柱坐标系与球坐标系
圆柱坐标系和球坐标系
圆柱坐标系和球坐标系1. 圆柱坐标系圆柱坐标系是一种常用的三维坐标系，由一个水平的圆柱面和一个垂直的直线轴线组成。
在圆柱坐标系中，一个点的位置由径向距离、角度和高度三个参数来确定。
下面分别介绍这三个参数的定义和使用。
1.1 径向距离径向距离是指从原点（轴线的起点）到点的距离，通常用r表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)到坐标原点的距离可以用勾股定理来计算：$r = \\sqrt{x^2 +y^2}$。
在圆柱坐标系中，点$(r, \\theta, z)$到坐标原点的距离就是径向距离r。
1.2 角度角度参数$\\theta$表示从正向x轴逆时针转到点所在的平面的角度，通常用弧度表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)的角度可以用反正切函数来计算：$\\theta = \\arctan(\\frac{y}{x})$。
在圆柱坐标系中，点$(r, \\theta, z)$的角度就是参数$\\theta$。
1.3 高度高度参数z表示点在垂直轴线上的位置。
高度可以为正、负或零。
在圆柱坐标系中，一个点的位置可以用三个参数$(r, \\theta, z)$来表示。
2. 球坐标系球坐标系是另一种常用的三维坐标系，由一个球面和一个垂直的直线轴线组成。
在球坐标系中，一个点的位置由极径、极角和方位角三个参数来确定。
下面分别介绍这三个参数的定义和使用。
2.1 极径极径是指从原点到点的距离，通常用r表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)到坐标原点的距离可以用勾股定理来计算：$r = \\sqrt{x^2 + y^2}$。
在球坐标系中，点$(r, \\theta, \\phi)$到坐标原点的距离就是极径r。
2.2 极角极角参数$\\theta$表示从正向x轴逆时针转到点所在的平面的角度，通常用弧度表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)的角度可以用反正切函数来计算：$\\theta = \\arctan(\\frac{y}{x})$。
柱坐标系和球坐标系
上一页
返回首页
下一页
图 1-5-2
如图 1-5-2 所示，设 z 轴的正向与向量O→M的夹角为 φ，x 轴的正向与O→M0的 夹角为 θ，M 点到原点 O 的距离为 r，则由三个数 r，θ，φ 构成的有序数组 (r，θ，φ)称为空间中点 M 的球坐标.若设投影点 M0 在 xOy 平面上的极坐标为(ρ， θ)，则极坐标 θ 就是上述的第二个球坐标 θ.在球坐标中限定 r≥0,0≤θ<2π， 0≤φ≤π.
则有11＝ ＝ρρcsions
θ， θ，
z＝1，
解之得，ρ＝ 2，θ＝π4.
因此，点 M 的柱坐标为( 2，π4，1).
上一页
返回首页
下一页
由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点 M 的柱坐标为ρ，θ，
z代入变换公式xy＝ ＝ρρcsions
θ， θ，
z＝z.
求 ρ；也可以利用 ρ2＝x2＋y2，求 ρ.利用 tan θ＝yx，
∵(r，θ，φ)＝(3，53π，56π)，
x＝rsin φcos θ＝3sin56πcos53π＝34，
y＝rsin φsin θ＝3sin56πsin53π＝－343，
z＝rcos
φ＝3cos56π＝－3
2
3 .
∴点
M
的直角坐标为(34，－3
4
3，－3
2
3 ).
上一页
返回首页
下一页
类型三 空间点的直角坐标化为球坐标 已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，底面正方形 ABCD 的边长为 1，
下一页
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
柱坐标系和球坐标系
§3柱坐标系和球坐标系1．柱坐标系如图1－3－1，建立空间直角坐标系O －xyz .设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ，z )就叫作点M 的柱坐标，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞.图1－3－1特别地，r ＝常数，表示的是以z 轴为轴的圆柱面；θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面； z ＝常数，表示的是与xOy 平面平行的平面． 2．球坐标系设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r 为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段OM →与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段O P →的角，这里P 为点M 在xOy 平面上的投影(如图1－3－2)．这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的球坐标，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r <＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.图1－3－2特别地，r ＝常数，表示的是以原点为球心的球面；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面； θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面． 3．空间中点的坐标之间的变换公式设空间一点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(r ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，则1．空间中点的三种坐标各有何特点？【提示】 设空间中点M 的直角坐标为(x ，y，z )，柱坐标为(r ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，它们都是有序数组，但意义不同．直角坐标为三个实数；柱坐标分别表示距离、角、实数；球坐标分别表示距离、角、角．2．在空间的柱坐标系中，方程r ＝r 0(r 0为不等于0的常数)，θ＝θ0，z ＝z 0分别表示什么图形？【提示】 在空间的柱坐标系中，方程r ＝r 0表示中心轴为z 轴，底半径为r 0的圆柱面，它是上述圆周沿z 轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx 坐标面成θ0角的半平面．方程z ＝z 0表示平行于xOy 坐标面的平面，如图所示．常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面． 3．在空间的球坐标系中，方程r ＝r 0(r 0为正常数)，θ＝θ0(0≤θ0＜2π)，φ＝φ0(0≤φ0＜π)，各表示什么图形？【提示】 在空间的球坐标系中，方程r ＝r 0(r 0为正常数)，表示球心在原点，半径为r 0的球面；方程θ＝θ0(0≤θ0＜2π)，表示过z 轴的半平面，它与zOx 坐标面的夹角为θ0；方程φ＝φ0(0≤φ0≤π)，表示顶点在原点，半顶角为φ0的圆锥面，它的中心轴是z 轴，φ0＜π2时它在上半空间，φ0＞π2时它在下半空间，φ0＝π2时它是xOy 平面(如图所示).根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：(1)(2，5π6，3)；(2)(2，π4，5)． 【思路探究】柱坐标――→x ＝r cos θy ＝r sin θz ＝z直角坐标 【自主解答】 设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(r ，θ，z )＝(2，5π6，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＝2cos 5π6＝－3，y ＝r sin θ＝2sin 5π6＝1，z ＝3，∴(－3，1,3)为所求．