第4章 塑性应力应变关系(本构方程)
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塑性应力应变关系
2 加载条件
单轴情况
f 0, 且 f 0, 且 f 0, 且
多轴情况
f d ij 0时，加载 ij f d ij 0时，中性变载 ij f d《0时，卸载 ij ij
对理想塑性材料，则为
f f 0, and d ij 0 ij f f 0, and d ij 0 ij
5 塑性应力应变关系的推导
有
0
p ii
（塑性体积应变为零）
令
f f n / σ σ
（屈服面外法向单位向量）
f f f f f : σ σ σ ij ij
n :n 1
f d nij σ
p ij
（流动法则）
作为塑性变形的度量，引进等效塑性变形及其增量
加载或中性变载
卸载
f<0 and f>0是什么？
3 强化模型
各向同性强化：假设屈服面均匀膨胀，没有崎 变和移动，此时屈服面可表达为
f ( ij , k ) f ( ij ) k ( ) 0
强化模型实际上表示后继屈服面的变化规律， 即如何随硬化参数而变。强化参数可以取累积 塑性变形。
e d ij
1 1 d ij dsij d kk ij dsij 2G 9K 对刚塑性材料，不计弹性部分，为 d ij dsij 此为Levy Mises方程
d的确定 理想塑性
对理想塑性J 2材料，有 2 2 2 sij sij e2 y (1) 3 3 两边求导，有 2 sij dsij 0 (2) 偏应变增量可写为 1 dsij dsij (3) 2G 上式两边同乘以sij并求和有 deij sij deij 1 sij dsij dsij sij dsij sij 2G ( 4)
工程塑性力学(第四章)弹塑性力学边值问题的简单实例
σθ
−σr
=
2
p
b2 r2
在 r = a 时取最大值，则 r = a 处首先屈服
(σθ
− σ r ) max
=
2
p
b2 a2
=σs
求得弹性极限载荷（压力）为
pe
=
a2σ s 2b2
，
p
=
pe
=
b2 − a2 a2
pe
= σs 2
⎜⎜⎝⎛1 −
a2 b2
⎟⎟⎠⎞
（2）弹塑性解
（4-26）
p > pe 时，塑性区逐渐扩张。设弹、塑性区交界处 r = c ， a < c < b 。
b
弹性区
c
用边界条件σ r r=a = − p ，可确定出 C′ = − p − σ s ln a ，
a
所以
⎪⎧σ r ⎨ ⎪⎩σθ
= σ s ln r − p − σ s ln a = − p + σ s
=σs
+σr
=
−p
+ σ s (1 +
ln
r) a
ln
r a
（4-27）
塑性区 图 4-3
属静定问题，未用到几何关系。
ΔFi = F&iΔt ， ΔTi = T&iΔt ， Δui = u&iΔt
（4-10） （4-11）
式中 F&i ，T&i 和 u&i 分别称为体力率、面力率和位移率（速度）。引入率的表达形式
可以简化公式表达。 求解过程为：
已知时刻 t 时，位移 ui ，应变 εij ，应力σij ，加载面 f (σij ,ξ ) = 0 。在 ST 上给
弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
产生的x方向应变：
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
第4章 弹塑性本构方程
典型的本构关系模型
4-3-1 双曲线（邓肯-张）模型
它属于数学模型的范畴。即它以数学 上的双曲线来模拟土等材料的应力应 变关系曲线并以此进行应力和应变分 析的。由于这种模型是由邓肯和张两 人所提出，所以也叫邓肯-张模型，有 时简称D C模型。
a b
4-3-2 Drucker-Prager模型(D-P模型)
在F点之前，试件处于均匀应变 状态，到达F点后，试件开始出现 颈缩现象。如果再继续加载则变形 将主要集中于颈缩区进行，F点对应 的应力是材料强化阶段的最大应力， 称为强度极限，用 b 表示。
判定物体中某一点是否由弹性状态 转变到塑性状态，必然要满足一定 的条件（或判据），这一条件就称 为屈服条件。在分析物体的塑性变 形时，材料的屈服条件是非常重要 的关系式。
第4章 弹塑性本构方程
§4-1 典型金属材料
曲线分析
大量实验证明，应力和应变之间的 关系是相辅相成的，有应力就会有 应变，而有应变就会有应力。
