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19-20学年广东省珠海市高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)

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2022-2023学年广东省珠海市高二上学期期末数学质量检测试题(含解析)

2022-2023学年广东省珠海市高二上学期期末数学质量检测试题(含解析)

2022-2023学年广东省珠海市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，525S =，则7a =（）A ．16B ．15C ．14D ．13【正确答案】D【分析】先求得等差数列{}n a 的公差，从而求得7a .【详解】15353325552225,5a S a aa a +=⨯=⨯===，设等差数列{}n a 的公差为d ，则322d a a =-=，所以72535213a a d =+=+⨯=.故选：D2．已知空间向量()()1,2,,,2,3n a m a == ，且n m ⊥，则n m -= （）A ．B C ．20D ．【正确答案】D【分析】根据向量垂直列方程，求得a ，进而求得n m -.【详解】由于n m ⊥，所以43440,1n m a a a a ⋅=++=+==- ，所以()()()1,2,11,2,32,0,4n m -=---=-== 故选：D3．古代《九章算术》记载：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱”.由此可知第一人分得的钱数是（）A ．43B ．1C ．23D ．13【正确答案】A【分析】设第()15,N n n n *≤≤∈分到n a 钱，由题意可得出关于1a 、d 的方程组，解出1a 的值即可.【详解】设第()15,N n n n *≤≤∈分到n a 钱，设数列{}()15,N n a n n *≤≤∈的公差为d ，由题意可得1234512345++++=5+=++a a a a a a a a a a ⎧⎨⎩，所以，121315+=2+=2=+2=1a a a d a a d ⎧⎪⎨⎪⎩，解得143a =.故选：A.4．已知圆1C ：22(5)(3)9x y -+-=，圆2C ：224290x y x y +-+-=，则两圆的位置关系为（）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【正确答案】C【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系．【详解】圆1C ：22(5)(3)9x y -+-=的圆心为1(5,3)C ，半径13r =，圆2C ：224290x y x y +-+-=，即22(2)(1)14x y -++=，圆心1(2,1)C -，半径2r =，两圆的圆心距125C C =，353-<<+，即211221r r C C r r -<<+，所以圆1C 与圆2C 相交.故选：C5．设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A ．12B ．24C ．30D ．32【正确答案】D【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a q a a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==.故选：D.本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．6．过点()21P ，作圆221：+=O x y 的切线l ，则切线l 的方程为（）A ．3450x y --=B ．4350x y --=C ．1y =或4350x y --=D ．1y =或3450x y --=【正确答案】C【分析】设切线l 为1(2)y k x -=-，即120kx y k -+-=，由l 与圆221：+=O x y 相切，得1d =，即可解决.【详解】由题知，圆221：+=O x y ，圆心为(0,0)，半径为1，因为()21P ，在圆外，所以设切线l 为1(2)y k x -=-，即120kx y k -+-=，因为l 与圆221：+=O x y 相切，所以1d ==，解得0k =或43k =，所以切线l 的方程为1y =，或4350x y --=，故选：C7．已知直线1l ：20x ay -+=与直线2l ：()()240a x a y a ++-+=平行，则a 的值是（）A ．4-B ．1C ．4-或1D ．4或1-【正确答案】B【分析】根据给定条件列出关于a 的等式，求解并验证即可作答.【详解】因直线1l ：20x ay -+=与直线2l ：()()240a x a y a ++-+=平行，则有(2)40a a a ++-=，解得1a =或4a =-，当1a =时，直线1l ：20x y -+=与直线2l ：3310x y -+=平行，当4a =-时，直线1l ：420x y ++=与直线2l ：2840x y ---=，即420x y ++=重合，所以a 的值是1.故选：B8．已知2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，点P 在椭圆上，()220OP OF PF +⋅= ，且22OP OF b +=，则椭圆的离心率为（）A B C D ．5【正确答案】A【分析】设2PF 的中点为Q ，根据向量的线性运算法则及数量积的定义可得2OQ PF ⊥，从而得到12PF PF ⊥，根据22OP OF b +=得到1||2PF b =，再根据椭圆的定义得到2||PF ，在直角三角形中利用勾股定理得到23b a =，最后根据离心率公式计算可得；【详解】解：设2PF 的中点为Q ，则22OP OF OQ +=由22()0OP OF PF +⋅= ，即220OQ PF ⋅= 所以2OQ PF ⊥，连接1PF 可得1//OQ PF ，所以12PF PF ⊥，因为22OP OF b += ，即22OQ b = ，即1||2PF b =所以21||2||22PF a PF a b =-=-，在12R t PF F 中，2221212||||||PF PF F F +=，即()()2222224c b a b -+=，又222c a b =-，所以222222b a b ab a b +=+--，所以232b ab =，即23b a =解得c e a =故选：A 二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．过点()1,2P 且在x ､y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60︒D ．过点()1,2-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=【正确答案】BD【分析】A 选项忽略了过原点的情况，错误，B 选项计算截距得到正确，直线斜率为k =倾斜角为120︒，C 错误，根据垂直关系计算直线方程得到D 正确，得到答案.