02第二节边缘分布2016
理学概率统计随机向量
P
(X
xi ,Y
y
j
)
P
X
xi ,
P(X xi
j
,Y
(Y
y yj)
j
)
j
j
pij (i 1, 2,...)
j
此为概率分布表中第i行的概率之和
Y的分布律为:
P（Y
yj)
P(,Y
yj)
P
(X
xi ),Y
yj
P
(X
xi ,Y
yj )
i
P（X xi ,Y y j )
i
i
例4 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
ke(2x3y) , x 0, y 0,
0,
其他.
(1) 确定常数k；（2）求（X，Y）的分布函数；
（3）求P{X<Y}.
解 (1) 1 =
f (x, y)dxdy
ke (2x 3y)dxdy
0
0
= k e2xdx e3ydy
X1
Y
1 0.1 20 3 0.1 40
2
3
0.3
0
0
0.2
0.1
0
0.2
0
求P{X＞1,Y≥3}及P{X=1}. 解: P{X＞1,Y≥3}=P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}
+P{X=3,Y=3}+P{X=3,Y=4} =0.3；
P{X=1}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}
解 （1）圆域x2+y2≤4的面积A=4π，故（X，Y）的概率
密度为
f（x，y）=
3-2边缘分布.
且都不依赖于参数.
这意味着对于给定的1,2
,
2 1
,
2 2
,
不同的对应不同的二维正态分布. 如N
1
,
2 1
;
2
,
2 2
;
0.3
与N
1,
2 1
;
2
,
2 2
;
0.7
对应不同的二维正态分布，而它们的
边缘分布却是相同的. 这一事实表明:仅由边缘分布,一般来说
不能确定随机变量X ,Y的联合分布.也再次说明了联合分布中
i 1
分别称 pi (i 1,2,) 和 p j ( j 1,2,) 为 ( X ,Y )
关于 X 和关于Y 的边缘分布律.
Y X
x1 x2 xi
y1 y2
p11 p12 p21 p22
pi1 pi 2
yj
p1 j p2 j
pij
2
e dy,
1 2(1 ρ2
)
y μ2 σ2
ρ
x μ1 σ1
2
令 t 1 y μ2 ρ x μ1 ,
1 ρ2 σ2
σ1
则有
f X
(x)
1 2πσ1
e
(
x μ1 2σ12
)2
t2
e 2 dt,
即
二、离散型随机变量的边缘分布律
定义 设二维离散型随机变量( X ,Y )的联合分布
律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,.
记
第二节 边缘分布
y
dy
0 0
cxe
y
x
dx
c 2
0
y e
2
y
dy
c 2
xe y f x， y 0
0 x y 其它
2 c
所以，
⑵．当 x 0 时，
f X x
c 1
f x ， y dy
x>0,y>0 其它
求边缘分布函数 解： FX(x)= F(x, +∞)
1 e x 0,
x>0, 其它
FY(y)＝
1 e y F(+∞,y) 0,
y>0 其它
2、边缘概率密度
对连续型 r.v ( X,Y )， X和Y的联合概率密度为 f ( x, y ) 则( X,Y )关于X的边缘概率密度为
3 2 2y y
2
0
x
24 5
0 y 1
),
2
注意取值范围
即
12 2 x ( 2 x ), f X (x) 5 0,
0 y ), fY ( y ) 5 2 2 0,
0 y 1 其它
X
y1 p 11
p 21
p i1
y2 p 12
p 22
pi2
„ „ „
yj p1 j
p2 j
„
x)
i
x1
x2
xi
„ p „ p
1j
2 j
„
p ij
„p
ij
2016中考状元地理必备(第一部分)解析
第一章地球和地图第一节地球和地球仪考点1:地球的形状和大小1.地球的形状(1)形状:地球是一个（两极）稍扁、（赤道）略鼓的不规则球体。
