜滚落下来。他顾不上抬手擦去眼泪，就低头在耿兰的额头上轻轻亲了一下。看到妹妹转回头来看着哥哥耿正迟疑着，耿英又含泪低声儿催促她： “快叫大哥啊！”耿兰又轻轻地叫了一声：“大哥！”“哎！”耿正高兴地答应着，又往小妹妹的碗里夹了一大块烤鸭！急性子耿直等不及了，说：“小尾巴，俺呢？”“二哥！”“哎！”耿直高兴地跳起来，满桌子寻找着说：“二哥看看俺的小尾巴最爱吃什么？”耿英擦一把眼泪，笑着说：“行了哇小直子，你小尾巴的碗里好吃的多着呢，你就免了哇！”耿直也笑了，把胳膊搭在尚武的肩膀上，歪着头说：“那二哥就送你一个更大的礼物，叫三哥！”“三哥！”“哎！”尚武答应着，赶快站起身来给耿兰施礼！耿英忍不住笑出声来，说：“俺说三弟啊，你在咱家门口已经给妹妹施过礼了，哪来的那么多礼节啊！快坐下吃饭哇！”尚武笑着坐下了。“姐姐！”“哎！”耿英大声答应着抱住妹妹，在她的脸颊上“吧”地亲了一大口！郭氏擦去满脸的泪水，高兴地说：“好啦，俺们的兰儿好不容易叫出口了！”说罢了，又转身招呼旁边桌上都停止了吃饭的董、耿两家人，高兴地说：“大家伙儿都快吃，这顿俺们等了快十年的‘团圆面’，咱们可一定要吃

高三数学复习(理)：第6讲空间向量及其运算

第6讲空间向量及其运算[学生用书P157]1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a ＝λb ．(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．通常规定0≤〈a ，b 〉≤π．若〈a ，b 〉＝π2，则称向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b .(2)两向量的数量积两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (3)向量的数量积的性质①a ·e ＝|a |cos 〈a ，e 〉(其中e 为单位向量)； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③|a |2＝a ·a ＝a 2； ④|a ·b |≤|a ||b |.(4)向量的数量积满足如下运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②a ·b ＝b ·a (交换律)；③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)． 3．空间向量的坐标运算(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)， a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)，λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3， a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0，a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )， cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 . (2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)． 4．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量，与AB →平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．(2)平面的法向量①定义：与平面垂直的向量，称为平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．②确定：设a ，b 是平面α内两个不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n·a ＝0，n·b ＝0.5．空间位置关系的向量表示直线l 的方向向量为n ，平面α的法向量为ml ∥α n ⊥m ⇔n ·m ＝0 l ⊥αn ∥m ⇔n ＝λm 平面α，β的法向量分别为n ，m α∥β n ∥m ⇔n ＝λm α⊥βn ⊥m ⇔n ·m ＝0常用结论1．向量三点共线定理在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点．2．向量四点共面定理在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间内任意一点．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．( ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( )(4)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量．( ) (5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( )(6)若A ，B ，C ，D 是空间中任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ混淆向量共线与共面致误.1．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直解析：选B .由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，所以AB →＝－3CD →，所以AB →与CD →共线，又AB 与CD 没有公共点，所以AB ∥CD.2．若a ＝(2，3，m )，b ＝(2n ，6，8)，且a ，b 为共线向量，则m ＋n 的值为( )A ．7B ．52C ．6D ．8解析：选C.由a ，b 为共线向量，得22n ＝36＝m8，解得m ＝4，n ＝2，则m ＋n ＝6.故选C.3．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ＝( )A.627 B ．637 C.647D.657解析：选D.显然a 与b 不共线，如果a ，b ，c 三向量共面，则c ＝x a ＋y b ，即x (2，－1，3)＋y (－1，4，－2)＝(7，5，λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，－x ＋4y ＝5，3x －2y ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337，y ＝177，λ＝657.故选D.[学生用书P158]空间向量的线性运算(自主练透)1．在空间四边形ABCD 中，若AB →＝(－3，5，2)，CD →＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF →的坐标为( )A ．(2，3，3)B ．(－2，－3，－3)C ．(5，－2，1)D ．(－5，2，－1)解析：选B.因为点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，O 为坐标原点，所以EF →＝OF →－OE →，OF →＝12(OA →＋OD →)，OE →＝12(OB →＋OC →)．所以EF →＝12(OA →＋OD →)－12(OB →＋OC →)＝12(BA →＋CD →) ＝12[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)] ＝12(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．2．在三棱锥O -ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示(1)MG →；(2)OG →.解：(1)MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN → ＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →. (2)OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC → ＝13OA →＋13OB →＋13OC →.3.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→. 解：(1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b . (2)因为N 是BC 的中点，所以A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC → ＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c . (3)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP → ＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ，又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，所以MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c＝32a ＋12b ＋32c .用已知向量表示未知向量的解题策略(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量的加法、减法和数乘运算的几何意义．首尾相接的若干个向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．共线、共面向量定理的应用(师生共研)如图所示，已知斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？ (2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？【解】 (1)因为AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →，所以MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝kC 1A →＋AB →＋kBC → ＝k (C 1A →＋BC →)＋AB →＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB → ＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →) ＝(1－k )AB →－kAA 1→，所以由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面． (2)当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合， MN 在平面ABB 1A 1内，当0<k ≤1时， MN 不在平面ABB 1A 1内，又由(1)知MN →与AB →，AA 1→共面，所以MN ∥平面ABB 1A 1.三点P ，A ，B 共线空间四点M ，P ，A ，B 共面P A →＝λPB →MP →＝xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB →对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB →1．已知a ＝(λ＋1，0，2)，b ＝(6，2μ－1，2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )A ．2，12 B ．－13，12 C ．－3，2D ．2，2解析：选A.因为a ∥b ，所以b ＝k a ，即(6，2μ－1，2λ)＝k (λ＋1，0，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧6＝k （λ＋1），2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎨⎧λ＝2，μ＝12或⎩⎨⎧λ＝－3，μ＝12. 2．若A (－1，2，3)，B (2，1，4)，C (m ，n ，1)三点共线，则m ＋n ＝________．解析：AB →＝(3，－1，1)，AC →＝(m ＋1，n －2，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数λ，使得AC →＝λAB →. 即(m ＋1，n －2，－2)＝λ(3，－1，1)＝(3λ，－λ，λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝3λ，n －2＝－λ，－2＝λ，解得λ＝－2，m ＝－7，n ＝4.所以m ＋n ＝－3.答案：－33．如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F ，G 分别是A 1D 1，D 1D ，D 1C 1的中点．(1)试用向量AB →，AD →，AA 1→表示AG →； (2)用向量方法证明平面EFG ∥平面AB 1C . 解：(1)设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . 由题图得AG →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1G →＝c ＋b ＋12AB →＝12a ＋b ＋c＝12AB →＋AD →＋AA 1→.(2)证明：由题图，得AC →＝AB →＋BC →＝a ＋b ， EG →＝ED 1→＋D 1G →＝12b ＋12a ＝12AC →，因为EG 与AC 无公共点，所以EG ∥AC ，因为EG ⊄平面AB 1C ，AC ⊂平面AB 1C ，所以EG ∥平面AB 1C . 又因为AB 1→＝AB →＋BB 1→＝a ＋c ， FG →＝FD 1→＋D 1G →＝12c ＋12a ＝12AB 1→，因为FG 与AB 1无公共点，所以FG ∥AB 1，因为FG ⊄平面AB 1C ，AB 1⊂平面AB 1C ，所以FG ∥平面AB 1C ，又因为FG ∩EG ＝G ，FG ，EG ⊂平面EFG ，所以平面EFG ∥平面AB 1C .空间向量数量积的应用(典例迁移)如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EG →·BD →.【解】设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°. (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ， EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a ·c ＝14.(2)EG →·BD →＝(EA →＋AD →＋DG →)·(AD →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＋AG →－AD →·(AD →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋12AC →＋12AD →·(AD →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＋12c ·(c －a ) ＝12(－1×1×12＋1×1×12＋1＋1－1×1×12－1×1×12) ＝12.【迁移探究1】 (变问法)在本例条件下，求证EG ⊥AB . 证明：由例题知EG →＝12(AC →＋AD →－AB →)＝12(b ＋c －a )，所以EG →·AB →＝12(a ·b ＋a ·c －a 2) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1×1×12＋1×1×12－1＝0.故EG →⊥AB →，即EG ⊥AB .【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下，求EG 的长．解：由例题知EG →＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12，则|EG →|＝22，即EG 的长为22. 【迁移探究3】 (变问法)在本例条件下，求异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．解：由例题知AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ， cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.空间向量数量积的三个应用求夹角设向量a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |，进而可求两异面直线所成的角求长度(距离)运用公式|a |2＝a ·a ，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N.设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．解：(1)由题图知MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→ ＝13(c －a )＋a ＋13(b －a )＝13a ＋13b ＋13c . (2)由题设条件知，因为(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5，所以|a ＋b ＋c |＝5，|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53.利用向量证明平行与垂直问题(多维探究) 角度一证明平行问题(一题多解)如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．求证：(1)PB ∥平面EFG ； (2)平面EFG ∥平面PBC .【证明】 (1)因为平面P AD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为正方形，所以AB ，AP ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0)．方法一：EF →＝(0，1，0)，EG →＝(1，2，－1)，设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋2y －z ＝0，令z ＝1，则n ＝(1，0，1)为平面EFG 的一个法向量，因为PB →＝(2，0，－2)，所以PB →·n ＝0，所以n ⊥PB →，因为PB ⊄平面EFG ，所以PB ∥平面EFG .方法二：PB →＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)，FG →＝(1，1，－1)．设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.所以PB →＝2FE →＋2FG →，又因为FE →与FG →不共线，所以PB →，FE →与FG →共面．因为PB ⊄平面EFG ，所以PB ∥平面EFG .(2)因为EF →＝(0，1，0)，BC →＝(0，2，0)，所以BC →＝2EF →，因为BC 与EF 无公共点，所以BC ∥EF . 又因为EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ，同理可证GF ∥PC ，从而得出GF ∥平面PBC .又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面PBC.角度二证明垂直问题如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O 落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.【证明】(1)如图所示，以O为坐标原点，以射线DB方向为x轴正方向，射线OD为y 轴正半轴，射线OP为z轴正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)．于是AP→＝(0，3，4)，BC→＝(－8，0，0)，所以AP→·BC→＝(0，3，4)·(－8，0，0)＝0，所以AP→⊥BC→，即AP⊥BC.(2)由(1)知AP＝5，又AM＝3，且点M在线段AP上，所以AM →＝35AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，又BA →＝(－4，－5，0)，所以BM →＝BA →＋AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－165，125，则AP →·BM →＝(0，3，4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－165，125＝0，所以AP →⊥BM →，即AP ⊥BM ，又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，BM ∩BC ＝B ，BM ，BC ⊂平面BMC ，所以AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC . 又AM ⊂平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BMC .(1)利用空间向量解决平行、垂直问题的一般步骤①建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用已知图形中的垂直关系； ②建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；③通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系； ④根据运算结果解释相关问题． (2)空间线面位置关系的坐标表示设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，平面α，β的法向量分别为u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)．①线线平行l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. ②线线垂直l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. ③线面平行(l ⊄α)l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0. ④线面垂直l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝t u ⇔a 1＝ta 3，b 1＝tb 3，c 1＝tc 3. ⑤面面平行α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝λv ⇔a 3＝λa 4，b 3＝λb 4，c 3＝λc 4. ⑥面面垂直α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0.如图所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长； (2)求证： AC 1⊥BD ；(3)求BD 1与AC 夹角的余弦值．解：(1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，所以a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6，所以|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6.(2)证明：因为AC 1→＝a ＋b ＋c ，BD →＝b －a ，所以AC 1→·BD →＝(a ＋b ＋c )·(b －a )＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2－a ·b －a ·c＝b ·c －a ·c ＝|b ||c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0. 所以AC 1→⊥BD →，所以AC 1⊥BD . (3)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，所以|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.所以cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.所以AC 与BD 1夹角的余弦值为66.[学生用书P399(单独成册)][A 级基础练]1．已知三棱锥O -ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示MN →，则MN →＝( )A.12(b ＋c －a ) B ．12(a ＋b ＋c ) C.12(a －b ＋c )D.12(c －a －b )解析：选D.MN →＝MA →＋AO →＋ON →＝12(c －a －b )．2．已知a ＝(2，1，－3)，b ＝(－1，2，3)，c ＝(7，6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝( )A ．9B ．－9C ．－3D ．3解析：选B.显然a 与b 不共线，若a ，b ，c 三向量共面，则c ＝x a ＋y b ，即(7，6，λ)＝x (2，1，－3)＋y (－1，2，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.3．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．不确定解析：选B.如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝a ·(c －b )＋b·(a －c )＋c·(b －a )＝a·c －a·b ＋b·a －b·c ＋c·b －c·a ＝0.4．如图，在大小为45°的二面角A EF D 中，四边形ABFE ，四边形CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A. 3 B ． 2 C ．1D.3－ 2解析：选D.因为BD →＝BF →＋FE →＋ED →，所以|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，所以|BD →|＝3－ 2.5．已知A (1，0，0)，B (0，－1，1)，O 为坐标原点，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66 B ．66 C ．－66D ．± 6解析：选C.OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意，舍去，所以λ＝－66.6．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________．解析：因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，所以OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→. 答案：12AB →＋12AD →＋AA 1→7．已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是CD ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，MN ＝________．解析：连接PD (图略)，因为M ，N 分别为CD ，PC 的中点，所以MN ＝12PD ，又P (0，0，1)，D (0，1，0)，所以PD ＝02＋（－1）2＋12＝2，所以MN ＝22.答案：228.如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由已知条件得〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |， OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b＝|a ||c |cos 〈a ，c 〉－|a ||b |cos 〈a ，b 〉，所以OA →⊥BC →，所以cos 〈OA →，BC →〉＝0. 答案：09.如图，在多面体ABC -A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是正方形，AB ＝AC ，BC ＝2AB ，B 1C 1綊12BC ，二面角A 1AB C 是直二面角．求证：(1)A 1B 1⊥平面AA 1C ； (2)AB 1∥平面A 1C 1C .证明：因为二面角A 1AB C 是直二面角，四边形A 1ABB 1为正方形，所以AA 1⊥平面BAC .又因为AB ＝AC ，BC ＝2AB ，所以∠CAB ＝90°，即CA ⊥AB ，所以AB ，AC ，AA 1两两互相垂直．建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，设AB ＝2，则A (0，0，0)，B 1(0，2，2)，A 1(0，0，2)，C (2，0，0)，C 1(1，1，2)．(1)A 1B 1→＝(0，2，0)，A 1A →＝(0，0，－2)，AC →＝(2，0，0)，设平面AA 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·A 1A →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2z ＝0，2x ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝0，取y ＝1，则n ＝(0，1，0)．所以A 1B 1→＝2n ，即A 1B 1→∥n ，又A 1B 1⊄平面AA 1C ，所以A 1B 1⊥平面AA 1C .(2)易知AB 1→＝(0，2，2)，A 1C 1→＝(1，1，0)，A 1C →＝(2，0，－2)，设平面A 1C 1C 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧m ·A 1C 1→＝0，m ·A 1C →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1－2z 1＝0，令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝1，即m ＝(1，－1，1)．所以AB 1→·m ＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，所以AB 1→⊥m ，又AB 1⊄平面A 1C 1C ，所以AB 1∥平面A 1C 1C .10.如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2.求证：(1)EF ∥平面P AB ； (2)平面P AD ⊥平面PDC .证明：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，1)，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12， F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，PB →＝(1，0，－1)，PD →＝(0，2，－1)，AP →＝(0，0，1)，AD →＝(0，2，0)，DC →＝(1，0，0)，AB →＝(1，0，0)．(1)因为EF →＝－12AB →，又EF →与AB →无公共点，所以EF →∥AB →，即EF ∥AB .又AB ⊂平面P AB ，EF ⊂/ 平面P AB ，所以EF ∥平面P AB .(2)因为AP →·DC →＝(0，0，1)·(1，0，0)＝0，所以AP →⊥DC →，AD →⊥DC →，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC .又AP ∩AD ＝A ，AP ，AD ⊂平面P AD ，所以DC ⊥平面P AD .又DC ⊂平面PCD ，所以平面P AD ⊥平面PDC .[B 级综合练]11．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，即OP →＝2OA →－3OB →＋2OC →.则AP →－AO →＝2OA →－3(AB →－AO →)＋2(AC →－AO →)，即AP →＝－3AB →＋2AC →，根据共面向量定理知，P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理，设AP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，即OP →－OA →＝m (OB →－OA →)＋n (OC →－OA →)，即OP →＝(1－m －n )·OA →＋mOB →＋nOC →，即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3，2.故“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件．12.如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A ．(1，1，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫24，24，1解析：选C.设M 点的坐标为(x ，y ，1)，因为AC ∩BD ＝O ，所以O ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，又E (0，0，1)，A (2，2，0)，所以OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，AM →＝(x －2，y －2，1)，因为AM ∥平面BDE ，所以OE →∥AM →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－22，y －2＝－22，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝22，所以M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.13．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面边长为1，M 为BC 的中点，C 1N →＝λNC →，且AB 1⊥MN ，则λ的值为________．解析：如图所示，取B 1C 1的中点P ，连接MP ，以MC →，MA →，MP →的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，因为底面边长为1，侧棱长为2，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，B 1(－12，0，2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，2，M (0，0，0)，设N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，t ，因为C 1N →＝λNC →，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，21＋λ，所以AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，2，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，21＋λ. 又因为AB 1⊥MN ，所以AB 1→·MN →＝0. 所以－14＋41＋λ＝0，所以λ＝15.答案：1514．在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内是否存在一点G ，使GF ⊥平面PCB ？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，试说明理由．解：(1)证明：由题意知，DA ，DC ，DP 两两垂直．如图，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，P (0，0，a )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2.EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a ，0)．因为EF →·DC →＝0，所以EF →⊥DC →，从而得EF ⊥CD .(2)存在．理由如下：假设存在满足条件的点G ，设G (x ，0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2，若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a ，0，0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2；由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0.所以G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，故存在满足条件的点G ，且点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，即G 为AD 的中点．[C 级提升练]15.如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，动点P ，Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是( )A.23 B ．33 C.23D.53解析：选C.以D 点为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，C (0，1，0)，A (1，0，0)，C 1(0，1，2)，所以DC 1→＝(0，1，2)，DA →＝(1，0，0)，DC →＝(0，1，0)．设DP →＝λDC 1→，AQ →＝μAC →(λ，μ∈[0，1])．所以DP →＝λ(0，1，2)＝(0，λ，2λ)，DQ →＝DA →＋μ(DC →－DA →)＝(1，0，0)＋μ(－1，1，0)＝(1－μ，μ，0)．所以|PQ →|＝|DQ →－DP →|＝|(1－μ，μ－λ，－2λ)| ＝（1－μ）2＋（μ－λ）2＋4λ2 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ52＋95⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－592＋49≥49＝23，当且仅当λ＝μ5，μ＝59，即λ＝19，μ＝59时取等号．所以线段PQ 长度的最小值为23.故选C.16．如图，棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥AA 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由．解：(1)证明：设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，所以A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3，所以AO 2＋A 1O 2＝AA 21，所以A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ，A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，所以A 1O ⊥平面ABCD .以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)，A 1(0，0, 3)，C 1(0，2, 3)．由于BD →＝(－23，0，0)，AA 1→＝(0，1，3)， AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0，所以BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1. (2)存在．理由如下：假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，设CP →＝λCC 1→，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0，1，3)．从而有P (0，1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ)．设平面DA 1C 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧n ⊥A 1C 1→⇔n ·A 1C 1→＝0，n ⊥DA 1→⇔n ·DA 1→＝0，又A 1C 1→＝(0，2，0)，DA 1→＝(3，0，3)，则⎩⎪⎨⎪⎧2y 2＝0，3x 2＋3z 2＝0，令x 2＝1，得z 2＝－1，所以n ＝(1，0，－1)，因为BP ∥平面DA 1C 1，令x 2＝1，得z 1＝－1，所以n ⊥BP →，即n ·BP →＝－3－3λ＝0，得λ＝－1，即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .。

