数学角平分线的性质课件【初中人教版八年级上册】
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角的平分线的性质 教学课件(共27张PPT)初中数学人教版八年级上册
第三步：分析找出由已知推出要证的结论的途 径，写出证明过程.
如图，已知∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足分别为D，E．求证：PD =PE．
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
A
由 18此0°”，的你思又路能∴在吗受△？到∠P什DPDO么O和启=△发∠P？EPEO你O中能=，发90现°.证明“三角形内D角和P 等于C
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E
P
∴PD = PE
O
E
B
例题练习
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路 与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
O
S 实际问题
A
B
几何问题
在∠AOB 内是否存在点 P ，过点 P 作 OA、OB 的垂线并交 OA、 OB 于点 D、E，使得 DP = EP ？
例题练习
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路
与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
解：作∠AOB的角平分线OC， 截取OP=2.5cm ，P即为所求.
O
D
E
A
P
B
【猜想】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE.
12.3角的平分线的性质
第十二章——全等三角形
学习目标 01 会用尺规作一个角的平分线；
02 探索并证明角的平分线的性质，掌握角的 平分线的判定；
03 会用角的平分线的性质和判定解决相关问题.
回顾旧知
我们之前学习了三角形的角平分线，什么是三角形的角平分线？
如图，已知∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足分别为D，E．求证：PD =PE．
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
A
由 18此0°”，的你思又路能∴在吗受△？到∠P什DPDO么O和启=△发∠P？EPEO你O中能=，发90现°.证明“三角形内D角和P 等于C
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E
P
∴PD = PE
O
E
B
例题练习
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路 与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
O
S 实际问题
A
B
几何问题
在∠AOB 内是否存在点 P ，过点 P 作 OA、OB 的垂线并交 OA、 OB 于点 D、E，使得 DP = EP ？
例题练习
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路
与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
解：作∠AOB的角平分线OC， 截取OP=2.5cm ，P即为所求.
O
D
E
A
P
B
【猜想】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE.
12.3角的平分线的性质
第十二章——全等三角形
学习目标 01 会用尺规作一个角的平分线；
02 探索并证明角的平分线的性质，掌握角的 平分线的判定；
03 会用角的平分线的性质和判定解决相关问题.
回顾旧知
我们之前学习了三角形的角平分线，什么是三角形的角平分线？
人教版初中数学八年级上册精品教学课件 第12章 全等三角形 第2课时 角的平分线的性质(2)
互动课堂理解
证明在△DBE和△DCF中,
∠ = ∠ = 90°,
∠ = ∠,
= ,
所以△DBE≌△DCF(AAS).
所以DE=DF.因为DE⊥AB,DF⊥AC,
所以点D在∠BAC的平分线上.
快乐预习感知
1
2
3
4
1.关于三角形的角平分线的说法错误的是(
).
A.两内角平分线的交点一定在三角形内
第2课时 角的平分线的性质(2)
快乐预习感知
1.角的内部到角的两边的距离相等的点在 角的平分线
上.
2.三角形的三条角平分线 相交于一点 ,这点到三角形三边的
距离 相等
.
3.三角形中到三边的距离相等的点是( D ).
A.三条边上经过对应顶点的任意三条线段的交点
B.三条高的交点
C.三条中线的交点
D.三条角平分线的交点
B.两内角平分线的交点在第三个角的平分线上
C.两内角平分线的交点到三边的距离相等
D.两内角平分线的交点到三个顶点的距离相等
关闭
D
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
2.如图,已知点P到AE,AD,BC的距离相等,则下列说法:①点P在
∠BAC的平分线上;②点P在∠CBE的平分线上;③点P在∠BCD的平
分线上;④点P是∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点,其中正确的
证明:∵DE⊥AB,交 AB 的延长线于点 E,DF⊥AC 于点 F,
∴∠BED=∠CFD=90°,
= ,
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中,
= ,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴DE=DF.
