三角恒等变换教案

三角恒等变换

一、基础知识

1、两角和与差的余弦

cos(α＋β)＝ cos(α－β)＝ 两角和与差的正弦

sin(α＋β)＝ sin(α－β)＝ 两角和与差的正切

tan(α＋β)＝ tan(α－β)＝ (α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π

2，k ∈Z )

同角基本公式： ；

；

2、辅助角公式

a sin α＋

b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，

其中⎩⎪⎨

⎪⎧

cos φ＝ ，

sin φ＝ ，tan φ＝b

a

，角φ称为辅助角．

3、二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin2α＝_____________；(2)cos2α＝_____________＝________________＝______________； (3)tan 2α＝_______________ (α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2)．

4、半角的正弦、余弦、正切公式

=αsin ________________; =αcos ______________=________________=_____________

=αtan ________________

5、公式的逆向变换及有关变形

（1）sin αcos α＝______________⇒cos α＝sin 2α

2sin α

；

（2）降幂公式：sin 2α＝________________，cos 2α＝__________________； （3）升幂公式：1＋cos α＝____________，1－cos α＝________________； （4）1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝_________________. （5） |2cos

2

sin

|sin 1α

α

α+=+， |2

c o s 2s i n |s i n 1α

αα-=-

二、例题练习

三角函数恒等变换“四大策略”

(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；

(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．

考点1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 例1、已知1312cos -=θ，)23,(ππθ∈，求)4

tan(πθ-的值.

变式1、已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，tan β＝12

. (1)求tan α的值； (2)求sin (α＋β)－2sin αcos β

2sin αsin β＋cos (α＋β)的值．

考点2、辅助角公式

例3、化简

（1）x x cos 53sin 153+ （2）x x cos sin - （3）)4

cos(46)4sin(x x -+-π

π42

考点3二倍角与半角 例4、（1）求12

5cos

12

cos

π

π

的值. （2）已知135sin =α，),2

(ππ

α∈，求α2sin 、α2cos 、α2tan

变式2、若,5

3

)4

cos(=

-απ

则=α2sin ________________;

例5、函数x x y 2sin cos 22

+=的最小值是_____________;

变式1、求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值和最小值．

三、综合练习 例1、求值（1）︒︒

-︒20cos 20sin 10cos 2；

例2、若51)cos(=+βα，5

3)cos(=-βα，则=βαtan tan _________.

例3、已知6

π

βα=

+，且α、β满足0tan 3tan 2)tan (tan 3=+++βαβαa ，则α

t a n 等于________;

例4、已知sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin 2α＋tan α－1

tan α

－1的值．

例5、已知函数f (x )＝ 4cos 4x －2cos 2x －1

sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭

⎫π4－x .

(1)求f ⎝⎛⎭

⎫－11π

12的值； (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，求g (x )＝1

2

f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．

例6、对任意R y x ∈,,)4

2cos()42

sin(2cos sin π

π-++-=+y x y

x y x 恒成立，则=24

13cos 247sin

ππ______________

课堂练习

1.求下列各式的值：

（1）︒︒+︒︒55cos 10cos 35cos 80cos ； （2）12

cos 312

sin π

π

-；

（3）12

cos

12

sin π

π

+；

2.已知2tan =x ，则=-

)4

(2tan π

x （ ）

A.34

B.34-

C.43

D.4

3-

3.函数x x y cos sin +=图象的一条对称轴方程是 （ ）

A ．x ＝5π4

B ．x ＝3π4

C ．x ＝－π4

D ．x ＝－π

2

4.若0sin )cos(cos )sin(=+-+ββαββα，则=-++)2sin()2sin(βαβα（ ） A.1 B.-1 C.0 D.1±

5.已知α是第三象限角，且25

24sin -

=α，则2tan α

等于（ ）.

A.43-

B.43

C.34

D.3

4-

6.已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)等于 ( )

A.13 B ．－13 C.16 D ．－16

7.

=⋅+α

α

αα2cos cos 2cos 12sin 22（ ） A.αtan B.α2tan C.1 D.21