弹性力学徐芝纶版 第二章ppt
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_简明弹性力学教程_徐芝纶_复习 2
4 4 4 0, 4 0, 2 2 0 4 x y x y
其中: a、b、c 、d 为待定系数。
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有
4 0 (可作为应力函数 )
（3） 由式（2-24）计算应力分量： (假定：fx =fy = 0)
2 2 2 x 2 2cx 6dy y 2 2by 6ax xy 2bx 2cy y xy x
（3） 对应的应力分量：
2 2 x 2 fx x 0 fx x fx x y 2 f y y 0 f y y f y y y x
结论1： （1） 一次多项式对应于无体力、无面力和无应力状态；
（2）在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。
平面应力→平面应变： E E 2 , . 1 1
u s u , vs v
（2-14）
E 2 1 E 1 2
u v 1 u v l m f x (s) y s 2 y x s （2-19） x v u 1 v u m l f y (s) x s 2 x y s y
，求出 0
（3）最后利用式（2-24）计算出 移单值条件。
x , y , xy并让其满足边界条件和位
—— 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。
10
多项式解答 1. 一次多项式 （1） ( x, y ) ax by c
其中： a、b、c 为待定系数。
4
4 4 4 2 2 2 4 0 （2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程： 4 x x y y 显然φ(x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。
其中: a、b、c 、d 为待定系数。
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有
4 0 (可作为应力函数 )
（3） 由式（2-24）计算应力分量： (假定：fx =fy = 0)
2 2 2 x 2 2cx 6dy y 2 2by 6ax xy 2bx 2cy y xy x
（3） 对应的应力分量：
2 2 x 2 fx x 0 fx x fx x y 2 f y y 0 f y y f y y y x
结论1： （1） 一次多项式对应于无体力、无面力和无应力状态；
（2）在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。
平面应力→平面应变： E E 2 , . 1 1
u s u , vs v
（2-14）
E 2 1 E 1 2
u v 1 u v l m f x (s) y s 2 y x s （2-19） x v u 1 v u m l f y (s) x s 2 x y s y
，求出 0
（3）最后利用式（2-24）计算出 移单值条件。
x , y , xy并让其满足边界条件和位
—— 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。
10
多项式解答 1. 一次多项式 （1） ( x, y ) ax by c
其中： a、b、c 为待定系数。
4
4 4 4 2 2 2 4 0 （2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程： 4 x x y y 显然φ(x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。
弹性力学(徐芝纶版)
第一章 绪论
弹性力学
第一节 弹性力学的内容
思考题 1. 弹性力学和材料力学相比，其研究对象有什么区别？
2. 弹性力学和材料力学相比，其研究方法有什么区别？
3. 试考虑在土木、水利工程中有哪些非杆件和杆系的结构？
建筑工程学院
第一章 绪论
弹性力学
第二节 弹性力学中的几个基本概念
§1－2 弹性力学中的几个基本概念
符号：坐标正向为正。
建筑工程学院
弹性力学
第一章 绪论
第二节 弹性力学中的几个基本概念
面力 定义：作用于物体表面上的力。 lim F f
s0 S
表示：以单位面积所受的力来量度， f x , f y , f z .
量纲： ML-1T-2. (N/mm2、kN/m2、Pa、kPa)
符号：坐标正向为正 。
建筑工程学院
弹性力学
河海大学教授，1952年参与组建华东水利学院（现河海大学）并先后任教 务长、副院长，是国内最早引进有限单元法解决水利问题的专家。第三届 全国人大代表，第五、六、七届全国政协委员。著有工程力学方面论文10 余篇，并结合教学工作编写及翻译工程力学方面的教科书10余部，为我国 工科院校广泛采用，对工科基础理论教育起了较大作用。其中《弹性力学 问题的有限单元法》是国内最早引进有限单元法的专著，对工程问题的解 决起了重要作用。1980当选为中国科学院院士(学部委员)。中国力学学会 第一、第二届理事，江苏省力学学会第一届副事长和第二、第三届理事长， 以及第四届名誉理事长。
建筑工程学院
弹性力学
第一章 绪论
第二节 弹性力学中的几个基本概念
应力 —截面上某一点处，单位截面面积上的内力值。
量纲：M L-1T -2 .
弹性力学
第一节 弹性力学的内容
思考题 1. 弹性力学和材料力学相比，其研究对象有什么区别？
2. 弹性力学和材料力学相比，其研究方法有什么区别？
3. 试考虑在土木、水利工程中有哪些非杆件和杆系的结构？
建筑工程学院
第一章 绪论
弹性力学
第二节 弹性力学中的几个基本概念
§1－2 弹性力学中的几个基本概念
符号：坐标正向为正。
建筑工程学院
弹性力学
第一章 绪论
第二节 弹性力学中的几个基本概念
面力 定义：作用于物体表面上的力。 lim F f
s0 S
表示：以单位面积所受的力来量度， f x , f y , f z .
量纲： ML-1T-2. (N/mm2、kN/m2、Pa、kPa)
符号：坐标正向为正 。
建筑工程学院
弹性力学
河海大学教授，1952年参与组建华东水利学院（现河海大学）并先后任教 务长、副院长，是国内最早引进有限单元法解决水利问题的专家。第三届 全国人大代表，第五、六、七届全国政协委员。著有工程力学方面论文10 余篇，并结合教学工作编写及翻译工程力学方面的教科书10余部，为我国 工科院校广泛采用，对工科基础理论教育起了较大作用。其中《弹性力学 问题的有限单元法》是国内最早引进有限单元法的专著，对工程问题的解 决起了重要作用。1980当选为中国科学院院士(学部委员)。中国力学学会 第一、第二届理事，江苏省力学学会第一届副事长和第二、第三届理事长， 以及第四届名誉理事长。
建筑工程学院
弹性力学
第一章 绪论
第二节 弹性力学中的几个基本概念
应力 —截面上某一点处，单位截面面积上的内力值。
量纲：M L-1T -2 .
