《常微分方程》答案_习题

习题4.2
1. 解下列方程
（1）
045)4(=+''-x x x 解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根
故通解为x=t
t t t e c e c e c e c --+++4
32221 (2)
0333
2=-'+''-'''x a x a x a x 解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ
有三重根a =λ
故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04)
5(=''-x x
解：特征方程0435=-λλ
有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2 故通解为
542
32221c t c t c e c e c x t t ++++=-
（4）0102=+'+''x x x
解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i
故通解为t e c t e c x t t 3sin 3cos 21--+= (5) 0=+'+'x x x
解：特征方程012=++λλ有复数根=
1λ,231i +-=2λ,2
31i
-- 故通解为t e
c t e
c x t t 2
3sin 2
3
cos 2
122
1
1--+=
(6) 12+=-''t s a s 解：特征方程02
2=-a λ有根=1λa,=2λ-a
当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=at at e c e c -+21
Bt A s +=~代入原方程解得21a
B A -== 故通解为s=at at e c e c -+21-)1(1
2-t a
当a=0时,)(~
212γγ+=t t s 代入原方程解得2
1
,6121==γγ 故通解为s=t c c 21+-)3(6
1
2+t t
(7) 32254+=-'+''-'''t x x x x
解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++
又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1
故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (8) 322)4(-=+''-t x x x
解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，
重根有 故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321
取特解行如c Bt At x ++=2~
代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (9)t x x cos =-'''
解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,2
31i
--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t e
c x 321
22
1
12
3
sin 23cos ++=--
取特解行如t B t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=2
1,21-=B 故通解为t t t e c t e c t e
c x 321
22
1
123sin 23cos ++=--)sin (cos 2
1
t t +-
(10) t x x x 2sin 82=-'+''
解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1 故齐线性方程的通解为x=t t e c e c 221-+ 因为+-2i 不是特征根
取特解行如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=5
6,52-=-B 故通解为x=t t e c e c 221-+t t 2sin 5
62cos 52-- （11）t e x x =-'''
解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,2
31i
--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t e
c x 321
22
1
12
3
sin 23cos ++=-- =λ1
是特征方程的根，故t Ate x =~
代入原方程解得A=3
1
故通解为t t t e c t e c t e
c x 321
22
1123sin 23cos ++=--+t te 3
1
（12）t e s a s a s =+'+''22
解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t t
te c e c 21+,
=λ1是特征方程的2重根，故t e At x 2~
=代入原方程解得A=2
1
通解为s=2212
1t te c e c t t ++,
当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at at
te c e c --+21,
=λ1不是特征方程的根，故t Ae x =~
代入原方程解得A=2
)1(1
+a
故通解为s=at at te c e c --+21+
t
e a 2
)
1(1+ （13）t e x x x 256=+'+''
解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5 故齐线性方程的通解为x=t
t
e c e c 521--+
=λ2不是特征方程的根，故t Ae x 2~
=代入原方程解得A=21
1 故通解为x=t t e c e c 521--++
t e 221
1 （14）t e x x x t cos 32-=+'-''
解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i
故齐线性方程的通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos
21+=
i ±-1
不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=
41
4
,415-=B 故通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos
21+=+t e t t --)sin 41
4
cos 415(
(15) t t x x 2cos sin -=+''
解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i 故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+=
t x x sin =+'',=1λi,是方程的解 )sin cos (~
t B t A t x +=代入原方程解得 A=21- B=0 故t t x cos 2
1~-=
t x x 2cos -=+'' t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得 A=3
1
B=0 故t x 2cos 3
1~
= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-
t 2cos 3
1
+ 习 题 6-1
1． 求出齐次线性微分方程组
y t A dt
dy
)(=的通解，其中A （t ）
分别为：
（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ；（2）⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=0110)(t A ；
（3）⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。

