第十二章 动能定理2

18
2 mv2 9
y
45º 2a
a
x
R
v R
a
T 1 J 2
2
5 ma2 2
12
T 1 J 2
2
1 ( 3 mR2 ) 2
22
3 mR22
4
T
1 2
mvC2
1 2
J C 2
1 mv2 1 (1 mR2 )( v )2
2
22
R
3 mv2 4
§12-3 动能定理
1. 质点的动能定理
轴承、固定端等。
dr2
dr
F
F
2
F2
dr2
B
A
B F1
dr1 1
A dr1
F1
1
dr1
F2
光滑铰链、刚性二力杆以及不可伸长的细绳等作为 系统内的约束时，其中单个的约束力不一定不作功，但 一对约束力作功之和等于零，也都是理想约束。
dr2 2
一般情况下，滑动摩擦力与物体的相对位移反向，摩擦力作 负功，不是理想约束。
质心C为基点
主矢
主矩
FR ' d rC MCd
即:平面运动刚体上力系的功,等于刚体 上所受各力作功的代数和,也等于力系向
W12
C2 C1
F'R
d
rC
2 1
M
C
d
质心简化所得的力和力偶作功之和。
5. 理想约束及内力作功
约束力作功等于零的约束称为理想约束。
如光滑接触面、一端固定的绳索、滚动、固定铰支座、向心
M (
R1
m2
in )vC
g
s in
)s
vC 2
(M m2gR1 sin )s ,
R1(2m1 3m2 )
aC
2(M m2gR1 sin )
R1(2m1 3m2 )
FOy FOx
m1g
§12-4 功率和机械效率
1. 功率 单位时间内力所作的功称为功率
P W
F
d
r
dt
dt
F v Ftv
又如，由两个相互吸引的质点M1和M2 组成的质点系，两质点相互作用的力 F12和F21是一对内力，如图所示。虽然 内力的矢量和等于零，但是当两质点相 互趋近或离开时，两力所作功的和都不 等于零。
小结
M2
M1
F21
F12
质点系上的力
外力 内力
主动力 做功 约束力 非理想约束力做功
W内 0 刚体 W内 0
第十二章 动能定理
Theorem of Kinetic Energy
§12-1 功的概念和计算 §12-2 动能的概念和计算 §12-3 动能定理 §12-4 功率和机械效率 §12-5 势力场•势能•机械能守恒定律 §12-6 动力学普遍定理的综合应用
4. 平面运动刚体上力系的功
取刚体的质心C为基点，当刚体有无限小位移时，任一力Fi
但当轮子在固定面上只滚不滑时，接触点为瞬心，滑动摩擦 力作用点没动。此时的滑动摩擦力也不作功。因此，不计滚动摩 阻时，纯滚动的接触点也是理想约束。
必须注意，作用于质点系的力既有外力，也有内力。
刚体所有内力作功的和等于零。不可伸长的柔绳、钢索等所 有内力作功的和也等于零。
在某些情况下，内力虽然等值而反向，但所作功的和并不等 于零。例如，汽车发动机的气缸内膨胀的气体对活塞和气缸的 作用力都是内力，但内力功的和不等于零，内力的功使汽车的 动能增加。此外，如机器中轴与轴承之间相互作用的摩擦力对 于整个机器是内力，它们作负功，总和为负。
m
d
v
F
dt
m vd v Fd r
m
d
v
d
r
F
d
r
dt
d (1 mv2 ) W
2
动能定理的微分形式
质点动能的增加量等于作用在质点 上力的元功。
1 2
mv22
1 2
mv12
W12
动能定理的积分形式
在质点运动的某个过程中，质点动能的 改变量等于作用于质点的力作的功。
2. 质点系的动能定理
对于第i个质点有
作用点Mi的位移为随着质心的平动和绕质心的转动的微小位移
d ri d rc d rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc
作用在Mi上的力Fi的元功为
Wi F i d ri F i d rC F i d riC
Fi d riC Ficos CMid M C (F i )d
力系全部力的元功之和为
W F i d rC MC (F i )d
即:功率等于切向力与 力作用点速度的乘积。
作用于转动刚体上的力的功率
P Ftr M Z
作用于转动刚体上的力的功率等于 该力对转轴的矩与角速度的乘积。
单位：W（瓦特）,1W=1J/S
2. 功率方程
dT Wi
dT Wi
dt dt
Pi
功率方程
即质点系动能对时间的一阶导数,等于