数学八年级上册课件15.4角平分线第2课时 角平分线的性质定理及逆定理
C
P
O
EB
∴ △ PDO ≌ △ PEO，（AAS）
∴ PD=PE。（全等三角形的对应边相等）
知识梳理
证明几何命题的一般步骤： 1、明确命题的已知和求证； 2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知 和求证； 3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出 证明过程。
你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？
D
A
C P
E B
思考
我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离 相等。那么到角的两边的距离相等的点是否在角 的平分线上呢？请说说你的想法及证明。
利用三角形全等，可以得到角的内部到角的两边 的距离相等的点在角的平分线上。
练习
1、如图， ∵ AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = CD ，
（在角的平分线上的点到这
直角三角形全等用
揭示概念
角平分线的概念：
一条射线 把一个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。
A
1
C
o
2
B
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使
第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成 的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)结论:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质定理 及逆定理
。。。。。。。。。。。。
学习目标
• 1、掌握角平分线定理及逆定理。 • 2、能利用角平分线定理及其逆定理解决几何图形中的
问题。 • 重点：角平分线的性质定理及其逆定理。
旧知回顾
三角形 全等的条件：
（1）定义（重合）法；
（2）解题 中常用的4 种方法
（3）HL
人教版初中数学八年级上册第十二章角的平分线的性质(第2课时)
结
OP平分∠AOB
PD=PE
已知 条件
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD⊥OA于D PE⊥OB于E
结论 PD=PE
OP平分∠AOB
巩固练习
12.3 角的平分线的性质/
到三角形三边距离相等的点是( C ) A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 如图，河南岸有一个工厂在公路西侧，工厂到公路的距 离与到河岸的距离相等，并且与B的距离为300 m，则工 厂的位置在哪里？
∠BOC＝180°－70°＝110°.
探究新知 方法点拨
12.3 角的平分线的性质/
由已知，O 到三角形三边的距离相等，得 O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三
角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
探究新知
12.3 角的平分线的性质/ 角的平分线的性质 角的平分线的判定
归
图形
纳
C P
C P
总
课堂检测
12.3 角的平分线的性质/
能力提升题
如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在
∠DAE的平分线上．
E
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. G
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC.
C
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，
M
F
知识点 2 三角形的内角平分线
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
探究新知
12.3 角的平分线的性质/
分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组
人教版八年级数学课件-角的平分线的性质
1 2
O
C P EB
∴ △OPD≌△OPE(AAS)
∴PD＝PE（全等三角形對應邊相等）
*
角平分線的性質
定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
用符號語言表示為：
A D
∵∠1= ∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE.
C
12
P
O
EB
*
如圖，要在S區建一個貿易市場，使它到鐵路和公路 距離相等， 離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿市場 應建在何處？（比例尺為1︰20000）
s
*
【解析】 作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm ,D即為所求. O
s
D C
*
反過來，到一個角的兩邊的距離相等的點是 否一定在這個角的平分線上呢？ 已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB， 點D、E為垂足，QD＝QE． 求證：點Q在∠AOB的平分線上．
*
證明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定義） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共邊） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴點Q在∠AOB的平分線上
O ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠ＡＯＢ的角平分線.
A M
N
C B
*
將∠AOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折 痕為斜邊），然後展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕， 你能得出什麼結論？
猜想:角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
*
已知：OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA於D，
12.3 角的平分線的性質
*
1.在探究作角平分線的方法和角平分線性質的過程中，掌握 角平分線的作法和角平分線的性質，發展數學直覺. 2.提高綜合運用三角形全等的有關知識的解決能力；掌握簡 單的角平分線在生產、生活中的應用.
