八年级数学上最短路径问题(一)
初二数学最短路径练习题及答案
初二数学最短路径练习题及答案导言：数学中的最短路径问题是指在网络图中寻找两个顶点之间路径长度最短的问题。
该问题在实际生活中应用广泛，比如在导航系统中为我们找到最短的路线。
对于初二学生而言，在学习最短路径问题时，题目练习是非常重要的。
本文将为初二数学学习者提供一些最短路径练习题及答案，帮助他们巩固知识和提高解题能力。
练习题一：某地有4个村庄A、B、C、D，它们之间的道路如下图所示。
要求从村庄A到村庄D，经过的道路距离最短，请你找出最短路径，并计算出最短路径的长度。
解答一：根据题目所给的道路图，我们可以使用最短路径算法来求解最短路径。
以下是求解过程：1. 首先，我们需要创建一个包含4个顶点的图，并初始化每条边的权值。
将A、B、C、D顶点分别标记为1、2、3、4。
村庄A到村庄B的距离为5，即A-5-B。
村庄A到村庄C的距离为3，即A-3-C。
村庄B到村庄C的距离为2，即B-2-C。
村庄B到村庄D的距离为6，即B-6-D。
村庄C到村庄D的距离为4，即C-4-D。
2. 接下来，我们使用迪杰斯特拉算法求解最短路径。
a) 首先，我们将起始顶点A的距离设置为0，其他顶点的距离设置为无穷大。
b) 然后，我们选择距离最短的顶点，并将其标记为已访问。
c) 然后，我们更新与该顶点相邻的顶点的距离。
如果经过当前顶点到达邻接顶点的距离比已记录的最短路径更短，就更新最短路径。
d) 重复上述步骤，直到找到最短路径为止。
3. 经过计算，最短路径为A-3-C-4-D，距离为7。
练习题二：某城市有6个地点，它们之间的交通图如下所示。
请你计算从地点A到地点F的最短路径，并给出最短路径的长度。
解答二：根据题目所给的交通图，我们可以使用最短路径算法来求解最短路径。
以下是求解过程：1. 首先，我们需要创建一个包含6个顶点的图，并初始化每条边的权值。
将地点A、B、C、D、E、F分别标记为1、2、3、4、5、6。
地点A到地点B的距离为4，即A-4-B。
专题01 最短路径问题1 (原卷版)-初中数学几何专题之冲刺2022年满分突破大全
【模型1】蚂蚁沿立方体的表面爬行，从A点到B点的最短路径？【路径演示】（1）AB=bc2)(a22222+++=++cbacb；（2）AB=b2)(c22222acbaab+++=++；（3）AB=c2)(b22222acbaac+++=++。
模型讲解1由此可见，ab 、bc 、ac 谁小，则路径就最小。
【结论】 最短路径=22)(次长边最短边最长边++【模型2】 蚂蚁沿圆柱体的表面爬行，从A 点到C 点的最短路径？【路径演示】由图可知蚂蚁爬行的最短路径AC=22h )(+r π方法点拨一、解决方法：①确定水平方向移动路程②确定竖直方向移动路程③利用勾股定理求解二、方法解析：如图：点从点A出发到C点，可以看成先从A到D（水平移动），再由D到C（竖直移动）两个步骤完成例题演练1．如图，一个长方体的长宽高分别是6米、3米、2米，一只蚂蚁沿长方体的表面从点A 到点C'所经过的最短路线长为（）A ．B ．C ．D．以上都不对【解答】解：如图所示，路径一：AC ′＝＝；路径二：AC ′＝＝；路径三：AC ′＝＝；∵61＜73＜85，∴为最短路径．故选：C．2．如图，圆柱体盒子放在水平地面上，该圆柱体的高为9cm，点M离盒底的距离为3cm，底面半径为cm，一只蚂蚁沿着该圆柱体盒子的表面从点M爬行到点N，则该蚂蚁爬行的最短路程为（）cm．A．6B．10C．D．【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点M，N的最短距离为线段MN的长，∵AM＝9﹣3＝6（cm），AN为底面半圆弧长，AN＝•π＝8（cm），在Rt△AMN中，MN＝＝＝10（cm）．故选：B．3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（）A．18B．15C．12D．8【解答】解：将台阶展开，如图，因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝9，所以AB2＝AC2+BC2＝225，所以AB＝15，所以蚂蚁爬行的最短线路为15．故选：B．强化训练1．如图，长方体的高为9cm，底边是边长为6cm的正方形，一只美丽的蝴蝶从顶点A开始，爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（）A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm2．如图，有一长方体容器，AB＝3，BC＝2，AA'＝4，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点C 爬到点A'的最短爬行距离是（）A ．B ．C．7D ．3．如图所示是一个长方体纸盒，纸盒的长为12cm，宽为9cm，高为5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点G，蚂蚁爬行的最短路程是cm．4．