中考数学专题训练圆的专题13 圆与三角形的内心

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2020届中考数学总复习课件：微专题十三以圆为背景的相似三角形的计算与证明 (共28张PPT)

(1)求证：EF 是⊙O 的切线； (2)求证：BD2＝AC·BF.
图 Z13－3
证明：(1)∵AC＝BC，CD 是圆的直径， ∴由圆的对称性可知：∠ACD＝∠BCD， ∴CD⊥AB，∵AB∥EF，∴∠CDF＝∠CGB＝90°， ∵OD 是圆的半径，∴EF 是⊙O 的切线； (2)∵∠BDF＋∠CDB＝∠CDB＋∠DCB＝90°， ∴∠BDF＝∠DCB，∴△BCD∽△BDF， ∴BBDF＝BBDC，∴BD2＝BC·BF， ∵BC＝AC，∴BD2＝AC·BF.
图 Z13－7
解：(1)如答图①，连结 BC，AC，AD， ∵CD⊥AB，AB 是直径， ∴A︵C＝A︵D，CE＝DE＝12CD＝3， ∴∠ACD＝∠ABC，且∠AEC＝∠CEB， ∴△ACE∽△CBE，∴ACEE＝CBEE，∴13＝B3E， ∴BE＝9，∴AB＝AE＋BE＝10， ∴⊙O 的半径为 5；
图 Z13－5
解：(1)证明：如答图，连结 OC. ∵PE 是⊙O 的切线，∴OC⊥PE， ∵AE⊥PE，∴OC∥AE， ∴∠DAC＝∠OCA， ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴AC 平分∠BAD；
中考变形4答图
(2)线段 PB，AB 之间的数量关系为 AB＝3PB.理由： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°， ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC， ∵∠PCB＋∠OCB＝90°，∴∠PCB＝∠PAC， ∵∠P 是公共角，∴△PCB∽△PAC， ∴PPAC＝PPBC，∴PC2＝PB·PA， ∵PB∶PC＝1∶2，∴PC＝2PB， ∴PA＝4PB，∴AB＝3PB.
图 Z13－8
解：(1)如答图，连结 OC， ∵CD 与⊙O 相切于点 C，∴∠OCD＝90°. ∴∠OCB＋∠DCF＝90°. ∵∠D＋∠DCF＝90°，∴∠OCB＝∠D， ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B， ∵∠B＝∠AEC，∴∠D＝∠AEC；

中考数学专题总复习-以圆为背景的相似三角形的计算与证明

专题提升(十三)以圆为背景的相似三角形的计算与证明(人教版九下P58复习题第8题)如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD⊥AB，垂足为P，求证：PC2＝P A·PB.【思想方法】证明等积式的常用方法是把等积式转化为比例式，一般要证明比例式，就要证明三角形相似．证明圆中的相似三角形时，要充分运用切线的性质、圆周角定理及推论、垂径定理等知识点．1．[2019·宜宾]如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A，C两点，BC＝1，AD 为⊙O的弦，连接BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M.(1)求证：直线BD是⊙O的切线；(2)求⊙O的半径OD的长；(3)求线段BM的长．2．[2019·苏州节选]如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC 与AD，OD分别交于点E，F.求证：(1)DO∥AC；(2)DE·DA＝DC2.3．[2019·聊城]如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作DO⊥AB于点O，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E.(1)求证：EC＝ED；(2)如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．4．[2018·泸州]如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF＝EF.(1)求证：CO2＝OF·OP；(2)连接EB，交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC＝42，PB＝4，求GH 的长．5．[2019·绵阳]如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为BD ︵的中点，CF 为⊙O 的弦，且CF ⊥AB ，垂足为点E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF .(1)求证：△BFG ≌△CDG ； (2)若AD ＝BE ＝2，求BF 的长．6．[2019·黄石]如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，C ，E 是⊙O 上的两点，CE ＝CB ，∠BCD ＝∠CAE ，延长AE 交BC 的延长线于点F .(1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)求证：CE ＝CF ；(3)若BD ＝1，CD ＝2，求弦AC 的长．7．[2018·遂宁]如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线P A 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长，与⊙O 交于C ，D 两点，M 是半圆CD 的中点，连接AM ，交CD 于点N ，连接AC ，CM .(1)求证：CM 2＝MN ·MA ；(2)若∠P ＝30°，PC ＝2，求CM 的长．8．[2019·泰州]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E.(1)判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径为5，AB＝8，求CE的长．如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交⊙O 于点E.求证：(1)∠D＝∠AEC；(2)OA2＝OD·OF.参考答案（完整答案和解析见PPT 课件之课时作业）【教材母题】略【中考变形】 1.(1)略 (2)1 (3)3772．略 3.(1)略 (2)16554．(1)略 (2)425 5.(1)略 (2)2 36．(1)略 (2)略 (3)637．(1)略 (2)2 28．(1)DE 为⊙O 的切线，理由略． (2)254【中考预测】略。

人教版九年级数学上册作业课件第二十四章圆专题训练(十三) 与圆的切线有关的计算与证明

人教版
第二十四章圆
专题训练(十三) 与圆的切线有关的计算与证明
类型1 已知圆的切线，求角的度数或线段长 1．(山西中考)如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC 为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F.求∠C和∠E的度数．
解：连接 OB，∵⊙O 与 AB 相切于点 B，∴OB⊥AB，∵四边形 ABCO 为平行四边形，∴AB∥OC，OA∥BC，∴OB⊥OC，∴∠BOC＝90°， ∵OB＝OC，∴△OCB 为等腰直角三角形，∴∠C＝∠OBC＝45°，∵
则点 D 为⊙M 与 x 轴的切点，即 PM＝MD，设 P(x，－34 x2＋94 x＋3)， M(x，－34 x＋3)，则 PD＝－34 x2＋49 x＋3，MD＝－34 x＋3，∴(－43 x2 ＋49 x＋3)－(－34 x＋3)＝－34 x＋3，解得 x1＝1，x2＝4(不合题意舍去)， ∴⊙M 的半径为 MD＝－43 ＋3＝94 ；当⊙M 与 y 轴相切时，如图②所示，延长 PM 交 AB 于点 D，过点 M 作 ME⊥y 轴于点 E，则点 E 为⊙M 与 y 轴的切点，即 PM＝ME，PD－MD＝EM＝x，
6．(天水中考)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D. 过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F.
(1)求证：PC是⊙O的切线； (2)若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
解：(1)证明：连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD＝CD， ∴PA＝PC，∵OP＝OP，∴△OAP≌△OCP(SSS)，∴∠OCP＝∠OAP， ∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC， ∴PC是⊙O的切线

中考数学复习----《三角形的内切圆与内心》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《三角形的内切圆与内心》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

几何语言：若弦CD AB ，交于点P ，则PD PC PB PA ⋅=⋅。

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

几何语言：若AB 是直径，CD 垂直AB 于点P ，则PB PA PD PC ⋅==22。

2. 弦切角定理：（1）弦切角的定义：如图像∠ACP 这样，顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。

等于这条弧所对的圆周角。

即∠PCA=∠PBC 。

3. 切线长定理：（1）切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。

4. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=PA•PB（切割线定理）。

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD。

5. 三角形的内切圆与内心：内切圆与内心的概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点。

练习题1、（2022•恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．【分析】根据题意，先作出相应的辅助线，然后求出内切圆的半径，再根据图形可知：阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣正方形CEOD的面积﹣⊙O面积的，代入数据计算即可．【解答】解：作OD⊥AC于点D，作OE⊥CB于点E，作OF⊥AB于点F，连接OA、OC、OB，如图，∵∠C＝90°，OD＝OE＝OF，∴四边形CEOD是正方形，∵AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∵S△ABC＝S△AOC+S△COB+S△BOA，∴＝，解得OD＝OE＝OF＝1，∴图中阴影部分的面积为：﹣1×1﹣π×12×＝5﹣π，故答案为：5﹣π．2、（2022•泰州）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E．若DE＝CD+BE，则线段CD的长为．【分析】连接BO，CO，结合内心的概念及平行线的判定分析可得当DE＝CD+BE时，DE∥BC，从而利用相似三角形的判定和性质分析计算．【解答】解：如图，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E，连接BO，CO，∵O为△ABC的内心，∴CO平分∠ACB，BO平分∠ABC，∴∠BCO＝∠ACO，∠CBO＝∠ABO，当CD＝OD时，则∠OCD＝∠COD，∴∠BCO＝∠COD，∴BC∥DE，∴∠CBO＝∠BOE，∴BE＝OE，则DE＝CD+BE，设CD＝OD＝x，BE＝OE＝y，在Rt△ABC中，AB＝＝10，∴，即，解得，∴CD＝2，过点O作D′E′⊥AB，作DE∥BC，∵点O为△ABC的内心，∴OD＝OE′，在Rt△ODD′和Rt△OE′E中，，∴△ODD′≌△OE′E（ASA），∴OE＝OD′，∴D′E′＝DE＝CD+BE＝CD′+BE′＝2+＝，在△AD′E′和△ABC中，，∴△AD′E′∽△ABC，∴，∴，解得：AD′＝，∴CD′＝AC﹣AD′＝，故答案为：2或．3、（2022•黔东南州）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是cm2．（结果用含π的式子表示）【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，得出圆心角DOE的度数即可得出阴影部分的面积．【解答】解：∵∠A＝80°，⊙O是△ABC的内切圆，∴∠DOE＝180°﹣（）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝130°，∴S扇形DOE＝＝（cm2），故答案为：．4、（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为．【分析】如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到AC+BC＝AB+6，（BC﹣AC）2＝49，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于AB的一元二次方程解决问题．【解答】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，∴OE＝OD＝3＝，∴AC+BC﹣AB＝6，∴AC+BC＝AB+6，∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，而BC2+AC2＝AB2，∴2BC×AC＝12AB+36①，∵小正方形的面积为49，∴（BC﹣AC）2＝49，∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，把①代入②中得AB2﹣12AB﹣85＝0，∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，∴AB＝17（负值舍去），∴大正方形的面积为289．故答案为：289．。

中考数学圆综合题专题训练

中考数学圆综合题专题训练（第11天）1.如图，以△ABC 的BC 边为直径作⊙O ，分别交AC 、AB 于E 、F 两点，过A 作⊙O 的切线，切点为D ，且点E 、F 为劣弧CD ︵的三等分点．（1）求证：AD ∥BC ；（2）求∠DAC 的大小．2．（成都某校自主招生）如图，在直角坐标系中，点B （－1－3，0），C （1＋3，0），△ABC 的内切圆的圆心是I （－1，1），求△ABC 的面积．3．（四川德阳）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O 的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB 的延长线于G．（1）求证：FC＝FB；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB＝FE＝2，求⊙O的半径．4．（四川广安）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB＝2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC＝25，sin∠BCP＝55，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．CP5．（四川泸州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，C 是AD ︵的中点，弦CE ⊥AB 于点H ，连接AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ，连接BD ．（1）求证：P 是线段AQ 的中点；（2）若⊙O 的半径为5，AQ ＝152，求弦CE 的长．B中考数学圆综合题专题训练（第12天）6．（四川宜宾）如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1＝2，⊙O2的半径r2＝2．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A、B，连接AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延长线交于点E．（1）求证：P APB＝2；（2）若PQ＝2，试求∠E度数．7．（四川资阳）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，连接DE ，过点B 作BP ∥DE ，交⊙O 于点P ，连接EP 、CP 、OP ．（1）求证：BD ＝DC ；（2）求∠BOP 的度数；（3）求证：CP 是⊙O 的切线．AC BD OE P8．（四川某校自主招生）如图，等腰Rt△ABC的直角边AB、AC分别与⊙O相切于点E、D，AD＝3，DC＝5，直线FG与AC、BC分别交于点F、G，且∠CFG＝60°．（1）求阴影部分的面积；FG与⊙O的位置关系，并说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，半径分别为m、n（0＜m＜n）的两圆⊙O1和⊙O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x轴、y轴分别切于点M、N，⊙O2与x轴、y轴分别切于点R、H．（1）求两圆的圆心O1、O2所在直线的解析式；（2）求两圆的圆心O1、O2之间的距离d；（3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2．试探究：是否存在一条经过P、Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为|S1－S2|2d的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．中考数学圆综合题专题训练（第13天）10．（湖南怀化）如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB ＝4，∠OBC ＝30°，点C 是弦AB 上任意一点（不与点A 、B 重合），连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD 、DB ．（1）当∠ADC ＝18°时，求∠DOB 的度数；（2）若AC ＝23，求证△ACD ∽△OCB ．ACBDO11．（湖南湘潭）如图，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，AC ＝12AB ，点P在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作直线PB 的垂线CD 交PB 于D 点．（1）如图1，求证：△PCD ∽△ABC ；（2）当点P 运动到什么位置时，△PCD ≌△ABC ？请在图2中画出△PCD 并说明理由；（3）如图3，当点P 运动到CP ⊥AB 时，求∠BCD 的度数．B 图2D图1B图312．（湖南张家界）如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为圆周上一点，AC ＝2，过点C 作⊙O 的切线DC ，点P 为优弧CBA ︵上一动点（不与A 、C 重合）．（1）求∠APC 与∠ACD 的度数；（2）当点P 移动到CB ︵的中点时，证明：四边形ACPO 是菱形；（3）P 点移动到什么位置时，由点A 、P 、C 三点构成的三角形与△ABC 全等，请说明理由．B13．（湖北鄂州）如图，梯形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，O是腰CD的中点，以CD长为直径作圆，交BC于E，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：OE∥AB；（2）若EH＝12CD，求证：AB是⊙O的切线；（3）若BE＝4BH，求BHCE的值．中考数学圆综合题专题训练（第14天）14．（湖北恩施）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD＝15，BE＝10，sin A＝513，求⊙O的半径．C15．（湖北十堰）如图1，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，OD ∥AC ，且∠CBD ＝∠BAC ，OD 交⊙O 于点E ．（1）求证：BD 是⊙O 的切线．（2）若点E 为线段OD 的中点，证明：以O 、A 、C 、E 为顶点的四边形是菱形；（3）作CF ⊥AB 于点F ，连接AD 交CF 于点G （如图2）．求FGFC的值．ACB ODE图1A CB ODE图2F G16．（湖北襄阳）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E，F，过点B作PO 的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC＝6，tan∠F＝12，求cos∠ACB的值和线段PE的长．AC BO D EPF17．（湖北某校自主招生）已知扇形AOB 的半径为6，圆心角为90°，E 是半径OA 上一点，F 是AB ︵上一点．将扇形AOB 沿EF 对折，使得折叠后的图形恰好与半径OB 相切于点G ．（1）若OE ＝4，求折痕EF 的长；（2）若G 是OB 中点，求OE 和折痕EF 的长；（3）点E 可移动的最大距离是多少？B中考数学圆综合题专题训练（第15天）18．（湖北某校自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以点A为圆心，2为半径的⊙A与x轴交于O、B两点，OC为弦，∠AOC＝60°，P是x轴上的一动点，直线CP交⊙A于点Q，连接OQ、AQ．Array（1）当△OCQ是等腰三角形时，求点P的坐标；（2）当△APQ是等腰三角形时，求∠OCQ的度数．19．（湖北模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，且⊙O内切于△ABC，D、E、F是切点，CF 交⊙O于G，EG延长线交BC于M，AG交⊙O于K．（1）求证：△MCG∽△MEC；（2）若EM⊥BC，求cos∠FAK的值．20．（湖北模拟）已知矩形ABCD中，半径为r的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与边AB、BC相切，⊙O2与边BC相切．点E是边CD上一点，将△ADE沿AE翻折得△AD′E，AD′恰好与⊙O2相切于点D′．若AD＝3，折痕AE的长为10．（1）求r的值；（2）求证：矩形ABCD为正方形．D E。

2023年人教版数学中考复习考点专练——三角形的内切圆与内心(含答案)

2023年人教版数学中考复习考点专练——三角形的内切圆与内心一、单选题1．如图，⊙O内切于⊙ABC，切点为D，E，F，若⊙B=50°，⊙C=60°，连接OE，OF，DE，DF，⊙EDF等于（）A．45°B．55°C．65°D．70°2．下列命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．平行四边形的对角线互相垂直C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形3．如图，已知⊙ABC与⊙ACD都是直角三角形，⊙B=⊙ACD=90°，AB=4，BC=3，CD=12。

则⊙ABC的内切圆与⊙ACD的内切圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离4．如图，⊙ABC中，⊙C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与⊙ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（）A．8B．10C．12D．14 5．下列四个命题中，正确的个数是（）①经过三点一定可以画圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆；③三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤三角形的外心一定在三角形的外部．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 6．在⊙ABC 中，O 为内心，⊙A=80°，则⊙BOC=（）A ．140°B ．135°C ．130°D ．125° 7．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（）A ．2 ﹣2B ．2﹣C ﹣1D 8．有如下四个命题：（1）三角形有且只有一个内切圆；（2）四边形的内角和与外角和相等；（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形；（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．其中真命题的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（）A ．2B ．32CD ．10．如图，在 ABC ∆ 中， 60BAC ∠=︒ 其周长为20，⊙I 是 ABC ∆ 的内切圆，其半径为，则 BIC ∆ 的外接圆半径为（）A ．7B ．C ．2D 二、填空题11．在⊙ABC 中，⊙C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为．12．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为．13．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 ()68C ，，点 I 是 ABC 的内心，将 ABC 绕原点顺时针旋转 90︒ 后， I 的对应点 I ' 的坐标是．14．从一个边长为 cm 的正三角形钢板上裁下一个面积最大的圆，则这个圆的半径是 cm ．15．若直角三角形的两边a 、b 是方程 27120x x -+= 的两个根，则该直角三角形的内切圆的半径r = ．三、解答题16．如图，在⊙ABC 中，⊙C=90°，⊙O 是⊙ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，若BD=6，AD=4，求⊙O 的半径r ．17．如图⊙ABC 内接于圆O ，I 是⊙ABC 的内心，AI 的延长线交圆O 于点D ．（1）求证：BD=DI ；（2）若OI⊙AD ，求AB AC BC+的值．18．如图，在⊙ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若⊙A=70°，求⊙FDE．19．如图，⊙ABC中，⊙C=90°，⊙O是⊙ABC的内切圆，D、E、F是切点．（1）求证：四边形ODCE是正方形；（2）如果AC=6，BC=8，求内切圆⊙O的半径．20．如图：在三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径.21．如图，点E是⊙ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙ABC的外接圆⊙O 于点D，连接BD，过点D作直线DM，使⊙BDM=⊙DAC．（⊙）求证：直线DM是⊙O的切线；（⊙）求证：DE2=DF•DA．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】D11．【答案】212．13．【答案】(64)-，14．【答案】115．【答案】1或1 216．【答案】解：连接EO，FO，∵⊙O是⊙ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴OE⊙BC，OF⊙AC，BD=BE，AD=AF，EC=CF，又∵⊙C=90°，∴四边形ECFO是矩形，又∵EO=FO，∴矩形OECF是正方形，设EO=x，则EC=CF=x，在Rt⊙ABC中BC2+AC2=AB2故（x+6）2+（x+4）2=102，解得：x=2，即⊙O的半径r=2．17．【答案】（1）证明：∵点I 是⊙ABC 的内心 ∴⊙BAD=⊙CAD ，⊙ABI=⊙CBI∵⊙CBD=⊙CAD∴⊙BAD=⊙CBD∴⊙BID=⊙ABI+⊙BAD ，⊙BAD=⊙CAD=⊙CBD ， ∵⊙IBD=⊙CBI+⊙CBD ，∴⊙BID=⊙IBD∴ID=BD ；（2）解：连接OA 、OD 、BD 和BI ，∵OA=OD ，OI⊙AD∴AI=ID ，∵I 为⊙ABC 内心，∴⊙BAD=⊙BCD ，∴弧BD=弧CD ，∵弧CD=弧CD ，∴⊙BCD=⊙BAD ，∴⊙DBI=⊙BCD+⊙CBI=⊙CAD+⊙CBI ， =12（⊙BAC+⊙ACB ）， ∵⊙DIB=⊙DAB+⊙ABI=12（⊙BAC+⊙ABC ）， ∴⊙DIB=⊙DBI ，∴BD=ID=AI ，BD DC ∧∧=，故OD⊙BC ，记垂足为E ，则有BE=12BC ，作IG⊙AB于G，又⊙DBE=⊙IAG，而BD=AI，∴Rt⊙BDE⊙Rt⊙AIG，于是，AG=BE=12BC，但AG=12（AB+AC﹣BC），故AB+AC=2BC，∴AB ACBC=2．18．【答案】解：连接IE，IF，∵内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∴⊙AEI=⊙AFI=90°，∵⊙A=70°，∴⊙EIF=110°，∴⊙FDE=55°．答：⊙FDE的度数为55°．19．【答案】（1）解：∵⊙O是⊙ABC的内切圆，∴OD⊙BC，OE⊙AC，又⊙C=90°，∴四边形ODCE是矩形，∵OD=OE，∴四边形ODCE是正方形.（2）解：∵⊙C=90°，AC=6，BC=8，∴AB= =10，由切线长定理得，AF=AE ，BD=BF ，CD=CE ， ∴CD+CE=BC+AC ﹣BD ﹣AE=BC+AC ﹣AB=4，则CE=2，即⊙O 的半径为2．20．【答案】解：如图，作 AD BC ⊥ ，设 BD x = ，则 8CD x =- ，由勾股定理可知： 2222AB BD AC CD -=- ，则 ()2225498x x -=-- ，解得 52x = ，则 2AD = ，故 118222ABC S BC AD =⋅=⨯⨯= ，由三角形的内切圆性质，可得： ()12ABC S r AB BC AC =++2ABC S r AB BC AC ∴===++ . 21．【答案】解：（⊙）如图所示，连接OD ， ∵点E 是⊙ABC 的内心，∴⊙BAD=⊙CAD ，∴BD = CD ，∴OD⊙BC ，又∵⊙BDM=⊙DAC ，⊙DAC=⊙DBC ， ∴⊙BDM=⊙DBC ，∴BC⊙DM ，∴OD⊙DM ，∴直线DM 是⊙O 的切线；（⊙）如图所示，连接BE ，∵点E 是⊙ABC 的内心，∴⊙BAE=⊙CAE=⊙CBD ，⊙ABE=⊙CBE ， ∴⊙BAE+⊙ABE=⊙CBD+⊙CBE ，即⊙BED=⊙EBD，∴DB=DE，∵⊙DBF=⊙DAB，⊙BDF=⊙ADB，∴⊙DBF⊙⊙DAB，∴DFDB=DBDA，即DB2=DF•DA，∴DE2=DF•DA．。