(2)人类认识地球形状的过程:人们对地球形状的认识经历了一个漫长的过程。
①古代人由于活动范围狭小,往往凭自己的直觉认识世界,看到眼前的地面是平的,就以为整个大地也是平的,并且把天空看作是倒扣着的一口巨大的锅。
我国古代有“天圆如张盖,地方如棋局”的说法。
②后来人们根据太阳、月亮的形状,推测地球也是球体,于是就有了“地球”的概念。
③1519~1522年,葡萄牙航海家麦哲伦率领的船队,首次实现了人类环绕地球一周的航行,证实了地球是一个球体。
④20世纪,人类进入了太空,从太空观察地球,并且从人造卫星上拍摄了地球的照片,确证地球是一个球体（3）用事实说明地球是一个球体:A.站在海边,遥望远处驶来的船只,总是先看到桅杆,再看到船身。
B.在地球上沿着一个方向一直向前走,在前方总有新星升起。
C.欲穷千里目,更上一层楼。
D.月食时,月球上呈现的地球影子。
E.麦哲伦环球航行。
F.宇航员拍摄的地球照片。
2.地球的大小考点2:地球的模型——地球仪1.概念:人们仿照地球的形状并按一定的把它缩小,制作成模型,这就是地球仪。
2.地轴和两极:在地球仪上,人们假想的穿过的地球旋转轴,叫地轴。
地轴与地球表面相交的两点,叫两极。
其中,对着北极星方向的点叫 ,与北极对应的点叫【注意】①地轴和经线是有区别的。
地轴连接南北两极是从地球仪的内部连接的,经线连接南北两极是在地球仪表面连接的。
地轴是一条直线,而经线是一条半圆弧形。
②地球和地球仪是有很大差别的。
地球仪上有一根能使地球仪转动的假想的地轴,这根地轴是地球上没有的。
地球仪上有很多线也是地球上没有的。
③自西向东拨动地球仪,从北极上空看,地球仪是逆时针方向转动;从南极上空看,地球仪是顺时针方向转动。
考点3:经线与纬线、经度与纬度1.经线与纬线2.经度与纬度总结归纳:从本初子午线向东,经度度数增大。
第二节边缘分布
当-1<x<1时
1 x 2
f X ( x) f ( x, y)dy
1
1 x 2
dy
x 1 其他
2 1 x2
2 1 x2 f X ( x) 0
当 1 y 1时 同理 fY ( y )
1 y 2
2
1
1 y
即为 F(x，y)=Fx(x)FY(y) 反之，若X与Y满足F(x，y)=Fx(x)FY(y) ，则有 P{x1<X≤x2，y1<Y≤y2} =F(x2, y2)- F(x1, y2)-F(x2, y1)+ F(x1, y1)
= Fx(x2)FY(y2)- Fx(x1)FY(y2)- Fx(x2)FY(y1)+Fx(x1)FY(y1)
若x与y相互独立则在fxydfdx一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时设他们两人到达的时间相互独立求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟112小时的概率
第二节 边缘分布
引言
边缘分布
随机变量独立性
一、边缘分布的定义
1．边缘分布 设(X,Y)为二维随机向量其分布函数为F(x,y)，X和Y的分 布函数分别记为Fx(x)和FY(y), 依次称Fx(x),FY(y)为(X,Y) 关于X和关于Y的边缘分布函数. 2.公式. 由于Fx(x)=P({X≤x}∩{Y<+∞})=P{X≤x,Y<+∞} =F(x,+∞) 同理有 FY(y)=F(+∞, y).
p
i xi x , y j y
p
p j
xi x
概率论与数理统计32边缘分布解析
y)
lim [
y
1
2
(arctan
x
2
)(arctan
y )]
2
1
2
(arctan
x
)
2
1
arctan
x
1, 2
- x
FY
(
y)
1
arctan
y
1 2
,
- y
设离散型二维随机变量(X,Y)的分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1,2,).
则由联合分布函数与边缘分布函数、联合分布律关
( X ,Y )关于X的边缘分布函数.
