线性回归方程——非线性方程转化为线性方程.docx

性回方程——非性方程化性方程

例 1．(2015 ·高考全国卷Ⅰ )某公司确定下一年度投入某种品的宣

，需了解年宣 x（位：千元）年售量 y（位： t ）和年利 z（位：千元）的影响，

近 8 年的宣和年售量

数据作了初步理，得到下面的散点及一些量

的 .

5631469

表中 =，=．

（ I）根据散点判断，与，哪一个适宜作年售量y 关于年宣x 的回方程型（出判断即可，不必明理由）；

（ II）根据（ I）的判断果及表中数据，建立y 关于 x 的回方程；

（ III）已知种品的年利z 与 x， y 的关系，根据（ II ）的果回答下列：

（ i）年宣，年售量及年利的是多少

（ ii）年宣何，年利的最大

附：于一数据,，⋯，, 其回直的斜率和截距的最小二乘估分：

，.

【答案】 (Ⅰ )适宜作年售量关于年宣的回方程型； (Ⅱ )； (Ⅲ )(i)答案解析； (ii)千元 .

【解析】（ I）由散点可以判断，适宜作年售量关于年宣的回方程型 .

（ II）令，先建立关于的性回方程，由于=68，

∴=563-68 ×=，∴ 关于的性回方程，

因此关于的回方程.

（ III） (ⅰ )由（ II）知，当 =49 ，年售量的=，

年利 z 的.

（ⅱ）根据（ II）的果知，年利 z 的，

所以当，即，取得最大 .故年宣千元，年利的最大.

例 2．某地级市共有200000 中小学生，其中有7%学生在 2017 年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为5:3:2 ，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000 元、 1500 元、 2000 元。经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加，一般困难的学生中

有会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生中有转为一

般困难，特别困难的学生中有转为很困难。现统计了该地级市2013 年到2017

年共 5 年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中

统计量的值，其中年份取 13 时代表2013 年，与（万元）近似满足关系式

，其中为常数。（ 2013 年至 2019 年该市中学生人数大致保持不变）

其中，

（Ⅰ）估计该市2018 年人均可支配年收入；

（Ⅱ）求该市2018 年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少

附：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为

【答案】（Ⅰ）（万） ;（Ⅱ） 1624 万 .

【详解】（Ⅰ）因为，所以.

由得，所以，，

所以，所以.当时，2018年人均可支配年收入

（Ⅱ）由题意知2017 年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共200000×7%=14000人

一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000 人、 4200 人、 2800 人，2018 年人均可支配收入比（万）2017 年增

长

所以 2018 年该市特别困难的中学生有 2800×(1-10%)=2520人，很困难的学生有 4200×(1-20%)+2800×10%=3640人

一般困难的学生有7000×(1-30%)+4200×20%=5740人 .

所以 2018 年的“专项教育基金”的财政预算大约为5740×1000+3640×1500+2520×2000=1624万 .

例3．近期，某公交公司分别推出支付宝和徽信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内

优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支

付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表l 所示：表1

根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图．

(1)根据散点图判断，在推广期内，(c，d均为大于零的常数)

哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型(给出判断

即可，不必说明理由)；

(2)根据 (1)的判断结果及表 1 中的数据，求y 关于x 的回归方程，并预测活动推出

第8 天使用扫码支付的人次；

参考数据：

其中

参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.

【答案】（ 1）（2）

【详解】（ 1）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数（ 2），两边同时取常用对数得：关于活动推出天数

；

的回归方程类型；

设

，，

把样本中心点

，代入,得 :

，

，

关于的回归方程式：

把代入上式，；活动推出第

；

天使用扫码支付的人次为；

例 4．近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017 年成交的

二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1．

图 1图2

（ 1）记“在年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在”为事件，试估计的概率；

（ 2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中(单位：年 )表示二手车的使用时间，(单位：万

元 )表示相应的二手车的平均交易价格．由散点图看出，可采用作为二手车平均交易价格关于其使用年限

的回归方程，相关数据如下表（表中，）：

① 根据回归方程类型及表中数据，建立关于的回归方程；

②该汽车交易市场对使用8 年以内 (含 8 年 )的二手车收取成交价格的佣金，对使用时间8 年以上 (不含 8 年 )的二手车收取成交价格的佣金．在图 1 对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．

附注：① 对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为

；② 参考数据：．

【答案】（ 1）；（ 2）万元

【详解】（ 1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场2017 年成交的二手车使用时间在的频率为，在的频率为,所以．

（ 2）①由得，即关于的线性回归方程为．

因为，