对于每一种具体的固体材料，在一 定的条件下，应力和应变之间有着 确定的关系，这种关系反映了材料 客观固有的特性。下面以典型的金 属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的 应力应变曲线为例来说明。
§4-5 世界上最常用岩土本构模型及土 本构模型剖析
◆
世界上最常用的土本构模型
1.概述 土作为天然地质材料在组成及构 造上呈现出高度的各向异性、非 均质性、非连续性和随机性,在 力学性能上表现出强烈的非线性、 非弹性和粘滞性,土的本构模型 就是反映这些力学性态的数学表 达式。
一般认为,一个合理的土的本构 模型应该具备理论上的严格性、 参数上的易确定性和计算机实现 的可能性。自Roscoe等创建剑桥 模型至今,各国学者已发展数百 个土的本构模型。
工程塑性理论应力应变关系
2
E
m
y
m
1 E
y
z
x
1 2
E
m
z
m
1 E
z
x y ｛｝
1
2
E
m
x m , y m ,
x y
x m , y m ,
xy y z
xyzymmmm
,
z z m
z
z
m
Gz 2z1Em
x
1 2G
x
,
y
1 2G
y
,
z
1 2G
z
,
xy
yx
1 2G
xy
即应变增量张量就是应变增量偏张量。
在上述假设基础上，可假设应变增量与 应力偏张量成正比，即
d ij ij d
d x d y d z d xy d yz d zx d x m y m z m xy yz zx
式中：dλ—正的瞬时常数，在加载的不同 瞬时是变化的，在卸载时，dλ=0。
d ij ij d
d x x m d
x
x
y
3
z
d
2 3
d
x
1 2
y
z
d x
2 3
d
x
1 2
y
z
,
d y
2 3
d
y
1 2
z
x ,
d z
2 3
d
z
1 2
x
y
,
d xy
xy
d
d yz yzd
d zx zx d
将上式正应变两两相减，并写出切应变公式：
yz
2G
zx
弹塑性力学第四章 弹性本构关系
E K 3(1 2 )
(4.36) (4.37) (4.38)
K称为体积弹性模量，简称体积模量。
因此
q
sm
K
,em
sm
3K
1 3 1 1 ex e x e m ( sx sm) sm sx E E 3K 2G
1 ey e y e m sy 2G
1 eij sij 2G
(4.40)
1 eij sij 2G 1 em sm 3K
(4.41)
用应变表示应力：
或：
各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
• 材料的应力与应变关系需通过实验确定的。 • 本构方程实际是应力与应变关系实验结果的数学 描述。 • 由于实验的局限性，通常由简单载荷实验获得应 力与应变关系结果，建立描述相应的数学模型， 再将数学模型用于复杂载荷情况的分析。（用一 定实验验证结果）
• 例如：材料单轴拉伸应力-应变z e m sz 2G
1 1 1 1 yz s yz exy e xy xy sxy eyz e yz 2G 2G 2G 2G
1 1 exz e xz xz sxz 2G 2G
整理以上六个式子，得 整理以上六个式子，得
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个 因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
物理方程：
s ij 3 1 3 e ij s ij s m ij s m ij E E 2G E
(4.36) (4.37) (4.38)
K称为体积弹性模量，简称体积模量。
因此
q
sm
K
,em
sm
3K
1 3 1 1 ex e x e m ( sx sm) sm sx E E 3K 2G
1 ey e y e m sy 2G
1 eij sij 2G
(4.40)
1 eij sij 2G 1 em sm 3K
(4.41)
用应变表示应力：
或：
各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
• 材料的应力与应变关系需通过实验确定的。 • 本构方程实际是应力与应变关系实验结果的数学 描述。 • 由于实验的局限性，通常由简单载荷实验获得应 力与应变关系结果，建立描述相应的数学模型， 再将数学模型用于复杂载荷情况的分析。（用一 定实验验证结果）
