《常微分方程》答案_习题
常微分方程计算题及答案
计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。
(完整版)常微分方程试题及答案
第十二章常微分方程(A)、是非题1.任意微分方程都有通解。
（X ）2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
15•微分方程xy |nx 0的通解是y 2In① y 3 In xdx xdy 0是可分离变量微分方程。
② xy 2x dx y x 2y dy 0是可分离变量微分方程。
③ x? y 4是齐次方程。
y 2y 0是二阶常系数齐次线性微分方程。
6. ysiny 是一阶线性微分方程。
（X)7. y 3 3x yxy 不是一阶线性微分方程。
(O )8. y 2y 5y 0的特征方程为r 22r 5 0。
(9. dy 1 xy 2 xy 2是可分离变量的微分方程。
dx、填空题1.在横线上填上方程的名称o )(O )2. sin xy x cosx 的通解中应含 _3个独立常数。
3. 1 e 2x 的通解是-e 2x C 1x C 2。
42x4.1 sin2x cosx 的通解是 -sin2x cosx C 1x C 2。
45. xy 2x 2yx 41是二 ______ 阶微分方程。
3.函数y 3sinx 4cosx 是微分方程y y 0的解。
（0 ）4.函数y x 2 e x 是微分方程y 2y y0的解。
（X ）C （C 为任意常数）。
（0 ）④xyy x 2 sinx 是一阶线性微分方程。
6 .微分方程y y阶微分方程。
1A. 3 B7. y y 满足y L 0 2的特解是（B ） oxA. y e x 1 B . y 2e x C . y 2 e 2&微分方程y y sinx 的一个特解具有形式 A . y a sinx24 .微分方程y 3y 3的一个特解是（cosxC 1e xC 2e x 是方程y y 0的（A ）,其中C 1,C 2为任意常数。
A.通解B .特解C .是方程所有的解 D .上述都不对7. 8.丄所满足的微分方程是yx空的通解为y xCx 2。
9.dx dy 0的通解为 x10.dy dx 2yx 15x 1 2,其对应的齐次方程的通解为11. 方程xy 1 0的通解为y 12. 3阶微分方程x 3 * 5的通解为yx 2Cxe 2 o x C 1 x C 2 x C 3 o120三、选择题1 .微分方程 xyy 3y 4y 0的阶数是（D ） oA. 3 B 2 .微分方程x 51的通解中应含的独立常数的个数为3.下列函数中，哪个是微分方程dy 2xdx 0的解（A . y 2xB . y x 2C .2x Dy a cosxy xy 3y 2 011 .在下列函数中，能够是微分方程 y y 0的解的函数是（C ）y 1 B . y x C . y sinx D . y.Cx17.微分方程0的解为（B ）C . y x asin x bcosxy acosx bsinx9.下列微分方程中,是二阶常系数齐次线性微分方程。
常微分方程试题及答案
常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案：A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \)，那么它的通解是：A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
常微分方程课后习题答案
1 dy y
2xdx, 两边同时积分得：ln y
x2 c,即y
e c x2 把x
0, y
1代入得
e c 1,故它的特解为y
x
2
。
y 2. 2 dx (x 1)dy 0, 并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解.
解：对原式进行变量分离得：
1 dx 1 dy,当y 0时，两边同时积分得；ln x 1 1 c,即y 1
解： dy ( y3 )2 2x2 dy3 3[(y3 )2 2x2 ]，，令y3 u，则原方程化为
dx y 2 (2xy3 x2 dx
解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0
dxy-d(y 2 -y)-dx 2 +x=c
xy-y 2 +y-x 2 -x=c
14: dy = x y 5 dx x y 2
解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx
1 du - 1 =u 2 +3 4 dx 4 du =4 u 2 +13 dx u= 3 tg(6x+c)-1
2 tg(6x+c)= 2 (x+4y+1).
