导数压轴题型第6讲 恒成立与存在性问题(mathtype WORD精编版)
![导数压轴题型第6讲 恒成立与存在性问题(mathtype WORD精编版)](https://img.360docs.net/img11/12303dmr43gbrvmuorhnsgzp56atzuht-11.webp)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
一、 恒成立与存在性
函不等式恒成立问题的转化技巧
(1)()a f x ≥
(或()a f x ≤)恒成立⇔()max a f x ≥(或()min a f x ≤); (2)()a f x ≥
(或()a f x ≤)有解⇔()min a f x ≥(或()max a f x ≤); (3)()()f x g x ≥恒成立⇔()min 0F x ≥((其中()()()F x f x g x =-(),也可证其加强命题()()min max f x g x ≥
(4)
()()f x g x ≥有解⇔()max 0F x ≥(其中()()()F x f x g x =-). (5)()()f m g n ≥恒成立⇔()()min max f x g x ≥
(6)()a f x =有解,则a 的范围是()f x 的值域
1. 恒成立常见处理方法
(1) 参变分离
若对任意的0x >,恒有()ln 10x px p ≤->,则p 的取值范围是((((()
A .(]0,1((((
B .()1,+∞((((
C .()0,1(((
D .[)1,+∞
【答案】D
【解析】
法一:最值理论
()ln 10h x x px =-+≤恒成立
令()()1'00px h x x x -=
>=,则10x p =>, 故()h x 在110,,,p p ⎛⎫⎛⎫↑+∞↓ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭, 故只需1ln 0h p p ⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭
,故1p ≥ 法二:分离参数
()ln 1x p g x x +≥
=,令()2ln '0x g x x -==,则1x =,()()0,1,1,↑+∞↓ 故()11p g ≥=
法三:二级结论
ln 1x x ≤-恒成立,则当1p ≥时,ln 11x x px ≤-≤-
法四:特殊值探路
()ln 10x px p ≤->对于0x ∀>恒成立
当1x =时,1p ≥
又11ln px x x -≥-≥成立
【考点】恒成立(最值理论,分类参数均可) 已知函数()(x
e f x mx e x
=-为自然对数的底数),若()0f x >在(0,)+∞上恒成立,则实数m 的取值范围是((((()
A .(,2)-∞((((
B .2
(,)4e -∞((((C .(,)e -∞((((D .2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【解答】解:若()0f x >在(0,)+∞上恒成立, 则2x e m x
<在(0,)+∞恒成立, 令2()x e h x x
=,(0)x >, 3
(2)()x e x h x x -'=, 令()0h x '>,解得:2x >,
令()0h x '<,解得:02x <<,
故()h x 在(0,2)递减,在(2,)+∞递增,
故()min h x h =(2)24
e =, 故24
e m <, 故选:B .
【考点】分离参数
已知函数()22ln a f x x x
=
+,若当0a >时,()2f x ≥恒成立,则实数a 的取值范围是________. 【答案】[),e +∞
【解析】()
221ln a x x ≥-,()()221ln g x x x =-在()0,
↑+∞↓,a g e ≥=
【考点】分离参数
已知函数2()3f x x =+,()(2)g x x a lnx =-,若()()f x g x ≥对任意(0,)x ∈+∞成立,则实数a 的取值范围是((((()
A .(],0-∞((((
B .(],4-∞((((
C .(],4ln 3-∞((((
D .(],42ln 3-∞+
【解答】解:函数2()3f x x =+,()(2)g x x a lnx =-,若()()f x g x …对任意(0,)x ∈+∞成立, 则:32x lnx a x
++…, 令:3()2h x x lnx x =+
+,(0,)x ∈+∞, 则:22
32(1)(3)()1x x h x x x x -+'=-+=; 当(0,1)x ∈时,()0h x '<,所以()h x 在(0,1)上单调递减,
当(1,)x ∈+∞时,()0h x '>,()h x 在(1,)+∞上单调递减增,
所以:()min h x h =(1)4=,
故:4a …,
故选:B .
已知函数()322338f x x ax bx c =+++在x =1及x =2时取得极值.
(1)求a ,b 的值;
(2)若对于任意的[]0,3x ∈,都有()2f x c <成立,求c 的取值范围.
【答案】(1)34
a b =-⎧⎨=⎩;(2)()(),19,-∞-+∞U 【解析】()()
2'632f x x x =-+ ()()(),11,22,3-∞↑↓↑
()()158,398f c f c =+=+
故298c c >+
【考点】分离参数(基础题)
设()()()()ln ,'f x x g x f x f x ==+.
(1)求()g x 的单调区间和最小值.
(2)求a 的取值范围,使得()()1g a g x a -<
对任意0x >成立. 【答案】(1)()()0,11,↓+∞↑,()()min 11g x g ==;(2)()0,e
【解析】()()min 11g a g x a
-<= 【考点】分离参数(基础题) 已知函数()ln a f x x x
=-
,若函数2()f x x <在(1)+∞,上恒成立,求实数a 的取值范围. 【答案】1a ≥-
【解析】 3
ln a x x x >-,()2
16'x h x x -=,()()max 11h x h ==- 【考点】分离参数
(2014(江苏理(19)已知函数()x x f x e e -=+,若关于x 的不等式()1x mf x e m -≤+-在
()0,+∞上恒成立,求实数m 的取值范围; 【答案】1
3
m ≤- 【解析】211x x x e m e e -≤-+,令11x t e =-<,则21
t m t t ≤-+, 易知当0t <时有最小值,故111m t t
≤+-,当1t =-时,13m ≤- 【考点】参变分离
(2014(陕西理(21)设函数()()()()ln 1,,0f x x g x xf x x '=+=≥,其中()f x '是()f x 的导函数,若()()f x ag x ≥恒成立,求实数a 的取值范围;