(完整word版)第一章求极限练习题答案

1．求下列极限：

(1) 2

221lim (1)n n n n →∞++- 解：原式=2

221lim 21n n n n n →∞++-+=2

2

112lim 21

1n n n n n

→∞++-+=2 (2) 2

0lim(1)x x x →+解：原式=12

lim[(1)]x x x →+=2e

(3) 32

lim

3

x x →- 解：原式

=3x →

=x →=1

4

(4) 1

lim (1)x x x e →∞-解：原式=1(1)lim

1x

x e x

→∞

-=1(5) 0x ≠当时，求lim cos cos

cos

24

2n

n x x

x

→∞.解：原式=cos cos

(2cos

sin )2422lim

2sin 2n n n n x x x x x →∞

=1cos sin 22lim 2sin 2

n n n

x x

x →∞-=sin lim 2sin 2n n

n x x →∞

=

sin 2lim()sin 2

n

n n x x x x →∞=sin x x (6) 2

1sin

lim x x 解：原式

=

2

1lim

x x x

=

lim

x

=

lim

x =

(7)

22212lim(

)12n n

n n n n n n n

→∞+++++++++ 解：令

222

1212n n

y n n n n n n n

=+++++++++ 因 2222(1)(1)

121222

11n n n n n n n

y n n n n n n n n n n ++++++++=≤≤=++++++++ 而2(1)12lim 2n n n n n n →∞+=++， 2(1)

1

2lim 12

n n n n n →∞+=++， 故222121

lim()122

n n n n n n n n n →∞+++=++++++

(8) n →∞

解

：

原式

=2n n →∞

→∞

==

1.3 函数的极限 作业

1. 根据函数极限的定义,验证下列极限: (1) 3

1lim

0x x

→∞

= 解: 0ε∀>,要使3311|0|||x x ε-=<,

即||x >

只要取X =,则当||x X >时,恒有 3

1|

0|x ε-<, 所以31

lim 0x x →∞=.

(2) 4

2x →= 解: 0ε∀>,

要使|4||2|2x ε-=<<,

还要使0x ≥，即44x -≥-，或|4|4x -<，只要取min{2,4}δε=,

则当0|4|x δ<-<时,恒有

|2|ε<,

所以4

2x →=. 2. 求下列数列极限:(1) 222

12lim(

)12n n

n n n n n n n

→∞

+++++++++ 解：令222

1212n n

y n n n n n n n =+++++++++ 因 2222(1)(1)

121222

11n n n n n n n

y n n n n n n n n n n ++++++++=≤≤=++++++++ 而2(1)12lim 2n n n n n n →∞+=++， 2(1)

1

2lim 12

n n n n n →∞+

=++， 故

222121

lim()122

n n n n n n n n n →∞

+++=++

++++

(2) n →∞

解

：

原

式

=2n n →∞

→∞

==

3．求下列函数极限：

(1) 225

lim 3x x x →+- 解：原式=-9(2) 224lim 2x x x →-- 解：原式=2

lim(2)x x →+=4

(3) 21

lim

1

x x →-解：原式

=14

x x →→==-

(4) x →∞ 解：原式

=0x =

(5) 2(21)(32)

lim (21)x x x x →∞--+ 解：原式=226723lim

4412

x x x x x →∞-+=++ (6) 21

21lim(

)11x x x →--- 解：原式=211(1)11

lim lim 112

x x x x x →→---==--+ 4. 设23 2 0() 1 01 1 x>11

x x f x x x x ⎧

⎪+≤⎪

=+<≤⎨⎪⎪-⎩ ，分别讨论()f x 在0x →，1x →和

2x →时的极限是否存在.

解：0lim ()2x f x -

→=，0lim ()1x f x +

→=，故0

lim ()x f x →不存在. 1lim ()2x f x -

→=，1

lim ()x f x +

→趋向无穷大，故1

lim ()x f x →不存在. 2lim ()1x f x -

→=，2

lim ()1x f x +

→=，故2

lim ()1x f x →=.

1.4

3．求下列函数极限：(1) 225lim 3x x x →+-=-9(3) 224lim 2x x x →--=2lim(2)x x →+

=4 1

x →

14

x x →→==-

(7) 0

00h h h →→→===