(2)∵(r ，θ，z )＝(2，π4，5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＝2cos π4＝1，y ＝r sin θ＝2sin π4＝1，z ＝5，∴(1,1,5)为所求．点(r ，θ，z )是三维空间坐标系中的点的坐标，在平面xOy 内实际为极坐标系，且r ≥0,0≤θ＜2π，在竖直方向上，z 为任意实数．化点的柱坐标(r ，θ，z )为直角坐标(x ，y ，z )，需要运用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θz ＝z 转化为三角函数的求值与运算即得．将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标： (1)(2，π6，1)；(2)(1，π，0)．【解】 设点的直角坐标为(x ，y ，z )， (1)∵(r ，θ，z )＝(2，π6，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＝2cos π6＝3，y ＝r sin θ＝2sin π6＝1，z ＝1，∴(3，1,1)为所求．(2)∵(r ，θ，z )＝(1，π，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＝cos π＝－1，y ＝r sin θ＝sin π＝0，z ＝0，∴(－1,0,0)为所求．把下列各点的球坐标化为直角坐标．(1)(2，34π，54π)；(2)(6，π3，π6)． 【思路探究】球坐标――→x ＝r sin φcos θy ＝r sin φsin θz ＝r cos φ直角坐标【自主解答】 设点的直角坐标为(x ，y ，z )， (1)∵(r ，φ，θ)＝(2，3π4，5π4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝2sin 3π4cos 5π4＝－1，y ＝r sin φsin θ＝2sin 3π4sin 5π4＝－1，z ＝r cos φ＝2cos 3π4＝－2，∴(－1，－1，－2)为所求． (2)∵(r ，φ，θ)＝(6，π3，π6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos π6＝364，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin π6＝324，z ＝r cos φ＝6cos π3＝62，∴(364，324，62)为所求．首先要明确点的球坐标(r ，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz ，Ox 的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ＜2π.化点的球坐标(r ，φ，θ)为直角坐标(x ，y ，z )，需要运用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z＝r cos φ转化为三角函数的求值与运算．将下列各点的球坐标分别化为直角坐标： (1)(6，π3，23π)；(2)(3，π，π)． 【解】 设点的直角坐标为(x ，y ，z ) (1)∵(r ，φ，θ)＝(6，π3，2π3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos 2π3＝－332，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin 2π3＝92，z ＝r cos φ＝6cos π3＝3，∴(－332，92，3)为所求． (2)∵(r ，φ，θ)＝(3，π，π)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝3sin πcos π＝0，y ＝r sin φsin θ＝3sin πsin π＝0，z ＝r cos φ＝3cos π＝－3，∴(0,0，－3)为所求．坐标图1－3－3已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图1－3－3，建立空间直角坐标系A －xyz ，以Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．【思路探究】 先求C 1的直角坐标，再根据柱坐标、球坐标与直角坐标的关系，求得其柱坐标、球坐标．【自主解答】 点C 1的直角坐标为(1,1,1)．设点C 1的柱坐标为(r ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中r ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎨⎧r ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)，及⎩⎨⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，tan θ＝1，及⎩⎨⎧r ＝3，cos φ＝33，结合图形，得θ＝π4， 由cos φ＝33得tan φ＝ 2.所以点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为(2，π4，1)，球坐标为(3，φ，π4)，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.化点M 的直角坐标(x ，y ，z )为柱坐标(r ，θ，z )或球坐标(r ，φ，θ)，需要对公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θz ＝z以及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θy ＝r sin φsin θz ＝r cos φ进行逆向变换，得到⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2tan θ＝yx(x ≠0)z ＝z以及⎩⎨⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝zr .提醒在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值．若本例中条件不变，求点C 、D 的柱坐标与球坐标．【解】 结合图形知点C 的直角坐标为(1,1,0)，柱坐标为(2，π4，0)，球坐标为(2，π2，π4)，同样点D的直角坐标为(0,1,0)，柱坐标为(1，π2，0)，球坐标为(1，π2，π2)．(教材第22页练习第1题)如图1－3－4，把边长为1个单位长度的正方体分别放到空间直角坐标系中的不同位置，试说出正方体各个顶点的柱坐标和球坐标．图1－3－4(2013·镇江模拟)结晶体的基本单位称为晶胞，如图1－3－5是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体)．图形中的点代表钠原子，如图1－3－6，建立空间直角坐标系O —xyz 后，试写出下层钠原子所在位置的球坐标、柱坐标．图1－3－5图1－3－6【命题意图】 本题以食盐晶胞为载体，主要考查柱坐标系及球坐标系在确定空间点的位置中的应用．【解】 下层的原子全部在xOy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0)，(1，π2，0)，(2，π2，π4)，(1，π2，π2)，(22，π2，π4)；它们的柱坐标分别为(0,0,0)，(1,0,0)，(2，π4，0)，(1，π2，0)，(22，π4，0).1．要刻画绕地球运转的某气象卫星的位置，应适合运用( ) A ．极坐标系 B ．空间直角坐标系 C ．柱坐标系D ．球坐标系【解析】 由题意知D 正确． 【答案】 D2．已知点A 的柱坐标为(1,0,1)，则点A 的直角坐标为( )A ．(1,1,0)B ．(1,0,1)C ．(0,1,1)D ．(1,1,1)【解析】 由点A 的柱坐标为(1,0,1)知，r ＝1，θ＝0，z ＝1， 故x ＝r cos θ＝1，y ＝r sin θ＝0，z ＝1，所以直角坐标为(1,0,1)． 【答案】 B3．