• 例如：材料单轴拉伸应力-应变z e m sz 2G
1 1 1 1 yz s yz exy e xy xy sxy eyz e yz 2G 2G 2G 2G
1 1 exz e xz xz sxz 2G 2G
整理以上六个式子，得 整理以上六个式子，得
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个 因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
物理方程：
s ij 3 1 3 e ij s ij s m ij s m ij E E 2G E
《弹塑性力学》第四章 应力应变关系(本构方程)
第四章 应力应变关系（本构方程）
§4-1 应变能、应变能密度与弹性
材料的本构关系
§4-2 线弹性体的本构关系
§4-3 各向同性材料弹性常数
2019/2/4
1
第四章 应力应变关系（本构方程）
本章讨论弹性力学的第三个基本规律。 应力、应变之关系，这是变形体力学研究问题 基础之一。在前面第二、三章分别讨论了变形 体的平衡规律和几何规律（包括协调条件）。
ji,j+ fi = 0
2019/2/4
ij =( ui,j+ uj,i)/2
2
第四章 应力应变关系（本构方程）
共9个方程，但需确定的未知函数共15个：
ui，ij=ji， ij=ji，
还需要根据材料的物理性质来建立应力与 应变间的关系：
ij = ji = fij ( kl )
2019/2/4 3
本构关系
时刻达到 t +t：位移有增量
应变增量 外力功增量 ：
ij ei e j
A
V
u ui ei
f udV F udS
S
8
2019/2/4
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
A
V
V
f udV F udS
C11 C12 C 22 C 对 称 C13 C 23 C33 0 0 0 C 44 0 0 0 0 C55 0 0 0 0 0 C66
特点：正应变仅引起正应力，剪应变仅产生剪 应力。
2019/2/4 27
§4-2 线弹性体的本构关系
30
§4-2 线弹性体的本构关系
§4-1 应变能、应变能密度与弹性
材料的本构关系
§4-2 线弹性体的本构关系
§4-3 各向同性材料弹性常数
2019/2/4
1
第四章 应力应变关系（本构方程）
本章讨论弹性力学的第三个基本规律。 应力、应变之关系，这是变形体力学研究问题 基础之一。在前面第二、三章分别讨论了变形 体的平衡规律和几何规律（包括协调条件）。
ji,j+ fi = 0
2019/2/4
ij =( ui,j+ uj,i)/2
2
第四章 应力应变关系（本构方程）
共9个方程，但需确定的未知函数共15个：
ui，ij=ji， ij=ji，
还需要根据材料的物理性质来建立应力与 应变间的关系：
ij = ji = fij ( kl )
2019/2/4 3
本构关系
时刻达到 t +t：位移有增量
应变增量 外力功增量 ：
ij ei e j
A
V
u ui ei
f udV F udS
S
8
2019/2/4
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
A
V
V
f udV F udS
C11 C12 C 22 C 对 称 C13 C 23 C33 0 0 0 C 44 0 0 0 0 C55 0 0 0 0 0 C66
特点：正应变仅引起正应力，剪应变仅产生剪 应力。
2019/2/4 27
§4-2 线弹性体的本构关系
30
§4-2 线弹性体的本构关系
弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件
有限差分法
有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是一种基于差分原 理的数值模拟方法。
它通过将连续的时间和空间离散化为有限个差分节点，并利用差分近似代 替微分方程中的导数项，从而将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限差分法适用于求解偏微分方程，尤其在求解波动问题和热传导问题方 面具有优势。
05
弹塑性力学的数值模拟方法
有限元法
有限元法（Finite Element Method，简称 FEM）是一种广泛应用于解决复杂工程问题 的数值模拟方法。
