高中数学必修4 平面向量的数量积课件

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高中数学第二章平面向量数量积教学课件新人教A版必修4

(2)若a//b？
(3)若ab？
小结回顾
复习引入新课讲解
OA=a， OB=b，过点B作BB1垂直于直线 OA，垂足为B1，则|b|cosθ叫做向量b在a方向上的
例题讲解
θ为锐角时
θ为钝角时
性质讲解课堂练习
我们得到a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
( 2 ) ( a ) b a ( b ) ( a b ) a b ;
(3 )(a b )c a c b c .
性质讲解思考：
课堂练习若acbc，有ab吗？
小结回顾反之成立吗？
复习引入新课讲解例题讲解
设向量 a,b,c和实数，
则向量的数量积满足下列运算律：
|BC|1,|CA| 3, 求ABBCBCCACAAB 4.已知非零向量 a,b满足 :(a2b)a, (b2a)b,求 a,b的夹角
基础练习
1、判断下列命题的真假: （1）平面向量的数量积可以比较大小
（2）若 a b 0 ,则 a 与 b 的夹角为钝角 .
（3）已知b为非零向量因为0×a =0， a ·b = 0,所以a = 0
当a与b反向时，a·b=－|a| |b| 特别地，a·a =|a|2或|a|=√a·a 。
（4）cosθ= a·b |a||b|
（5）|a·b|≤|a||b|
复习引入新课讲解例题讲解
设向量 a,b,c和实数，
则向量的数量积满足下列运算律：
(1)abba;
②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb

高中数学 2.4.2平面向量的数量积(一)课件新人教A版必修4

2.4.2平面向量的数量积
完整版ppt
1
设计问题创设情境
平面向量的数量积
学生探索尝ห้องสมุดไป่ตู้解决
信息交流揭示规律
运用规律解决问题
变式演练深化提高
反思小结观点提炼
完整版ppt
2
设计问题创设情境
平面向量的数量积
学生探索尝试解决
信息交流揭示规律
运用规律解决问题
变式演练深化提高
反思小结观点提炼
信息交流运用规律
变式演练
揭示规律解决问题
深化提高
反思小结观点提炼
完整版ppt
10
设计问题创设情境
学生探索尝试解决
平面向量的数量积
信息交流揭示规律
运用规律解决问题
变式演练深化提高
反思小结观点提炼
请同学们想一想，本节课我们学习了哪些知识？用到了什么思想方法？你还有其他什么收获？
⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；
⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式； ⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断
两个平面向量的垂直关系；
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11
[作业精选，巩固提高]
• P108习题2.4 A组：9，10，11.
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12
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3
设计问题创设情境
平面向量的数量积
学生探索尝试解决
信息交流揭示规律
运用规律解决问题
变式演练深化提高
反思小结观点提炼
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4
设计问题创设情境
学生探索尝试解决

平面向量的数量积PPT课件

运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。

高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(1)课件新人教A版必修4

解析(jiě xī)： A中若a⊥b，则有a·b＝0，不一定有a＝0或b＝0. C中当|a|＝|b|时，a2＝b2，此时不一定有a＝b或a＝－b. D中当a＝0时，a·b＝a·c，不一定有b＝c. 答案： B
第十页，共35页。
3．已知向量a，b满足(mǎnzú)|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为 ________．
第十六页，共35页。
解析： (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×－12＝－6. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋
5×3×4×－12－3×42＝－60.
第三十一页，共35页。
[拓展练]☆ 3．(1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________； (2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，a－4b 与 7a－2b 互相垂直，求 a 与 b 的夹角．
第六页，共35页。
2．数量积的几何意义及数量积的符号
(1)按照投影的定义，非零向量 b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ，其具体情况，
我们也可以借助下面图形分析：
θ 的范围
θ＝0° 0°<θ<90° θ＝90° 90°<θ<180° θ＝180°
图形
b 在 a 上的投影的正负
正数
正数
0
第七页，共35页。
|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175. ∴|2a＋b|＝5 7.