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，4cm的长方体木块，一只蚂蚁沿如图所示路径从顶点A处在长方体的表面爬到长方体上和A相对的棱的中点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．cm B．cm C．cm D．cm5．如图，长方体的长EF为3cm，宽AE为2cm，高CE为4cm，B是GF的中点，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点D爬到点B，那么它需要爬行的最短距离是（）A．5cm B．cm C．（2+3）cm D．（2+）cm6．如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为CD的中点．一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为（）A．B．C．10 D．7．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（）A．20cm B．2cm C．（12+2）cm D．18cm8．如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S，则移动的最短距离为（）A．10B．12C．14D．209．如图，有一圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，则梯子最短需m（油罐底面圆的周长为15m，高AB＝8m）．10．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（）A．10B．50C．120D．13011．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于55dm、10dm和6dm，A和B 是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则这只蚂蚁从A点出发沿着台阶爬到B点的最短距离是dm．12．如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？13．（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．。
八年级数学上培优专题七最短路径问题
精品文档专题七最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．ABllCCA，使如图所示，点异侧的两个点，在，上找一个点分别是直线CBClAB的交点．与是直线＋最短，这时点(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．ABllCCA，使，同侧的两个点，在如图所示，点分别是直线上找一个点CBBlBClAB′的关于直线是直线的对称点＋与最短，这时先作点′，则点交点．CC′，连接为了证明点的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点ACBCBCACCBACCB.如下：′，′，＜′′′，证明′＋＋BBl对称，证明：由作图可知，点′关于直线和lBB′的垂直平分线．是线段所以直线CCl上，因为点′在直线与BCBCBCBC′所以.＝′＝′′，ABCABACBC′，′＋′中，′＜′在△′ACBCACBC′，＜′所以′＋＋′ACBCACCB.＜′所以′＋＋lMAB两点的距离和最小．，使它到 1】在图中直线上找到一点，【例l然后连接对称点和另一个点，先确定其中一个点关于直线的对称点，分析：Ml与直线为所求的点．的交点即BlB(1)作点关于直线′；的对称点如图所示：解：MABl.(2)连接′交直线于点精品文档．精品文档M即为所求的点．则点 (3)点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．ABAB村与如图，小河边有两个村庄，要在河边建一自来水厂向，【例2】村供水．AB村的距离相等，则应选择在哪建厂？，(1)若要使厂部到AB两村的水管最短，应建在什么地方？，(2)若要使厂部到AB两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段，分析：(1)到ABEF 的交点即为的垂直平分线，与两端点的距离相等”，又要在河边，所以作符合条件的点．AB村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”(2)要使厂部到，村、ABEFBEF的交点即为所求． )点关于点，与作的对称点，连接对称点与(或ABGGABEFP，画如图解：(1)1，取线段于的中点的垂线，交，过中点1PABABAB为半径画弧，两到、，为圆心，以大于的距离相等．也可分别以则2EFP即为所求．的交点弧交于两点，过这两点作直线，与AEFAABEFP，则′，连接′于交，画出点如图(2)2关于河岸的对称点PAB的距离和最短．到，精品文档．精品文档BA，今欲在河上建一)如图，从(地到河岸平行地经过一条小河【例3】BA地到座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从地的路程最短？