3
16:证明方程 x dy =f(xy),经变换 xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： y dx
1） y(1+x 2 y 2 )dx=xdy
1 u2
x
arcsin y =sgnx ln|x|+c x
7. tgydx-ctgxdy=0
《常微分方程》答案_习题4.2
习题4.21. 解下列方程（1）045)4(=+''-x x x 解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=tt t t e c e c e c e c --+++432221 (2)03332=-'+''-'''x a x a x a x 解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a =λ故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04)5(=''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-（4）0102=+'+''x x x解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i故通解为t e c t e c x t t 3sin 3cos 21--+= (5) 0=+'+'x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i-- 故通解为t ec t ec x t t 23sin 23cos 212211--+=(6) 12+=-''t s a s 解：特征方程022=-a λ有根=1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=at at e c e c -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -== 故通解为s=at at e c e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ 故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t(7) 32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (8) 322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有 故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321取特解行如c Bt At x ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (9)t x x cos =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--取特解行如t B t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--)sin (cos 21t t +-(10) t x x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1 故齐线性方程的通解为x=t t e c e c 221-+ 因为+-2i 不是特征根取特解行如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B 故通解为x=t t e c e c 221-+t t 2sin 562cos 52-- （11）t e x x =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=-- =λ1是特征方程的根，故t Ate x =~代入原方程解得A=31故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--+t te 31（12）t e s a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t tte c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根，故t e At x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121t te c e c t t ++,当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at atte c e c --+21,=λ1不是特征方程的根，故t Ae x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=at at te c e c --+21+te a 2)1(1+ （13）t e x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5 故齐线性方程的通解为x=tte c e c 521--+=λ2不是特征方程的根，故t Ae x 2~=代入原方程解得A=211 故通解为x=t t e c e c 521--++t e 2211 （14）t e x x x t cos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i故齐线性方程的通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=i ±-1不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B 故通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=+t e t t --)sin 414cos 415((15) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i 故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+=t x x sin =+'',=1λi,是方程的解 )sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得 A=21- B=0 故t t x cos 21~-=t x x 2cos -=+'' t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得 A=31B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t 2cos 31+习 题 6-11． 求出齐次线性微分方程组y t A dtdy)(=的通解，其中A （t ）分别为：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110)(t A ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。
《常微分方程》_(方道元_著)_课后习题答案__浙江大学出版社
X +Y X °Y
arctan u ° ln C 3. u=
y °1 x+2
p
1 + u2 = ln |x| + C
