数理方程-第3章-研究生剖析

n0
n0
通解为 y(x) Ay1(x) By2 (x).
第二节 正交函数系及广义Fourier级数
一、正交函数系的概念
1.定义：设函数 (x), (x)在区间[a,b]上有定义，
积分
b
a (x) (x)dx.
称为函数 (x)与 (x) 的内积，记作
，
b
(x) (x)dx.
a
函数(x) 与自身的内积的开方称为该函数的范数
第三章 固有值问题与特殊函数
第一节二阶常微分方程的级数解
求解固有值问题时，经常遇到二阶线性齐次常微 分方程的求解问题。
二阶齐次常微分方程的一般形式：
y p(x) y q(x) y 0. (1)
定义：在方程（1）中，若p(x),q(x)在 x0 处解析，则 称 x0 点为方程（1）的正常点；若 x0是
0,1,
2
b
若n关于(x)正交，则cn
a
f (x)n (x)(x)dx
b a
n2
(
x)
(
x)dx
，n
0,1,
2
称级数（1）为f (x)按正交函数系n展开的广义Fourier级数，
cn为广义Fourier系数。
第三节 Sturm-Liouville问题
常微分方程
c1(x) X (x) c2 (x)X (x) [c3(x) ]X 0,a x b (1) 其中与x无关的参数。
y(x) an (x x0 )n
(2)
n0
的解，且满足初始条件 y(x0 ) a0, y(x0 ) a1
的解存在、唯一。
作法（待定系数法）：先将p(x),q(x)在点 x0 展成
Taylor级数，然后将展开式和（2）代入（1）。满足等式
来确定 a0 , a1, , an ,
若 x0 是方程（1）的正则奇点，则p(x),q(x)可展开成
（2）若判定方程的两根之差是整数，则相对于较大的根所 对应的形如（3）的广义幂级数仍是（1）的解，另一个
解形式如 y2 (x) Ay1(x)ln(x x0 ) cn (x x0 )ns2 , n0
其中y1(x) 为较大根对应解，s2 是判定方程相对较小的根，且 y1(x) 和 y2 (x) 线性无关。
（模），记作(x)，即 (x)
，
b
2
(
x)dx
.
a
2.定义：设一族定义在[a,b]上的函数
0 (x),1(x), ,n (x),
(1)
若满足
n (x),m(x) 0,n m.且 n 0，n 0,1,2, .
则称函数系（1）是[a,b]上的正交函数系，简称正
交系，记为
n
n0
或
n
.
例：1,cos x,sin x, ,cos nx,sin nx, 是区间[- , ]上的正交函数系。 若（1）还满足 n 1,n 0,1,2则,称函数系（1）是[a,b]上的标准
（1）式适当变形后，可化成
d [ p(x)X (x)] [q(x) s(x)]X 0
(2)
dx
(1) s(x)得
s(x)c1(x)X (x) s(x)c2 (x)X (x) s(x)[c3(x) ]X 0 (3)
则y P(x) y q(x) y
csn (s n)(s n) 1(x x0 )sn2 n0
( ak (x x0 )k )( csn (s n)(x x0 )sn1)
k 1
n0
( bk (x x0 )k )( csn (x x0 )sn )
k 2
n0
0.
最低幂的系数，即 (x x0)2 ，其系数为
p(x),q(x)的孤立奇点，则称 x0点为方程（1）的奇
点；若 x0 是p(x)的不超过一级的极点，并且是q(x) 不超过二级的极点，则 x0 为方程（1）的正则奇点； 否则称 为方x0 程（1）的非正则奇点。
定理（cauchy定理）设 x0是方程（1）的正常点，则
在 x0 的某邻域内存在形如
cs s(s 1) a1 cs s b2 cs 0且cs 0。 则s(s 1) a1s b2 0 称为方程（1）的判定方程。
定理：设x0 是方程（1）的正则奇点 （1）若判定方程的两根之差不是整数，则s取这两个根构造
的形如（3）的两个广义幂级数均是（1）的解（且两个 解线性无关）；
Laurent级数
p(x) an (x x0 )n , q(x) bn (x x0 )n.
n1
n2
此时设方程（1）有广义幂级数解
y(x) csn (x x0 )sn
(3)
n0
有y(x) csn (s n)(x x0 )sn1, n0
y(x) csn (s n)(s n) 1(x x0 )sn2 , n0
方程的通解情况：设 （1）若 s1 s2 Z 则
s1, s2
为判定方程的两个根。
y1(x) cn (x x0 )s1n , y2 (x) cn (x x0 )s2n.
n0
n0
通解为 y(x) Ay1(x) By2 (x).
（2）若 s1 s2 Z且s1 则s2 ,
y1(x) cn (x x0 )s1n , y2 (x) Ay1(x) ln(x x0 ) cn (x x0 )ns2 ,.
正交系。
一切正交函数系都可标准化，即可取适当常数
使 00 , 11,
0 , 1, n ,
nn ,成为标准正交系，取
n
1
n
.
3.定义：若函数系n在[a,b]上满足
b a
m
(
x)n
(
x)
(
x)dx
0, 0,
m n, m n,
m, n 0,1,
其中(x)为权函数，则称函数系 n在[a,b]上关于权函数
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
a
f (x)n (x)dx
(
a
ckk (x))n (x)dx.
k 0
且假设级数（1）可逐项积分，则由 n的正交性，有
b
b
故cn
a
f (x)n (x)dx
b a
n2
(
x)dx
a
f
(
x)n ( n 2
x)dx
,
n
0,1,
2
若n为标准正交系，则cn
b a
f
( x)n
(x)dx，n
(x)正交，或称按权函数 (x)构成正交系。
二、广义Fourier级数
设n是定义在[a,b]上的一个正交函数系，f(x)是[a,b]
上给定的函数，设f(x)可以写成
f (x) c00 (x) c11(x) cnn (x) (1).
的形式，其中 c0 ,c1, ,cn , 是常数.
确定 cn，将（1）式两端同乘n (x) ，在[a,b]上积分