弹性力学第一、二章
ν τν = | T | − σν2
2
物体的运动与位移
物体的运动
x ' = x '( x, y, z ) y ' = y '( x, y, z ) z ' = z '( x, y, z )
物体的位移
u = u ( x, y , z ) u = u ( x, y , z ) v = v ( x, y , z )
2. 弹性力学的基本假定 3. 弹性力学的研究方法 4. 弹性力学的发展简史
什么是弹性力学 什么是弹性力学？ 是弹性力学？ 什么是力学？ 什么是力学？
中国大百科全书：力学是研究物质机械运动规律的科学。 中国大百科全书：力学是研究物质机械运动规律的科学。 机械运动——物质在时间、空间中的位置变化。 物质在时间、 机械运动 物质在时间 空间中的位置变化。
∆Q dQ T = lim = = Tx e x + Ty e y + Tz e z ∆S →0 ∆S dS
ν
垂直于直角坐标的平面上的应力
共9个应力：σ xx ,τ xy ,τ xz ;τ yx , σ yy ,τ yz ;τ zx ,τ zy , σ zz 个应力：
应力的正向 应力作用面的法 向与坐标正向一 致时，应力的正 向亦与坐标正向 一致 应力作用面的法 向与坐标负向一 致时，应力的正 向亦与坐标负向 一致
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + + Fx = 0 ∂x ∂y ∂z
绕 z 轴的力矩的平衡条件
(τ xy dydz )dx − (τ yx dzdx)dy = 0 ⇒ τ xy = τ yx
平衡方程
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx ∂ 2u + + + Fx = ρ 2 ∂x ∂y ∂z ∂t ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy ∂ 2v + + + Fy = ρ 2 ∂x ∂y ∂z ∂t 2 ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z ∂ w + + + Fz = ρ 2 ∂x ∂y ∂z ∂t
2
物体的运动与位移
物体的运动
x ' = x '( x, y, z ) y ' = y '( x, y, z ) z ' = z '( x, y, z )
物体的位移
u = u ( x, y , z ) u = u ( x, y , z ) v = v ( x, y , z )
2. 弹性力学的基本假定 3. 弹性力学的研究方法 4. 弹性力学的发展简史
什么是弹性力学 什么是弹性力学？ 是弹性力学？ 什么是力学？ 什么是力学？
中国大百科全书：力学是研究物质机械运动规律的科学。 中国大百科全书：力学是研究物质机械运动规律的科学。 机械运动——物质在时间、空间中的位置变化。 物质在时间、 机械运动 物质在时间 空间中的位置变化。
∆Q dQ T = lim = = Tx e x + Ty e y + Tz e z ∆S →0 ∆S dS
ν
垂直于直角坐标的平面上的应力
共9个应力：σ xx ,τ xy ,τ xz ;τ yx , σ yy ,τ yz ;τ zx ,τ zy , σ zz 个应力：
应力的正向 应力作用面的法 向与坐标正向一 致时，应力的正 向亦与坐标正向 一致 应力作用面的法 向与坐标负向一 致时，应力的正 向亦与坐标负向 一致
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + + Fx = 0 ∂x ∂y ∂z
绕 z 轴的力矩的平衡条件
(τ xy dydz )dx − (τ yx dzdx)dy = 0 ⇒ τ xy = τ yx
平衡方程
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx ∂ 2u + + + Fx = ρ 2 ∂x ∂y ∂z ∂t ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy ∂ 2v + + + Fy = ρ 2 ∂x ∂y ∂z ∂t 2 ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z ∂ w + + + Fz = ρ 2 ∂x ∂y ∂z ∂t
弹性力学ppt课件
弹性力学ppt课件•弹性力学基本概念与原理•弹性力学分析方法与技巧目录•一维问题分析与实例讲解•二维问题分析与实例讲解•三维问题分析与实例讲解•弹性力学在工程领域应用探讨01弹性力学基本概念与原理弹性力学定义及研究对象定义弹性力学是研究弹性体在外力作用下产生变形和内力分布规律的科学。
研究对象弹性体，即在外力作用下能够发生变形，当外力去除后又能恢复原状的物体。
弹性体基本假设与约束条件基本假设连续性假设、完全弹性假设、小变形假设、无初始应力假设。
约束条件几何约束（物体形状和尺寸的限制）、物理约束（物体材料属性的限制）。
单位面积上的内力，表示物体内部的受力状态。
应力物体在外力作用下产生的变形程度，表示物体的变形状态。
应变物体上某一点在外力作用下的位置变化。
位移应力与应变之间存在线性关系，位移是应变的积分。
关系应力、应变及位移关系虎克定律及其适用范围虎克定律在弹性限度内，物体的应力与应变成正比，即σ=Eε，其中σ为应力，ε为应变，E为弹性模量。
适用范围适用于大多数金属材料在常温、静载条件下的力学行为。
对于非金属材料、高温或动载条件下的情况，需考虑其他因素或修正虎克定律。
02弹性力学分析方法与技巧0102建立弹性力学基本方程根据问题的具体条件和假设，建立平衡方程、几何方程和物理方程。