（1）方程组的分量形式为：
211y y dt
dy += ，22y dt dy
=
从后一式容易求出2y 的通解为 t ke y =2 ，其中K 为任意常数，
可分别取02
=y 和 t e y =2，代入前一式得到两个相应的特解，
t e y =1和 t te y =2这样就求得方程组的一个解矩阵为
()0t
t t e te t e ⎛⎫Φ=
⎪⎝⎭
又 2det ()0t
t e Φ=≠ 。

因此，)(t Φ是方程组的一个基解矩阵，根据定理6.1 ,方程的通解为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛t t t e te c e c y y 21210
（2）方程的分量形式为 ⎪⎩⎪⎨⎧-==1221
y dt
dy y dt dy
由①、②可和 21
120
d y y dt
+=
由观察法知，t y cos 1=，t y sin 1=为此方程的两个特解，将其代入②式可得两个相应的特解，将其代入②式可得两个相应的特解：2sin y t =-，2cos y t =。

这样就求得方程组的一个解矩阵为
①
②
cos int ()int cos t s t s t ⎛⎫
Φ= ⎪-⎝⎭
又 []01)(det ≠=Φ=t ，
因此)(t Φ中方程组的一个基解矩阵。

故方程组的通解为1122
cos int int cos y t s c c y s t
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭
⎝
⎭
⎝
⎭
（3）程组的分量形式为：⎪⎩⎪⎨⎧='='='13
22
31
y
y y y y y
解 ①+③得
3131)(y y y y dt d
+=+ 解 ①-③得 1313()d
y y y y dt
-=-
解之得 131132 t t y y k e y y k e --+=-=
由④、⑤可得 ()()⎪⎩
⎪⎨
⎧-=-=+=+=----t
t t t t t t t e c e c e k e k y e c e c e k e k y 312.133121121
21
又由②得 t e c y 22=
由此可求得方程组的一个解矩阵
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=Φ--t t t t t
e e e e e t 0
00
0)( 显然，[]0)(det ≠-=Φt ze t ，因此)(t Φ是方程组的一个基解矩阵，
故方程组的通解为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪
⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--t t t e t e e c e c e e c y y y 0000321321
3．试证向量函数组 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 ，⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛00x ，⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛002x 在任意区间 b x a <<上线
性相关，则存在不全为零的三个常数 321,,c c c 使得
①
② ③
,000000012321=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x c x c c 即 b x a x c x c c <<=++0
2321①而①式之左端是一
个不高于二次的多项式，它最多只可能有二个零点，同此这与①式在b x a <<上恒等于零矛盾，从而得证。

4．试证基解矩阵完全决定齐次线性方程组即如果方程组
y x A dx dy )(=与y x B dx
dy )(= 有一个相同的基解矩阵，则 )()(x B x A =
证：设这两个方程组的相同基解矩阵为 )(x Φ那么，必有
[]0)(det ≠Φt ,故)(x Φ可逆,设逆矩阵为)(1x -Φ,同而
1
()()()d A x x B x dx
-Φ=
Φ= 证毕
6．设当b x a <<时，非齐次线性方程组
()()dy
A x y f x dx
=+（1）中的()f x 不恒为零。

证明（1）有且至多有 n+1个线性无关解。

证 设)(),(1x y x y n 是方程组（1）的相应齐次方程组的n 个线性无关的解，)(x ϕ是（1）任意一个特解，则
)()(,),()(),()(21x x y x x y x x y n ϕϕϕ+++
是(1)的n+1个线性无关解.这是因为,若存在常数
121,,,+n n k k k k 使得
()()0)()()()()(111≡++++++x k x x y k x x y k n n n ϕϕϕ
则一定有 1210n n k k k k +==== 否则有
1
1121
121
()()()n
n n n k k x y x y x k k k k k k ϕ++--=
+
+
++++++
这与)(x ϕ为(1)的解矛盾，因此，0121≡++++n n k k k k 假设可知
021==-==n k k k
故01=+n k ，所以（1）n+1个线性无关的解。

