第4章 塑性应力应变关系(本构方程)

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ij

1 ij 2G
应变偏张量与应力偏张量成正比
结论:物体形状改变只由应力偏张量引起
m
1 2 m E
m
物体弹性变形时,单位体积变化率θ =3ε
与平均应力成正比。
结论:应力球张量使物体产生了弹性体积改变
ห้องสมุดไป่ตู้
应变张量可以分解成偏张量和球张量
m ij ij ij
1 i 2 1
2 2 2 yz xz x y y z z x 6 xy 2 2 2
则等效应变与弹性应变强度关系为: 当 =0.5 时
3 i = 2(1 )

i
弹性应力应变关系特点: 1.应力与应变成线性关系 2.弹性变形是可逆的,应力应变关系单值对 应 3.弹性变形时,应力球张量使物体产生体积 变化;物体形状的改变只是由应力偏张量引 起的。 4.应力主轴与应变主轴重合
d
2 2 2 x d y d y d z d z d x 6 d xy d yz d xz 2 2 2
2 2 2 2 2 2 d x y y z z x 6 xy yz xz 2 2d 2 2
• 每一加载瞬间,应力主轴与应变增量主轴重合。
• 应变增量与应力偏张量成正比,即:
d dij ij
变形时变化。 d - 瞬时的非负比例系数。 卸载时,d 0
上式
d d ij ij
称为列维米塞斯方程
(1)比例形式:
d x d y d z d xy d yz d xz d x y z xy yz xz
x

y 4G2 x y
2
2
2 2 6 xy 4G 2 xy 6
2 2 2 2 2 2 xy yz xz 等式左边为: x y y z z x 6
1 等效应力为:

1 1 x x x E 2G
同理可得:
y m
1 - E 1 - E
x
z m z
m


1 y y 2G
1 z z 2G

m
x

1 x 2G
1 y y 2G 1 z z 2G
e
将上式括号中的第三、四项展开即可发现它们都为零:
因此,括号内只留下前两项,其中第二项只与球张量 有关,表示体积变化的能量,用表示;而第一项只与偏张
量有关,表示形状变化的能量,即形变能,以表示。
屈服时的弹性形变能为:
1 2 1 A S 常数 6G 6G
e x 2
(密席斯屈服准则的物理意义,即当材料的质点内单位 体积的弹性形变能达到某一临界值时,材料就屈服。)
第四章 材料本构关系
应力状态与应变之间的关系,这种各种的数 学表达式叫做本构方程,也叫物理方程。
平衡微分方程 求解屈服准则 本构方程
4.1 弹性本构关系
材料在简单拉伸情况下,应变与应力关系满足 x
1 x E
y
z 0
x
P
x方向:增长 y方向:缩短 z方向:缩短
应变关系满足:
上式两边平方后整理后得:
d d
2 x d y x y d 2 2 2 d d y z y z 2 2 2 d z d x z x d 2
上面两式相加
(2)差比形式:
d x d y
x y

d y d z
y z
2

d z d x d z x
2 2 6d xy 6 xy d 2 2 2 2 6d yz 6 yz d 2 2 2 6d xz 6 xz d
已知:
ij
1 ij 2G
m
1 2 m E
广义虎克定律的张量表达式:
1 1 2 ij ij m ij 2G E
广义虎克定律其他形式
1、比例形式:
xy yz 1 xz yz xz 2G x y z xy x y z
对等式右边开方再乘以
2G 2
2
1 2
,得
2 2
2 2 2 yz xz x y y z z x 6 xy
2G 2

2 2 2 6 x y y z z x xy yz xz 2 2 2
2

2 2 2 6 x y y z z x xy yz xz 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 4G 6 等式右边为: x y y z z x xy yz xz
E
, y
y
E
, z
y
E
y
z方向正应力产生: + x
z
E
, y
z
E
, z
z
E
1 x x ( y z ) ; E 由上,得 1 y y ( x z ) ; E 1 z z ( y x ) ; E
z y x
x
E
其中:υ——泊松比
即当材料在某个方向受拉力时,在该方向出现拉伸变形, 而与垂直的两个方向则出现压缩变形。
多向受力时: z x方向正应力产生:
x
x
E
, y
x
E
, z
x
E
x
y方向正应力产生:
+ x
y