选择适当的坐标系和坐标…针对问题的特点，选择合适的坐标系，如直角坐标系、极坐标系或柱坐标系，并进行必要的坐标系转换。
求解基本方程采用分离变量法、积分变换法、复变函数法等方法求解基本方程，得到位移、应力和应变的解析表达式。
确定边界条件和初始条件根据问题的实际情况，确定位移边界条件、应力边界条件以及初始条件。
验证解析解的正确性通过与其他方法（如数值法、实验法）的结果进行比较，验证解析解的正确性和有效性。
030405解析法求解思路及步骤将连续体离散化为有限个单元，通过节点连接各单元，建立单元刚度矩阵和整体刚度矩阵，求解节点位移和单元应力。
弹性力学ppt课件
极坐标系的引入
阐述极坐标系的定义和性质，说明其在处理二 维问题中的优势。
应力、应变分量的转换
介绍在极坐标系下，应力、应变分量的转换公 式和推导过程。
典型问题的处理
举例说明在极坐标系下，如何处理典型的二维问题，如圆孔、圆环等受力分析。
典型二维问题实例剖析
悬臂梁受力分析
详细讲解悬臂梁在受集中力、均布载荷等作用下的应力、应变分布 情况。
坐标变换
掌握不同坐标系之间的变换关系，以便在合适 的坐标系下处理三维问题。
典型三维问题实例剖析
无限大弹性体内一点受集 中力作用
分析集中力作用下无限大弹性 体内的应力分布和位移场。
圆柱体受均匀内压或外压 作用
球体受均匀内压或外压作 用
分析圆柱形容器在内压或外压 作用下的应力分布和变形情况。
分析球形容器在内压或外压作 用下的应力分布和变形情况。
弹性力学ppt课件
目录
CONTENTS
• 弹性力学基本概念与原理 • 弹性力学分析方法与技巧 • 一维问题分析与实例讲解 • 二维问题分析与实例讲解 • 三维问题分析与实例讲解 • 弹性力学在工程领域应用探讨
01
弹性力学基本概念 与原理
弹性力学定义及研究对象
定义
弹性力学是研究弹性体在外力作用下 产生变形和内力分布规律的科学。
典型一维问题实例剖析
杆件拉伸或压缩问题实例分析
通过具体实例，详细讲解杆件在拉伸或压缩过程中的内力、应力和变形计算方法和步骤。
温度变化对杆件影响实例分析
通过实例，分析温度变化对杆件内力、应力和变形的影响，并给出相应的计算方法和结果。
一维问题综合分析实例
结合多个实例，对一维拉伸或压缩问题、温度变化影响等进行综合分析，提高学生综合运用 所学知识解决问题的能力。
弹性力学ppt课件
x
y
z
o
图1-5
*
图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元体面的应力称为正应力。 正应力记为σy,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴的方向。
σy
x
y
z
o
图1-6
（2）符号规定：
平行于单元体面的应力称为切应力，用 、 表示，其第一下标y表示所在的平面，第二下标x、z分别表示沿坐标轴的方向。如图1－6所示的 、 。
*
其它x、z正面上的应力分量的表示如图1－7所示。
凡正面上的应力沿坐标正向为正，逆坐标正向为负。
图1-7
x
y
z
o
平行于单元体面的应力如图示的τyx、τyz，沿x轴、z轴的负向为正。
图1-8
图1－8所示单元体面的法线为y的负向，正应力记为 ,沿y轴负向为正。
x
y
01
弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围:
理想弹性体的小变形问题。
02
1-4 弹性力学的学习方法
理解：偏微分方程组的直接求解是十分困难的，理解基本方程的意义。
做题：适当做题。
记忆：不要过分拘泥于细节，应着眼于推导的主要过程，公式的推导和记忆，最好通过矩阵形式和张量。
化简：善于利用小变形略去高阶小量，要分清主要边界和次要边界。
变形状态假定：
小变形假定--假定位移和形变为很小。
＜＜1弧度（57.3°）.
例：梁的 ≤10－3 ＜＜1,
a.位移＜＜物体尺寸,
例：梁的挠度v＜＜梁高h.
*
b.简化几何方程：在几何方程中，由于 可略去 等项,使几何方程成为线性方程。
小变形假定的应用： a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡 条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后 的尺寸。
y
z
o
图1-5
*
图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元体面的应力称为正应力。 正应力记为σy,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴的方向。
σy
x
y
z
o
图1-6
（2）符号规定：
平行于单元体面的应力称为切应力，用 、 表示，其第一下标y表示所在的平面，第二下标x、z分别表示沿坐标轴的方向。如图1－6所示的 、 。
*
其它x、z正面上的应力分量的表示如图1－7所示。
凡正面上的应力沿坐标正向为正，逆坐标正向为负。
图1-7
x
y
z
o
平行于单元体面的应力如图示的τyx、τyz，沿x轴、z轴的负向为正。
图1-8
图1－8所示单元体面的法线为y的负向，正应力记为 ,沿y轴负向为正。
x
y
01
弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围:
理想弹性体的小变形问题。
02
1-4 弹性力学的学习方法
理解：偏微分方程组的直接求解是十分困难的，理解基本方程的意义。
做题：适当做题。
记忆：不要过分拘泥于细节，应着眼于推导的主要过程，公式的推导和记忆，最好通过矩阵形式和张量。
化简：善于利用小变形略去高阶小量，要分清主要边界和次要边界。
变形状态假定：
小变形假定--假定位移和形变为很小。
＜＜1弧度（57.3°）.
例：梁的 ≤10－3 ＜＜1,
a.位移＜＜物体尺寸,
例：梁的挠度v＜＜梁高h.
