航天器动力学04-轨道计算_47810946

RT Xx
2011年9月30日星期五
f
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绝对位置和速度向地心惯性性系投影
将绝对位置和速度在地心轨道坐标系中的投影通过RXx转 换到地心惯性坐标系中：
X
r
cos f cos sin f sin cos i
Y Z
AXx
0
0
p 1 e cos
f
cos
f
x1 x2
r
e1
y1
e2
y2
z1 z2
x1
x2
e2Te1
y1
e2Te2
y2
z1
z2
e2Te2
e e
T x2
T y2
ex2
ey2
ez2
1 0 0 1
0 0
ezT2
0 0 1
x2
x1
y2
e2T e1
y1
z2
z1
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2.2
En1 M esin En
E的迭代值 迭代误差
2.00000000000000 2.36371897073027 2.28070648114268 2.30336817494395 2.29738274094345 2.29897858923242 2.29855414582844 2.29866710814390 2.29863704935453 2.29864504824203 2.29864291969958 2.29864348611684 2.29864333539012 2.29864337549933 2.29864336482605 2.29864336766626 2.29864336691047
x r
y
0
z 0
航天器绝对速度矢量在Oxyz中投影为：
vx r
v
y
rf
X
vz 0
z
y
i
xS
O
Y
f
位置和速度矢量向惯性系OXYZ中投影如何？
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地心惯性系到地心轨道系的坐标变换
Z
地心惯性系到地心轨道系的坐标变换：
1. 绕Z轴逆时针转过Ω角，得 OX1Y1Z坐标系
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坐标转换
设有不同的坐标系 Ox1y1z1 Ox2 y2z2
z1 z2
O
x1
x2
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y2
Ox1y1z1的基矢量为e1 ex1 ey1 ez1
Ox2 y2z2的基矢量为e2 ex2 ey2 ez2
y1
约定：矢量都为列排列
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O
Y
AXx A3 A1 i A3
X
c c s sci
c s s c c i
s si
s c c sci s s c cci
c si
sis s i c
c i
在此，将cos和sin分别简记为c和s
地心惯性坐标系到地心轨道坐标系的转换矩阵
AxX =A3(θ)A1(i)A3(Ω)=
1 A
1 r
h2
为s
：积分常数
s cos
d 2s s0
d 2
对θ求导
ds
d
2
1
s2
r
p
1 e cos( )
h2 p ,e
1
2 h2 2
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各角度的关系
M (t )
a3
M E esin E
开普勒方程
平近点角: M 偏近点角: E 真近点角: f
tan f 1 e tan E 2 1e 2
0.36371897073027 -0.08301248958759 0.02266169380127 -0.00598543400050 0.00159584828897 -0.00042444340398 0.00011296231547 -0.00003005878937 0.00000799888750 -0.00000212854245 0.00000056641725 -0.00000015072672 0.00000004010921 -0.00000001067328 0.00000000284022 -0.00000000075580
2.1 2 0
5
10
15
20
迭代10次，误差为10-6 迭代20次，误差为10-11
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牛顿法 Page 8
（3）数值迭代 E M esin E
2.牛顿法：令E1=M ，代入下式迭代
M En1 En
E的迭代值
En e sin 1 e cos En
迭代误差
En
2.000000000000000 2.311814691712278 2.298663603893595 2.298643367117615 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317
设 r 是矢量，其与坐标系无关。
但其分量与坐标系有关，向 两个坐标系投影具有不同的 形式
r x1ex1 y1ey1 z1ez1
x2ex2 y2ey2 z2ez2
z2 O
x1
e1
x1 y1 z1
e2
x2 y2 z2
z1
r
x2
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y2 y1
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坐标转换矩阵
M E e sin E 设：M=2; e=0.4
10
（1）直接求解非线性方程
8
y1 E
（Matlab中有求解函数fsolve,solve） 6
4
（2）几何法求解
E M esin E
设
y1 E y2 M esin E 两条曲线的交线就是解。
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2
y2 M esin E
0.311814691712278 -0.013151087818683 -0.000020236775980 -0.000000000048298
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
迭代3次，误差为10-5 迭代4次，误差为10-11
抛物线和双曲线轨道？
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有时也用初始时刻t0的平近角 M0代替τ作为一个轨道根数
根据上式可由t求M，再 迭代求出E 、再求出f。 从 而确定航天器的运动。
r a(1 e2 ) 1 e cos f
因此，利用轨道根数可以很直观地 表示航天器的运动，并且只需求解 代数方程。