【详解】过点()1,2P 且在x ､y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=和2y x =，A 错误；取0x =，=2y -，则直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，B 正确；10y ++=的斜率为k =120︒，C 错误；垂直于直线230x y -+=的直线方程斜率为2k =-，过点()1,2-的直线方程为()2122y x x =-++=-，即20x y +=，D 正确.故选：BD.10．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20182019S S <且20192020S S >，则（）A ．在数列{}n a 中，1a 最大；B ．在数列{}n a 中，2019a 最大C ．20200a >D ．当2020n ≥时，0n a <【正确答案】AD【分析】由题得201920200,0a a ><，即可解决.【详解】由题知，无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20182019S S <且20192020S S >，所以201920200,0a a ><，所以等差数列{}n a 为递减数列，所以在数列{}n a 中，1a 最大；当2020n ≥时，0n a <；故选：AD11．已知空间中三点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，则下列命题正确的是（）A ．AB方向的单位向量是55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．AB 与BC 夹角的余弦值是C ．ABC的面积为2D ．若3AP AB AC =+ ，则点P 到直线AC【正确答案】BCD【分析】根据单位向量、向量夹角、三角形面积、点线距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()2,1,0AB = ，所以AB方向的单位向量是2,1,0,055AB AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，A 选项错误.B 选项，()3,1,1BC =- ，设AB与BC 夹角为θ，则cos AB BC AB BCθ⋅==-⋅，B选项正确.C 选项，由于cos 11θ=-，所以cos 11B =，则B 是锐角，所以sin B =所以12ABC S =C 选项正确.D 选项，()1,2,1AC =-，()111,3,1,,31,33AP AB AC AP ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，所以点P 到直线ACD 选项正确.故选：BCD12．如图，P 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n -=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论正确的是（）A ．12,PF a m PF a m=+=-B ．若60θ=︒，则2221314e e +=C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2n bθ=【正确答案】ABD【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线定义计算判断A ；借助余弦定理、离心率公式、均值不等式计算判断B ，C ，D 作答.【详解】由椭圆和双曲线的定义得：121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1PF a m =+，2PF a m =-，A 正确；在12F PF △中，由余弦定理得：()()()()()2222cos 2a m a m a m a m c θ-++--+=，整理得()()2221cos 1cos 2a m c θθ-++=，()()22221cos 1cos 2a m c c θθ-++=，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=，当60θ=︒时，222132122e e +=，即2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2212112e e +=，2222222112122222121211)11()()1(22e e e e e e e e e e ++++==+2221221212e e e e ≥+⋅，当且仅当121e e ==时取“=”，而1201,1e e <<>，C 不正确；在椭圆中，22222121212122||||cos ||||||442||||PF PF PF PF F F a c PF PF θ=+-=--，即2122||||1cos b PF PF θ=+，在双曲线中，22222121212122||||cos ||||||442||||PF PF PF PF F F m c PF PF θ=+-=-+，即2122||||1cos n PF PF θ=-，于是得22222222sin 221cos 2tan 1cos 1cos 1cos 22cos 2n b n b θθθθθθθ-=⇔===-++，而022θπ<<，则tan 2n b θ=，D 正确.故选：ABD方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、双曲线定义，得到a ，c 的关系.三、填空题13．双曲线221916x y -=的渐近线方程是___________.【正确答案】43y x=±【分析】直接由双曲线的方程求解即可【详解】因为双曲线方程为221916x y -=，所以双曲线的渐近线方程为220916x y -=，即43y x =±，故43y x=±14．以点(1,1),(3,3)A B -为直径的圆的一般式方程为______________．【正确答案】22240x y x y +--=【分析】根据AB 为直径，得到直径和圆心坐标，然后写方程即可.【详解】因为()1,1A -，()3,3，所以AB =AB 中点坐标为()1,2，所以以AB 为直径的圆的标准方程为()()22125x y -+-=，展开得一般式方程为22240x y x y +--=.故答案为.22240x y x y +--=15C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【正确答案】163【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x -代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-=解法二：10036640∆=-=>设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=,过,A B 分别作准线=1x -的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故163本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.16．如图，二面角AB αβ--的大小为60 ，线段PM 与NQ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB .若2,3,4PM MN NQ ===，则PQ =__________.21【分析】利用空间向量的线性运算可得PQ PM MN NQ =++，再根据向量所成角，结合数量积公式平方即可得解.【详解】根据题意，PQ PM MN NQ =++，由二面角l αβ--大小为120︒，可得,120PM NQ =，22()PQ PM MN NQ =++ 222222PM MN NQ PM MN NQ MN PM NQ=+++⋅+⋅+⋅ 14916224212⎛⎫=+++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以PQ =四、解答题17．已知公差不为0的等差数列{an }满足a 3＝9，a 2是a 1，a 7的等比中项．（1）求{an }的通项公式；（2）设数列{bn }满足()17n n b n a =+，求{bn }的前n 项和Sn ．【正确答案】（1）an ＝4n ﹣3．（2）Sn 44nn =+．（1）设等差数列{an }的公差为d （d ≠0），根据a 3＝9，a 2是a 1，a 7的等比中项．利用“1,a q ”法求解.（2）由（1）知()1111741n n b n a n n ⎛⎫==⎪++⎝⎭，再用裂项相消法求解.【详解】（1）设等差数列{an }的公差为d （d ≠0），则()()12111296a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=⋅+⎪⎩解得d ＝4或d ＝0（舍去），a 1＝1，∴an ＝1+4（n ﹣1）＝4n ﹣3．（2）∵()1111741n n b n a n n ⎛⎫==⎪++⎝⎭，∴1231111111412231n n S b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1114144nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭．本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．已知圆22:240C x y y +--=，直线:10l mx y m -+-=.(1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)若直线l 与圆C 交于不同的两点,A B，且AB =.【正确答案】(1)直线l 与圆C 相交；(2)直线的方程为0x y -=或20x y +-=【分析】（1）先求出直线l 过的定点坐标，判断定点在圆内，则直线l 必与圆相交；（2）由圆的半径和弦长求得圆心到直线l 的距离，以此列方程求解m 的值，即可求出直线l 的方程.【详解】（1）直线:10l mx y m -+-=，整理得(1)1m x y -=-，令1010x y -=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩即直线l 过定点(1,1)P .将P 点坐标代入圆C 方程得112440+--=-<，故P 点在圆C 内，直线l 与圆C 相交.（2）圆22:240C x y y +--=，整理得22(1)5x y +-=即(0,1)C ，r =.因为AB =，所以圆心C 到直线l 的距离为2d ==.又2d =，所以1m =±故直线的方程为0x y -=或20x y +-=.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且4PD CD ==，2AD =．（1）求证：PA CD ⊥；（2）求AP 与平面CMB 所成角的正弦值；（3）求二面角M CB P --的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析；（2）45；（331010（1）根据线面垂直的判定定理证明CD ⊥平面PAD ，即证PA CD ⊥；（2）以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求平面CMB的法向量，用向量的方法求直线AP 与平面CMB 所成角的正弦值；（3）求平面CBP 的法向量，用向量的方法求二面角M CB P --的余弦值．【详解】（1）PD ⊥ 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，PD CD ∴⊥.底面ABCD 是矩形，AD CD ∴⊥，又AD PD D =I ，CD \^平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，CD PA ∴⊥.（2）以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示则()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,4,0,0,0,4,1,0,2,2,4,0D A C P M B ，()()()2,0,4,2,0,0,1,4,2,25AP CB BM AP ∴=-==--= 设平面CMB 的法向量(),,n x y z = ，则·0·0n CB n BM ⎧=⎨=⎩，即0420x x y z =⎧⎨--+=⎩，令1y =，则2z =，()0,1,2,5n n ∴== .设直线AP 与平面CMB 所成的角为θ，则4sin cos ,5255AP n AP n AP n θ=〈〉==⨯ .所以AP 与平面CMB 所成角的正弦值为45.（3）()()2,0,0,2,4,4CB BP ==-- .设平面CBP 的法向量(),,m x y z = ，则·0·0m CB m BP ⎧=⎨=⎩，即02440x x y z =⎧⎨--+=⎩，令1y =，则1z =.()0,1,1,2m m == 又平面CMB 的法向量()0,1,2,5n n == 设二面角M CB P --的大小为α，则α为锐角，310cos cos ,1025m n m n m nα∴=〈〉===⨯ ，所以二面角M CB P --的余弦值为31010．本题考查线线垂直，考查用向量的方法求线面角和面面角，考查学生的运算能力，属于较难的题目.20．如图，焦点为F 的抛物线2y 2px(p 0)=>过点()Q 1,m (m 0)>，且QF 2=．(Ⅰ)求p 的值；(Ⅱ)过点Q 作两条直线1l ，2l 分别交抛物线于()11A x ,y ，()22B x ,y 两点，直线1l ，2l 分别交x 轴于C ，D 两点，若QCD QDC ∠∠=，证明：12y y +为定值．【正确答案】（Ⅰ）p 2=；（Ⅱ）见解析.【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义可得出p 的值；（Ⅱ）先写出抛物线的方程，由条件∠QCD ＝∠QDC ，得出直线AQ 和直线BQ 的斜率之和为零，利用两点的斜率公式以及等式2114y x =，2224y x =可计算出y 1+y 2＝-4，进而证明结论成立．【详解】(Ⅰ)抛物线的准线方程为p x 2=-，由抛物线的定义得p QF 122=+=，得p 2=；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，抛物线的方程为2y 4x =，将点Q 的坐标代入抛物线的方程得2m 414=⨯=，m 0> ，得m 2=，所以，点Q 的坐标为()1,2．QCD QDC ∠∠= ，所以，直线AQ 和BQ 的斜率互为相反数．则()()121212AQ BQ 2222121212124y 24y 2y 2y 2y 2y 244k k 0y y x 1x 1y 4y 4y 2y 21144------+=+=+=+=+=----++--．