梅涅劳斯定理

梅涅劳斯定理

定理叙述

设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1

注意：

1 定理的应用有正反两个方向。由共线推出比例式叫作逆定理。

2 三个分点可能有两个在线段上，或者三个都不在线段上。

最简单的证明（张景中院士说过“做足够多的三角形可以解任何几何题”。等价说法是“做足够多的垂线可以解任何几何题”）

证明：过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'，

AD：DB=AA'：BB'

BE：EC=BB'：CC'

CF：FA=CC'：AA'

所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1

一应用梅涅劳斯定理

1.定理的条件已经具备，正向或反向应用定理。

例：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。

分析：目标明确，写出比例式就行了。

例:不等边三角形的三条外角平分线与对边延长线的交点共线。

分析：此题同上。注意外角平分线分对边成的比例与夹边比例的关系，是和内角平分线类似的。

例：

分析：直线若平行于BC，则命题显然成立。若不平行，则作出直线与直线BC的交点是非常自然的。

例：

如图在三角形三边取相同比例的分点。中间黑色三角形面积等于白色面积，求边上的分点比例。

分析：没啥好分析的。

总结：用定理要选取三角形和截线。目标中共线的三个点所在的直线上，一般不会包含所选取的三角形的边。

2.几个不适合用梅氏定理的例子。

例：

如图锐角x的两条边上取A,B两点。甲乙二人分别从A,B出发沿箭头方向前进。保持速度不变。证明两人以及锐角顶点组成的三角形垂心在某直线上运动。

分析：本题具备定理的基本图形，并且目标是证明共线。但此处不可使用梅氏定理。因为垂心所在的定直线一般是不过锐角顶点的。那么我们取几个时刻的垂心呢？两个就够了。只要证明这两个垂心连线的斜率只与两人的速度比有关……

总结：用数学定理要看定理中的条件部分，估计计算复杂程度。比如逆定理条件是共线，不共线则不可使用逆定理。

例：

两个线段上的点列如图连线得到交点。证明三个交点共线。用梅氏定理的证明见初三仁华课本。这里绕个路证明此题。首先，下面这个事实有用。

x,y,z,w等8个数看作所在点横坐标。（用了定比分点）

此时中间两个线段分点比例可由a,b,c,d,p,q,m,n给出。请自行练习

x,y,z,w等8个数看作所在点纵坐标，此时中间两个线段分点比例仍可由a,b,c,d,p,q,m,n给出，且与上面结果相同。这表明图中里边的线段分点比例只与外围分点比例有关，与外围线段长度，夹角无关。

等价的，引理：如图三点共线。则保持图中线段分点比例不变，旋转，平移，均匀伸缩粉色线段，会使三个黑点仍然共线。

看原题中的图，两条直线交于O,根据梅氏定理，G,H,I分所在线段比例由OA:AB:BC

OD:DE:EF确定。只要保持这两个连比不变，G,H,I分所在线段比例不变。根据引理，G,H,I分所在线段比例不变情况下证明了三点共线，则间接证明了原题。所以，令角AOD为直角，O为坐标原点。下略。

总结：不应刻意追求代数流或纯几何，自然为上。

3 比较该定理和赛瓦定理

联系：基本图形接近。我们试图用下图统一两个定理。

三角形ADO，截线BC,有梅氏定理。

三角形ADC, 截线OB，有梅氏定理。

三角形ABC, 点O,有塞瓦定理等等

这个图的补注：

代数方法解几何题综合考虑两点：1 用尽量少的未知数标识图形。2为了保持对称性和形式的简洁，可以适当增加未知数。这个图形可以用五个未知数表示。三角形三边，以及am,ak。

我们用了9个，现在找一下多出来的4个。首先。x,y,z可以用其它6个字母表示，这样找到多出来的3个。外围我们用a/b b/c c/a表示乘积为1的三个正数，其实可以只用两个字母。a，b ，1/ab 。为了简洁和对称，多用了一个。

区别：描述的数学事实不同。三点共线和三线共点。

二广义的梅涅劳斯定理

D,E,F三点共线，三角形DEF面积为零。下面这个定理说的是三角形DEF面积不为零的情况。（李建泉）

建议从两个层次理解定理

1 定性。三角形三边上取分点，则分点确定的三角形面积与原三角形面积比由三个分点比值唯一确定。

2 定量。也就是定理中的结论部分。

2010-9-29