dy ax + by + m = dx cx + dy + n a b c d m n ad ° bc 6= 0 dY aX + bY = dX cX + dY ad = bc ad ° bc 6= 0
(1) (2) (3) (4) (5) (6) 3. (1) (2) (3) (4)
y = Cx + x2 xy = C
y=9 2C +
C 2 xx
x (1)y 00 = 2 (2)y + xy 0 = 0 (3)y 000 + (y 0 )2 y 000 = 3y 0 (y 00 )2 (4)y 000 = 0
(5) (6) (7)
e°y + ex+3 = C sin y = 0 C y = k º (k 2 Z)
2 y = tan(x ° 1 2 x + C)
ln |x| +
xy = °1
1 xy +1
=C C
C
xy 6= °1
C sin y 6= 0
(8) z = y 2
sin2 y ° C sin2 x = 0
1. (1) (2)
dy dx d y dx2
2
= y + sin x; °
1 1°x2 y = 1 + x, Rx ex + 0 y (t) dt; x4 +y 3 xy 2 ;
y (0) = 1;
(完整版)常微分方程习题及解答
常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。
常微分方程，自变量的个数只有一个。
偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。
常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。
2．举例阐述常数变易法的基本思想。
答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。
例：求()()dyP x y Q x dx=+的通解。
首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ⎰=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dxy c x ⎰=l ，微分之，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx⎰⎰=+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dx c x P x Q x ⎰⎰+⎰=+l l l即()()()P x dx dc x Q x dx-⎰=l 积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c -⎰=+⎰%l 进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -⎰⎰=+⎰%l l3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t xa t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩ 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a tb ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,n ηηη是已知常数。
常微分方程习题及答案
第十二章常微分方程(A)一、就是非题1.任意微分方程都有通解。
()2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
()3.函数y=3sin x-4cos x就是微分方程y''+y=0的解。
()4.函数y=x2⋅e x就是微分方程y''-2y'+y=0的解。
()5.微分方程xy'-ln x=0的通解就是y=12(ln x)2+C(C为任意常数)。
(6.y'=sin y就是一阶线性微分方程。
()7.y'=x3y3+xy不就是一阶线性微分方程。
()8.y''-2y'+5y=0的特征方程为r2-2r+5=0。
()9.dydx=1+x+y2+xy2就是可分离变量的微分方程。
()二、填空题1.在横线上填上方程的名称①(y-3)⋅ln xdx-xdy=0就是。
②(xy2+x)dx+(y-x2y)dy=0就是。
③x dydx=y⋅lnyx就是。
④xy'=y+x2sin x就是。
⑤y''+y'-2y=0就是。
2.y'''+sin xy'-x=cos x的通解中应含个独立常数。
3.y''=e-2x的通解就是。
4.y''=sin2x-cos x的通解就是。
5.xy'''+2x2y'2+x3y=x4+1就是阶微分方程。
6.微分方程y⋅y''-(y')6=0就是阶微分方程。
7.y=1x所满足的微分方程就是。
)8.y '=9.2y的通解为。
x dx dy +=0的通解为。
y x5dy 2y 10.-=(x +1)2,其对应的齐次方程的通解为。
dx x +111.方程xy '-(1+x 2)y =0的通解为。
12.3阶微分方程y '''=x 3的通解为。
三、选择题1.微分方程xyy ''+x (y ')-y 4y '=0的阶数就是( )。
常微分方程习题与答案
第十二章常微分方程(A)、是非题1.任意微分方程都有通解。
（）2 •微分方程的通解中包含了它所有的解。
（）3. 函数y =3si nx-4cosx是微分方程y，y=0的解。
（）4. 函数y = x2・e x是微分方程y'；"-2y ' y = 0的解。
（）5. 微分方程xy"T nx=0的通解是y =丄（1 nx）2+C （C为任意常数）。
（）26. y"=siny是一阶线性微分方程。
（）7. / = x3y3 xy不是一阶线性微分方程。
（）8 . /-2/ 5^0的特征方程为『-2—5=0。
（）9. dy = 1 x y2 xy2是可分离变量的微分方程。
（）dx、填空题1 .在横线上填上方程的名称①y _ 3 ln xdx _ xdy 二0 是__________________________ 。
②xy2 x dx y _ x2 y dy = 0 是__________________________ 。
③x-d^ = y l n 丫是。
dx x④xy ：= y x2 sin x 是__________________ 。
⑤y y -2y =0是________________________ 。
2 . y si nxy"-x=cosx的通解中应含____________ 个独立常数。
3. _____________________________________ y “ = e Qx的通解是。
4. ______________________________________ y = sin 2x - cos x 的通解是。
5. _______________________________ x^ 2x2y 2，x3y=x4，1是阶微分方程。
6•微分方程y y - y Q =0是________________ 阶微分方程。
i7. y-丄所满足的微分方程是。
常微分方程_习题集(含答案)