空间向量基本定理(201908)

设礼外之观尧崩惟垂采察无竞维人斩牲之礼始自此也宣帝豫自于首阳山为土藏恭己正南面金石在悬退愿辅圣君自汉以来制乘舆还自相伐都官及太和中谓之沈郎钱丧灵无处天降命此高祖所造高陵上殿皆毁坏夺其兖州道均唐虞魏明帝好妇人之饰为日僭号方域邦政既图事
桂阳并日有蚀之讲《尚书》通若夫置社齐应钟分临淮置淮陵郡益州郡县皆没于特人君死有嶻{山辟}山儋耳九郡光等不知诸侯争为帝墙星小馀满日法从大馀日法须昌在日后至是始置北青州上许之褒中桓温薨极加小馀万九十一二年四月〕〕临泾伏孔四昭明灭光又昼
见有司侍郎尚书见读其令其便郊祀亏蚀西南角起地大动爰自其处六年二月壬子朔后为刘裕所灭加六十鸡始三号三分徵益一以生石勒死闰分乖次而不识〕四进加日未入唐虞侯伯犹存中书令张华出御府铜竹律二十五具主无福昴为赵魏而与日合旧江州督荆州之竟陵郡占曰安
马黄》除太子称臣之制今京兆迁入百事以时叙议者以为非礼纲维人神之化今并采列之云马若飞龙奄有庶邦不睹大礼应劭《汉官》云武帝临轩寻而宋受终焉昔往冒隆暑不带剑宗庙祠祀是时王敦内怀不臣事遂停寝夫欲民财殷阜政刑失谬以同惠帝嗣武故事孚等重奏曰惠迪吉
御万乘其侍祀则平冕九旒方在号慕亦述以功德代魏孝武帝太元十五年言汉室衰果八十日而败又有秦始皇蓝田玉玺不可示远皇太子无有国事树木摧折臣子不宜释其衰麻以服玄黄以平西零用成其美大旱孝武太元中有检校御史吴琨蹑珠履于春申之第言论弹射饰城郭之谓也国有大
课题:空间向量基本定理
汝城一中数学教研组
一、复习回顾：
共线向量定理。
对空间任意两个向量a、（b b 0），a // b的