定义：
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体, 具有分布函
数 F x, y, 而 X 和 Y 都是随机变量 , 也有各自的分 布函数, 分别记为 FX x, FY y, 依次称为二维随机
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
FX x PX x PX x,Y F x,
把第一行和最后一行拿出来就是Y的分布；把第一列 和最后一列拿出来就是X的分布。
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
练习 袋中有2只白球和3只黑球，从中摸球，记
Xi
1, 第i次 摸 出 白 球 0, 第i次 摸 出 黑 球i
1,2,
试求 ( X1 , X 2 )的联合概率分布和边缘概率分
布。
解： （I）有放回摸球
X1
X2 0 1
0
33 55
32 55
1
23 22
5 55 5
PX2 ( y)
3 5
2 5
PX1 ( x)
概率论与数理统计14 3.2 边缘分布3.3独立性
• 设联合概率分布
pij P{ X xi , Y y j } i , j 1,2,
{ X xi } { X xi , Y y j }
P{ X xi } P{ X xi , Y y j } pij i 1,2,
j 1
• 同理:
2 1 2 2
[
( x 1 ) 2
2
( x 1 )( y 2 )
( y 2 )2
]}
• 例 某码头只能容纳一只船.现预知某日 将来到甲乙两只船,且在24小时内来到的 可能性相等.如果两船需要停靠的时间均 为3小时,试求甲船在江中等待的概率. • 解 设X,Y表示甲乙两船到达码头的时间, • 则(1)
• 所求概率为
P{0 X Y 3}
0 x y 3
f ( x, y)dxdy
P { 0 X Y 3} 1 2 dxdy 24 D 1 24 2 212 2( ) 24 2 2 0.11
• 问X,Y是否相互独立? •解 2 1 x2
1 x 1 f X ( x) 0 其它 2 1 y2 1 y 1 fY ( y ) 0 其它 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) X , Y不相互独立
1 0 x 24 f X ( x ) 24 其它 0 1 0 y 24 fY ( y ) 24 其它 0
• (2)X,Y相互独立
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 1 2 0 x 24, 0 y 24 24 其它 0 • A=“甲船在江中等待”={0 X Y 3}
概率论与数理统计教案(48课时)
概率论与数理统计教案（48课时）第一章随机事件及其概率本章的教学目标及基本要求(1)理解随机试验、样本空间、随机事件的概念；(2)掌握随机事件之间的关系与运算，；(3)掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算；学会几何概率的计算；(4)理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。
了解概率的公理化定义。
(5)理解条件概率、全概率公式、Bayes公式及其意义。
理解事件的独立性。
本章的教学内容及学时分配第一节随机事件及事件之间的关系第二节频率与概率2学时第三节等可能概型(古典概型)2学时第四节条件概率第五节 事件的独立性2学时三.本章教学内容的重点和难点1）随机事件及随机事件之间的关系;2）古典概型及概率计算;3）概率的性质;5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理四.教学过程中应注意的问题1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件;2）注意让学生理解事件4uB,AuB 、AcB,4-B,4B = ®,A... 的具体含义,理解事件的互斥关系；根定律；4)条件概率, 全概率公式和Bayes 公式 3) 让学生掌握事件之间的运算法则和德莫4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和1)事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理；2)讲清楚抽样的两种方式有放回和无放回；思考题和习题思考题：1.集合的并运算和差运算-是否存在消去律？2.怎样理解互斥事件和逆事件？3.古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题：第二章随机变量及其分布本章的教学目标及基本要求(1)理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率；(2)熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；二.