所以，12y 2y 20+++=，因此，12y y 4(+=-定值)．本题考查直线与抛物线的综合，考查抛物线的定义，同时考查抛物线性质的应用，考查计算能力，属于中等题．21．已知数列{}n a 中，12a =且*122(2,)n n a a n n n N -=-+≥∈.（1）求2a ，3a ，并证明{}n a n -是等比数列；（2）设12n n n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .【正确答案】（1）24a =，37a =，证明见解析；（2）1242n n n S n -+=+-.（1）在已知的数列递推公式中分别取2,3n =，结合已知的首项即可求得23,a a 的值，再把递推式两边同时减n 即可证明{}n a n -是等比数列；（2）由{}n a n -是等比数列求出数列{}n a 的通项公式，代入12n n n a b -=，分组后利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）由已知()*1222,n n a a n n n N -=-+≥∈+24a =，37a =，1222n n a n a n --=-+，即()121n n a n a n -⎡⎤-=--⎣⎦，因为()()*122,1n n a n n n N a n --=≥∈--，所以{}n a n -是以2为公比的等比数列.（2）由（1）得()1112n n a n a --=-⋅，即12n n a n -=+，所以11122n n n n a n b --==+，设12n n n C -=，且前n 项和为n T ，所以01231123422222n n n T -=+++++ ，①123112322222n n n T =++++ ，②①－②得231111111222222-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ n n n n T ，11112212122212--+=+-=--n n nn n ，所以1242n n n T -+=-，1242n n n S n -+=+-.该题主要考查的是等比数列的定义，数列的递推公式，错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．已知定点()1,0M -，圆N ：()22116x y -+=，点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点M 与N 作平行直线1l 和2l ，分别交曲线C 于点A ，B 和点D ，E ，求四边形ABDE 面积的最大值．【正确答案】(1)22143x y +=(2)6【分析】（1）由椭圆的定义求解（2）设直线方程后与椭圆方程联立，由韦达定理表示弦长，将面积转化为函数后求求解【详解】（1）由题意可得42MP NP PQ NP MN +=+=>=，所以动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C 的方程为：22143x y +=；（2）由题意可设2l 的方程为1x ty =+，联立方程得()2222134690431x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩，设()11,D x y ，()22,E x y ，则由根与系数关系有122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩，所以DE =()2212134t t +=+，根据椭圆的对称性可得()2212134t DE AB t +==+，1l 与2l 的距离即为点M 到直线2l的距离，为d所以四边形ABDE 面积为24S =()1u u =≥得224241313u S u u u==++，由对勾函数性质可知：当且仅当1u =，即0=t 时，四边形ABDE 面积取得最大值为6．。

2023-2024学年广东省珠海市珠海一中高三(上)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年广东省珠海市珠海一中高三(上)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年广东省珠海一中高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|1<2x≤16}，则A∩N的元素个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 62.已知复数z=(1−i)3，则−z在复平面对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列推断正确的是( )A. 若m⊂α，n与α相交，则m与n异面B. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//nC. 若α⊥β，m⊥α，则m//βD. 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β4.设等比数列{a n}的前n项积为T n，设甲：{T n}为递增数列，乙：{a n}为递增数列，则( )A. 甲是乙的充要条件B. 甲是乙的充分条件但不是必要条件C. 甲是乙的必要条件但不是充分条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5.已知sinα−cosα=23,0<α<π,则sin3α+cos3α=( )A. 131454B. −131454C. 131427D. −1314276.已知直角三角形ABC的面积为S，AB=2BC，AB⊥BC，D、E分别在边AB、AC上，满足DE=λBC(0<λ<1)，若BE⋅CD=139S，则λ=( )A. 13B. 23C. 14D. 347.若整数a，b，c，d满足a+b+c+d=2024，则满足条件“a≥2，b≥0，c≥2，d≥4”的数组(a,b,c,d)的个数为( )A. C42019B. C32019C. C42020D. C320208.若动直线2x+y+m=0交曲线y=e x于点A，交直线y=x于点B，则|AB|的最小值为( )A. 13B. 23C. 53D. 253二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

广东省珠海市第一中学2023届高三上学期阶段考数学试题附答案

广东省珠海市第一中学2023届高三上学期阶段考数学试题附答案

