高数-泰勒公式 (1)

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高数基础知识总结

( ) sin x
=
x−
x3 3!
+
x5 5!
+Λ
+ (−1)n
x 2n+1
(2n +1)!
+
0
x 2n+1
( ) cos x = 1−
x2 2!
+
x4 4!
−Λ
+ (−1)n
x 2n
(2n)!
+
0
x 2n
( ) ln(1 + x) = x − x2 + x3 − Λ + (− )1 n+1 xn + 0 xn
连续，则 f (x) 必在 [a,b]上有界。
定理 2．（最大值和最小值定理）如果函数 f (x) 在闭
区间 [a,b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值 M 和
最小值 m 。其中最大值 M 和最小值 m 的定义如下：
定义设 f (x0 ) = M 是区间 [a,b]上某点 x0 处的函数
(log a
lim
f (x) g(x)
=
A
（或
∞
）
7．利用导数定义求极限
基本公式： lim ∆x→0
f (x0 + ∆x) −
∆x
f (x0 ) =
f ′(x0 )
[如果
值，如果对于区间 [a,b]上的任一点 x ，总有 f (x) ≤ M ，
则称 M 为函数 f (x) 在 [a,b]上的最大值。同样可以定义最
整数），则
lim
n→∞
xn
=
A 存在，且 A ≤
M
准则 2．（夹逼定理）设 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)

高数上3.3 泰勒公式

f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
f
(n)
(x 0
)
(x
x
)n
R
(x)
n!
0
n
用类似的证明方法，我们可以证得另外一种带有皮亚诺余项的泰勒公式.
设 f (x (n) ) 存在，则 0
f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
例 2 求 f ( x) e x 的 n 阶麦克劳林公式.
解 f ( x) f ( x) f (n)( x) e x ,
f (0) f (0) f (0) f (n)(0) 1,
注意到 f ( (n1) x) e x 代入泰勒公式，得
e
x
1
x
x2 2!
xn n!
ex (n 1)!
但这种近似等式存在明显不足, 首先是精度不高,误差会比较大，其次是误差无法估计.
能否用其它较简单的曲线函数来近似替代复杂的连续函数f(x)呢？
事实上多项式函数
Pn (x) a0 a1x a2 x2 an xn
是一种处处连续可导分析性质很好的函数，在n>1时，它是一条连续的曲线函数。因此在讨论较复杂的连续函数f(x)在某一个邻域内的分析性质时，经常用多项式函数来近似代替较复杂的连续函数。
f
(5)
(
)
6
2
.
例1 写出函数 f ( x) x3ln x 在 x0 1 处的四阶
泰勒公式.
解
f
(4) ( x)
6 x
,
f (4)(1) 6,
f
(5)(
x)
6 x2

高数微积分泰勒公式

当对余项要求不高时, 可用Peano型余项
f(x ) k n 0f(k k )( !x 0 )(x x 0 )k o [x ( x 0 )n ]
称为 f(x)按(xx0)的幂展带开有P的 eano型余项的n阶泰勒公式. 书上P209定理3.8
f(x ) f(x 00 ) f(x 00 )x ( x 00 ) f2 ( ! x 00 )(x x 00 ) 2
当xx0时,其误差(x是 x0比 )高阶的无 . 穷
以直代曲如当| x| 很小时, ex 1x, ln1(x)x（. 如下图）
y y ex
y
yx
y1x O
xO
yln 1 (x)
x
一次多项式
f(x 0)f(x 0)x (x 0) f (x)
不足 1. 精确度不高；2. 误差不能定量的估计.
希需望要解在 Pn决x(0x附的) 问近a用题0 适 a当如如1 (的何何x 高提估x次高计0 )多精误 a项度差2 (式x?? x0 )2
同理 2!a2f(x0)L L ,n!anf(n)(x0)
得 akk1!f(k)(x0)(k 0 ,1 ,2 ,L ,n )代入 Pn(x)中得
Pn(x)f (x0) f(x0)(xx 0)f 2(!x0 ) (xx0)2
L f (n ) ( x
n!
0
)
(x x 0 )n
Pn(x)f(x0)f(x0)(xx0)f2 (!x0)(xx0)2 Lf(nn )(!x0)(xx0)n
设xx0, Rn(x),(x)在 [x0,x]上连 , 续
在 (x 0,x )内,可且 (x )导 0 .用1次柯西定理
Rn(x) (x)
Rn(x) Rn(x0)