MNNBAABM是定值，思路导引：从→到→要走的路线是→，如图所示，而BNAM 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，于是要使路程最短，只要＋BCCBMNAC 的线段即为最短的，此时不到平移到应是余下的路程，连接，从MNN难说明点即为所建的桥．即为建桥位置，ACACA垂直于河岸，且使(1)如图2，过点等于河宽．作解：NBC.连接与河岸的一边交于点(2)MN. 作河岸的垂线交另一条河岸于点(3)过点MN 则为所建的桥的位置．．生活中的距离最短问题4求距离之和最小)可知，由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边从就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，问题，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转而解决这个问题，运用轴对称性质，ACBOAO的长．所以作已知点关于某直线的对称点是＋化成一条线段，如图，＝解决这类问题的基本方法．班举行文艺晚会，桌子摆成如图(2) (】实际应用题)茅坪民族中学八【例4OBAOBOAO桌面上摆满了糖果，，)图中的，桌面上摆满了橘子，(a所示两直排DC请你帮助他设计一处座位上，然后到站在处的学生小明先拿橘子再拿糖果，条行走路线，使其所走的总路程最短？精品文档．精品文档b图图ab.解：如图DDCOBCOACD，点关于，的对称点(2)，作连接点关于(1)作的对称点1111DPQOBPQCOA 的路线行走，所走的总路程最于→，，→，那么小明沿分别交→短． 5.运用轴对称解决距离之差最大问题先做出利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．所得直线与对称轴其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证的交点，即为所求．明这就是最大值．运用轴对称变换及三角形三边关系解决距离的最值问题的关键破疑点是解决一些距离的最值问题的有效方法．CClABl，使点，两点在直线如图所示，上找一点的两侧，在【例5】BA、的距离之差最大．到点BAABl作直，′的对称点(分析：此题的突破点是作点′(或或)关于直线)ClBABA边把问题转化为三角形任意两边之差小于第三′)线与直线′，(交于点来解决．BAAllA′′，解：如图所示，以直线关于直线为对称轴，作点的对称点CCllC异于点即为所求．理由：在直线的连线交′于点上任找一点，则点(llBAACCCACACA 为线.)，连接，因为点′′关于直线，，′′，对称，所以′BACACBCAAACACACB 又因为段′的垂直平分线，则有′－＝′′，所以＝－＝.BACCAAACABCCCBClC′＝′.′在△′′′中，＝′－′－′点′在上，所以′CBBCCAABAC′＜.－＜′，所以′′－通过比较来说明最值问根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，点拨：题是常用的一种方法．精品文档．精品文档精品文档．。
八年级数学上册人教版课件：1最短路径问题
将点B“移”到l 的另一侧B′
处，满足直线l 上的任意一点
A
·
C，都保持CB 与CB′的长度
相等？
B
·
l
探究 活动 1
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
B
追问2 你能利用轴对称的 A
·
有关知识，找到上问中符合条
·
件的点B′吗？
l
探究 活动 1
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
A
·
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
C
于点C．
则点C 即为所求．
B
·
l B′
探究 活动 1
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
即 AC +BC 最短．
B′
探究 活动 1
证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一 点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
N
A/
P
Q
B/
A
M
B
l
探究 活动 3
（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的 两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使 从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平 行的直线，桥要与河垂直。）
人教版八年级数学上册1课题学习最短路径问题(第一课时)课件
P1
CC O
DD
A PC+CD+DP
思考：你能利用解决牧 马人饮马问题的办法， 解决本题吗？
P
= P1C+CD+DP2 利用轴对称(实现线段转移).