高中数学必修四人教A版课件《2-4平面向量的数量积-1》

解析:(1)设 a 与 b 的夹角为 θ, 则 cos θ=
�� · �� |�� || �� |
)
.
=
-6 4×3
=- .
2
1
又 0°≤θ≤180°,
∴θ=120°. (2)∵△ABC 为等腰直角三角形 ,且 |�� |=|�� |, ∴�� ⊥ �� . ∴�� ·�� =0. 答案:(1)B (2)0
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思维脉络
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-3-
1.平面向量的数量积及几何意义
已知两个非零向量 a 与 b, 我们把数量| a||b| cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),其中 θ 是 a 与 b 的夹角记作 a· b, 即 a· b=| a||b| cos θ 零向量与任一向量的数量积为 0 向量 a 在 b 方向上的投影 :|a| cos θ 向量 b 在 a 方向上的投影 :|b| cos θ 数量积 a· b 等于 a 的长度|a| 与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos θ 的乘积
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-13-
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
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下一页
-14-
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练1 若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a· (a+b)等于(
1 2 3 2 3 2
)
A.
B.
C.1+

人教A版数学必修四.1《平面向量数量积的应用》课件

22
2
(1)若mn,求tanx的值； 1
（2）若m与n的夹角为，求x的值。 5
3
12
• 小结：复习了数量积的有关概念和公式，希望同学们达到熟练能解决投影，垂直，夹角，模等有关习题
•
1.情节是叙事性文学作品内容构成的要素之一,是叙事作品中表现人物之间相互关系的一系列生活事件的发展过程。
7、 (20年 15陕西)咸平阳面a与一向 b夹模量角 60为， 0
a(2,0)b , 1,则 a2b （ C ） No
A. 5
Image
B . 10
C .2 3
No
D . 10
Image
8、 (201重 2 庆 6， 5分)设x,yR,向量 a（x,1） , b（1，y） ,c（2， -4），a且 c,b//c,
•
4.根据结构来梳理。按照情节的开端、发展、高潮和结局来划分文章层次,进而梳理情节。
•
5.根据场景来梳理。一般一个场景可以梳理为一个情节。小说中的场景就是不同时间人物活动的场所。
•
6.根据线索来梳理。抓住线索是把握小说故事发展的关键。线索有单线和双线两种。双线一般分明线和暗线。高考考查的小说往往较简单,线索也一般是单线式。
4.数量积的主要性质：
设非a 零 x1,y1 向 ,bx 量 2,y2,
1、 a b ab0x1x2y1y20
2、c osθ a b
x1x2 y1y2
ab
x12 y12 x22 y22
3 、 a
2
a aa
x12y12
xx yy |A| B

人教A版高中数学必修四课件2.4.2《平面向量的数量积》(第2课时)

2
2
2
( 2) ( a b ) ( a b ) a b .
证明： (1) (a b ) (a b ) (a b )
2
2
2
aa ab ba bb
a 2a b b ；
( 2) ( a b ) ( a b ) a a a b b a b b
1.会算一个向量在另一个向量上的投影,会运用平面向量数量积的性质、运算律和几何意义. 2.以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念,从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究.通过作图分析,使学生明
确向量的数量积与数的乘法的联系与区别.
3.由具体的功的概念到向量的数量积,再到共线、垂直时的数量积,使学生学习从特殊到一般,再由一般到特殊的认知规律,体会数形结合思想、类比思想,体验法则学习研究的过程,培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯.
| a | | a || b | cos 6 | b |
2
2
6 6 4 cos 60 6 4
2
2
72 .
a | a |
2
2
可用来求向量的模
0 的夹角为已知 a 6， b 4，a与b 60 ，
求:| a b | 和 | a b | .
错误
(2)在ABC中，若AB BC 0，则ABC是钝角。
正确
(3)在ABC中，若AB BC 0，则ABC是直角。正确
课本P 121 A组6 ~ 9
敬请指导
.
（3）（） | a b || a | | b | （4）（） a b 0 a b
√
√

高中数学《平面向量的数量积》公开课优秀课件

(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积的坐标运算设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ，则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0，所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业