作用于质点系的所有力的功率的代数和。
l
l
l/3
l 60
v
l sin 60
v
vc
1 2
l
3v 3
T 1 J 2
2
T 1 J 2
2
T
1 2
mvC2
1 2
J C 2
1 (1 ml2 )2
23
1 (1 ml2 )2
29
1 m( 3 v)2 1 1 ml 2 ( v )2
23
2 12 l sin 60
1 ml 2 2
6
1 ml22
n=112r/min，问允许切削力的最大值为多少？
解： 匀速转动 dT 0
dt
P有用
P输入
P无用
(1
30 100
)
P输入
3.78 kW
P有用 Fv F d n
2 30
F
60
nd
P有 用
n 42 r/min F 17.19 kN
n 112 r/min F 6.45 kN
§12-2 动能的概念和计算
1.质点的动能
1 mv2 2
单位：J（焦耳）
2. 质点系的动能
T
1 2
mivi2
(1) 平移刚体的动能
T
1 m 2i
vi2
1 2
vC2
mi
1 2
mvC2
(2) 定轴转动刚体的动能
z
T
1 2
mivi2
1 2
miri2 2
1 2
(mi ri 2
)
2
T
1 2
J z2
ri
vi
例12-2 卷扬机如图所示。鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱由静止 沿斜坡上拉。已知鼓论的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘 上；圆柱的半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。设斜坡的倾角
为，圆柱只滚不滑。求圆柱中心C经过路程s时的速度与加速度。
解：取鼓轮和圆柱体组成的质点系
M
T1 0
T2
1 2
mi
(3) 平面运动刚体的动能
T
1 2
J P 2
(P 为瞬心)
1 2
(JC
md T
2 )2
1 2
mvC2
1 2
J C 2
d
C P
平面运动刚体的动能，等于随质心平移的动能与绕质心转
动的动能的和。
2R
车轮纯滚动、质量分布在轮缘
T
1 2
mvC2
1 2
mR2 ( vC R
)2
mv
2 C
思考题
思12-1 求图示各均质物体的动能。设各物体质量皆为m 。
d
(
1 2
mi
vi2
)
Wi
n个方程相加
d (12mii2 ) Wi
dT Wi
(T
1 2
mivi2 )
质点系动能定理的微分形式
质点系动能的增加量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和。
T2 T1 Wi
质点系动能定理的积分形式
质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等 于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。
J112
(1 2
m2vC2
1 2
J
2
22
)
J1 m1R12
J2
1 2
m2 R22
C
2 vC / R2 1 vC / R1
m2g
W12 M m2g sin s s / R1
FS
FDN
T2
T1
W12
1 2
(2m1
3m2
1 4 )vC
(2m1 aC
3m2 (M
R1
)vC2 m2 g s
机器功率： Pi P输入 P有用 P无用
P输 入
P有 用
P无 用
dT dt
3. 机械效率
有效功率与输入功率的比值称为机器的机械效率，用η表示。
有效功率
输入功率 1
有效功率
P有用
dT dt
多级转动系统 1,2 n
例12-3 车床的电机功率Pλ=5.4kW。由于传动零件之间的摩擦，损 耗功率占输入功率的30%。如工件的直径d=100mm,转速 n=42r/min，问允许切削力的最大值为多少？若工件的转速改为
例12-1 质量为m的质点，自高h处自由落下，落到下面有弹簧支 持的板上，如图所示。设板和弹簧的质量可忽略不计，弹簧的 刚度系数为k。求弹簧的最大压缩量。
解：对重物从位置I到位置Ⅲ 应用动能定理
0
0
mg(h
max)
k 2
2 max
max
mg k
1 k
m2g 2 2kmgh
max
mg k
1 k
m2g 2 2kmgh