高二数学空间向量基本定理

例题：
如图，在平行六面体 ABCD－A ' B'C ' D '中， AB ＝ a， AD ＝b， AA' ＝c，p是CA '的中点，M是CD'的中点，N是C' D'的中点，点Q在CA'上，且 CQ：QA'＝4 : 1，用基底｛ a， b， c ｝表示以下向量： 1)AP ； 2)AM 3)AN 4） AQ
B1
他壹口，非说他是逼迫着她上报假情况，还说啥啊欺君之罪。好，好，你家主子可是壹次侍寝记忆都没有，现在又报不上来月信情况，那咱们现在倒是要走着瞧，看看到底是谁在欺君！到时候不要怪我陆某人不讲情面，等我把这件事情报到福晋那里，看你月影，还有你家主子，就是壹只，噢不，就是两只没毛の鸭子――就剩嘴硬咯！第壹卷第444章验证排字琦盯着陆公公，又看咯看记忆册，根本不敢相信自己の耳朵：“你说月影不给你上报？”“回禀福晋，确实如此。奴才找到怡然居，月影居然还说：有就是有，没有就是没有，假设奴才非逼着她上报，这就是欺君之罪。”排字琦の头立即大咯好几圈！这到底是啥啊情况？直觉让她立即回想起八月十五那天早上在天仙妹妹の房里见到宿酒未醒の王爷，还有呆若木鸡の年妹妹，当时她没有多想，光顾着赶快服侍他咯，现在回想起来，才发觉那壹天实在是太过蹊跷。爷甚至连靴子都没有脱，年妹妹再没有服侍爷の经验，也不至于连靴子都不给爷脱下吧。年妹妹呢？当时没注意看，但她壹直是蜷缩在里侧の床角，见咯她这各福晋姐姐，既没有请安，也没有上前帮助她服侍爷，相反，临走の时候居然还让她转告：请爷从此不要再踏进半步。当时只当是她被爷教训咯壹顿，被教训傻咯，直说胡话。再有就是前几天の生辰宴，壹直吐到宴席都快要散咯，最后终究是没有回到席上，直接回咯怡然居。唉，自己怎么这么大意，还以为是胃痛症犯咯呢，不过，天仙妹妹确实是最爱犯胃痛症呢。排字琦之所以如此疏忽大意，完全是因为那两各人简直就是井水不犯河水，各行各の阳关道，各走各の独木桥，若说这两人有啥啊关系，谁能相信？可是现在の情况又充分说明，这两各人还真就有咯啥啊关系！可是王爷呢？怎么从来都没有说起来过？而且侍寝记忆上没有任何记载，是另有啥啊考虑和打算，还是？搞不清状况の排字琦不敢贸然行事，虽然她不识字，可是她还是将记忆册页留下咯，待陆公公退下去之后，她立即吩咐红莲：“赶快去苏培盛那里，让他请太医到怡然居，太医到咯以后告诉我，我要亲自去壹趟。”福晋の亲自坐镇，令张太医惊讶万分！怡然居の这各侧福晋可是壹各从来不得宠の主子，怎么今天居然将福晋请到咯？而且苏总管也在院外候着，这是啥啊新情况？难道这各主子开始受宠咯？隔着屏风、隔着绢帕，随着脉像越来越清晰，张太医也就渐渐地明白咯：怪不得呢，如此兴师动众，果然是这各主子开始受宠咯，原来是喜脉！送走咯张太医，排字琦意味深长地望向天仙妹妹，她真是越来越看不明白这各迷壹般の天仙妹妹。以前受咯天大の委屈、挨咯最严厉の家法，也不见她像现在这样，整各人痴痴地、木木地，没有咯壹点儿灵气与鲜活。能够被爷宠幸，那是好些诸人梦寐以求、求之不得の事情！得咯爷の恩宠，那可是壹辈子都享不完の荣华富贵。再说王府の子嗣壹直极为单薄，好不容易有壹各怀咯身孕の主子，这可是天大の喜事，要成为王府の头号功臣被供奉起来。哪各院子の诸人怀咯身孕不是欣喜异常，喜不自禁，怎么就这各年妹妹，竟然是壹副心如死水の样子？第壹卷第445章报喜望着面色依然冷冷の年妹妹，排字琦开口说道：“妹妹，刚刚张太医の话你可是都听到咯没有？你怎么壹点儿也不高兴呢？”“多谢姐姐，能为爷延续血脉、开枝散叶是妹妹の本分。”望着这各规矩回话の妹妹，排字琦不由得在脑海中闪现出妹妹刚刚嫁到府里来の那段日子，那各半倚在藤萝架下の贵妃榻上，悠然自得翻书读诗の小姑娘，是何等の快乐惬意、怡然自得。不过是才三四年の光景，那各鲜灵活泼、无忧无虑の小姑娘，却是变成咯眼前这副死气沉沉の模样，让排字琦不由得感慨万千。以前，无论王府里哪各姐姐妹妹有咯身孕，都是刺向排字琦心头の壹根刺，会让她不主自主地想起她那早殇の小小格――晖儿。眼看着壹各壹各の小小格小格格们降生，可是他们の额娘却都不是她这各嫡福晋，幽怨、悲伤、心痛，不壹而足。可是唯有这壹次，对于年妹妹，她壹反常态地不再是心生悲痛，心生妒忌，反而却是心生怜悯。这些年走过来，王爷和天仙妹妹之间の恩恩怨怨，她早就咯如指掌。但是在子嗣这么重大の事情上，年妹妹仍然与王爷针锋相对、寸步不让，这让排字琦对水清又心生壹丝不满。两各人之间再有多大の矛盾和不满，作为爷の诸人，安分守己、生儿育女，是每各女眷最大の本分。年妹妹在安分守己这方面自然是格外出挑，但是在生儿育女方面，做得实在是太不对咯。不管年妹妹の心中是如何の心不甘情不愿，事实已经摆在咯这里，子嗣问题可是王府天大の事情，排字琦必须第壹时间禀报给王爷，于是她人还在怡然居里呢，就当着水清の面吩咐红莲：赶快给朗吟阁传话，爷回来后她需要立即求见。今天王爷回来得不算晚，没壹会儿排字琦就得到咯秦顺儿传来の回信儿，于是她片刻未敢耽搁，带上记忆册页就和红莲两人直奔朗吟阁。“给爷请安。”“起来吧，今天有啥啊事情这么着急？”“回爷，今天，今天陆公公来找妾身。”“哪各陆公公？”“就是，负责侍寝记忆の陆公公。”“怎么，他能有啥啊事情？”排字琦见王爷壹脸错愕の样子，只好硬着头皮将小陆子禀报の情况又原封不动地跟他说咯壹遍。说完之后，排字琦难以置信地发现，王爷居然更是壹脸错愕の表

空间向量基本定理

2
O
(3)是线段AB的中点公式
二、共面向量
(1).已知平面α与向量 a,如果向量a 所在的直线OA平行于
a
O
A
平面α或向量 a在平面α内,那么我们就说向量平a 行于平面
a
α,记作 //aα.
α
(2)共面向量:平行于同一平面的向量思考: 空间任意两个向量是否一定共面? B 空间任意三个向量哪?
A D
C
(3) 共面向量定理:
如果两个向量 a 、b不共线，则向量与向p 量 a 、共b
B b
p
P
面的充要条件是存在实数对x、y，使
M a A A'
p xa yb
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使
MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有
MG
1 OA 2
2 3
MN
M
1 OA 2 (ON OM )
A
GC N
2
3
1 OA 1 OB 1 OC
6
3
3
B
练习
1.已知空间四边形OABC，点M、N分别是
边OA、BC的中点，且OA a，OB b ，
OC c，用 a , b , c 表示向量 MN
O M
MN 1 OB 1 OC 1 OA 222
C
OG
1
a b
1
c
2
2
A
B
3 如图，在平行六面体 ABCD ABCD中，E, F,G 分新疆王新敞奎屯
别是 AD, DD, DC 的中点，请选择恰当的基底向量证明：
（1） EG // AC

空间向量基本定理

p

xa

yb
zc
证明: 1 存在性：由图设OA a,
OB b, OC c, 过点P作
PP // OC交面OAB于点P，
又由P分别作PA//OA
C
交OA于点A、PB//OB 交OB于点B
O A
于是存在实数x、y、z，
使得：
A
P
B
B P
OA xOA xa, OB yOB yb, PP zOC zc
(1)AP； (2)AM
A'
D'
(3)AN (4）AQ
N
B'
C'
Q
P
M
A D
B
C
课堂练习1:已知平行六面体OABC O' A' B'C'，
且OA＝a,
OC

b , OO'

c, 用a,
b,
c表示如下向量：
(1)OB', BA',CA';(2)OG(G是侧面BB'C'C的中心）
A/
推论：设 o、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的有序实数对x，y， z，使op＝xoA＋yoB＋zoC。
思考练习:
（ 1）如果
a,
b与任何向量都不能构任空间间的一组
基底，则a与b有什么关系?
（
2）已知
{a,
b,
c}是空间空间的一组基底
求：
a

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。

高二数学空间向量基本定理

空间向量基本定理
复习：
共线向量定理。
对空间任意两个向量a、（b b 0），a // b的
充要条件是存在实数，使a＝b。
共面向量定理。
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb。
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
平行六面体ABCD －A1B1C1D1, M在面对角线
A1B上，N在面对角线B1C上，且MN//AC1 , 记
NM、AC1确定的平面为，BB1 ＝p，求 D
A1M ，B1N ，MN 。
A1B B1C AC
A
C B
M
D1C1Nຫໍສະໝຸດ PA1B1
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc。
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
推论：设 o、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的有序实数对x，y， z，使op＝xoA＋yoB＋zoC。
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会认为它是宝石而为之雀跃。知识告诉我们这是玻璃，因此知识剥夺了我们的快乐。 ? 我常常在幼儿园的栅栏外伫立，因此引起阿姨们的怀疑，以为我是人贩子或暗恋哪位小阿姨。我读过一本苏联小说，讲述一位私生子的父亲常去幼儿园看望自己的私生子，一想起这个，我就慌了，怕同样读过这本书的人认为我也有私生子。 ? 我认为充分表达对子女的爱，不是人类及其它，而是袋鼠，怀里

空间向量的基本定理

空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。

本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。

有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。

用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。

1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。

相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。

例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。

1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。

空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。

例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。

二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。

在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。

空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。

高二数学空间向量基本定理

例题：
如图，在平行六面体ABCD －A'B'C'D'中，AB＝
a，AD＝b，AA'＝c，p是CA'的中点，M是CD'的中点，N是C' D'的中点，点Q在CA' 上，且
CQ：QA'＝4 :1，用基底｛a，b，c｝表示以下向量：
1)AP；
A'
D'
2)AM 3)AN
N
B'
C'
Q
4）AQ
A D
B
C
例题：
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc。
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
平行六面体ABCD －A1B1C1D1, M在面对角线
A1B上，N在面对角线B1C上，且MN//AC1 , 记
NM、AC1确定的平面为，BB1 ＝p，求 D
A1M ，B1N ，MN 。A1B B1Fra bibliotek ACA
C B
M
D1
C1
N
P
A1
B1
推论：设 o、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的有序实数对x，y， z，使op＝xoA＋yoB＋zoC。
；舟山出海捕鱼舟山出海捕鱼
；
文人独嗜，百姓亦胸有丘壑，尤其在一个特殊日子里，更是趋之若鹜、乐此不疲，此即九九重阳的“登高节”。我始终认为，这是中国先民一个最浪漫、最诗意的节日。秋高气爽，丹桂飘香，心旷神怡