平面向量数量积PPT教学课件_1

胚胎干细胞应用（1）治疗人类顽症：
如帕金森综合症、少年糖尿病等。
（2）培育人造组织器官：解决供体器官不足、免疫排斥等。
（3）研究体外细胞分化。
变式：已知 a 6, b =4, a 2b a 3b
72
求 a与b的夹角 .
例4.已知 a 3, b 4，a b 5,求 2a b 的值.
例5.已知 a 3, b 4，且a与b不共线，k为何值时，向量a kb与a kb互相垂直？
胚胎工程专题复习
胚胎工程
胚胎工程指对动物早期胚胎或配子所进行的多种显微操作和处理技术，如胚胎移植、体外受精、胚胎分割、胚胎干细胞培养等技术。经过处理后获得的胚胎，还需要移植到雌性动物体内生产后代，以满足人类的各种需求。
a b a b cos
其中θ是 a 与b 的夹角.规定，零向量与任一向量的数量积为零，
即a 0 0。 b cos 叫做向量b 在 a 方向上的投影. B
OB1 b cos
b
θ O
aA
B1
例1.已知 a 3, b =4,a与b的夹角 =120 ，求a b
变式：已知 a 3, b =4,a与b的夹角 =120 ，
桑椹胚：由具有全能性细胞构成，细胞数在32个左右，
排列紧密，形似桑椹
囊胚（内含囊胚腔）内细胞团：发育成胎儿各组织
滋养层细胞：发育成胎膜和胎盘
原肠胚（内含原肠腔）
胎儿形成
体外受精和早期胚胎培养
一、试管动物技术 1．试管动物技术是指：通过_人__工__操__作____使卵子和精子在体__外__条__件__下___成熟和受精，并通过培养发育为早__期__胚__胎后再经移植产生后代的技术。 2．这项技术的前期工作包括_体__外__受__精____和_早__期__胚__胎____。

高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积1课件新人教A版必修4

一
二
三
四
思维辨析
2.做一做:若|a|=3,|b|=6,a·b=9 3,则向量 a 与 b 的夹角等
于
.
解析由于
cos
θ=|��|·|��|
=
93 3×6
=
23,所以 θ=30°,故向量 a 与 b 的
夹角等于 30°.
答案30°
一
二
三
四
思维辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打
(7)(a·b)·c=a·(b·c). ( ) (8)两向量数量积的符号是由两向量夹角的余弦值决定的. ( )
答案(1)× (2)× (3)× (4)× (5) (6)× (7)× (8)
探究一
探究二
探究三
求平面向量的数量积
角度1 数量积的简单计算
【例1】已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求:
提示由物理知识容易得到W=|F||s|cos α,决定功的大小的量有力、位移及其夹角,其中力、位移是矢量,功是标量.
一
二
三
四
思维辨析
2.填空:(1)两个非零向量的数量积.
已知条件定义记法
向量 a,b 是非零向量,它们的夹角为 θ a 与 b 的数量积(或内积)是数量|a||b|cos θ a·b=|a||b|cos θ
向上的投影等于
.
(2)若a·b=-6,|a|=8,则向量b在向量a方向上的投影等于
.
解析(1)向量 a 在向量 b 方向上的投影等于
|a|cos θ=3×cos 120°=-32;
(2)向量
b

高中数学人教A版必修4PPT课件：平面向量的数量积

探究
面向量数量积的坐标表示
4. 若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2),则a·b＝x1x2＋y1y2 ，这就是平面向量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗？
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
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2020年12月27日星期日
探究
面向量数量积的坐标表示
5. 如何利用数量积的坐标表示证明 (a＋b)·c＝a·c＋b·c？
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2020年12月27日星期日
高中数学人教A版必修4PPT课件：平面向量的数量积
探究
平面向量数量积的运算性质
2. 当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？
当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|； a·a＝a2＝|a|2 或 |a|＝ a a .
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2020年12月27日星期日
小结
2. 实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非.
3. 利用︱a︱＝ a可 a以求向量的模，在字符运算中是一种常用方法.
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2020年12月27日星期日
小结
4. 利用向量的数量积可以解决有关平行、垂直、夹角、距离、不等式等问题，它是一个工具性知识点，具有很强的功能作用.
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2020年12月27日星期日
高中数学人教A版必修4PPT课件：平面向量的数量积
探究
平面向量数量积的背景与含义
7. 对于两个非零向量a与b，设其夹角为 θ，|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影.那么该投影一定是正数吗？向量b在a方向上的投影是什么？

