近世代数课后习题详细答案5

近世代数课后习题参考答案

第五章扩域

1扩域、素域

1. 证明：F(S)的一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集是一个域.

证一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集为 a 1) 若a,b ^送

则一定有a ^

…^n)

b FCh’ z —m)易 知 a-b FC'1^'2^ - n, -l/：

2^' , -m 但 F(「1,〉2,n, L 2…，F) V

从而 b-a ，、

2) 若 a,b V ,且 b = 0 则 —b ・ FCJ ：2,…,'-m)

从而有 ab

d

FC-1^-2^ : n, -1, -2/' , F) 7

2单扩域

1.令E 是域F 的一个扩域，而 a • F 证明a 是F 上的一个代数元，并且

F(a) =F

证 因a-a=0故a 是F 上的代数元.其次，因a ，F ,故

F(a) F 易见 F(a)二 F ，从而 F (a)二 F

2i +1 2 •令F 是有理数域•复数i 和2—1

在F 上的极小多项式各是什么?

3 .详细证明，定理3中 a 在域F 上的极小多项式是 p(x)

证 令山是F(x)中的所有适合条件 f(a)=0的多项式作成f (x)的集

合.

1)

-k 是F(x)的一个理想

(i )若 f(x),g(x)

：h 则 f (a) =0, g(a) =0

因而 f (a) -g(a) = 0 故 f (x) -g(x)山 ii )若f (x) •山，h(x)是F

(x)的任一元 那么 h(a)f(a) =0 则 h(x)f (x)山

2) 是一个主理想

设 p (x)是山中a !的极小多项式

2i +1 i 一1

F(i)与F( )是否同构？

i — 1 1,

在F 上的极小多项式为x 2 - x • 5

2i +1 2

因F(i) =F( ) 故这两个域是同构的.

i T 2i 1

i -1

那么，对山中任一f(X)有

f (x) =P i(x)q(x) r(x)

这里r(x) =0或r(x)的次数

但f(a)二P i(a)q(a) R(x)

因f(a) = 0, p i(a) =0 所以r(a) = 0

若r(x)=0 则与p1x是a的极小多项式矛盾.

故有f(x) = p1 (x)q(x)因而=(p1(x)

(3)因p(a)=0 故p(x) ■-

R(x)| p(x) 因二者均不可约，所以有p(x)=a»(x)

又p(x), p i(x)的最高系数皆为1那么a =1 这样就是p(x) = R (x)

4.证明：定理3中的F(a) = K

证设f • K,,则在定理3的证明中，K = K'之下有.

n n

f a n x - a n」x 川…川-a

但 a—；x, a i Q 故必f ^a n：n ' a n/n」a。

这就是说k FG ) 因而F(a)二K

3代数扩域

1•令E是域F的一个代数扩域，而「是E上的一个代数元，

证明圧是E上的一个代数元

证因为：•是F上的代数元

所以Q + …+e n a n

又因为E是F的代数扩域，从而FGc，…編) 是F的代数

扩域，再

有a是F(e°,e,…e n)上的代数元，故FCeneJeOua)

FG，e,…，e n」,e n )的有限扩域，由本节定理1 ,知FG,q, ,e n4,e n/)

是F的有限扩域，因而是F的代数扩域，从而a是F上的一个代数元.

2•令F ,E和L是三个域，并且F二二E，假定

(I : F)

而E的元「在F上的次数是n,并且(m,n) =1

证明：.在I 上的次数也是1 证设(I (〉)： I =r 因为 I (：•)二丨二F 由本节定理1 (I (a): F) =rm

另一方面，因为(F(cc) :F)|(I (a) :F 仍由本节定理！ ！ 即有nrm 但由题设知

(m,n)=1 故nr

又：•在I 上的次数是r ，因而其在I 上的极小多项式的次数是1 :-在I 上的次数是n ，因而其在F 上的极小多项式的次数是 n

由于〉在上的极小多项式能整除 :-在F 上的极小多项式

所以r 岂n 因而r = n

3 •令域！的特征不是2,

E 是

F 的扩域，并且

(E ：F)=4

证明存在一个满足条件

F I E 的E 的二次扩域 F 的充分与必要条是:

(E:F)=4，而〉在F 上的极小多项式是x 4

- ax 2

b

证充分性：

件的的二次扩域必要性: 由于存在I 满足条件F I E 且为F 的二次扩域

即(1: F) =2因此可得((E :1) =2 我们容易证明，当 F 的特征不是2时，且 则而！在！上的极小多项式是！ 同样 E = I (a)而［在x

2

- f 上的极小多项式是 这样 12

二 f , f • F,

：2 =i,i I

那么 i 2

二 f ,

2

2f ,f^ f 2

2

所以〉

4

=i

2

由于：•在F 上的极小多项式为 x 4 ax 2

b

故a 2

F F 及 a F F2(：

2

)

因而(F(a

2

)：F)=1 所以

(F(a 2

)：F)=2 由本节定理1知：

这就是说，F(a)是一个满足条