它通过将连续的求解域离散化为有限个小的 单元，并对每个单元进行数学建模，从而将 复杂的连续场问题转化为离散的有限元问题。
有限元法具有灵活性和通用性，可以处理各 种复杂的几何形状和边界条件，广泛应用于 结构分析、热传导、流体动力学等领域。
与应变之间不再是线性关系。
重要性
03
了解塑性应力应变关系对于工程设计和结构安全评估具有重要
意义。
屈服准 则
屈服准则定义
描述材料开始进入塑性变形 阶段的条件。
常用屈服准则
例如，Von Mises屈服准则、 Tresca屈服准则等。
屈服准则的意义
为判断材料是否进入塑性变 形阶段提供依据，是弹塑性 力学中的重要概念。
弹塑性力学弹性与塑性应 力应变关系详解课件
目录
• 弹性应力应变关系 • 塑性应力应变关系 • 弹塑性本构模型 • 弹塑性力学的数值模拟方法
01
弹塑性力学基 础
弹塑性力学定义
01
02
03
弹塑性力学
是一门研究材料在弹性与 塑性范围内应力应变关系 的学科。
弹性
材料在受到外力作用后能 够恢复到原始状态的性质。
工程塑性理论应力应变关系04
1 x y E 1 y z y z E 1 z x z x E
x y
1 x y , 2G 1 y z , 2G 1 z x , 2G
xy yx yz zy zx xz
1 2
2 d 3 2 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2
2 2 2
d
2 2 2 d y d y d z d z d x 6 d xy d yz d zx x
xy yx
xy
式中：E—拉压弹性模量；ν—泊松比； G—剪切弹性模量。
E G 21
式中：E—拉压弹性模量；ν—泊松比； G—剪切弹性模量。
1 x x y z , E ＋ ＋ 1 y y z x , E ＋ ＋ 1 z z x y , E
3 ij ij 2
7.3.2 塑性应力应变关系
7.3.2.1 增量理论 7.3.2.2 全量理论 7.3.2.3 应力应变顺序对应规律
◆弹性应力应变关系的特点：
◇应力应变的关系是线性的，并可用虎克 定律来描述； ◇应变可由应力唯一确定。
◆塑性应力与应变的关系的特点：
◇是非线性的 ◇应变不能由应力唯一确定，而是与变形 历史有关。
1 xy 2G 1 yz 2G 1 zx 2G
1 x y E 1 y z y z E 1 z x z x E
x y
1 x y , 2G 1 y z , 2G 1 z x , 2G
本构方程
yz
2G
zx
2G
xy
2G
E—弹性模量；—泊松比；G—剪切模量
E G 2(1 )
材料弹性本构关系
广义虎克定律的张量表达式
1 1 2 ij ij m ij 2G E
1 i j 时 ij 0 i j 时
应力与应变之间是线性关系
材料全量塑性本构关系
再利用等效应力和等效应变公式
1 2 2 2 x y 2 y z 2 z x 2 6 xy yz zx 2
2 2 2 2 ( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx ) 3
张量表达式为
3 d d ij ij 2
材料增量塑性本构关系
Prandtl-Reuss理论 Levy—Mises理论没有考虑弹性变形的影响， 仅适用于大塑性变形问题。对于塑性变形量较 小，弹性变形不可忽略，以及求解弹性回复和 残余应力问题时不宜采用Levy—Mises理论 Prandtl于1924年提出了平面应变情况下理想弹 塑性材料的本构关系 Reuss在1930年也独立提出了该理论，并将其 推广到一般情况 通常将它称为Prandtl-Reuss理论
材料全量塑性本构关系
将上式正应变两两相减，并将切应变的表达式 一起写出
1 x y 2G ( x y ); 1 ( y z ); y z 2G 1 ( x); z x z 2G
1 xy xy 2G 1 yz yz 2G 1 zx zx 2G
材料增量塑性本构关系
弹性力学 第四章应力和应变的关系
vI t
x
x
t
y
y
t
z
z
t
yz
yz
t
xz
xz
t
xy
xy
t
若固定x,y,z的值，则得在dt时间内vI 的增量为，即在上式两边乘以dt
dvI xd x yd y zd z yzd yz xz d xz xyd xy
由于内能密度 vI 是状态的单值函数，dvI 必须是全微分，因此
所以
v
1 2
(
x
x
y y
zz
xy xy
xz xz
zy zy )