高中数学复习平面向量的数量积人教版必修4ppt课件

C→B＝(1，－1)，cos∠ACB＝|CC→→AA|·|CC→→BB|＝－417
17 .
【互动探究】
列向量的数量积中最大的是( A )
→→
A.AB·AC →→
→→ B.AB·AD 图 8－2－1 → →
1．如图 8－2－1，在边长为 1 的D.正AB六·A边F形 ABCDEF 中，下 C.AB·AE
例 4：已知 a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中 0<α<β<π. (1)求证：a＋b 与 a－b 互相垂直； (2)若 ka＋b 与 a－kb 的长度相等，求 β－α 的值(k 为非零的常数)．
解题思路：本题主要考查向量的坐标运算，向量垂直的充
要条件 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 与三角函数的综合运用．
正解：点 P 在直线 y＝2x 上，所以点 P 坐标为(a,2a)，P→A＝ (－1－a,1－2a)，P→B＝(3－a,3－2a)，向量P→A与P→B夹角为钝角的充要条件是P→A·P→B<0，并且 P、A、B 三点不共线.P→A·P→B＝(－1 －a)(3－a)＋(1－2a)(3－2a)＝5a2－10a，
【互动探究】 4．已知 AD 是△ABC 的中线，A→D＝λA→B＋μA→C(λ、μ∈R)． (1)求 λ＋μ 的值； (2)若∠A＝120°，A→B·A→C＝－2，求|A→D|的最小值．
解：(1)∵B、D、C 三点共线，∴λ＋μ＝1. (2)∵A→D＝12(A→B＋A→C)，∴|A→D|2＝14|A→B＋A→C|2＝14(|A→B|2＋|A→C|2 ＋2A→B·A→C)＝14(|A→B|2＋|A→C|2－4)． ∵A→B·A→C＝－2，∴|A→B|·|A→C|＝4，∴14(|A→B|2＋|A→C|2－4)≥14 (2|A→B|·|A→C|－4)＝14(2×4－4)＝1. ∴|A→D|的最小值是 1.

《平面向量的数量积》课件315张PPT人教A版必修4

θ为锐角时， | b | cosθ＞0
θ为钝角时， | b | cosθ＜0
θ为直角时， | b | cosθ=0
平面向量数量积 a ·b的几何意义
向量 a 与b 的数量积等于a 的长度 |a| 与 b 在a 的方向上的投影| b | cosθ的积.
5.6 平面向量的数量积及运算律
设a ,b都是非零向量, e是与b方向相同的单位向量,
是a与e的夹角,则
数量积的性质（1）e · a=a · e=| a | cos （ 2 ） a⊥ b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
（3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向时, a · b = −| a | · | b |.
2 2 a | a | 7．对任意向量 a 有
√
5.6 平面向量的数量积及运算律
小结:
(1)向量的数量积的物理模型是力的做功. (2) a · b 的结果是个数量. (3)利用数量积可以求两向量的夹角,特别是可以判定垂直. (4)二向量的夹角范围 [0,п]. (5)五条性质要掌握.
5.6 平面向量的数量积及运算律
a a | a |2 或 | a | a a(用于计算向量的模) ab (用于计算向量的夹角) （4）cos | a || b | （5）| a · b| ≤| a | · |b|
特别地
5.6 平面向量的数量积及运算律
1．若a =0，则对任一向量b ，有 a · b = 0． √ × × × ×
5.6 平面向量的数量积及运算律
复习思考:
运算结果向量的加法向量的减法实数与向量的乘法两个向量的数量积向量向量向量