已知点A 的球坐标为(3，π2，π2)，则点A 的直角坐标为( ) A ．(3,0,0) B ．(0,3,0) C ．(0,0,3)D ．(3,3,0)【解析】 ∵x ＝3×sin π2×cos π2＝0，y ＝3×sin π2×sin π2＝3，z ＝2×cos π2＝0，∴直角坐标为(0,3,0)．故选B. 【答案】 B4．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，则点M 的柱坐标为________，球坐标为________．【解析】 由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝y x ＝1，θ＝π4(点(1,1)在平面xOy 的第一象限)，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2. 由r cos φ＝z ＝2， 得cos φ＝2r ＝22，φ＝π4.∴点M 的柱坐标为(2，π4，2)，球坐标为(2，π4，π4)． 【答案】 (2，π4，2) (2，π4，π4)一、选择题1．在空间球坐标系中，方程r ＝2(0≤φ≤π2，0≤θ＜2π)表示( ) A ．圆 B ．半圆 C ．球面 D ．半球面【解析】 由球坐标系的定义知，r ＝2(0≤φ≤π2，0≤θ＜2π)表示半球面，故选D.【答案】 D2．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( ) A ．(2，π3，3) B ．(2，2π3，3)C ．(2，4π3，3)D ．(2，5π3，3)【解析】 ∵r ＝(－1)2＋(－3)2＝2，θ＝4π3，z ＝3，∴M 的柱坐标为(2，4π3，3)，故选C. 【答案】 C3．设点M 的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为( ) A ．(2，π4，π4) B ．(2，π4，5π4) C ．(2，5π4，π4) D ．(2，3π4，π4)【解析】 由坐标变换公式，得r ＝x 2＋y 2＋z 2＝2，cos φ＝zr ＝22，∴φ＝π4.∵tan θ＝y x ＝－1－1＝1，∴θ＝54π，∴M 的球坐标为(2，π4，54π)，故选B. 【答案】 B4．已知点M 的球坐标为(4，π4，3π4)，则点M 到Oz 轴的距离为( ) A ．2 2 B. 2 C ．2 D ．4【解析】 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )， ∵(r ，φ，θ)＝(4，π4，3π4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝4sin π4cos 3π4＝－2，y ＝r sin φsin θ＝4sin π4sin 3π4＝2，z ＝r cos φ＝4cos π4＝22，∴M (－2,2,22)，到Oz 轴的距离为(－2)2＋22＝2 2.故选A. 【答案】 A 二、填空题5．若点M 的球坐标为(3，5π6，5π3)，则点M 的直角坐标为________． 【解析】 设M 的直角坐标为(x ，y ，z )则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝3sin 5π6cos 5π3＝34，y ＝r sin φsin θ＝3sin 5π6sin 5π3＝－334，z ＝r cos φ＝3cos 5π6＝－332.∴点M 的直角坐标为(34，－334，－332)． 【答案】 (34，－334，－332)6．(2013·长春检测)在柱坐标系中，点M 的柱坐标为(2，23π，5)，则|OM |＝________.【解析】 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )． 由(r ，θ，z )＝(2，23π，5)知x ＝r cos θ＝2cos 23π＝－1， y ＝2sin 23π＝ 3. 因此|OM |＝x 2＋y 2＋z 2 ＝(－1)2＋(3)2＋(5)2＝3. 【答案】 3 三、解答题7．已知点P 的柱坐标为(2，π4，5)，点B 的球坐标为(6，π3，π6)，求这两个点的直角坐标．【解】 设点P 的直角坐标为(x ，y ，z )， 则x ＝2cos π4＝2×22＝1， y ＝2sin π4＝1，z ＝5.设点B 的直角坐标为(x ，y ，z )，则x ＝6sin π3cos π6＝6×32×32＝364， y ＝6sin π3sin π6＝6×32×12＝324， z ＝6cos π3＝6×12＝62.所以点P 的直角坐标为(1,1,5)，点B 的直角坐标为(364，324，62)． 8．经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标．【解】 在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O 为原点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立球坐标系．由已知航天器位于经度为80°，可知θ＝80°＝49π.由航天器位于纬度75°，可知，φ＝90°－75°＝15°＝π12，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r ＝2 384＋6 371＝8 755千米．所以点P 的球坐标为(8 755，π12，4π9)．9．在柱坐标系中，求满足⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，0≤θ＜2π0≤z ≤2，的动点M (r ，θ，z )围成的几何体的体积．【解】 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足r ＝1,0≤θ＜2π，0≤z ≤2的动点M (r ，θ，z )的轨迹如图所示，是以直线Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱．圆柱的底面半径r ＝1，h ＝2. 所以V ＝Sh ＝πr 2h ＝2π.教师备选10．已知在球坐标系Oxyz 中，M (6，π3，π3)，N (6，2π3，π3)，求|MN |. 【解】 法一 由题意知，|OM |＝|ON |＝6，∠MON ＝π3， ∴△MON 为等边三角形，∴|MN |＝6. 法二 设M 点的直角坐标为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6sin π3cos π3＝332，y ＝6sin π3sin π3＝92，z ＝6cos π3＝3.故点M 的直角坐标为(332，92，3)， 同理得点N 的直角坐标为(332，92，－3)， ∴|MN |＝(323－323)2＋(92－92)2＋(3＋3)2＝0＋0＋62＝6.。
高考数学柱坐标系和球坐标系
自主预习
讲练互动
课堂达标
教材链接
1.将下列各点的柱坐标化为直角坐标.
π 2 P2，6，1，Q4，3π，－3
解
x＝ρcos θ 直接代入互化公式y＝ρsin θ ， z＝z
可得 P 的直角坐标为( 3，1，1)，Q 点的直角 坐标为(－2，2 3，－3).
§3 柱坐标系和球坐标系
自主预习
讲练互动
课堂达标
教材链接
1.柱坐标系
(1)定义：在平面极坐标系的基础上，通过极点O，再增加 一条与极坐标系所在平面垂直的z轴，这样就建立了柱坐 标系.设M(x，y，z)为空间一点，并设点M在xOy平面上的 投影点P的极坐标为(r，θ)，则这样的三个数r，θ，z构成 (r，θ，z)就叫作点M的柱坐标 的有序数组________ ______，这里规定r，θ， 0≤r＜＋∞，________ 0≤θ＜2π， －∞＜z＜＋∞ . z的变化范围为__________ 特别地，r＝常数，表示的是以z轴为轴的圆柱面；θ＝常 数，表示的是 过z轴的半平面 xOy平面平行的平面 .
；
φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z轴为轴的圆锥面；
(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间 的变换关系为
sin φ· cos θ， x＝r· sin φ· sin θ， y＝r· z＝rcos φ.