中考数学专题练习--圆与三角形问题的综合

2023年中考数学专题练习--圆与三角形问题的综合一、综合题1．如图， AB 是半圆 O 的直径， C 是 AB 的中点，点 D 在 AC 上， AC ， BD 相交于点 E ，点 F 是 BD 上的一点，且 BF AD = ．（1）求证： CF CD ⊥ ；（2）连接 AF ，若 2CAF ABF ∠=∠ ．①求证： AC AF = ；②当 ACF ∆ 的面积为 12 时，求 AC 的长．2．如图，已知 AB 是 O 的直径，C ，D 是 O 上的点， //OC BD ，交 AD 于点E ，连结 BC .（1）求证： AE ED = ；（2）若 6AB = ， 30ABC ∠=︒ ，求图中阴影部分的面积.3．如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且AC ＝CF ，∠CBF ＝∠CFB ．（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长和扇形DOE的面积；（3）在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为．4．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．5．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M=∠D．（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；（2）若AE=16，BE=4，求线段CD的长；（3）若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．6．已知：如图，AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC=30°．（1）求∠P的大小；（2）若AB=6，求PA的长．7．如图，点 P 在 x 轴上，以点 P 为圆心的圆，交 x 轴于 D 、 C 两点，交 y 轴于 A 、 B 两点， AB =， 3OC = .（1）求圆心 P 的坐标；（2）将 ADC 绕点 P 旋转 180︒ ，得到 ECD .请在图中画出线段 ED 、 EC ，判断四边形 ACED 的形状，请说明理由，并直接写出点 E 坐标.（3）设点 F 为 DBE 上一个动点，连接线段 CF 与 DE 相交于点 G ，点 M 为 CG 的中点，过点 G 作 GH DC ⊥ 于 H ，连接 HM 、 EM .在点 F 的运动过程中 HME ∠ 的大小是否变化？若不变，求出 HME ∠ 的度数；若变化，请说明理由.8．如图，在 ABC 中， AB AC = ，以 AB 为直径的 O 分别与 BC ， AC 交于点 D 、 E ．过点 D 作 DF AC ⊥ 交 AC 于点 F ．（1）求证： DF 是 O 的切线；（2）若 O 的半径为5， 22.5CDF ∠=︒ ，求阴影部分的面积．9．如图，点O 是Rt ABC 的斜边AB 上一点，⊙O 与边AB 交于点A ，D ，与AC 交于点E ，点F 是弧DE 的中点，边BC 经过点F ，连接AF ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为5，AF=8，求AC 的长.10．如图，A 、B 是 O 上的两点， 120AOB ∠=︒ ，点D 为劣弧 AB 的中点.（1）求证：四边形AOBD 是菱形；（2）延长线段BO 至点P ，交 O 于另一点C ，且BP=3OB ，求证：AP 是 O 的切线. 11．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点C ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AC ＝6，DE ＝4，求⊙O 的半径．12．如图，△ABC 内接与⊙O ，AB 是直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P ，OF ∥BC 交AC 于AC 点E ，交PC 于点F ，连接AF.（1）判断AF 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）若⊙O 的半径为4，AF=3，求AC 的长.13．如图，已知等边△ABC ，AB ＝12．以AB 为直径的半圆与BC 边交于点D ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，连结GD ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）求FG 的长；（3）求△FDG 的面积．14．如图， AB 为 O 的直径，点P 为 AB 延长线上的一点，过点P 作 O 的切线 PE ，切点为M ，过 A B 、两点分别作 PE 的垂线 ,AC BD ，垂足分别为 ,C D ，连接 AM ．求证：（1）AM 平分 CAB ∠ ；（2）若 4,30AB APE =∠= ，求 BM 的长．15．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ，AB ＝5，EB ＝3.（1）求证：AC 是⊙D 的切线；（2）求线段AC 的长．16．如图，O为∠MBN角平分线上一点，⊙O与BN相切于点C，连结CO并延长交BM于点A，过点A作AD⊥BO于点D.（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若BC＝6，tan∠ABC＝43，求AD的长.17．在等腰△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）分别延长CB，FD，相交于点G，∠A=60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．（1）若AC=5，BC=13，求⊙O的半径；（2）过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠F=2∠B，求证：四边形ACEF是菱形．19．如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．（1）证明：OD∥BC；（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．20．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若∠F=30°，EB=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵AB 是直径，90ACB ∴∠=︒ ． C 是 AB 的中点，AC BC ∴= ．CD CD = ，CBF CAD ∴∠=∠ ．又 BF AD = ，∴()CBF CAD SAS ≅ ，BCF ACD ∴∠=∠ ，BCF FCE ACD FCE ∴∠+∠=∠+∠ ，90FCD ACB ∴∠=∠=︒ ，即 CF CD ⊥（2）解：①设 ABF α∠= ，则 ACD ABF α∠=∠= ， 2CAF α∠= ． 90FCD ∠=︒ ，90ACF α∴∠=︒- ，∴ 在 ACF 中， ()180********AFC ACF CAF ααα∠=︒-∠-∠=︒-︒--=︒- ． ACF AFC ∴∠=∠ ，AC AF ∴= ．②过点 A 作 AG CF ⊥ 于点 G ，过点 B 作 BH CF ⊥ 交 CF 的延长线于点 H ，则 90BHC CGA ∠=∠=︒ ，90CAG GCA ∴∠+∠=︒ ．90BCH GCA ∠+∠=︒ ，BCH CAG ∴∠=∠ ．又 CB CA = ，()BCH CAG AAS ∴≅ ，CH AG ∴= ， BH CG = ．由（1）可知 CF CD = ，又 90FCD ∠=︒ ，45CFD CDF ∴∠=∠=︒ ，45BFH CFD ∴∠=∠=︒ ．90BHF ∠=︒ ，45HBF BFH ∴∠=∠=︒ ，BH HF ∴= ，HF CG ∴= ，AC AF = ， AG CF ⊥ ，2CF CG ∴= ，3AG CH CG ∴== ．设 CG x = ，则 2CF x = ， 3AG x = ，则 11231222ACF S CF AG x x ∆=⋅=⨯⋅= ，解得： 12x = ， 22x =- （舍去）． 2CG ∴= ， 6AG = ．∴在 Rt AGC 中， AC == ． 2．【答案】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°，∵OC ∥BD ，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC ⊥AD ，又∵OC 为半径，∴AE=ED ；（2）解：连接CD ，OD ，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=30°，∴∠AOC=∠OCB+∠OBC=60°，∵OC∥BD，∴∠OCB=∠CBD=30°，∴∠COD=2∠CBD=60°，∠ABD=60°，∴∠AOD=120°，∵AB=6，∴BD=3，，∵OA=OB，AE=ED，∴OE＝12BD＝32，∴S阴影=S扇形AOD-S△AOD=212031336022π⨯-⨯ = 34π- .3．【答案】（1）证明：∵∠CBF＝∠CFB ∴CB＝CF 又∵AC＝CF∴CB＝AC＝CF∴以C为圆心AC长为半径的⊙C过A、B、F∴∠ABF＝90°∴直线BF是⊙O的切线．（2）解：连接DO，EO，∵点D，点E分别是弧AB的三等分点∴∠AOD＝60°又∵OA＝OD∴△AOD是等边三角形∴∠OAD＝60°，AB=10在Rt△ABF中，∠ABF＝90°,∠BAF＝60°, AB=10∴BF ＝ .tan AB BAF ∠=2605253606S ππ⨯⨯==（3）5 ＜r ＜ 54．【答案】（1）解：连接OC ，∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA ，∵AC 平分∠BAE ，∴∠OAC=∠CAE ，∴∠OCA=∠CAE ，∴OC ∥AE ，∴∠OCD=∠E ，∵AE ⊥DE ，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°， ∴OC ⊥CD ，∵点C 在圆O 上，OC 为圆O 的半径，∴CD 是圆O 的切线（2）解：在Rt △AED 中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt △OCD 中，∵∠D=30°， ∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC ，∴DB=OB=OC= 13AD=4，DO=8，∴ ，∴S △OCD = 2CD OC ⋅ = 42，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S 扇形OBC = 16 ×π×OC 2= 83π ，∵S 阴影=S △COD ﹣S 扇形OBC∴S 阴影= 83π ，∴阴影部分的面积为 83π ．5．【答案】（1）解：BC ∥MD ．理由：∵∠M=∠D ，∠M=∠C ，∠D=∠CBM ， ∴∠M=∠D=∠C=∠CBM ， ∴BC ∥MD ；（2）解：∵AE=16，BE=4，∴OB= 1642=10，∴OE=10﹣4=6，连接OC，∵CD⊥AB，∴CE= 12CD，在Rt△OCE中，∵OE2+CE2=OC2，即62+CE2=102，解得CE=8，∴CD=2CE=16；（3）解：如图2，∵∠M= 12∠BOD，∠M=∠D，∴∠D= 12∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D= 13×90°=30°．6．【答案】（1）解：∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴PA⊥AB，即∠PAB=90°．∵∠BAC=30°，∴∠PAC=90°﹣30°=60°．又∵PA、PC切⊙O于点A、C，∴PA=PC，∴△PAC是等边三角形，∴∠P=60°（2）解：如图，连接BC．∵AB是直径，∠ACB=90°，∴在Rt△ACB中，AB=6，∠BAC=30°，可得AC=ABcos∠BAC=6×cos30°．又∵△PAC是等边三角形，∴．7．【答案】（1）解：连接AP，设半径为r，则PO=3-r，∵AB ，AB⊥CD，∴在Rt△AOP 中，AP2=AO2+OP2，∴r2=（）2+（3-r）2，解得r=2∴PO=1∴圆心P点坐标为（1，0）；（2）解：连接AP，延长AP交⊙P于点E，连接ED、EC. 如图所示，线段ED、EC即为所求作.四边形ACED是矩形.理由如下：∵△ECD由ADC绕点P旋转180°所得，∴四边形ACED是平行四边形.∵CD是⊙P的直径，∴∠CAD＝90°.∴平行四边形ACED是矩形.过点E作EH⊥CD，垂足为H，如图所示.在△EHP和△AOP中，∵∠EHP＝∠AOP=90°，∠HPE＝∠OPA，EP＝AP，∴△EHP≌△AOP.∴MH＝OA＝，PH＝PO＝1.∴OH＝2.∴点M的坐标为（2，）.∠的大小不变.（3）解：在旋转过程中HME∵四边形ACED是矩形，∴∠DEC＝90°.⊥，∵GH DC∴∠GHC＝90°.∴∠GHC＝∠GEC＝90°.∵点M是GC的中点，∴HM＝GM＝ME＝CM.∴点E、G、H、C在以点M为圆心，CM为半径的圆上，如图所示.∴HME ∠ ＝2∠HCE.∵∠ODA ＝90°，OD ＝1，OA ＝，∴tan ∠ODA ＝OAOD= . ∴∠ODA ＝60°. ∴∠HCE ＝∠ODA ＝60°. ∴HME ∠ ＝120°. ∴在旋转过程中 HME ∠ 的大小不变，始终等于120°. 8．【答案】（1）证明：连接 OD AD ，．∵AB 是 O 的直径， ∴90ADB ∠=︒ ，∵90AB AC ADB =∠=︒，， ∴BD CD = ， ∵AO BO = ，∴OD 是 ABC 的中位线， ∴OD AC ， ∵DF AC ⊥ ， ∴半径 OD DF ⊥ ， ∴DF 是 O 的切线（2）解：连接 OE ． ∵22.5DF AC CDF ︒⊥∠=，， ∴67.5C ︒∠= ， ∵AB AC = ， ∴67.5C B ︒∠=∠= ， ∴45BAC ∠=︒ ， ∵OA OE = ， ∴90AOE ∠=︒ ， ∴252542AOEAOE S S Sπ=-=-阴影扇形 9．【答案】（1）证明：连接OF ，∵OA=OF ， ∴∠OAF=∠OFA ， ∵点F 是弧DE 的中点， ∴∠DAF=∠CAF ， ∴∠OFA=∠CAF ， ∴OF ∥AC ， ∴∠OFB=∠C=90o ，即OF ⊥BC ， ∴BC 是⊙O 的切线；（2）解：连接DF ， ∵AD 为⊙O 的直径， ∴∠AFD=90o ， ∴∠AFD=∠C ，又∠DAF=∠CAF ，∴△DAF ∽△FAC ，∴AD AFAF AC = ， ∴1088AC= ， ∴AC=6.4．10．【答案】（1）证明：连接OD.D 是劣弧 AB 的中点， 120AOB ∠=︒ 60AOD DOB ∴∠=∠=︒ 又∵OA=OD ，OD=OB∴△AOD 和△DOB 都是等边三角形 ∴AD=AO=OB=BD ∴四边形AOBD 是菱形（2）解：连接AC. ∵BP=3OB ，OA=OC=OB ∴PC=OC=OA12060AOB AOC ∠=︒∴∠=︒ OAC ∴ 为等边三角形∴PC=AC=OC ∴∠CAP=∠CPA 又∠ACO=∠CPA+∠CAP30CAP ∴∠=︒90PAO OAC CAP ∴∠=∠+∠=︒又OA 是半径PA 是 O 的切线11．【答案】（1）证明：连接OD ，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠EAD=∠DAB∵OA=OD，∴∠DAB=∠ODA∴∠EAD=∠ODA，∴AE∥OD∵DE⊥AC，∴∠DEA=90º，∴∠ODE=90º又∵OD是半径（或D是半径的外端点），∴DE是⊙O的切线。

备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质_圆_三角形的内切圆与内心-单选题专训及答案

备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质_圆_三角形的内切圆与内心-单选题专训及答案三角形的内切圆与内心单选题专训1、(2021薛城.中考模拟) 如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB 平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A . 4.5B . 4C . 3D . 22、(2017泰州.中考真卷) 三角形的重心是（）A . 三角形三条边上中线的交点B . 三角形三条边上高线的交点C . 三角形三条边垂直平分线的交点D . 三角形三条内角平分线的交点3、(2019桥东.中考模拟) 如图，点E点为△ABC的内心，且EF⊥BC于点F，若∠BAC=38°，∠B=56°，则∠AEF的度数为（）A . 163B . 164C . 165D . 1664、(2016丹阳.中考模拟) 三角形内切圆的圆心为（）A . 三条边的高的交点B . 三个角的平分线的交点C . 三条边的垂直平分线的交点D . 三条边的中线的交点5、(2018嘉兴.中考模拟) 下列命题是假命题的是（）A . 三角形的内心到这个三角形三边的距离相等B . 有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形C . 直角坐标系中，点（a，b）关于原点成中心对称的点的坐标为（-b，-a）D . 有三个角是直角且一组邻边相等的四边形是正方形6、(2015湖州.中考真卷) 如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G 分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（）A . CD+DF=4B . CD﹣DF=2 ﹣3C . BC+AB=2 +4D . BC﹣AB=27、(2019滨州.中考模拟) 如图，在ΔABC中，，，作的内切圆，分别与、、相切于点、、，设，ΔABC 的面积为，则关于的函数图象大致为（）A .B .C .D .8、(2018武昌.中考模拟) 若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）A .B .C .D .9、(2017淄川.中考模拟) 如图，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，以此类推，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1， S2， S3，…，S10，则S 1+S2+S3+…+S10=（）A . 4πB . 3πC . 2πD . π10、(2018烟台.中考真卷) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）A . 56°B . 62°C . 68°D . 78°11、(2018武汉.中考模拟) 如图将△ABC沿着直线DE折叠，点A恰好与△ABC的内心I重合，若∠DIB+∠EIC=195°，则∠BAC的大小是（）A . 40°B . 50°C . 60°D . 70°12、(2015武汉.中考模拟) 如图，△ABC中，下面说法正确的个数是（）个．①若O是△ABC的外心，∠A=50°，则∠BOC=100°；②若O是△ABC的内心，∠A=50°，则∠BOC=115°；③若BC=6，AB+AC=10，则△ABC的面积的最大值是12；④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1．A . 1B . 2C . 3D . 413、(2017武汉.中考真卷) 已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（）A .B .C .D .14、(2016襄阳.中考真卷) 如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI、BD、DC．下列说法中错误的一项是（）A . 线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B . 线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C . ∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合D . 线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合15、(2019福田.中考模拟) 如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°+ ∠A；②EF＝mn；④以E为圆不可能是△A BC的中位线；③设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切．其中正确结论的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个(2018深圳.中考模拟) 小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（）A .B .C .D .17、(2012.中考真卷) 如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，连接OE，OF，DE，DF，乙组∠A=80°，则∠EDF等于（）A . 40°B . 45°C . 50°D . 80°18、(2017眉山.中考真卷) 如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（）A . 114°B . 122°C . 123°D . 132°19、(2016遵义.中考真卷) 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，连接AC，⊙P和⊙Q 分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是（）A .B .C .D . 2(2019天山.中考模拟) 已知在△ABC中，∠BAC＝90°，M是边BC的中点，BC的延长线上的点N满足AM⊥AN.△ABC的内切圆与边AB，AC的切点分别为E，F，延长EF分别与AN，BC的延长线交于P、Q，则＝（）A . 1B . 0.5C . 2D . 1.521、(2020平昌.中考模拟) 如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（）A . ∠AIB＝∠AOB B . ∠AIB≠∠AOBC . 4∠AIB﹣∠AOB＝360°D . 2∠AOB ﹣∠AIB＝180°22、(2020广西壮族自治区.中考模拟) 如图，等边的内切圆O切边于点D，已知等边三角形的边长为12，则图中阴影部分的面积为( )A .B .C .D .23、(2020陕西.中考模拟) 如图，点为角平分线交点，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为( )A .B .C .D .24、(2021武汉.中考模拟) 如图，是的直径，C是上一点，E 是的内心，.若，则的面积为（）A .B . 2C .D . 125、(2021杭州.中考模拟) 如图，在中，，于D，⊙O为的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（）A .B .C .D .26、(2021荆门.中考模拟) 如图，点为的内心，，，，则的面积是（）A .B .C . 2D . 427、(2021海沧.中考模拟) 如图所示，在4×4的网格中，A、B、C、D、O均在格点上，则点O是（）A . △ABC的内心B . △ABC的外心C . △ACD的外心D . △ACD的重心28、(2021新华.中考模拟) 如图，在中，．小丽按照下列方法作图：①作的角平分线，交于点D；②作的垂直平分线，交于点E．根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（）A . 点E是的外心B . 点E是的内心C . 点E在的平分线上D . 点E到边的距离相等29、如图，已知，用尺规按照下面步骤操作：①作线段的垂直平分线；②作线段的垂直平分线，交于点O；③以O为圆心，长为半径作．结论Ⅰ：点O是的内心．结论Ⅱ：．对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是（）A . Ⅰ和Ⅱ都对B . Ⅰ和Ⅱ都不对C . Ⅰ不对Ⅱ对D . Ⅰ对Ⅱ不对30、如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，连接，，，若，则的大小为（）A .B .C .D .三角形的内切圆与内心单选题答案1.答案：B2.答案：A3.答案：C4.答案：B5.答案：C6.答案：A7.答案：A8.答案：B9.答案：D10.答案：C11.答案：B12.答案：C13.答案：C14.答案：D15.答案：D16.答案：C17.答案：C18.答案：C19.答案：B20.答案：A21.答案：C22.答案：23.答案：24.答案：25.答案：26.答案：。