人教版八年级上册数学课件12.3角平分线的性质3
OC，在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂
线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并
作比较，你得到什么结论？
A
在OC 上再取几个点试一试． 通过以上测量，你发现了角
D
的平分线的什么性质？
C
P
O
E
B
求证经； 历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
求证：PD =PE．
追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
追问1 通过动手实验、观察比较，我们发现“角 经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
∴∠DＯP=∠BＯP（角平分线定义）
线．你能说明它的道理吗？
的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严 求证：PD =PE．
受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
在△OPD和△OPE 中
格的逻辑推理证明这个结论吗？ 边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分
CA=CA（公共边）
追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概
受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
追问3 角的平分线的性质的作用是什么？
已知：如图，ＯC平分∠ＡOＢ， 追问3 角的平分线的性质的作用是什么？
追问4 你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗？
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证 在△ACD和△ACB中
D
B
问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那
格的逻辑推理证明这个结论吗？
证明:∵ ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点（已知）
E
人教版数学八年级上册 第十二章 12.3 角的平分线的性质 第一课时 课件(共33张PPT)
PD⊥OA，PE⊥OB，且
O
P
PD=PE
E B ∴OP是∠AOB的平分线
动脑想一想
• 我们之间就学习了三角形的角分线，之前 谈到过，三条角分线一定交于一点，不过 当时我们没有给出证明，而只是通过画图 的方法给出了印证。
• 现在我们学习了角分线的性质和判定定理， 怎样证明这个结论呢？我们先看下面的例 题。
DC=BC（已知） ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC（对应角相等） 即 AE平分∠BAD
动脑想一想
• 通过刚才的启发，你能想到怎样画出下面 的角的平分线吗？
A
仅用尺规作图，
已知∠AOB，
求作∠AOB的
平分线
O
B
尺规法画角平分线
A M
O
NB
以点O为圆心，任意适当长度为半径画弧，
• 对折之后的折痕和 这个角有什么关系？
• 如果是木板不能对 折，该怎么平分？
动脑想一想
• 如图是一个平分角的仪器， 其中AB=AD，BC=DC，将 点A放在角的顶点，AB和 AD沿着角的两边放下，则 AC所在直线就是这个角的 平分线。
• 你能说明这是为什么吗？
动脑想一想
证明： 在△ADC和△ABC 中 AB=AD（已知） AC=AC（公共边相等）
角分线上的点到角两边的距离相等
A D
∵OC平分∠AOB，
O
P C PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
EB
动脑想一想
• 如图，要在S区建一个 集贸中心，使它到铁路、 公路的距离相等，并且 离公路与铁路的交叉处 500m，这个集贸中心应 建在哪里？
动脑想一想
• 角分线上的点到角两边的距离相等。 • 到角的两边的距离相等的点是否也在角的
人教版数学八年级上册第12章 课时1 角的平分线的性质(15页)
N D
P
MC
课堂小结
尺规 作图
属于基本作图，必须熟练掌握
角 平 性质 分 定理 线
一个点：_角__平__分__线__上__的__点___； 二距离：点__到__角__两__边__的__距__离__； 两相等：两__条__垂__线__段__(_距__离__)相__等___
辅助线 添加
过角平分线上一点向两边作垂线
（1）角的平分线；
A D
（2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用：证明线段相等. 应用格式：
C
O
P
E B
∵OP 是∠AOB的平分线，PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD = PE
典例分析
例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且
BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.求证：PD=PE. 证明：∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
A
D C
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中，
P
O
E
B
∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE.
归纳总结： 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步 骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
归纳总结
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
课件角平分线的判定_人教版八年级数学上册
（2）若∠A=38°，求∠DBC 的度数. 证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，
在Rt△BDE和Rt△CDF中， 在△ABC和△DEC中， 在△ABC和△DEC中， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
（1）证明：∵∠C＝90°， 证明：∵∠DCA＝∠DEA，
∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL）. DE⊥AB于E，DE＝DC，
得 DM×CG＝ ×EN×CF.
∴CG＝CF.又 CG⊥OA，CF⊥OB， ∴点 C 在∠AOB 的平分线上．
12. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°， ∠B=60°，AD，CE 是角平分线，AD 与 CE 相 交于点 F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为 M， N. 求证：FE=FD.