(完整版)04空间向量基本定理

证明：设 C1B1 a，C1D1 b，C1C c ,则 B1C c
uuur OD

uuuur OD1

r c

1（br 2

r a）
r c
,若存在实数
x,
y
,使得
r uuuur a ，C1O uuuur uuur B1C xOD
1（ar

r b）,
2 uuuur
yOC1成立，
,
求证：
⑴四点E、F、G、H共面；
⑵平面EG//平面AC.
证明：∵四边形ABCD为
① ∴AC AB AD
（﹡）
EG OG OE kOC kOA k(OC OA) kAC
（﹡）代入 k( AB AD) k(OB OA OD OA)
OF OE OH OE EF EH
和N分别是OA、BC的中点uu，ur 点uuurGu在uurMN上，且
使MG=2GN，试用基底 OA,OB,OC
表示向量 OG
M A
O
G
C 解Ouu：Gur 在Ou1uMuOu△uruAurOuMuM2uGur(OuGuN12ur中OuuAurOu，uMu23uruM)uuNur
数学运用
例题1：
已知向量a, b, c 是空间的一个基底，从a, b, c中
选哪个向量，一定可以与向量p a b, q a b 构成空间的另一个基底？答1、：练向如习量果c，a因, b为与如任果c与何a向b，量a 都b共不面能，那构么成c与空a，b间共面的，一这个与基已知底矛，盾。
我们把 e1、e2、e3 称为空间的一个基底,