B
两点之间，线段最短．
P2
拓展提升
如图，分别在OA、OB上求作点C、D，使得
PC+CD+DP和最短．
P1
A 作法：
C
（1）过点P分别作关于OA、OB的对称点
依据：
两点之间，线段最短
解决问题二
例:如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
A
B
A l
C
l
A、B在直线l的同侧
B
A、B在直线l的异侧
思考2：能否通过图形的变换，把左边未知的问题 转化为我们右边研究过的问题呢？
解决问题二
例:如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
B
A l
C
问题转化为：
八年级—人教版—数学—第十三章
13.4课题学习 最短路径问题（第一课时）
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题．
2.能把实际问题抽象为数学问题，体会图形的变化
在解决最值问题中的作用，感悟转化和类比思想．
学习重点
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段 最短”问题．
情境引入
观察图片，生活中你通常如何选择路径，使所走路 径最短呢？
D
B
P2
思想方法：类比、转化
课堂小结
最短路径问题：
解决方法：利用轴对称实 现线段的转移，化折为直. 理论依据：两点之间，线 段最短. 思想方法：类比、转化.
人教版初中数学八年级上册第十三章13.4课题学习 最短路径问题(第一课时)
13.4课题学习
最短路径问题请你在以下日常情境中，为牧民设计最短行动路线，并说明你利用了什么原理？
情境1:牧民从蒙古包出发，将马群赶到A 处放牧
作图：原理：。
情境2:牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边l 处饮马
作图：
原理：。
情境3:牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后骑马趟过河到B 地（河的宽度可忽略）。
作图：原理：。
情境4：傍晚，牧马人从的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
追问：如何说明所做路径最短？
数学
问题数学
问题数学
问题
（1）（2）
情境5：如图，A为马厩，牧马人某一天要把马从马厩牵出，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到马厩.请你帮他确定这一天的最短路线.
数学
问题
知识迁移
2.如图,∠AOB=30°,P是∠AOB内任意一点,OP=3cm,M,N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN 周长的最小值是cm.
拓展提升
情境6：如图，牧人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后再到草地去喂马，最后返回到B地，牧人饮马，喂马，要如何行走，可使所走的路径最短？。
八年级初二上册数学 人教版《课题学习 最短路径问题》 练习试题 测试卷(含答案)(1)
《13．4课题学习最短路径问题》课时练一、选择题1．如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B=（）A．60°B．70°C．80°D．90°2．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°3．如下图是一个的正方形，现要在中轴线上找一点，使最小，则的位置应选在（）点处．A．P B．Q C．R D．S4．如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，BC边上的高AD=8，E是AD上的一个动点，F是边AB的中点，则EB+EF的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．86．如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（）A．44°B．60°C．67°D．77°7．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是(）A．2∠A=∠1﹣∠2 B．3∠A=2(∠1﹣∠2）C．3∠A=2∠1﹣∠2 D．∠A=∠1﹣∠28．附图（①）为一张三角形ABC纸片，P点在BC上．今将A折至P时，出现折线BD，其中D点在AC上，如图（②）所示．若△ABC的面积为80，△DBC的面积为50，则BP 与PC的长度比为何？（）A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：89．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下，这样剪得的三角形中（）A．AH=DH≠AD B．AH=DH=AD C．AH=AD≠DH D．AH≠DH≠AD10．如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内的一个定点，OP=20cm，点C、D分别是OA、OB上的动点，连结CP、DP、CD，则△CPD周长的最小值为( )A．10cm B．15cm C．20cm D．40cm 二、填空题11．如图,把△ABC沿直线DE翻折后得到△A′DE,如果∠A′EC=32°,那么∠A′ED=．12．