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.∴DE＝DF. 又DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD是△ABC的角平分线．
10. 如图，△ABC 的角平分线 BE,CF 相交于点 P.
求证：点 P 在∠A 的平分线上.
证明：如图，过点P作PD⊥AB，PM⊥BC， PN⊥AC，垂足分别为D，M，N. ∵BE平分∠ABC，点P在BE上， ∴PD＝PM. 同理，PM＝PN. ∴PD＝PN. ∴点P在∠A的平分线上．
的度数.
解：如图，过 M 作 MN⊥AD 于 N. ∵∠B＝∠C＝90°， ∴AB∥CD. ∴∠DAB＝180°-∠ADC＝50°.
∵DM 平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD， ∴MN＝MC. ∵M 是 BC 的中点， ∴MC＝MB.∴MN＝MB. 又 MN⊥AD，MB⊥AB， ∴AM 平分∠DAB，
DE⊥AB于E，DE＝DC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
在Rt△BDE和Rt△CDF中， 在△ABC和△DEC中， 在△ABC和△DEC中， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
（1）证明：∵∠C＝90°， 证明：∵∠DCA＝∠DEA，
∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL）. DE⊥AB于E，DE＝DC，
得 DM×CG＝ ×EN×CF.
∴CG＝CF.又 CG⊥OA，CF⊥OB， ∴点 C 在∠AOB 的平分线上．
12. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°， ∠B=60°，AD，CE 是角平分线，AD 与 CE 相 交于点 F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为 M， N. 求证：FE=FD.
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.∴DE＝DF. 又DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD是△ABC的角平分线．
10. 如图，△ABC 的角平分线 BE,CF 相交于点 P.
求证：点 P 在∠A 的平分线上.
证明：如图，过点P作PD⊥AB，PM⊥BC， PN⊥AC，垂足分别为D，M，N. ∵BE平分∠ABC，点P在BE上， ∴PD＝PM. 同理，PM＝PN. ∴PD＝PN. ∴点P在∠A的平分线上．
的度数.
解：如图，过 M 作 MN⊥AD 于 N. ∵∠B＝∠C＝90°， ∴AB∥CD. ∴∠DAB＝180°-∠ADC＝50°.
∵DM 平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD， ∴MN＝MC. ∵M 是 BC 的中点， ∴MC＝MB.∴MN＝MB. 又 MN⊥AD，MB⊥AB， ∴AM 平分∠DAB，
DE⊥AB于E，DE＝DC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
角平分线的性质(第1课时)(课件)数学八年级上册同步教学课件 作业(人教版)
大于线段 OC 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点 E，连结 CE、DE；③连结
OE 交 CD 于点 M.下列结论中错误的是( C )
A．∠CEO＝∠DEO
B．CM＝MD
C．∠OCD＝∠ECD
1
D．S 四边形 OCED＝2CD·OE
26
随堂检测
1．如图，用尺规作图作∠AOC＝∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半
第 12 章 全等三角形
12.3角平分线的性质
（第1课时）
目
录
01
尺规作角平分线
02
角平分线的性质
学习目标
1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质
定理.（难点）
2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点）
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分
线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．
1
心，大于2GH 的长为半径画弧，两弧在∠ABC 内部相交于点 O，画射线 BO，交 AD
于点 E.
(1)求证：AB＝AE；
(2)若∠A＝100°，求∠EBC 的度数．
34
(1)证明：∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC.由作法可知，BE是∠ABC的
平 分 线 ， ∴∠EBC ＝ ∠EBA ， ∴∠AEB ＝ ∠ABE ， ∴AB ＝ AE. (2) 解 ：
D．六等分
5．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，下列叙述正确的个数
为( B )
①OA＝O′A′；②OB＝O′B′；③CD＝C′D′；④∠AOB＝∠A′O′B′.