*
b.简化几何方程：在几何方程中，由于 可略去 等项,使几何方程成为线性方程。
小变形假定的应用： a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡 条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后 的尺寸。
弹性力学及有限元
第五章 用有限单元法解平面问题 第六章 空间问题的基本理论
2
3
第一章 绪 论
§1–1 弹性力学的研究对象
§1–2 弹性力学中的几个基本概念
§1–3 弹性力学中的基本假设 §1–4 有限元分析的基本思想
4
在未知领域 我们努力探索 在已知领域 我们重新发现
5
初中物理－力学
高中物理－力学
大学物理－力学
的形式和尺寸并选择适宜的材料提供必
要的理论基础和计算方法。
9
结构力学的研究对象、内容和任务
对象——杆件系统（结构）
梁、刚架、桁架、组合结构和拱
内容——结构的组成规律、特性和外来因素作用
下的内力、位移及其分布规律。 任务——校核结构是否具有所需的强度、刚度和
稳定性，并寻求和改进它们的计算方法 以实现安全和经济的最优化。 三部分——静力学、动力学和稳定学。
c
p y l xy m y n zy pz l xz m yz n zy
b
P
y
25
x
a
正负号规定：
正面：外法向方向和坐标轴正向一致的面 负面：外法向方向和坐标轴正向反向的面
正面上应力沿坐标轴正向为正 负面上应力沿坐标轴负向为正
i j
+ + + + －
+
力学，包括固体力学和流体力学中的许多学科，弹
性力学仅是其中的一个分支。
35
2) 线性完全弹性：引起物体变形的外力除去后物体能
恢复原状（完全弹性），应变与引
起该应变的应力分量之间的关系服
从胡克定律（线性），弹性常数与
应力、应变大小无关，无需考虑应
力历史。 完全弹性：弹性极限以下 线性弹性：比例极限以下 该假定使本构关系（物理方程）成线性方程。 线性关系的Hooke定律是弹性力学特有的规律，是弹性力 36 学区别于连续介质力学其它分支的标识。
2
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第一章 绪 论
§1–1 弹性力学的研究对象
§1–2 弹性力学中的几个基本概念
§1–3 弹性力学中的基本假设 §1–4 有限元分析的基本思想
4
在未知领域 我们努力探索 在已知领域 我们重新发现
5
初中物理－力学
高中物理－力学
大学物理－力学
的形式和尺寸并选择适宜的材料提供必
要的理论基础和计算方法。
9
结构力学的研究对象、内容和任务
对象——杆件系统（结构）
梁、刚架、桁架、组合结构和拱
内容——结构的组成规律、特性和外来因素作用
下的内力、位移及其分布规律。 任务——校核结构是否具有所需的强度、刚度和
稳定性，并寻求和改进它们的计算方法 以实现安全和经济的最优化。 三部分——静力学、动力学和稳定学。
c
p y l xy m y n zy pz l xz m yz n zy
b
P
y
25
x
a
正负号规定：
正面：外法向方向和坐标轴正向一致的面 负面：外法向方向和坐标轴正向反向的面
正面上应力沿坐标轴正向为正 负面上应力沿坐标轴负向为正
i j
+ + + + －
+
力学，包括固体力学和流体力学中的许多学科，弹
性力学仅是其中的一个分支。
35
2) 线性完全弹性：引起物体变形的外力除去后物体能
恢复原状（完全弹性），应变与引
起该应变的应力分量之间的关系服
从胡克定律（线性），弹性常数与
应力、应变大小无关，无需考虑应
力历史。 完全弹性：弹性极限以下 线性弹性：比例极限以下 该假定使本构关系（物理方程）成线性方程。 线性关系的Hooke定律是弹性力学特有的规律，是弹性力 36 学区别于连续介质力学其它分支的标识。
弹性力学徐芝纶版
应变张量
应变张量是一个二阶对称张量，用于描述物体在应力作用下的形变状态，包括大 小和方向的变化。
几何方程与应变协调方程
几何方程
几何方程描述了应变与位移之间的关 系，是弹性力学的基本方程之一。
应变协调方程
应变协调方程是一组方程，用于保证 应变张量的连续性和无间断性，是解 决弹性力学问题的重要工具之一。
03
应变分析
应变的定义与分类
应变的定义
应变是描述物体形状改变的物理量， 表示物体在应力作用下的形变程度。
应变的分类
根据不同的分类标准，应变可以分为 多种类型，如线应变和角应变、单值 应变和非单值应变等。
主应变与应变张量
主应变
在应变张量中，有三个相互垂直的主轴，对应三个主应变，表示物体在三个方向 上的形变程度。
弹性力学徐芝纶版
• 绪论 • 应力分析 • 应变分析 • 弹性本构关系 • 弹性力学问题的解法 • 弹性力学的应用实例
01
绪论
弹性力学简介
弹性力学
一门研究弹性物体在外力作用 下变形和内力的学科。
弹性力学的基本概念
物体在外力作用下发生变形， 变形与外力成正比，且在去掉 外力后恢复原状。
弹性力学的研究对象
研究物体在动态过程中受到的力，主要考察物体 的振动和波传播。
稳定性问题
研究物体在受到外力作用下的稳定性，主要考察 物体的失稳和屈曲。
求解方法概述
解析法
通过数学公式和定理求解弹性力学问题，得到精确解。适用于简单 问题和理论分析。
近似法
利用近似公式和数值计算方法求解弹性力学问题，得到近似解。适 用于复杂问题和实际工程。
通过实验测定材料的弹性模量和泊松比，结 合广义胡克定律，可以推导出各向同性材料 的弹性本构关系。这些关系式是弹性力学中 求解问题的基本方程，可用于分析各种弹性 力学问题。
应变张量是一个二阶对称张量，用于描述物体在应力作用下的形变状态，包括大 小和方向的变化。