珠海市第一中学2022-2023学年度上学期阶段考试高三年级 数学试卷卷面总分：150考试时长：120分钟 命题人：张国应 审题人：杨军一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.设集合{}02,{13}M x Rx N x N x =∈≤≤=∈-<<∣∣，则M N ⋂=（ ） A.{}1,2 B.{}0,1,2C.{}02x x ≤≤∣ D.{13}x x -<<∣2.下面说法正确的是（ ） A.{}0∅∈B.{}{2xx y y ≥==∣∣C.集合(){},1x y x =∣䒾示曲线的长度为2πD.若,A U B U ⊆⊆，则()()()UU U A B A B ⋂=⋂3.已知实数,x y ，则“x y >”是>的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.若a b ､为实数，则“1ab >”是“1b a>”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知奇函数()f x 在R 上单调递增，且()11f =，则关于x 的不等式()()ln ln 2f x f x <-+的解集为（ ）A.()0,1B.()1,∞+C.()0,eD.(),e ∞+6.函数()()22(0),2g x ax a f x x x =+>=-，对[][]101,2,1,2x x ∀∈-∃∈-，使()()10g x f x =成立，则a的取值范围是（ ）A.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.[)1,2 C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.1,3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭7.已知关于x 的不等式2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中0m <，则44b a b +的最小值为（ ）A.2-B.1C.2D.88.已知函数()()0xf x e x x =+≠的导函数为()f x '：若0ab ≠，且a b >，则（ ）A.()()f a f b >B.()()f a f b ->-C.()()2f a f b ''+->D.()()2f a f b ''-+>二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列说法正确的是（ ） A.若,0a b c ><，则22a c b c < B.若,0a b c ><，则33a c b c < C.若0a b <<，则22a ab b >> D.函数y =的最小值是210.已知关于x 的方程()230x m x m +-+=，则下列说法正确的是（ ） A.当3m =时，方程的两个实数根之和为0 B.方程无实数根的一个必要条件是1m > C.方程有两个正根的充要条件是01m << D.方程有一个正根和一个负根的充要条件是0m < 11.下列说法正确的有（ ） A.1x y x+=的最小值为2 B.已知x >1，则4211y x x =+--的最小值为1 C.若正数x ､y 满足x +2y =3xy ，则2x +y 的最小值为3 D.设x ､y 为实数，若9x 2+y 2+xy =1，则3x +y12.已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，且满足()[)()[)221,0,1log 3,1,2xx f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当2x ≥时，()()2f x f x λ=-，λ为非零常数，则（ ）A.当1λ=时，()2log 804f =B.当1λ=-时，()f x 在区间[)10,11内单调递减C.当2λ=时，()f x 在区间130,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的最大值为1)-D.当2λ=时，若函数()1x g x -=的图像与()f x 的图像在区间[]0,a 内的m 个交点记为()(),1,2,3,,i i x y i m =⋅⋅⋅，且116mii x==∑，则a 的取值范围为[)7,9三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若正数,a b 满足1a b +=，则1aa b+的最小值为__________.14.设集合{}260,M xx mx x R =-+=∈∣，且{}2,3M M ⋂=，则实数m 的取值范围是__________. 15.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，则()()22log 48log 3f f -=__________. 16.已知,a b R ∈，若对任意0x ≤，不等式()()22210ax x bx ++-恒成立，则a b +的最小值为__________.四､解答题：本题共6小题，第17题10分，第18~22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.解下列不等式：（1）21x x->；（212x≥+18.定义一种新的集合运算∆：Δ{A B xx A =∈，且}x B ∉.若集合{}24920A x x x =++<，311B x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，M B A =∆.（1）求集合M ；（2）设不等式()()220x a x a -+-<的解集为P ，若x P ∈是x M ∈的必要条件，求实数a 的取值范围. 19.已知函数()f x 对一切实数,x y 都有()()f x y f y +-=(21)x x y ++成立，且(1)0f =. （1）求(0)f 的值，及()f x 的解析式；（2）当21x -≤≤时，不等式()(1)5f x a a x -≥--恒成立，求a 的取值范围. 20.已知()1f x x x=+. （1）求不等式()13f x x+<的解集；（2）若()f x 的最小值为M ，1,2a b M +=(),a b R +∈，求()()22f a f b +的最小值. 21.对于函数()f x ，若其定义域内存在实数x 满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“准奇函数”. （1）已知函数()21x f x x -=+，试问()f x 是否为“准奇函数”？说明理由； （2）若()2xg x m =+为定义在[]1,1-上的“准奇函数”，试求实数m 的取值范围； 22.已知函数()()21f x x x a x R =--+∈. （1）当1a =时，求函数()y f x =的零点.（2）当30,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数()y f x =在[]1,2x ∈上的最大值； （3）对于给定的正数a ，有一个最大的正数()T a ，使()0,x T a ∈⎡⎤⎣⎦时，都有()1f x ≤，试求出这个正数()T a 的表达式.珠海市第一中学2022-2023学年度上学期阶段考试高三年级数学试卷 数学答案一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.B 【详解】由题得{}0,1,2N =，所以{}0,1,2M N ⋂=.2.C 【详解】选项A.易知{}0∅⊆，故A 不正确.选项B.集合{{}{}02yy y y x x ==≥≠≥∣∣∣，故B 不正确.选项C.集合(){},1x y x =∣中，所表示的曲线方程为()22(1)41x y x -+=≥表示以()1,0为圆心，以2为半径的圆的右半部分，则曲线长度为1422ππ⨯=，故C 正确.选项D.