又设 )(x ϕ是（1）在(a,b)上的任一解，12
1 n y y y +是（1）的n+1个线性无关的解， 那么，),()(1x y x -ϕ2()(),
,x y x ϕ-)()(1x y x n +-ϕ
是(1)的对应齐次方程组 y x A dx
dy
)(= （2）
的解，而（2）最多有n 个线性无关的解，所以必存在不全为零的常数,,,,121+n k k k 使得 ),(b a x ∈
()()0))(()()(112211≡-+-+-++n n y x k y x k y x k ϕϕϕ
即 ()112211121)(++++++=+++n n n y k y k y k x k k k ϕ 显然，
0121≠+++n k k k ，
否则，存在不全为零的常数 ,,,,121+n k k k 使得
0)()()(112211≡+++++x y k x y k x y k n n
这与)(,),(),(121x y x y x y n + 线性无关矛盾，故
1
11121
121
()()()n
n n n k k x y x y x k k k k k k ϕ+++--=
+
+
++++++
这说明（1）的任一解，都可由这n+1个线性无关的解的线性表出，同时也说明（1）的任意n+2个解线性相关，故方程组（1）在（a ，b ）上至多有n+1个线性无关解。

习题6—2
1． 求出常系数齐次性微分方程组Ay dx
dy
=的通解，
其中的矩阵A 分别为
1）⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛2543 2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-o a a o 3）⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---401010011 4）⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---942105520105 5）⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-------111111*********
1
解：1） 特征方程
3452λλ
-- 即 0)2)(7(=+-λλ
矩阵A 有特征根，71=λ 22
-=λ
对应于71=λ所有的特征向量
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛21v v 满足
)7(21=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-v v E A 即
1244055v v -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭。

取11=v ，则12=v 那么对应的实值解为x
e y 7111⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=； 对应22-=λ的特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21v v 满足0)2(21=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+v v E A 即0454521=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛v v ，取
41=v ，则52-=v ，那么对应的实值解为 zx
e y -⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=542。

于是该方
程组的通解为
x x e c e c y y 2271215411-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ 2）特征方程为
0=---λ
λa a
即022=+a λ
矩阵A 有特征根ai =1λ 2ai λ=-
对应ai =1λ的特征向量⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛21r r 应满足021=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---v v ai a a ai
取11=v ，则i v =2
即么对应的特解为1211(cos sin )aix y e ax i ax y i i ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
cos sin sin cos ax ax i ax ax ⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
由此得ai =1λ所对应的两个特解为（对2X2的方程组取一个特解的实部和虚部就可，因为虚根都是成对出现的。

）
12cos sin y ax y ax ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 122sin cos y ax y ax ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 它们在),(+∞-∞上线性无关，故得方程组的通解：
1122cos sin sin cos y ax ax c c y ax ax ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3）
040
1
010011=------λ
λλ
即0)1)(4(2=++λλ
矩阵A 有特征根 41-=λ，12
1-==λλ。