自主预习
讲练互动
课堂达标
教材链接
【思维导图】
自主预习
讲练互动
自主预习
讲练互动
课堂达标
教材链接
【反思感悟】 写空间任一点的球半径，就是 求该点到点O的距离和方位角、高低角.两个角 可以和地球的经纬度相结合，要搞清它们的联
柱坐标和球坐标
柱坐标和球坐标柱坐标和球坐标是数学中常用的两种坐标系，它们在描述空间中点的位置时有各自的特点和应用。
本文将介绍柱坐标和球坐标的定义、表示方法以及它们之间的转换关系。
柱坐标柱坐标是三维空间中表示点位置的坐标系之一。
柱坐标通常使用径向距离r、极角 $\\theta$ 和高度z来描述一个点的位置。
在柱坐标系中，点 $(r, \\theta,z)$ 表示距离原点的长度为r，与x轴正向的夹角为 $\\theta$，高度为z的点。
柱坐标系下，点 $(r, \\theta, z)$ 与直角坐标系下的点(x,y,z)之间的关系可以用以下公式表示：$$ \\begin{aligned} x &= r \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= r \\cdot\\sin(\\theta) \\\\ z &= z \\end{aligned} $$球坐标球坐标是另一种用于表示三维空间中点位置的坐标系。
球坐标通常使用球径ρ、极角 $\\phi$ 和方位角 $\\theta$ 来描述点的位置。
在球坐标系中，点$(ρ, \\phi,\\theta)$ 表示距离原点的长度为ρ，与z轴正向的夹角为 $\\phi$，与x轴正向的夹角为 $\\theta$ 的点。
球坐标系下，点$(ρ, \\phi, \\theta)$ 与直角坐标系下的点(x,y,z)之间的关系可以用以下公式表示：$$ \\begin{aligned} x &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\sin(\\theta) \\\\ z &= ρ \\cdot \\cos(\\phi)\\end{aligned} $$柱坐标和球坐标之间的转换要将柱坐标转换为球坐标，可以使用以下公式：$$ \\begin{aligned} ρ &= \\sqrt{r^2 + z^2} \\\\ \\phi &=\\arctan\\left(\\frac{r}{z}\\right) \\\\ \\theta &= \\theta \\end{aligned} $$ 类似地，要将球坐标转换为柱坐标，可以使用以下公式：$$ \\begin{ali gned} r &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\\\ z &= ρ \\cdot \\cos(\\phi) \\\\ \\theta &= \\theta \\end{aligned} $$应用和总结柱坐标和球坐标在不同的场景中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和计算机图形学领域。
柱坐标系与球坐标系
球坐标系
坐标系是联系形与数的桥梁，利用 坐标系可以实现几何问题与代数问题 的相互转化，从而产生了坐标法.
其中 r 0, 0 , 0 2
空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标 (r,φ,θ)之间的变换关系为
x r sin cos
y
r
sin
sin
z
P(r,φ,θ)
z r cos
oφ r θ
y
x
Q
设点的球坐标为(2，3 ，3 )，求
它的直角坐标.
44Biblioteka x2sin3
4
cos
ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z＜+∞
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的.
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐
标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为
x cos
y
s
in
z z
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它
在柱坐标系中的坐标.
3
4
2
2 （－
2
2）－1
2
y
2sin
3
4
sin
3
4
2
2 2
2 1 2
z
2cos
3
4
2(－
2）－
2
2
点在直角坐标系中的坐标为
（ －1 ，1 ，－ 2 ）.
z
P(x,y,z)
z P(ρ,θ,Z)
o
z
y
θ
x
P(r,φ,θ) x
oφ r
θ
y
x
Q
y
Q
小结 数轴
平面直角坐标系
柱坐标与球坐标系简介
柱坐标与球坐标系简介
在数学和物理学中，柱坐标和球坐标系是描述三维空间中点的两种常用坐标系。
它们为研究三维问题提供了方便的工具，可以使问题的表达和求解更加简洁。
柱坐标系
柱坐标系是一种用圆柱形式来描述三维空间中的点的坐标系。
在柱坐标系中，
一个点的位置由距离原点的长度、与正向x轴的夹角和z坐标组成。
通常用(r, θ, z)来表示一个点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在x-y平面上的极角，z表示点在z轴上的坐标。
柱坐标系在求解具有轴对称性的问题时特别有用，例如旋转体的体积和表面积
的计算等问题。
球坐标系
球坐标系是通过球坐标来描述三维空间中的点的坐标系。
在球坐标系中，一个
点的位置由距离原点的长度、与正向z轴的夹角和在x-y平面上的极角组成。
通常用(r, θ, φ)来表示一个点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在x-y平面上的极角，φ表示点在z轴上的极角。
球坐标系常常用于处理具有球对称性或球体几何的问题，例如电场和磁场的计
算等。
它也在计算机图形学和三维建模中被广泛应用。
无论是柱坐标系还是球坐标系，它们都是解决特定类型的问题时十分有效的工具。
通过灵活运用这两种坐标系，我们可以更好地理解和分析三维空间中的问题，为实际问题的求解提供更多的可能性和方法。
柱坐标和球坐标系给了我们描述空间中点位置的不同视角，为解决相关问题提
供了更多的数学工具。
通过学习和掌握这两种坐标系的原理和应用，我们可以在数学和物理领域中更加灵活地处理复杂的三维问题。
柱坐标系和球坐标系
(2,
6
, 7) ，
( 3,1, 7)坐标.
（2， ，4）
3
2.球坐标系
思考：
某市的经纬度： 北纬42°，东经119°.