2024年中考数学高频压轴题训练——圆与三角形的综合应用及参考答案

2024年中考数学高频压轴题训练——圆与三角形的综合应用1．定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”.（1）如图①，在ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，3AC =，则BC 边上的伴随圆的半径为.（2）如图②，ABC 中，5AB AC ==，6BC =，直接写出它的所有伴随圆的半径.（3）如图③，ABC 中90ACB ∠=︒，点E 在边AB 上，2AE BE =，D 为AC 的中点，且90CED ∠=︒.①求证：CED 的外接圆是ABC 的AC 边上的伴随圆；②DE CE 的值为▲.2．定义：有两边之比为1的三角形叫做智慧三角形．（1）如图1，在智慧三角形ABC 中，2AB BC AD ==，为BC 边上的中线，求AD AC的值；（2）如图2，ABC 是O 的内接三角形，AC 为直径，过AB 的中点D 作DE OA ⊥，交线段OA 于点F ，交O 于点E ，连结BE 交AC 于点G ．①求证：ABE 是智慧三角形；②如图3，在（2）的条件下，当53AF FG =：：时，则EG EF ＝▲．（直接写出结果）3．定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．（1）如图1，点C 是弧BD 的中点，DAB ∠是弧BD 所对的圆周角，AD AB >，连接AC 、DC CB 、，试说明ACB 与ACD 是偏等三角形．（2）如图2，ABC 与DEF 是偏等三角形，其中A D AC DF BC EF ∠=∠==，，，猜想结论：一对偏等三角形中，一组等边的对角相等，另一组等边的对角．请填写结论，并说明理由．(以ABC 与DEF 为例说明)；（3）如图3，ABC 内接于63045O AC A C ∠∠==︒=︒ ，，，，若点D 在O 上，且ADC 与ABC 是偏等三角形，AD CD >，求AD 的值．4．如图1，已知ABC 是O 的内接三角形，AB 为直径，38A ∠=︒，D 为 AB 上一点.图1图2（1）当点D 为 AB 的中点时，连接DB ，DC ，求ABC ∠和ABD ∠的大小；（2）如图2，过点D 作O 的切线，与AB 的延长线交于点P ，且DP AC ，连接DC ，OC ，求OCD ∠的大小.5．定义：若两个不全等三角形中，有两组边对应相等且其中一组相等的边所对的角也相等，我们就称这两个三角形为偏等三角形.（1）如图1，四边形ABCD 内接于O ，AD AB ＞，点C 是弧BD 的中点，连接AC ，试说明ACB 与ACD 是偏等三角形.（2）如图2，ABC 与ABD 是偏等三角形，AD BC =，30BAC ABD ∠=∠=︒，8BD =，12AC =，求AB 的长.（3）如图3，ABC 内接于O ，8AC =，30A ∠=︒，45C ∠=︒，若点D 在O 上，且ADC 与ABC是偏等三角形，AD CD ＞，求AD 的值.6．如图1，△ABC 是⊙O 内接三角形将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AED ，其中点D 在圆上，点E 在线段AC 上．（1）求证：DE=DC ；（2）如图2，过点B 作BF ∥CD 分别交AC 、AD 于点M 、N ，交⊙O 于点F ，连结AF ．求证：AN·DE=AF·BM ：（3）在(2)的条件下，若13AB AC =时，求BF BC的值．7．如果两个三角形的两边对应相等，且它们的夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形.如图1，AD ABC 是的中线，则ABD 和ACD 就是互补三角形.（1）根据定义判断下面两个命题的真假（填“真”或“假”）①互补三角形一定不全等.命题②互补三角形的面积相等.命题（2）如图2，ABC 和ADE 为互补三角形，AB AE AC AD AF ＝，＝，是ABC 的中线.求证：12AF DE ＝；（3）如图3，在（2）的条件下，若B E D ，，三点共线，连结CE ，CD ，四边形ABEC 为圆内接四边形.当120BAE ∠ ＝时，求BD AF CD -的值.8．如图，锐角三角形ABC 内接于⊙O ，∠ABC=2∠ACB ，点D 平分 AC ，连接AD ，BD ，CD ．（1）求证：AB=CD ．（2）过点D 作DG ∥AB ，分别交AC ，BC 于点E ，F ，交⊙O 于点G ．①若AD=a ，BC=b ，求线段EF 的长(用含a ，b 的代数式表示)．②若∠ABC=72°，求证：FG 2=EF·DF ．9．已知钝角三角形ABC 内接于O E D ，、分别为AC BC 、的中点，连接DE .（1）如图1，当点A D O 、、在同一条直线上时，求证：12DE AC =.（2）如图2，当A D O 、、不在同一条直线上时，取AO 的中点F ，连接FD 交AC 于点G ，当2AB AC AG +=时.①求证：DEG 是等腰三角形；②如图3，连OD 并延长交O 于点H ，连接AH .求证：AH FG .10．如图，在1111⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC （即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC 关于直线l 对称的111A B C ；（2）作出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后得到的22A B C ；（3）在（2）的案件下，求点B 旋转到点2B 所经过的路径长．11．如图1，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，O 为底边BC 的中点，AB 切O 于点D ，连接OD ，O 交BC 于点M ，N .（1）求证：AC 是O 的切线；（2）42B ∠=︒，①若4OD =，求劣弧DM 的长；②如图2，连接DM ，若4DM =，直接写出OD 的长.（参考数据：sin24︒取0.4，cos24︒取0.9，tan 24︒取0.45）12．如图，ABC 是O 的内接三角形，CD 为O 的直径，过点A 的直线交CD 的延长线于点E ，连接AD ，且AD DE =，DAB ACD ∠=∠．（1）求证：AE 是O 的切线；（2）若2DE =，=60B ∠︒，75BAC ∠=︒，求AB 和BC 的长度．13．如图，ABC 为O 的内接三角形，P 为BC 延长线上一点，PAC B ∠=∠，AD 为O 的直径，过C 作CG AD ⊥交AD 于E ，交AB 于F ，交O 于G ．（1）判断直线PA 与O 的位置关系，并说明理由；（2）求证：2AG AF AB =⋅；（3）若O 的直径为10．AC =AB =AE FG ⋅的值．14．如图，ABC 是O 的内接三角形，60ACB ∠=︒，AD 经过圆心O 交O 于点E ，连接BD ，30ADB ∠=︒.（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =，求图中阴影部分的面积.15．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，以BC 为直径作O 交斜边AB 于点D ，点M 是 CD中点，过点M 作直线ME AB ⊥于点E ，交AC 于点F.（1）证明：EF 是O 的切线；（2）若ME =.16．如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，D 是AB 上任意一点，以D 为圆心，DB 为半径作D ，分别交AB 、BC 于点E 、F ，过点F 作FG AC ⊥，垂足为G .（1）判断直线FG 与D 的位置关系并证明.（2）若2AE =，3BC =，2BF CG=，求D 的半径.17．如果三角形的两个内角α与β满足290αβ+=︒，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.（1）若ABC 是“准互余三角形”，9060C A ∠>︒∠=︒，，则B ∠=.（2）如图（1），AB 是半圆的直径，106AB BC C ==，，是半圆上的点，D 是 AC 上的点，BD 交AC 于点E.①若D 是 AC 的中点，则图中共有▲个“准互余三角形”；②当DEC 是“准互余三角形”时，求CE 的长；③如图（2）所示，若F 是 BC 上的点（不与B C 、重合），G 为射线AF 上一点，且满足2CBG CAB ∠=∠.当ABG 是“准互余三角形”时，求AG 的长.18．已知，锐角三角形ABC 内接于⊙O.（1）如图1，当点A 是 BAC的中点时，①求证：AO BC ⊥.②若BC ＝8，AB =，求⊙O 的半径.（2）如图2，当AB AC >时，连接BO 并延长，交边AC 于点D.若45A ∠= ，23OD OB =，求AD DC.19．如图1，ABC 是圆内接等腰三角形，其中AB AC =，点P 在 BC上运动（点P 与点A 在弦BC 的两侧），连接PA PB PC ，，，设αBAC ∠=，PB PC y PA+=，小明为探究y 随α的变化情况，经历了如下过程：（1）若点P 在 BC 的中点处，α90=︒时，y 的值是；（2）小明探究α变化获得了一部分数据，并以表中各组对应值为点的坐标在如图2平面直角坐标系中进行描点，并画出函数图象.从图象或表格中可知，y 随着α的变化情况是；y 的取值范围是.α…25°50°75°100°125°150°170°…y …0.430.85 1.221.53 1.55 1.93 1.99…（3）从变化趋势上看，当α=▲时，PB PC PA +=.并证明你的结论.20．如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，AD BC ⊥于点D ，直径AE 平分∠BAD ，交BC 于点F ，连接BE ．（1）求证：AEB AFD ∠=∠；（2）若10AB =，5BF =，求AD 的长；（3）若点G 是AB 的中点，当点O 在DG 上时，探究BF 与FD 存在的数量关系，并说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）2（2）解：ABC 的伴随圆的半径分为83或209或12049.（3）解：①证明：如图（4）连接OE 、OB ，∵CED 为直角三角形，∴CED 的外接圆圆心O 在CD 中点上，设O 的半径为r ，则2DC r =，3OA r =，∴23AD AO =，∵2EA BE =，∴23EA AB =，∴AD EA AO AB =，∴PD OB ，∴12∠=∠，3=4∠∠，∵OE OD =，∴32∠=∠，∴14∠=∠，在BCO 和BEO 中O =O ∠1=∠4O =O ，∴BCO BEO ≌，∴90BEO BCO ∠=∠=︒，∴AB 是O 的切线.∴CED 的外接圆是ABC 某一条边上的伴随圆；②222．【答案】（1）解：AD 是BC 的中线，2AB BC ==，，12BD BC ∴==，22BD AB AB BC ∴==，B B ∠=∠ ，ABD CBA ∴~ ，2AD BD AC AB ∴==；（2）解：①如图，连结OE ，设ABE α∠=，22AOE ABE α∴∠=∠=，OA OE = ，()11802902OAE αα∴∠=︒-=- ，DE OA ⊥ ，90AED OAE ∴∠+∠=︒，9090AED α∴∠+︒-=︒，AED ABE a ∴∠=∠=，EAD BAE ∠=∠ ，ADE AEB ∴ ∽，AE AD AB AE ∴=，2AE AD AB ∴=⋅，D 是AB 的中点，12AD AB ∴=，2212AE AB ∴=，AB ∴=，即1AE AB =：，ABE ∴ 是智慧三角形；②83．【答案】（1）解：∵点C 是弧BD 的中点，∴BC=CD ，BAC DAC ∠=∠．又∵AC=AC ，∴ACB 与ACD 是偏等三角形（2）解：互补；如图，在线段DE 上取点G ，使DG=AB ，连接FG．由题意可知在ABC 和DGF 中AB DG A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)ABC DGF ≅ ，∴B DGF ∠=∠，BC GF =．∵BC EF =，∴GF EF =，∴E FGE ∠=∠．∵180DGF FGE ∠+∠=︒，∴180B E ∠+∠=︒，即另一组等边的对角互补．（3）解：分类讨论：①当BC=CD时，如图，∵BC=CD ，30CAB ∠=︒，∴30DAC ∠=︒．∵180105ABC CAB ACB ∠=︒-∠-∠=︒，∴180********ADC ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180180307575ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ADC ACD ∠=∠，ACD DAC ∠>∠，∴AD>CD 符合题意，∴AD=AC=6；②当AB=CD 时，如图，过点D 作DE AC ⊥于点E ，∵AB=CD ，45ACB ∠=︒，∴45DAC ∠=︒，∴AE DE =，180180457560ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ACD DAC ∠>∠，∴AD CD >，符合题意．设CE=x ，则AE DE ==，∵AC AE CE =+，即6x =+，∴1)x =，∴1)9AE DE ===-∴(9AD ==-=．综上可知AD 的值为6或-．4．【答案】（1）解：如图1，连接OD ，图1∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒.∵38BAC ∠=︒，∴9052ABC BAC ∠=︒-∠=︒.∵D 为 AB 的中点，∴ AD AD =.∴1180902AOD BOD ∠=∠=⨯︒=︒.∴1452ABD AOD ∠=∠=︒.（2）解：如图2，连接OD ，图2∵OA OC =，OC OD =，∴38OAC OCA ∠=∠=︒，OCD ODC ∠=∠.设OCD ODC x ∠=∠=︒.∴()38ACD OCA OCD x ∠=∠+∠=+︒.∵DP 为O 的切线，∴OD DP ⊥.∴()9090CDP ODC x ∠=︒-∠=-︒.∵DP AC ，∴CDP ACD ∠=∠.即9038x x -=+，解得：26x =.∴26OCD ∠=︒.5．【答案】（1）解：∵点C 是弧BD 的中点，∴BC CD =，BAC DAC ∠=∠，又∵AC AC =，∴ACB 与ACD 是偏等三角形；（2）解：作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，∵30BAC ABD ∠=∠=︒，8BD =，12AC =，∴4DE =，6CF =，∴AF ==，BE ==，∵设EF x =，∴AE x =，BF x =，∵AD BC =，∴2224)6)x x +=+，∴1033x =，∴3AB AE EF BF =++=；（3）解：①当BC CD =时，如图，∵BC CD =，30CAB ∠=︒，∴30DAC ∠=︒，∵180105ABC CAB ACB ∠=︒-∠-∠=︒，∴180********ADC ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180180307575ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ADC ACD ∠=∠，ACD DAC ∠∠＞，∴AD CD ＞符合题意，∴8AD AC ==；②当AB CD =时，如图，过点D 作DE AC ⊥于点E ，∵AB CD =，45ACB ∠=︒，∴45DAC ∠=︒，∴AE DE =，180180457560ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ACD DAC ∠∠＞，∴AD CD ＞，符合题意，设CE x =，则AE DE ==，∵AC AE CE =+，即8x =+，∴1)x =，∴12AE DE ==-，∴AD ==综上可知AD 的值为8或6．【答案】（1）证明：∵将△ABC 绕点A 逆时针转至△AED∴BC=DE ，∠BAC=∠EAD ∴ BCCD =所以BC=CD∴DE=CD（2）解：∵∠F=∠ACB∠AMF=∠BMC∴△AMF ∽△BMC ∴AM AF BM BC=由题间可知BC=DEAC=AD∵BF ∥CD ∴AM AN AC AD=∴AM=AN∴AN AF AD DE=即AN·DE=AF·BM（3）解：设AB 为a ，则AC 为3a 由△CDE ∽△CAD 可得，CD CE CA CD=即CD 2=3a·2a=6a 2∵CD>0∴a∵AC=AD∴ AC AD=∵BF ∥CD ∴ BCFD =∴ AB AF=∴AB=AF∴∠ABF=∠AFB=∠ACB ∴△ABM ∽△ACB ∴AB AM BM AC AB BC==即3a AM a a ==∴AM=13a BM=63a 根据据对称轴可知FN=63a 由△AMN ∽△ACD 可得∴AM MN AC CD=即133a a =∴MN=9∴a∴79BF CD ==7．【答案】（1）假命题；真命题（2）证明：延长BA 至点G ，使AG ＝AB ，连结CG ，又∵F 为BC 的中点，∴12AF CG =∵∠BAC ＋∠DAE ＝∠BAC ＋∠CAG ＝180°，∴∠DAE ＝∠CAG ，∵AB ＝AE ，AB ＝AG ，∴AG ＝AE ，∵AD ＝AC ，∴△ADE ≌△ACG （SAS ），∴DE ＝CG ，∴12AF DE =（3）解：∵∠BAC ＋∠DAE ＝180°，∴∠BAE ＋∠DAC ＝180°，∵∠BAE ＝120°∴∠DAC ＝60°∵AD ＝AC ，∴△ADC 为等边三角形，∵AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝30°，∴BE =，∠ACB ＝∠AEB ＝30°，∴BC 是AD 的垂直平分线∴BD ＝AB ∴1152ABC DBC ABE ∠=∠=∠=︒，∴∠AEC ＝∠ABC ＝15°，∴∠DEC ＝45°，∵∠ACE ＝180°－∠ABE ＝150°，∠ACD ＝60°∴∠DCE ＝90°，∴∠EDC ＝45°＝∠DEC ，∴DC ＝CE ，设AF a =，由（2）知，22DE AF a ==，∴CE DC ==，∵BE =，BE=BD+DE ，BD=AB ，∴)3112BD DE a +===∴162a aBD AF CD --=8．【答案】（1）证明：∵点D 平分 AC ，∴ AD CD=∴12ABD CBD ABC ∠=∠=∠.∵∠ABC ＝2∠ACB ，∴∠ACB ＝∠CBD ．∴ AB CD=，∴AB=CD.（2）解：①∵ AD CD=∴∠ADB ＝∠DBC ，∴AD ∥BC ．又∵DG ∥AB ，∴四边形ABFD 是平行四边形．由（1）得 AB CDAD ==∴AB ＝AD ．∴四边形ABFD 是菱形．∴AB ＝BF ＝DF ＝AD ＝a ．∴CF ＝b －a ．∵DG ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ．∴EF CF AB BC=，∴2ab a EF b-=.②连接CG ．∵∠ABC ＝72°，∴∠ABD ＝∠DBC ＝∠ACB ＝36°，∵DG ∥AB ，∴∠BDG ＝∠ABD ＝36°．∵∠BCG ＝∠BDG ，∠DGC ＝∠DBC ，∴∠BCG ＝∠DGC ，∴FC ＝FG ．∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＝108°．∵在菱形ABFD 中，∠ADG ＝∠ABC ＝72°，∴∠FDC ＝36°，∴∠ACB ＝∠FDC ．又∵∠DFC ＝∠CFE ，∴△CDF ∽△ECF ，∴FC DF EF FC=，∴2FC EF DF =⋅，∴2FG EF DF =⋅.9．【答案】（1）证明：∵D 是BC 的中点，点A D O 、、在同一条直线上，∴OD BC ⊥，∴ AB AC =，∴AB AC =，∵E D 、分别为AC BC 、的中点，∴DE 是ABC 的中位线，∴12DE AB =，∴12DE AC =.（2）证明：①∵E D 、分别为AC BC 、的中点，∴22AB DE AC AE ==，，∵2AB AC AG +=，∴222DE AE AG +=，∴DE AE AG +=，∵AE EG AG +=，∴DE EG =，∴DEG 是等腰三角形.②延长HO 交O 于点N ，连接OB OC BN CN ，，，，∵DE EG =，∴EDG EGD ∠=∠，∴2AED EDG EGD EGD ∠=∠+∠=∠，∴12EGD AED ∠=∠，∵DE AB ，∴180BAC AED ∠+∠=︒，∵180BAC BNC ∠+∠=︒，∴AED BNC ∠=∠，∵HO BC ⊥，∴2BOC COH ∠=∠，∵2BOC BNC ∠=∠，∴COH BNC ∠=∠，∵1122CAH COH BNC ∠=∠=∠，∴CAH EGD ∠=∠，∴AH FG .10．【答案】（1）解：如图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）解：如图，设C 点为原点，则A （-3，-2），B （-1，-4），A 点绕C 点顺时针旋转90°后A 2的坐标为（-2，3），B 点绕C 点顺时针旋转90°后B 2的坐标为（-4，1），连接相应顶点，22A B C 即为所求；（3）解：勾股定理可得BC ==，∴B ，∴点B 旋转到点2B 所经过的路径长为90π1717π1802︒⨯=︒．11．【答案】（1）证明：过点O 作OE AC ⊥于点E ，连接OA ，如图，AB AC = ，O 为底边BC 的中点，AO ∴为BAC ∠的平分线，OD AB ⊥ ，OE AC ⊥，OD OE ∴=，OD 为O 的半径，OE ∴为O 的半径，∴直线AC 到圆心O 的距离等于圆的半径，AC ∴是O 的切线（2）解：①∵AB 切O 于点D ，∴90ODB ∠=︒，∵42B ∠=︒，∴48BOD ∠=︒，∵4OD =，∴劣弧DM 的长为4841618015ππ⨯⨯=；②过点O 作OF DM ⊥于点F ，如图，OF DM ⊥ ，122DF MF DM ∴===，OD OM = ，OF DM ⊥，OF ∴为DOM ∠的平分线，1242DOF BOD ∴∠=∠=︒.在Rt ODF 中，sin DF DOF OD ∠=，2sin 24OD ∴︒=，225sin 240.4OD ∴=≈=︒.12．【答案】（1）证明：如图，连接OA ，CD 为O 的直径，90CAD ∴∠=︒，90CAO OAD ∴∠+∠=︒，OA OC = ，CAO ACD ∴∠=∠，DAE ACD ∠=∠ ，DAE CAO ∴∠=∠，90DAE OAD ∴∠+∠=︒，90OAE ∴∠=︒，OA 是O 的半径，AE ∴是O 的切线；（2）解：如图，过点A 作AF BC ⊥于点F ，60B ∠=︒ ，30BAF ∴∠=︒，75BAC ∠=︒ ，45FAC ∴∠=︒，AFC ∴ 是等腰直角三角形，CD 为O 的直径，90CAD ∴∠=︒，2AD DE == ，60ADC ∠=︒，AC ∴=，在Rt AFC 中，AF CF ==，3BF AF ∴==2AB BF ∴==，BC BF CF =+=．13．【答案】（1）解：PA 与O 相切，理由：连接CD ，AD 为O 的直径，90ACD ∴∠=︒，90D CAD ∴∠+∠=︒，B D ∠=∠ ，PAC B ∠=∠，PAC D ∴∠=∠，90PAC CAD ∴∠+∠=︒，即DA PA ⊥，点A 在圆上，PA ∴与O 相切．（2）证明：如图2，连接BG ，AD 为O 的直径，CG AD ⊥，∴ AC AG =，AGF ABG ∴∠=∠，GAF BAG ∠=∠ ，AGF ∴ ∽ABG ，AG ∴：AB AF =：AG ，2AG AF AB ∴=⋅；（3）解：如图3，连接BD ，AD 是直径，90ABD ∴∠=︒，2AG AF AB =⋅ ，AG AC ==AB =2AG AF AB∴==CG AD ⊥ ，90AEF ABD ∴∠=∠=︒，EAF BAD ∠=∠ ，AEF ∴ ∽ABD ，AE AF AB AD ∴=，510=，解得：2AE =，1EF ∴=，4EG == ，413FG EG EF ∴=-=-=，236AE FG ∴⋅=⨯=．14．【答案】（1）解：直线BD 与O 相切，理由：如图，连接BE ，∵60ACB ∠=︒，∴60AEB C ∠=∠=︒，连接OB ，∵OB OC =，∴OBE 是等边三角形，∴60BOD ∠=︒，∵30ADB ∠=︒，∴180603090OBD ∠=︒-︒-︒=︒，∴OB BD ⊥，∵OB 是O 的半径，∴直线BD 与O 相切；（2）解：如（1）中图，∵AE 是O 的直径，∴90ABE ∠=︒，∵AB =∴433602AB sin AEB sin AE AE ∠=︒===，∴8AE =，∴4OB =，∵OB BD ⊥，30ADB ∠=︒∴3303OB tan ADB tan BD ∠=︒==，∴3BD =，∴图中阴影部分的面积2160π48π423603OBD BOES S ⨯=-=⨯⨯= 扇形.15．【答案】（1）证明：连接OM 、BM∵点M 是弧CD 中点，∴DBM OBM∠=∠∵OB OM=∴OMB BMO∠=∠∴DBM BMO∠=∠∴BE OM（2）解：连接CD 交OM 于点N 、连接OD∵BC 是直径，∴CD BD ⊥，∵ABC ∆是等腰直角三角形，∴45B ∠=︒，∴BDC ∆也是等腰直角三角形，∴BD CD =，OD CD ⊥.∵OM EF ⊥，EF BE ⊥，CD BD ⊥，∴四边形MNDE 是矩形，∴DN EM =，∵ME =DN =∵OM CD ⊥，∴2CD DN ==∴4BC =∴2OD OB ==，∵OBDBOD S S S ∆=-阴影扇形∴90π4122π23602S ⋅=-⨯⨯=-阴影16．【答案】（1）解：直线FG 是D 的切线；证明：连接DF ，如图所示：∵在ABC 中，AB AC =，∴B C ∠=∠.∵DB DF =，∴DBF DFB ∠=∠，∴DFB C ∠=∠，∴DF AC ，∴180DFG AGF ∠+∠=︒，∵FG AC ⊥于点G ，∴90AGF ∠=︒，∴90DFG ∠=︒，∴DF FG ⊥，∵DF 是D 的半径，∴直线FG 是D 的切线.（2）解：连接EF ，如图所示：∵BE 是D 的直径，∴90BFE ∠=︒，∵90FGC ∠=︒，∴BFE FGC ∠=∠，∵B C ∠=∠，∴BFE CGF ∽，∴BF BE CG CF =，∵2BF CG =，∴2BE CF =，设D 的半径为x ，则2BE x =，BD CF x ==，∵DF AC ，∴BF BD CF AD=，∵2AE =，∴2AD x =+，∴2BF x x x =+，∴22x BF x =+，∴222222x x x BC BF FC x x x +=+=+=++.∵3BC =，∴22232x x x +=+，解得：2x =或32x =-（舍去），经检验，2x =是原方程的根，∴D 的半径为2.17．【答案】（1）15°（2）解：①1；②由题意AB 是半圆的直径，106AB BC ==，，∴∠ACB=90°，∴8AC ==，根据题意△DEC 是“准互余三角形”时分两种情况：当∠D+2∠DCE=90°时，∵A ，B ，C ，D 在同一圆上，∴∠D=∠CAB ，∠DCE=∠DBA ，∴∠CAB+2∠ABE=90°，又∠CAB+∠ABC=90°，∴∠CBA=2∠CBD ，即BD 平分∠ABC ，过E 作EF AB ⊥于F （如图（1）），∴EF=CE ，∵∠BCE=∠BFE ，∠CBE=∠FBE ，∴CBE FBE ∆≅∆（AAS ），∴BC=BF ，由勾股定理即知：222AF EF AE +=，∴()()222AB BF CE AC CE -+=-，即()()2221068CE CE -+=-，解得CE=3；当2∠D+∠DCE=90°时（如备用图），∵A ，B ，C ，D 在同一圆上，∴∠D=∠CAB ，∠DCE=∠DBA ，∴2∠CAB+∠ABE=90°，连接AD ，∵∠DAC=∠CBE ，∴ADE BCE ~ ，∴AD AE BC BE =，即86AD CE BE -=，∵2∠CAB+∠ABE=90°，又∠DAB+∠ABE=90°，∴∠DAE=∠CAB ，∴ADE ABC ~ ，∴84105AD AC AE AB ===，又∵ADE BCE ~ ，∴AD AE BC BE =，即AD BC AE BE =，故645BE =，∴152BE =∴由勾股定理得92CE ==；③如图将ABC 沿AB 翻折得到ABM ，∵2CBG CAB ∠=∠，∴CBG CAM ∠=∠，∵∠CAB+∠CBA=90°，∴∠MAB+∠MBA=90°，∴∠CAM+∠CBM=180°，∴∠CBM+∠CBG=180°，∴M 、B ，G 三点共线，∵ABG 是“准互余三角形”，∴2∠CAB+∠G=90°或∠CAB+2∠G=90°，∵∠CAM+∠G=90°，∵∠CAB<∠BAM ，∴290CAB G ∠+∠≠︒，故∠CAB+2∠G=90°，∴∠CAM+∠G=∠CAB+2∠G ，∴∠BAM =∠G ，又∠M =∠M ，∴AMB GMA ∆~∆，∴AM MB MG AM =，即868MG =，解得：323MG =，由勾股定理得：403AG =；18．【答案】（1）解：①证明：连接OB ，OC ，设AB 与BC 交于点P ，∵点A 是 BAC的中点，∴ AB AC=，∴AB ＝AC ，又∵OB ＝OC ，∴AO 是BC 的垂直平分线，∴AO ⊥BC ；②∵AB ＝AC ，AP ⊥BC ，∴BP ＝CP ＝4，∴AP 8=，∵BO 2＝OP 2＋BP 2，∴BO 2＝（8−OB ）2＋16，∴BO ＝5，∴⊙O 的半径为5；（2）解：延长BD 交⊙O 于点H ，连接CH ，CO ，AH ，∵23OD OB =，∴设BO ＝3a ＝OC ＝OH ，OD ＝2a ，∴DH ＝a ，∵∠BAC ＝45°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝90°，∴CD=，CH=，∵BH 是直径，故∠BAH=90°，∵∠BAC ＝∠BHC ＝45°∴∠CAH=90°-∠BAC ＝45°=∠CHD又∵∠ACH ＝∠DCH ，∴△ACH ∽△HCD ，∴AC CH CH CD=，=，∴AC∴AD ＝AC−CD，∴ADCD＝513AD CD ==.19．【答案】（1（2）y 随着α的增大而增大；0＜y ＜2（3）解：60°；当α60=︒时，PB PC PA +=，证明如下：如图所示，延长BP 到D ，使得PD CP =，连接CD，∵四边形ABPC 是圆内接四边形，∴180120BPC BAC ∠=︒-∠=︒，∴18060CPD BPC ∠=︒-∠=︒，∴CPD 是等边三角形，∴60CP CD PD PCD ∠===︒，，∵α60BAC AB AC ∠==︒=，，∴ABC 是等边三角形，∴60AC BC ACB ∠==︒，，∴ACB BCP DCP BCP ∠∠∠∠+=+，即BCD ACP ∠=∠，∴()SAS BCD ACP ≌，∴AP BD =，∵BD BP PD BP CP =+=+，∴AP BP CP =+，∴当α60=︒时，PB PC PA +=.20．【答案】（1）证明：∵AE 是⊙O 的直径，∴90ABE ∠=︒，∴90BAE AEB ∠+∠=︒，∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∴90AFD DAF ∠+∠=︒，∵AE 平分∠BAD ，即BAE ∠=，∴AEB AFD ∠=∠；（2）解：∵AEB AFD ∠=∠，AFD BFE ∠=∠，∴AEB BFE ∠=∠，∴5BE BF ==，∴在Rt ABE 中，AE ==如图，过点B 作BH EF ⊥于点H ，∴1122ABE S AB BE AE BH =⋅=⋅ ，即105BH ⨯=，解得：BH =∴在Rt BHE 中，EH ==，∴EF =，AF AE EF =-=，∵BFH AFD ∠=∠，BHF ADF ∠=∠，∴BHF ADF ∽，∴BF BH AF AD =AD=，解得：6AD =；（3）解：BF =，理由如下：∵G 是AB 的中点，O 是AE 的中点，∴OG BE ，∴OG AB ⊥，∴AD BD =，∵AD BC ⊥，∴ABD 是等腰直角三角形，∴45ABD ∠=︒，过点F 作FP AB ⊥于点P ，∵AF 平分∠BAD ，∴FD FP =，∵45ABD ∠=︒，∴BF ==．。