高数微积分公式大全3篇

高数微积分公式大全第一篇：高数微积分公式大全（上）微积分是数学中的重要分支，也是物理、工程、经济等领域中不可或缺的工具。

下面将介绍一些高等数学中常用的微积分公式，包括极限、导数、微分等，供读者参考。

1. 极限极限是微积分中的基本概念，它描述的是函数在某一点附近的取值趋近于某个常数的情况。

极限公式如下：（1）左极限$$\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=A$$（2）右极限$$\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=A$$（3）无穷远处的极限$$\lim_{x\to \infty}f(x)=A$$（4）无穷小量$$\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=0$$2. 导数导数是微积分中的重要概念，它描述的是函数在某一点处的变化率。

导数公式如下：（1）切线的斜率$$k=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} $$（2）函数的导数$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$3. 微分微分是微积分中的基本运算，它可以帮助我们研究函数的变化趋势。

微分公式如下：$$df=f'(x)dx$$其中，$dx$表示自变量$x$的微小变化量，$df$表示因变量$y$的微小变化量。

4. 泰勒公式泰勒公式是微积分中的重要定理，它可以帮助我们将一个函数表示为一系列多项式的和，从而简化函数的计算。

泰勒公式如下：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} $$其中，$f^{(n)}(x)$表示函数$f(x)$的$n$阶导数。

5. 柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是复分析中的重要定理，它描述了复函数的导数和复共轭函数的关系。

柯西-黎曼方程如下：$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partialv}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$其中，$u(x,y)$和$v(x,y)$分别表示复函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$的实部和虚部。

高数里边的常规理论

高数里边的常规理论
高数马勒戈壁定理指的是费马定理、泰勒公式、拉格朗日定理、罗必达法则。

费马定理：当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。

泰勒公式：可以用若干项连加式来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。

拉格朗日定理：存在于多个学科领域中，分别为：微积分中的拉格朗日中值定理；数论中的四平方和定理；群论中的拉格朗日定理(群论)。

洛必达法则：是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。

德国人沃尔夫斯凯尔曾宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。

费马大定理被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年，英国数学家安德鲁·怀尔斯宣布自己证明了费马大定理。

费马大定理与黎曼猜想已经成为广义相对论和量子力学融合的m 理论几何拓扑载体。

考研数学利用泰勒公式求函数极限的方法探讨

考研数学利用泰勒公式求函数极限的方法探讨
0 引言
极限是微积分中一个非常重要的内容，极限的方法是微积分最基本的方法，如何计算极限是高等数学教学的重点和难点，也是考研高数的一个重要的考点，研究生入学考试数学试题几乎每年都有函数极限的题目，而且考查形式多种多样。

综合性题目一般考查的都是几种极限计算方法的综合，要求考生具有灵活运用知识解决问题能力。

纵观历年的试题，会发现很多综合性的题目应用泰勒公式与等价无穷小替换便可迎刃而解。

1 重要函数的泰勒公式
泰勒公式是考研数学的重要技术性工具，考研中通常应用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式。

2 无穷小的运算
设m，n为正整数，则
3 实例
一般应用泰勒展开式求型未定式极限，可将f（x）展开到x的k 次方。

例2（2012考研数学三）计算
分析：所求极限是一个型未定式极限x，将分子加以处理会发现有等价无穷小存在，即
例3（2015年考研数学二）设函数f（x）=x+aln（1+x）+ bxsinx，g（x）=kx3，若f（x）与g（x）是x→0时的等价无穷小，求a，b，k的值。

解：由题意f（x）与g（x）是x→0时是等价无穷小，得
此题用洛必达法则也可求解，但过程非常繁琐。

综上所述，对于型未定式极限呈现的形式，且用洛必达法则求解较复杂或不可用，也没有常用的等价无穷小代换时，运用带有佩亚诺余项的泰勒公式求极限非常方便简洁。

应用泰勒公式时若一般形式为则（fx）展开到x的k次方，遵循上下同阶原则；若一般形式为（fx）-g（x），则将（fx），g（x）分别展开到他们的系数不相等的的最低次幂为止，遵循幂次最低的原则。