()()()UU U A B A B ⋂=⋃，故D 不正确.3.A >1x y >≥，当x y >时，推不出1x y >≥；反之，成立，所以“x y >”是>的必要不充分条件.4.D 【详解】若1ab >成立，取1,2a b =-=-，而121-<-，即命题“若1ab >，则1b a>”是假命题，若1b a >成立，取1,2a b =-=，而()120-⋅<，即命题“若1b a >，时1ab >”是假命题，所以“1ab >”是“1b a >”的既不充分也不必要条件.5.C 【详解】因为()f x 为奇函数，所以()()ln ln f x f x -=-， 所以原不等式可化为()2ln 2f x <，即()ln 1f x <，因为()f x 单调递增，且()11f =， 所以ln 1x <，解得()0,x e ∈.6.C 【详解】解：若对[][]101,2,1,2x x ∀∈-∃∈-，使()()10g x f x =成立， 只需函数()y g x =的值域为函数()y f x =的值域的子集即可. 函数()[]222(1)1,1,2f x x x x x =-=--∈-，的值域为[]1,3-.当0a >时，()2g x ax =+递增，可得其值域为[]2,22a a -+， 要使][2,221,3a a ⎡⎤-+⊆-⎣⎦，需212230a a a -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩解得102a <≤，综上，a 的取值范围为10,2⎛⎤⎥⎝⎦. 7.C 【详解】2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2240ax bx ++=的两根为4,m m，444,1,2m a m b m a m ∴⋅=∴=+=-，则424b m m =-+≥-，即2b ≥， 44244b b a b b+=+≥，当且仅当4b =时取“=”， 8.C 【详解】因为(),0,0x xx e x x f x e x e x x -⎧+>=+=⎨+<⎩，所以()1,01,0x x e x f x e x -⎧+>=⎨-+<'⎩，所以()f x 在区间(),0∞-上单调递減，在区间()0,∞+上单调递增， 故选项A ，B 错误.又()f x '在区间()(),0,0,∞∞-+上单调递增， 所以()()()(),f a f b f a f b '''<'>--，所以()()()()()()()()2,2f a f b f a f a f a f b f a f a '''''+->+-=-+<-'+'='， 故选项C 正确，选项D 错误.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.BC 【详解】解：由23,1a b c =>=-=-时，得2249a c b c =->=-，选项A 错误； 由a b >，得33a b >，又0c <，所以33a c b c <，选项B 正确； 若0a b <<，则2222,,a ab ab b a ab b >>>>，选项C 正确；y ===，令t =[)2,t ∞∈+，因为1y t t =+在[)2,∞+上单调递增，则115222t t +≥+=252≥，选项D 错误. 10.BD 【详解】对于选项A ，方程为230x +=，方程没有实数根，所以选项A 错误；对于选项B ，如果方程没有实数根，则22Δ(3)41090m m m m =--=-+<，所以19,1m m <<>是19m <<的必要条件，所以选项B 正确；对于选项C ，如果方程有两个正根，则()3Δ1090300m m m m ⎧=-+≥⎪-->⎨⎪>⎩，所以01m <≤，所以方程有两个正根的充要条件是01m <≤，所以选项C 错误；对于选项D ，如果方程有一个正根和一个负根，则2Δ1090m m m ⎧=-+>⎨<⎩，所以0m <，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是0m <，所以选项D 正确. 11.BCD 【详解】解：对于A 选项，当x=-1时，10x y x+==，故A 选项错误， 对于B 选项，当x >1时，x ﹣1>0，则44212(1)11111y x x x x =+-=-++≥=--，当且仅当1x =时，等号成立，故B 选项正确，对于C 选项，若正数x ､y 满足x +2y =3xy ， 则2213x y xy x y+==+，12112212(2)()(5)(53333x y x y x y x y y x +=++=++≥+=，当且仅当x =y =1时，等号成立，故C 选项正确， 对于D 选项，()()()()222222235519965333334x y x y xy x xy y xy x y x y x y +=++=++-=+-⋅⋅≥+-⋅，所以()21237x y +≤，可得3x y ≤+≤当且仅当y =3x 时，等号成立，故3x +y ，D 选项正确. 12.BD 【详解】对于A ，当1λ=时，()()2f x f x =-，则()()222()f x f x f x +=+-=，当2x ≥时，()2()f x f x +=，所以()()2225log 80log 806log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭25log 45121144=-=-=，故A 错误； 对于B ，当1λ=-时，()()2f x f x =--，则()()42()f x f x f x +=-+=，当2x ≥时，()4()f x f x +=，所以()f x 在区间[)10,11内单调性与在区间[)2,3内的单调性相同，当[)2,3x ∈时，[)20,1x -∈，所以()f x 在区间[)2,3内单调性与在区间[)0,1内的单调性相反，故B 正确；对于C ，当2λ=时，当2x ≥，()()22f x f x =-， 即当0x ≥，()()122f x f x =+，当[0,2]x ∈时，()[0,1]f x ∈， 当[2,4]x ∈时，()[0,2]f x ∈，当[4,6]x ∈时，()[0,4]f x ∈，当136,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()8]f x ∈，所以()f x 在区间130,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的最大值 为4.故C 错误；对于D ，当2λ=时，当2x ≥，()()22f x f x =-， 即当0x ≥，()()122f x f x =+，由图像有：若函数()1x g x -=的图像与()f x 的图像在区间[]0,a 内的m 个交点记为()(),1,2,3,,i i x y i m =⋅⋅⋅，且116mi i x ==∑，则a 的取值范围为[)7,9，故D 正确.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.3 【详解】1113a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥+=（当12a b ==时取等号）14.({}5m ∈-⋃ 【详解】由题意{}2,3M M ⋂=，可得M 是集合{}2,3的子集，又{}260,M x x mx x R =-+=∈∣，当M 是空集时，即方程260x mx -+=无解，则满足2Δ()460m =--⨯<，解得m -<(m ∈-，此时显然符合题意；当M 中只有一个元素时，即方程260x mx -+=只有一个实数根，此时2Δ()460m =--⨯=，解得m =±x =x ={}2,3的子集中的元素，不符合题意，舍去；当M 中有两个元素时，则{}2,3M =，此时方程260x mx -+=的解为122,3x x ==，由根与系数之间的关系，可得两根之和为5，故235m =+=；当5m =时，可解得{}2,3M =，符合题意.