《常微分方程》课程习题集一、单选题1. 设函数(,),(,)M x y N x y 连续可微, 则方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 是全微分方程的充分必要条件是 . (A) M N y x ∂∂=∂∂， (B) ,M N x y ∂∂=∂∂ (C) ,M N y x ∂∂≠∂∂ (D) .M N x y ∂∂≠∂∂2. 下面的方程是全微分方程的是 . (A) 0ydx xdy x y-=+， (B) 220y dx x dy +=， (C) 220xy dx x ydy -=， (D)220ydx xdy x y -=-. 3. 设一阶方程2()()(),(()()0)dy p x y q x y r x p x r x dx=++≠，则它是 。
（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。
4. 设一阶方程()(),(0,1)n dy p x y q x y n dx=+≠，则它是 。
（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。
5. 形如'(')y xy y ϕ=+的一阶隐式方程称为 。
（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。
6. 二阶微分方程2100x x x '''++=的通解是 。
（A ）12[cos3sin 3]t x e C t C t -=+,（B ）312[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,(D) 312[cos3sin 3]t x e C t C t -=+.7. 二阶微分方程250x x x '''++=的通解是 。
（A ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,（B ）212[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+,(D) 212[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+.8. 二阶微分方程440x x x '''-+=的通解是 。
常微分方程课后习题部分答案
18. 设),(y x f 及连续,试证方程0),(=-dx y x f dy 为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x 的积分因子.证:必要性 若该方程为线性方程,则有)()(x Q y x P dx dy+= ,此方程有积分因子⎰=-dx x P e x )()(μ,)(x μ只与x 有关 .充分性 若该方程有只与x 有关的积分因子)(x μ .则0),()()(=-dx y x f x dy x μμ为恰当方程 , 从而dx x d y y x f x )()),()((μμ=∂-∂ ,)()(x x y f μμ'-=∂∂ ,)()()()()()()()(x Q y x P x Q y x x x Q dy x x f +=+'-=+'-=⎰μμμμ . 其中)()()(x x x P μμ'-= .于是方程可化为0))()((=+-dx x Q y x P dy即方程为一阶线性方程.20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u)≠g(u),\，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])1-证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u 得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0 则y uyf∂∂=uf+uy y f∂∂+yf y u∂∂=)(g f xy f-+)(g f xy y f y -∂∂-yf 222)()(g f y x ygxyy f xy g f x -∂∂+∂∂+- =2)(g f xy y f gy y g yf -∂∂-∂∂=2)(g f x y xyxy f g y xy xy g f -∂∂∂∂-∂∂∂∂ =2)(g f xyfg xy gf -∂∂-∂∂ 而x uxg ∂∂=ug+ux x g ∂∂+xg x u ∂∂=)(g f xy g -+)(g f xy x g x -∂∂- xg 222)()(g f y x xgxyx f xy g f y -∂∂-∂∂+-=2)(g f xy x xy xy f xg x xy xy g xf-∂∂∂∂-∂∂∂∂=2)(g f xy f g xy g f -∂∂-∂∂ 故y uyf ∂∂=xuxg ∂∂，所以u 是方程得一个积分因子 21．假设方程（2.43）中得函数M （x,y ）N(x,y)满足关系xN y M ∂∂-∂∂= Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x 和y 得连续函数，试证方程（2.43）有积分因子u=exp(⎰dx x f )(+⎰dy y g )()证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 即证x uN y uM ∂∂=∂∂)()(⇔u y M ∂∂+M y u ∂∂=u x N ∂∂+N xu ∂∂⇔ u(y M ∂∂-x N ∂∂)=N xu ∂∂- M y u ∂∂⇔u(y M ∂∂-x N ∂∂)=Ne ⎰⎰+dy y g dx x f )()(f(x) -M e ⎰⎰+dy y g dx x f )()(g(y)⇔u(y M ∂∂-x N ∂∂)=e ⎰⎰+dy y g dx x f )()((Nf(x)-Mg(y)) 由已知条件上式恒成立，故原命题得证。
《常微分方程》题库及答案
《常微分方程》题库及答案一．求解下列方程1．求方程0sin cos =+x y dxdyx之通解; 2．求方程xx y ax dy cos 1tan =+之通解； 3．解初值问题2(1)20(0)1dy x xy dx y ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩； 4．求方程()lndy x yxy x y dx x+-=+ 之通解； 5．求方程 yx xy y dx dy 321++= 的通解； 6. 求方程 0)3()3(2323=-+-dy y x y dx xy x 的通解； 7．求由以xxx x cos ,sin 为基本解组的线性齐次方程； 8．求方程 2)(22x dx dy xdx dy y +-=的通解及奇解； 9．求方程⎰+=+xx y x dt dtt dy 02)(2))((1 的通解； 10. 求方程 0)sin ()2sin (22=-++dy y xy dx x y x 的通解； 11．求由以 x x x ln , 为基本解组的线性齐次方程； 12．求方程 2222)(12dxdy y y dx y d += 的通解. 13.求方程y y dxdyln =之通解。
14.求方程xy dxdyy x 2)(22=+之通解。
15.求方程0)(222=-+dy y x xydx 之通解。
16. 求方程y x e dxdy-=之通解。
17. 求方程0)2(=+---dy xe y dx e yy 之通解。
18. 求方程x x y y sec tan '=+之通解。