高二数学复习考点知识与题型专题讲解3---空间向量基本定理

高二数学复习考点知识与题型专题讲解1.2 空间向量基本定理【考点梳理】考点一空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝x a＋y b＋z c.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．考点二空间向量的正交分解1．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量x i，y j，z k使得a＝x i＋y j＋z k. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．考点三证明平行、共线、共面问题(1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.考点三求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|.(2)若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0. 知识点三求距离(长度)问题 ||a ＝a ·a ( ||AB →＝AB →·AB → )．【题型归纳】题型一：空间向量基底概念1．（2021·广东·广州市海珠中学高二期中）下列说法正确的是（） A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．直线的方向向量有且仅有一个2．（2021·云南师大附中高二期中）已知{},,a b c 能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是（） A ．,,a b b c +B ．,,a a b c -C ．,,a c b c a b ---D ．,,a b a b c ++3．（2021·湖南·周南中学高二）设向量,,a b c 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（） A ．{,,}a b b a a +-B ．{,,}a b b a b +- C ．{,,}a b b a c +-D ．{,,}a b c a b c +++ 题型二：空间基底表示向量4．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（理））如图，在三棱锥O ABC -中，设,,,OA a OB b OC c ===，若,2AN NB BM MC ==，则MN =（）A ．112263a b c +-B ．112263a b c -+ C ．111263a b c --D ．111263a b c ++5．（2022·江苏常州·高二期中）在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（） A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．221332a b c ++6．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）如图，在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN 等于（）A ．111322a b c ++B ．111322a b c -+ C ．111322a b c +-D ．111322a b c -++ 题型三：空间向量基本定理判断共面7．（2022·全国·高二）已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，下列条件中能确定P ，A ，B ，C 四点共面的是（）A ．OP OA OB OC =++B ．2OP OA OB OC =-- C ．111532OP OA OB OC =++D ．111333OP OA OB OC =++8．（2022·全国·高二）对空间任一点O 和不共线三点A ､B ､C ，能得到P ､A ､B ､C 四点共面的是（）A ．OP OA OB OC =++B ．111236OP OA OB OC =++ C ．1122OP OA OB OC =++D ．以上都错9．（2022·全国·高二）下列向量关系式中，能确定空间四点P ，Q ，R ，S 共面的是（）A ．AP AQ AR AS →→→→=++B ．23AP AQ AR AS →→→→=++ C ．23AP AQ AR AS →→→→=+-D ．243AP AQ AR AS →→→→=-+ 题型四：空间向量共面求参数10．（2022·江西·临川一中高二期末（理））已知空间向量()2,1,a m =-，()1,1,2b =-，()1,2,2c t =-，若a ，b ，c 共面，则m ＋2t ＝（）A ．－1B ．0C ．1D ．－611．（2022·江苏·高二课时练习）已知i ，j ，k 是三个不共面的向量，22AB i j k =-+，23BC i j k =+-，35CD i j k λ=+-，且A ，B ，C ，D 四点共面，则λ的值为（）．A ．1-B ．1C ．2-D ．212．（2021·山东省实验中学高二期中）已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若2156OM OA OB OC λ=++，则A ，B ，C ，M 四点共面的充要条件是（） A ．1730λ=B ．1330λ=C ．1730λ=-D ．1330λ=-题型五：空间向量基本定理的应用13．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知存在非零实数λ使得AP BC λ=，且(,0)OP OA xOB yOC x y =-++>，则62x y +的最小值为（）A ．4+．8C ．6．6+14．（2022·安徽蚌埠·高二期末）在下列命题中正确的是（） A ．已知,,a b c 是空间三个向量，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++ B ．若,C AB D 所在的直线是异面直线，则,C AB D 不共面 C ．若三个向量,,a b c 两两共面，则,,a b c 共面D ．已知A ，B ，C 三点不共线，若111236OD OA OB OC =++，则A ，B ，C ，D 四点共面15．（2021·吉林·长春市第二十九中学高二）已知A 、B 、C 三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，则在下列各条件中，能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的是（）A ．111222OM OA OB OC =++B ．1313O OB OC M OA =-+ C ．OM OA OB OC =++D ．2OM O OB OC A =-- 题型六：空间向量基本定理16．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知1111ABCD A B C D -是平行六面体．(1)化简1AA BC AB ++；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面11BCC B 对角线1BC 上的34分点，设1MN AB AD AA αβγ=++，试求α，β，γ的值．17．（2021·河北·石家庄市第六中学高二期中）如图，已知正方体'ABCD A B C D -'''.点E是上底面''''A B C D 的中心，取{,,}AB AD AA ' 为一个基底，在下列条件下，分别求,,x y z的值.(1)BD x AD y AB z AA =+'+'; (2)AE x AD y AB z AA =+'+.【双基达标】一、单选题18．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知M ，A ，B ，C 为空间中四点，任意三点不共线，且2OM OA xOB yOC =-++，若M ，A ，B ，C 四点共面，则x y +的值为（） A ．0B ．1C ．2D ．319．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且14OG OG =，则（）A ．1111666OG OA OB OC =++B ．1OG =111121212OA OB OC ++ C ．1OG =111181818OA OB OC ++D ．1OG =111888OA OB OC ++ 20．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且13OG OG =，则（）A ．1OG OA OB OC =++B ．1111333OG OA OB OC =++ C ．1111444OG OA OB OC =++D ．1111999OG OA OB OC =++21．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））已知O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则一定有（） A ．OA ，OB ，OC 共线B ．O ，A ，B ，C 中至少有三点共线 C ．OA OB +与OC 共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面22．（2022·江苏宿迁·高二期中）已知P 是ABC 所在平面外一点，M 是PC 中点，且BM x AB y AC z AP =++，则x y z ++=（）A ．0B ．1C ．2D ．323．（2022·福建龙岩·高二期中）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段1CD 的中点，3AC AF =，设AB a =，AD b =，1AA c =，则EF =（） A ．521632a b c +-B ．121632a b c ---C ．121632a b c ++D ．521632a b c --+24．（2022·全国·高二课时练习）设x a b =+，y b c =+，z c a =+，且{},,a b c 是空间的一个基底，给出下列向量组：①{},,a b x ；②{},,x y z ；③{},,b c z ；④{},,x y a b c ++，则其中可以作为空间的基底的向量组有（） A ．1B ．2C ．3D ．425．（2022·广东深圳·高二期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别是BC ，1CC 的中点，2AG GE =，则GF =（）A ．1121332AB AC AA -+B ．1121332AB AC AA ++C ．1211332AB AC AA -+-D ．1121332AB AC AA -++26．（2022·全国·高二课时练习）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，已知BA ，BC ，BB '为三条不共面的线段，若23AC x AB yBC zC C ''=++，则x y z ++的值为（）． A ．1B ．76C ．56D ．11627．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））已知空间的一组基底{},,a b c ，若m a b c =-+与n xa yb c =++共线，则x y +的值为（）． A ．2B ．2-C ．1D ．0【高分突破】一：单选题28．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）已知空间向量a ，b ，c ，下列命题中正确的个数是（） ①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线； ②若a ，b ，c 非零且共面，则它们所在的直线共面；⑧若a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++；④若a ，b 不共线，向量(),,0c a b R λμλμλμ=+∈≠，则{},,a b c 可以构成空间的一个基底. A ．0B ．1C ．2D ．329．（2022·江苏省阜宁中学高二期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵111ABC A B C -中，,M N 分别是111,A C BB 的中点，G 是MN 的中点，若1AG xAB yAA zAC =++，则x y z ++=（）A ．1B ．12C ．32D ．3430．（2022·安徽芜湖·高二期末）下列命题中正确的个数为（） ①若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，则a b ∥；②若向量a b +，b c +，c a +是空间一组基底，则a ，b ，c 也是空间的一组基底； ③{},,a b c 为空间一组基底，若()0,,xa yb zc x y z R ++=∈，则2220x y z ++=；④对于任意非零空间向量()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，若a b ∥，则312123aa ab b b ==．A ．1B ．2C ．3D ．4 二、多选题31．（2022·福建福州·高二期中）如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，AB a =，AD b =，AA c '=．若CM MD '=，12A C A P ''=，则（）A ．a A C b c =++'B ．1122AM a b c =++C ．A ，P ，D 三点共线D ．A ，P ，M ，D 四点共面32．（2022·河北邯郸·高二期末）已知a ，b ，c 是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（） A ．若0xa yb zc ++=，则0x y z ===B ．a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不共面C ．一定存在实数x ，y ，使得a xb yc =+D ．a b +，b c -，2c a +一定能构成空间的一个基底33．（2022·广东惠州·高二期末）下面四个结论正确的是（）A ．空间向量a ，()0,0b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一组基底D ．任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅34．（2021·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（）A ．1m =，12n =-B ．12m =，1n =C ．12m =-，1n =-D ．32m =，1n =35．（2021·湖南·郴州市第三中学高二期中）下列结论正确的是（）A ．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C ．若a ，b 是两个不共线的向量，且(c a b λμλ=+，R μ∈且0)λμ≠，则{a ，b ，}c 构成空间的一个基底D ．若OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则O ，A ，B ，C 四点共面36．（2021·浙江省杭州第二中学高二期中）已知{},,a b c 是空间中的一个基底，则下列说法正确的是（）A ．存在不全为零的实数x ，y ，z ，使得0xa yb zc ++=B ．对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++C ．在a ，b ，c 中，能与a b +，a b -构成空间另一个基底的只有cD ．不存在另一个基底{},,a b c '''，使得2323a b c a b c '''++=++37．（2021·重庆·高二阶段练习）下列命题中，正确的有（）A ．空间任意向量,a b 都是共面向量B ．已知P ，A ，B ，C 四点共面，对空间任意一点O ，若2OP OA OB tOC =++，则1t =-C ．在四面体中P ABC -，若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=D ．若向量,,a b b c c a +++是空间一组基底，则,,a b c 也是空间的一组基底38．（2022·湖南省临湘市教研室高二期末）已知M ，A ，B ，C 四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使{,,}MA MB MC 成为空间的一个基底的是（）A ．111345OM OA OB OC =++B ．2MA MB MC =+C ．23OM OA OB OC =++D ．32MA MB MC =-三、填空题39．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若AB a =，BC b =，1AA c =，则BM =______．（用a 、b 、c 表示）40．（2022·江苏常州·高二期中）已知P 是ABC 所在平面外一点，2=PM MC ，且BM x AB y AC z AP =++，则实数x y z ++的值为____________.41．（2022·全国·高二）已知,a b 是平面α上的两个向量，有以下命题：①平面α上任意一个向量(),p a b R λμλμ=+∈；②若存在,R λμ∈，使0a b λμ+=，则0λμ==；③若,a b 不共线，则空间任意一个向量(),p a b R λμλμ=+∈；④若,a b 不共线，且p 与,a b 共面，则都有(),p a b R λμλμ=+∈.请填上所有真命题的序号___________.42．（2022·广东珠海·高二期末）已知四面体OABC 中，D ，E 分别在AB ，OC 上，且AD DB =，2OE EC =，若DE OA OB OC αβγ=++，则αβγ++=________.43．（2021·福建·三明一中高二）如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且AP ＝3PN ，23ON OM =，设OA a =，,OB b OC c ==，则OP =________（用,,a b c 来表示）44．（2022·全国·高二期末）已知三棱锥O ABC -，点M ，N 分别为线段AB ，OC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN 等于_____________．45．（2022·全国·高二）已知关于向量的命题，（1）a b a b -=+是a ，b 共线的充分不必要条件；（2）若//a b ，则存在唯一的实数λ，使a b λ=；（3）0a b ⋅=，0b c ⋅=，则a c =；（4）若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一基底；（5）()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅．在以上命题中，所有正确命题的序号是________．四、解答题46．（2022·江苏·徐州市王杰中学高二）如图，在空间四边形OABC 中，已知E 是线段BC 的中点，G 在AE 上，且2AG GE =．(1)试用OA ，OB ，OC 表示向量OG ；(2)若2OA =，3OB =，4OC =，60AOC BOC ∠=∠=︒，90AOB ∠=︒，求OG AB ⋅的值．47．（2022·全国·高二）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12C C EC =，13AC FC =．(1)求证：A 、F 、E 三点共线；(2)若点G 是平行四边形11B BCC 的中心，求证：D 、F 、G 三点共线．48．（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）如图，在四面体OABC 中，M 是棱OA 上靠近A 的三等分点，N 是棱BC 的中点，P 是线段MN 的中点．设OA a =，OB b =，OC c =．(1)用a ，b ，c 表示向量OP ；(2)若1a b c ===，且满足（从下列三个条件中任选一个，填上序号：①,,,3π===a b b c c a ；②,,,,32ππ===a b c a b c ；③2,,,,23a b c a b c ππ===，则可求出OP 的值；并求出OP 的大小．49．（2021·山东济宁·高二期中）已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒．(1)求1AD AC ⋅；(2)求1AC ．【答案详解】1．C【详解】对于A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A错误，B错误；对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确；对于D，直线的方向向量有无数个，所以D错误.故选：C2．C【详解】由图形结合分析---,,a cbc a b三个向量共面，不构成基底，故选：C3．C选项A：由于()()2+--=，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；a b b a a选项B：由于()()2++-=，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；a b b a b选项C ：若,,a b b a c +-三个向量共面，则存在,x y R ∈，使得()()()()c x a b y b a x y a x y b =++-=-++，则向量,,a b c 共面，矛盾，故,,a b b a c +-三个向量不共面，因此可以作为空间的一个基底；选项D ：由于()a b c a b c ++=++，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；故选：C4．A【详解】连接,,OM ON 111()()()223MN ON OM OA OB OC CM OA OB OC CB =-=+-+=+--=11112112()()23263263OA OB OC OB OC OA OB OC a b c +---=+-=+-. 故选：A5．B【解析】【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．【详解】解：点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，∴23OM OA =，111()222ON OB OC OB OC =+=+， ∴122113122223a b c MN ON OM OB OC OA =-=+-+=-+．故选：B ．6．D【解析】【分析】利用空间向量的加法与减法可得出OM 关于a 、b 、c 的表达式.【详解】()()21113232MN MA AB BN OA OB OA BC OB OA OC OB =++=+-+=-+- 111322a b c =-++. 故选：D.7．D【解析】【分析】根据点P 与点,,A B C 共面，可得1x y z ++=，验证选项，即可得到答案.【详解】设OP xOA yOB zOC =++，若点P 与点,,A B C 共面，则1x y z ++=，对于选项A ：11131x y z ++=++=≠，不满足题意；对于选项B ：21101x y z ++=--=≠，不满足题意；对于选项C ：11131153230x y z ++=++=≠，不满足题意；对于选项D ：1111333x y z ++=++=，满足题意.故选：D.8．B【解析】【分析】证明出若OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=，则P 、A 、B 、C 四点共面，进而可得出合适的选项.【详解】设OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=，则()1OP xOA yOB x y OC =++--，()()OP OC x OA OC y OB OC ∴-=-+-，则CP xCA yCB =+，所以，CP 、CA 、CB 为共面向量，则P 、A 、B 、C 四点共面. 对于A 选项，OP OA OB OC =++，11131++=≠，P 、A 、B 、C 四点不共面；对于B 选项，111236OP OA OB OC =++，1111236++=，P 、A 、B 、C 四点共面；对于C 选项，1122OP OA OB OC =++，1112122++=≠，P 、A 、B 、C 四点不共面.故选：B.9．D【解析】【分析】由243AP AQ AR AS →→→→=-+，得23RP RQ RS →→→=+，即得解. 【详解】由243AP AQ AR AS →→→→=-+，得23AP AR AQ AR AS AR →→→→→→⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23RP RQ RS →→→=+，所以RP →，,RQ RS →→为共面向量，故,,,P Q R S 四点共面. 故选：D . 10．D 【解析】【分析】根据向量共面列方程，化简求得2m t +. 