A．1
B．2
C．3
D．4
31
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝26°.
OE 交 CD 于点 M.下列结论中错误的是( C )
A．∠CEO＝∠DEO
B．CM＝MD
C．∠OCD＝∠ECD
1
D．S 四边形 OCED＝2CD·OE
26
随堂检测
1．如图，用尺规作图作∠AOC＝∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半
第 12 章 全等三角形
12.3角平分线的性质
（第1课时）
目
录
01
尺规作角平分线
02
角平分线的性质
学习目标
1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质
定理.（难点）
2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点）
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分
线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．
1
心，大于2GH 的长为半径画弧，两弧在∠ABC 内部相交于点 O，画射线 BO，交 AD
于点 E.
(1)求证：AB＝AE；
(2)若∠A＝100°，求∠EBC 的度数．
34
(1)证明：∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC.由作法可知，BE是∠ABC的
平 分 线 ， ∴∠EBC ＝ ∠EBA ， ∴∠AEB ＝ ∠ABE ， ∴AB ＝ AE. (2) 解 ：
D．六等分
5．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，下列叙述正确的个数
为( B )
①OA＝O′A′；②OB＝O′B′；③CD＝C′D′；④∠AOB＝∠A′O′B′.
A．1
B．2
C．3
D．4
31
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝26°.
人教版数学八年级上册1.2角平分线的性质定理的逆定理(角平分线的判定)课件
O
定理的作用：判断点是否在角平分线上。
A D
P
EB
判断题： （1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；( ) （2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是
∠AOB 的平分线； ( ) （3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm， 且Q 到OB 距
离等于2cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．( )
l1
l3
l2
P2
l1
P1
P3
P4
l3
l2
如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( A )
A．110° B．120° C．130° D．140°
解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是内心，即三条角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝∠ABO＝1 ∠ABC， ∠BCO＝∠ACO＝1 ∠ACB2， ∠ABC＋∠ACB＝1280°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°.
角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
A
D
N
F
P
M
结论：
B
C
E
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等。
如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路和 一条铁路的距离都相等．这个广告牌P 应建在何处？
公路
公路
铁路 S
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C P
C P
已知 条件
三角形的内角平分线 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
定理的作用：判断点是否在角平分线上。
A D
P
EB
判断题： （1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；( ) （2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是
∠AOB 的平分线； ( ) （3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm， 且Q 到OB 距
离等于2cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．( )
l1
l3
l2
P2
l1
P1
P3
P4
l3
l2
如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( A )
A．110° B．120° C．130° D．140°
解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是内心，即三条角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝∠ABO＝1 ∠ABC， ∠BCO＝∠ACO＝1 ∠ACB2， ∠ABC＋∠ACB＝1280°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°.
角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
A
D
N
F
P
M
结论：
B
C
E
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等。
如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路和 一条铁路的距离都相等．这个广告牌P 应建在何处？
公路
公路
铁路 S
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C P
C P
已知 条件
三角形的内角平分线 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
角的平分线的性质课件人教版数学八年级上册
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
情景导入 （1）画一画：在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法， 如何确定角的平分线?
（1）在准备好的角上标好字母A，O，B；
（2）把∠ AOB对折，使得这个角得两边重合；
A
（3）折痕就是∠AOB的角平分线.
O
B
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
情景导入
（2）下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在 角的定点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是 这个角的平分线.你能说明它的道理吗?
分析
在△ACD和△ACB中
AD=AB，DC=BC AC=AC
△ACD≌△ACB
∠DAC=∠BAC
AC平分∠BAD
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
三角形的三条角平分线交于一点.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例2：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相 等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（ 在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）?
A
C
D
B
M
S
N
AB：500=1： 20 000 AB=
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交
叉处500米，应建在何处？（比例尺 1∶20 000）
在Rt△ABC与Rt△ABD中：
A
AB=AB
C
D
BC=BD ∴ Rt△ABC ≌ Rt△ABD（HL）．
人教版八年级数学上册课件：1.2角的平分线的性质
1、会用尺规作角的平分线.