对应于41-=λ ，特征向量应满足
000103001332`1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛v v v 又⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001001030013（只能进行行变换） 因此与1λ相应的特征向量可取为⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=1001n ，
对于二重特征根12
-=λ，可以算出
2
22010000()000000103319A E λ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
因此，方程0)(22=-γ
λE A 有二个线性无关的解为 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=10310
γ，20
091γ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
注意到22=n ，就可得到⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00010330100001011
γ ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30919030100001021γ 从而可行基解矩阵
4039()0
09(31)x x
x
x x
x e xe x e e e x e ------⎛⎫ ⎪Φ= ⎪ ⎪-⎝
⎭
因此所求通解为 C x y )(Φ=，即 41230390091131x x x x y c e c e c e x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
4）特征方程
094
2
105520105=------λ
λλ
即 02525923=+-+-λλλ 矩阵A 有特征根：51=λ，i +=22
λ，i -=23λ
对应51=λ的特征向量⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛321γγγ应满足
04421005201010321=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---γγγ 解之得 312γγ-= 20γ= 取13
=γ 则12γ=-
故相应的解为 1152131201x y y e y -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
相应于i +=22λ 的特征向量⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛321γγγ应满足
0742103520107321=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------γγγi i i 取 12010i γ=+，i 5152-=γ，i 2143--=γ
那么对应的复解为
i x x x x x x e x x x x x x e i i i e y x
x x i ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=+sin 14cos 2cos 5sin 15sin 20cos 10sin 2cos 14sin 5cos 15sin 10cos 20214515102022)2(
分别取实部，部可得方程组的两个实解
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x x x y y y sin 2cos 14sin 5cos 15sin 10cos 20322212,x e x x x x x x y y y 2322212sin 14cos 2sin 5cos 15sin 10cos 10⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 易知它们在),(+∞-∞上是线性无关的，于是方程组的通解为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x x x e c x x x x x x e c e c y y y x x x sin 14cos 2cos 5sin 15sin 20cos 10sin 2cos 14sin 5cos 15sin 10cos 20102222213213 5）特征方程为
0)2()2(11
1
1
11111
1111
1113=+-=----------λλλ
λλλ 矩阵A 的特征根为21-=λ， 24
32===λλλ
对应于21-=λ，相应的特征向量1234γγγγ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
应满足
123431111311011311113γγγγ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪= ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪
⎝⎭
可以算出
3111100
1131101011131001111130
000⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
--- ⎪ ⎪
→ ⎪ ⎪
--- ⎪ ⎪
--⎝⎭⎝⎭
解之得14
32γγγγ-===， 则1432===γγγ那么相应的解为
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--11112x e
对应于三重特征根22
=λ，可以算出
3
321111111111111111()161111111111111111A E λ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------
⎪ ⎪-== ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭
因此，方程0)(32=-γ
λE A 有三个线性无关解为
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001110r ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010120r ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=100130r
注意到3=i
n ，可得
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------=00000011111111111111111111
γ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------=00000101111111111111111121
γ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------=00001001111111111111111131
γ 由以上结果，可得方程组的一个基解矩阵
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=Φ----x x x x
x x x x x x
e e e e e e
e e e e x 22222222220
0000)( 因此所求方程组的通解为 ()y x c =Φ 或
⎪⎪
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1001010100111111242322214321x x x x e c e c e c e c y y y y 2．求出常系数非齐次线性方程组)(x f Ay dx
dy
+=，的通解，其中：
3）
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=0112A ，
⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=x e x f 20)(； 4）⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=111001212A ，
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=x x x f 102)(；
5）⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛-----=100110011A ， ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x x x x f 2)(2。