考研高数总复习泰勒公式(讲义)PPT课件

即，泰勒公式是一阶微分近似式和拉氏公式的推广
2.取 x0 0,
在0 与x 之间,令 x (0 1)
则余项
Rn ( x)
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
Foil 10
麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x 2 f (n) (0) x n
误差 Rn ( x) f ( x) P:
1.若在 x 0 点相交
近
似程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度越
2.若有相同的切线
来越
Pn( x0 ) f ( x0 )
好 3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
y
o
皮亚诺形式的余项
f (x)
n k0
f
(k)( x0 )( x k!
x0 )k
o[( x
x0 )n ]
Foil 9
注意:
1. 当n 0 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
(在x
与
0
x之
间)
当 n=1 时，略去余项,得到一阶微分近似式
f (x) f (x0 ) f '(x)(x x0 )
注意到 f ( x ) (n1) e x
代入公式,得
e x 1 x x 2 x n e x x n1 (0 1).
2!
n! (n 1)!
Foil 13
由公式可知
ex 1 x x2 xn
2!
n!
估计误差 (设 x 0)
Rn ( x)
ex x n1 (n 1)!

考研高数知识点超强归纳

(t )
连续，
公式 2 ． lim⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n = e ； lim⎜⎛1 + 1 ⎟⎞u = e ；
n→∞⎝ n ⎠
u→∞⎝ u ⎠
lim (1
+
v
)1 v
=
e
v→0
则 dy dx
=
f [ϕ2 (x)]ϕ2′ (x) −
f [ϕ1(x)]ϕ1′(x)
4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和
2
( )e x ′ = e x
de x = e x dx
考研数学知识点-高等数学
ψ ′(t)存在，且ϕ ′(t) ≠ 0 ，则
(arcsin x)′ = 1
1− x2
d arcsin x = 1 dx 1− x2
(arccos x)′ = − 1
d arccos x = − 1 dx
1− x2
1− x2
连续，则 f (x) 必在 [a,b]上有界。
定理 2．（最大值和最小值定理）如果函数 f (x) 在闭
区间 [a, ]b 上连续，则在这个区间上一定存在最大值 M 和
最小值 m 。其中最大值 M 和最小值 m 的定义如下：
定义设 f (x0 ) = M 是区间 [a,b]上某点 x0 处的函数
且有
dy = dy du = f ′[ϕ(x)]ϕ ′(x)
dx du dx
对应地 dy = f ′(u)du = f ′[ϕ(x)]ϕ ′(x)dx
由于公式 dy = f ′(u)du 不管 u 是自变量或中间变量
6．隐函数运算法则
设 y = y(x) 是由方程 F (x, y) = 0 所确定，求 y′ 的方

考研高数：泰勒公式求极限

考研高数：泰勒公式求极限凯程教育：凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。

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如何选择考研辅导班：在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。

师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。

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还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。

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对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。

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高数三大定理

高数三大定理
高数三大定理是指极限存在准则、中值定理和泰勒公式。

其中，极限存在准则用于证明一个函数在某个点处的极限是否存在；中值定理一般用于证明一个函数在某个区间内一定存在某个点使其导数等
于区间两端点导数的平均值；泰勒公式则是用于将一个函数在某一点附近展开成一个幂级数的公式。

这三大定理在高等数学中具有重要的作用，广泛应用于各个领域，包括微积分、数学分析、工程数学等。

掌握这三大定理对于学好高等数学课程至关重要。

- 1 -。

高数-函数展开成幂级数

2!
n!
x (, )
• ln(1 x) x 1 x2 1 x3 1 x4 (1)n xn1
234
n 1
x (1, 1]
• sin x x x3 x5 x7 (1)n x2n1
3! 5! 7!
(2n 1)!
x (, )
• cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
f (x) =
f
x0 +
f ' x0 ( x - x0 ) +
f
(0) 2!
(x
-
x0
)2
+
+
f
(n) ( x0 n!
)
(x
-
x0
)n
+
(R＜x x0＜R)
否则，第三步求出的幂级数虽然在其收敛区间上收敛，
但它的和并不是函数f(x).
例 1. 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
将所给函数展开成幂级数.
例3.将函数
展开成 x的幂级数.
解: 因为
1 1 x x2 (1)n xn ( 1 x 1 ) 1 x
把x 换成x2 , 得
1 1 x2
1
x2
x4
(1)n
x2n (1
x
1)
例 4. 试求函数 f ( x) cosx 的幂级数展开式.
解: 因为 (sinx) cosx , 而
sinx x 1 x3 1 x5 (1)n x 2n1
3! 5!
(2n 1)!
( x ) .
所以根据幂级数可逐项求导的法则，可得
cosx
1
1 x2 2!
1 x4 4!