2、角的平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表述：
A
∵ OC是∠AOB的平分线
D
PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD=PE
1 O2
P C
E
注意：不必再证
B
全等
练习.已知：BD平分∠ABC，AB=AC， PM⊥AD，PN⊥CD，
求证：PM=PN
A
M 3D
4
N
1P
B
2
C
• 反过来，到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE
又∵点F在∠CBD的平分线上，
H
FH⊥AD， FM⊥BC
∴FM＝FH ∴FG＝FH
∴点F在∠DAE的平分线上
如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE ＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。 A
E
F
B
D
C
课堂练习
如图，在△ABC中，AB=AC， AD平分∠BAC ， DE⊥AB于E， DF⊥AC于F，下面给出三个结论 (1)DA平分∠EDF;(2)AE=AF;(3)AD上的点到B、C 两点的距离相等，其中正确的结论有( )
2、角的平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表述：
A
∵ OC是∠AOB的平分线
D
PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD=PE
1 O2
P C
E
注意：不必再证
B
全等
练习.已知：BD平分∠ABC，AB=AC， PM⊥AD，PN⊥CD，
求证：PM=PN
A
M 3D
4
N
1P
B
2
C
• 反过来，到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE
又∵点F在∠CBD的平分线上，
H
FH⊥AD， FM⊥BC
∴FM＝FH ∴FG＝FH
∴点F在∠DAE的平分线上
如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE ＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。 A
E
F
B
D
C
课堂练习
如图，在△ABC中，AB=AC， AD平分∠BAC ， DE⊥AB于E， DF⊥AC于F，下面给出三个结论 (1)DA平分∠EDF;(2)AE=AF;(3)AD上的点到B、C 两点的距离相等，其中正确的结论有( )
人教版八年级数学上册123角的平分线的性质第2课时角平分线的判定课件
解：∵
图上距离 500m
=
1 20000
∴图上距离 = 0.025m = 2.5cm.
P
如下图：P点即为所求 ; 理由：P点在这个交叉口的角平分线上，所 以P点到公路与铁路的距离相等.
练习2 要在三角形的内部找到一点，使这 一点到三角形的三边的距离都相等，这个点应 如何确定？
作其中任意两角的平分线，交点即为所要 找的点.
M
∵P点在∠CBE和∠BCF的平分
线上，∴PM = PQ，PN = PQ，
∴PM = PN.
又PM⊥AE，PN⊥AF， ∴ AP平分∠BAC.
N
拓展延伸 3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E、F．连接EF，EF与AD 交于G，AD 垂直平分EF吗？证明你的结论． 解：AD垂直平分EF .证明如下： ∵AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠1=∠2，∠AED =∠AFD =90°，
思考
推进新课
如图，要在S 区建一个集贸场，使它到公路、
铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处
500 m. 这个集贸场应建于何处〔在图上标出它的
位置，比例尺为1：20 000〕？
知识点1 角平分线的性质定理的逆定理的证明
交换角的平分线的性质中的和结论， 你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
角的内部到角的两边的距离相等的点在角 的平分线上．
学习目标
【知识与技能】1.掌握角的平分线的判定.2.会利用三角形角平分线的性质. 【过程与方法】通过学习角的平分线的判定，开展学生的推理能力，培养学 生分析、归纳问题的能力.【情感态度】锻炼数学应用意识和用数学解决实际 问题的能力，体验数学的应用价值.【教学重点】角平分线的判定.【教学难 点】三角形的内角平分线的应用.
人教版初中数学八年级上册第十二章 角的平分线的性质(第1课时)
如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分
∠BAC交BC于点P，若PC＝4， AB=14. （1）则点P到AB的距离为___4____.
D
B
P
A
C
提示：存在一条垂线段——构造应用.