3）解先求对应齐次方程组的通解 特征方程
0121
122=+-=---λλλ
λ，特征根为121==λλ
对于二重特征根11=λ，可以算出
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00001111)(2
2
1E A λ
因此方程0)(21=-r E A λ 有二个线性无关的解 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=1110γ ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=1020γ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=0011111111γ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1110111121γ 由此可得齐次线性方程组的一个基解矩阵
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+-=Φx x
x
x
e x e xe e x )1()( 故非齐次方程组的通解为 10()()()2s y x C x s ds e -⎛⎫
=Φ+ΦΦ
⎪⎝⎭⎰ 容易求出1
(1)()x
x x
x x e xe x e
e -----⎛⎫
-Φ= ⎪-⎝⎭
故 1
00(1)()()22(1)x x s
s s s x
x s
s e xe s e se x s ds ds e e e
x e e e -----⎛⎫⎛⎫-⎛⎫
⎛⎫
ΦΦ= ⎪
⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰x x x x
x x x x
x x
e x x e x x x e x e xe e ds s e x e xe e )2(2)1(22)1(222
于是非齐次方程组的通解为
x x x
e x x x x x e c e c y ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22212111 4）先求对应齐次方程组的通解
特征方程为
2121001
1
1λ
λλ
----=--
特征根为 11=λ，i =2
λ ，i -=3λ
对应于11=λ的特征向量为110⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
对应于2i λ=的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321γγγ应满足 01110121
2321=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------γγγi i i
解之得 123i γγγ=-=，令12
=γ，则i -==31γγ
其相应的复值解为：sin cos 1cos sin sin cos ix i x i x y e x i x i x i x --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
分别取实部和虚部，可得齐次方程组的两个线性无关的实解,
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x x x y sin cos sin 2 3
cos sin cos x y x x -⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪
-⎝⎭ 从而可得齐次方程组的一个基解矩阵
sin cos ()cos sin 0sin cos x
x
e x x x e x x x x ⎛⎫
⎪
Φ=-- ⎪ ⎪⎝
⎭
容易求得
10()cos cos sin cos sin sin sin cos x x e e x x x x x x x x x ---⎛⎫- ⎪
Φ=- ⎪ ⎪--+⎝⎭
这个矩阵的逆的算法：
cos x sin x
sin cos 10000101()cos sin 010cos sin 0100sin cos 0010sin cos 00100101cos 10 0cos sin 0sin cos 001x
x x
x
x x e x x e x e x x e
x x x x x x e e x x x x x ⨯+⨯⎛⎫
⎛⎫
- ⎪ ⎪
Φ=--−−−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
⎛⎫
- ⎪−−−−−−−−→- ⎪
⎪⎝⎭第一行减第三行第二行第三行第三行+第二行sinx 2sin x cos x 2
cos 00101cos 10 0cos sin cos sin 0cos 0cos sin cos 00101
cos 10 0cos sin 00cos sin cos cos sin cos cos sin x
x x x
x x e e x
x x e x x x x x x e e x
x x x x x x x x x x ⨯⨯-⨯+⎛⎫
- ⎪
−−−−−−−→- ⎪ ⎪-⎝
⎭
⎛⎫- ⎪
−−−−−−−−→- ⎪
⎪--+⎝⎭
（-）第三行+第一行（）第一行第二行
200101
10 cos cos sin cos 00cos sin cos cos sin cos cos sin 1000010 cos cos sin cos 001sin sin cos sin x
x x
e x x x x x x x x x x x x e e x x x x x x x x --⎛⎫- ⎪
−−−−−−−→- ⎪ ⎪--+⎝
⎭
⎛⎫- ⎪→- ⎪ ⎪--+⎝⎭
这里是只能通过行变换将矩阵先变成下三角，再变成对角阵即可。

自己认真算，我都能算对，大家一定可以的，复习高等代数了。

我仔细算了一下，要是将齐次方程的通解写出来，再用常数变易法求出特解方程组的阶数高的时候比求矩阵的逆还复杂，所以还是建议大家用求矩阵的逆的方法来算吧。

故 12()0(1)sin cos (1)cos 1sin (1)cos (1)sin s
x s e e s ds s s s d x x s s s s x x ---⎛⎫⎛⎫--⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
Φ=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎰
⎰
则 ds s f s x )()()(1
⎰-ΦΦ ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-01sin )1(cos )1(cos sin 0sin cos cos sin x x x x x e x x x x e
x x e x x
x
所以非齐次线性方程组的通解为
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01cos sin cos sin cos sin 011321x x x x c x x x c e c y x
(5)先求对应齐次方程组的通解
特征方程
11001100
1λ
λλ
-----=--
特征方程根为 1231λλλ===-。

对于三重特重根 11λ=-，可以算出
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000000000000100010)(3
31E A λ
因此方程
)(31=-r E A λ 有三个线性无关的解
1020301000,1,0001r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=00000100010001011r ，
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=00101000010001021r ，
⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=00000100010001022r ，
31010000010100010r -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32010010011000000r -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
由此可得齐次线性方程的一个基解矩阵 x
e x x x x -⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=Φ100101)(2
从而容易求得 110()01001x
x x x e -⎛⎫
⎪Φ=-- ⎪ ⎪⎝⎭
又 2
110()()012001x x x x f x dx e x x dx x -⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪Φ=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰⎰ 2222336621x x x x x x x e dx x e x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪
=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
⎰
故 dx x f x x )()()(1⎰-ΦΦ
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1662166310010122
22x x x x e x x x x e x x x x x
故非齐次线性方程组的通解为
dx
x f x x c x y )()()()(1-Φ⎰Φ+Φ=
221231266010011x x
x x x x x c e c e c x e x x ---⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
由于特征向量取的不同，结果肯能也不一样。