数学《圆与相似三角形、三角函数综合题》专题训练(含答案)

2020-2021学年中考数学培优训练讲义（七）《圆与相似三角形、三角函数综合题》专题训练班级姓名座号成绩1.如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接PF．若tan∠FBC＝，DF＝，则PF的长为．2.如图AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于F，AF交⊙O于点H，当OB＝2时，则BH的长为．（第1题图）（第2题图）（第3题图）3.如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC、PB，若cos∠PAB＝，BC＝1，则PO的长．4.已知：在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E．（1）如下左图，过点D作弦DF⊥AB垂足为H，连接EF交AB于G，求证：EF∥AC；（2）如下右图，在（1）的条件下，过点G作GN⊥BC垂足为N，若OG＝3，EN＝4，求线段DH的长．5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DG，若AC∥EF时．①求证：KG2＝KD•KE；②若cos C＝，AK＝，求BF的长．作业思考：1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G．（1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE；（2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG＝，求线段AH长．参考答案：1．如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接EF．（1）求证：PF平分∠BFD．（2）若tan∠FBC＝，DF＝，求EF的长．【分析】（1）根据切线的性质得到OE⊥AD，由四边形ABCD的正方形，得到CD⊥AD，推出OE∥CD，根据平行线的性质得到∠EFD＝∠OEF，由等腰三角形的性质得到∠OEF＝∠OFE，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）连接PF，由BF是⊙O的直径，得到∠BPF＝90°，推出四边形BCFP是矩形，根据tan∠FBC ＝，设CF＝3x，BC＝4x，于是得到3x+＝4x，x＝，求得AD＝BC＝4，推出DF∥OE ∥AB于是得到DE：AE＝OF：OB＝1：1即可得到结论．【解答】解：（1）连接OE，BF，PF，∵∠C＝90°，∴BF是⊙O的直径，∵⊙O与AD相切于点E，∴OE⊥AD，∵四边形ABCD的正方形，∴CD⊥AD，∴OE∥CD，∴∠EFD＝∠OEF，∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∴∠OFE＝∠EFD，∴EF平分∠BFD；（2）连接PF，∵BF是⊙O的直径，∴∠BPF＝90°，∴四边形BCFP是矩形，∴PF＝BC，∵tan∠FBC＝，设CF＝3x，BC＝4x，∴3x+＝4x，x＝，∴AD＝BC＝4，∵点E是切点，∴OE⊥AD∴DF∥OE∥AB∴DE：AE＝OF：OB＝1：1∴DE＝AD＝2，∴EF＝＝10．【点评】本题考查了切线的性质，正方形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，切割线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．2.如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．【分析】（1）先判断出∠AOC＝90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．【解答】证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；解：（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF＝3是解本题的关键．3．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：E为△PAB的内心；（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．【分析】（1）连接OB，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，证明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根据切线的判定定理证明；（2）连接AE，根据切线的性质定理得到∠PAE+∠OAE＝90°，证明EA平分∠PAD，根据三角形的内心的概念证明即可；（3）根据余弦的定义求出OA，证明△PAO∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：连接OB，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB⊥PO，∴PO∥BC∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠POB，在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SAS），∴∠OBP＝∠OAP，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∴PB是⊙O的切线；（2）证明：连接AE，∵PA为⊙O的切线，∴∠PAE+∠OAE＝90°，∵AD⊥ED，∴∠EAD+∠AED＝90°，∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED，∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，∵PA、PB为⊙O的切线，∴PD平分∠APB∴E为△PAB的内心；（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，∴∠PAB＝∠C，∴cos∠C＝cos∠PAB＝，在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，∴AC＝，AO＝，∵△PAO∽△ABC，∴，∴PO＝＝＝5．【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4.已知：在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E．（1）如图1，求证：AD＝CD；（2）如图2，过点D作弦DF⊥AB垂足为H，连接EF交AB于G，求证：EF∥AC；（3）如图3，在（2）的条件下，过点G作GN⊥BC垂足为N，若OG＝3，EN＝4，求线段DH的长．【分析】（1）如图1中，连接BD，利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．（2）如图2中，连接BD，想办法证明∠ADF＝∠DFE即可．（3）连接AE．设OA＝OB＝r，则AB＝BC＝2r，BG＝3+r，利用平行线分线段成比例定理，构建方程求出r，即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵BA＝BC，∴AD＝CD．（2）证明：如图2中，连接BD．∵AB⊥DF，∴＝，∴∠ADF＝∠ABD，∵∠DFE＝∠ABD，∴∠ADF＝∠DFE，∴EF∥AC．（3）解：如图3中，连接AE．设OA＝OB＝r，则AB＝BC＝2r，BG＝3+r，∵EG∥AC，∴＝，∵BC＝BA，∴BE＝BG＝3+r，∴BN＝3+r﹣4＝r﹣1，∵AB是直径，GN⊥BC∴∠AEB＝∠GNB＝90°，∴GN∥AE，∴＝，∴＝，解得r＝9或﹣1（舍弃），∴BG＝12，BN＝8，∴NG＝＝＝4，∴EG＝＝＝2，∵GN∥AE，∴＝，∴＝，∴AE＝6，∵∠C＝∠DAH，∠AEC＝∠AHD＝90°，∴△AEC∽△DHA，∴＝＝2，∴DH＝3．【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质等知识，教育的关键是学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DG，若AC∥EF时．①求证：△KGD∽△KEG；②若cos C＝，AK＝，求BF的长．【分析】（1）连接OG，由EG＝EK知∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，结合OA＝OG知∠OGA＝∠OAG，根据CD⊥AB得∠AKH+∠OAG＝90°，从而得出∠KGE+∠OGA＝90°，据此即可得证；（2）①由AC∥EF知∠E＝∠C＝∠AGD，结合∠DKG＝∠CKE即可证得△KGD∽△KGE；②连接OG，由设CH＝4k，AC＝5k，可得AH＝3k，CK＝AC＝5k，HK＝CK﹣CH＝k．利用AH2+HK2＝AK2得k＝1，即可知CH＝4，AC＝5，AH＝3，再设⊙O半径为R，由OH2+CH2＝OC2可求得，根据知，从而得出答案．【解答】解：（1）如图，连接OG．∵EG＝EK，∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，又OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG＝90°，∴∠KGE+∠OGA＝90°，∴EF是⊙O的切线．（2）①∵AC∥EF，∴∠E＝∠C，又∠C＝∠AGD，∴∠E＝∠AGD，又∠DKG＝∠GKE，∴△KGD∽△KEG；②连接OG，∵，AK＝，设，∴CH＝4k，AC＝5k，则AH＝3k∵KE＝GE，AC∥EF，∴CK＝AC＝5k，∴HK＝CK﹣CH＝k．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2＝AK2，即，解得k＝1，∴CH＝4，AC＝5，则AH＝3，设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC＝R，OH＝R﹣3k，CH＝4k，由勾股定理得：OH2+CH2＝OC2，即（R﹣3）2+42＝R2，∴，在Rt△OGF中，，∴，∴．【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、平行线的性质，圆周角定理、相似三角形的判定与性质及切线的判定等知识点．作业思考：1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G．（1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE；（2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG＝，求线段AH长．【分析】（1）由垂直的定义，角平分线的定义，角的和差证明EF＝EI，同角的余角相等得∠AEF＝∠GEI，四边形的内角和，邻补角的性质得∠FAE＝∠IGE，最后根据角角边证明△AEF≌△GEI，其性质得AE＝GE；（2）由圆周角定理，等角的三角函数值相等求出⊙O的半径为，根据平行线的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，三角形相似的判定与性质，一元二次方程求出t的值为，最后求线段AH的长为．【解答】证明：（1）过点E作EI⊥EF交CF于点I，如图①所示：∵CF⊥AB，∴∠AFG＝90°，又∵EF平分∠AFG，∴∠EFA＝∠EFI＝45°，又∵EF⊥EI，∴∠FEI＝90°，又∵∠EFI+∠EIF＝90°，∴∠EIF＝45°，∴EF＝EI，又∵∠EAF+∠AFG+∠FGE+∠GEA＝360°，∠AFG＝∠AEG＝90°，∴∠EGF+∠FAE＝180°，又∵∠EGF+∠EGI＝180°，∴∠EGI＝∠FAE，又∵∠AEB＝∠AEF+∠FEG，∠FEI＝∠GEI+∠FEG，∴∠AEF＝∠GEI，在△AEF和△GEI中，，∴△AEF≌△GEI（AAS），∴AE＝GE；（2）连接DO并延长，交⊙O于点P，连接AP，如图②甲所示：∵∠ABD与∠P是⊙O上弧AD所对的圆周角，∴∠ABD＝∠P，又∵DP为⊙O的直径，∴∠PAD＝90°，又∵tan∠FBG＝，∴tan∠P＝＝，又∵AD＝3，∴AP＝4，PD＝5，∴OD＝，过点H作HJ⊥AC于点J，过点O作OK⊥AC于点K，设AJ＝3t，CF＝x，如图②乙所示，∵HJ⊥AC，BD⊥AC，∴HJ∥BD，∴∠ABD＝∠AHJ，又∵tan∠ABD＝∴tan∠AHJ＝，又∵AJ＝3t，∴HJ＝4t，在Rt△AHJ中，由勾股定理得：AH＝＝＝5t，又∵CH是∠ACF的平分线，且HF⊥CF，HJ⊥AC，∴HF＝HJ＝4t，∴AF＝AH+HF＝9t，又∵CF＝x，∴CJ＝x，又∵∠BFG＝∠GEC，∠FGB＝∠EGC，∴△FBG∽△ECG，∴∠FBG＝∠ECG，∴tan∠FCJ＝＝＝，解得：x＝12t，∴CF＝CJ＝12t，∴AC＝15t，∴CK＝t，又∵OK∥HJ，∴＝，∴OK＝＝＝t，∴在Rt△OCK中，由勾股定理得：OK2+KC2＝OC2，即（t）2+（t）2＝（）2，解得：t＝，或t＝﹣（舍去），∴AH＝5t＝．【点评】本题综合考查了垂线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，一元二次方程等相关知识，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是辅助线构建全等三角形，圆周角和相似三角形．。

中考数学模拟题汇总《三角形的内切圆与内心》专项练习及答案

中考数学模拟题汇总《三角形的内切圆与内心》专项练习及答案一、单选题1．下列四个命题：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②对角线相等的平行四边形是菱形；⑨一组邻边相等的矩形是正方形；④三角形三条角平分线的交点是三角形的外心．其中真命题共有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．内心和外心重合的三角形是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形3．如图，在ABC 中， 906,8,ACB AC BC O ∠===，是 ABC 的内切圆，连结 AO ，BO ，则图中阴影部分的面积之和为（）A ．3102π-B ．5142π-C ．12D ．144．如图，ABC 的内切圆O 与AB BC CA ，，分别相切于点D ，E ，F ，若50DEF ∠=︒，则A ∠的度数是（）A ．50︒B ．100︒C ．90︒D ．80︒5．在△ABC 中，点I 是内心，△BIC=114°，则△A 的度数为（）A ．57°B ．66°C ．48°D ．78°6．如图，△O 内切于△ABC ，切点分别为D ，E ，F ，连接OE ，OF ，DE ，DF ，乙组△A=80°，则△EDF等于（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．80°7．在△ABC 中，已知△C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是（）A ．32B ．1C ．2D ．238．设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确．．．的是（）A ．h R r =+B ．2R r =C ．3r =D ．3R =9．将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转30°，得正方形AB 1C 1D 1，B 1C 1交CD 于点E ，3则四边形AB 1ED 的内切圆半径为（） A 31+B 33- C 31+D 33- 10．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（）A ．3B ．32C 3D ．23二、填空题11．如图，在ABC 中，点O 是 ABC 的内心， 48A ∠=︒ ， BOC ∠= ︒ ．12．如图，在扇形CAB 中，CD△AB ，垂足为D ，△E 是△ACD 的内切圆，连接AE ，BE ，则△AEB 的度数为 .13．设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R 和r ，则R—r = . 14．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”．其意思是：“如图，现有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少？”答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是步．15．如图，点I 为△ABC 的内心，连AI 交△ABC 的外接圆于点D ，若2AI CD ＝，点E 为弦AC 的中点，连接EI ，IC ，若6IC ＝，5ID ＝，则IE 的长为．三、解答题16．如图，在Rt△ABC 中，△ACB=90°，△O 是Rt△ABC 的内切圆，其半径为1，E ，D 是切点，△BOC=105°.求AE 的长.17．如图，圆O 是ABC 的内切圆，其中75AB BC ==，，8AC =，求其内切圆的半径．18．如图，在△ABC 中，I 是内心，O 是AB 边上一点，△O 经过B 点且与AI 相切于I 点．（1）求证：AB=AC ；（2）若BC=16，△O 的半径是5，求AI 的长．19．如图1，点I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交△ABC 的外接圆△O 于点D ．（1）求证：DB=DC=DI ；（2）若AB 是△O 的直径，OI△AD ，求tan2CAD的值． 20．如图：在三角形ABC 中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径.21．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆△O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使△BDM=△DAC．（△）求证：直线DM是△O的切线；（△）求证：DE2=DF•DA．参考答案1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】C6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】B 10．【答案】C11．【答案】114 12．【答案】135° 13．【答案】1.5 14．【答案】6 15．【答案】416．【答案】解：连结OD，OE，如图所示，则OD=OE=1.∵O是△ABC的内切圆圆心，∴BO，CO分别是△ABC，△ACB的平分线，即△OBD=△OBE= 12△ABC，且△OCD=12△ACB.又∵△ACB=90°，∴△OCD= 12△ACB=45°.∵OD，OE是过切点的半径，∴OD△BC且OE△AB，∴△OCD+△COD=90°，∴△COD=△OCD=45°，∴CD=OD=1.∵△COB=105°，∴△DOB=△COB-△COD=60°.∵△OBD+△BOD=90°，∴△OBD=30°.∵OD=1，∴OB=2，∴DB=3.∵△OBD=△OBE= 12△ABC=30°，∴△ABC=60°，∴△A=30°.∵BC=BD+CD=1+ 3，∴AB=2+23.在Rt△OBE中，∵OE=1，△OBE=30°，∴BE= 3.∴AE=AB-BE=2+ 317．【答案】解：过B 作BD△AC 于D ，切点分别为E 、F 、G ，连结OE ，OF ，OG ，设AD=x ，CD=8-x ，其内切圆的半径为r ，根据勾股定理2222AB AD BC CD -=-，即()2222758x x -=--，解方程得112x =， ∴BD=22221157322AB AD ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭， ∵圆O 是ABC 的内切圆，∴OE△AC ，OF△AB ，OG△BC ，OE=OF=OG=r ， ∴S △ABC=()1111122222AC BD AB OF BC OG AC OE AB BC AC r ⋅=⋅+⋅+⋅=++⋅， ∴()AC BD AB BC AC r ⋅=++⋅，∴5832320AC BDr AB BC AC⨯⋅===++． 18．【答案】解：（1）延长AI 交BC 于D ，连结OI ，作BH△AC 于H ，如图，∵I 是△ABC 的内心，∴BI 平分△ABC ，即△OBI=△DBI ， ∵OB=OI ， ∴△OBI=△OIB ，∴△DBI=△OIB，∴OI△BD，∵AI为△O的切线，∴OI△AI，∴BD△AD，∵AI平分△BAC，∴△ABC为等腰三角形，∴AB=AC；（2）∵OI△BC，∴△AOI△△ABD，∴AO OI AI AB BD AD==，∴558 ABAB-=，∴AB=403，∴2232 3AB BD-=，∴AI=OIBD•AD=53220833⨯=．19．【答案】（1）证明：∵点I是△ABC的内心，∴△BAD=△CAD，△ABI=△CBI，∵△CBD=△CAD，∴△BAD=△CBD，∴△BID=△ABI+△BAD，∴△ABI=△CBI，△BAD=△CAD=△CBD，∵△IBD=△CBI+△CBD，∴△BID=△IBD，∴ID=BD ， ∵△BAD=△CAD ， ∴BD CD ∧∧=， ∴CD=BD ， ∴DB=DC=DI ；（2）∵AB 是△O 的直径， ∴BD△AD ，OI△AD ， ∴OI△BD ， ∵OA=OB ， ∴AI=DI ，由（1）知ID=BD ， ∴AD=2BD ，BD=2OI ，设OI=x ，则BD=AI=2x ，AD=4x ， ∴22AD BD +5，如图2，过O 作OE△BD 交△O 于E ，连接AE 交OI 于F ，则OE△AI ， ∴AI IF OE OF=， 5IFX IF x=-， ∴52+， ∵OE△BD ， ∴BE DE ∧∧=， ∴△DAE=12△BAD=12△CAD ， ∴tan△DAE=tan2CAD∠=52xIF AI+=5﹣2．20．【答案】解：如图，作 AD BC ⊥ ，设 BD x = ，则 8CD x =- ，由勾股定理可知： 2222AB BD AC CD -=- ，则 ()2225498x x -=-- ，解得 52x =，则 53AD = ，故 11538103222ABCSBC AD =⋅=⨯⨯=，由三角形的内切圆性质，可得： ()12ABCS r AB BC AC =++ 22033578ABC S r AB BC AC ∴===++++ .21．【答案】解：（△）如图所示，连接OD ，∵点E 是△ABC 的内心， ∴△BAD=△CAD ， ∴BD = CD ， ∴OD△BC ，又∵△BDM=△DAC ，△DAC=△DBC ， ∴△BDM=△DBC ， ∴BC△DM ， ∴OD△DM ，∴直线DM 是△O 的切线；（△）如图所示，连接BE，∵点E是△ABC的内心，∴△BAE=△CAE=△CBD，△ABE=△CBE，∴△BAE+△ABE=△CBD+△CBE，即△BED=△EBD，∴DB=DE，∵△DBF=△DAB，△BDF=△ADB，∴△DBF△△DAB，∴DFDB=DBDA，即DB2=DF•DA，∴DE2=DF•DA．。