同济第3版-高数-(3.3) 第三节泰勒公式

R n( x )= o[( x - x 0)]n .
(1) 泰勒中值定理及其意义
泰勒中值定理
如果函数 f( x )在含有 x 0 的某个开区间( a ,b )内具有直到 n + 1 阶的导数，则对任一 x ( a ,b )，有
f x
f x0
f x0 x x0
1 2!
f x0 x x0 2 L
究竟有多小，即 R n( x )具体是( x - x 0 )的几阶无穷小。由高阶无穷小阶的定义，就是要由极限
lim
xx0
Rn x x x0k
A0
去推断 k 的值有多大。
因此余项 R n( x )定量估计的问题最终归结为确定 k
的值。从计算精度考虑，自然希望 k 的值越大越好。
从形式上看
lim
于 x 和 0 之间，故可表为 = x ，0 < < 1 . 通常称此
时的泰勒公式为马克劳林公式，即
f x
f 0
f 0 x
1 2!
f 0 x 2 L
1 n!
f n 0 x n
f n1 x
n 1 !
x n1.
马克劳林公式形式简单，应用方便，且以马克劳
林公式对函数进行讨论并不会损失讨论的一般性。
(2) 多项式系数的选择及相应条件的设置考虑在点 x = x0 的邻域内用多项式 P n( x )表示函数
f( x )，就是选择合当系数 a 0 ,a1,a 2,… , a n，使多项式曲线 y = Pn( x )与函数曲线 y = f( x )尽可能“吻合”。
从理论和实际两个方面考虑，选择多项式 P n( x ) 的适当系数 a 0 ,a1,a 2,… , a n 在点 x 0 的邻域内表示函数 f( x )应满足两个基本要求： • 有较好的精度，使得 f( x ) P n( x )； • 能够估计误差，即能对误差 R n( x )= f( x )- P n( x )作

高数常用极限公式大全

高数常用极限公式大全极限公式：1、e^x-1～x (x→0)2、e^(x^2)-1～x^2 (x→0)3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)5、sinx~x (x→0)6、tanx~x (x→0)7、arcsinx~x (x→0)8、arctanx~x (x→0)9、1-cosx~1/2x^2 (x→0)10、a^x-1~xlna (x→0)11、e^x-1~x (x→0)12、ln(1+x)~x (x→0)13、(1+Bx)^a-1~aBx (x→0)14、[(1+x)^1/n]-1~1/nx (x→0)15、loga(1+x)~x/lna(x→0)扩展资料：高等数学极限中有“两个重要极限”的说法，指的是：sinX/x →1（x→0 ），与(1+1/x)^x→e^x（x→∞）。

另外，关于等价无穷小，有：sinx ~ tanx ~ arctanx ~ arcsinx ~ e^x-1 ~ ln(1+X)~ (a^x-1)/lna ~[(1+x)^a-1]/a ~x（x→0），1-cosx ~ x^2/2（x→0）。

你是说求极限的方法吧？求极限没有固定的方法，必须是具体问题具体分析，没有哪个方法是通用的，大学里用到的方法如下：1、四则运算法则（包括有理化、约分等简单运算）；2、两个重要极限（第二个重要极限是重点）；3、夹逼准则，单调有界准则；4、等价无穷小代换（重点）；5、利用导数定义；6、洛必达法则（重点）；7、泰勒公式（考研数学1需要，其它考试不需要这个方法）；8、定积分定义（考研）；9、利用收敛级数（考研）每个方法中可能都会有相应的公式，全总结就太多了，你自己去看吧。