经度和纬度都是一种角度。经度是个两面角，是两个经线平面的夹角。 因所有经线都是一样长，为了度量经度选取一个起点面，经1884年国际 会议协商，决定以通过英国伦敦近郊、泰晤士河南岸的格林尼治皇家天文 台（旧址）的一台主要子午仪十字丝的那条经线为起始经线，称为本初子 午线。本初子午线平面是起点面，终点面是本地经线平面。某一点的经度， 就是该点所在的经线平面与本初子午线平面间的夹角。在赤道上度量，自 本初子午线平面作为起点面，分别往东往西度量，往东量值称为东经度， 往西量值称为西经度。由此可见，一地的经度是该地对于本初子午线的方 向和角距离。本初子午线是0°经度，东经度的最大值为180°，西经度 的最大值为180°，东、西经180°经线是同一根经线，因此不分东经 或西经，而统称180°经线。（横纬竖经）在地球仪上与赤道平行的都是 纬度 与赤道垂直的都是经度
球坐标系
P(r, j , )
r 0
0j 0 2
z
P(r, j , )
j
r
y
o
θQ
x
将球坐标转化为直角坐标： z
x r sin j cos
y
r
sin
j
sin
z r cosj
r 0
x
0j
P(r, j , )
jr
o
y
θ
Q
0 2
练习
1.设Q点的球坐标为 (2, 3 , 3 ) ，
ρ≥0,
0≤θ＜ 2π,
o
-∞＜z＜+∞
圆柱坐标系和球坐标系
圆柱坐标系和球坐标系球坐标系的定义：球坐标是三维坐标系的一种，用以确定三维空间中点、线、面以及体的位置，它以坐标原点为参考点，由方位角、仰角和距离构成。
假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，θ，φ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，r∈[0，+∞)θ为有向线段OP与z轴正向的夹角，θ∈[0，π]φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，φ∈[0，2π]这里M为点P在xOy面上的投影。
这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标。
当r，θ或φ分别为常数时，可以表示如下特殊曲面：r = 常数，即以原点为心的球面；θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；φ= 常数，即过z轴的半平面。
球坐标系与直角坐标系间的转换1).球坐标系(r，θ，φ)与直角坐标系(x，y，z)的转换关系:x= r sinθ cosφy= r sinθsinφz = r cosθ球坐标系下的微分关系在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：dl(r)=dr，dl(θ)=rdθ，dl(φ)=rsinθdφ球坐标的面元面积是：dS=dl(θ)* dl(φ)=r^2*sinθdθdφ体积元的体积为：dV=dl(r)*dl(θ)*dl(φ)=r^2*sinθdrdθdφ圆柱坐标系的定义：它是二维极坐标系往z-轴的延伸。
添加的第三个坐标专门用来表示P点离xy-平面的高低。
按照国际标准化组织建立的约定(ISO 31-11) ，径向距离、方位角、高度，分别标记为。
如图右，P 点的圆柱坐标是。
是P 点与z-轴的垂直距离。
是线OP 在xy-面的投影线与正x-轴之间的夹角。
与直角坐标的等值。
圆柱坐标系与直角坐标系间的转换1).圆柱坐标系(r，φ，z)与直角坐标系(x，y，z)的转换关系:x=r co sφy=r sinφz=z圆柱坐标系下的微分关系在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：dl(r)=dr，dl(φ)=rdφ，dl(z)= dz球坐标的面元面积是：dS=dl(θ)* dl(z)=r dφ dz体积元的体积为：dV=dl(r)*dl(φ)*dl(z)=r dr dφ dz。
圆柱坐标系和球坐标系是一样的吗为什么
圆柱坐标系和球坐标系是一样的吗？为什么？1. 引言在三维空间中，常用的坐标系统包括直角坐标系、极坐标系、圆柱坐标系和球坐标系等。
其中，圆柱坐标系和球坐标系在描述点的位置和方向时非常常见。
然而，它们之间存在着一定的区别。
本文将通过对圆柱坐标系和球坐标系的定义、转换关系和应用等方面的探讨，来回答“圆柱坐标系和球坐标系是一样的吗？为什么？”这个问题。
2. 圆柱坐标系的定义和特点圆柱坐标系是一种以点到直角坐标系x、y轴的投影距离以及点到z轴的距离来描述点的位置的坐标系统。
在圆柱坐标系中，点的坐标由三个分量表示：$P(r,\\theta, z)$。
其中，r代表点到z轴的投影长度，$\\theta$代表点在x、y平面上的极角，z代表点距离x、y平面的高度。
圆柱坐标系的特点是可以简洁地描述环形结构，如圆柱体或圆柱面等。
它本质上是三维空间的二维定义（平面坐标系）加上一个垂直方向的高度。
3. 球坐标系的定义和特点球坐标系是一种以点到原点的距离、点到原点连线与正半轴的夹角和点到该连线在投影平面上的投影距离来描述点的位置的坐标系统。
在球坐标系中，点的坐标同样由三个分量表示：$P(\\rho, \\phi, \\theta)$。
其中，$\\rho$代表点到原点的距离，$\\phi$代表点到原点连线与正半轴的夹角，$\\theta$代表点在投影平面上的投影位置的极角。
球坐标系的特点是可以用来描述以一个固定点为中心的球状结构。
它是一个以距离、纬度和经度来描述点的位置的坐标系。
4. 圆柱坐标系和球坐标系的关系圆柱坐标系和球坐标系并不相同，它们之间存在一定的差异。
首先，在数学上，两个坐标系使用的坐标分量不同。
圆柱坐标系使用的是笛卡尔坐标系中的$(r, \\theta, z)$，而球坐标系使用的是$(\\rho, \\phi, \\theta)$。
其次，两个坐标系描述的空间结构也不同。
圆柱坐标系主要用于描述圆柱体或圆柱面等具有轴对称性的结构，而球坐标系则主要用于描述球状结构。
圆柱坐标系和球坐标系的区别
圆柱坐标系和球坐标系的区别圆柱坐标系（Cylindrical Coordinate System）和球坐标系（Spherical Coordinate System）是一种常用的数学坐标系统，用于描述三维空间中的点。
它们各自有其独特的特点和应用领域，下面将介绍这两种坐标系的区别。
圆柱坐标系（Cylindrical Coordinate System）圆柱坐标系是一种三维坐标系，其中一个坐标轴用于表示点到原点的直线距离，另外两个坐标轴用于表示点所在平面上的位置。
圆柱坐标系由以下三个坐标组成：•径向坐标（r）：表示点到原点的距离。
•极角（θ）：表示点到原点的连线与某一固定方向之间的夹角。
•高度（z）：表示点在垂直于该平面并与原点相交的直线上的位置。
圆柱坐标系常用于柱状或圆柱体的描述，例如，圆柱坐标系可以用于描述喷管的形状、涡轮机的叶片等。
在工程和物理学领域中，圆柱坐标系的优势在于它们能够简化问题的分析和求解，特别是在涉及到旋转对称性的情况下。
球坐标系（Spherical Coordinate System）球坐标系也是一种三维坐标系，其中一个坐标轴用于表示点到原点的距离，另外两个坐标轴用于表示点所在球面上的位置。
球坐标系由以下三个坐标组成：•径向坐标（r）：表示点到原点的距离。
•极角（θ）：表示点到原点的连线与某一固定方向之间的夹角。
•方位角（φ）：表示点所在的经度。
球坐标系常用于球体或球形物体的描述，例如，天文学中常使用球坐标系来描述星体的位置和运动。
球坐标系在物理学和数学中也被广泛应用，因为它们能够简化球对称问题的表示和解决。
圆柱坐标系和球坐标系的区别圆柱坐标系和球坐标系在表示三维空间中的点时有一些主要的区别：1.表示范围不同：圆柱坐标系中，径向坐标（r）和高度（z）可以取任意实数值，极角（θ）可以取0到360度或0到2π弧度的值。
而球坐标系中，径向坐标（r）通常为非负实数，极角（θ）通常取0到180度或0到π弧度的值，方位角（φ）通常取0到360度或0到2π弧度的值。
柱坐标和球坐标简介
设 C1 的球坐标为(r， φ， θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π， 0≤θ<2π， 由 x＝rsin φcos θ，y＝ rsin φ sin θ， z＝rcos φ， 得 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋ 22＋12＝2. 2 π 由 z＝rcos φ，∴cos φ＝ ，φ＝ 2 4 y π 又 tan θ＝ ＝1，∴θ＝4， x π π 从而点 C1 的球坐标为(2，4，4)