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，PN+PM+MN的最小值是5cm，则∠AOB的度数是．13．如图，已知点P在锐角∠AOB内部，∠AOB=α，在OB边上存在一点D，在OA边上存在一点C，能使PD+DC最小，此时∠PDC= ．14．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是．15．如图，△ABC中，AB=AC，BC=5，S△ABC=15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为__________．16．如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC，BE⊥AC，P为AD上一动点，则PE+PC最小值为．三、作图题17．要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）．修在河边什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由．18．如图，已知点A，B(3，﹣2)在平面直角坐标系中，按要求完成下列个小题．(1)写出与点A关于y轴对称的点C的坐标，并在图中描出点C；(2)在(1)的基础上，点B，C表示的是两个村庄，直线a表示河流，现要在河流a上的某点M处修建一个水泵站，向B、C两个村庄供水，并且使得管道BM+CM的长度最短，请你在图中画出水泵站M的位置．19．作图题：如图，已知点A，点B，直线l及l上一点M．（1）连接MA，并在直线l上作出一点N，使得点N在点M的左边，且满足MN=MA；（2）请在直线l上确定一点O，使点O到点A与点O到点B的距离之和最短，并写出画图的依据．20．如图，在所给的网格图中，完成下列各题（用直尺画图，否则不给分）（1）画出格点△ABC关于直线DE的对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点P，使PA+PC最小；（3）在DE上画出点Q，使QA﹣QB最大．四、解答题21．（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．参考答案1．D 2．D 3．B 4．D 5．D 6．C 7．A 8．A 9．B 10．C 11．74°．12．30°．13．2α．14．7．15．6．16．；17．解：先作点B关于河岸的对称点，然后连接此对称点与点A，交河岸于点P，点P即为所求．18．解：(1)写出与点A关于y轴对称的点C的坐标(﹣2，1)，点C位置如图所示．(2)①作点B关于直线a的对称点B′，②连接CB′与直线a的交点为M．点M就是所求的点．(理由是两点之间线段最短)19．解：（1）作图如图1所示：（2）作图如图2所示：作图依据是：两点之间线段最短．20．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，连接A1C交DE于点P，点P即为所求；（3）延长AB交DE于点Q，点Q即为所求．21．解：（1）如图1，作C关于直线AB的对称点C′，连接C′D交AB于点P．则点P就是所要求作的点．理由：在l上取不同于P的点P′，连接CP′、DP′．∵C和C′关于直线l对称，∴PC=PC′，P′C=P′C′，而C′P+DP＜C′P′+DP′，∴PC+DP＜CP′+DP′∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′即△CDP周长小于△CDP′周长；（2）如图2，作P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB 于F，则点E，F就是所要求作的点．理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P′，∵C和P关于直线OA对称，∴PE=CE，CE′=PE′，PF=DF，PF′=DF′，∵PE+EF+PF=CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′=CE′+E′F′+DE′，∴CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′，′∴PE+EF+PF＜PE′+PF′+E′F′；（3）如图3，作M关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB 于F，则点E，F就是所要求作的点．理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P′，∵C和P关于直线OA对称，∴PE=CE，CE′=PE′，PF=DF，PF′=DF′，由（2）得知MN+ME+EF+MF＜ME′+E′F′+F′D．。
八年级数学人教版上册13.4课题学习最短路径问题(第一课时)优秀教学案例
（五）作业小结
1.作业布置：布置一些有关最短路径问题的课后作业，让学生进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力。
2.作业反馈：对学生的作业进行及时批改和反馈，指出其中的错误和不足，给予肯定和建议。
3.课后拓展：鼓励学生参加数学竞赛、研究性学习等活动，拓宽视野，培养创新精神。同时，关注学生在学习过程中的情感态度和价值观的培养，引导他们关爱他人、乐于助人，形成良好的品德素养。
2.利用多媒体展示典型实例，让学生更好地理解和掌握最短路径问题的解决方法。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养他们的合作精神和团队意识。