希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

等价无穷小代换罗必塔法则泰勒展开转化成定积分转化成求导夹逼定理。

常用十个泰勒展开公式

常用十个泰勒展开公式泰勒公式，泰勒公式[1]真的非常有名，我相信上过高数课的一定都记得它的大名。

即使你翘掉了所有的课，也一定会在考前重点里见过。

我对它的第一映像就是比较难，而且感觉没有太多意思，就是一个近似的函数而已。

最近重温了一下有了一些新的心得，希望尽我所能讲解清楚。

泰勒公式的用途在看具体的公式和证明之前，我们先来了解一下它的用途，然后带着对用途的理解再去思考它出现的背景以及原理会容易许多。

这也是我自学这么久总结出来的规律。

泰勒公式本质解决的是近似的问题，比如说我们有一个看起来很复杂的方程，我们直接计算方程本身的值可能非常麻烦。

所以我们希望能够找到一个近似的方法来获得一个足够近似的值。

从这里，我们得到了两个重点，一个是近似的方法，另一个是近似的精度。

我们既需要找到合适的方法来近似，同时也需要保证近似的精度是可控的。

否则一切都没有意义，结合实际其实很好理解，比如我们用机床造一个零件。

我们都知道世界上不存在完美的圆，实际上我们也并不需要完美，但是我们需要保证偏差是可控的，并且在一定的范围内。

泰勒公式也是一样，它既可以帮助我们完成近似，也可以保证得到的结果是足够精确的。

泰勒公式的定义我们下面来看看泰勒公式的定义，我们已经知道了它的用途是求一个函数的近似值。

但是我们怎么来求呢，其实一个比较朴素的思路是通过斜率逼近。

举个例子：这是一张经典的导数图，从上图我们可以看到，随着Δx的减小，点P0 和P 也会越来越接近，这就带来了Δy 越来越接近Δx f'(x0)。

当然，当Δx 比较大的时候显然误差就会比较大，为了缩小误差，我们可以引入二阶导数、三阶导数以及高阶导数。

由于我们并不知道函数究竟可以有多少阶导数，我们不妨假设f(x)在区间内一直有(n+1)阶导数，我们试着写出一个多项式来逼近原函数：我们希望这个式子与原值的误差越小越好，究竟要多小才算足够好呢？数学家们给出了定义，希望它是(x-x0)^n 的高阶无穷小。

泰勒公式与高考试题

尽管高考试题的设计有
时,
４
所以 F(
当 x≤ －
x)≥F (
x)min ＝F (
０)＝０．
５π
F(
x)＝ex ＋s
i
nx＋c
o
sx－２－ax≥０－２－２＋＞０．
２
故当 a＝２时,
F(
x)≥０．
(ⅱ )当a＞２时,
则F
因为 F
′(
０)＝２－a＜０．
′(
x)≥
x
e －２－a,所以 F′(
l
n(２＋２a))＞a＞２＞０．
２．
６泰勒公式与数列不等式
例６ (
２０１７年高考浙江卷)已知数列{
xn }满足:
∗
证明:
当n∈N∗ ,
x１＝１,
xn ＝xn＋１＋l
n(
１＋xn＋１),
n∈N ．
(
１)
０＜xn＋１＜xn ;
xn xn＋１
(
;
２)
２xn＋１－xn ≤
２
５０
３
n
１
时 x４系数为－ ,正好取得最大值,满足题意．
x０ ,
０)时,
F′(
x )＞０,
F(
x)单调递增,所以 F(
x)＜F(
０)＝０矛盾．
(
)
(
)
２．
３泰勒公式与近似估值
x x
x
x
e ＝１＋x＋ ! ＋ ! ＋＋ (
＋o(
xn－１),②
２３
n－１)!
３
F(
x)单调递减,所以 F(
x)＜F(
０)＝０矛盾,舍去．

高数二 8.5泰勒公式

泰勒公式
一、问题的提出
1.设 f ( x)在x0处连续,则有
f (x) f (x0 )
[ f (x) f (x0 ) ]
2.设 f ( x)在x0 处可导,则有
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
[ f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )]
y
近
似程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度越
2.若有相同的切线
来越
Pn( x0 ) f ( x0 )
好 3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
o
x0
y f (x)
x
假设 Pn(k) ( x0 ) f (k) ( x0 ) k 1,2,, n
a f ( x ),
设函数 f ( x)在含有 x0的开区间(a, b) 内具有直到 (n 1)阶导数,P( x) 为多项式函数 Pn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 an( x x0 )n
误差 Rn( x) f ( x) Pn( x)
二、Pn 和Rn 的确定
分析:
1.若在 x0 点相交
例如, 当 x 很小时, e x 1 x , ln(1 x) x
（如下图）
y ex
y ex
y x
y 1 x
o
y ln(1 x)
o
不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计.
问题: 寻找函数P( x),使得 f ( x) P( x) 误差 R( x) f ( x) P( x) 可估计
2!
n! (n 1)!
由公式可知
ex 1 x x2 xn