张量表示
v
1 2
ij
ij
弹性体应变能 V v dV V
§4－3 各向异性弹性体
（一）极端各向异性弹性体
理论具有36个弹性常数
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx y c21 x c22 y c23 z c24 xy c25 yz c26 zx
的值，根据无初始应力假设，( f1)0为0。均匀材料，函数 f1
对应变的一阶偏导数为常数。这是因为对物体内各点来说，
承受相同的应力，必产生相同的应变；反之，物体内各点
有相同的应变，必承受同样的应力。
经过上面的处理后，小变形情况就可简化为
广义胡克定律
x C11 x C12 y C13 z C14 xy C15 yz C16 xz y C21 x C22 y C23 z C24 xy C25 yz C26 xz z C31 x C32 y C33 z C34 xy C35 yz C36 xz xy C41 x C42 y C43 z C44 xy C45 yz C46 xz yz C51 x C52 y C53 z C54 xy C55 yz C56 xz xz C61 x C62 y C63 z C64 xy C65 yz C66 xz
塑性应力应变关系
于是胡克定律可用下面等价形式描述：
kk
1 2
E
kk
eij
3 i 2 i
sij
i 3Gi
形变理论是弹塑性小变形理论的简称。它仅适应简单 加载（在加载过程中一点的应力各分量是按比例增长 的）。但它在数学上简单，而且在比例加载下通常可 得到满意结果。
形变理论假定：（1) 体积变形是弹性的；（2）在物 体所有各点，应力偏量与应变偏量平行（也即塑性应 变的方向与应力偏量平行，注意与增量理论的区别）； （3）应力强度与应变强度有确定的关系（从而可由单 轴拉伸标定，可把单向拉伸图形作为它们的曲线）； （4）卸载是弹性的
σ
Y
设Y以下列演化方程依赖于累积塑性变形 p
dY Y '( p )d p
有
d
p
1 f Y '
f σ
: dσ
Y
从而有
1 f : dσ
h σ
式中
1 3 1
h
2 f f Y '
σ Y
最后有
这一关系只适应硬化材料，可由给定的应力增量求解应变增量。 对软化材料，给定应力增量，不能判断是加载还是卸载，如 下图单轴拉伸所示。因此，对软化材料必须在应变空间中讨 论，即给定应变增量，求解应力增量。
4、由一致性条件求λ
5、增量应力应变关系
6、增量理论弹塑性矩阵通式
7、A的确定
A
F K
T
F
1、如已知F与K之间的显示表达式，A就是一个确定的 量。
2、对金属材料，M ises屈服准则，等向强化材料，A 就是单轴拉伸应力与塑性应变曲线的斜率。
弹塑性力学04应力和应变关系汇总
第四章应力和应变关系一. 内容介绍前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。
由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。
应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。
对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。
这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。
对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。
分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。
本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。
二. 重点1. 应变能函数和格林公式；2. 广义胡克定律的一般表达式；3. 具有一个和两个弹性对称面的本构关系；4. 各向同性材料的本构关系；3. 材料的弹性常数。
§4.1 弹性体的应变能原理弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。
同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。
借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。