向量的数量积PPT课件

(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共
线的向量，而一般a与c不第4共页/线共1。1页
3.两个向量的数量积的性质：
a b | a || b | cos
(1)当a与b同向时,ab | a | | b |
(2)当a与b反向时,ab | a | | b |
一.问题情境:
情境1:前面我们学习了平面向量的加法、减法和数乘三种运算,那么向量与向量能否“相乘”呢？
情境2:一个物体在力F的作用下发生了位移s，那
么该力对此物体所做的功为多少？
W | F || s | cos
F
┓
s
其中力 F和位移 s是向量， s 是F与的夹角，而功 W是数量.
第1页/共11页
例2 已知｜a｜＝3，｜ｂ｜＝6，当①a∥ｂ，②a⊥ｂ， ③a与ｂ的夹角是135°时，分别求a·ｂ.
第7页/共11页
例3. |a|=2，|b|=5，a与b的夹角为600，求：
(1)a b 解 : a b | a | | b | cos600
25 1 5 2
(3) (a+b)2
(2) (a+2b) ·(a-3b)
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量a与ｂ，作 OA＝a，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ叫a 与ｂ的夹角. ∠ＡＯＢ=θ（0≤θ≤π）
说明：
（1）当θ＝0时，a与ｂ同向；
（2）当θ＝π时，a与ｂ反向；
（3）当θ＝π/2时，a与ｂ垂直，
b
a
O
ba
O
记a⊥ｂ；
（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180

人教A版高中数学必修4 精选优课课件 2.4 平面向量的数量积(共21张PPT)

: 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单
位向量，是a与e的夹角,则 a⊥b=/2cos=0
(1) e ·a = a ·e=| a |cos.
| a || b |cos=0
(2)a⊥b a ·b =0.
a ·b =0
(3)当a与b同向时,a ·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
3.如图，ABC为等腰三角形，且直角边
AB=1，求 AB • BC BC • CA CA • BA
A
B
C`
第十六页，编辑于星期日：四点十八分。
小结：
一、知识： 1、两个向量的夹角
2、向量在轴上的正射影及正射影的数量
3、向量数量积的定义及性质
二、能力： 1、运用数量积的定义及性质解决问题 2、探究问题的能力、合作交流的意识
向量与三角的联系；
（4）建立了向量与不等式之间的联系.
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课堂练习：
(一)、判断下列命题是否正确
1.若a=0,则对任意向量b，有a ·b=0.
()
2.若a≠0,则对任意非零向量b，有a ·b≠0.
(×)
3.若a≠0,且a ·b=0,则b=0.
(×)
4.若a·b=0，则a=0或b=0.
也不能用 ×代替
B A
第五页，编辑于星期日：四点十八分。
小组活动
思考：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？
注意两个向量的数量积是一个数量，而不是向
量. 讨论，并完成下表：
的范围 0°≤ <90° =90° 0°< ≤180°

a ·b 的符号

新人教A版必修四2.4《平面向量的数量积》ppt课件1

当a,b同向，a b 2; 当a,b反向，a b 2。
（2）a b 1 2 cos 3 1
4
例33. 设 | a | 12，| b | 9，a b 54 2，求a 与b 的夹角 .
解：
cos
ab
54
2
| a || b | 12 9
2 2
又 0 180，
135 .
a与 b 垂直： a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
a
b
ab
0
x1x2
y1 y2
0
练习：a (3,4), b
终点坐标为( x, 3x),
a,
则
b
且 b起点坐标为( （__1_45_，15_）_
1,
2)
例 2：已知a＝(5, 0)，b＝(–3.2, 2.4), 求证：(a＋b)⊥b .
(4) cos a b
ab
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。
解： a ·b = |a | |b |cosθ
5 4 cos120
54( 1) 2
10 .
例2：已知 a 1, b 2
(1)a // b,求a b; (2) 3 ,求a b
4
解：（1）由a // b，分两种情况：
x1x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
例 1:已知a＝(1，√3 )，b＝(– 2，2√3 ),
求a与b的夹角θ.
cosθ ＝ a·b ab
＝
4 2×4
＝1 2
,
∴ θ ＝60º
4、两向量垂直的坐标表示
垂直 a b a b 0
设a （x1, y1), b (x2 , y2 ), 则 a b x1x2 y1 y2 0