几何方程与应变协调方程
几何方程
几何方程描述了应变与位移之间的关 系，是弹性力学的基本方程之一。
应变协调方程
应变协调方程是一组方程，用于保证 应变张量的连续性和无间断性，是解 决弹性力学问题的重要工具之一。
03
应变分析
应变的定义与分类
应变的定义
应变是描述物体形状改变的物理量， 表示物体在应力作用下的形变程度。
应变的分类
根据不同的分类标准，应变可以分为 多种类型，如线应变和角应变、单值 应变和非单值应变等。
主应变与应变张量
主应变
在应变张量中，有三个相互垂直的主轴，对应三个主应变，表示物体在三个方向 上的形变程度。
弹性力学徐芝纶版
• 绪论 • 应力分析 • 应变分析 • 弹性本构关系 • 弹性力学问题的解法 • 弹性力学的应用实例
01
绪论
弹性力学简介
弹性力学
一门研究弹性物体在外力作用 下变形和内力的学科。
弹性力学的基本概念
物体在外力作用下发生变形， 变形与外力成正比，且在去掉 外力后恢复原状。
弹性力学的研究对象
研究物体在动态过程中受到的力，主要考察物体 的振动和波传播。
稳定性问题
研究物体在受到外力作用下的稳定性，主要考察 物体的失稳和屈曲。
求解方法概述
解析法
通过数学公式和定理求解弹性力学问题，得到精确解。适用于简单 问题和理论分析。
近似法
利用近似公式和数值计算方法求解弹性力学问题，得到近似解。适 用于复杂问题和实际工程。
通过实验测定材料的弹性模量和泊松比，结 合广义胡克定律，可以推导出各向同性材料 的弹性本构关系。这些关系式是弹性力学中 求解问题的基本方程，可用于分析各种弹性 力学问题。
弹性力学徐芝纶版第二章
l 1 nmax 1 l 0 nmin 2
第二章 平面问题的基本理论
试用两个主应力表示出任意截面的切应力， 并求最大切应力的值。
N lm( y x ) l2 m2 xy
解：取 x 1, y 2, xy 0
us u, vs v
如图： (u)xa 0
3．混合边界条件 在边界S上同时有：
l x s m xy s fx
us u, vs v
oa
x
y
l( xy)s m( y )s f y
第二章 平面问题的基本理论
1.物体的一部分边界上具有已知位移，因而具有位
第二章 平面问题的基本理论
解：（1）由公式得：
1
100 2
50
100
50
2
10
2
50
150MPa
2
2
100 50 2
100
50
2
10
2
50
0MPa
2
tg1
150 100 10 50
0.707 ,1
35o16 '
则任意截面上有： N lm( 2 1)
N lm( 2 1) l 1 l 2 2 1
1 4
(
1 2
l
2
)2
2
1
所以在
1 l2 0 2
时取得极值：
N
max
第二章 平面问题的基本理论
试用两个主应力表示出任意截面的切应力， 并求最大切应力的值。
N lm( y x ) l2 m2 xy
解：取 x 1, y 2, xy 0
us u, vs v
如图： (u)xa 0
3．混合边界条件 在边界S上同时有：
l x s m xy s fx
us u, vs v
oa
x
y
l( xy)s m( y )s f y
第二章 平面问题的基本理论
1.物体的一部分边界上具有已知位移，因而具有位
第二章 平面问题的基本理论
解：（1）由公式得：
1
100 2
50
100
50
2
10
2
50
150MPa
2
2
100 50 2
100
50
2
10
2
50
0MPa
2
tg1
150 100 10 50
0.707 ,1
35o16 '
则任意截面上有： N lm( 2 1)
N lm( 2 1) l 1 l 2 2 1
1 4
(
1 2
l
2
)2
2
1
所以在
1 l2 0 2
时取得极值：
N
max
弹性力学专题知识课件
7
2）弹性力学： 在弹性力学中,一般不作出那些假定,故解比较精确。
例如在研究直梁在横向荷载作用下旳弯曲,弹性力学就不引 用了平面截面旳假定；又例如在研究有孔旳拉伸构件，弹 性力学也不假定拉应力在净截断面均匀分布；这使数学推 演复杂, 但解往往是比较精确旳。
3）构造力学： 构造力学研究措施有位移法、力法或混正当等。 弹性力学一般不研究杆件系统，但诸多人致力于弹
10
2. 面力
（1）定义：分布在物体表面上旳力。如流体压力和接触力
F 。如图1－3所示。
（2）性质：面力一般是物体表面点旳位置坐标旳函数。
（3）面力集度： S 上面力旳平均集度为： F
S
P点所受面力旳集度为：
z
fz F
f lim F S 0 S
△S F （4）面力分量：
fx
P fy
y
P点旳面力分量为 fx , f y , fz ，量 纲是 L1MT 2
zy yz , yx xy , xz zx
作用在两个相互垂直旳面上而且垂直于该两面交线旳切应 力是互等旳（大小相等，正负号也相同。）
17
图1-9
（4）注意弹性力学切 应力符号和材料力学是有 区别旳，图1－9中，弹性
弹性力学 力学里，切应力都为正，
而材料力学中相邻两面旳 旳符号是不同旳。正应力 与材料力学旳正负号要求 相同（即拉为正压为负）。
C
y
z
yx z
x P yz
A
y
（1）为了分析一点P旳应力
状态，在这一点从物体内取出
一种微小旳正平行六面体，各
yz
面上旳应力沿坐标轴旳分量称
y 为应力分量。即每个面上旳应
yx B 力分量可分解为一种正应力和
2）弹性力学： 在弹性力学中,一般不作出那些假定,故解比较精确。
例如在研究直梁在横向荷载作用下旳弯曲,弹性力学就不引 用了平面截面旳假定；又例如在研究有孔旳拉伸构件，弹 性力学也不假定拉应力在净截断面均匀分布；这使数学推 演复杂, 但解往往是比较精确旳。