本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。
根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。
探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。
因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。
学习要点：1. 应变能；2. 格林公式；3. 应变能原理。
1. 应变能弹性体发生变形时，外力将要做功，内部的能量也要相应的发生变化。
本节通过热力学的观点，分析弹性体的功能变化规律。
根据热力学的观点，外力在变形过程中所做的功，一部分将转化为内能，一部分将转化为动能；另外变形过程中，弹性体的温度将发生变化，它必须向外界吸收或释放热量。
工程塑性理论应力应变关系
2 zx
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
e
2 3
x y
2
y z
2
z x
2
6
2 xy
2 yz
2 zx
2 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2
x
y
,
xy
3 2
e e
xy
y z
3 2
e e
yz
zx
3 2
e e
zx
与粘性流体的牛顿公式相似，故称为塑性流动方 程。Levy-Mises方程实际上是塑性流动方程的增量 形式。若不考虑应变速率对材料性能的影响，二者 是一致的。
1 2G
ij
x
1 2G
x
m
1 2G
x
x
y
3
z
1 3G
x
1 2
y
z
E 3G
x
1 E
x
1 2
y
塑性应力应变关系
1 弹性应力应变关系 2 塑性应力应变关系 3 等效应力—等效应变曲线的单一性 4 等效应力—等效应变曲线的简化模型
塑性力学的基本方程与弹性力学基本方 程的差别主要表现在应力应变关系上。
塑性变形时，应力不仅与应变有关，还 与变形历史、材料微观结构有关。
通常将塑性变形时的应力应变关系称为 本构关系，其数学表达式称为本构方程，也 叫做物理方程。
塑性变形时的应力应变关系
x
1 2
y z
;
xy xy
y
2
3
y
1 2
z
x ;
yz yz
z
2 3
z
1 2
x y
;
zx zx
例3-10 塑性应力应 变关系应用
受内压薄壁圆筒屈服，
半径r ，内压p，材料屈服应力S ，求应变增量各分量的比值 。
p 0;
p2r 2t
pr ; t
z
p r2 2r t
d ?
dx d y
2
x y
2 d 2
d y dz
2
y z
2 d 2
d z d x 2 z x 2 d 2
6d xy2 6 xy2d 2 6d yz2 6 yz2d 2 6d zx2 6 zx2d 2
dx dy
2
d y dz
2
dz dx
2 6 d xy2 d yz2 d zx2
2 yz
2 zx
1 E
2 1
x y
2
y z
2
z x
2 6
2 xy
2 yz
2 zx
i
1
2 1
x y
2
y z
2
z x
2 6
2 xy
2 yz
2 zx
应变强度
i
2
3
1
Ei
弹性变形时应力应变关系的特点
应力与应变成线性关系，是一一对应的关系；
弹性变形是可逆的，加载与卸载的规律完全相同；
材料是理想刚塑性材料，即 diej 0 ，dij dijp ；
材料符合密席斯屈服准则，即 S ；
每一加载瞬间，应力主轴与应变增量主轴重合； 塑性变形时体积不变，即dx dy dz d1 d2 d3 0 和 dij dij； 应变增量与应力偏量成正比（列维－密席斯方程）。
弹塑性力学-第4章_本构方程
第四章本构方程在前面的章节中，已经建立了变形体的平衡微分方程和几何方程，分别是从静力学方面和从几何学方面考察了变形体的受力和变形。
但是只有这些方程还不足以解决变形体内的应力和变形问题。
对于变形体，未知变量包括6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量，一共有15个未知函数，而平衡方程和几何方程一共是9个，未知函数的个数多于方程数。
因此还必须研究物体的物理性质，即应力与应变之间的关系。
通常称这种关系为变形体的本构方程，或称为物性方程。
塑性本构包括三个方面：1、屈服条件，2、流动法则，3、硬化关系；其中屈服条件：判断何时达到屈服，流动法则：屈服后塑性应变增量的方向，也即各分量的比值，硬化规律：决定给定的应力增量引起的塑性应变增量大小。