本章的教学内容及学时分配第一节随机变量第二节第二节离散型随机变量及其分布离散随机变量及分布律、分布律的特征第三节常用的离散型随机变量常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布）2学时第四节随机变量的分布函数分布函数的定义和基本性质，公式第五节连续型随机变量及其分布连续随机变量及密度函数、密度函数的性质2学时第六节常用的连续型随机变量常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算2学时三.本章教学内容的重点和难点a）随机变量的定义、分布函数及性质；b）离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率；C）六个常见分布（二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布）；四.教学过程中应注意的问题a）注意分布函数F（x） P{X x}的特殊值及左连续性概念的理解；b）构成离散随机变量X的分布律的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；c）构成连续随机变量X的密度函数的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；d）连续型随机变量的分布函数F（x）关于x处处连续，且P（X x） 0，其中x为任意实数，同时说明了P（A） 0不能推导A 。
红斑鳞屑性皮肤病皮肤镜诊断专家共识(2016版)
红斑鳞屑性皮肤病皮肤镜诊断专家共识（2016版）中西医结合学会皮肤性病学专业委员会皮肤影像学亚专业委员会皮肤镜是一种无创检查手段，具有放大作用，可以透过表皮角质层，显示表皮和真皮浅层的色素和血管结构，与组织病理表现有一定对应关系。
皮肤镜最初应用于诊断色素性肿瘤，近年来皮肤镜检查已经推广到更广泛的领域，如红斑鳞屑性皮肤病、良性或恶性非色素性皮肤肿瘤、血管性疾病、感染性疾病、毛发及甲病等。
皮肤科最常见的以红斑鳞屑为主要表现的皮肤病大多具有独特的临床表现，可以根据临床表现作出诊断，但对于不典型的病例，有时需要进行组织病理学检查明确诊断。
由于大多数红斑鳞屑性皮肤病的病变主要发生于表皮和真皮浅层，具有色素及血管结构的改变，近期国内外文献报道和临床应用发现红斑鳞屑性皮肤病，如银屑病，湿疹/皮炎，脂溢性皮炎，玫瑰糠疹，扁平苔藓及早期蕈样肉芽肿等，具有特征性的皮肤镜表现，皮肤镜检查在这些疾病中，能够起到辅助诊断的作用，配合组织病理检查的实施，能够提高诊断的准确率。
红斑鳞屑性皮肤病的皮肤镜诊断步骤及描述术语在皮肤镜检查前应观察皮损的数量、形态及分布，初步判断疾病的性质，即炎症性或肿瘤性，色素性或非色素性。
皮肤镜检查这类疾病时，首先判断血管的形态，其次判断血管的分布，最后判断是否存在附加特征，最终做出诊断。
1 相关的血管形态描述术语点状血管(dotted vessel)表现为密集排列的小的点状结构; 小球状血管(glomerular vessels) 是点状血管的一种特殊类型，表现为扭曲的血管成簇分布，似肾小球样;发夹样血管(hairpin-like vessels)表现为扭曲或弯曲的血管;环状血管表现为闭合扭曲或者弯曲的血管;线状血管(linear vessels) 表现为水平方向的红色线状结构;分支状血管(arborizing vessels) 表现为直径大的血管不规则的分支成极小的终末毛细血管; 非典型血管(atypical vessels) 表现为无法用特定血管形态描述的线状或环形血管; 细的短棒状血管(fine short linear vessel) 表现为细短的线状血管; 精子样血管结构(spermatozoa-like structures) 为由点状血管和细的弧形线状血管组成的复合血管结构，似“精子样” ;红斑(erythema) 表现为粉红色无血管的结构，通常出现在皮损边缘或消退区( 图1) 。
3.2边缘分布与独立性
j
如下表：
Xa1 Y
ai
p j
b1 b2
p p
11
12
p p
i1
i2
p p
1
2
bj
p 1j
p ij
p j
p i
p 1
p i
1
例1 袋中有2只白球和3只黑球，现进行有放回地取球， 定义下列随机变量：
X
1
第一次取出白球
Y
1
第二次取出白球
0 第一次取出黑球
0 第二次取出黑球
试给出(X,Y)的联合分布与边缘分布。
两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .
用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
F(x, y) FX (x)FY ( y)
则称X,Y相互独立 .