综上m 的取值范围为({}5.m ∈-⋃15.0 【详解】根据题意，f （x ）为奇函数，则有f （﹣x ）=﹣f （x ）， 又由f （x ）=f （2﹣x ），则有f （2﹣x ）=﹣f （﹣x ），即f （x +2）=﹣f （x ）， 变形可得：f （x +4）=﹣f （x +2）=f （x ），即函数f （x ）是周期为4的周期函数， 则()222log 48(4log 3)(log 3)f f f =+=，故()()22log 48log 3f f -==0.【详解】设()2g x ax =+，2()21f x x bx =+-，()f x 图象是开口向上的抛物线，因此由0x ≤时，()()0f x g x ≤恒成立得0a >，()0g x =时，2x a =-，2x a <-时，()0g x <，20x a-<≤时，()0>g x ， 因此2x a <-时，()0f x >，20x a -<≤时，()0f x <，2()0f a -=，所以24410b a a --=①，2b a->-①， 由①得14a b a =-，代入①得124a a a ->-，因为0a >，此式显然成立.134a a b a +=+≥=134a a =，即3a = 所以ab +或者a b b +=≥四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分。

广东省部分学校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试卷(含答案解析)

广东省部分学校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试卷(含答案解析)

广东省部分学校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知()()2,1,3,1,1,1a b =-=- ，若()a a b λ⊥-，则实数λ的值为（）A ．2-B ．143-C ．73D ．22．P 是被长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是（）A ．11,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦3．已知向量()4,3,2a =- ，()2,1,1b = ，则a 在向量b上的投影向量为（）A ．333,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．333,,244⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．333,,422⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,2,24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()102A G λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（）AB C ．3D 5．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，,M N 分别为棱,BC PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a =，AD b =，AP c = ，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（）A ．1132a b c++B ．1162a b c-++C ．1132a b c -+D ．1162a b c--+ 6．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足1146OM OA OC λ=++ ．若,,MA MB MC共面，则λ=（）A ．12B ．13C ．512D ．7127．已知向量()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=，则b a - 的最小值为（）AB C D8．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O ）.如图：已知粽子三棱锥P ABC -中，PA PB AB AC BC ====，H 、I 、J 分别为所在棱中点，D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面CDE 或平面HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（）.A ．π9B ．π18C ．π27D ．π54二、多选题9．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点，F 为11A D 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）A ．13DB =B ．向量AE 与1AC uuu r 所成角的余弦值为5C ．平面AEF 的一个法向量是()4,1,2-D ．点D 到平面AEF 10．在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，点P 满足][1([0,1,0,])1BP BC BB λμλμ=+∈∈，则下列说法正确的是（）A ．当1λ=时，点P 在棱1BB 上B ．当1μ=时，点P 到平面ABC 的距离为定值C ．当12λ=时，点P 在以11,BC B C 的中点为端点的线段上D ．当11,2λμ==时，1A B ⊥平面1AB P 11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A ．122CG AB AA =+ B ．直线CQ 与平面1111D C B A 所成角的正弦值为23C ．点1C 到直线CQ 的距离是3D ．异面直线CQ 与BD 三、填空题12．正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点．在直线1CC 上求一点N ，当CN 的长为时，使1⊥MN AB ．13．四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且1PD =，3AB =，G 是ABC V 的重心，则PG 与平面PAD 所成角θ的正弦值为.14．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若25m AB =，10m BC =，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为5，则该五面体的所有棱长之和为.四、解答题15．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.(1)当点E 在棱AB 的中点时，求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；(2)当AE 为何值时，直线1A D 与平面1D EC 所成角的正弦值最小，并求出最小值.16．