以上构成塑性本构关系。
4.1弹性应变能函数变形固体的平衡问题不仅需要运动微分方程、应变—位移方程(即变形几何方程)还需要将应变分量和应力张量分量联系起来，方能给定物体的材料抵抗各种形式变形的规律。
该规律的理论解释需要对分子间力的本质有深入的认识，该分子力力图使固体粒子间保持—定的距离，也就是需要对固体中应力分量和应变分量有深入的认识。
这种作用机理在非常接近稳定状态的气体中己弄清楚，但对于弹性体情况，目前科学技术发展水平还不能解决这一难题。
如要通过实验探求物体内部的应力和应变的关系，则总是从一些量的测量来推理得到，在一般情况下，这些量并非应力或应变的分量(例如平均应变、体积压缩、物体表面一线元的伸长等等)．因此，在现时应力与应变关系主要是通过直接实验建立。
然而该关系中的某些固有的一般特性可以在理沦上加以说朋，如能量守恒定律为应力-应变关系的理论研究提供了基础。
1.1应变能密度假设变形的过程是绝热的，也就是在变形过程中系统没有热的损失，而且假设物体中任意无穷小单元改变其体积和形状所消耗的功与其从未变形状态到最终变形状态的转换方式无关。
这个条件是弹性的另一种定义。
换句话说，就是假设物体粒子互相作用过程中的耗散(非保守)力的作用与保守力的作用相比是可以忽略的。
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强化材料卸载：
f ( ij ) 0,
f df d ij 0 ij
4.3 增量理论
在塑性变形时，全量应变和加载历史有关，要建立普遍的全量应变与应力 之间的关系是很困难的，所以主要研究应力和应变增量或应变速率之间的关系 。这种关系叫做增量理论，其中包括：密席斯方程、塑性流动方程和劳斯方程 。前两者适用于理想刚塑性材料，后者适用于弹塑性材料。
x
y 4G2 x y
2
2
2 2 6 xy 4G 2 xy 6
2 2 2 2 2 2 xy yz xz 等式左边为： x y y z z x 6
1 等效应力为：
1 i 2 1
2 2 2 yz xz x y y z z x 6 xy 2 2 2
则等效应变与弹性应变强度关系为： 当 =0.5 时
3 i = 2(1 )
i
弹性应力应变关系特点： 1.应力与应变成线性关系 2.弹性变形是可逆的，应力应变关系单值对 应 3.弹性变形时，应力球张量使物体产生体积 变化;物体形状的改变只是由应力偏张量引 起的。 4.应力主轴与应变2G
同理可得：
y m
1 - E 1 - E
x
z m z
m
1 y y 2G
1 z z 2G
m
x
1 x 2G
1 y y 2G 1 z z 2G
d
2 2 2 x d y d y d z d z d x 6 d xy d yz d xz 2 2 2
2 2 2 2 2 2 d x y y z z x 6 xy yz xz 2 2d 2 2
• 每一加载瞬间，应力主轴与应变增量主轴重合。
• 应变增量与应力偏张量成正比，即：
d dij ij
变形时变化。 d - 瞬时的非负比例系数。 卸载时，d 0
上式
d d ij ij
称为列维米塞斯方程
(1)比例形式：
d x d y d z d xy d yz d xz d x y z xy yz xz
e
将上式括号中的第三、四项展开即可发现它们都为零：
因此，括号内只留下前两项，其中第二项只与球张量 有关，表示体积变化的能量，用表示；而第一项只与偏张
量有关，表示形状变化的能量，即形变能，以表示。
屈服时的弹性形变能为：
1 2 1 A S 常数 6G 6G
e x 2
（密席斯屈服准则的物理意义，即当材料的质点内单位 体积的弹性形变能达到某一临界值时，材料就屈服。）
第四章 材料本构关系
应力状态与应变之间的关系，这种各种的数 学表达式叫做本构方程，也叫物理方程。
平衡微分方程 求解屈服准则 本构方程
4.1 弹性本构关系
材料在简单拉伸情况下，应变与应力关系满足 x
1 x E
y
z 0
x
P
x方向：增长 y方向：缩短 z方向：缩短
应变关系满足：
对等式右边开方再乘以
2G 2
2
1 2
，得
2 2
2 2 2 yz xz x y y z z x 6 xy
2G 2
2 2 2 6 x y y z z x xy yz xz 2 2 2
2 令 d 3
2 2 2 d yz d xz d x d y d y d z d z d x 6 d xy 2 2 2
