导数压轴题型第6讲 恒成立与存在性问题(mathtype WORD精编版)

一、 恒成立与存在性

函不等式恒成立问题的转化技巧

(1)()a f x ≥

(或()a f x ≤)恒成立⇔()max a f x ≥(或()min a f x ≤)； (2)()a f x ≥

(或()a f x ≤)有解⇔()min a f x ≥(或()max a f x ≤)； (3)()()f x g x ≥恒成立⇔()min 0F x ≥((其中()()()F x f x g x =-()，也可证其加强命题()()min max f x g x ≥

(4)

()()f x g x ≥有解⇔()max 0F x ≥(其中()()()F x f x g x =-)． (5)()()f m g n ≥恒成立⇔()()min max f x g x ≥

(6)()a f x =有解，则a 的范围是()f x 的值域

1. 恒成立常见处理方法

(1) 参变分离

若对任意的0x >，恒有()ln 10x px p ≤->，则p 的取值范围是((((()

A ．(]0,1((((

B ．()1,+∞((((

C ．()0,1(((

D ．[)1,+∞

【答案】D

【解析】

法一：最值理论

()ln 10h x x px =-+≤恒成立

令()()1'00px h x x x -=

>=，则10x p =>， 故()h x 在110,,,p p ⎛⎫⎛⎫↑+∞↓ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭， 故只需1ln 0h p p ⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭

，故1p ≥ 法二：分离参数

()ln 1x p g x x +≥

=，令()2ln '0x g x x -==，则1x =，()()0,1,1,↑+∞↓ 故()11p g ≥=

法三：二级结论

ln 1x x ≤-恒成立，则当1p ≥时，ln 11x x px ≤-≤-

法四：特殊值探路

()ln 10x px p ≤->对于0x ∀>恒成立

当1x =时，1p ≥

又11ln px x x -≥-≥成立

【考点】恒成立(最值理论，分类参数均可) 已知函数()(x

e f x mx e x

=-为自然对数的底数)，若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是((((()

A ．(,2)-∞((((

B ．2

(,)4e -∞((((C ．(,)e -∞((((D ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭

【解答】解：若()0f x >在(0,)+∞上恒成立， 则2x e m x

<在(0,)+∞恒成立， 令2()x e h x x

=，(0)x >， 3

(2)()x e x h x x -'=， 令()0h x '>，解得：2x >，

令()0h x '<，解得：02x <<，

故()h x 在(0,2)递减，在(2,)+∞递增，

故()min h x h =(2)24

e =， 故24

e m <， 故选：B ．

【考点】分离参数

已知函数()22ln a f x x x

=

+，若当0a >时，()2f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[),e +∞

【解析】()

221ln a x x ≥-，()()221ln g x x x =-在()0,

↑+∞↓，a g e ≥=

【考点】分离参数

已知函数2()3f x x =+，()(2)g x x a lnx =-，若()()f x g x ≥对任意(0,)x ∈+∞成立，则实数a 的取值范围是((((()

A ．(],0-∞((((

B ．(],4-∞((((

C ．(],4ln 3-∞((((

D ．(],42ln 3-∞+

【解答】解：函数2()3f x x =+，()(2)g x x a lnx =-，若()()f x g x …对任意(0,)x ∈+∞成立， 则：32x lnx a x

++…， 令：3()2h x x lnx x =+

+，(0,)x ∈+∞， 则：22

32(1)(3)()1x x h x x x x -+'=-+=； 当(0,1)x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在(0,1)上单调递减，

当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在(1,)+∞上单调递减增，

所以：()min h x h =(1)4=，

故：4a …，

故选：B ．

已知函数()322338f x x ax bx c =+++在x ＝1及x ＝2时取得极值．

(1)求a ，b 的值；

(2)若对于任意的[]0,3x ∈，都有()2f x c <成立，求c 的取值范围．

【答案】(1)34

a b =-⎧⎨=⎩；(2)()(),19,-∞-+∞U 【解析】()()

2'632f x x x =-+ ()()(),11,22,3-∞↑↓↑

()()158,398f c f c =+=+

故298c c >+

【考点】分离参数(基础题)

设()()()()ln ,'f x x g x f x f x ==+．

(1)求()g x 的单调区间和最小值．

(2)求a 的取值范围，使得()()1g a g x a -<

对任意0x >成立． 【答案】(1)()()0,11,↓+∞↑，()()min 11g x g ==；(2)()0,e

【解析】()()min 11g a g x a

-<= 【考点】分离参数(基础题) 已知函数()ln a f x x x

=-

，若函数2()f x x <在(1)+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】1a ≥-

【解析】 3

ln a x x x >-,()2

16'x h x x -=,()()max 11h x h ==- 【考点】分离参数

(2014(江苏理(19)已知函数()x x f x e e -=+，若关于x 的不等式()1x mf x e m -≤+-在

()0,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围； 【答案】1

3

m ≤- 【解析】211x x x e m e e -≤-+，令11x t e =-<，则21

t m t t ≤-+， 易知当0t <时有最小值，故111m t t

≤+-，当1t =-时，13m ≤- 【考点】参变分离

(2014(陕西理(21)设函数()()()()ln 1,,0f x x g x xf x x '=+=≥，其中()f x '是()f x 的导函数，若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；