但是课本答案出现x e 肯定是不正确的。

3．求出微分方程组 )(x f AY dx
dy
== 满足初值条件 γ=)0(Y 的
解，其中：
（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3115A ， ⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x x e e x f 2)(， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01γ； （2）⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=0220A ， ⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=4
3)(x x f ， ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=32γ； （3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1234A ， ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=x x x f cos 2sin )(， ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=00γ 解 （1）齐次方程组的特征方程为
0)4(31
152=+=-----λλ
λ
特征根 ：42
1-==λλ
对于二重特征根 41-=λ，可以算出
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00001111)(2
21E A λ 同此方程
0)(21=-γλE A 有二个线性无关解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010γ， ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=0120γ
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=111011
1111γ ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1101111121γ 由此可得齐次方程组的一个基解矩阵
41()1x
x x x e x
x ---⎛⎫Φ= ⎪+⎝⎭ 从而可求得 x
e x x x x x 41
11)(⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--=Φ- 故 dx e e x x
x x e dx x f x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+--=Φ⎰⎰-111)(41 dx e xe e e x e e x e xe x x x x x x x x ⎰⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-+-++
-=6655665536161251)1(51
)1(6125151
⎰⎪
⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-++-++-=x x x x x x
x x e xe e e x e e x e xe 6655665536161251)1(51
361)1(6125151 所以 ⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+-=ΦΦ⎰-x x x x e e e e dx x f x x 22136725136125
4)()()( 故非齐次线性方程组的通解为
⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--x x x x
x e e e e e x x c e x x c y 22424136725136125411 由初始条件 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==01)0(γy 12119101900010211900c c ⎛⎫
⎪
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭
解之得 9002111-
=c ，2781
900
c =- 故初值问题的解为
2144224112117812536
11790090025
36x x x x x e e y x x e e y x x e e --⎛⎫
- ⎪
--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
+ ⎪
⎝⎭ （2）齐次方程组的特征方程为
042
22=+=---λλ
λ
特征根为 i 21-=λi 22=λ， 对应22i λ= 的特征向量应满足
1222022i i γγ--⎛⎫
⎛⎫= ⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭
取11γ=-，则 2i γ=
故 2110(22)01ix e i cox x isin x i -⎡-⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
cos 2sin sin 2cos 2x x i x x --⎛⎫⎛⎫
=+
⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
从而可得齐次方程组的一个基解矩阵
cos 2sin 2()sin 2cos 2x x x x x --⎛⎫Φ= ⎪-⎝⎭
容易求得 1
cos 2sin 2()sin 2cos 2s x x x x x x ---⎛⎫
Φ= ⎪-⎝⎭
而 1cos 2sin 22()sin 2cos 24x x x x f x dx dx x
x ---⎛⎫⎛⎫
Φ=
⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 35sin 2cos 23cos 24sin 2243sin 24cos 235cos 2sin 224x x x x x x dx x x x x x x ⎛⎫
-+ ⎪--⎛⎫=
⎪ ⎪-+⎝⎭ ⎪
+ ⎪⎝⎭
⎰ 又 ⎰-ΦΦdx x f x x )()()(1
355sin 2cos 2cos 2sin 2244sin 2cos 2533cos 2sin 2224x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
-+- ⎪--⎛⎫ ⎪==
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪
+ ⎪⎝⎭⎝⎭
故非齐次线性方程的通解为
125cos 2sin 24sin 2cos 232x x y c c x x x ⎛⎫
-
⎪--⎛⎫⎛⎫=++
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎪⎝⎭
由初始条 )32()10(===γy 有 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛05410013221c c 解之得 3,4
13
21=-=c c 故初值问题的解为
5cos 2sin 21343sin 2cos 2432x x y x x x ⎛⎫
---⎛⎫⎛⎫ ⎪
=-++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎝⎭
或 12135cos 23sin 244133sin 23cos 243y x x y x x x ⎧=---⎪⎪⎨
⎪=++⎪⎩
(3) 齐次方程组的特征方程为
2313242+-=----λλλ
λ
特征根 121,2λλ==
对应 11=λ 的特征向量应满足
1133022r r -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 取 11=r ,则 12=r 那么相应的解为 x e ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛11 对应 22
=λ 的特征向量应满足
0323221=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--r r , 取 31=r ,则22=r 那么相应的解为 x e 223⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
从而得齐次线性方程组的基解矩阵为
223()2x
x x
x e e x e
e ⎛⎫
Φ= ⎪⎝⎭
容易求得 1
2223()x
x x
x e e x e
e ----⎛⎫
-Φ= ⎪-⎝⎭
由于 1
22sin 23()2cos x
x x
x x e e f x dx dx x e
e -----⎛⎫-⎛⎫Φ= ⎪ ⎪--⎝⎭
⎝⎭⎰
⎰ 2(4cos _2sin)cos x x
x e xe --⎛⎫
⎪-⎝⎭
又 21223(4cos 2sin )()()()2cos x
x x x
x x
e e x e x x
f x dx e
e xe ---⎛⎫⎛⎫
-ΦΦ= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭
⎰ ⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--=x x x x sin 2cos 2sin 2cos 故非齐线性方程组通解为
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--x x x x x x xe e x x e e c e e c y 22221cos )sin 2cos 4(23 由初值条件 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛==00)0(u y ，得 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2123110021c c
解之得 ,41-=c 12=c 因此值问题解为
22(4cos 2sin )342cos 2sin 2x x x x x x e e y x x e e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
或 21222
43cos 2sin 422cos 2sin x x x x
y e e x x y e e x x ⎧=-++-⎨=-++-⎩ 4.证明:常系数齐次方程组
dy
Ay dx
= 的任何解当 ∞→x 时都趋于零,当仅当它的系数矩阵A 的所有特征根都具有负的实部.
证 必要性:设特征根为 i λαβ=+,与之对应的方程组的解可表为 )(x f e y x λ=。

