高三数学总复习讲义——函数概念

高三数学总复习讲义——函数概念

一、 知识清单

1．映射：设非空数集A ，B ，若对集合A 中任一元素a ，在集合B 中有唯一元素b 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射，记为f ：A →B ，f 表示对应法则，b=f(a)。若A 中不同元素的象也不同，且B 中每一个元素都有原象与之对应,则称从A 到B 的映射为一一映射。 2．函数定义：函数就是定义在非空数集A ，B 上的映射，此时称数集A 为定义域，象集C={f (x )|x ∈A}为值域。

3．函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。

4．函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.

注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。

5．函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法（反解法）；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法.

注:⑴求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便. ⑵常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 ① 函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R; ② 二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++=

当0>a 时值域是24[,)4ac b a -+∞,当0

b a

c 442-]； ③ 反比例函数)0,0(≠≠=x k x

k y 的值域为}0|{≠y y ；

④ 指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且的值域为； ⑤ 对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R ； ⑥ 函数sin ,cos ()y x y x x R ==∈的值域为[-1，1]； ⑦ 函数 2

k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R ； 二、

课前练习

1.若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =,则到的映射有个，到的映射有个；若}3,2,1{=A ，},,{c b a B =, 则到的一一映射有个。

2. 设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射下，象20的原象是 ( )

（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5

3.已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则==)(r f S ；定义域为。

4. 求函数2

14

3)(2-+--=

x x x x f 的定义域.

5. 若函数)(x f y =的定义域为[-1,1]，求函数)41(+=x f y )4

1

(-⋅x f 的定义域。

6.已知[]221()12,()x g x x f g x x

-=-= (x ≠0),求1

()2f .

7. 求函数2y x =+. 8. 下列函数中值域为()∞+，0的是( ) (A) x

y -=21

5

(B) x

y -⎪

⎭

⎫

⎝⎛=131 (C) 121-⎪⎭

⎫

⎝⎛=x

y (D) x y 21-=

三、 典型例题

EG1、A =｛1，2，3，4，5｝，B =｛6，7，8｝从集合A 到B 的映射中满足f （1）≤f （2）≤f （3）≤f （4）≤f （5）的映射有个。

变式1、若f :y =3x +1是从集合A ={1，2，3，k }到集合B ={4，7，a 4，a 2+3a }的一个映射，求自然数a 、k 的值及集合A 、B.

变式2、集合M ={a ，b ，c }，N ={－1，0，1}，映射f :M →N 满足f （a ）+f （b ）+f （c ）=0，那么映射f :M →N 的个数是多少？

EG2、设函数()f x =()

g x =

，求函数()()f x g x 的定义域. 变式1： 函数)13lg(13)(2++-=

x x

x x f 的定义域是

A.),31(+∞-

B.)1,31(-

C. )31,31(-

D.)3

1,(--∞

变式2：设()x x x f -+=22lg

，则⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为 A.()()4,00,4 - B.()()4,11,4 -- C.()()2,11,2 -- D.()()4,22,4 --

函数值域

求函数值域是函数中的重要问题之一，在后续课程的学习中也有许多应用，求函数的值域要涉及多种数学思想方法和函数、方程、不等式等到相关知识，求函数值域是函数学习的一个难点，为此本文介绍几种常见的求法． 一、用非负数的性质

例１ 求下列函数的值域：y=-3x 2+2; 变式：y=5+21+x (x ≥-1).

二． 分离常数法

对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．

例２ 求下列函数的值域：y=

1

2

++x x 变式2、y=1

1

22+-x x .

三、利用函数单调性

已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法． 例３ 求函数y=3x-x 21-的值域.

四、利用判别式

特殊地，对于可以化为关于x 的二次方程a(y)x 2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用

0()0,a y y x ∆≥≠且求出的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的值． 例4 求函数y =

4

32+x x

的最值． 变式：2222

1

x x y x x -+=++；

五、利用数形结合

数形结合是解数学问题的重要思想方法之一，求函数值域时其运用也不例外． 例5 若（x+21y -）(y-21x -)=0,求x-y 的最大、最小值．

变式：函数y =的值域.

六、利用换元法求值域

有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑． 例6 求函数y=2x-5+x 415-的值域． 变式：求函数x x y -+=142的值域

七、利用反函数求值域

因函数y=f(x)的值域就是反函数y=f -1(x)的定义域，故某些时候可用此法求反函数的值域．

例7 求函数y=2

x

x e e -+(x ＞0)的值域．

变式：函数 y ＝x

x e

-1e 2+的值域是由e x

＝1y 2-y +＞0，得值域为(-∞，-1)∪(2，+∞)； 八、利用已知函数的有界性．

例8 求函数y=

3

425

2+-x x 的值域.

变式：求下列函数的值域

（1）6

6

522-++-=x x x x y