中考数学专题复习《圆与三角形的综合(圆的综合问题)》测试卷(附带答案)

中考数学专题复习《圆与三角形的综合（圆的综合问题）》测试卷(附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．如图 O 是ABC 的外接圆 AB 是O 的直径 FH 是O 的切线切点为F FH BC ∥ 连接AF 交BC 于E 连接BF ．(1)证明：AF 平分BAC ∠(2)若ABC ∠的平分线BD 交AF 于点D 4EF = 6DE = 求tan EBF ∠的值．2．如图① OA 是O 的半径点P 是OA 上一动点过P 作弦BD ⊥弦AC 垂足为E连结AB BC CD DA ．(1)求证：BAO CAD ∠=∠．(2)当OA CD ∥时求证：AC BC =．(3)如图① 在（2）的条件下连结OC ．①若ABC 的面积为12 4cos 5ADB求APD △的面积． ①当P 是OA 的中点时求BD AC 的值．3．如图 ABC 内接于O AB ，是①O 的直径过点C 作O 的切线交AB 的延长线于点D BE CD ⊥ EB 的延长线交O 于F CF ，交AB 于点G BCF BCD ∠=∠.(1)求证：BE BG =(2)若1BE = 求O 的半径．4．如图 O 是ABC 的外接圆 AB 是O 的直径 BD 是O 的切线连接AD 交O 于点E 交BC 边于点F 若点C 是AE 的中点．(1)求证：ACF BCA ∽△△(2)若1CF = 2BF = 求DB 的长．5．如图1 锐角ABC 内接于O 点E 是AB 的中点连结EO 并延长交BC 于D 点F 在AC 上连结AD DF BAD CDF ∠=∠．(1)求证：DF AB ．(2)当9AB = 4AF FD ==时①求tan CDF ∠的值①求BC 的长．(3)如图2 延长AD 交O 于点G 若::1:4:3GC CA AB = 求BED DFC S S△△的值．6．如图 AB 为O 的直径弦CD AB ⊥于点E 连接AC BC ．(1)求证：CAB BCD ∠=∠(2)若4AB = 2BC = 求CD 的长．7．如图四边形ABCD 内接于O BC 为O 的直径 O 的切线AP 与CB 的延长线交于点P ．(1)求证：PAB ACB ∠=∠(2)若12AB = 4cos 5ADB求PB 的长．8．在Rt ABC 中 90BCA ∠=︒ CA CB = 点D 是ABC 外一动点（点B 点D 位于AC 两侧）连接CD AD ．(1)如图1 点O 是AB 的中点连接OC OD 当AOD △为等边三角形时 ADC ∠的度数是______(2)如图2 连接BD 当135ADC ∠=︒时探究线段BD CD DA 之间的数量关系并说明理由(3)如图3 O 是ABC 的外接圆点D 在AC 上点E 为AB 上一点连接CE DE 当1AE = 7BE =时直接写出CDE 面积的最大值及此时线段BD 的长．9．如图 AB 为O 的直径 AB AC = BC 交O 于点DAC 交O 于点E 45BAC ∠=︒．(1)求EBC ∠的大小(2)若O 的半径为2 求图中阴影部分的面积．10．如图点C 是弧AB 的中点直线EF 与O 相切于点C 直线AO 与切线EF 相交于点E 与O 相交于另一点D 连接AB CD ．(1)求证：AB EF ∥(2)若3DEF D ∠=∠ 求DAB ∠的度数．11．如图1 BC 是O 的直径点A 在O 上 AD ①BC 垂足为D AE AC = CE 分别交AD AB 于点F G ．(1)求证：FA FG =(2)如图2 若点E 与点A 在直径BC 的两侧 AB CE 的延长线交于点G AD 的延长线交CG 于点F ．①问（1）中的结论还成立吗？如果成立请证明如果不成立请说明理由①若2tan3BAD∠=求cos BCE∠．12．如图1四边形ABCD内接于O连结BD AC交于点G点E是AB上一点连结CE交BD于点F且满足ACD ACF∠=∠．(1)求证：ACE ABD∠=∠(2)若点C是BD的中点①求证：CE CD=②若34CFCD=3tan4BDC∠=时求EFFD的值．(3)如图2当点F是BG的中点时若2AB=3AC=求CG的值．13．如图四边形OABC 中90OAB OCB ∠=∠=︒ BA BC =．以O 为圆心以OA 为半径作O ．(1)求证：BC 是O 的切线(2)连接BO 形延长交O 于点D 延长AO 交O 于点E 与BC 的延长线交于点F ①补全图形①若AD AC = 求证：OF OB =．14．如图在ABC 中 AB AC = AO BC ⊥于点O OE AB ⊥于点E 以点O 为圆心 OE 为半径作圆O 交AO 于点F ．(1)求证：AC 是O 的切线(2)若60AOE =︒∠ 3OE = 在BC 边上是否存在一点P 使PF PE +有最小值如果存在请求出PF PE +的最小值．15．如图1 在O 中 P 是直径AB 上的动点过点P 作弦CD （点C 在点D 的左边）过点C 作弦CE AB ⊥ 垂足为点F 连接BC 已知BE ED =．(1)求证：FP FB =．(2)当点P 在半径OB 上时且OP FB = 求FPFC 的值．(3)连接BD 若55OA OP ==． ①求BD 的长．①如图2 延长PC 至点G 使得CG CP = 连接BG 求BCG 的面积．参考答案：1．（1）解：连接OF 如图所示：FH 是O 的切线OF FH ∴⊥①FH BC ∥OF BC ∴⊥BF CF ∴=BAF CAF ∴∠=∠AF ∴平分BAC ∠（2）解：如图作出ABC ∠的平分线BD 交AF 于点DABD CBD ∠=∠ BAF CAF CBF ∠=∠=∠ 且FBD CBD CBF ∠=∠+∠ BDF ABD BAF ∠=∠+∠FBD BDF ∴∠=∠4610BF DF EF DE ∴==+=+= AB 是O 的直径90AFB ∴∠=42tan 105EF EBF BF ∴∠===．2．（1）解：延长AO 交圆O 与F 连接BF ．①90ABF ∠=︒①BD AC ⊥与E①90AED ABF ∠=∠=︒又AOE AFB ∠=∠①ABF AED ∽①BAF EAD ∠=∠即BAO CAD ∠=∠．（2）连接CF①AF 是O 的直径①90ACF ∠=︒①90AFC FAC ∠+∠=︒①OA CD ∥①FAC ACD ∠=∠①BD AC ⊥与E①90AED ∠=︒①90CDE ACD ∠+∠=︒①AFC CDE ∠=∠又①AFC CBA ∠=∠ CDE CAB ∠=∠①CBA CAB ∠=∠①AC BC =．（3）①①4cos 5ADB①45DE AD = ①45DE AD =①2235AE AD DE AD =- ①ACB ADB①45CE BC = 设4CE a = 则5BC a AC == ①223BE BC CE a -①5BC AC a ==①AE AC EC a =-=①53AD a = 43DE a = ①OP CD ①14OE AE DE CE == ①13PE a = 53PD a = ①211552236APD SPD AE a a a =⋅=⨯⨯= ①11531222ABC S AC BE a a =⋅=⨯⨯= 解得：22415a = ①25524466153APD S a ==⨯=． ①过点O 作OH AC ⊥于H①22AC AH CH ==①PE AC ⊥①PE OH ∥①P 是OA 的中点①E 是AH 的中点设AE k = 则2AH k = 4AC k= 3CE k = 4BC AC k ==①BE①ADB ACB ∠=∠ AED BEC∠=∠①AED BEC ∽ ①AEDEBE CE =①AE CEDE BE ⋅===①BD =①74BD AC k ==故BDAC3．（1）证明：如图连接OC①CD 是①O 的切线①OC CD ⊥①90OCB BCD ∠+∠=︒①OC OB =①OCB OBC ∠=∠①BCF BCD ∠=∠①90BCF OBC ∠+∠=︒①90BGC ∠=︒ 即BG CF ⊥①BCF BCD ∠=∠，BE CF ⊥①BE BG =（2）解：①AB 是O 的直径 CF AB ⊥①BC BF =①BC BF =①BCF F ∠=∠①BE CD ⊥ BCF BCD ∠=∠①30BCF BCD F ∠=∠=∠=︒①60OBC ∠=︒①1BE =①2BC =①60OB OC OBC =∠=︒，①OBC △为等边三角形①2OB BC ==即O 的半径为2.4．（1）解：①AB 是O 的直径①090ACB FCA ∠=∠=①点C 是AE 的中点①AC EC =①CAE CBA ∠=∠①ACF BCA ∽△△（2）ACF BCA ∵∽△△2AC CF CB =⋅∴1CF = 2BF =23AC CF CB =⋅=∴AC ∴090ACB ∠=AB ∴==1sin 2CA ABC AB ∴∠=== 30CAE CBA =︒∠=∠∴903060BAC ∴∠=︒-︒=︒603030BAD ∴∠=︒-︒=︒BD 是O 的切线 90ABD ∴∠=︒tan D B B BA D A ∠==∴2DB ∴=5．（1）证明：①点E 是AB 的中点且DE 过圆心①AB DE ⊥①AD BD =①B BAD ∠=∠有①BAD CDF ∠=∠①B CDF ∠=∠①DF AB ．（2）①DFAB ①CDF CBA △△∽①DF CF BA CA=即：494CF CF=+ 解得：165CF = 又①AF FD =①CAD FDA ∠=∠①DF AB①FDA BAD CDF ∠=∠=∠①CAD CDF ∠=∠又C C ∠=∠①CDF CAD ∽ ①=CD CA CF CD①2161657645525CD CF AC ⎛⎫=⋅=⨯+= ⎪⎝⎭ ①245CD = ①CDF CBA △△∽①DC DF BC BA= 即24459BC = ①545BC = ①5424655BD BC DC =-=-= ①1922AE AB == 在ADE 中222293762DE AD AE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭①3772tan tan 92DE CDF EAD AE ∠=∠=== 综上 17tan CDF ∠ 545BC =．（3）①::1:4:3GC CA AB =①它们所对圆心角度数比为1:4:3．根据同弧所对圆周角为原心角的一半可知它们所对的圆周角度数比为1:4:3 即1::1:4:3B C ∠∠∠=设1∠=α 则4B α∠= 3C α∠=则14ADB C α∠=∠+∠=①AD BD =①4BAD B α∠=∠=①4ADB BAD B α∠=∠=∠=①ADB 为等边三角形①460α=︒①15α=︒①345C α∠==︒过点E 作EM BC ⊥交BC 于M 过点A 作⊥AP BC 交BC 于P 过点F 作FN BC ⊥交BC 于N设2BD m =①=60B ∠︒ 90BED ∠=︒①1cos6022BE BD m m =⋅︒=⨯= sin sin 60EM BE B m m =⋅=⋅︒==①211222BED S EM BD m =⋅=⋅=同理sin 2sin 602AP AB B m m =⋅=⨯︒== ①45C PAC ∠=∠=︒①PC AP == ①12PD BD m ==①)1CD PC PD m =-=①45C NFC ∠=∠=︒设FN CN n ==①DF AB60FDN B ∠=∠=︒ ①3tan 60FN DN ==︒ 又①CD DN NC =+ 即)331m n =+ 解得：()233n m = ①)()211953313322DFC S DC FN m m -=⋅=⨯⨯= ①2253332953BED DFC S m S -+△△． 6．（1）证明：①直径AB CD ⊥①BC BD =．①A BCD ∠=∠（2）解：连接OC①直径AB CD ⊥①CE ED =．①直径4AB =①2CO OB ==①2BC =①OCB 是等边三角形①60COE ∠=︒①30OCE ∠=︒ ①112OE OC == 在Rt COE △中①CE①2CD CE ==7．（1）证明：如图连接OA①AP 为O 的切线①OA AP ⊥①90OAP ∠=︒①90OAB PAB ∠+∠=︒①OA OB =①OAB OBA ∠=∠①90OBA PAB①BC 为O 的直径①90ACB OBA ∠+∠=︒①PAB ACB ∠=∠（2）由（1）知PAB ACB ∠=∠ 且ADB ACB ∠=∠ ①ACB PAB ADB ∠=∠=∠ ①4cos cos cos 5ACB PAB ADB ∠=∠=∠= 在Rt ABC 中 3tan 4AB ACB AC ∠== ①12AB =①16AC =①2220BC AB AC +=①10OB =过B 作BF AP ⊥于F①ADB FAB ∠=∠ 4cos 5ADB①4cos 5FAB ∠=①3sin 5FAB ∠= ①在Rt ABF 中 36sin 5BF AB FAB =⋅∠=①OA AP BF AP ⊥⊥，，①BF OA ∥ ①PBF POA ∽①BF PB OA PO ①3651010PB PB =+①1807PB = 故PB 的长为1807． 8．（1）解：90BCA ∠=︒ BC AC = 点O 是AB 的中点 90COA ︒∴∠= 12CO AB OA == AOD 是等边三角形OD OA ∴= 60ODA DOA ∠=∠=︒OC OD ∴= 906030COD COA DOA ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ()()11180180307522ODC COD ∴∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒ 7560135ADC ODC ODA ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为：135︒（2）解：线段BD CD DA 之间的数量关系为：BD DA =+ 理由如下：过点C 作CH CD ⊥交AD 的延长线于点H 如图2所示：则180********CDH ADC ∠=︒-∠=︒-︒=︒ DCH ∴△是等腰直角三角形CH CD ∴= HD90BCA ∠=︒ACH BCD ∴∠=∠()ACH BCD SAS ∴≌BD AH HD DA AD ∴==+=+ （3）解：连接OC 如图3所示：90BCA ∠=︒ BC AC =ACB ∴是等腰直角三角形45ABC ∴∠=︒ O 是ABC 的外接圆O ∴是AB 的中点OC AB ∴⊥ ()()111174222OC OA AB AE BE ===+=⨯+= 413OE OA AE ∴=-=-=在Rt COE △中由勾股定理得：2222435CE OC OE ++ CE 是定值∴点D 到CE 的距离最大时 CDE 面积的面积最大 AB 是O 的直径过点O 作ON CE ⊥于N 延长ON 与O 的交点恰好是点D 时点D 到CE 的距离最大 CDE 面积的面积最大1122OCE S OC OE CE ON =⋅=⋅431255OC OE ON CE ⋅⨯∴===4OD OC ==128455DN OD ON ∴=-=-=此时在直角CNO 中 222212164()55CN OC ON =-=-=在直角CND △中 222216885()()55CD CN DN +=+=在直角ABD △中 222228BD AB AD AD =-=- 由（2）知 8581022BD CD AD AD AD =+==2228108()AD AD ∴-=+610AD ∴=8108106101410BD AD ∴+=即CDE 面积的面积最大值为4 此时 1410BD ．9．（1）解：①AB 为O 的直径①90AEB ∠=︒又①45BAC ∠=︒①=45ABE ∠︒．又①AB AC =①67.5ABC C ∠=∠=︒①22.5EBC ∠=︒．（2）解：连接OE 如图所示：①45ABE BAE ∠=∠=︒①AE BE =①OA OB =①OE AB ⊥①2OA OB OE ===①OBE OBE S S S =-阴影扇形29021223602π⨯⨯=-⨯⨯2π=-．10．（1）证明：连接OC 如图①直线EF 与O 相切于点C①OC EF ⊥．①点C 是AB 的中点①OC AB ⊥．①AB EF ∥．（2）解：①OC EF ⊥①90OCE ∠=︒．①90DEF EOC ∠+∠=︒．①2EOC D ∠=∠ 3DEF D ∠=∠①590D ∠=︒．①18D ∠=︒．①331854DEF D ∠=∠=⨯︒=︒．①AB EF ∥①54DAB DEF ∠=∠=︒．11．（1）证明：BC 为直径90BAC ∴∠=︒90ACE AGC ∴∠+∠=︒AD BC ⊥90ADB ∴∠=︒90ABD DAB ∴∠+∠=︒①AE AC =ACE ABD ∴∠=∠DAB AGC ∴∠=∠FA FG ∴=（2）解：①（1）中的结论成立理由如下： BC 为直径90BAC ∴∠=︒即：=90GAC ∠︒90ACG AGC ∴∠+∠=︒AD BC ⊥90ADB ∴∠=︒90ABD DAB ∴∠+∠=︒①AE AC =ACG ABD ∴∠=∠DAB AGC ∴∠=∠FA FG ∴=①如图2 过点G 作GM BC ⊥交CB 的延长线于点M90GMB ADB ∴∠=∠=︒又ABD GBM ∠=∠GBM ABD ∴∽ ∴BMMGBD DA = ∴BM BDMG DA =90BAD ABD ∠+∠=︒90BAD DAC ∠+∠=︒ABD DAC ∴∠=∠ACE ABD ∠=∠DAC ACE ∴∠=∠AF CF ∴=又AF GF =CF GF ∴=∴点F 为CG 的中点2tan 3BD BAD AD ∠== ∴23BMBD MG DA ==90ADB ADC ∠=∠=︒ABD CAD ∴∽ ①23BDAD AD CD ==设2BD x = 则3AD x =①233x x x CD= 解得：92CD x =AD BC ⊥ GM BC ⊥AD GM ∴∥①点D 为CM 的中点29CM CD x ∴==92DM CD x ∴== BM DM BD ∴=-52x = ①23BM MG = 32MG BM ∴=154x = CG ∴22MG CM +()221594x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭394x = cos BCE ∴∠CM CG =． 9394xx = 1213=． 12．（1）①ACD ACF ∠=∠ ACD ABD ∠=∠ ①ACE ABD ∠=∠（2）①①点C 是BD 的中点①BAC DAC ∠=∠ BC DC =①BAC DAC DBC ∠=∠=∠①BEC BAC ACE ∠=∠+∠ ABC ABD DBC ∠=∠+∠ ①BEC ABC ∠=∠①CE BC =①CE CD =②延长CE 交O 于点P 连接PB 连接CO 交BD 于点M由①得BAC DAC DBC ∠=∠=∠ BC DC = ①CM BD ⊥ ①12DM BM BD ==①BAC BPC ∠=∠①DBC DPC ∠=∠①BCF PCB ∠=∠①CBF CPB ∽ ①CB CF CP CB = ①34CF CD = 设3CF k = 4DC CE CB k === 则EF k = ①434k k CP k= 则163PC k = ①43PE PC CF EF k =--=①在Rt CMD 中 3tan 4CM BDC DM ∠== 设BDC ∠的对边为3CM m = 则4DM m = ①由勾股定理得5CD m = ①44cos 55DM m BDC CD m ∠=== ①4cos 5DM BDC DC ∠==①165DM k = 由12DM BM BD == ①3225BD DM k ==①BPF CDF ∠=∠ PBF DCF ∠=∠ ①BPF CDF ∽ ①PF BF DF CF= 设DF y = 由4733PF PE EF k k k =+=+= 325BF BD DF k y =-=- ①732353k k y y k-= 解得15y k = 275y k = ①155EF k DF k ==或5775EF k DF k == 综上可知EF DF 的值为15或57（3）过F 作FH AB ∥ 交AC 于点H同理FHG CHF ∽ ①FH HC HG FH= ①点F 是BG 的中点则设AH HG a == ①FH HC HG FH = 即131a a -= 整理得2310a a -+= 解得：135a +=（舍去） 235a -=①325CG a =-13．（1）证明：如图连接BO90OAB OCB ∠=∠=︒ BA BC = BO BO =①()Rt Rt HL ABO CBO ≌①AO CO =CO ∴是O 的半径又①90BCO ∠=︒①BC 是O 的切线（2）①解：依照题意画出图形如图所示①证明：①Rt Rt ABO CBO ≌ ①AOB BOC ∠=∠①AOD COD ∠=∠①AD AC =①AOC AOD ∠=∠①120AOC AOD COD ∠=∠=∠=︒ ①60AOB BOC ∠=∠=︒①90BCO ∠=︒①30OBC ∠=︒①60AOB OBC F ∠=∠+∠=︒①30F OBC ∠=︒=∠①OB OF =．⊥与点D如图14．（1）证明：过点O作OD AC⊥=AO BCAB AC∠∴平分BACAO⊥OE AB⊥OD AC∴=OD OEOE是圆的半径OD∴是圆的半径这样AC经过半径OD的外端且垂直于半径OD∴是O的切线AC（2）解：在BC边上存在一点P使PF PE+有最小值．延长AO交O于点G连接EG交BC于点P连接PF则此时PF PE+最小连接EF过点E作EH AO⊥于点H如图∠=︒OE OFAOE60=∴为等边三角形OEF∴===3EF OE OF⊥EH OF1322OH HF OF ∴=== 39322GH OG OH ∴=+=+= 在Rt EHO 中sin EH AOE OE ∠=EH OE ∴=在Rt EHG △中EG BC FG ⊥ OG OF = PG PF ∴=PE PF PE PG EG ∴+=+==∴在BC 边上存在一点P 使PF PE +有最小值．PF PE +的最小值为 15．（1）①BE ED = ①BCE DCE ∠=①CE AB ⊥①90CFP CFB ∠=∠=︒ 在CPF 和CBF 中 DCE BCE CF CFCFP CFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①()ASA CPF CBF ≌ ①FP FB =．（2）由（1）得 FP FB = ①OP FB =①OP FB FP ==设3OA a =①OP FB FP a === ①2OF OP PF a =+= 连接OE①在Rt OFE △中 ()()225FE OE OF a - ①AB 为O 的直径 CE AB ⊥ ①5CF EF a == ①55FP FC a ==（3）①连接OE 如图①AB 为O 的直径 CE AB ⊥ ①CB BE =①BE ED =①BE ED CB == ①CB BE BE BD +=+ ①CE BD =①CE BD =①55OA OP == ①1OP =①FP FB = 5FP FB OP ++= ①2FP FB ==①3OF =在Rt OFE △中 FE =①4FE =①12CF FE CE == ①8CE = ①8BD = ①①CG CP = FP FB = ①点F 点C 是线段PB GO 的中点 ①CF 为PGB △的中位线 ①12CF GB = 12CF GB ∥ ①4CF = ①8GB = ①CF AB ⊥ ①BG AB ⊥ ①BCG 中BG 边上的高等于BF 的长①BCG 的面积为：1182822BG BF ⨯=⨯⨯=．。