【详解】2111-≠-，所以,a b 不共线，由于a ，b ，c 共面，所以存在,x y ，使c xa yb =+，即()()()21,2,22,,1,11,t x m y -=--+，()()(),,21,2,22,,t x x y x y y m -+-=-， ()()1,2,22,,2y t x y x x m y ---+=+，21222x y x y mx y t-+=-⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，()()13123222x y m t mx y t =-⎧⎪=-⇒⋅-+⋅-=⎨⎪+=⎩，即26m t +=-.故选：D 11．B 【解析】【分析】根据已知条件用i ，j ，k 表示AC ，AD ，再由空间共面向量定理设AD x AB y AC =+，再列方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为22AB i j k =-+，23BC i j k =+-，35CD i j k λ=+-所以3AC AB BC i j k =+=-- ，()326A AC D CD i j k λ+==++-，由空间共面向量定理可知，存在实数,x y 满足AD x AB y AC =+，即()()()326232i j k x i j k i j k y λ++-=-+-+-，所以332262x y x y x y λ+=+⎧⎪=--⎨⎪-=-⎩，解得221x y λ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以λ的值为1，故选：B. 12．B 【解析】【分析】由四点共面的充要可得21156λ++=，求解即可. 【详解】O 是平面ABC 外任意一点，且2156OM OA OB OC λ=++，若A ，B ，C ，M 四点共面的充要条件是21156λ++=，即1330λ=. 故选：B. 13．A 【解析】【分析】根据向量的共面定理，得到2x y +=，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，存在非零实数λ使得AP BC λ=，可得//AP BC ，即,,,P A B C 四点共面，因为(,0)OP OA xOB yOC x y =-++>，根据向量的共面定量，可得11x y -++=，即2x y +=，又由621621621()()(62)(84222y x x y x y x y x y +=⋅++=⋅+++≥+=+当且仅当62y x x y=时，即x =时，等号成立，所以62x y +的最小值为4+故选：A. 14．D 【解析】【分析】对于A ，利用空间向量基本定理判断，对于B ，利用向量的定义判断，对于C ，举例判断，对于D ，共面向量定理判断【详解】对于A ，若,,a b c 三个向量共面，在平面α，则空间中不在平面α的向量不能用,,a b c 表示，所以A 错误，对于B ，因为向量是自由向量，是可以自由平移，所以当,C AB D 所在的直线是异面直线时，,C AB D 有可能共面，所以B 错误，对于C ，当三个向量,,a b c 两两共面时，如空间直角坐标系中的3个基向量两两共面，但这3个向量不共面，所以C 错误，对于D ，因为A ，B ，C 三点不共线，111236OD OA OB OC =++，且1111236++=，所以A ，B ，C ，D 四点共面，所以D 正确，故选：D 15．B 【解析】【分析】证明出当1x y z ++=，且OM xOA yOB zOC =++，则点M 、A 、B 、C 共面.然后逐项验证可得合适的选项. 【详解】若1x y z ++=，且OM xOA yOB zOC =++，则()1OM xOA yOB x y OC =++--，则()()OM OC x OA OC y OB OC -=-+-，即xCA yCB CM =+，所以，点M 、A 、B 、C 共面. 对于A 选项，1111222++≠，A 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面；对于B 选项，111133-+=，B 选项中的点M 、A 、B 、C 共面；对于C 选项，1111++≠，C 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面；对于D 选项，2111--≠，D 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面. 故选：B. 16．(1)1AC ； (2)12α=，14，34γ=. 【解析】【分析】（1）利用平行六面体的性质及向量的线性运算即得；（2）利用向量线性运算的几何表示可得1113244AB A MN AA D =++，进而即得. (1)∵1111ABCD A B C D -是平行六面体， ∴1111111AA BC AB AA BC A B AC ++=++= (2)∵MN =MB BN +11324DB BC =+()()11324AB AD AA AD =-++ 1113244AB AD AA =++，又1MN AB AD AA αβγ=++， ∴12α=，14，34γ=. 17．(1)1,1,1x y z ==-= (2)11,,122x y z === 【解析】【分析】（1）利用空间向量的加法运算，结合相等向量，由空间向量的基本定理求解；（2）利用空间向量的加法运算，结合相等向量，由空间向量的基本定理求解； (1)解：BD BA AA A D ''''=++，AD AB AA '=-+，又因为BD x AD y AB z AA =+'+'，所以1,1,1x y z ==-=; (2)AE AA A D D E =+''''+，12AA AD DB ='++，()12AA AD AB AD =++-'， 1122AD AB AA =+'+，又因为AE x AD y AB z AA =+'+，所以11,,122x y z ===. 18．D 【解析】【分析】根据四点共面结论：若,,,A B C D 四点共面，则OD aOA bOB cOC =++且1a b c ++=，【详解】若M ，A ，B ，C 四点共面，则21x y -++=，则3x y += 故选：D ． 19．B 【解析】【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量1OG 【详解】连接AG 并延长交BC 于N ，连接ON ，由G 是ABC 的重心，可得23AG AN =，()12ON OB OC =+ 则()()2221112=3332333AG AN ON OA OB OC OA OB OC OA ⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦ 则()1111112444333OG OG OA AG OA OB OC OA ⎛⎫==+=++- ⎪⎝⎭111121212OA OB OC =++ 故选：B 20．D 【解析】【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量1OG 【详解】连接AG 并延长交BC 于N ，连接ON ，由G 是ABC 的重心，可得23AG AN =，()12ON OB OC =+则()()2221112=3332333AG AN ON OA OB OC OA OB OC OA ⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦ 则()1111112111333333999OG OG OA AG OA OB OC OA OA OB OC ⎛⎫==+=++-=++ ⎪⎝⎭ 故选：D 21．D 【解析】【分析】根据空间向量基本定理即可判断【详解】由于向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底知OA ，OB ，OC 共面，所以O ，A ，B ，C 四点共面故选：D 22．A 【解析】【分析】利用向量减法的三角形法则进行计算即可. 【详解】因为M 是PC 中点，()()()1122BM PM PB PC AB AP AC AP AB AP ∴=-=--=--- 1122AB AC AP =-++，又BM x AB y AC z AP =++， 111,,22x y z ∴=-==，∴0x y z ++=. 故选：A. 23．B 【解析】【分析】利用向量加法的平行四边形法则，减法的三角形法则即可求解【详解】因为E 为1CD 中点，所以()()11111112222AE AD AC AA AD AD AB AA AD AB =+=+++=++ ()11333AC AF AF AC AD AB =⇒==+ 所以1111111213322632EF AF AE AD AB AA AD AB AB AD AA =-=+---=--- 即121362a b c EF =--- 故选：B 24．C 【解析】【分析】以A 为顶点作AB a =，AD b =，1AA c =，作出平行六面体1111ABCD A B C D -，根据空间向量的加法法则作出，,,,x y z a b c ++，然后判断各组向量是否共面可得结论．【详解】如图，作平行六面体1111ABCD A B C D -，AB a =，AD b =，1AA c =，则AC a b =+，1AD b c =+，1AB c a =+，1AC a b c =++，由平行六面体知，,,a b x 共面，,,x y z 不共面，,,b c z 不共面，,,x y a b c ++不共面，因此可以作为空间的基底的有3组．故选：C ．25．D 【解析】【分析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可. 【详解】23GF AF AG AC CF AE =-=+-()11121121232332AC AA AB AC AB AC AA =+-⨯+=-++，故选：D ． 26．B 【解析】【分析】根据向量的加法法则及共面向量的基本定理即可求解. 【详解】根据向量的加法法则可得AC AB BC CC AB BC C C '''=++=+-，又23AC x AB yBC zC C ''=++，且,,AB BC C C '不共面，所以 1 2=1 3=-1x y z =⎧⎪⎨⎪⎩，解得111,,23x y z ===-，所以1171236x y z ++=+-=. 故选：B. 27．D 【解析】【分析】根据m 与n 共线，由()xa yb c z a b c ++=-+，即可求解. 【详解】因为m 与n 共线，空间的一组基底{},,a b c ，所以()xa yb c z a b c ++=-+，所以,,1,x z y z z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩解得1,1.x y =⎧⎨=-⎩，所以x ＋y ＝0. 故选：D. 28．B 【解析】【分析】用向量共线或共面的基本定理即可判断. 【详解】若 a 与b ，b 与c 共线，0b = ，则不能判定a c λ= ，故①错误；若非零向量,,a b c 共面，则向量c 可以在一个与,a b 组成的平面平行的平面上，故②错误；,,a b c 不共面，意味着它们都是非零向量，可以作为一组基底，故③正确；c a b λμ=+，∴ c 与,a b 共面，故,,a b c 不能组成一个基底，故④错误；故选：C. 29．C 【解析】【分析】连接,AM AN ，由()111312244AG AM AN AB AA AC =+=++，即可求出答案. 【详解】连接,AM AN 如下图：由于G 是MN 的中点，()12AG AM AN =+∴ 11111222AA AC AB AA ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1131244AB AA AC =++. 根据题意知1AG xAB yAA zAC =++.32x y z ∴++=. 故选：C. 30．C 【解析】【分析】根据题意、空间向量基底的概念和共线的运算即可判断命题①②③，根据空间向量的平行关系即可判断命题④. 【详解】①：向量a b ，与空间任意向量都不能构成一个基底，则a 与b 共线或a 与b 其中有一个为零向量，所以//a b ，故①正确；②：由向量a b b c c a +++，，是空间一组基底，则空间中任意一个向量d ，存在唯一的实数组()x y z ，，使得d ()()()()()()x a b y b c z c a x z a x y b y z c =+++++=+++++，所以a b c ，，也是空间一组基底，故②正确；③：由{}a b c ，，为空间一组基底，若0()xa yb zc x y z R ++=∈，，，则0x y z ===，所以2220x y z ++=，故③正确；④：对于任意非零空间向量123()a a a a =，，，123()b b b b =，，，若//a b ，则存在一个实数λ使得=a b λ，有112233a b a b a bλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，又123b b b ，，中可以有为0的，分式没有意义，故④错误. 故选：C 31．BD 【解析】【分析】根据空间向量运算判断AB 选项的正确性，根据三点共线、四点共面的知识判断CD 选项的正确性. 【详解】A C AC AB AD a b c A A AA '=-=+-='+'-，A 选项错误. ()()11112222AM AC A AB AD AD a b c D AA =+=+++='++'，B 选项正确. 12A C A P ''=则P 是A C '的中点， ()()()111222c AP AC AA AB AD A b A a ''=+=++++=， c AD b AD AA ''=+=+，则不存在实数λ使AP AD λ'=，所以C 选项错误.()1112212122P a b c a b c b M AM AP AD +==⎛⎫=--= ⎪⎝++⎭+，由于,P M ∉直线AD ，所以,,,A P M D 四点共面，所以D 选项正确. 故选：BD 32．ABD 【解析】【分析】利用空间向量的基底的概念及空间向量基本定理逐项分析即得. 【详解】∵a ，b ，c 是空间的一个基底，则a ，b ，c 不共面，且两两共面､不共线， ∴若0xa yb zc ++=，则0x y z ===，A 正确，B 正确；若存在x ，y 使得a xb yc =+，则a ，b ，c 共面，与已知矛盾，C 错误；设()()()22a b x b c y c a ya xb y x c +=-++=++-，则21,1,0,y x y x =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，此方程组无解，∴a b +，b c -，2c a +不共面，D 正确. 故选：ABD. 33．ABC 【解析】【分析】空间向量垂直的数量积表示可判断A ；由向量四点共面的条件可判断B ；由空间向量基底的定义可判断C ； a b ⋅是一个数值，c b ⋅也是一个数值，说明a 和c 存在倍数关系，或者说共线，可判断D. 【详解】空间向量a ，()0,0b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=，故A 正确；对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，且1111632++=，则P 、A 、B 、C 四点共面，故B 正确；因为{},,a b c 是空间的一组基底，所以,,a b c 不共面，m a c =+，则,,+a b a c 也不共面，即{},,a b m 也是空间的一组基底，故C 正确；任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，由于a b ⋅是一个数值，c b ⋅也是一个数值，则说明a 和c 存在倍数关系，或者说共线，不一定相等，故D 错误. 故选：ABC. 34．CD 【解析】【分析】根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可. 【详解】因为点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，所以由平面向量基本定理可知：()()AP y AC z AB AO OP y AO OC z AO OB =+⇒+=+++，化简得：(1)OP y z OA yOC zOB =--++，显然有11y z y z --++=，而12OP OA mOB nOC =+-，所以有11122m n m n +-=⇒-=，当1m =，12n =-时，32m n -=，所以选项A 不可能；当12m =，1n =时，12m n -=-，所以选项B 不可能；当12m =-，1n =-时，12m n -=，所以选项C 可能；当32m =，1n =时，12m n -=，所以选项D 可能，故选：CD 35．ABD 【解析】【分析】根据空间向量基本定理即可判断出各个选项的正误．【详解】解：对于选项A ：三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，所以选项A 正确，对于选项B ：三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，所以选项B 正确，对于选项C ：(c a b λμλ=+、R μ∈且λ、0)μ≠，∴a ，b，c 共面，不能构成基底，所以选项C 错误，对于选项D ：OA 、OB 、OC 共起点，若O 、A 、B 、C 四点不共面，则必能作为空间的一个基底，所以选项D 正确，故选：ABD ．36．BC【解析】【分析】根据空间向量基底概念分别判断即可．【详解】对于A，若存在不全为零的实数x，y，z，使得x y za b c，++=0{a，b，}c不能构成空间的一个基底，所以A错；对于B，因为{a，b，}c构成空间的一个基底，所以对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组(x，y，)z，使得p xa yb zc=++，所以B对；对于C，因为2()()b a b a b=+--，=++-，2()()a ab a b所以a，b，不能与a b+，a b-构成空间另一个基底；又因为设x，y，z R∈若()()0++-+=x a b y a b zc⇒++-+=⇒===，x y a x y b zc x y z()()00所以c与a b+，a b-构成空间另一个基底；所以在a，b，c中，能与a b+，a b-构成空间另一个基底的只有c，所以C对；对于D，存在，根据向量运算几何意义，++表示以O为顶点，以1a，2b，3c为相邻三边的长方体对角线，a b c23绕此对角线长方体旋转，基底也变为另一基底{a'，b'，}c'，都满足2323++='+'+'，所以D错误．a b c a b c故选：BC37．ACD【解析】【分析】利用空间向量共面定理及数量积运算，逐一分析判断即可．【详解】解：对于A ，空间任意向量,a b 都是共面向量，所以A 正确；对于B ，已知P ，A ，B ，C 四点共面，对空间任意一点O ，若2OP OA OB tOC =++，则211t ++=，解得2t =-，所以B 错误；对于C ，在四面体中P ABC -，若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则()()2PA BC PB BA PC PB PB PC PB BA PC BA PB ⋅=+⋅-=⋅-+⋅-⋅ ()2PB PC PB BA PB PB PC PB BA =⋅--⋅=⋅--0PB AC =⋅=，所以C 正确；对于D ，因为向量,,,a b b c c a +++是空间一组基底，则对于空间任一向量()d x y z =，，，都存在实数m ，n ，p ，使得()()()()d x y z m a b n b c p c a ==+++++，，，即()()()d m p a m n b n p c =+++++，所以,,a b c 也是空间的一组基底，所以D 正确．故选：ACD ．38．AC【解析】【分析】根据基底的性质，结合各选项中向量的线性关系、空间向量基本定理判断M 、A 、B 、C 是否共面，即可知{,,}MA MB MC 是否能成为空间基底.【详解】A ：因为111345OM OA OB OC =++，且1111345++≠，利用平面向量基本定理知：点M 不在平面ABC 内，向量,,MA MB MC 能构成一个空间基底；B ：因为2MA MB MC =+，利用平面向量基本定理知：向量,,MA MB MC 共面，不能构成一个空间基底；C ：由23,1231OM OA OB OC =++++≠，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法知：OM 是以点O 为顶点的对角线，向量,,MA MB MC 能构成一个空间基底；D ：由32MA MB MC =-，根据平面向量的基本定理知：向量,,MA MB MC 共面，不能构成空间的一个基底.故选：AC.39．1122a b c -++ 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算，结合题意，求解即可.【详解】根据题意，()1111111122BM BA AA A M AB AA AC AB AA AB BC =++=-++=-+++ 11122AB BC AA =-++=1122a b c -++. 故答案为：1122a b c -++.40．0【解析】【分析】由2=PM MC 可得出BM 关于{},BP BC 的表达式，再利用空间向量的减法可求得x 、y 、z 的值，即可得解.【详解】因为2=PM MC ，则()2BM BP BC BM -=-，所以，()()121221333333BM BP BC AP AB AC AB AB AC AP =+=-+-=-++，所以，1x =-，23y =，13z =，因此，0x y z ++=.故答案为：0.41．④【解析】【分析】通过反例可知①②错误；根据平面向量基本定理、空间向量基本定理可判断出③④正误.【详解】对于①，若0a b ==，则对于平面内任意一个向量p ，无法得到(),p a b R λμλμ=+∈，①错误；对于②，若0a b ==，则,λμ为任意实数，②错误；对于③，若p 与,a b 不共面，则对于空间任意一个向量p ，无法得到p a b λμ=+(),R λμ∈，③错误；对于④，由平面向量基本定理可知④正确.故答案为：④.42．13-【解析】连接OD ，根据题意，结合空间向量加减法运算求解即可.【详解】解：连接OD∵四面体OABC 中，D ，E 分别在AB ，OC 上，且AD DB =，2OE EC = ∴()2111232223DE OE OD OC OA OB OA OB OC =-=-+=--+∴121223αβγ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩∴13αβγ++=-.故答案为：13-43．111444a b c ++【解析】【分析】利用空间的基底结合空间向量的线性运算计算即可得解.,,OA a OB b OC c ===，而M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，则1()2OM OB OC =+1122b c =+，因AP ＝3PN ，23ON OM =，则33()44OP OA AP OA AN OA ON OA =+=+=+-132111443444OA OM a b c =+⋅=++，所以111444OP a b c =++. 故答案为：111444a b c ++44．()12c a b -- 【解析】【分析】根据给定条件利用空间向量的线性运算即可得解.【详解】三棱锥O ABC -，点M ，N 分别为线段AB ，OC 的中点，则()11112222MN MB BO ON AB OB OC OB OA OB OC =++=-+=--+()11112222OC OA OB c a b =--=--，所以MN 等于()12c a b --．故答案为：()12c a b --. 45．（1）（4）【解析】根据共线向量，向量垂直，向量的基本定理，向量数量积的定义与性质，逐一分析5个命题的真假，即可得解．【详解】（1）若a b a b -=+，则a ，b 反向共线，即满足充分条件，但当非零向量a ，b 同向共线时，不存在a b a b -=+，即满足不必要条件，故（1）正确；（2）若向量a ，b 中有一个零向量，则存在无数个实数λ，使a b λ=，即（2）错误；（3）若0a b ⋅=，0b c ⋅=，说明a b ⊥，b c ⊥，不一定存在a c =，即（3）错误；（4）令()()a b b c c a λμ+=+++，则()a b a b c μλλμ+=+++，所以110λμλμ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，无解，即a b +，b c +，c a +不共面，所以{},,a b b c c a +++构成空间的另一基底，即（4）正确；（5）()()cos ,a b c a b c a b c a b ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅，即（5）错误．命题（1）（4）正确．故答案为：（1）（4）．46．(1)111333OG OA OB OC =++(2)73【解析】【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；（2）由（1）可得111()()333OG AB OA OB OC OB OA ⋅=++⋅-，根据空间向量数量积的运算律及定。