【思路探究】 可把两点坐标均化为空间直角坐标，再
用空间两点间的距离公式求距离．
【自主解答】 设 P1 的直角坐标为 P1(x1，y1，z1)， x1＝2 3sin πcos π＝3 2， 3 4 2 π π 3 2 则y1＝2 3sin sin ＝ ， 3 4 2 π z1＝2 3cos 3＝ 3， 3 2 3 2 ∴P1 的直角坐标为( 2 ， 2 ， 3)．
四
柱坐标系与球坐标系简介
课标 解读
1.了解柱坐标系、球坐标系的意 义，能用柱坐标系、球坐标系 刻画简单问题中的点的位置． 2．知道柱坐标、球坐标与空间 直角坐标的互化关系与公式， 并用于解题.
1．柱坐标系
图 1－4－1 如图 1－4－1 所示， 建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 P 是空 间 任 意 一 点 ． 它 在 Oxy 平 面 上 的 射 影 为 Q ， 用 (ρ ， θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标， 这时点 P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．
3．空间直角坐标与柱坐标的转化 空间点 P(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z . 4．空间直角坐标与球坐标的关系 空间点 P(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为
柱坐标系与球坐标系简介
极径、极角,只是比平面极坐标多了一个量,即点在空间中的高度. -15-
四 柱坐标系与球坐标系简介
目标导航
Z Z D 知识梳理 HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
【变式训练3】 经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
2.球坐标系 (1)定义:建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,连接OP, 记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设点P在Oxy平面上的射影 为点Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样 点P的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.这样,空间的点与有序数 组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系 叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标, 记作P(r,φ,θ),其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π. (2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系
的极坐标.这时点P的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z∈R)表示.这样,我
们建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系.把建立
上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z)叫做点P的柱
坐标,记作P(ρ,θ,z),其中ρ≥0,0≤θ<2π,-∞<z<+∞.
(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式
3
解:设点 M 的直角坐标为(x,y,z),则由互化公式可得,
球坐标系和柱坐标系
球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系是空间解析几何中常用的坐标系，它们可以用来描述三维空间中的点的位置和方向。
本文将介绍球坐标系和柱坐标系的定义、坐标变换以及其在不同领域的应用。
一、球坐标系球坐标系是一种三维坐标系，用来描述三维空间中的点的位置。
它由径向距离r、极角θ和方位角φ来确定一个点的坐标。
径向距离r表示点到坐标原点的距离，极角θ表示点与正z轴的夹角，方位角φ表示点在x-y平面上投影与正x轴的夹角。
在球坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r,θ,φ)。
坐标变换公式如下：```x = r * sinθ * cosφy = r * sinθ * sinφz = r * cosθ```球坐标系常见于物理学、天文学和计算机图形学等领域的问题求解。
物理学中常用球坐标系描述粒子在空间中的位置和动量，能够简化很多问题的求解过程。
在天文学中，球坐标系可以用来描述星体的位置和运动轨迹。
二、柱坐标系柱坐标系是另一种常见的三维坐标系，适用于平面内与柱面有关的问题。
柱坐标系由极径ρ、极角θ和高度z来确定一个点的坐标。
极径ρ表示点到z轴的距离，极角θ表示点在x-y平面上的投影与正x轴的夹角，高度z表示点在z轴上的坐标。
柱坐标系中，一个点的坐标可以表示为(ρ,θ,z)。
坐标变换公式如下：```x = ρ * cosθy = ρ * sinθz = z```柱坐标系常见于物理学、工程学和流体力学等领域的问题求解。
在工程学中，柱坐标系常用于描述圆柱形结构的变形和应力分布，能够更直观地理解和解决与柱面相关的工程问题。
在流体力学中，柱坐标系可以用来描述圆柱形容器中的流体流动规律。
综上所述，球坐标系和柱坐标系是在三维空间中描述点的位置和方向的常用坐标系。
它们各自具有独特的特点和应用场景，在不同领域的问题求解中发挥着重要作用。
熟练掌握球坐标系和柱坐标系的定义和坐标变换公式，对于解决相关问题具有重要意义。
柱坐标系与球坐标变换的区别
柱坐标系与球坐标变换的区别
柱坐标系和球坐标系是空间中两种常见的坐标系，它们在描述三维空间中的点和表示向量方向时有着不同的应用。
本文将讨论柱坐标系和球坐标系之间的区别。
柱坐标系
柱坐标系是一种通过极径、极角和高度来定位三维空间中的点的坐标系统。
通常用（r, θ, z）表示，其中： - r 代表点到 z 轴的距离； - θ 代表点在 xy 平面上的极角； - z 代表点在 z 轴上的高度。
柱坐标系常用于描述旋转对称结构的问题，计算方便，适合于涉及圆柱对称性的问题。
球坐标系
球坐标系是一种通过径向距离、极角和方位角来定位三维空间中的点的坐标系统。
通常用（ρ, φ, θ）表示，其中： - ρ 代表点到原点的距离； - φ 代表点在 xy 平面上的极角； - θ 代表点在 xy 平面上的方位角。
球坐标系常用于描述球面和球对称结构的问题，适合于球对称的物理问题和数学问题。
区别
柱坐标系和球坐标系之间的主要区别在于坐标系的基本参数和应用领域有所不同： 1. 参数区别： - 柱坐标系使用极径、极角和高度作为坐标参数； - 球坐标系使用径向距离、极角和方位角作为坐标参数。
2. 应用领域区别： - 柱坐标系适合于描述旋转对称结构的问题，如圆柱体、圆锥体等； - 球坐标系适合于描述球面和球对称结构的问题，如球体、球壳等。
综上所述，柱坐标系和球坐标系在参数表示和应用领域上有着明显的区别。
选择合适的坐标系，能够更有效地描述和解决不同类型的三维空间中的几何问题。
柱坐标系与球坐标系简介课件
z1＝6×cosπ3＝3. ∴点 M 的直角坐标为323，92，3， 设点 N 的直角坐标为(x2，y2，z2)， 则 x2＝6×sin23π×cosπ3＝323， y2＝6sin23π×sinπ3＝92， z2＝6cos23π＝－3. ∴点 N 的直角坐标为323，92，－3， ∴|MN|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22＝6.