4.注重个体差异，给予学生个性化的指导，帮助他们在原有基础上得到提高。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，让他们感受到数学在生活中的实际应用，提高学生学习数学的积极性。
4.反思与评价：引导学生进行自我反思和同伴评价，培养学生的批判性思维和自我改进的能力。同时，教师对学生的学习过程和结果进行评价，注重鼓励性评价，激发学生的学习兴趣和自信心。
5.课后拓展与情感态度培养：布置相关的课后作业，让学生进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力。同时，关注学生在学习过程中的情感态度和价值观的培养，引导他们关爱他人、乐于助人，形成良好的品德素养。
五、案例亮点
1.生活情境导入：通过生活情境导入新课，使学生能够直观地感受到最短路径问题的实际意义，激发学生的学习兴趣和积极性。
2.多媒体辅助教学：利用多媒体展示典型的最短路径问题实例，使抽象的问题具体化、形象化，有助于学生更好地理解和掌握知识。
3.问题导向与小组合作：提出具有挑战性的问题，引导学生进行小组讨论和合作交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
八年级数学人教版上册13.4最短路径问题(第一课时)优秀教学案例
（一）知识与技能
1.理解最短路径问题的实际应用背景，认识到最短路径问题在生活中的重要性。
2.掌握利用图的性质寻找最短路径的方法，能够运用所学知识解决实际问题。
3.了解最短路径问题的基本概念，如路径、权重、最短路径等。
4.学会使用图论中的算法求解最短路径问题，如迪杰斯特拉算法。
（二）过程与方法
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.生活情境引入：通过展示城市交通网络图，引导学生关注实际生活中的最短路径问题，激发学生的学习兴趣。
2.创设问题情境：提出问题：“如何在城市交通网络中找到从一个地点到另一个地点的最短路径？”引导学生思考和提出解决问题的方法。
（二）讲授新知
1.图的基本概念：介绍图的定义、图的节点和边等基本概念，为学生理解最短路径问题打下基础。
5.知识拓展与延伸：在教学过程中，不仅关注学生对知识的掌握程度，还注重引导学生思考最短路径问题在其他领域的应用，激发学生的学习兴趣和拓展思维。通过知识拓展与延伸，学生能够更好地将所学知识应用于实际生活中，提高他们的数学应用能力。
在教学过程中，我以城市交通网络为背景，设计了一系列具有挑战性的问题，引导学生从实际情境中发现问题、提出问题，激发学生的探究兴趣。同时，我充分发挥学生的主体作用，组织学生进行合作探究，引导他们通过画图、讨论等方式，寻找解决问题的策略。
在教学评价方面，我注重过程性评价与终结性评价相结合，不仅关注学生对知识的掌握程度，更注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。通过本节课的教学，使学生能够运用所学的知识解决实际生活中的最短路径问题，提高他们的数学应用意识。
3.评价原则：评价应具有客观性、发展性、指导性，能够激发学生的学习动力和自我提升意识。
初二数学培优专题 (4)——最短路径问题(答案详解)
.
【变式 2】（2016-2017 上青羊初二期末）
如图，一次函数 y 1 x 2 的图象分别与 x 轴、 y 轴交于点 A、B，以线段 AB 为边在第二象限 2
内作等腰 Rt△ABC，∠BAC=90°．
（1）求线段 AB 的长；
（2）过 B、C 两点的直线对应的函数表达式．
（3）点 D 是 BC 中点，在直线 AB 上是否存在一点 P，使得 PC PD 有最小值．若存在，则
- 14 -
初二数学培优专题(4)
答案 例 5 如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点 A 竖直剖开）后，侧面是一个长 18 cm，宽 12 cm 的长方形，作点 A 关于杯上沿 MN 的对称点 B，连接 BC 交 MN 于点 P，连接 BM，过点 C 作 AB 的垂线交剖开线 MA 于点 D.
由轴对称的性质和三角形三边关系知 AP+PC 为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且 AP=BP. 由已知和长方形的性质，得 DC=9,BD=12.
C
【变式 2】两动两定
O
B
如图，∠AOB＝30°，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM＝1，ON＝3，点 P、Q 分别
在边 OB、OA 上，则 MP＋PQ＋QN 的最小值是_________．
-4-
Hale Waihona Puke 初二数学培优专题(4)答案 【例 2】解：
【变式 1】10，120° 【变式 2】
-5-
初二数学培优专题(4)
最短路径问题
——将军饮马及拓展、胡不归问题、立体图形的展开图问题
（一）“两点之点线段最短”问题(对称求最短路径)
1.“两定点,一个动点”——“将军饮马”
当题中只出现一个动点时,可作其中一定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线 段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值 【例 1】（2015 内江中考）如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点
人教版八年级数学上册1最短路径问题教学课件
如图，在直线 上求作一点 ，使得 + 最短.