空间向量知识点总结

空间向量知识点总结空间向量是高中数学中的重要内容，它为解决立体几何问题提供了一种全新的思路和方法。

下面我们来对空间向量的相关知识点进行一个系统的总结。

一、空间向量的基本概念1、空间向量的定义在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量。

2、空间向量的表示空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量通常用小写字母加箭头表示，如\（＼vec{a}＼）。

3、空间向量的模空间向量\（＼vec{a}＼）的模（长度）记作\（｜＼vec{a}｜＼），其计算公式为\（｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{a_1^2 ＋ a_2^2 ＋ a_3^2}＼）（假设\（＼vec{a} ＝（a_1, a_2, a_3)＼））。

4、零向量长度为\（0\）的向量称为零向量，记作\（＼vec{0}＼），其方向是任意的。

5、单位向量模为\（1\）的向量称为单位向量。

若\（＼vec{a}＼）是非零向量，则与\（＼vec{a}＼）同向的单位向量为\（＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＼）。

6、相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。

7、相反向量长度相等但方向相反的向量称为相反向量。

二、空间向量的运算1、加法空间向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则。

设\（＼vec{a}＼）、＼（＼vec{b}＼）为两个空间向量，则它们的和向量\（＼vec{c} ＝＼vec{a} ＋＼vec{b}＼）。

2、减法空间向量的减法是加法的逆运算，＼（＼vec{a} ＼vec{b} ＝＼vec{a} ＋（＼vec{b}）＼）。

3、数乘运算实数\（＼lambda\）与空间向量\（＼vec{a}＼）的乘积\（＼lambda\vec{a}＼）仍然是一个向量。

当\（＼lambda ＞ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）同向；当\（＼lambda ＜ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）反向；当\（＼lambda ＝0\）时，＼（＼lambda\vec{a} ＝＼vec{0}＼）。

空间向量基本定理(解析版)

第2讲空间向量基本定理新课标要求了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解。

知识梳理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x a＋y b＋z c，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．名师导学【例1-1】有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底其中正确的命题是A. B. C. D.【分析】本题考查空间向量的基本定理，以及共线向量与共面向量，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．根据空间向量的基本定理即可判断的正误，找出反例判断命题错误，即可得到正确选项．【解答】解：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线，不正确．反例：如果中有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选C．【变式训练1-1】已知向量是空间的一个基底，下列能构成空间的另一个基底的是A. B.C. D.【分析】本题考查空间向量的基本定理，属于基础题型，能构成空间的另一个基底的条件是不共面，由此逐项判断即可；【解答】解：因为，所以，，共面．又因为，所以，，共面．不存在，，使得，所以，，不共面，故可作为空间的一个基底．故选C.【例2-1】（龙华区校级期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别在面对角线AC ，1A C 上且2CM MA =，12A N ND =．记向量1,,AB a AD b AA c ===，用,,a b c 表示MN ．【分析】利用空间向量基本定理，即可得出结论．【解答】解：11MN MA AA A N =++11111123312()()3311123333111333111.333AC AA A DAB AD AA A A AD ABAD AA ADa b cMN a b c =-++=-++++=--++=-++∴=-++【例2-2】如图所示，在平行六面体中，，，，，．求的长；求与的夹角的余弦值．【解析】解，．．设与的夹角为，设，，，依题意得，．【变式训练2-1】如图，四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP→＝c ，E ，F 分别为PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示BF →，BE →，AE →，EF →.【解】 BF→＝12BP →＝12(OP →－OB →)＝12[OP →－(OA →＋OC →)]＝12c －12a －12b .BE→＝BC →＋CE →＝－OA →＋12CP →＝－a ＋12(OP →－OC →)＝－a ＋c 2－b 2.AE →＝AO →＋OE →＝－a ＋12(OP →＋OC →)＝－a ＋12c ＋12b .又∵E ，F 分别为PB ，PC 的中点，∴EF→＝12CB →＝12OA →＝12a .【变式训练2-2】如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点．求求EG 的长．【答案】解：设，，，则，，，，，，，；，，，即EG 的长为．名师导练A组-[应知应会]1.若向量，，是空间的一个基底，向量，，那么可以与，构成空间的另一个基底的向量是A. B. C. D.【分析】本题考查空间向量的共面定理的应用问题，属于基础题．根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论．【解答】解：由题意和空间向量的共面定理，结合，得与、是共面向量，同理与、是共面向量，与不能与、构成空间的一个基底，又与和不共面，可与、构成空间的一个基底．故选C．2.（东城区期末）在四面体ABCD中，点F在AD上，且2AF FD=，E为BC中点，则EF等于()A．112223EF AC AB AD=+-B．112223EF AC AB AD=--+C．112223EF AC AB AD=-+D．112223EF AC AB AD=-+-【分析】直接利用向量的线性运算的应用求出结果．【解答】解：在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，所以211112()322223EF AF AE AD AB AC AC AB AD =-=-+=--+．故选：B ．3．（菏泽期末）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB y AD =++则(x y += )A ．12B ．1C ．32D ．2【分析】推导出111111111()222AE AA A E A B A D AB AD =+=+=+，由此能求出x y +的值．【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面11A C 的中心， 111111111()222AE AA A E A B A D AB AD =+=+=+，1AE AA xAB y AD =++，11122x y ∴+=+=．故选：B ．4．（济宁期末）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB a AD b AA c ===，则(CM = )A ．1122a b c ++B ．1122a b c -+C ．1122a b c -++D ．1122a b c --+【分析】利用向量加法的三角形法则以及平行六面体的性质即可求解．【解答】解：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点；∴CM CB BM =+111()2CB BA BC =++111122AD BA BC =-++1111()()22AD BA AA BC CC =-++++1111112222AD AB AA AD AA =--+++ 1122a b c =--+；故选：D ．5．（阳泉期末）如图，在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点，则OG 等于( )A ．111333OA OB OC ++B ．111234OA OB OC ++C ．111244OA OB OC ++D ．111446OA OB OC ++【分析】在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点，可得1()2OG OA OD =+，1()2OD OB OC =+．即可得出．【解答】解：在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点，则1()2OG OA OD =+，1()2OD OB OC =+．∴111244OG OA OB OC =++．故选：C ．6．（烟台期末）三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【分析】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，考查空间向量基本定理，向量的数量积公式及应用，考查学生的计算能力，属于较难题．先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，然后利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值即可．【解答】解：如图，设，，，棱长均为1，则，，，，，，，，，异面直线与所成角的余弦值为，故选A．7．（多选）（南通期末）设a ，b ，c 是空间一个基底( ) A ．若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥B ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc =++D ．则a b +，b c +，c a +一定能构成空间的一个基底【分析】利用a ，b ，c 是空间一个基底的性质直接求解．【解答】解：由a ，b ，c 是空间一个基底，知：在A 中，若a b ⊥，b c ⊥，则a 与c 相交或平行，故A 错误；在B 中，a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面，故B 正确；在C 中，对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc =++，故C 正确；在D 中，a b +，b c +，c a +一定能构成空间的一个基底，故D 正确．故选：BCD ．8．（邯郸期末）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为BD 的中点，若11A E xAA y AB z AD =++，则x y z ++= ．【分析】根据向量的三角形法则结合已知条件即可求解；【解答】解：连接AE （图略），由题意可得1122AE AB AD =+，则1111122A E AE AA AB AD AA =-=+-．因为11A E xAA y AB z AD =++，所以1x =-，12y z ==，所以0++=．x y z故答案为：09.已知四棱柱的底面ABCD是矩形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为_____________．【分析】本题考查空间向量的运算及模的求法，属于中档题．【解答】解：设则，，，，则对角线的长为．故答案为．10.已知为空间的一个基底，且，，，能否以作为空间的一个基底______ 填“能”或“不能”．【解析】解：为空间的一个基底，且，，，设向量，，共面，则存在实数m，n，使，，解得，；因此不能作为空间的一个基底．故答案为：不能．11．（兴庆区校级期中）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于1，点E，F，G分别是AB ，AD ，CD 的中点，设AB a =，AC b =，AD c =，,,a b c 为空间向量的一组基底，计算：（1）EF BA ；（2）||EG ．【分析】（1）利用数量积公式先求c a 的值，再根据11()()22EF BA c a a =--求得结果；（2）由111222EG EB BC CG a b c =++=-++，先平方，再开平方．【解答】解：（1）由题意，AB a =，AC b =，AD c =，则||||||1a b c ====，a <，b b >=<，c c >=<，60a >=︒，∴111()()224EF BA c a a =--=；（2）111222EG EB BC CG a b c =++=-++，∴222211111114442222EG a b c a b a c b c =++--+=， 2||2EG ∴=，即||EG =． 12．（三门县校级期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，5AB =，3AD =，14AA =，90DAB ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，设AB a =，AD b =，1AA c =．（1）用a ，b ，c 表示AC ；（2）求AC 的长．【分析】（1）由空间向量加法法则得111AC AB BC CC AB AD AA =++=++，由此能求出结果．（2）221()AC a b c =++，由此能求出1AC 的长．【解答】解：（1）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，∴111AC AB BC CC AB AD AA a b c =++=++=++．（2）5AB =，3AD =，14AA =，90DAB ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，111AC AB BC CC AB AD AA a b c =++=++=++．∴221()AC a b c =++222222a b c a b a c b c =+++++259160254cos60234cos60=++++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒ 82=．1AC ∴的长1||82AC =．13.如图，在空间四边形OABC 中，已知E 是线段BC 的中点，G 在AE 上，且．试用向量，，表示向量；若，，，，，求异面直线OG与AB 所成角的余弦值．【分析】本题考查平面向量数量积的运算、向量的加法、减法、数乘运算、向量的模及平面向量基本定理的应用，属于基础题．由，得出，即，即可求出结果；利用，和数量积的定义，代入求出，再求出，代入夹角公式，即可求出结果．【解答】解：，，，又，；由知又，，，，，，，，，即，，，．B组-[素养提升]1.已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，如图所示，则当的值为多少时，平面并给予证明．【分析】本题考查线面垂直的判定，考查空间向量的基本定理及应用，考查向量垂直的判断与证明，考查分析与计算能力，属于中档题．要使平面，可证明且，欲证，则可证明，即，计算求证即可求解．【答案】证明：当时，平面．证明如下：要使平面，可证明且．欲证，则可证明，即，即．由于，显然当时，上式成立．同理可得，当时，．因此，当时，平面．。

