高中数学课件：平面直角坐标系中的伸缩变换

二•平面直角坐标系中的伸缩

变换

(1)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?思考:

在正弦曲线y二sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原來的，就得到正弦曲线y=sin2x.

1

2

上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：

设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来，得到点P'(x；y').坐标对应关系为：

坐标对应关系为:

X- X

y-y

通常把叫做平坐标系中的一个压缩变换。

(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。

餅警単线上任取一点P （x ，y ），保持横坐标x 不变，将纵坐标伸长为原来的3倍, 寸到曲线y=3sinxo 设点P （x,y ）经变换得到点为P'（x ：y‘）

通常把叫做角坐标系中的一个坐标伸长变换。

X-X

y-3y

(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。

在正弦曲线y=sinx上任取一点P（x,y）,保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的,在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.

1

2

设点P（x,y）经变换得到点为P'（x；y‘）

X- X

y-3y

通常把I叫做/劭角坐标系中的一个坐标伸缩变换。

定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换

J x1 = (2 > 0)

ly' = ^y(“>o)

的作用下，点P(x,y)对应P'(x；yJ.称

为平面直角坐标系中的伸缩变换。

(1)

(2)把图形看成形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到;

(3)在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。

例2、在平面直角坐标系中，求下列方程所

X— Y

对应的图形经过伸缩禦｛，一后的图形。y

=3y

(1)、2x + 3y = 0

(2)、x2 + y2=l

(2)、将(5)代Ax2 + .y2 =1,得到经过伸缩变换后的图形的方程是兰+兰=1

4 9

所以，经过伸缩变换八力后，甌2十2=]

变成椭圆—+ = 1

4 9

由上所述可以发现，在伸缩变换(4)下, 直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆。

思考：

在伸缩变换(4)下，椭圆是否可以变成圆? 抛物线、双曲线变成什么曲线？

练习：

1 •在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换

X-X

y-3y

后的图形。

(1) 2x+3y=0; (2)x2+y2=1

2•在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线x，2+y，2=1 3•在同一直角坐标系下，经过伸缩变

换后，

曲线C变为x，2-9y，2 =1,求曲线C的方程并画出图形。

(

X'二3x

y-y

课堂小结：

(1)掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。

作业：P8 4, 5

预习：极坐标系(书本PyP")