2023年九年级中考数学专题培优训练：三角形的内切圆与圆心【含答案】

2023年九年级中考数学专题培优训练：三角形的内切圆与圆心一、综合题1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．（1）尺规作图：作三角形ABC 的内切圆⊙O ，⊙O 分别与AB 、BC 、CA 相切于点D 、E 、F 保留作图痕迹，不写作法．（2）求⊙O 的半径r ．2．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，过 E ABC AE ABC O D 作直线 .D //DG BC（1）求证：是的切线；DG O （2）求证：；DE CD =（3）若，，求的半径.DE =8BC =O 3．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设，，为三角形b三边，为面积，则 ①S S =这是中国古代数学的瑰宝之一．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设（周长的一半），则 ②2a b cp ++=S =（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①②或者②① ；⇒⇒)（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，的内切圆半径为，三角形三边长为，，仍ABC ∆b 记，为三角形面积，则．2a b c p ++=S S pr =4．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm ，半圆O 的直径DE=12cm.点E 与点C 重合，半圆O 以2cm/s 的速度从左向右移动，在运动过程中，点D 、E 始终在BC 所在的直线上.设运动时间为x(s ），半圆O 与△ABC 的重叠部分的面积为S(cm 2).（1）当x=0时，设点M 是半圆O 上一点，点N 是线段AB 上一点，则MN 的最大值为：MN 的最小值为 .（2）在平移过程中，当点O 与BC 的中点重合时，求半圆O 与△ABC 重叠部分的面积S ；（3）当x 为何值时，半圆O 与△ABC 的边所在的直线相切?5．如图，在△ABC 中，E 是内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D.（1）求证：DB=DC ；（2）若AB=AC ，∠BAC=80°，AD=3.求的长.AB 6．如图1，经过原点的抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为点C ；与双曲线y= 相交于点kx A ，B ；直线AB 与分别与x 轴、y 轴交于点D ，E ．已知点A 的坐标为（﹣1，4），点B 在第四象限内且到x 轴、y 轴的距离相等．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积；（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线AB 随之平移，试判断：在y 轴的负半轴上是否存在点P ，使△PAB 的内切圆的圆心在y 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．在△ABC 中，∠C= ，⊙O 是△ABC 的内切圆，⊙P 分别与CA 的延长线、CB 的延长线以及直线AB 均相切，⊙O 的半径为m ，⊙P 的半径为n.（1）当 =90°时，AC=6，BC=8时，m= ，n= .α（2）当取下列度数时，求△ABC 的面积（用含有m 、n 的代数式表示，并直接写出答案）.①α如图， =90°；②如图， =60°.αα8．如图，以的直角边为直径的交斜边于点，过点作 Rt ABC AB O AC D D O 的切线与交于点，弦与垂直，垂足为．BC E DM AB H（1）求证：为的中点；E BC （2）若的面积为，两个三角形和的外接圆面积之比为，求 O 12πAHD BMH 3 的内切圆面积和四边形的外接圆面积的比．DEC 1S OBED 2S 9．如图①，P 为△ABC 内一点，连接PA 、PB 、PC ，在△PAB 、△PBC 和△PAC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．（1）如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE 丄CD ，垂足为E ．试说明E 是△ABC 的自相似点；（2）在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ．①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．10．有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形.（1）如图1，在等邻边互补四边形ABCD 中，AD=CD ，且AD//BC ， BC=2AD ，求∠B 的度数;（2）如图2，四边形ABCD 内接于圆O ，连结DO 交AC 于点E (不与点O 重合)，若E 是AC 的中点，求证:四边形ABCD 是等邻边互补四边形;（3）在(2) 的条件下，延长DO 交BC 于点F ，交圆0于点G ，若弧BG=弧AB, tan ∠ABC= 247，AC=12,求FG 的长;（4）如图3,四边形ABCD 内接于圆O ，AB=BC, BD 为圆0的直径，连结AO 并延长交BC 于点E ，交圆0于点F,连结FC ，设tan ∠BAF=x ，，求y 与x 之间的函数关系式.EF y AE 11．如图：AB 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于G ，E 是AG 上一点，D 为△BCE 内心，BE 交AD 于F ，且∠DBE=∠BAD ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）求证：DF=DG ；（3）若∠ADG=45°，DF=1，则有两个结论：①AD•BD 的值不变；②AD －BD 的值不变，其中有且只有一个结论正确，请选择正确的结论，证明并求其值．12．如图，在菱形ABCD 中，CE ⊥AB 于点E.（1）若CE=4，AE=2BE ，求菱形ABCD 的周长.（2）连结BD 交CE 于点F.①若DF=BF ＋2EF ，求证：AE=BE.②设四边形AEFD 和的面积分别是和，若，求线段CDF 1S 2S 124AE S S =-=，BF 的长.13．如图，已知是的直径，点D 在的延长线上，为的切线，过D 作 AB O AB CD O，与的延长线相交于E ，， ED AD ⊥AC 1BD =DE =（1）求证：；CD DE =（2）求的半径；O （3）若的平分线与交于点F ，P 为的内心，求的长.ACB ∠O ABC PF 14．如图, 点I 是△ABC 的内心, BI 的延长线与△ABC 的外接圆⊙O 交于点D, 与AC 交于点E, 延长CD, BA 相交于点F, ∠ADF 的平分线交AF 于点G, 连接AI（1）求证: DG 为⊙O 的切线;（2）求证:ID·FG = DF·AG;（3）若DE = 1, BE = 3, 求BI 的长.15．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler ）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC 中，R 和r 分别为外接圆和内切圆的半径，O 和I 分别为其外心和内心，则OI =R -2Rr.22下面是该定理的证明过程（借助了第（2）问的结论）：延长AI 交⊙O 于点D ，过点I 作⊙O 的直径MN ，连接DM ，AN.∵∠D=∠N ，∴∠DMI=∠NAI （同弧所对的圆周角相等），∴△MDI ∽△ANI.∴ ，∴IA×ID=IM×IN ①IM IDIA IN =如图②，在图1（隐去MD ，AN ）的基础上作⊙O 的直径DE ，连接BE ，BD ，BI ，IF∵DE 是⊙O 的直径，∴∠DBE=90°.∵⊙I 与AB 相切于点F ，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA ．∵∠BAD=∠E （同弧所对圆周角相等），∴△AIF ∽△EDB ．∴ ，∴②，IA IFDE BD =IA BD DE IF ⋅=⋅由（2）知：，BD ID =∴IA ID DE IF⋅=⋅又∵ ，=DE IF IM IN ⋅⋅∴2Rr=（R+d ）（R-d ），∴R -d =2Rr22∴d =R -2Rr22任务：（1）观察发现：IM=R+d ，IN= （用含R ，d 的代数式表示）；（2）请判断BD 和ID 的数量关系，并说明理由.（请利用图1证明）（3）应用：若△ABC 的外接圆的半径为6cm ，内切圆的半径为2cm ，则△ABC 的外心与内心之间的距离 cm ．16．如图，是的切线，切点为，是的直径，连接交于 PA O A AC O OP O E ．过点作于点，交于，连接，．A AB PO ⊥D O B BCPB （1）求证：是的切线；PB O （2）求证：为的内心；E PAB ∆（3）若，，求的长．cos PAB ∠=1BC =PO答案解析部分1．（1）解：如图所示，⊙O 即为所求；（2）解：如图，连接OC ，OD ，OF ，设△ABC 内切圆的半径为r ，则＝OE ＝OF ＝r ，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，∴AB ＝10，∴S △ABC ＝ AC•BC ＝ ×6×8＝24，AB+AC+BC ＝24，1212∵S △ABC ＝S △AOB + S △BOC + S △AOC＝ AB·OD+ BC·OE+ AC·OF121212＝ AB·r + BC·r + AC·r121212＝（AB+AC+BC ）r ，12∴r ＝ 2ABCSAB AC BC++ ＝ 22424⨯＝2．2．（1）证明：连接交于，如图， OD BCH ∵点是的内心，E ABC ∴ 平分，即，AD BAC ∠BAD CAD ∠=∠∴ ，BD CD =∴ ， OD BC ⊥BH CH=∵ ，//DG BC ∴ ，OD DG ⊥∴ 是的切线；DG O （2）连接，如图，BD ∵点是的内心，E ABC ∴ ，ABE CBE ∠=∠∵ ，DBC BAD ∠=∠∴ ，DEB BAD ABE DBC CBE DBE ∠=∠+∠=∠+∠=∠ 为等腰三角形BDE ∴ BD DE∴=BAD CADBD DC∠=∠∴= ∴ .DE DC =（3），BD DC = 垂直平分BC∴OD 90BHD BHO ∴∠=∠=︒8142BC BH BC =∴==DE BD == 在中∴Rt BHD2DH ===设半径为，则 r ,2OB r OH r ==- 在中, ∴Rt BHO 222OB OH BH =+()22242r r ∴=+-解得 5r = ⊙O 的半径为：5.∴3．（1）解：由①得：，S ==由②得：，578102p ++==S ==（2）解：公式①和②等价；推导过程如下：，2a b cp ++= ，2p a b c ∴=++①中根号内的式子可化为：2222221()(422a b c a b c ab ab +-+-+-2222221(2)(2)16ab a b c ab a b c =++---+22221[()][()]16a b c c a b =+---1()()()()16a b c a b c c a b c a b =+++-+--+12(22)(22)(22)16p p c p b p a =⨯⨯--- ，()()()p p a p b p c =---=（3）解：连接、、，如图所示：OA OB OC ．111(2222AOB AOC BOC a b cS S S S rc rb ra r pr ∆∆∆++=++=++==4．（1）24cm ；-6）cm（2）解：当点O 与BC 的中点重合时，点O 移动了12cm ，如解图3，设半圆O 与AB 交于点H ，连接OH,CH.∵BC 是半圆O 的直径，∴∠CHB=90°，∵AC=BC,∠ACB=90°, ∴∠HBC=∠HCB=45°,∴HC=HB, ∴OH ⊥BC,OH=OB=OC=6cm,∴S=S 扇形OHC 十S △OHB= π×62+ ×62=(18+9π）cm 21412（3）解：当半圆O 与直线AC 相切时，x=0或x=6，当半圆O 与直线AB 相切，如解图4，则半圆O 在直线AB 左侧且与直线AB 相切，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，由题意得OH=6cm ，∵∠ABC=450,∠OHB=90°,∴cm ，∴）cm，∴综上所述，当x=0或x=6或时，半圆O 所在的圆与△ABC 的边所在的直线相切5．（1）证明：∵E 为△ABC 的内心，∴∠BAD=∠DAC ，∴BD=DC.（2）解：∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC，∴AD 是△ABC 的外接圆的直径，如图，设圆心为O ，连接OB ，∵∠BAC ＝80°，OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ＝∠OAC ＝40°，∴∠AOB ＝100°，∵AD ＝3，∴半径为1.5，∴ 的长为：． AB 100 1.551806ππ⨯=6．（1）解：把点A 的坐标代入双曲线的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．所以双曲线的解析式为y=﹣ ．4x设点B 的坐标为（m ，﹣m ）．∵点B 在双曲线上，∴﹣m 2=﹣4，解得m=2或m=﹣2．∵点B 在第四象限，∴m=2．∴B （2，﹣2）．将点A 、B 、C 的坐标代入得：，44220a b c a b c c -+=⎧⎪++=-⎨⎪=⎩解得：．130a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ．（2）解：如图1，连接AC 、BC．令y=0，则x 2﹣3x=0，∴x=0或x=3，∴C （3，0），∵A （﹣1，4），B （2，﹣2），∴直线AB 的解析式为y=﹣2x+2，∵点D 是直线AB 与x 轴的交点，∴D （1，0），∴S △ABC =S △ADC +S △BDC = ×2×4+ ×2×2=6；1212（3）解：存在，理由：如图2，由原抛物线的解析式为y=x 2﹣3x=（x﹣ ）322﹣ ，∴原抛物线的顶点坐标为（，﹣ ），∴抛物线向左平移个单位，再向上平移9432943294个单位，而平移前A （﹣1，4），B （2，﹣2），∴平移后点A （﹣ ，），B （，），∴522541214点A 关于y 轴的对称点A'（，），连接A'B 并延长交y 轴于点P ，连接AP ，由对称性知，52254∠APE=∠BPE ，∴△APB 的内切圆的圆心在y 轴上，∵B （，），A'（，），∴直线A'B 的解析式为y=3x﹣ ，∴P （0，﹣ ）．12145225454547．（1）2；12（2）解：①如图，由（1）可知，，，即，2ABC ABC S m C =2AC BC AB n ++=2ABC C n = 由这两个式子可得；ABC S mn= ②如图，设点D 、E 、F 分别是3个切点，连接PD 、PE 、PF 、CP ，由切线长定理得，2222ABCCCD CE AD AC BE BC AC BC AB CD CE ++++++===== ∵ ，，PD CD ⊥PE BC ⊥∴ 平分，CP ACB ∠∴ ，30PCE ∠=︒∴，tan 302ABC C n PE CE ==⋅︒===∵ ，2ABCABC Sm C = ∴ .2ABCABC mCS == 8．（1）证明：连接，BD OE 、是直径，则，AB ADB 90ADO ODB ∠︒∠+∠＝＝是切线，DE ，ODE 90EDB BDO ∴∠︒∠+∠＝＝，EDB ADO CAB ∴∠∠∠＝＝，即是圆的切线，ABC 90∠︒ ＝BC ，DBC CAB ∴∠∠＝，则，EDB EBD ∴∠∠＝BDC 90∠︒＝为的中点E ∴BC （2）和的外接圆面积之比为，AHD BMH 3则两个三角形的外接圆的直径分别为，AD BM 、，AD :BM ∴而，ADH MBH∽，DH BH ∴：＝则，DH HM＝，HM BH ∴：＝，BMH 30BAC ∴∠︒∠＝＝是直角三角形的中线，C 60E ∴∠︒＝，，DE CE ∴＝为等边三角形，DEC ∴ 的面积：，O 2112πAB π2＝（）则，AB CAB 30∠︒，BD BC 4AC 8∴1OE AC 42＝＝四边形的外接圆面积，OBED 22S π22π＝（）＝等边三角形边长为，则其内切圆的半径为：，面积为，DEC2π3故的内切圆面积和四边形的外接圆面积的比为： DEC 1S OBED 2S 1129．（1）解：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 上的中线，∴CD= AB ，12∴CD=BD ，∴∠BCE=∠ABC ，∵BE ⊥CD ，∴∠BEC=90°，∴∠BEC=∠ACB ，∴△BCE ∽△ABC ，∴E 是△ABC 的自相似点（2）解：①如图所示，作法：①在∠ABC 内，作∠CBD=∠A ，②在∠ACB 内，作∠BCE=∠ABC ，BD 交CE 于点P ，则P 为△ABC 的自相似点；②∵P 是△ABC 的内心，∴∠PBC= ∠ABC ，∠PCB= ∠ACB ，1212∵△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，∴∠PBC=∠A ，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A ，∠ACB=2∠BCP=4∠A ，∴∠A+2∠A+4∠A=180°，∴∠A= ，1807∴该三角形三个内角度数为：，，．1807 3607 720710．（1）解：如图，作AH ∥DC.∵AD ∥BC ，AH ∥DC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴AH=CD ，AD=HC.∵AB=AD=CD ，BC=2AD ，∴AB=AH=BH ，∴△ABH 为等边三角形，∴∠B=60°.（2）证明：连接CD，如图所示：∵ABCD 为○O 的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°.∵点E 为AC 的中点，∴AE=EC ，∴OD ⊥AC ，∴DA=DC ，∴四边形ABCD 是等邻边互补四边形.（3）解：如图，连接OA ，OC ，AG ，CG ，作FM ⊥GC 于点M ，FN ⊥AG 于点N，∵E 为AC 的中点，AC=12，∴AE=EC=6，∴OD ⊥AC ，，AD DC =∴∠AOE=∠COE ，GA=GC.∵∠AOC=2∠ABC ，∴∠AOE=∠ABC ，∴tan ∠AOE=tan ∠ABC==，AE OE 247∴OE=，,74254=∴CD=2OA=，DE=，25292∴，152AD ==∴GA=10.∵,BG AB =∴∠ACB=∠BCG.∵∠AGF=∠CGF ，∴点F 为△AGC 的内心，∴FM=FN=FE ，设FM=FN=FE=a ，则S △ACG =(AC+AG+GC)·a=·AC·EG ，1212∴a=3，∴EF=3，∴GF=EG-EF=5.（4）解：连接AC ，作AM ⊥BC ，FN ⊥BC，设AC 交BD 于点K.∵BD 是直径，∴∠BAD=∠BCD=90°.∵BA=BC ，BD=BD ，∴△ABD ≌△CBD ，∴∠ABD=∠CBD.∵OA=OB ，∴∠BAF=∠ABD=∠CBD ，令∠BAF=α，则∠BCF=∠ABF=α.∵AB=BC ，∠DBA=∠DBC ，∴BD ⊥AC ，∴∠ACM+∠CAM=90°，∴∠CAM=∠CBD=α.∵AM ∥FN ，∴.sin tan cos EFFMCF CFCFy x AE AM AC AC AC ααα⋅=====⋅⋅ 设OK=m ，AK=m ，OB=OA=r ，则CF=2m ，AC=2n.∵m 2+n 2=r 2，tan ∠ABK=tanα=x=，nm r +∴，n mxr x -=∴，222()n mx m n x -+=∴，212m x n x -=∴.22110222m y x x x x n =⋅=-+>（）11．（1）证明：∵D 为△BCE 内心，∴∠DBC=∠DBE ，∵∠DBE=∠BAD.∴∠DBC=∠BAD ，∵AB 是的直径，O ∴90ADB ∠= ，∴90BAD ABD ∠+∠= ，∴90DBC ABD ∠+∠= ，即 90ABC ∠= ，∴AB ⊥BC ，∴BC 是的切线O （2）证明：如图1，连接DE ，∵∠DBC=∠BAD ，∠DBC=∠DBE ，∴∠DBE=∠BAD ，∴∠ABF+∠BAD=∠ABF+∠DBE ，∴∠BFD=∠ABD ，∵∠DGC=∠ABD ，∴∠BFD=∠DGC ，∴∠DFE=∠DGE ，∵D 为△BCE 内心，∴∠DEG=∠DEB ，在△DEF 和△DEG 中，DFE DGEDEG DEFDE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△DEG(AAS)，∴DF=DG ；（3）解：AD−BD 的值不变；如图2，在AD 上截取DH=BD ，连接BH 、BG，∵AB 是直径，∴90ADB AGB ∠=∠= ，∵45ADG ∠= ，∴45ABG ADG ∠=∠= ，∴AB =，∵90BDH BD DH∠== ，，∴45BHD ∠= ，∴18045135AHB ∠=-= ，∵9045135BDG ADB ADG ∠=∠+∠=+= ，∴∠AHB=∠BDG ，∵∠BAD=∠BGD ，∴△ABH ∽△GBD ，∴AH AB DG BG==∵DG=1，∴AH =∵AD−BD=AD−DH=AH ，∴AD BD -=12．（1）解：∵AE=2BE ，∴AB=3BE.∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=AD=3BE.在Rt 中，，BCE 222BE CE BC +=∴ ，解得 (负值舍去)，2224(3)BE BE +=BE =∴3AB BC CD AD BE =====所以菱形ABCD 的周长是 4=（2）解：①证明：如图，连结AF ，连结AC 交BD 于点О，∵四边形ABCD 是菱形，∴BD 平分∠ABD ，AC ⊥BD ，BO=DO ，∴DF-DO+OF=BF ＋OF+OF=BF ＋2OF.∵DF=BF ＋2EF∴OF=EF.∵CE ⊥AB ，AC ⊥BD∴AF 平分∠BAC ，∴CF 平分∠BCA∴∠BCE=∠ACE.∵CE=CE ，∠CEB=∠CEA=90°∴()CBE CAE ASA ≅ ∴AE BE=②∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BD 平分∠ADC ，AD=CD ，∴∠ADF=∠CDF.∵DF=DF ，∴()ADF CDF SAS ≅ ∴ADF CDFAF CF S S == ，∵四边形AEFD 和的面积分别是和，CDF 1S 2S，12S S -=∴121.2ADF AEF CDF AEF S S S S S S AE EF -=+-===⋅∵4AE =∴EF =∴CF AF ===∴CE EF CF =+=设，则，BE a =4BC AB AE BE a ==+=+在Rt 中，，BCE 222BE CE BC +=即，222(4)a a +=+解得，即，2a =2BE =在Rt △BEF 中 BE ==13．（1）证明：如图，连接， OC，OA OC = ，OAC OCA ∴∠=∠ 是的切线，CD O ，即，OC CD ∴⊥90OCD ∠=︒ ，90OCA DCE ∴∠+∠=︒ ，ED AD ⊥ ，90OAC E ∴∠+∠=︒ ，DCE E ∴∠=∠ ；CD DE ∴=（2）解：设的半径为，则，O r OB OC r == ，1BD =，1OD OB BD r ∴=+=+由（1）已证：，CD DE =，CD ∴=在中，，即，Rt COD 222OC CDOD +=222(1)r r +=+解得，2r =即的半径为2；O （3）解：如图，连接，AF BF PB ，，是的直径，AB O ，90ACB AFB ∴∠=∠=︒ 平分，CF ACB ∠ ，14452ACF ACB ∴∠=∠=∠=︒由圆周角定理得：，1454ACF ∠=∠=︒=∠ 是等腰直角三角形，，Rt ABF ∴ AF BF =，AB ∴==由（2）已得：，24AB OB == ，解得4=BF = 为的内心，P ABC ，23∴∠=∠ ，3421FPBFBP ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠PF BF ∴==14．（1）证明：如图，连接OD ，∵点I 为△ABC 的内心，∴∠ABD=∠CBD，∴ AD CD=∴∠CDO=∠ADO又DG平分△ADF，∴∠ADG=∠FDG∵∠CDO+∠ADO+∠ADG+∠FDG=180°，∴∠ODA+∠ADG=∠ODG=90°，∴DG为⊙O的切线--（2）证明：∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠FDA=180°，∴∠FDA=∠ABC，∵DG，BD分别为∠ADF，∠ABC的平分线，∴∠FDG=∠ABD∵∠ABD=∠ACD，∴∠FDG=∠ACD，∴DG∥AC，∴CD AG DF CF=由(1)知CD=AD，∴AD AG DF CF=∵点I是△ABC的内心，∴∠BAI=∠EAI，∵∠DIA=∠DBA+∠IAB=∠DAC+∠IAC，∠DBA=∠DAC，∴∠DIA=∠DAI∴DA=DI∴DI AG DF GF=∴ID·FG=DF·AG（3）解：∵∠DAC=∠CBD=∠ABD，∴△DAE ∽△DBA ∴AD DEDB DA=即AD 2=DE·DB=1×(3+1)=4∴AD=2∴DI=2∴BI=BD-DI=(3+1)-2=215．（1）R d-（2）解： BD ID=∵点I 是△ABC 的内心∴,BAD CAD CBI ABI∠=∠∠=∠∵,,DBC CAD BID BAD ABI DBI DBC CBI ∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠∴BID DBI∠=∠∴BD ID=（3）16．（1）证明：连结，OB ∵ 为的直径，AC O ∴ ，90ABC ∠= ∵ ，AB PO ⊥∴ ，PO BC ∴ ，，AOP C ∠=∠POB OBC ∠=∠ ，OB OC =∴ ，OBC C ∠=∠∴ ，AOP POB ∠=∠在和中，AOP ∆BOP ∆ ，OA OBAOP POBPO PO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ ，()AOP BOP SAS ∆≅∆∴ ，OBP OAP ∠=∠∵ 为的切线，PA O ∴ ，90OAP ∠= ∴ ，90OBP ∠= ∴ 是的切线PB O （2）证明：连结，AE ∵ 为的切线，PA O ∴ ，90PAE OAE ∠+∠= ∵ ，AD ED ⊥∴ ，90EAD AED ∠+∠= ∵ ，OE OA =∴ ，OAE AED ∠=∠∴ ，即平分，PAE DAE ∠=∠EA PAD ∠∵ 、为的切线，PA PD O ∴ 平分，PD APB ∠∴ 为的内心E PAB ∆（3）解：∵ ，，90PAB BAC ∠+∠= 90C BAC ∠+∠= ∴ ，PAB C ∠=∠∴，cos cos C PAB ∠=∠=在中，，Rt ABC ∆1cos BC C AC AC ∠===∴ ，，AC =AO =∵ ，PAO ABC ∆~∆∴ ，POAOAC BC =∴5AO PO AC BC =⋅==31 / 31。