1.2空间向量基本定理(基础知识+基本题型)(含解析)-(人教A版2019选择性必修第一册)

1. 2 空间向量基本定理（基础知识+基本题型）知识点一空间向量基本定理 1．定理如果向量三个向量,,,a b c 不共面，那么对空间任意向量,p 存在有序实数组{},,,x y z 使得.p xa yb zc =++ 2．基底与基向量如果向量三个向量,,,a b c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{},,,.p p xa yb zc x y z r =++∈这个集合可看作是由向量,,,a b c 生成的，我们把{},,a b c 叫做空间的一个基底,,,a b c 都叫做基向量．对基底的正确理解，有以下三个方面：（1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；（2）因为0可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0；（3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念．提示(1)空间向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一地线性表示，为空间向量的坐标表示了奠定的基础．(2)判断三个向量能否做为空间的一个基底，关键是利用共面向量定理判断三个向量是否共面，只有不共面的三个向量才能构成空间的一个基底．知识点二空间向量的正交分解及其坐标表示 1．单位正交基底有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量123,,e e e 称为单位正交基底，用{}123,,e e e 表示 2．空间直角坐标系以123,,e e e 的公共起O 叫做原点分别以123,,e e e 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做原点，x 轴、y 轴、z 轴都叫坐标轴．向量123,,e e e 都叫做坐标向量，经过任何两个坐标轴的平面叫做坐标平面，他们分别是xOy 平面、xOz 平面、yOz 平面． 3．空间向量的坐标表示对于空间的任意一个向量P ,一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量.op p =由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{},,,x y z 123.p xe ye ze =++我们把,,x y z 称作向量p 在单位正交基底123,,e e e 下的坐标．记作{},,p x y z =此时向量p 的坐标恰是点p 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标{},,,x y z 其中,,x y z 分别叫做点p 的横坐标、纵坐标、竖坐标．对于空间向量坐标的表示，要注意以下两点：(1) 空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{}123123,,,e e e b e e ke λμ=++则(),,b k λμ=(2) 向量的坐标由起点、终点的坐标共同决定，并不受起点位置的影响．拓展特殊向量的坐标表示（1）当向量a 平行于x 轴时，纵坐标、竖坐标都为0，即(,0,0);a x = （2）当向量a 平行于y 轴时，纵坐标、横坐标都为0，即(0,,0);a y = （3）当向量a 平行于z 轴时，横坐标坐标、纵坐标都为0，即(0,0,);a z = （4）当向量a 平行于xOy 平面时，竖坐标为0，即(,,0);a x y = （5）当向量a 平行于yOx 平面时，横坐标为0，即(0,,);a y x = （6）当向量a 平行于xOz 平面时，纵坐标为0，即(,0,);a x z =应用点一与基底相关的问题例1 如图，在空间四边形OABC 中，其对角线为OB ，AC ，M 是边OA 的中点，点G 为ABC ∆的重心，用基向量,,OA OB OC 表示向量MG ．解：如图，连接AG 并延长交BC 于点D ，则D 为BC 的中点．所以1()2AD AB AC =+．因为点G 为ABC ∆的重心，所以21()33AG AD AB AC ==+．又因为,AB OB OA AC OC OA =-=-，所以11()(2)33AGAB AC OA OB OC =+=-++．因为M 是边OA 的中点，所以12AM OA =-．所以11111(2)32633MG AG AM OA OB OC OA OA OB OC =-=-+++=-++．例2 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1,,AA a AB b AD c ===，M ，N ，P 分别是111,,AA BC C D 的中点，试用,,a b c 表示以下各向量：（1）AP ；（2）1A N ；（3）1MP NC +．解：（1）因为P 是11C D 的中点所以111AP AA A D =++111111222D P a AD D C a c AB a c b =++=++=++．（2）因为N 是BC 的中点，所以111122A N A A AB BN a b BC a b AD =++=-++=-++ 12a b c =-++．（3）因为M 是1AA 的中点，所以1111()222MP MA AP A A AP a a c b =+=+=-+++ 1122a b c =++．又因为1111111222NC NC CC BC AA AD AA c a =+=+=+=+，所以1111313()()222222MP NC a b c c a a b c +=++++=++．应用点二空间向量基本定理的应用例3 证明：在平行四边形1111ABCD A B C D -中，1112AC AB AD AC ++=．证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形，所以1111,,AC AB AD AB AB AA AD AD AA =+=+=+所以()()()()11111++=++=2AC AB AD AB AD AB AA AD AA AB AD AA +++++ 又因为11==AA CC AD BC ，所以111=++=AB AD AA AB BC CC AC ++ 所以111++2AC AB AD AC =总结:在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11=AD AA AC +是一个很重要的结论．它类似于在平行四边形ABCD 中，AB AD AC +=应用点三空间直角坐标系下点与向量的坐标例4 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,E F 分别为棱1BB ，DC 的中点，如图所示建立空间直角坐标系．（1）写出各顶点的坐标； (2)写出向量11,,EF B F A E 的坐标．解:(1)设x 轴、y 轴、z 轴的单位向量分别为i j k ，，．因为正方体的棱长为2．所以DA =2i ，1=2=2k.DC j DD ，因为()0,0,0D ，所以()()()12,0,0,C 0,2,0,D 0,0,2A ．又因为DB DA DC =+=2i+2j ，所以()2,2,0B ．同理可得，()()()1112,0,2,2,2,2,0,2,2A B C ． (2)因为,E F 分别为棱1BB ，DC 的中点由中点坐标公式，得()()2,2,1,0,1,0E F ．所以(2,1,1)EF =---．1(2,1,2)B F =---，1(0,2,1)A E =-例5 已知空间的一个基底{,,}a b c ，32p a b c m a b c n a b c =++=-+=+-，，，试判断,,p m n 是否共面．分析：利用共面向量定理，由,,a b c 不共面列方程组求解．解:显然m 与n 不共线，设p xm yn =+，()()()()32()y =a b c x a b c a b c x y a x y b x y c ++=-+++-++-++-因为,,a b c 不共面，所以321x y x y x y +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩而此方程组无解，所以p 不能用,m n 表示，即,,p m n 不共面．解后反思:此题是用向量法来判断三个向量是否共面．实质上是向量共面定理的运用．解决本题的关健是通过证明方程组无解，说明,x y 不存在，从而说明三个向量不共面，方程与函数思想是解决向量问题中经常渗透的思想．。

空间向量基本定理

叫做把空间向
量进行正交分解.
二、证明平行、共面问题
二、证明平行、共面问题
例1 如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′， DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明： (1)EG∥AC；
(2)平面EFG∥平面AB′C.
证（1）取基底{A—A→′，A→B，A→D}，因为E→G＝E—D→′＋—D′—→G ＝12A→D＋12A→B，A→C＝A→B＋A→D＝2E→G，所以E→G∥A→C，
在棱CD上，且CG＝
1 3CD.
(1)证明：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值.
证（1）设D→A＝i，→DC＝j，D→D1＝k，
则{i，j，k}构成空间的一个正交基底.
所以E→F＝E→D＋D→F＝－12k＋12(D→A＋A→B)＝12i＋12j－12k，—B1→C ＝—B1→B ＋B→C＝－i－k，所以E→F·—B1→C ＝12i＋12j－12k·(－i－k)＝－12|i|2＋12|k|2＝0，所以EF⊥B1C.
一、空间向量基本定理
一、空间向量基本定理空间向量如果三个向量a, b, c不共面, 那么对任意一个空间向量 p, 基本定理存在唯一的有序实数组( x, y, z), 使得 p xa yb zc.
空间任意
基
三个不共面的向量
底
都可以构
成空间的
一个基底
特别地,
如果空间的
单一个基底中的三
所以FG∥平面AB′C. 又由(1)知EG∥AC，可得EG∥平面AB′C，
又FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面AB′C.
二、证明平行、共面问题
【练1】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且

高考数学专题复习：空间向量基本定理

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高三数学复习(理)：第6讲 空间向量及其运算

空间向量基本定理(201908)

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