2．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，则
空间直角坐标(x，y，z)
转换公式
柱坐标 (ρ，θ，z)
x＝_ρ_c_o_s_θ__， y＝_ρ_s_in__θ__， z＝z
球坐标 (r，φ，θ)
x＝_r_s_i_n_φ_c_o_s__θ__ y＝_r_s_in__φ_s_i_n_θ__ z＝ rcos φ
∴(－ 3，1,3)为所求点的直角坐标．
(2)∵(ρ，θ，z)＝
2，π4，5，
x＝ρcos θ＝
2cosπ4＝1，
∴y＝ρsin θ＝ 2sinπ4＝1，
z＝5，
∴(1,1,5)为所求点的直角坐标．
直角坐标与柱坐标的互化
点(ρ，θ，z)是三维空间坐标中的点的柱坐标，在平面 xOy 中实际为极坐标， 且 ρ≥0,0≤θ＜2π，在竖直方向上 z 为任意实数．化点的柱坐标(ρ，θ，z)为直
柱坐标系与球坐标系简介
1．空间直角坐标系、柱坐标系与球坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点 O，作两两垂直的三条数轴 Ox， Oy，Oz，使∠xOy＝135°，∠yOz＝90°，这就是空间直角坐标系．有 序实数组 (x，y，z) 叫点 P 的直角坐标．
(2)柱坐标系：空间直角坐标系 Oxyz 中，设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面的射影为 Q，用 (ρ，θ) 表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，点 P 的位置可用有序数组 (ρ，θ，z) 表示．这就是柱坐标系．有序数组 _(_ρ_，__θ_，__z_) _叫点 P 的柱坐标．其中 ρ≥0,0≤θ<2π，－∞<z<＋∞. (3)球坐标系：空间直角坐标系 Oxyz 中，设 P 是空间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 φ.P 在 Oxy 平面的射影 为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角为 θ.这样 点 P 的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这就是球坐标系．有序数组(r，φ，θ) 叫作点 P 的球坐标．其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
球坐标系和柱坐标系的转换关系
球坐标系和柱坐标系的转换关系一、引言球坐标系和柱坐标系是数学中常用的坐标系之一，它们在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
球坐标系可以描述三维空间中的点的位置，由径向距离、极角和方位角三个参数确定；而柱坐标系则由径向距离、极角和高度三个参数确定。
本文将详细介绍球坐标系和柱坐标系之间的转换关系。
二、球坐标系和柱坐标系的定义球坐标系是通过一个点到原点的距离、与正半轴的夹角和与x轴的夹角来确定该点的位置。
其中，径向距离r表示点到原点的距离，极角θ表示点与正半轴的夹角，方位角φ表示点与x轴的夹角。
柱坐标系是通过一个点到原点的距离、与正半轴的夹角和该点在z 轴上的投影来确定该点的位置。
其中，径向距离ρ表示点到原点的距离，极角θ表示点与正半轴的夹角，高度z表示点在z轴上的投影。
三、球坐标系到柱坐标系的转换为了将球坐标系转换为柱坐标系，我们可以利用以下公式：1. 将球坐标系中的径向距离r转换为柱坐标系中的径向距离ρ：ρ = r * sin(θ)2. 将球坐标系中的极角θ转换为柱坐标系中的极角θ：θ = θ3. 将球坐标系中的方位角φ转换为柱坐标系中的高度z：z = r * cos(θ)四、柱坐标系到球坐标系的转换同样地，我们也可以将柱坐标系转换为球坐标系，具体的转换关系如下：1. 将柱坐标系中的径向距离ρ转换为球坐标系中的径向距离r：r = √(ρ^2 + z^2)2. 将柱坐标系中的极角θ转换为球坐标系中的极角θ：θ = θ3. 将柱坐标系中的高度z转换为球坐标系中的方位角φ：φ = arctan(z / ρ)五、总结球坐标系和柱坐标系是描述三维空间中点的位置的重要坐标系。
它们之间的转换关系可以通过一些简单的公式来实现。
在实际应用中，我们可以根据需要选择合适的坐标系进行计算和分析。
通过掌握球坐标系和柱坐标系之间的转换关系，我们可以更加灵活地处理三维空间中的问题，提高问题求解的效率和准确性。
六、参考文献[1] 高等数学. 第七版. 同济大学数学系编著. 高等教育出版社.[2] 高等代数与解析几何. 第五版. 同济大学数学系编著. 高等教育出版社.。
柱坐标系和球坐标系
四：柱坐标系和球坐标系一：基础知识梳理：1．柱坐标系在平面极坐标系的基础上，通过极点O ，再增加一条与极坐标系所在平面垂 直的z 轴，这样就建立了柱坐标系(如图)．设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ，z )就叫作点M 的______，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞.特别地，r ＝常数，表示的是以z 轴为轴的______；θ＝常数，表示的是过z 轴的______；z ＝常数，表示的是与xOy 平面平行的____．显然，点M 的直角坐标与柱坐标的关系为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ ，y ＝ ，z ＝z .2. 球坐标系设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段OM →与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP →的角，这里P 为点M 在xOy 平面上的投影(如图)．这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的______，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π，特别地，r ＝常数，表示的是____________；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面；θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面．点M 的直角坐标与球坐标的关系为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝|OP |cos θ＝ ，y ＝|OP |sin θ＝ ，z ＝ .