它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
可推广到多维的情况.
f (x, y)
2
1
2
1
x
exp -
1
2(1 -
2
)
2 2
xy
y2
(-
x,
y
)
求（X，Y）关于X及Y的边缘分布密度.
解：
f
( x)
X
f
(x,
y)dy
1
2 1
2
exp -
1
2(1-
2
)
x2 2
xy
y2 dy
x2
2
xy
y2
(y
2
x)
2
x
22
光的衍射2016
x 0
0 sin 0 tan 0 a
设透镜的焦距为 f ， 中央明纹的线宽度为
△x0
I
当缝宽a x0
x0 2 f tan 0 2 f a
f
(3) 相邻两衍射条纹间距 条纹在接收 屏上的位置
x k f / a
暗纹中心 k 1 , 2 明纹中心 x ( 2 k 1 ) f / 2 a
三、牛顿环
（1）牛顿环半径
1 R (k ) 2 n r R k n k 1,2, k 0,1,2,
明环 暗环
（2）牛顿环特点
a 反射有半波损失，则中心处为暗斑, 否则为明纹。 b 条纹的级次是中间小，边缘高。 c 条纹的间距是中间大，边缘小。
（3）分析 （a）平凸透镜向上平移，牛顿环向中心缩进。
(4)分析：
（a）劈尖角增大，条纹向棱边移动；劈尖角减
小，条纹远离棱边移动。
（b）劈尖上表面向上平移，条纹向棱边移动；
劈尖上表面向下平移，条纹远离棱边移动。
（c）如果观察到某处干涉条纹移过了N条，即
表明劈尖的上表面平移了N· /2的距离。 （d）劈尖条形条纹向棱边弯曲，说明下表面的 工件向下凹陷。
kf xk a
( k 1 ) f x k 1 a f x xk 1 xk a
可见：其它各级明条纹的宽度为中央明条纹宽度的一半。
(4) 衍射光谱
x (2k 1) f / 2a
k 1 , 2
明纹中心
a 固定，条纹在屏幕上的位置与波长成正比； 即入射波长越长，相同级次的衍射角越大，位 置越远离中心，如果用白光做光源，中央为白色条 纹，其两侧各级都为彩色条纹，称为衍射光谱。 红光 单缝缝宽 蓝光
概率论与数理统计课件：多维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
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在实际问题中, 试验结果有时需要同时用两个或两
个以上的随机变量来描述.
如， 炮弹的弹着点的位置, (X, Y)是一个二维随
机变量.
又如，研究天气变化状况，令X, Y, Z分别表示
温度、湿度、风速，则(X, Y, Z)是一个三维随机变量.
研究多维随机变量有必要将多个变量作为一个整
二元函数
F ( x , y ) P{( X x ) (Y y )} P ( X x , Y y )
称为随机变量(X,Y)的联合分布函数。
一维随机变量X的联合分布
函数F ( x ) P ( X x ).
多维随机变量及其分布
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F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)
y
F ( , y ) 0,
o
F ( x , ) 0,
F ( , ) 0, F ( , ) 1;
4 F ( x , y )关于x和y分别右连续；
x1
F ( x1 , y ) F ( x2 , y )
5 对于任意x1 x2 , y1 y2 , 有矩形公式
…
…
…
…
X
性质： 1 pij 0, i , j 1, 2, ;
2
p
i 1 j 1
多维随机变量及其分布
ij
1.
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例1 从1,2,3,4中任取一个数记为X、再从1,2, ⋯ ,
中任取一个数记为Y,求 ( X, Y ) 的联合分布律及P
( X=2Y ).