备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_圆_三角形的外接圆与外心,综合题专训及答案

备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_圆_三角形的外接圆与外心，综合题专训及答案备考2021中考数学复习专题：图形的性质_圆_三角形的外接圆与外心，综合题专训1、(2017北京.中考真卷) 图1是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程已知：Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圆．作法：如图2．（1）①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线PQ，交AB于点O；（2）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是．2、(2016内蒙古自治区.中考真卷) 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB 于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；（3）若CD=1，EH=3，求BF及AF长．3、(2016上海.中考真卷) 已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．（1）求证：AD=CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．4、(2017无锡.中考真卷) 如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：（1）作△ABC的外心O；（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．5、(2016宿迁.中考真卷) 如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数．6、(2017山西.中考模拟) 阅读与思考婆罗摩笈多（Brahmagupta），是一位印度数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数概念及加减法运算仅晚于中国《九章算术》，而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及部分证明过程如下：已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于点P，PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，求证：CN= DN．证明：在△ABP和△BMP中，∵AC⊥BD，PM⊥AB，∴∠BAP+∠ABP=90°，∠BPM+∠MBP=90°．∴∠BAP=∠BPM．∵∠DPN=∠BPM，∠BAP=∠BDC．∴…（1）请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成剩余的证明部分．（2）已知：如图2，△ABC 内接于⊙O ，∠B=30°，∠ACB=45°，AB=2，点D 在⊙O 上，∠BCD=60°，连接AD ，与B C 交于点P ，作PM ⊥AB 于点M ，延长MP 交CD 于点N ，则PN 的长为．7、(2017南京.中考模拟) 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是BC 边上的中线，过点D 作BA 的平行线交AC 于点O ，过点A 作BC 的平行线交DO 的延长线于点E ，连接CE ．（1）求证：四边形ADCE 是菱形；（2）作出△ABC 外接圆，不写作法，请指出圆心与半径；（3）若AO ：BD= ：2，求证：点E 在△ABC 的外接圆上．8、(2012杭州.中考真卷)如图，是数轴的一部分，其单位长度为a ，已知△ABC 中，AB=3a ，BC=4a ，AC=5a ．（1）用直尺和圆规作出△ABC （要求：使点A ，C 在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法）；（2）记△ABC 的外接圆的面积为S ，△ABC 的面积为S ，试说明＞π．9、(2020阿荣旗.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 内接于⊙P ，AB 是⊙P 的直径，A （﹣1，0）C （3，2），BC 的延长线交y 轴于点D ，点F 是y 轴上的一动点，连接FC 并延长交x 轴于点E ．（1）求⊙P 的半径；（2）当∠A=∠DCF 时，求证：CE 是⊙P 的切线．10、(2017武汉.中考模拟) 如图1，在△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ABC ：∠ACB ：∠ADB=1：2：3，⊙O 是△ABD 的外接圆．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）当BD 是⊙O 的直径时（如图2），求∠CAD 的度数．11、(2017谷城.中考模拟) 如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB ，FC ．圆△（1）求证：∠FBC=∠FCB；（2）已知FA•FD=12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长．12、(2017.中考模拟) 如图，在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点C，若AC•AB=12，求AC的长．13、(2018长沙.中考真卷) 如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E ，BC=8，AD=3．（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三角形．（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．14、(2017贵港.中考模拟) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，经过点A作AE⊥OC，垂足为点D，AE与BC交于点F，与过点B的直线交于点E，且EB=EF．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若CD=1，cos∠AEB= ，求BE的长．15、(2016泸州.中考真卷) 如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA=48，FG= ，DF=2BF，求AH的值．备考2021中考数学复习专题：图形的性质_圆_三角形的外接圆与外心，综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。

2023年人教版数学中考重难点突破—三角形的内切圆与内心附解析

2023年人教版数学中考重难点突破—三角形的内切圆与内心一、单选题1．内心和外心重合的三角形是()A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，则点O 是△ABC 的（）A ．三条边的垂直平分线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点3．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°.则∠BOC 等于（）A ．125°B ．120°C ．115°D ．100°4．如图，在ABC 中，58C ∠=︒，点O 为ABC ∆的内心，则AOB ∠的度数为（）A ．119︒B ．120︒C ．121︒D ．122︒5．如图，小敏家厨房一墙角处有一自来水管，装修时为了美观，准备用木板从AB 处将水管密封起来，互相垂直的两墙面与水管分别相切于D ，E 两点，经测量AD=10cm ，BE=15cm ，则该自来水管的半径为（）cm ．A ．5B ．10C ．6D ．86．如图，⊙O 是等边△ABC 的内切圆，分别切AB ，BC ，AC 于点E ，F ，D ，P 是 DF上一点，则∠EPF 的度数是（）A ．65°B ．60°C ．58°D ．50°7．如图，ABC 的内切圆О 与AB BC AC ，，分别相切于点D ，E ，F ，连接OE ，OF ，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，则阴影部分的面积为（）A ．122π-B ．142π-C ．4π-D ．114π-8．如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上一动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是（）A B ．2πC ．32D ．529．下列说法：①三点确定一个圆；②垂直于弦的直径平分弦；③三角形的内心到三条边的距离相等；④圆的切线垂直于经过切点的半径．其中正确的个数是（）A ．0B ．2C ．3D ．410．如图，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，以此类推，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S 1，S 2，S 3，…，S 10，则S 1+S 2+S 3+…+S 10=（）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π二、填空题11．在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为．12．如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 与BC 边相切于点D ，连结OB ，OD ．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是．13．如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A 、B 、C 、在直角坐标系中的坐标分别为()3,6，()3,3-，()7,2-，则ABC 内心的坐标为.14．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 为直径，BC =4，点E 是△ABC 的内心，连接AE 并延长交⊙O 于点D ，则DE=．15．如图，扇形AOB ，且OB=4，∠AOB=90°，C 为弧AB 上任意一点，过C 点作CD ⊥OB 于点D ，设△ODC 的内心为E ，连接OE 、CE ，当点C 从点B 运动到点A 时，内心E 所经过的路径长为。

2023年中考数学专题专练--圆与三角形问题的综合(含答案)

2023年中考数学专题专练--圆与三角形问题的综合1．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的△O交BC于点E，过点C作CG△AB交AB于点G，交AE于点F，过点E作EP△AB交AB 于点P，△EAD＝△DEB．（1）求证：BC是△O的切线；（2）求证：CE＝EP；（3）若CG＝12，AC＝15，求四边形CFPE的面积．2．已知：AB是△O的直径，BD是△O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE△AC，垂足为E．（1）求证：DC＝BD；（2）求证：DE为△O的切线．3．如图，AB是△O的直径，C是弧AB的中点，延长AC至D，使CD＝AC，连接DB.E是OB的中点，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交△O于点H，连接BH.（1）求证：BD是△O的切线；（2）△O 的直径为2，求BH 的长.4．如图，在 O 中，半径 OA ⊥ 弦 BC 于点 H ，点 D 在优弧 BC 上.（1）若 50AOB ∠=︒ ，求 ADC ∠ 的度数；（2）8BC = ， 2AH = ，求 O 的半径.5．如图，已知四边形ABCD 内接于圆O ，连结BD ，△BAD=105°，△DBC=75°.（1）求证：BD=CD ；（2）若圆O 的半径为3，求 BC 的长.6．如图，在△ABC 中，△C = 90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，连接OD ，点E 在BC 上， B E=DE ．（1）求证：DE 是△O 的切线；（2）若BC =6，求线段DE 的长；（3）若△B =30°，AB =8，求阴影部分的面积（结果保留 π ）．7．如图在Rt△ABC 中，△C=90°，BD 平分△ABC ，过D 作DE△BD 交AB 于点E ，经过B ，D ，E 三点作△O ．（1）求证：AC与△O相切于D点；（2）若AD=15，AE=9，求△O的半径．8．如图，△I是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．（1）若△B＝50°，△C＝70°，求△DFE的度数．（2）若△DFE＝50°，求△A的度数．（3）连接DE，直接判断△DFE的形状为．9．如图，△O是△ABC的外接圆，BC为△O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE 并延长交△O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为△O的切线．10．如图所示，已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB△CD于点E，连接AC、OC、BC．（1）求证：△ACO＝△BCD；（2）若EB＝2cm，CD＝8cm，求圆O的直径．11．如图，直线PA 与O 相切于点A ，弦AB OP ⊥于点C ，OP 与O 相交于点D ．30APO ∠=︒，4OP =．（1）求弦AB 的长；（2）求阴影部分的周长．12．如图，AB 是△O 的直径，CD 是弦，AB 与CD 相交于点E ，连接AC 、AD ，AC ＝AD ．（1）求证：AB△CD ．（2）若AB ＝12，BE ＝2，求CD 的长．13．如图，ABC 内接于O ，AC 是O 的直径，点D 是O 上一点，连接CD 、AD ，过点B 作BE AD ⊥，交DA 的延长线于点E ，AB 平分CAE ∠.（1）求证：BE 是O 的切线；（2）若30ACB ∠=︒，O 的半径为6，求BE 的长.14．如图，在半径为5的扇形AOB 中，△AOB=90°，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合）OD△BC ，OE△AC ，垂足分别为D 、E ．（1）当BC=6时，求线段OD 的长；（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．15．已知AB 是△O 的直径，BD 为△O 的切线，切点为B ．过△O 上的点C 作CD AB ，交BD 点D ．连接AC ，BC ．（1）如图①，若DC 为△O 的切线，切点为C ．求△BCD 和△DBC 的大小；（2）如图②，当CD 与△O 交于点E 时，连接BE ．若△EBD ＝30°，求△BCD 和△DBC 的大小．16．如图，AB 是△O 的直径，AC 与△O 交于点C ，△BAC 的平分线交△O 于点D ，DE△AC ，垂足为E ．（1）求证：DE 是△O 的切线；（2）若直径AB ＝10，弦AC ＝6，求DE 的长．17．如图,在 Rt ABC ∆ 中, 90C ∠= , 在 AC ，上取一点 D ,以 AD 为直径作 O ,与 AB 相交于点 E ,作线段 BE 的垂直平分线 MN 交 BC 于点 N ,连接 EN .（1）求证: EN 是 O 的切线;（2）若 3,4AC BC == ， O 的半径为 1 .求线段 EN 与线段 AE 的长.18．如图， ,,A B C 是 O 上的三个点， AB AC = ，点D 在 O 上运动（不与点 ,,A B C 重合），连接 DA ， DB ， DC ．（1）如图1，当点D 在 BC 上时，求证： ADB ADC ∠=∠ ；（2）如图2，当点D 在 AB 上时，求证： 180ADB ADC ∠+∠=︒ ；（3）如图2，已知 O 的半径为 254 ， 12BC = ，求 AB 的长． 19．如图，AB 是O 的直径，点P 是O 外一点，PA 切O 于点A ，连接OP ，过点B 作BC OP 交O 于点C ，点E 是AB 的中点，且106AB BC ＝，＝.（1）PC 与O 有怎样的位置关系？为什么？（2）求CE 的长.20．如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的△O 上的四个点，C 是劣弧 BD 的中点，AC与BD交于点E．（1）求证：DC2=CE•AC；（2）若AE=2，EC=1，求证：△AOD是正三角形；（3）在（2）的条件下，过点C作△O的切线，交AB的延长线于点H，求△ACH 的面积．答案解析部分1．【答案】（1）证明：连接OE，∵OE＝OD，∴△OED＝△ADE，∵AD是直径，∴△AED＝90°，∴△EAD+△ADE＝90°，又∵△DEB＝△EAD，∴△DEB+△OED＝90°，∴△BEO＝90°，∴OE△BC，∴BC是△O的切线．（2）证明：∵△BEO＝△ACB＝90°，∴AC△OE，∴△CAE＝△OEA，∵OA＝OE，∴△EAO＝△AEO，∴△CAE＝△EAO，∴AE为△CAB的角平分线，又∵EP△AB，△ACB＝90°，∴CE＝EP；（3）解：连接PF，∵CG＝12，AC＝15，∴AG＝＝＝9，∵△CAE＝△EAP，∴△AEC＝△AFG＝△CFE，∴CF＝CE，∵CE＝EP，∴CF＝PE，∵CG△AB，EP△AB，∴CF△EP，∴四边形CFPE是平行四边形，又∵CE＝PE，∴四边形CFPE是菱形，∴CF＝EP＝CE＝PF，∵△CAE＝△EAP，△EPA＝△ACE＝90°，CE＝EP，∴△ACE△△APE（AAS），∴AP＝AC＝15，∴PG＝AP﹣AG＝15﹣9＝6，∵PF2＝FG2+GP2，∴CF2＝（12﹣CF）2+36，∴CF＝152，∴四边形CFPE的面积＝CF×GP＝152×6＝45．【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质得出直径定理得出△AED＝90°，△DEB＝△EAD，由余角的性质得出△DEB+△OED＝90°，进而得出△BEO＝90°，即可得出结论；（2）由平行线的性质和等腰三角形的性质可证AE为△CAB的角平分线，由角平分线的性质得出CE＝EP；（3）连接PF，先证出四边形CFPE是菱形，可得出CF＝EP＝CE＝PF，由AAS可证△ACE△△APE，可得AP＝AC＝15，由勾股定理求出CF的长，即可求解。

2023年中考数学专题专练--圆与三角形的综合应用

2023年中考数学专题专练--圆与三角形的综合应用一、综合题1．如图，等边△ABC 内接于△O ，P 是AB 上任一点（点P 不与点A 、B 重合），连接AP 、BP ，过点C 作CM△BP 交PA 的延长线于点M ．（1）求△APC 和△BPC 的度数．（2）求证：△ACM△△BCP ．（3）若PA=1，PB=2，求四边形PBCM 的面积2．如图， AB 是O 的直径，弦 CD AB ⊥ 于点E ，G 是 AC 上一点， AG ， DC 的延长线交于点F.（1）求证： FGC AGD ∠=∠ .（2）当 DG 平分 AGC ∠ ， 45ADG ∠=︒ ， 6AF =，求弦 DC 的长.3．如图，△ABD 是O 的内接三角形，E 是弦BD 的中点，点C 是O 外一点且△DBC=△A ，连接OE延长与圆相交于点F ，与BC 相交于点C ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若 O 的半径为6，BC=8，求弦BD 的长．4．如图，四边形 ABCD 内接于△O ， AC 是△O 的直径， E 是 AB 上一点，30AEO DAC ∠=∠=︒ ，连接 BD .（1）求证： OAE CDB ≌ ；（2）连接 DE ，若 DE AB ⊥ ， 2OA = ，求 BC 的长.5．如图，在ABCD 中，E 是AD 上一点，延长CE 到点F ，使得 FBC DCE ∠=∠ .（1）求证： D F ∠=∠ ；（2）请用无刻度直尺与圆规在AD 上求作一点P ，使 BPC D ∠=∠ .（保留作图痕迹，不写作法）6．如图：△ABC 是△O 的内接三角形，△ACB=45°，△AOC=150°，过点C 作△O 的切线交AB 的延长线于点D ．（1）求证：CD=CB；（2）如果△O的半径为2，求AB的长．7．如图，AB是△O的直径，弦EF△AB于点C，点D是AB延长线上一点，△A＝30°，△D＝30°．（1）求证：FD是△O的切线；（2）取BE的中点M，连接MF，若△O的半径为2，求MF的长．8．如图，△ABC内接于△O，△B＝60°，CD是△O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求证：PA是△O的切线；（2）若AB＝4+ 3，BC＝2 3，求△O的半径．OC BD，交AD于点E，9．如图，已知AB是O的直径，,C D是O上的点，//连结BC.（1）求证： AE ED = ；（2）若 10,36AB CBD =∠=︒ ，求扇形 OAC 的面积.10．如图，已知四边形ABCD 内接于圆O ，连结BD ，△BAD=105°，△DBC=75°．（1）求证：BD=CD ；（2）若圆O 的半径为3，求的长．11．如图，ABC 的外角 BAM ∠ 的平分线与它的外接圆相交于点E ，连接 BE ， CE ，过点E 作 //EF BC ，交 CM 于点D求证：（1）BE CE = ；（2）EF 为△O 的切线．12．如图，△O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，弦BD=BA ，BE△DC 交DC 的延长线于点E ．（1）求证：△1=△BAD ；（2）求证：BE 是△O 的切线．13．如图， AB 、 AC 是O 的两条弦，且 AB AC = ，点 D 是弧BC 的中点，连接并延长 BD 、 CD ，分别交 AC 、 AB 的延长线于点 E 、 F .（1）求证： DF DE = ；（2）若 BD 6= ， CE 8= ，求O 的半径.14．如图，AB 为△O 的直径，点C 在△O 上，延长BC 至点D ，使DC=CB ，延长DA 与△O 的另一个交点为E ，连接AC ，CE ．（1）求证：△B=△D ；（2）若AB=4，BC ﹣AC=2，求CE 的长．15．如图，AB 是△O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，弦AF 与弦CD 相交于点G ，且AG CG =，过点C 作BF 的垂线交BF 的延长线于点H ．（1）判断CH 与△O 的位置关系并说明理由；（2）若24FH BF ==，，求弧CD 的长．16．已知如图，以Rt△ABC 的AC 边为直径作△O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF ．（1）求证：EF是△O的切线；（2）若△O的半径为3，△EAC=60°，求AD的长．17．如图，AB为△O的直径，点E在△O上，C为BE的中点，过点C作直线CD△AE于D，连接AC、BC.（1）试判断直线CD与△O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝2，AC 6，求AB的长.18．如图，点O是矩形ABCD中AB边上的一点，以O为圆心，OB为半径作圆，△O交CD边于点E，且恰好过点D，连接BD，过点E作EF△BD.（1）若△BOD＝120°，①求△CEF的度数.②求证：EF是△O的切线.（2）若CF＝2，FB＝3，求OD的长.19．已知△O中，弦AB=AC，点P是△BAC所对弧上一动点，连接PA，PB．（1）如图①，把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，连接PC，求证：△ACP+△ACQ=180°；（2）如图②，若△BAC=60°，试探究PA、PB、PC之间的关系．（3）若△BAC=120°时，（2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明．⊥于点F，连接20．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，DF ABOF，且1AF=．（1）求证：DF是O的切线；（2）求线段OF的长度．答案解析部分1．【答案】（1）∵△ABC 是等边三角形，∴△BAC=△ABC=60°，由同弧所对的圆周角相等可得：△APC=△ABC=60°，△BPC=△BAC=60°。