二．课堂练习：1.将点M 的直角坐标化为柱坐标，将点P 的柱坐标化为直角坐标．(1) M (－1，3，2)；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1.分析：利用相关公式代入进行转化求值．反思：已知直角坐标求柱坐标，可以先设出点M 的柱坐标为(r ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z 求r ，也可以利用r 2＝x 2＋y 2求r ，利用tan θ＝y x求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值；已知柱坐标求直角坐标时，将r ，θ，z 的值代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z 即可．2.将点M 的直角坐标化为球坐标，点P 的球坐标化为直角坐标．(1)M (1，3，2)；(2)P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，π3.分析：利用相关公式代入进行转化求值．反思：由点M 的直角坐标化为球坐标时，可以先设点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，再利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，φ，θ代入点的球坐标即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，c O s φ＝z r.由直角坐标求球坐标，在确定θ和φ的取值时，要特别注意θ和φ的取值范围以及点M 的位置，由球坐标化为直角坐标时，可直接代入变换公式，计算x ，y ，z 的值即可．3.设点M 的直角坐标为(1，，9)，则它的柱坐标是( )．A ．π2,,93⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．2π2,,93⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．4π2,,93⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5π2,,93⎛⎫ ⎪⎝⎭4在球坐标系中，Mππ4,,46⎛⎫⎪⎝⎭与Nπ24,,π43⎛⎫⎪⎝⎭两点间的距离是__________．5设点A的柱坐标为π4，则它的球坐标为__________．6用两个平行平面去截球，在两个截面圆上有两个点，它们分别为Aπ8,,4Aθ⎛⎫ ⎪⎝⎭、B3π8,,4Bθ⎛⎫⎪⎝⎭，求出这两个截面间的距离．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 x2 y2
ta
n
y x
z z
2.球坐标系
学习目标： (1)理解球坐标三个分量的几何意义； (2)能够将球坐标转化为直角坐标.
思考：在**的上空有一台飞机，你如何对 它进行精确定位呢？
广东省**市的经纬度： 北纬**.12°，东经**2.19°.
地球的纬度与经度：
地球的纬度与经度：
组(ρ,θ, z)表示， (ρ,θ, z)叫做点P的柱坐标.
z
0
PP(ρ(,xθ, yz), z)
02
zR
o θ x
y Q (ρ,θ)
柱坐标与空间直角坐标的互化
(1)柱坐标转化为直角坐标
x cos
y
sin z zFra bibliotek柱坐标与空间直角坐标的互化
(2)直角坐标转化为柱坐标
2 x2 y2
么它的球坐标是
A.(2, , )
44
C.(2, 5 , )
44
B.(2, , 5 )
44
D.(2, 3 , )
44
思考：
点P的球坐标为(r, j , ) ，
(1)当r为常数时，点P的轨迹是___球__面_______
(2)当 j为常数时，点P的轨迹是__圆__锥__面__或__平__面
(3)当 为常数时，
ta
n
y ( x x
0)
z z
练习
1.设P点的柱坐标为 ( 2 , , 7 ) ，求它的直
角坐标.
6
( 3 ,1, 7 )
2.设M点的直角坐标为 (1, 3, 3)，求
它的柱坐标.
(2, 4 ,3)
3
思考：
点P的柱坐标为(ρ,θ, z)， (1)当ρ为常数时，点P的轨迹是___圆__柱__面_____ (2)当θ为常数时，点P的轨迹是___半__平__面_____
柱坐标系与 球坐标系
1.柱坐标系
学习目标： (1)理解柱坐标三个分量的几何意义； (2)掌握柱坐标与空间直角坐标的互化.
思考：在一个圆形体育场内，如何确定 看台上某个座位的位置？
柱坐标系
建立空间直角坐标系Oxyz.设P(x,y,z)是
空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，
Q点的极坐标为(ρ,θ )，则P的位置可用有序数
(3)当z为常数时，
z
点P的轨迹是___平__面_______
P(ρ,θ, z)
o θ x
y Q
小结
1.柱坐标系学习目标： (1)理解柱坐标三个分量的几何意义； (2)掌握柱坐标与空间直角坐标的互化.
2.柱坐标与空间直角坐标的互化
(1)柱坐标转化为直角坐标
x cos
y
sin
z z
(2)直角坐标转化为柱坐标
z
P(r, j , )
点P的轨迹是___半__平__面_____
jr
o
y
θ
Q
x
小结
1.球坐标系学习目标： (1)理解球坐标三个分量的几何意义； (2)能够将球坐标转化为直角坐标.
2.将球坐标转化为直角坐标：
x r sin j cos
y
r
sin
j
sin
z r c o s j
球坐标系
建立空间直角坐标系Oxyz.设P(x,y,z)是 空间任意一点，记|OP|=r,OP与Oz轴正向所
夹的角为j.点P在Oxy平面上的射影为Q，Ox
轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正
角为θ.则P的位置可用有序数组(r, j, )表示， (r, j , )叫做点P的球坐标.
球坐标系
P(r, j , )
r0
0j
02
z
P(r, j , )
jr
o
y
θ
Q
x
将球坐标转化为直角坐标：
x r sin j cos
y
r
sin
j
sin
z r c o s j
x
z
P(r, j , )
jr
o
y
θ
Q
练习
1.设Q点的球坐标为 (2, 3 , 3 ) ，求它
的直角坐标.
44
(1,1, 2)
练习
2.设M点的直角坐标为 (1, 1, 2)，那