高数课件-泰勒中值定理

2021-10-3
例 4.3.2 求 f x=ex 的 n 阶马克劳林公式．
解由于 f (x) f (x) f (n)(x) f (n1)(x) ex ，得
f (0) f (0) f (0) f (n) (0) 1， f (n1) ( x) ex ，其中0 1
因此， f x=ex 的 n 阶马克劳林公式为
繁琐．我们可以利用带皮亚诺型余项的马克劳林公式求解．
所以
ln(1 x) x 1 x2 o(x2 ), sin x x o(x2 ) ， 2
lim
x0
ln(1
x) x2
sin
x
lim
x0
1 2
x2 x2
o( x2 )
1 2
．
27-1
例2
计算
e x2 lim
x0
2cos x 3. x4
ex 1 x x2 xn e x xn1,
2!
n! (n 1)!
(0 1) ．
27-1
例4.3.3 求 f (x) cos x 的 2k 1阶马克劳林公式．解由于 f (n) (x) cos(x n ), n 0,1, 2, ，所以
2
2021-10-3
f (0) 1, f (0) 0, f (0) 1, f (0) 0, f (4)(0) 1, ，
27-1
2021-10-3
⑷ 如果在泰勒公式(4.3.3)中令 x0 0 ，则式(4.3.3)成为
f (x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn f (n1) ( ) xn1 , (4.3.7)
2!
n!
(n 1)!
其中介于 0与 x 之间.

高数之泰勒公式

⾼数之泰勒公式1、为什么要学泰勒公式？泰勒公式刚碰到时，总觉得⼀头雾⽔，⼀⼤串数字，把⼀个简简单单的初等函数描述出来，这样岂不是很复杂？在进⼀步理解泰勒公式之后，我觉得泰勒公式还是⾮常有⽤的，单单就我个⼈认为，当然涉及到其它许多领域也有它的⾝影，只不过就笔者⼀个备考的⼈来说，⽬前只认识到他在数学⽅⾯上的意义⽽已。

⽐如我们通常认识的sinx,e^x,cosx,tanx。

这些初等函数似乎很简单，但是不要忘了，我们从初中以来，只会计算它的⼀些特殊⾓的值，⽐如30,0,60度这些特殊⾓，后来进⼀步学了更深层次的sin2x,cos2x,使我们可以计算15,105度诸如此类的特殊⾓，相⽐初中时期的我们来说，我们有所进步，但是对于⾓度为2,3,4这些等等的更具⼀般意义的⾓度我们就熟⼿⽆策了！这个时候泰勒公式就出现了，泰勒公式的思想就在于：⽤多项式去拟合⼀个函数图像（说⽩了就是拿这些多项式去近似代表⼀个函数），就拿e^x,sinx这些来说，可以通过⼀些简简单单的，带有不同系数的幂函数进⾏累加表⽰。

2、泰勒公式（1）泰勒公式：（相应的，X0=0时，称为麦克劳林公式）麦克劳林公式：就像上⾯的这个式⼦所⽰，它只涉及到了简单的幂函数的加和运算，就把⼀些抽象的初等函数，诸如sinx,cosx,e^x，转化为泰勒公式的形式（幂函数求和），这在电脑编程也化抽象为具体，容易实现。

这⾥给出泰勒公式的各项系数的推导：此处的C就是系数，我们通过推导，可以知道，泰勒公式的每个系数都与原函数的导数有关，即我们的多项式的各阶导数都与原函数相同，这样我们拟合的函数就可以近似代表原函数了。

（2）对应的例⼦：下⾯均⽤麦克劳林公式举例，因为麦克劳林公式，是X0=0，即泰勒公式的特殊形式。

特殊形式更容易理解，理解完特殊形式，再思考⼀般形式就⽐较好理解了。

先来说⼀下，幂函数的和（即多项式求和）为什么可以去表⽰任何⼀个函数。

《1》先看两幅图：上⾯两幅图，实际上说明了，所有幂函数都只有两种形式，⼀种是关于y对称，另⼀种是关于原点对称。