探究新知
12.3 角的平分线的性质/
归纳总结
1.应用角平分线性质： 存在角平分线 条件 涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
面积 周长
利用角平分线的性质所得到的等 量关系进行转化求解
链接中考
12.3 角的平分线的性质/
如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且
∠ADC=110°，则∠MAB=（ B ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
解析：作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD， ∴∠DAB=180°–∠ADC=70°.
12.3 角的平分线的性质/
2.如 图所示，D是 ∠ACG的平分线上的一点 ．DE⊥AC，
DF⊥CG，垂足分别为E，F. 求证：CE＝CF.
证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF. 在Rt△CDE和Rt△CDF中， CD CD, DE DF, ∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)， ∴CE＝CF.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上； （3）垂直距离.
O
定理的作用：证明线段相等.
A D
PC
E
B
应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA， PE⊥OB，
∴PD = PE
推理的理由有三个， 必须写完全，不能
少了任何一个.
人教版数学八年级上册 角的平分线的性质(第1课时)
课堂小结
尺规 作图
属于基本作图，必须熟练掌握
角平分线 性 质 定理
一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等
为证明线段相等 提供了又一途径
辅助线 添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
巩固练习
如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，OD⊥AB于
点D，OE⊥AC于点E，则OD与OE的大小关系是( B)
A. OD>OE
B．OD＝OE
C. OD<OE
D．不能确定
探究新知
素养考点 1 角平分线的性质的应用
例1已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且
BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E，F.
O
课堂检测
4.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分
别是C，D，下列结论中错误的是(D )
A.PC＝PD
B. OC＝OD
C. ∠CPO＝∠DPO
D. OC＝PC
5. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为
E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长D是( C )
D
求证：EB=FC.
A
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE=DF， ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF，
E B
D
F C
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
巩固练习
如图，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA＝OB， PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM＝PN.
[初中数学++]角的平分线的性质++课件+人教版数学八年级上册
![[初中数学++]角的平分线的性质++课件+人教版数学八年级上册](https://img.taocdn.com/s3/m/67e455ec68dc5022aaea998fcc22bcd126ff422b.png)
12.3角的平分线的性质
第2课时：角的平分线的判定
教学目标
一、复习引入
教学过程
1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
A
几何符号语言：
D
∵ 点P在∠AOB的平分线上， 且PD⊥OA，PE⊥OB. ∴ PD=PE
PC O
E 2.反过来，到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？B
A
证明
B
C
M
N
P
E
D
七、课堂练习
教学过程
八、布置作业
教学过程
必做题 教材50页练习第1、2题，习题12.3第3题.
选做题 习题12.3第7题.
二、探究新知
教学过程
问题1：如图， 要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距 离相导，离公路与铁路的交叉处500m. 请你帮忙设计一下，这个集 贸市场应建在何处(在图上标出它的位置，比例尺为1 :20000）.
动态画图
公路
铁路
S
二、探究新知
教学过程
问题2：如图， 要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离 相导，请你帮忙设计一下，这个集贸市场应建在何处呢？能建多少个？ (在图上标出它的位置，比例尺为1 :20000）.
五、再探新知
教学过程
问题3：如图，要在S区建一个货运场，使它到两条公路和一条铁 路的距离相等。这个货运场应建在何处?
动态画图
公路
S
铁路
五、再探新知
教学过程
追问1：你能证明OE=OF=OD吗？
证明：过点O作OF⊥AB于F， OD⊥AC于D，OE⊥BC于E， ∵AO是△ABC的角平分线， 点O在AO上， ∴OD=OF 同理OE=OF ∴OE=OF=OD
第2课时：角的平分线的判定
教学目标
一、复习引入
教学过程
1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
A
几何符号语言：
D
∵ 点P在∠AOB的平分线上， 且PD⊥OA，PE⊥OB. ∴ PD=PE
PC O
E 2.反过来，到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？B
A
证明
B
C
M
N
P
E
D
七、课堂练习
教学过程
八、布置作业
教学过程
必做题 教材50页练习第1、2题，习题12.3第3题.