1）当 0=β 即 λα= 为实数时，)(x f 的每一分量或者为一常向量，或者为x 的多项式的向量函数。

此时总有当 +∞→x 时,
()f x →∞或者是常向量。

那么只有当 ∞→x 时, 0x e α→,故α
必为
负实数.
2）当 0≠β时, λ为复数, 则此时
()()(cos sin )f x p x x i x ββ=+ 其中 x x p 是)(的向量多项式,当+∞
→x 时,
()f x →∞
,那么,若使当+∞→x 时,有
→y 成立,只有
0()x e x α→→+∞,于是,α
必为负实数。

充分性：若系数矩阵A 的所有特征根都具有负的实部，设特征根为(0)i λαβα=-+>，与之对应的解为 ()x y e f x α-=
（1）当0=β时，λα=-为负数，由解的结构知，)(x f 是关于x
的一个多项式的向量函数，而已知
0n x lim
x e x α-⋅=→+∞
，其中n 为任意自然数，故形如（1）的解当+∞→x 时，0)(→x y 。

（3）当0≠β时，i λαβ=-+是复数，由解的结构，此时（1）中的()()(cos sin )f x p x x i x ββ=+，其中)(x p 是x 的多项式向量函数，又由于
cos 0x n lim e x x x αβ-⋅=→+∞ sin 0x n lim
e x x x αβ-⋅=→+∞
故形如（1）的解，当+∞→x 时，0)(→x y 。