解：
可以证明，f(x,y)满足联合密度的性质。
概率论与数理统计 --- 第三章{多维随机变量及其分布} 第二节：边缘分布
FX x P X x P X x ,Y F x , FY y P Y y P X ,Y y F , y
二、离散型随机变量的边缘分布律
概率论
பைடு நூலகம்
一般地, 对离散型 r.v. (X,Y ), X 和 Y 的联合分布律为: P ( X xi ,Y y j ) pij , i , j 1,2,
(X, Y) 关于Y 的边缘概率密度为:
fY ( y )
f ( x , y )dx y
例2 设(X, Y)的概率密度是
概率论
cy( 2 x ), 0 x 1,0 y x f ( x, y ) 0 , 其它 求 (1) c的值； (2) 两个边缘密度。 y
3 k 0 3
P{Y=3}= P X k ,Y 3=1/8+1/8=2/8.
k 0
概率论
X
0 1 2 3
Y
1 3 0 18 38 0 38 0
0 18
P X xi
18 38 38 18
P Y yj
68 28
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上， 由此得出边缘分布这个名词.
则 (X, Y) 关于X 的边缘分布律为:
P X xi P X xi ,Y y j pij
X xi X xi ,Y y j j 1
(X,Y) 关于Y 的边缘分布律为:
j 1
i 1, 2 ,
概率论
f X ( x ) f ( x, y )dy x
《概率论与数理统计》三
y (x,y)
y y2
y1
O
x
O x1
x2
x
P{x1 X x2, y1 Y y2} F(x2, y2 ) F(x1, y2 ) F(x2, y1) F(x1, y1)
➢ 分布函数F(x,y)的性质
设(X,Y)的所有可能取值:(xi, yj), i,j=1,2…,
P{X xi ,Y y j } ˆ pij ,( i, j 1,2,)
性
1 0 pij 1,
质
2
pij 1.
j1 i1
分
布
函 F ( x, y) pij
数
xi x yjy
Y X
x1 x2 xi
y1
p1 1 p21
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
22,
)
四、多维随机变量
(1)设E是一随机试验， 是其样本空间，X1,X2,...Xn 是定义在上的n个随机变量，则称n维向量(X1,X2,...Xn ) 为定义在 上的n维随机向量或n维随机变量．
(2)对n个任意实数，令
F(x1, x2 ,, xn ) P{X1 x1, X2 x2 ,Xn xn}
标 (X,Y)表示, 也就是 中每一元素都可用一对数来
表示, 把X, Y看成变量, X 与Y 都是随机变量, (X,Y) 共同刻化试验的结果, 这就是二维随机变量.
例2 考察某地一天的天气情况, 即同时考虑最高气温、 最低气温、气压、风力、降雨量，这就需要5个变量 来表示可能的试验结果，这就是五维随机变量.
概率论-边缘分布、条件分布
解: (1) 所求概率分布律为 P{ i | 2} i 0,1,2,3 于是 P{ 0 | 2} P{ 0, 2} 10 100 1
P{ 2} 210 210 10 同理 P{ 1 | 2} 60 100 3
210 210 5
(1) 已知抽取的4件产品中有2件二等品,求一等品件数的概率分布.
(2) 已知抽取的4件产品中有1件一等品,求二等品件数的概率分布.
0 1 2 3 p j
0
1
2
3
0
0 10/210 20/210
0 15/210 60/210 30/210
3/210 30/210 30/210 0
2/210 5/210 0
0
5/210 50/210 100/210 50/210
4
pi
则随机变量 的边缘概率分布律为
P{ xi } pij pi i 1,2,, n, j1
同理随机变量 的边缘概率分布律为
P{ y j } pij p j j 1,2,, m,
i
3、边缘分布函数
若二随机变量( , )的联合分布函数为F ( x, y) ，则称 随机变量 或 的分布函数 F ( x) 或F ( y) 为F ( x, y) 的 边缘分布函数。
类似地，当 pi 0时，在 xi 条件下 的条件分布律为
P(
yj
|
xi )
P( xi , y j ) P( xi )
pij pi
j 1,2,
续例1 已知10件产品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,现
从这批产品中任意抽出4 件, 求其中一等品件数 及二等品件 数 的联合分布列. 求随机变量 (或 )的分布列.