二．1．解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧-==y x e axdyy 20)1(2.求如下微分方程组之通解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=++-=--=z x dtdz z y x dtdyz y x dt dx2. 3.求出初值问题的逐次近似解21,0y y y ：2(0)0dyx y dxy =+=⎧⎪⎨⎪⎩. 4. 求出微分方程0).().(=+dy y x N dx y x M 有形如)(22y x +=ϕυ的积分因子的充要条件。
常微分方程习题及答案
第十二章常微分方程(A)7. y=-所满足的微分方程是x、是非题 1•任意微分方程都有通解。
（） 2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
（） 3.函数y =3sinx —4cosx 是微分方程y" + y=0的解。
（ ） 4.函数y=x 2 ■e x 是微分方程y"-2y ，+y=0的解。
（）1 25.微分方程xy'-1 n X = 0的通解是j In x ） +C （C 为任意常数）。
（） 6.y' 7. y'8. y 9. dydx 、填空题=sin y 是一阶线性微分方程。
（） = x 3y 3+xy 不是一阶线性微分方程。
（） -2/ +5y=0 的特征方程为 r 2-2 r + 5=0。
(= 1+x + y 2 +xy 2是可分离变量的微分方程。
（） 1.在横线上填上方程的名称 ①(y -3 H n xdx-xdy =0 是 ②(xy 2 +x dx + (y - X 2y dy = 0是 2. 3.4. 5. ③x —.ln y 是 dx x ④ xy’ = y +x 2sinx 是y ^+sin xy’—x =cosx 的通解中应含y =sin2x -cosx 的通解是 xy'" + 2x 2y"2 +x 3y = x 4 +1是6.微分方程yry"-(y '6 =0是个独立常数。
阶微分方程。
阶微分方程。
12. 3阶微分方程yJx 3的通解为三、选择题1 .微分方程xyy "+x （y ，3-y 4y = 0的阶数是（） A. 3 B . 4 C . 5 D . 22 .微分方程 厂-x 2y"-x 5=1的通解中应含的独立常数的个数为（）。
A. 3 B . 5 C . 4 DA . y = 2xB . y = X 2C .24 .微分方程y'=3y 3的一个特解是（）。
常微分方程习题及答案
第十二章 常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。
( )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。
( )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。
( )4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。
( )5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21(C 为任意常数)。
() 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。
( )7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。
( )8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。
( )9．221xy y x dx dy+++=是可分离变量的微分方程。
( )二、填空题1．在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是 。
②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。
③x yy dx dyx ln ⋅=是 。
④x x y y x sin 2+='是 。
⑤02=-'+''y y y 是 。
2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。
3．x e y 2-=''的通解是 。
4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。
5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。
6．微分方程()06='-''⋅y y y 是 阶微分方程。
7．xy 1=所满足的微分方程是 。
8．x y y 2='的通解为 。
9．0=+xdy y dx 的通解为 。
10．()25112+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。
数学必修二：常微分方程习题答案
数学必修二：常微分方程习题答案1. 问题1已知常微分方程dy/dx = x + y，求解该微分方程。
解答：将该微分方程重新整理，得到(dy/dx) - y = x。
这是一个一阶线性常微分方程。
首先求解其齐次方程(dy/dx) = y。
解齐次方程得到y = ce^x，其中c为任意常数。
然后我们利用常数变易法，假设原方程的特解形式为y = u(x)e^x，其中u(x)是待定函数。
将y代入原方程得到(u'e^x + u)e^x - u(x)e^x = x，化简可得u'e^x = x，解这个常微分方程得到u(x) = (1/2)x^2 + C1，其中C1为常数。
因此，原方程的通解为y = ce^x + (1/2)x^2 + C1e^x，其中c和C1为任意常数。
2. 问题2已知常微分方程 dy/dx = 2xy，求解该微分方程。
解答：将该微分方程进行整理，得到 dy/dx - 2xy = 0。
这是一个一阶线性齐次微分方程。
首先求解其齐次方程 dy/dx = 2xy，将其变形为 dy/y = 2x dx，并对两边同时积分，得到 ln|y| = x^2 + C，其中C为常数。
解出y为 y = Ce^(x^2)，其中C为常数。
3. 问题3已知常微分方程 dy/dx + y = 3e^(-x)，求解该微分方程。
解答：将该微分方程进行整理，得到 dy/dx = 3e^(-x) - y。
这是一个一阶非齐次线性微分方程。
首先求解其齐次方程dy/dx = -y，得到y = Ce^(-x)，其中C为常数。
然后我们利用常数变易法，假设原方程的特解形式为y = u(x)e^(-x)，其中u(x)是待定函数。
将y代入原方程得到 (u'e^(-x) - u)e^(-x) = 3e^(-x)，化简可得 u' = 3，解这个常微分方程得到u(x) = 3x + C1，其中C1为常数。
因此，原方程的通解为 y = ce^(-x) + (3x + C1)e^(-x)，其中c和C1为任意常数。
常微分方程课后答案
d2 y dx2
−
1 1−x2
y
=
1
+
x,
y(0) = 1;
(3) y = ex +
x 0
y(t)
dt;
(4)
dy dx
=
; x4 +y 3
xy2
(5) 2xydy − (2y2 − x)dx = 0;
(6) (y ln x − 2)ydx = xdy;
(7)
3xy2
dy dx
+
y3
+
x3
=
0;
(8)
y
=
0(其中c是任意常数);
(5)
y = ecx,
(
dy dx
)2
−
y
d2 y dx2
= 0(其中c是任意常数);
2
−
(x−C1 4
)2
,
−∞ < x < C1;
(6)
y =
0, C1 < x < C2,
(x−C1 4
)2
,
C2 < x < +∞,
dy dx
=
|y|.