3）构造力学： 构造力学研究措施有位移法、力法或混正当等。 弹性力学一般不研究杆件系统，但诸多人致力于弹
10
2. 面力
（1）定义：分布在物体表面上旳力。如流体压力和接触力
F 。如图1－3所示。
（2）性质：面力一般是物体表面点旳位置坐标旳函数。
（3）面力集度： S 上面力旳平均集度为： F
S
P点所受面力旳集度为：
z
fz F
f lim F S 0 S
△S F （4）面力分量：
fx
P fy
y
P点旳面力分量为 fx , f y , fz ，量 纲是 L1MT 2
zy yz , yx xy , xz zx
作用在两个相互垂直旳面上而且垂直于该两面交线旳切应 力是互等旳（大小相等，正负号也相同。）
17
图1-9
（4）注意弹性力学切 应力符号和材料力学是有 区别旳，图1－9中，弹性
弹性力学 力学里，切应力都为正，
而材料力学中相邻两面旳 旳符号是不同旳。正应力 与材料力学旳正负号要求 相同（即拉为正压为负）。
C
y
z
yx z
x P yz
A
y
（1）为了分析一点P旳应力
状态，在这一点从物体内取出
一种微小旳正平行六面体，各
yz
面上旳应力沿坐标轴旳分量称
y 为应力分量。即每个面上旳应
yx B 力分量可分解为一种正应力和
弹性力学PPT课件
(2) z 0
z
E
( x
y)
（2）平面应变问题的物理方程
由于平面应变问题中 z yz zx 0
x
1 E
x
( x
z)
由式（2-13）第三式，得 z ( x y )
x
1 2
E
(
x
1
y)
y
zx
2
z t 0 2
沿 z 轴方向不变。 可认为整个薄板的
zy z t 0 各点都有：
z 0
zx 0 zy 0
y
a
y
2
由剪应力互等定理，有
zx
xz
0
zy
yz
0 y
结论： 平面应力问题只有三个应力分量：
yx
x x (x, y) y y (x, y) xy yx xy (x, y)
§2-2 平衡微分方程
基本思路：过弹性体内任意一点P截取一微小的正平行六面体
（微分体） 把应力（内力）和体力（外力）作用在该微
分体上
考虑其平衡，列出力的平衡条件
得到平
衡微分方程
2.2 平衡微分方程
x 平面问题的平衡微分方程： O
注：这xyxx里xxy 用y了x小yyyxy变形YX假定00、（连2续-2）性假定yyx和均匀xyy性x xdP假yBy定Dy。YyXyCxAyy xxdyyxxxxydxdx
0
2u
热传导方程（热力学、扩散问题）：
x
2
2u y 2
弹性力学(徐芝纶版)
耕 读 至 诚
Elastic Mechanics
建筑工程学院
弹性力学
第一章
土 墩 木 华
绪论
第二节 弹性力学中的几个基本概念
形变 -- 物体形状的改变。
開 学 养 正
营 造 天 下
伸长为正，缩短为负
以直角变小时为正，变大为负
耕 读 至 诚
Elastic Mechanics
建筑工程学院
弹性力学
第一章
開 学 养 正
束条件，建立边界条件; 并在边界条件下求解上述方程，得
营 出较精确的解答。 造 天 下 耕 读 至 诚
Elastic Mechanics
建筑工程学院
弹性力学
第一章
土 墩 木 华
绪论 取微小的分离体作为隔离体
第一节 弹性力学的内容
由分离体的平衡条件
由微单元的几何条件
平衡方程
几何方程 物理方程
绪论
第二节 弹性力学中的几个基本概念
土 位移 —位臵的移动，用u，v，w表示，量纲为 L。以 墩 木 坐标正向为正。 华
開 学 养 正
变形前p(x，y)，变形后p΄(x+u，y+v)
营 造 天 下 Elastic Mechanics 耕 读 至 诚
建筑工程学院
弹性力学
第一章
土 墩 木 华
绪论
第二节 弹性力学中的几个基本概念
－ fy
開 学 养 x 正
fx
－ fx － fy
fx
fy
耕 读 至 诚
营 造 天 下
fy
y
y
Elastic Mechanics
建筑工程学院
弹性力学
第一章
弹性力学(徐芝纶版)PPT演示课件
绪论
第二节
弹性力学中的几个基本概念
例：正的应力
切应力的 互等性：
yz zy
zx xz
xy yx
E 24
第一章
绪论
第二节
弹性力学中的几个基本概念
材料力学(mechanics of materials)
弹性力学(theory of elasticity )：研究的范围更广，如 叶轮、地基，堤坝、桥梁等实体。（非杆状物体）
E
7
第一章
绪论
第一节 弹性力学的内容
E
8
第一章
绪论
第一节 弹性力学的内容
E
9
第一章
绪论
第一节 弹性力学的内容
E
10
第一章
E
16
第一章
绪论
第一节 弹性力学的内容
思考题
1. 弹性力学和材料力学相比，其研究对象有什么区别？
2. 弹性力学和材料力学相比，其研究方法有什么区别？ 3. 试考虑在土木、水利工程中有哪些非杆件和杆系的结构？
E 17
第一章
绪论
第二节
弹性力学中的几个基本概念
§ 1－ 2
外力
弹性力学中的几个基本概念
—其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。
—截面上某一点处，单位截面面积上的内力值。
F p A0 A lim
量纲：ML-1T -2 .
x 向正应力， x 轴的面上沿 表示： σ x —垂直于
xy
y x 轴的面上沿 —垂直于
向切应力。
符号：应力成对出现，坐标面上的应力以正面正向，负面负 向为正；正面负向，负面正向为负。
E 23
第一章
002_弹性力学第二章
平面应力问题
平面应变问题
简化为平面应力问题
⑴两板面上无力的作用，
y
yx
故 σ z ,τ zx ,τ zy zδ 0.