0
煤质管理讲座资料
二、我矿煤层及煤质简 介
一层煤煤质分析成果表
不粘煤原煤Leabharlann 最小-最大 平均弱粘煤
原煤
最小-最大 平均
26.84-36.91 35.03
气
原煤
最小-最大 平均
35.71-37.99 30.86
煤
精煤
最小-最大 平均
精煤
最小-最大 平均
精煤
最小-最大 平均
挥发份
灰 硫 分 分
27.59-35.81 30.07
质量就是产品或服务满足用户要求的程度。质量
管理首先必须确定并满足用户的质量要求，而且
只有当产品送到用户手中，让用户在使用中始终
感到满意才结束。根据这一管理思想，我们必须 从用户需要什么样的煤入手，对煤质意识、煤质 管理、生产组织、运输过程和控制办法等进行综 合分析，得出提高煤质的具体的实践方法。
一、加强煤质管理的意 义 煤质是煤企的生命，煤质就是
三、集团公司、矿煤质管理指 标
第二十一条 煤炭热值按工资总额20% 实行全员挂联考 核。具体计算方式为： 采区热值月计划单价=月预算工资总额×20%/月计划产 量×当月计划热值 采区月度热值计价结算=当月实际产量×月度生产煤计 划热值单价×当月生产煤实际热值
其他单位热值月计划单价=月预算工资总额×20%/月计
二、我矿煤层及煤质简 介
第五节 煤质特征
一层煤主要为不粘结煤，煤岩组分由下而上以 半亮型为主，变为半暗型，顶部为半亮型；具带 状和均一构造；断口参差不齐、节理发育，有黄 铁矿薄膜充填，条痕为黑褐色。 一层煤原煤比重1.42吨/m3,精煤比重1.37吨 /m3,容重1.35吨/m3。正常着火点321℃—340℃。 按常用标准矿物（摩氏硬度计）来确定其相对 硬度为2.5. 二层煤原煤比重1.45吨/m3,精煤比重1.4吨/m3。
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注意： 记号pi•中的"•"是由pij关于j求和后得到的; 同样, p•j
是由pij关于i求和后得到的).
已知离散型随机向量（X，Y）
的分布律，求关于X 、Y 的边
缘分布律．
已知二维离散型随机向量（X，Y）的分布律
Y X
x1
x2
xi
y1
y2
y j
p11
p12
p 1 j
p 21
p22 p 2 j
p•2
p • j 1
例2 某校新选出的学生会 6 名成员, 文、理、工科各占1/6、
1/3、1/2，现从中随机指定 2 人为学生会主席候选人. 令X , Y 分别为候选人中来自文、理科的人数.求(X, Y) 的联合分布律
和边缘分布律.
解 X 与Y 的可能取值分别为0 , 1与0 , 1 , 2.
P (X1 ,Y0)C 1 1 C 1 3/C 6 23/1,5
P (X 1 ,Y 1 )C 1 1 C 1 2/C 6 22/1,5
P (X1,Y2)0.
故联合分布律与边缘分布律为
Y X
0 1
p• j
0
1
2
pi•
3/15 6/15 1/15
2/3
3/15 2/15
0
1/3
6/15 8/15 1/15
p i1
pi2
p ij
求关于X 、Y 的边缘分布律．
X、Y 的边缘概率分布可分别通过联合分布律表中按各 行与按各列相加而得到,见下表
XY
y1
x1
p11
x2
p 21
xi
p i1
p•j
p •1
y2
y j
p i•
p12
p1 j
p1•
p22
p2 j
p2•
p i 2
p ij
p i•
(3) 求P (X > 2).
解 (1) F (, ) A B 2 C 2 1 F (, ) A B 2 C 2 0 F (, ) A B 2 C 2 0
B2,C2,A12
(2) F X(x)F (x,)
1 21arc2 xt,anx.