d
为塑性应变增量强度，也称等效应变增量。
则 9 d 2 2 2d2 2
4.3.1 列维-密席斯增量理论
• 材料是理想刚塑性材料，即弹性应变增量为零， 塑性应变增量就是总 应变增量。 • 材料服从密席斯屈服准则，即： s • 塑性变形时体积不变，即：
d x d y d z d1 d 2 d3 0
dij dij
因此：
2、差比形式：
x y y z xy yz xz z x 1 x y y z z x xy yz xz 2G
上式两边平方后整理后得：
x y
z 4G 2 y z
2
2 2 2 6 x y y z z x xy yz xz 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 4G 6 等式右边为： x y y z z x xy yz xz
4.2塑性变形时应力应变关系的特点
塑性变形时应力应变关系的特点:
1. 塑性变形时体积不变（应变球张量为0，υ=0.5）
2. 应力与应变之间的关系是非线性的 3. 全量应变与应力的主轴不一定重合 4. 塑性变形是不可恢复的，应力与应变之间没有一般 的单值关系，而是与加载历史或应变路线有关
由此可以看出： 离开加载路线来 建立应力与全量 塑性应变之间的 普遍关系是不可 能的。
1 E 2 2 2 x y 2 y z 2 z x 2 6 xy yz xz 2 1 1 1 2 2 2 x y 2 y z 2 z x 2 6 xy yz xz 令 i 2 1
(2)差比形式：
d x d y
x y
d y d z
y z
2
d z d x d z x
2 2 6d xy 6 xy d 2 2 2 2 6d yz 6 yz d 2 2 2 6d xz 6 xz d
yz xz xy
yz
2G
xz
2G
广义虎克定律
xy
2G
x y z
1 x y z 2 x y z E
1 2 x y z x y z E
2 2
y 4G 2 x y
2
2
2 2
z
x 4G 2 z x
2 2 xy 4 G 2 xy 2 2 yz 4 G 2 yz 2 2 xz 4 G 2 xz
+ 2 2 2 2 2 2 6 4G yz 6 4G + yz y z y z 2 2 2 2 2 2 6 4G xz 6 z x 4G z x + xz
z y x
x
E
其中：υ——泊松比
即当材料在某个方向受拉力时，在该方向出现拉伸变形， 而与垂直的两个方向则出现压缩变形。
多向受力时： z x方向正应力产生：
x
x
E
, y
x
E
, z
x
E
x
y方向正应力产生：
+ x
y
图2-5 π平面上的加载准
加载与卸载准则通用式表示 如果以 f ( ij ) 0 表示屈服曲面
弹性状态： f ( ij ) 0
f f ( ij ) 0, df d ij 0 强化材料加载： ij
强化材料变载，理想材料加载：
f f ( ij ) 0, df d ij 0 ij
ij
1 ij 2G
应变偏张量与应力偏张量成正比
结论：物体形状改变只由应力偏张量引起
m
1 2 m E
m
物体弹性变形时，单位体积变化率θ =3ε
与平均应力成正比。
结论：应力球张量使物体产生了弹性体积改变
应变张量可以分解成偏张量和球张量
m ij ij ij
加载：ζ edζ e ＞0，应力点保持在加载曲面上，此时有新的塑 性变形发生，ζ -ε 关系为塑性关系。 卸载：ζ edζ e＜0，应力点向加 载曲面内侧变动，不会产生新 的塑性变形， ζ -ε 关系为弹 性关系。 中性变载：若ζ edζ e=0 ，应力 点在原有屈服曲面上变动，对 于强化材料而言为没有新的塑 性变形，关系为弹性关系。
其中
i
弹性应变强度
等式左边与右边关系为：
=E i
结论：材料弹性变形范围内，应力强度与应变强度成 正比，比例系数为E
等效应变表达式：
2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x 6 xy yz xz 3 弹性应变强度表达式：
E
, y
y
E
, z
y
E
y
z方向正应力产生： + x
z
E
, y
z
E
, z
z
E
1 x x ( y z ) ; E 由上，得 1 y y ( x z ) ; E 1 z z ( y x ) ; E
二、弹性变形能
物体在外力作用下产生弹性变形时，单位体积中的弹性能：
1 e e Ae ij ij AT Ax 2
将 ij和 ij 都分解成偏张量和球张量，则