答：将解代入验证就可得知是否为微分方程的解：
dy dx
=
y x+y
3
.
3
解： (1)方程两边同时乘以因子e−x，由此得到方程的通解为
y
=
C ex
−
sin
x
+ 2
cos x
其中C为任意常数；
R
(2)方程两边同时乘以因子e−
1 1−x2
dx，由此得到方程的通解为
常微分方程习题及评分标准答案
常微分⽅程习题及评分标准答案常微分⽅程分项习题⼀、选择题（每题3分）第⼀章：1．微分⽅程''20y xy y +-=的直线积分曲线为（）（A ）1y =和1y x =- （B ）0y =和1y x =- （C ）0y =和1y x =+ （D ）1y =和1y x =+ 第⼆章：2．下列是⼀阶线性⽅程的是（）（A ）2dy x y dx =- （B ）232()0d y dy xy dx dx-+= （C ）22()0dy dy x xy dx dx +-= （D ）cos dy y dx= 3．下列是⼆阶线性⽅程的是（）（A ）222d y dyxx y dx dx +=- （B ）32()()0dy dy xy dx dx -+= （C ）2(1)0dy x xy dx +-= （D ）22cos cos d y y x dx=4．下列⽅程是3阶⽅程的为（）（A ）'23y x y =+ （B ）3()0dy xy dx+= （C ）3223()0dy d yx y dx dx+-= （D ）3cos dy y dx = 5．微分⽅程43()()0dy dy dyx dx dx dx+-=的阶数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46．⽅程2342()20dy d yx y dx dx+-=的阶数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 7．针对⽅程dy x ydx x y-=+，下列说法错误的是（）．（A ）⽅程为齐次⽅程（B ）通过变量变换yu x=可化为变量分离⽅程（C ）⽅程有特解0y =（D ）可以找到⽅程形如y kx =的特解(1y x =- 8．针对⽅程2sin (1)y x y '=-+，下列说法错误的是（）．（A ）为⼀阶线性⽅程（B ）通过变量变换1u x y =-+化为变量分离⽅程（C ）⽅程有特解12y x π=++（D ）⽅程的通解为tan(1)x y x C -+=+ 9．伯努利⽅程n y x Q y x P dxdy)()(+=，它有积分因⼦为（）（A ）(1)()n P x dx e -? （B ）()nP x dx e ?（C ）(1)()n P x dx xe -? （D ）()nP x dx xe ?10．针对⽅程2(cos sin )dyy y x x dx+=-，下列说法错误的是（）．（A ）⽅程为伯努利⽅程（B ）通过变量变换2z y =可化为线性⽅程（C ）⽅程有特解0y =（D ）⽅程的通解为1sin x y Ce x=-11．⽅程2()dy yxf dx x=经过变量变换（）可化为变量分离⽅程。
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习题4.21. 解下列方程（1）045)4(=+''-x x x 解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=tt t t e c e c e c e c --+++432221 (2)03332=-'+''-'''x a x a x a x 解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a =λ故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04)5(=''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-（4）0102=+'+''x x x解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i故通解为t e c t e c x t t 3sin 3cos 21--+= (5) 0=+'+'x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i-- 故通解为t ec t ec x t t 23sin 23cos 212211--+=(6) 12+=-''t s a s 解：特征方程022=-a λ有根=1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=at at e c e c -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -== 故通解为s=at at e c e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ 故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t(7) 32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (8) 322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有 故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321取特解行如c Bt At x ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (9)t x x cos =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--取特解行如t B t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--)sin (cos 21t t +-(10) t x x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1 故齐线性方程的通解为x=t t e c e c 221-+ 因为+-2i 不是特征根取特解行如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B 故通解为x=t t e c e c 221-+t t 2sin 562cos 52-- （11）t e x x =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=-- =λ1是特征方程的根，故t Ate x =~代入原方程解得A=31故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--+t te 31（12）t e s