正弦定理、余弦定理综合应用典型例题

正弦定理、余弦定理综合应用

例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1

sin 2

B =

， 由ABC △为锐角三角形得π6B =

． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫

+=+π-- ⎪6⎝⎭

cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++

3A π⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336

A πππ

<+<，

所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭． 3A π⎛⎫<+< ⎪⎝

⎭

所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫

⎪ ⎪⎝

⎭，．

例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=．

（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1

sin 6

C ，求角C 的度数．

解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=，

两式相减，得1AB =．

（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得1

3

BC AC =g ，

由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()21

22

AC BC AC BC AB AC BC +--=

=g g ， 所以60C =o

．

例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，

且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6

π

.

例4.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60o

，c =3b.求a c

的值；

解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117

()2,3329

c c c c c +-=g g g 故3a c =

例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,

则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 61

2

例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()

C a A c b cos cos 3=-，

则=A cos _________________.

3

例7.(2009年广东卷文)已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==且

75A ∠=o ，则b =

【解析】0000000

sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=

由62a c ==

+可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =

由正弦定理得sin 2sin a b B A =⋅=, 例8.（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos AC

A

的值等于 2 ，

AC 的取值范围为 (2,3) .

解: 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得

,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC

θθθθ

=∴=⇒=

由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<

，

又01803903060θθ<-<⇒<

，故233045cos 22

θθ<<⇒<

例9.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知22

2a c b -=，且

sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b

解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =Q 则由正弦定理及余弦定理有:

2222223,22a b c b c a a c ab bc

+-+-=g g 化简并整理得：2222()a c b -=.

又由已知222a c b -=2

4b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.

解法二:由余弦定理得: 2

2

2

2cos a c b bc A -=-.又2

2

2a c b -=,0b ≠。

所以2cos 2b c A =+…………………………………①

又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+= sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =

由正弦定理得sin sin b

B C c

=

，故4cos b c A =………② 由①，②解得4b =。 10.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，2

3cos )cos(=+-B C A ,ac b =2

，求B.

解：由 cos （A -C ）+cosB=32及B=π-（A+C ）得 cos （A -C ）-cos （A+C ）=3

2

，

cosAcosC+sinAsinC -（cosAcosC -sinAsinC ）=3

2

, sinAsinC=34.

又由2

b =a

c 及正弦定理得 2sin sin sin ,B A C =

故 2

3

sin 4

B =

， 3sin B = 或 3sin B =（舍去），

于是 B=3π 或 B=23

π. 又由 2

b a

c =知a b ≤或c b ≤ 所以 B =3π。

例11.在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===（Ⅰ）求AB 的值。 （Ⅱ）求)4

2sin(π

-

A 的值。

【解析】（1）解：在ABC ∆ 中，根据正弦定理，

A BC C A

B sin sin =，于是522sin sin ===B

C A BC

C AB

（2）解：在ABC ∆ 中，根据余弦定理，得AC

AB BC AC AB A •-+=2cos 2

22

于是A A 2cos 1sin -==55， 从而5

3sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 2

2=-===A A A A A A

10

2

4sin 2cos 4cos 2sin )42sin(=-=-πππA A A