2
x
xy
由于薄板很薄，应力是连续 变化的，又无z向外力，可认 为： σ ,τ ,τ 0, (在V中). 且切应力互等 σ x , σ y , xy z zx zy
1. 应力分量
平面应力问题 平面应变问题
x
( x, y ), y ( x, y ), xy ( x, y ),
x
( x, y ), y ( x, y ), xy ( x, y ), ( z )
独立的（3个）
（3个） 2. 应变分量
x ( x, y ),
y
( x, y ),
平面应变 问题
a.应变中只有平面应变 ε x , ε y , γxy 存在； b.且仅为 f x, y 。
平面应变问题
平面应变问题的条件是：
⑴很长的常截面柱体 ；
xy 面， ⑵体力 fx 、fy作用于体内，∥
沿长度方向不变；
⑶面力 、 作用于柱面，∥xy 面，
fx fy
沿长度方向不变； ⑷约束u 、v 作用于柱面，∥x y面，沿长度方向不变 沿某一方向很长，截面尺寸固定的柱体（等截 面长柱体） 外力作用平行于截面，外力沿长轴无变化
x
f
C
fx
xy
xy dx x
Fy0
x
x dx x
(2-2)
平面问题中的 平衡微分方程
两个方程包含三个未知量，属超静定问题， 要想求应力分量，还须找出几何方程。
高一物理-第二章 第三节 弹力课件
的方向
[问题设计]
本 学
1．一铁块放在海绵上，铁块和海绵都发生
案
栏 了形变，从而在它们之间产生了弹力，
目
开 关
如图 3 所示．铁块对海绵的压力是如何
图3
产生的？方向怎样？海绵对铁块的支持
力是如何产生的？方向怎样？
学习·探究区
答案 (1)铁块对海绵的压力：铁块
发生弹性形变对与它接触的海绵
A．只要两物体相接触就一定产生弹力
本
学 B．只要两物体相互吸引就一定产生弹力
案
栏 目
C．只要物体发生形变就一定产生弹力
开 关
D．发生弹性形变的物体会对与它接触的物体产生弹力作用
解析 A、C 选项都只有弹力产生条件的一个方面，故 A、
C 错误；B 选项只说“相互吸引”，说明有力存在，但不
一定是弹力，故 B 错误．
开 关
5． 弹力：发生___弹__性_____形变的物体由于要__恢__复__原__状_____，
对与它接触的物体产生力的作用，这种力称为弹力．弹力
的方向总是与引起形变的作用力的方向___相__反_____．弹力 常表现为拉力、压力、___支__持__力_____．
知识·储备区
6． 弹力的方向：压力或支持力的方向总是垂直于
案 栏
或___体__积_____的变化叫形变；在撤去外力作用后
目 开
___能__恢__复__原__状____的形变叫弹性形变．
关
2．弹力产生的条件：(1)物体__相__互__接__触______；(2)发生
__弹__性__形__变_____．
学习·探究区
例 1 关于弹力的产生，下列说法正确的是( D )
放在半球形容器 B 内，画出 A 受
[问题设计]
本 学
1．一铁块放在海绵上，铁块和海绵都发生
案
栏 了形变，从而在它们之间产生了弹力，
目
开 关
如图 3 所示．铁块对海绵的压力是如何
图3
产生的？方向怎样？海绵对铁块的支持
力是如何产生的？方向怎样？
学习·探究区
答案 (1)铁块对海绵的压力：铁块
发生弹性形变对与它接触的海绵
A．只要两物体相接触就一定产生弹力
本
学 B．只要两物体相互吸引就一定产生弹力
案
栏 目
C．只要物体发生形变就一定产生弹力
开 关
D．发生弹性形变的物体会对与它接触的物体产生弹力作用
解析 A、C 选项都只有弹力产生条件的一个方面，故 A、
C 错误；B 选项只说“相互吸引”，说明有力存在，但不
一定是弹力，故 B 错误．
开 关
5． 弹力：发生___弹__性_____形变的物体由于要__恢__复__原__状_____，
对与它接触的物体产生力的作用，这种力称为弹力．弹力
的方向总是与引起形变的作用力的方向___相__反_____．弹力 常表现为拉力、压力、___支__持__力_____．
知识·储备区
6． 弹力的方向：压力或支持力的方向总是垂直于
案 栏
或___体__积_____的变化叫形变；在撤去外力作用后
目 开
___能__恢__复__原__状____的形变叫弹性形变．
关
2．弹力产生的条件：(1)物体__相__互__接__触______；(2)发生
__弹__性__形__变_____．
学习·探究区
例 1 关于弹力的产生，下列说法正确的是( D )
放在半球形容器 B 内，画出 A 受
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u( x, y)0 f1 ( y). ,两边对x积分，
v( x, y)0 f 2 ( x). ,两边对y积分，
v u xy 0, (a) x y
代入第三式
第二章
平面应力问题和平面应变问题
形变与位移的关系
分开变量，
df1 ( y ) df 2 ( x) ( ). dy dx (b)
xy yx .
(c)
第二章
平面应力问题和平面应变问题
对平衡微分方程的说明： σ
σ x yx f x 0. x y
y
说明
(a)
(b)
y
xy x
f y 0.
⑴ 代表A中所有点的平衡条件，
因位（x, y）∈A； ⑵ 适用的条件--连续性，小变形；
思考题 1.试证明微分体绕z轴的平均转动分量是
1 v u ( ). 2 x y
2.当应变为常量时， x a, y b, xy c,
试求出对应的位移分量。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
定义
§2－4
物理方程
物理方程(Physical equations)－－表示（微分 体上）应力和形变之间的物理关系。 即为广义胡克定律 (Generalized Hooke’s law)：
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应力
简化为平面应力问题：
（1）两板面上无面力和约束作用，故
σ , τ
z
zx
, τ zy z δ 0
2
由于薄板很薄，应力是连续变化的， 又无z向外力，可认为：
σ , τ
z
zx
, τ zy 0, (在V中)
故只有平面应力 σ x , σ y , xy 存在。
－－表示物体绕原点的刚体转动。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
结论 形变确定，则与形变有关的位移可以 确定，而与形变无关的刚体位移 uo , vo , (Rigid-body displacements)则未定。 －－须通过边界上的约束条件来确
定 uo , vo , 。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应力
§2-1
平面应力问题和平面应变问题
任何弹性体都是三维物体，所以任何一 个弹性力学问题都是空间问题。弹性力学空 间问题，物体所占区域中每一点处可以定义 3个位移分量、6个应变分量、6 个应力分量, 共15个未知量，都是 f x, y, z 的函数。 弹性力学平面问题共有应力、应变和 位移8个未知函数，且均为 f x, y 。
将得出什么结果？
第二章
平面应力问题和平面应变问题
定义
§2－3
几何方程
刚体位移
几何方程(Geometrical equations)─表 示任一点的微分线段上形变与位移之间 的关系。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
定义
通过点P(x,y)作两正坐标向的微分 线段 PA dx, PB dy, 变形前位臵： P, A, B, 变形后位臵： P, A, B －－各点的位臵如图。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
假定
应用基本假定：⑴连续性；⑵小变形。
当 很小时，
sin cos 1 tan .