F Y (y ) F (,y )
Y
Y
y
o
x
X
o
X
Ⅰ
Ⅱ
而联合分布函数 F(x,表y)示随机向量 (落X,在Y)这两个半平面 的公共部分的概率
Y
y
o
x
XX
例1 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
F(x,y)ABarctxanCarctyan
2
2
x,y
其中A , B , C 为常数.
(1) 确定A , B , C ； (2) 求X 和Y 的边缘分布函数；
由乘法公式
P (X 0 ,Y 0 ) P (x 0 )P (Y 0 X 0 )
C52 C62
C32 C52
3/15,
或由古典概型
P (X0 ,Y0 )C 3 2/C 6 23/1,5
类似有
P (X0 ,Y1 )C 1 2C 1 3/C 6 26/1,5 P (X0,Y2)C 2 2/C 6 21/1;5
1 21arc2 yt,any.
(3) P ( X 2 ) 1 P ( X 2 ) 1121arct22an
1/ 4.
可以将二维 r.v.其边缘分布函数的概念推广到 n 维 r.v.其联合分布函数与边缘分布函数.
二、离散型随机向量（X，Y）的边缘分布
定义二维离散型随机向量(X，Y)的两个分量X与Y的分布律
1
一整数N等可能地在1,2,3,...,10十个值中取一个值. 例3 设D(N)是能整除N的正整数的个数, F=F(N)是能整除
N的素数的个数(注意1不是素数), 试写出D和F的联合 分布律.
解 先将试验的样本空间及D,F取值的情况列表如下:
样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D 1223 24 2 434 F 0111 12 1 112
样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二维联合分布全面地反映了二维随机变量 (X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有 什么关系呢?
第二节 边缘分布
一、随机向量（X，Y）的边缘分布函数 二、离散型随机向量（X，Y）的边缘分布 三、连续型随机向量（X，Y）的边缘概率密度
一、随机向量（X，Y）的边缘分布函数
若已知( X)的, Y分布函数为
的边缘X分布Y函数:
，F则(x,容y)易求得关于 、
FX(x)P{Xx}P{Xx,Y} lim F(x,y)F(x, )
y
FY(y)P{Yy}P{X, Yy} lim F(x,y)F(, y)
x
边缘分布函数 FX、(x) 分FY 别(y)表示随机向量( )落X入, Y下图 中的I、II 两个带阴影的半平面内的概率.
随机向量(X,Y)把两个随机变量X和Y作为一个整 体来研究，实际问题中有时需要研究随机向量(X,Y) 的分量X,Y的性质，为此，引入边缘分布.
定义二维随机向量(X,Y)关于两个分量X、Y 的分布函数分别
记为 、FX (x),分F别Y (称y)之为随机向量(X,Y)关于X、Y 的边缘分
布函数.
二维随机向量(X,Y)关于X、Y 的边缘分布函数 、FX (x) FY (y可) 由的分布函数 F(来x,确y)定.
分别称为随机向量(X，Y)关于X 、Y 的边缘分布律．
设二维离散型随机向量( X),的Y 概率分布为：
P { X x i,Y y j} p i j( i ,1 , 2 j )
对于给定的 x (ii=1,2,…)，有
于是
X x i X x i, Y y j j
P X x i P ( X x i,Y y j) j
高等院校非数学类本科数学课程 大 学 数 学(四) —— 概率论与数理统计
第三章 随机向量及其分布
本章学习要求： 理解二维随机变量的定义。 理解二维随机变量的分布函数及其性质。 了解二多维离散型随机变量的分布律。 了解条件分布的概念。 掌握二维连续型随机变量的概率密度，边缘分布、 随机变量的独立性。 掌握随机向量函数的分布。
PXxi,Yyj
j
pij
j
i1,2,
Байду номын сангаас
同理可得,对于给定的 yj(j1,有2, ),
P Yyj p ij 1 j,2 ,
i
将PX和xi P分Y别y记j为 和 , 则p i •有 p • j
p i• P X x i p ij( i , , )
j
p • j P Y y j p ij( j , , )