反演基本问题

1 病态矩阵

1.1概念----与奇异阵的区别

病态矩阵[1]是指求解方程组时对数据的小扰动很敏感的矩阵。解线性方程组Ax=b时，若对于系数矩阵A及右端项b的小扰动δA、δb,方程组(A+δA)χ=b+δb 的解χ与原方程组Ax=b的解差别很大，则称矩阵A为病态矩阵。

方程组的近似解χ一般都不可能恰好使剩余r=b-Aχ为零，这时χ亦可看作小扰动问题Aχ=b-r(即δA=0，δb=-r)的解,所以当A为病态时,即使剩余很小,仍可能得到一个与真解相差很大的近似解。

奇异阵就是行列式为零的矩阵。

1.2判断

A的最小奇异值可以衡量A与奇异值矩阵集合相距有多远[2]。【区别奇异值与特征值：方阵才有特征值】

条件数cond A=A∗A−1，当该式范数为欧氏范数时，

cond A=σmax

，越大则病态程度越严重

σmin

可以使用matlab中的cond函数来判断，用法c = cond(X)；

norm函数也可以，即条件数的第一种定义；

已经在matlab中验证条件数为1e8数量级的病态矩阵，用以上cond（）或norm（）的方法结果一致。见附录程序一。

反演程序中，cond(K)=2.6073e+09

2 矩阵除法及线性方程组的解

2.1 逆矩阵inv（）

在线性代数中，没有除法，只有逆矩阵。矩阵除法是MATLAB从逆矩阵的概念引申来的。先介绍逆矩阵的定义，对于任意n´n阶方阵A，如果能找到一个同阶的方阵V，使

AV=I

其中，I为n阶的单位矩阵eye(n)。则V就是A的逆阵。数学符号表示为

V＝A-1

逆阵V存在的条件是A的行列式det(A)不等于0，V的最古典的求法为高斯消去法，可参阅线性代数书。MATLAB已把它做成了内部函数inv，输入

V=inv(A)

就可得到A的逆矩阵V。如果det(A)等于或很接近于零，MATLAB会显示出出错或警告信息：“A矩阵病态（ill-conditioned），结果精度不可靠”。【病态矩阵：由于计算机软硬件的原因（精度、舍入误差什么的）对矩阵求解造成很大的误差】

注意：

1.求解方程组时很少直接采用inv（），而是用左除，无论是执行时间还是数值精度上都要优于直接求逆。

2.inv（A）中A必须为方阵，方阵才具有逆矩阵。

2.2 左除"\"和右除"/"

现在来看方程D*X=B，设X为未知矩阵，在等式两端同时左乘以inv(D)，即

inv(D)*D*X = inv(D)*B

等式左端inv(D)*D=I，而I*X=X，因此，上式成为

X = inv(D)*B = D\B

把D的逆阵左乘以B，MATLAB就记作D\，称之为“左除”。从D*X=B的阶数检验可知，B与D的行数相等，因此，左除时的阶数检验条件是：两矩阵的行数必须相等。

如果原始方程的未知矩阵在左而系数矩阵在右，即

X*D = B

则按上述同样的方法可以写出

X = B*inv(D) = B/D

把D的逆阵右乘以B，记作/D，称之为“右除”。同理，右除时的阶数检验条件是：两矩阵的列数必须相等。

6x=3 3x=6

6\3=0.5 6/3=2

2.3 常定、超定与欠定方程组

矩阵除法可以用来方便地解线性方程组。例如要求下列方程组的解x=[ x1; x2; x3]。

6 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3

-2 x1 + 5 x2 + 7 x3 = -4

8 x1 - 4 x2 - 3 x3 = -7

此式可写成矩阵形式 Ax=B，求解的MATLAB程序为

A = [6，3，4；-2，5，7；8，-4，-；

B = [3；-4；-；x = A\B

得 x = 0.6000

7.0000

-5.4000

MATLAB中的除法还可以用来解方程数不等于未知数个数的情况。比如再加上一个方程

x1+5 x2 -7x3 = 9

这时系数矩阵A1的阶数为4´3。不难看出A1的行数nA1是方程数，其列数mA1是未知数的个数，nA1>mA1，说明方程组是超定的，方程无解。照样列MATLAB程序

A1 = [6，3，4；-2，5，7；8，-4，-3；1，5，-；B1 = [3；-4；-7；；x1 = A1\B1

答案为 x1 = -0.1564

1.0095

-0.6952

它并未显示出错信息，却给出了解，这怎么可能呢？实际上，这时MATLAB 给出的是最小二乘解。把这个x1代入方程组，肯定任何一个方程都不满足，都可得出1个误差，把这4个误差的平方相加开方，称为均方差。解x1保证比其他任何解所得的均方差都小。

MATLAB 中的除法还可以用来解方程数少于未知数个数的情况，A1矩阵的nA1

3 为什么不直接得x=A +b ？

这个问题实际上是问为什么不用matlab 中的A\b ？反演遇到的一般为超定方程，从2.3节超定方程组分析看出，用matlab 直接得出的解使残差r=||b-Ax||最小；当遇到A 为严重病态时，由1.1节，r 最小仍可能得到一个与真值相差很大的近似解。

4 信噪比的定义

（1）SNR 定义为第一个回波的幅度值除以误差矢量r （ˆr b Ax

=- ）的标准差[3]。 （2）SNR 定义为采集回波串获取的首个数据1()y t 除以测量误差的标准差[4]。

1()/SNR y t = （3）"CAL_0526_2D09_band3"程序提出，信噪比定义为第三个回波幅度除以噪声的标准差。 5 回波串累加法提高信噪比

由于 NMR 信号强度随着累加次数α增加α

因此α次累加后，信噪比 SNR （ signal-to-noise ）

当我们把数据累加 100 次，SNR 就增加了 10 倍。这也是目前运用最广的提高核磁共振回波串信噪比的方法。

将多次测量的回波串信号进行累加，得到适合的信噪比 。另外，对于长T2分量，由于其衰减得很慢，单次测量有时会漏掉这类信息，增加回波串个数，经过多次累加后，增强了对衰减慢的长T2分量的分辨能力。