3
3!
2
, 1,
2!
第二章
平面应力问题和平面应变问题
假定
由位移求形变：
PA 线应变 PA 转角
同理，
u (u dx) u u x x . dx x
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平衡条件
F 0,
x
σ x (σ x d x)d y1 σ x d y1 x yx ( yx d y )d x1 yx d x1 f x d xd y10. y
其中一阶微量抵消，并除以 d x d y 得：
σ x yx f x 0. x y (a)
所以弹力的平衡条件是严格的，并 且是精确的。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
V
h
dx
理力（ V ）
材力（
V hd xb ）
dx dy
弹力（ dV d xd y1 ）
第二章
平面应力问题和平面应变问题
思考题 1.试检查，同一方程中的各项，其量纲
必然相同（可用来检验方程的正确性）。
2.将条件 Mc0 ,改为对某一角点的 M 0 ，将得出什么结果？ 3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，
Fy0 ，同理可得：
σ y y xy x f y 0. (b)
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平衡条件
Mc0, 得
xy yx 1 1 xy d x yx d y, 2 x 2 y
当 d x, d y 0 时，得切应力互等定理,
⑶ 应力不能直接求出； ⑷ 对两类平面问题的方程相同。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
说明
⑸比较:
理论力学考虑整体 V 的平衡（只决定整
体的运动状态）。
材料力学考虑有限体 V 的平衡（近似）。
弹性力学考虑微分体 dV 的平衡（精确）。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
说明
当 dV 均平衡时，保证 V ， V 平衡； 反之则不然。
因为几何方程第三式对任意的（x，y）
均应满足。当x（y）变化时，式(b)的左，
右均应=常数 ，由此解出 f1 , f 2 。可得
u uo y ,
v vo x .
(c)
第二章
平面应力问题和平面应变问题
形变与位移的关系
物理意义：
u 0, v 0 －－表示x，y向的刚体平移，
平面应力
如：
弧形闸门闸墩
计算简图：
F
深梁
计算简图：
fy
fy
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应力
例题1：试分析AB薄层中的应力状态。
因表面无任何面力，
即：f
x
0, f
y
0
B
故表面上，有：
σ ,
z
z
zx
, zy 0.
, zy 0.
A
在近表面很薄一层内：
σ ,
zx
故接近平面应力问题。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应变
（2）由于截面形状、体力、面力及约束沿
z 向均不变，故应力、应变和位移均为
f x, y 。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应变
所以归纳为平面应变问题： a.应变中只有平面应变分量 ε x , ε y , γ xy 存在； b.且仅为 f x, y 。
第一节
平面应力问题和平面应变问题
第二节
第三节 第四节 第五节 第六节
平衡微分方程
几何方程 物理方程 平面问题中一点的应力状态 边界条件 刚体位移
第二章
平面应力问题和平面应变问题
第七节 第八节 第九节 第十节
圣维南原理及其应用 按位移求解平面问题 按应力求解平面问题 常应力情况下的简化 相容方程 应力函数
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应力
（2）由于板为等厚度，外力、约束沿z向 不变，故应力 σ x , σ y , xy 仅为 f x, y 。 所以归纳为平面应力问题： a.应力中只有平面应力 σ x , σ y , xy 存在； b.且仅为 f x, y 。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应变
例如： 挡土墙 o 隧道 o x x
yHale Waihona Puke y第二章平面应力问题和平面应变问题
平面应变
例题2：试分析薄板中的应变状态。
z 0, 本题中： zx , zy 0
zx , zy 0.
故只有 ε x , ε y , γ xy ，
ox
z
且仅为 f x, y 。
胡克其他科学贡献很多。他用显微镜观察软木结构中的“微孔”或“
细胞(cell)”（1665年发表），这是生物学中“细胞”一词的起源。他在 1672年发现光的衍射现象，并采用光波理论解释这种现象。1666年伦敦
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应力
第一种：平面应力问题 (Plane stress problem) 条件是：
（1）等厚度的薄板；
坐标系
（2）体力作用于体内，平行于板的中面， 沿板厚不变； （3）面力作用于板边，平行于板的中面， 沿板厚不变； （4）约束作用于板边，平行于板的中面， 沿板厚不变。
第二章
平面应力问题和平面应变问题
平面应变
z
第二种：平面应变问题 (Plane strain problem) 条件是：
（1）很长的常截面柱体；
（2）体力作用于体内， （3）面力作用于柱面， 平行于横截面，沿柱体长度方向不变； （4）约束作用于柱面， 平行于横截面，沿柱体长度方向不变。
y
x
平行于横截面，沿柱体长度方向不变；
1 x (σ x σ y σ z ), E 1 y (σ y σ z σ x ), E 1 z (σ z σ x σ y ), E 1 yz , G 1 zx , G 1 xy . G
坐标系
第二章
平面应力问题和平面应变问题