中考数学专题专练--圆与三角形问题的综合

中考数学专题专练--圆与三角形问题的综合1．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，CA＝CD．（1）连接BC，求证：BC＝OB；（2）E是AB中点，连接CE，BE，若BE＝4，求CE的长．2．如图，半径为6的⊙O与Rt⊙ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，⊙B=90°，连结OD，AD．（1）若⊙ACB=20°，求AD的长（结果保留π）．（2）求证：AD平分⊙BDO．3．如图，已知⊙O的半径为5，⊙ABC是⊙O的内接三角形，AB＝8，.过点B作⊙O的切线BD，过点A作AD⊙BD，垂足为D.（1）求证：⊙BAD+⊙C＝90°（2）求线段AD的长.于点E，连接AC、OC、BC. 4．如图，AB为O的直径，CD是弦，且AB CD（1）求证： ACO BCD ∠=∠ . （2）若 6EB = ， 20CD = ，求O 的直径.5．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 是对角线，⊙CAB ＝90°，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作⊙A ，交BC 边于点E ，交AC 于点F ，连接DE ．（1）求证：DE 与⊙A 相切；（2）若⊙ABC ＝60°，AB ＝6，求阴影部分的面积．6．如图，⊙ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P ，OF⊙BC 交AC 于点E ，交PC 于点F ，连接AF ；（1）判断AF 与⊙O 的位置关系并说明理由．（2）若⊙O 的半径为4，AF=3，求AC 的长．7．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，OC⊙BD ，交AD 于点E ，连结BC ．（1）求证：AE=ED ；（2）若AB=10，⊙CBD=36°，求 AC 的长．8．如图，在 Rt ABC 中， 90C ︒∠= ，点O 在 AC 上，以 OA 为半径的半圆O 交 AB 于点D ，交 AC 于点E ，过点D 作半圆O 的切线 DF ，交 BC 于点F.（1）求证： BF DF = ；（2）若 4AC = ， 3BC = ， 1CF = ，求半圆O 的半径长.9．如图，在 Rt ABC 中， 90ACB ︒∠= ，以斜边 AB 上的中线 CD 为直径作O ，与 BC 交于点M ，与 AB 的另一个交点为E ，过M 作 MN AB ⊥ ，垂足为N.（1）求证： MN 是 O 的切线；（2）若O 的直径为5， 3sin 5B =，求 ED 的长. 10．如图，以四边形ABCD 的对角线BD 为直径作圆，圆心为O ，点A 、C 在O上，过点A 作AE CD ⊥的延长线于点E ，已知DA 平分BDE ∠．（1）求证：AE 是O 切线；（2）若4AE =，6CD =，求O 的半径和AD 的长．11．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB ＝AD ，⊙C ＝120°，点E 在弧AD 上，连接OA 、OD 、OE 、AE 、DE.（1）求⊙AED 的度数；（2）当⊙DOE ＝90°时，AE 恰好为⊙O 的内接正n 边形的一边，求n 的值.12．如图，AD 为⊙ABC 外接圆的直径，AD⊙BC ，垂足为点F ，⊙ABC 的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD ．（1）求证：BD=CD ；（2）请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由．13．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC=BC=DC ．（1）若⊙CBD=39°，求⊙BAD 的度数；（2）求证：⊙1=⊙2．14．如图，在ABC 中， AB AC = ，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点D ，过点D 的直线 EF 交 AC 于点F ，交 AB 的延长线于点E ，且 2BAC BDE ∠=∠ .（1）求证： DF 是⊙O 的切线；（2）当 2,3CF BE == 时，求 AF 的长.15．如图， AC 与⊙O 相切于点C ， AB 经过⊙O 上的点D ，BC 交⊙O 于点E ，DE⊙OA ，CE 是⊙O 的直径．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若BD ＝4，CE ＝6，求AC 的长．16．如图， AB 是圆 O 的直径， AC 是圆 O 的切线， BC 交圆 O 于点D ，点E 是 AC 的中点，连接 OD .（1）求证： OD DE ⊥（2）求证： ,,,O A E D 四点共圆（3）ABC ∆ 满足什么条件时，经过 ,,,O A E D 的圆与 BC 相切？并说明理由.17．如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点O(0，0)，点A(6 ，0)与点B(0，－2 )，点D 在劣弧 OA 上，连结BD 交x 轴于点C ，且⊙COD ＝⊙CBO.（1）求⊙M 的半径；（2）求证：BD 平分⊙ABO ；（3）在线段BD 的延长线上找一点E ，使得直线AE 恰为⊙M 的切线，求此时点E 的坐标.18．如图，已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上，过点C 作CD⊙AB ，分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ，AE 交半圆O 于点F ，连接CF ．（1）判断直线DE 与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）①求证：CF=OC ；②若半圆O 的半径为12，求阴影部分的周长．19．我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A （4，0），B（－4，0），D是y轴上的一个动点，⊙ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列)，BC与经过A，B，D三点的⊙M交于点E，DE平分⊙ADC，连结AE，BD．显然⊙DCE，⊙DEF，⊙DAE是半直角三角形．（1）求证：⊙ABC是半直角三角形；（2）求证：⊙DEC=⊙DEA；（3）若点D的坐标为（0，8），①求AE的长；②记BC与AD的交点为F，求ΔACF与ΔBCA的面积之比．20．已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA=6，求⊙PCD的周长；（2）若⊙P=50°，求⊙DOC．答案解析部分1．【答案】（1）解：如图，连接OC，AE，过点A作AM⊙CE，垂足为M，∵PC是⊙O的切线，∴⊙CAB＝⊙DCB，又∵CA＝CD，∴⊙CAB＝⊙CDB，∴⊙DCB＝⊙CDB，∴BC＝BD，又∵AB是⊙O的直径，∴⊙ACB＝90°，∴⊙CAB+⊙CBA＝90°，∵⊙CBA＝2⊙CDB＝2⊙CAB，∴⊙CBA＝90°× 23＝60°，∵OC＝OB，∴⊙OBC是正三角形，∴BC＝OB；（2）解：连接AE，过点A作AM⊙CE，垂足为M，∵E是AB中点，∴AE＝BE＝4，⊙ACE＝⊙BCE＝12⊙ACB＝12×90°＝45°，在Rt⊙AEM中，AE＝4，⊙AEM＝⊙CBA＝60°，∴EM＝12AE＝2，AM＝3AE＝2 3，在Rt⊙ACM中，AM＝2 3，⊙ACM＝45°，∴CM＝AM＝2 3，∴CE＝EM+CM＝2+2 3，答：CE 的长为2+23 ．2．【答案】（1）解：连结OA ，∵⊙ACB ＝20°， ∴⊙AOD ＝40°， ∴180n rAD π=， 406180π⨯⨯=43π=．（2）证明：∵AB 切⊙O 于点A ， ∴OA⊙AB ， ∵⊙B ＝90°， ∴OA⊙BC ， ∴⊙OAD ＝⊙ADB ， ∵OA=OD ， ∴⊙OAD ＝⊙ODA ， ∴⊙ADB ＝⊙ODA ， ∴AD 平分⊙BDO ．3．【答案】（1）证明：∵BD 为⊙O 的切线，∴⊙C ＝⊙ABD ， ∵AD⊙BD ， ∴⊙ADB ＝90°， ∴⊙BAD+⊙ABD ＝90°， ∴⊙C+⊙BAD ＝90°（2）解：连接OB ，过O 作OE⊙AB 于E ，∴AE ＝BE ＝12AB ＝4，由勾股定理得：OE ＝ 22OB BE -＝ 2254-＝3，∵BD 为⊙O 的切线， ∴OB⊙BD ， ∴⊙OBD ＝90°， ∵⊙ADB ＝90°， ∴AD⊙OB ， ∴⊙DAB ＝⊙ABO ， ∵⊙D ＝⊙OEB ＝90°， ∴⊙OEB⊙⊙BDA ， ∴BE OBAD AB = ， ∴458AD = ， ∴AD ＝325；则线段AD 的长为325. 4．【答案】（1）证明：∵AB CD ⊥ ，∴BC BD = ， ∴BCD BAC ∠=∠ ， ∵OA OC = ， ∴OAC ACO ∠=∠ ， ∴ACO BCD ∠=∠ （2）解：设O 的半径为 r ，∴OC r = ， 6OE OB EB r =-=- ，∵AB CD ⊥ ， ∴11201022CE DE CD ===⨯= ，在 Rt OCE 中， 222OE CE OC += ，即， 222(6)10r r -+= ，解得， 343r = ，所以直径为683. 5．【答案】（1）证明：连接AE ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD⊙BC ， ∴⊙DAE ＝⊙AEB ，∵AE ＝AB ，∴⊙AEB ＝⊙ABC ，∴⊙DAE ＝⊙ABC ， ∴⊙AED⊙⊙BAC （AAS ）， ∴⊙DEA ＝⊙CAB ，∵⊙CAB ＝90°，∴⊙DEA ＝90°，∴DE⊙AE ， ∵AE 是⊙A 的半径，∴DE 与⊙A 相切（2）解：∵⊙ABC ＝60°，AB ＝AE ＝6，∴⊙ABE 是等边三角形，∴AE ＝BE ，⊙EAB ＝60°， ∵⊙CAB ＝90°，∴⊙CAE ＝90°﹣⊙EAB ＝90°﹣60°＝30°， ⊙ACB ＝90°﹣⊙B ＝90°﹣60°＝30°， ∴⊙CAE ＝⊙ACB ，∴AE ＝CE ，∴CE ＝BE ，∴S ⊙ABC 12= AB•AC 16631832=⨯⨯= ， ∴S ⊙ACE 12=S ⊙ABC 1183932=⨯=，∵⊙CAE ＝30°，AE ＝6，∴S 扇形AEF 2230πAE 30π6360360⨯⨯=== 3π ，∴S 阴影＝S ⊙ACE ﹣S 扇形AEF ＝93 3π ．6．【答案】（1）解：证明：连接OC ，如图所示：∵AB 是⊙O 直径， ∴⊙BCA=90°， ∵OF⊙BC ，∴⊙AEO=90°，⊙1=⊙2，⊙B=⊙3， ∴OF⊙AC ， ∵OC=OA ， ∴⊙B=⊙1， ∴⊙3=⊙2，在⊙OAF 和⊙OCF 中，32OA OCOF OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴⊙OAF⊙⊙OCF （SAS ）， ∴⊙OAF=⊙OCF ， ∵PC 是⊙O 的切线， ∴⊙OCF=90°， ∴⊙OAF=90°， ∴FA⊙OA ，∴AF 是⊙O 的切线；（2）解：∵⊙O 的半径为4，AF=3，⊙OAF=90°， ∴OF=22AF OA += 2234+=5∵FA⊙OA ，OF⊙AC ，∴AC=2AE，⊙OAF的面积= 12AF•OA=12OF•AE，∴3×4=5×AE，解得：AE= 125，∴AC=2AE= 245．7．【答案】（1）证明: ∵AB是⊙O的直径，∴⊙ADB=90°，∵OC⊙BD，∴⊙AEO=⊙ADB=90°，即OC⊙AD，∴AE=ED（2）解: ∵OC⊙AD，∴AC CD=，∴⊙ABC=⊙CBD=36°，∴⊙AOC=2⊙ABC=2×36°=72°，∴7252180ACππ⨯==8．【答案】（1）证明：连接OD，∵DF和半圆相切，∴OD⊙DF，∴⊙BDF+⊙ADO=90°，∵⊙ADO=⊙OAD，∴⊙OAD+⊙BDF=90°，又⊙C=90°，∴⊙OAD+⊙B=90°，∴⊙BDF=⊙B，∴BF=DF；（2）解：过F 作FG⊙BD 于G ，则GF 垂直平分BD ， ∵1CF = ， ∴BF=DF=2，∵4AC = ， 3BC = ，⊙C=90°， ∴AB=22345+= ，∴cos⊙B= BC BG AB BF = = 35， ∴325BG = ，解得：BG= 65=DG ， ∴AD=AB-BD=135，过点O 作OH⊙AD 于H ， ∴AH=DH=12 AD= 1310 ， ∵cos⊙BAC= 45AC AH AB AO == ， ∴AO=138，即半圆O 的半径长为138. 9．【答案】（1）证明：连接 OM ，OC OM = ， OCM OMC ∴∠=∠ .在 Rt ABC 中， CD 是斜边 AB 上的中线，12CD AB BD ∴== ， DCB DBC ∴∠=∠ ，OMC DBC ∴∠=∠ ， //OM BD ∴ ，MN BD ⊥ ， MN OM ∴⊥ ，MN ∴ 是 O 的切线.（2）解：连接 ,DM CE ，易知 ,DM BC CE AB ⊥⊥ ，由（1）可知 5BD CD == ，故M 为 BC 的中点，3sin 5B = ，4cos 5B ∴=，在 Rt BMD 中， cos 4BM BD B =⋅= ，28BC BM ∴== .在 Rt CEB 中， 32cos 5BE BC B =⋅=， 327555ED BE BD ∴=-=-= . 10．【答案】（1）证明：如图，连接OA ，∵AE⊙CD ，∴⊙DAE+⊙ADE=90°． ∵DA 平分⊙BDE ， ∴⊙ADE=⊙ADO ，又∵OA=OD ， ∴⊙OAD=⊙ADO ， ∴⊙DAE+⊙OAD=90°， ∴OA⊙AE ， ∴AE 是⊙O 切线；（2）解：如图，取CD 中点F ，连接OF ，∴OF⊙CD于点F．∴四边形AEFO是矩形，∵CD=6，∴DF=FC=3．在Rt⊙OFD中，OF=AE=4，∴2222435OD OF DF=+=+=，在Rt⊙AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，∴22224225AD AE DE=++=∴AD的长是511．【答案】（1）解：如图，连接BD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴⊙BAD+⊙C=180°，∵⊙C=120°，∴⊙BAD=60°，∵AB=AD，∴⊙ABD是等边三角形，∴⊙ABD=60°，∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴⊙AED+⊙ABD=180°，∴⊙AED=120°；（2）解：连接OA，∵⊙ABD=60°，∴⊙AOD=2⊙ABD=120°，∵⊙DOE=90°，∴⊙AOE=⊙AOD﹣⊙DOE=30°，∴360=1230n=.12．【答案】（1）证明：∵AD为直径，AD⊙BC，∴BD CD = ∴BD=CD（2）解：B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上．理由：由（1）知：BD CD = ，∴⊙BAD=⊙CBD ，又∵BE 平分⊙ABC ，∴⊙CBE=⊙ABE ，∵⊙DBE=⊙CBD+⊙CBE ，⊙DEB=⊙BAD+⊙ABE ，⊙CBE=⊙ABE ， ∴⊙DBE=⊙DEB ， ∴DB=DE ．由（1）知：BD=CD ∴DB=DE=DC ．∴B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上13．【答案】（1）解：∵BC=DC ，∴⊙CBD=⊙CDB=39°，∵⊙BAC=⊙CDB=39°，⊙CAD=⊙CBD=39°， ∴⊙BAD=⊙BAC+⊙CAD=39°+39°=78° （2）证明：∵EC=BC ， ∴⊙CEB=⊙CBE ，而⊙CEB=⊙2+⊙BAE ，⊙CBE=⊙1+⊙CBD ， ∴⊙2+⊙BAE=⊙1+⊙CBD ， ∵⊙BAE=⊙BDC=⊙CBD ， ∴⊙1=⊙214．【答案】（1）证明：如图，连接 OD ， AD ，∵AB 是直径， ∴90ADB ∠=︒ .∴AD BC ⊥ . ∵AB AC = ， ∴2BAC BAD ∠=∠ ， ∴2BAC BDE ∠=∠ ， ∴BDE BAD ∠=∠ . ∵OA OD = ， ∴BAD ADO ∠=∠ . ∵90ADO ODB ∠+∠=︒ ， ∴90BDE ODB ∠+∠=︒ . ∴90ODE ∠=︒ ，即 DF OD ⊥ . 又 OD 是 O 的半径， ∴DF 是O 的切线.（2）解：∵,AB AC AD BC =⊥ ， ∴BD CD = . ∵BO AO = ， ∴//OD AC . ∴EOD EAF ∽ ， ∴OD EOAF EA= . 设 OD x = ，∵2CF = ， 3BE = ，∴OA OB x == ， 22AF AC CF x =-=- ， 3EO x =+ ， 23EA x =+ . ∴32223x x x x +=-+ .解得 6x = .经检验 6x = 是所列分式方程的解. ∴2210AF x =-= .15．【答案】（1）解：证明：连接OD ，如图：∵OE=OD ，∴⊙OED=⊙ODE ， ∵DE⊙OA ，∴⊙OED=⊙AOC ，⊙ODE=⊙AOD ， ∴⊙AOC=⊙AOD. 在⊙AOD 和⊙AOC 中，AO AO AOD AOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴⊙AOD⊙⊙AOC ， ∴⊙ADO=⊙ACO. ∵AC 与⊙O 相切于点C ， ∴⊙ADO=⊙ACO=90°，又∵OD 是⊙O 的半径， ∴AB 是⊙O 的切线；（2）解：∵CE=6， ∴OE=OD=OC=3.在Rt⊙ODB 中，BD=4，OD=3， ∴222BD OD BO += ， ∴BO=5， ∴BC=BO+OC=8.∵⊙O 与AB 和AC 都相切， ∴AD=AC.在Rt⊙ACB 中， 222AC BC AB += ，即： 2228(4)AC AC +=+ ，解得：AC=6；16．【答案】（1）证明:如图所示,连接AD,∵AC 是圆 O 的切线，∴⊙BAE=90° ∴⊙BAD+⊙DAE=90°, ∵AB 是圆 O 的直径， ∴⊙ADB=⊙ADC=90°. ∵点 E 是 AC 的中点， ∴AE=DE. ∴⊙DAE=⊙ADE, ∴⊙BAD+⊙ADE =90°. ∵OD=OA, ∴⊙BAD=⊙ODA. ∴⊙ODA+⊙ADE =90°. 即⊙ODE=90°. ∴OD DE ⊥ .（2）解：证明:如图所示,连接OE,取OE 的中点P,连接PA,PD. 由(1)可知⊙OAE=ODE=90°, ∵点P 是OE 的中点, ∴PA=PO=PE=PD, ∴,,,O A E D 四点共圆.（3）解：当 ABC ∆ 是等腰直角三角形时，经过 ,,,O A E D 的圆与 BC 相切. 理由如下:如图所示：设⊙P 为经过 ,,,O A E D 的圆. ∵ABC ∆ 是等腰直角三角形,∴AB=AC,⊙B=⊙C=45°. ∵OB=OD, ∴⊙B=⊙ODB=45°.∵O,E 分别为AB,AC 的中点， ∴OE⊙BC.∴⊙POD=⊙ODB=45°. ∵PO=PD ，∴⊙PDO=⊙POD=45°.∴⊙PDB=⊙PDO+⊙ODB =45°+45°=90°. 即PD⊙BC ， ∴BC 与圆P 相切.即当 ABC ∆ 是等腰直角三角形时，经过 ,,,O A E D 的圆与 BC 相切17．【答案】（1）解：∵点A 为（6 ，0），点B 为（0，－ 2 ） ∴OA= 6OB=2∴根据Rt⊙AOB 的勾股定理可得：AB=22∴M 的半径r=12AB= 2 .（2）证明：根据同弧所对的圆周角相等可得：⊙ABD=⊙COD ∵⊙COD=⊙CBO ∴⊙ABD=⊙CBO ∴BD 平分⊙ABO （3）解：如图，由（2）中的角平分线可得⊙ABE⊙⊙HBE ∴BH=BA=22∴OH=2 2 － 2 =2在Rt⊙AOB 中，3OAOB=∴⊙ABO=60° ∴⊙CBO=30° 在Rt⊙HBE 中，HE=2633=∴点E 的坐标为（ 263 ， 2 ）18．【答案】（1）解：结论：DE 是⊙O 的切线．理由：∵四边形OABC是平行四边形，又∵OA=OC，∴四边形OABC是菱形，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴⊙ABO，⊙BCO都是等边三角形，∴⊙AOB=⊙BOC=⊙COF=60°，∵OB=OF，∴OG⊙BF，∵AF是直径，CD⊙AD，∴⊙ABF=⊙DBG=⊙D=⊙BGC=90°，∴四边形BDCG是矩形，∴⊙OCD=90°，∴DE是⊙O的切线．（2）①证明由（1）可知：⊙COF=60°，OC=OF，∴⊙OCF是等边三角形，∴CF=OC．②解：在Rt⊙OCE中，∵OC=12，⊙COE=60°，⊙OCE=90°，∴OE=2OC=24，EC=12 3，∵OF=12，∴EF=12，∴CF的长= 6012180π⋅=4π，∴阴影部分的周长为4π+12+12 3．19．【答案】（1）证明：∵⊙ADC=90°，DE平分⊙ADC，∴⊙ADE=⊙CDE=12⊙ADC=90°=45°，∴⊙ABE=⊙ADE=45°，∴⊙ABC是半直角三角形.（2）证明：∵四边形ABDE 是⊙M 的内接四边形， ∴⊙DEA+⊙DBA=180°，DB=DA ， ∴⊙DBA=⊙DAB ，又∵⊙DEC+⊙DEB=180°，⊙DEB=⊙DAB ， ∴⊙DBA=⊙DEB ， ∴⊙DEC+⊙DBA=180°， ∴⊙DEA=⊙DEC.（3）解：①∵点D 的坐标为（0,8），∴OM=8-R ，又∵ OM 2+OA 2=MA 2，∴ （8-R ）2+42=R 2，∴R=5 ，∴⊙M 的半径为5 ，连接ME,MA ，∴⊙EMA=90°，∴EA 2=MA 2+ME 2=25+25=50，∴2，②由（1）知⊙ADE=⊙CDE ，由（2）知⊙DEA=⊙DEC ，又∵DE=DE ，∴⊙CDE⊙⊙ADE （ASA ），∴CD=AD ，又∵OD=8，OA=OB=4，∴5又∵S⊙ABD=12.AB.OD=12.AD.h ，∴45=1655，∴ACF BCAS S =ACFABFACFS SS+ =121122AF CDAF h AF CD ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯ 45165455+ =59.20．【答案】（1）解：连接OE ，∵PA 、PB 与圆O 相切， ∴PA=PB=6，同理可得：AC=CE ，BD=DE ，⊙PCD 的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12.（2）解：∵PA PB 与圆O 相切， ∴⊙OAP=⊙OBP=90°⊙P=50°，∴⊙AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，在Rt⊙AOC 和Rt⊙EOC 中，OA OEOC OC =⎧⎨=⎩∴Rt⊙AOC⊙Rt⊙EOC （HL ）， ∴⊙AOC=⊙COE ，同理：⊙DOE=⊙BOD ， ∴⊙COD=12⊙AOB=65°．。

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