、 在直线 异侧
′
、 在直线 同侧
例：造桥选址问题
例
如图， 和 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥
. 桥造在何处可使从 到 的路径 最短（假定
河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）?
作 ′ 关于直线 的对称点 ′′.
′
′
′
′′
连接 ′′，与直线 交于一点即
为所求点 .
问题
在直线 上求作两点 ，，使
得四边形 的周长最小.
练习 已知线段 ，点 、 在直线 的同侧，在直线 上求
作两点 ，（点 在点 的左侧）且 = ，使得
四边形 的周长最小.
思考
哪些点是定点？
哪些点是动点？
思考
问题是否可以简化？
问题转化为：
当点 在什么位置时， + + + 最小.
问题转化为：当点 在什么位置时， + 最小.
′
思考
通过哪种图形的变化（轴对称，平移等），
座桥 ．桥造在何处可使从 到 的路径
最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
当点 在直线 的什么位置时，
+ + 最小？
实际问题用数学语言表达.
人教版数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题(1课时)教案与反思
13．4 课题学习最短路径问题知人者智，自知者明。
《老子》棋辰学校陈慧兰一、基本目标【知识与技能】1．理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定．2．理解并掌握平面内两平行线异侧有两个点，则在平行线间何处作垂线段使得顺次连结的三条线段之和最小的位置的确定．【过程与方法】经历观察—画图—说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力及把实际问题转化为数学问题的能力，感悟转化思想，数形结合思想的运用．【情感态度与价值观】从生活实际问题出发，唤起学生的学习兴趣，激发学生学习欲望，从而主动参与数学学习活动中，体会解决问题的成功感受，同时感悟数学来源于生活又用于生活．二、重难点目标【教学重点】利用轴对称解决简单的最短路径问题．【教学难点】利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P85～P87的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，要在街道旁修建一个供水站，向居民区A、B提供饮用水，分别满足以下条件，供水站应建在什么地方？(1)使从A、B到它的距离相等；(2)使从A，B到它的距离之和最短．解：(1)建在线段AB的垂直平分线与街道的交点上．(2)建在点A关于街道的对称点和点B的连线与街道的交点上．图略．2．如教材P87图13.4－9，路径AMNB最短的依据是什么？解：依据有2点：①平移前后的线段平行且相等；②两点之间线段最短．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如教材P87图13.4－9，求证：AM＋MN＋NB<AM′＋M′N′＋N′B.【互动探索】(引发学生思考)证明线段间的不等式关系，一般从三角形的三边关系入手．【证明】由题意，得AM＝A′N，AM′＝A′N′，MN＝M′N′.∴AM＋NB＝A′N＋NB＝A′B.又∵A′B<A′N′＋N′B，∴AM＋NB<M′＋N′B.∴AM＋NM＋NB<AM′＋M′N′＋N′B.【互动总结】(学生总结，老师点评)运用三角形的三边关系证明线段和之间的不等关系是常用的技巧．活动2 巩固练习(学生独学)某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO、BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？解：如图：(1)作C点关于O的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1；(2)连结C1D1，分别交OA、OB于P、Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，A、B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．【互动探索】题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三形任意两边之差小于第三边来解决．【解答】如图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B 的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连结CA、C′A、C′A′、C′B.因为点A、A′关于直线l对称，所以l为线段A′的垂直平分线，则CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A－C′B＜CA－CB.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用一种方法．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)利用轴对称、平移等变换可以解决最短路径问题．请完成本课时对应练习！【素材积累】宋庆龄自1913年开始追随孙中山，致力于中国革命事业，谋求中华民族独立解放。
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八年级上册数学
最短路径问题
将军饮马问题
绵阳市第五中学
学会
学会求最短路径问题（两条线段的和
最小，三角形的周长最小）.