选做题 习题12.3第7题.
二、探究新知
教学过程
问题1：如图， 要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距 离相导，离公路与铁路的交叉处500m. 请你帮忙设计一下，这个集 贸市场应建在何处(在图上标出它的位置，比例尺为1 :20000）.
动态画图
公路
铁路
S
二、探究新知
教学过程
问题2：如图， 要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离 相导，请你帮忙设计一下，这个集贸市场应建在何处呢？能建多少个？ (在图上标出它的位置，比例尺为1 :20000）.
五、再探新知
教学过程
问题3：如图，要在S区建一个货运场，使它到两条公路和一条铁 路的距离相等。这个货运场应建在何处?
动态画图
公路
S
铁路
五、再探新知
教学过程
追问1：你能证明OE=OF=OD吗？
证明：过点O作OF⊥AB于F， OD⊥AC于D，OE⊥BC于E， ∵AO是△ABC的角平分线， 点O在AO上， ∴OD=OF 同理OE=OF ∴OE=OF=OD
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的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE
就是角平分线.你能说明它的道理吗?
A
其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.
D
B
(E)C
已知:∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
动手画一画
仔细观察步骤 A
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为
M
半径画弧，交OA于点M，交
C
OB于点N.
（2）分别以点MN为圆心，大
B
N
O
4.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两 边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点 为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？
解：在△MOP和△NOP中，
OM=ON，
OP=OP，
∴△MOP≌△NOP（HL）.
O
∵△MOP≌△NOP，
∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.
测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个
点试一试. PD=PE
A D
C
P
O
E
B
验证结论
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.
求证：PD=PE. 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， O
第十二章
八年级数学上（RJ） 教学课件
全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第1课时 角平分线的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理. （难点） 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点）
导入新课
复习引入
1.角平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线
点击此处添加标题
您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后， 在此框中选择粘贴，并选择只保留文字。在此 录入上述图表的综合描述说明。
A M
P
N
B
课堂小结
尺规 作图
角平分线
性质 定理
属于基本作图，必须熟练掌握
一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等
辅助线 添加
过角平分线上一点向两边作 垂线段
以下赠品教育通用模板
前言
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∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
A
D C
P
E
B
OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD=PE.
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似 的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出 证明过程.
×
B
A
D
C
典例精析
例 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,
DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
A
求证：EB=FC.
分析：先利用角平分线的性质定理得到
DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE
E
F
≌ Rt△CDF.
B
D
C
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
知识要点
性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. A
应用所具备的条件：
D
（1）角的平分线； （2）点在该平分线上；
O （3）垂直距离.
C P
定理的作用： 证明线段相等.
应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB，
E B
推理的理由有三个， 必须写完全，不能少
了任何一个.
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC.AEF
B
D
C
当堂练习
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别
是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则
∠EBF= 60 度，BE= BF . B
∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ，
( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
×
B
A
D
C
(2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ BD = CD , ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
叫做这个角的平分线.
A
C
1
2
B
O
2.下图中能表示点P到直线l的距离的是 线段PC的长 . P
l A B CD
3是.下列图两1图.中线段Al1P能表示直线l1上一点PP到直线l2的l1 距离的 P
A
l2
图1
A 图2l2
讲授新课
一 角平分线的尺规作图
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角
A E
C D
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且 BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 3
F G
. C
D
A
EB
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能
说明∠AOC=∠BOC的依据是（ A ）
A.SSS
B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
M C
于
1 2
MN的长为半径画弧，两
B
弧在∠AOB的内部相交于点C.
N
O
（3）画射线OC.射线OC即为 所求.
作角平分线是最基本的 尺规作图,大家一定要掌 握噢!
二 角平分线的性质
作图探究
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC
上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，