yz xz xy
yz
2G


xz
2G
广义虎克定律


xy
2G
x y z
1 x y z 2 x y z E


1 2 x y z x y z E
2、差比形式:
x y y z xy yz xz z x 1 x y y z z x xy yz xz 2G
上式两边平方后整理后得:

x y
z 4G 2 y z
2 令 d 3
2 2 2 d yz d xz d x d y d y d z d z d x 6 d xy 2 2 2
d
为塑性应变增量强度,也称等效应变增量。
则 9 d 2 2 2d2 2
二、弹性变形能
物体在外力作用下产生弹性变形时,单位体积中的弹性能:
1 e e Ae ij ij AT Ax 2
将 ij和 ij 都分解成偏张量和球张量,则
1 ' 1 ' ' ' ' A ( ij m ij )( ij m ij ) ( ij ij m ij m ij 'ij m ij m ij ij ) 2 2
2 2
y 4G 2 x y
2
2
2 2
z
x 4G 2 z x
2 2 xy 4 G 2 xy 2 2 yz 4 G 2 yz 2 2 xz 4 G 2 xz
+ 2 2 2 2 2 2 6 4G yz 6 4G + yz y z y z 2 2 2 2 2 2 6 4G xz 6 z x 4G z x + xz
4.2塑性变形时应力应变关系的特点
塑性变形时应力应变关系的特点:
1. 塑性变形时体积不变(应变球张量为0,υ=0.5)
2. 应力与应变之间的关系是非线性的 3. 全量应变与应力的主轴不一定重合 4. 塑性变形是不可恢复的,应力与应变之间没有一般 的单值关系,而是与加载历史或应变路线有关
由此可以看出: 离开加载路线来 建立应力与全量 塑性应变之间的 普遍关系是不可 能的。
强化材料卸载:
f ( ij ) 0,
f df d ij 0 ij
4.3 增量理论
在塑性变形时,全量应变和加载历史有关,要建立普遍的全量应变与应力 之间的关系是很困难的,所以主要研究应力和应变增量或应变速率之间的关系 。这种关系叫做增量理论,其中包括:密席斯方程、塑性流动方程和劳斯方程 。前两者适用于理想刚塑性材料,后者适用于弹塑性材料。
图2-5 π平面上的加载准
加载与卸载准则通用式表示 如果以 f ( ij ) 0 表示屈服曲面
弹性状态: f ( ij ) 0
f f ( ij ) 0, df d ij 0 强化材料加载: ij
强化材料变载,理想材料加载:
f f ( ij ) 0, df d ij 0 ij


1 E 2 2 2 x y 2 y z 2 z x 2 6 xy yz xz 2 1 1 1 2 2 2 x y 2 y z 2 z x 2 6 xy yz xz 令 i 2 1



其中
i
弹性应变强度
等式左边与右边关系为:
=E i
结论:材料弹性变形范围内,应力强度与应变强度成 正比,比例系数为E
等效应变表达式:
2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x 6 xy yz xz 3 弹性应变强度表达式:
4.3.1 列维-密席斯增量理论
• 材料是理想刚塑性材料,即弹性应变增量为零, 塑性应变增量就是总 应变增量。 • 材料服从密席斯屈服准则,即: s • 塑性变形时体积不变,即:
d x d y d z d1 d 2 d3 0
dij dij
因此:
加载:ζ edζ e >0,应力点保持在加载曲面上,此时有新的塑 性变形发生,ζ -ε 关系为塑性关系。 卸载:ζ edζ e<0,应力点向加 载曲面内侧变动,不会产生新 的塑性变形, ζ -ε 关系为弹 性关系。 中性变载:若ζ edζ e=0 ,应力 点在原有屈服曲面上变动,对 于强化材料而言为没有新的塑 性变形,关系为弹性关系。
1 2 m m E
式中 E——弹性模数 υ ——泊松比 G——剪切模数 三者关系:G=E/2(1+υ )
1 x x ( y z ) E
x m



m
1 2 m E
1 1 2 x ( y z ) m E E 1 x m ( x m ) E 1 ( x m ) E
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