学会用轴对称变换知识解决问题（典
型问题：将军饮马问题）.
知识点
1.两点的所有连线中，线段最短.
2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
3.在一个三角形中，任意两边之和大于第三边.
在一个三角形中，任意两边之差小于第三边.
4.线段垂直平分线上的点和线段两端点的距离相等.
5.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一
对对应点所连线段的垂直平分线.
如图所示，从A 地到B 地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？学.科.网.zxxk
两点之间,线段最短F
E D C
B A ①②
③
知识点应用（两定点）
如图：在铁路旁边有
张庄一张庄，现在要建一火车
站，为了使张庄人乘火车
最方便（即距离最近），
请你在铁路上选一点来建
火车站，并说明理由。
垂线段最短
P 所以泵站建在点P 可使输气管线最短··A B
燃气管道l 如图，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
连接AB,线段AB 与直线l 的
交点P ，就是所求。
将军饮马问题
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
B
A
l
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
B
A
l
这是一个实际问题，我们首先把它抽象为数学问题。
将A，B 两地抽象为两个点（两个固定的点），将河l 抽象为一条直线（一条固定的直线）．
B
·
A
·
l
（1）从A 地出发，到河边l 某地饮马，然后到B 地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处（运动的点），把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．
B
A
l
C
A B
l
B ′
C
如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
数学问题（两定点一定直线）
A B
l
B ′
C
如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
作法：（1）作点B 关于直线l 的对称
点B ′；
（2）连接AB ′，与直线l 相交
于点C ．
则点C 即为所求．
解决问题作图
B
·
l
A
·
C
C ′
证明：在△AB ′C ′中，AB ′＜AC ′+B ′C ′，
∴AC +BC ＜AC ′+BC ′．即AC +BC 最短．你能用所学的知识证明AC +BC 最短吗？如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？
B ·
l
A
·
C
C ′
将A ，B 两地抽象为两个点（两个固定的点，并且在定直线的同侧），将河l 抽象为一条直线（一条固定的直线）．解决问题的方法
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边L饮马，然后到B地。
牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路
径最短？
问题解决方法多
解决问题的方法
“两点的所有连线中，线段最短” “连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等问题，我们称它们为最短路径问题.
最短路径问题在现实生活中经常碰到，今天我们就通过几个实际问题,具体体会如何运用所学知识选择最短路径.
1.类型
（1）两点
（2）一点（点在直线外）和一直线
（3）两点（点在直线外）和一直线
（3a）两点在直线l的异侧（3b）两点在直线l的同侧
（3a ）两点在直线l 的异侧
（3b ）两点在直线l 的同侧
（4）两点两直线，一点两直线。
C
B
A
C
B A
A ′
l
l
2.转化的关键
（1）、实际生活问题数学问题
（2）、两点在直线同侧问题
两点在直线异侧问题。
转化转化
实际问题
转
化数学问题
最短路径问题（线
段和最小值问题）
将军饮马
轴对称两点在直线异侧的问题两点之间，线段最短
依
据
最短路径问题总结(轴对称)
理解练习
1B处
（1）作AB 的中垂线交l 于点C ，如图.解：l A
B
C
（2）如图.
A’C
如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 是AB 边上的中点，点E 是BC 边上的动点，请问点E 在BC 的什么位置,可使AE+DE 的值最小.（两定点A 、D ，一定直线BC ）A
B
C D
如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的一点，点P 是对角线AC 上一动点，请问点P 在什么位置,可使EP+BP 的值最小.你能找到吗?（两定点E 、B ，一定直线AC ）A B
C
D E
如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山
脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．
A B
C
P Q 山
河岸大桥解决实际问题（两定点一定直线）
基本思路：
连接PQ ．将河岸抽象为一条直线BC （一条定直线），这样问题就转化为“点P ，Q (两个定点)在直线BC 的同侧，如何在BC 上找到一点R ，使PR 与QR 的和最小”．A B C
P Q 山
河岸大桥。