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开普勒方程 Page 6
求解开普勒方程几种方法
sin sin f sin f sini
cos
cos
i
X Y Z
AXx
r
rf
0
h
e sin
e
sin
e sin
fAXx 1,1 fAXx 2,1 fAXx 3,1
1 1 1
e cos e cos e cos
f f f
AXx AXx AXx
1, 2
2,
2
A2
0
1
0
A3 sin
cos
0
sin 0 cos
0
0 1
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地心轨道系到地心惯性系的转换矩阵
地心轨道坐标系到地心惯性坐标系 的坐标转换矩阵，记为AXx ，为三次坐
标旋转的累积，依次为A3(－θ)、A1(－i)、 A3(－Ω)，表达式为：
Z
z
y
i
xS
2. 绕X1轴逆时针转过i角，得 OX1Y2z坐标系
3. 绕z轴逆时针转过θ角，得
X
Oxyz坐标系
地心轨道系到地心惯性系的坐标变换：
z y
i
Y2
xS Y1
O
Y
X1
1. 绕z轴逆时针转过－θ角，得OX1Y2z 坐标系 2. 绕X1轴逆时针转过－i角，得OX1Y1Z坐标系 3. 绕Z轴逆时针转过－Ω角，得坐标系OXYZ
h2 r3
r2
0
1 2
r
Βιβλιοθήκη Baidu
2
h2 r2
r
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二体问题微分方程求解(上节补充)
对能量积分的一阶
微分方程作变换
1 2
r
2
h2 r2
r
r
dr
d
h r2
dr
d
d
1 r
d
1 r2
dr
d
将常数
1 h2
2
2
h2
简记为 A2
d 1 r
d
2
1 r
h2
2
A2
记变量
影(X1, Y1, Z1)T应为
Z
X1 1 0
0 X
X Z1
Y1
0
cos
sin
Y
A1
Y
Z1 0 sin cos Z
Z
记原坐标系绕第i(i=1,2,3)根轴逆时针旋
O
Y1
Y
转α角后，原坐标到新坐标的转换矩阵
为Ai(α) cos 0 sin
X
cos sin 0
轨道速度与矢端曲线
径向与横向速度： vr
r
h
e sin
f
v
rf
(1 e cos
h
f)
速度大小： v 1 e2 2e cos f
h
飞行角： tan vr e sin f
2 r
1 a
v 1 e cos f
近地点速度最大，远地点速度最小，飞行角为速度方
向与水平方向夹角 r
h
vr
rf
r f
r
归一化的横向速度
与径向速度形成的轨迹
(矢端曲线)为圆
f
h
1
e
v
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地心轨道坐标系下的绝对位置和速度
轨道坐标系：地心为原点，x轴从地心指向航天器, z轴指 向轨道面法向，y轴在轨道面内，沿横向，与z、x构成右手系
航天器相对地心的位置矢量在Oxyz中投影为： Z
0
0
2
4
6
8 10
2.299
2.2989
2.2988
2.2987
2.2986
2.2985
2.2984
2.2983
2.2985
2.2986 2.2987 2.2988
数值迭代 Page 7
（3）数值迭代 E M e sin E 2.4
2.3
1. 令E1=M，按下式迭代，直到En与
En-1之差小于给定误差
Z
h
i
S
r
Of
Y
et
X
N
f为真近点角。
微分求解 Page 3
二体问题微分方程求解(上节补充)
在轨道平面内建立极坐标
r
r r3
r rur r u
O
r r r 2 ur r 2r u
u
ur
S
r
r 2r 0
r
r
2
r2
r 2 h
1 dr2 r
2 dr
机械能守恒
1 2
dr 2 dr
1 v2
2r
e 1 vh r
r
h rv
t 1 f r2df h0
2a 0,
,圆和椭圆 抛物线
,双曲线
2a
在航天领域，一般习惯用下面的六个独立参数
来描述轨道的状况: i、Ω、p(a)、e、ω 、τ 。 这
些量称为轨道要素，或轨道根数。
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轨根回顾 Page 2
z1
x1
x2
x2
x2
y1
A1 21
y2
A12
y2
A2T1
y2
z1
z2
z2
z2
（3）传递性 A31 A32 A21
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特殊坐标转换矩阵
坐标系OXYZ沿OX轴逆时针旋转α角得坐标系OXY1Z1 ，向 量在原坐标系中的投影若为(X, Y, Z)T，则在新坐标系中的投
轨道要素的定义（回顾）
i 表示轨道倾角，动量矩h 与Z轴的夹角 。 ON 表示升节线，是轨道平 面与地球赤道平面的交线。 Ω表示升交点赤经，升节线 ON与X轴的夹角。 ω 表示近地点幅角，升节 线ON与 e 的夹角。 τ 为过近地点时刻。
p 为轨道的半通径。
e 为轨道的偏心率。
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y1
z2
z1
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第1个坐标系3个方向的单位 矢量在第2个坐标系中x方向 的投影
z1
z2
r
y2
O y1
x1
x2
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坐标转换矩阵的性质
（1） A11 A22 I
（2）单位正交矩阵 AT A1,detA 1
x2
x1
y2
A21
y1
z2
Page 15
e2Te1
exT2
e
T y2
ex1
e y1
ez1
ezT2
ex2 ex1 ey2 ex1
ex2 ey1 ey2 ey1
ex2 ez1
ey2
ez1
ez2 ex1 ez2 ey1 ez2 ez1
A21 e2Te1 坐标转换矩阵
x2
x1
y2
A21
3, 2
在此， AXx(i, j)表示矩阵AXx的第i行第j列的元素
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根据轨道根数求任意时刻的绝对位置和速度
任课教师：蒋方华 助理研究员
办 公 室：逸夫技科楼1211室,62795926
email: jiangfh04@mails.thu.edu.cn
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积分回顾 Page 1
§1.2 轨道要素（回顾）
二体问题4个积分常数(机械能ξ, 角动量h, 偏心
率矢量e, 过近地点时刻τ)，只有6个独立的参数。