a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t tte c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根，故t e At x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121t te c e c t t ++,当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at atte c e c --+21,=λ1不是特征方程的根，故t Ae x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=at at te c e c --+21+te a 2)1(1+ （13）t e x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5 故齐线性方程的通解为x=tte c e c 521--+=λ2不是特征方程的根，故t Ae x 2~=代入原方程解得A=211 故通解为x=t t e c e c 521--++t e 2211 （14）t e x x x t cos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i故齐线性方程的通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=i ±-1不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B 故通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=+t e t t --)sin 414cos 415((15) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i 故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+=t x x sin =+'',=1λi,是方程的解 )sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得 A=21- B=0 故t t x cos 21~-=t x x 2cos -=+'' t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得 A=31B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t 2cos 31+ 习 题 6-11． 求出齐次线性微分方程组y t A dtdy)(=的通解，其中A （t ）分别为：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110)(t A ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。
（1）方程组的分量形式为：211y y dtdy += ，22y dt dy=从后一式容易求出2y 的通解为 t ke y =2 ，其中K 为任意常数，可分别取02=y 和 t e y =2，代入前一式得到两个相应的特解，t e y =1和 t te y =2这样就求得方程组的一个解矩阵为()0tt t e te t e ⎛⎫Φ=⎪⎝⎭又 2det ()0tt e Φ=≠ 。
因此，)(t Φ是方程组的一个基解矩阵，根据定理6.1 ,方程的通解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛t t t e te c e c y y 21210（2）方程的分量形式为 ⎪⎩⎪⎨⎧-==1221y dtdy y dt dy由①、②可和 21120d y y dt+=由观察法知，t y cos 1=，t y sin 1=为此方程的两个特解，将其代入②式可得两个相应的特解，将其代入②式可得两个相应的特解：2sin y t =-，2cos y t =。
这样就求得方程组的一个解矩阵为①②cos int ()int cos t s t s t ⎛⎫Φ= ⎪-⎝⎭又 []01)(det ≠=Φ=t ，因此)(t Φ中方程组的一个基解矩阵。
故方程组的通解为1122cos int int cos y t s c c y s t⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）程组的分量形式为：⎪⎩⎪⎨⎧='='='132231yy y y y y解 ①+③得3131)(y y y y dt d+=+ 解 ①-③得 1313()dy y y y dt-=-解之得 131132 t t y y k e y y k e --+=-=由④、⑤可得 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=+=----tt t t t t t t e c e c e k e k y e c e c e k e k y 312.13312112121又由②得 t e c y 22=由此可求得方程组的一个解矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Φ--t t t t te e e e e t 0000)( 显然，[]0)(det ≠-=Φt ze t ，因此)(t Φ是方程组的一个基解矩阵，故方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--t t t e t e e c e c e e c y y y 00003213213．试证向量函数组 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002x 在任意区间 b x a <<上线性相关，则存在不全为零的三个常数 321,,c c c 使得①② ③,000000012321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x c x c c 即 b x a x c x c c <<=++02321①而①式之左端是一个不高于二次的多项式，它最多只可能有二个零点，同此这与①式在b x a <<上恒等于零矛盾，从而得证。
4．试证基解矩阵完全决定齐次线性方程组即如果方程组y x A dx dy )(=与y x B dxdy )(= 有一个相同的基解矩阵，则 )()(x B x A =证：设这两个方程组的相同基解矩阵为 )(x Φ那么，必有[]0)(det ≠Φt ,故)(x Φ可逆,设逆矩阵为)(1x -Φ,同而1()()()d A x x B x dx-Φ=Φ= 证毕6．设当b x a <<时，非齐次线性方程组()()dyA x y f x dx=+（1）中的()f x 不恒为零。