如图所示，直三棱柱11ABC A B C -中，11,92,0,,CA CB BCA AA M N ︒==∠==分别是111,A B A A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求11cos ,BA CB的值．(3)求证：BN ⊥平面1C MN ．17．如图，在四棱维P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求直线PB 与平面PCD 所成角的正切值；(2)在PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．18．如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ⋂=，AC MN G ⋂=．沿MN 将CMN 翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND -．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)若平面PMN ⊥平面MNDB ，线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QDN 与平面PMN 所成Q 的位置；若不存在，请说明理由．19．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面,60ABCD ABC ∠= ，11,,2PA AB E F ==分别是线段BD 和PC 上的动点，且()01BE PFBD PC λλ==<≤．(1)求证：//EF 平面PAB ；(2)求直线DF 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值；(3)若直线AE与线段BC交于M点，AH PM于点H，求线段CH长的最小值．参考答案：题号12345678910答案C BADDDCBBCDBCD题号11答案BC1．C【分析】利用两个向量垂直的性质，数量积公式即求得λ的值．【详解】 向量()()2,1,3,1,1,1a b =-=-若()a a b λ⊥-，则2()(419)(213)0a a b a a b λλλ⋅-=-⋅=++-++=，73λ∴=．故选：C ．2．B【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点P 的坐标为(),,x y z ，用坐标运算计算出1PA PC ⋅，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围．【详解】如图，以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则1,0,0，()10,1,1C ，设(),,P x y z ，01x ≤≤，01y ≤≤，1z =，()1,,1PA x y ∴=--- ，()1,1,0PC x y =--，()()2222111111222PA PC x x y y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫∴⋅=----=-+-=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12x y ==时，1PA PC ⋅ 取得最小值12-，当0x =或1，0y =或1时，1PA PC ⋅取得最大值0，所以1PA PC ⋅ 的取值范围是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：B.3．A【分析】根据投影向量公式计算可得答案.【详解】向量a 在向量b上的投影向量为()()()2242312333cos ,2,1,12,1,13,,222b a b a a b b b b ⋅⨯+⨯-⎛⎫⋅⋅=⋅=⋅== ⎪⎝⎭r r rr r r r r r .故选：A.4．D【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可．【详解】以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,,2G λ，()10,0,2D ，()2,0,1E ，()2,2,1F ，所以()12,0,1ED =- ，()0,2,0= EF ，()0,,1EG λ=．设平面1D EF 的法向量为(),,n x y z = ，则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，得()1,0,2n =r，所以点G 到平面1D EF的距离为EG n d n ⋅== ，故选：D ．5．D【分析】利用空间向量的线性运算结合图形计算即可.【详解】由条件易知()11113232MN MC CD DN BC BA DP AD BA AP AD =++=++=++-()11113262b ac b a b c =-+-=--+.故选：D 6．D【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得.【详解】在四面体OABC 中，,,OA OB OC不共面，而1146OM OA OB OC λ=++ ，则由,,MA MB MC ，得11146λ++=，所以712λ=.故选：D 7．C【分析】计算出b a -=≥ .【详解】因为()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=，所以b a -=当0t =时，等号成立，故ba -.故选：C.8．B【分析】设1PFCF ==，易知PA PB AB AC BC =====，且23FG =，设肉馅球半径为r ，CG x =，根据中点可知P 到CF 的距离4d r =，sin 4dPFC r PF∠==，根据三角形面积公式及内切圆半径公式可得1x =，结合余弦定理可得1cos 3PFC ∠=，进而可得3PC =，sin 3PFC ∠=，可得内切球半径且可知三棱锥为正三棱锥，再根据球的体积公式及三棱锥公式分别求体积及比值.【详解】如图所示，取AB 中点为F ，PF DE G ⋂=，为方便计算，不妨设1PF CF ==，由PA PB AB AC BC ====，可知3PA PB AB AC BC =====，又D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点，则2233FG PF ==，且AB PF ⊥，AB CF ⊥、PF CF F = ，PF ，CF ⊂平面PCF ，即AB ⊥平面PCF ，又AB ⊂平面ABC ，则平面PCF ⊥平面ABC ，设肉馅球半径为r ，CG x =，由于H 、I 、J 分别为所在棱中点，且沿平面HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅，则P 到CF 的距离4d r =，sin 4d PFC r PF∠==，12414233GFC r S r =⋅⋅⋅=△，又2132GFC rS x ⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭ ，解得：1x =，故22241119cos 223213CF FG CG PFC CF FG +-+-∠===⋅⋅⋅⋅，又2222111cos 21132P PF CF PC PC F F C P F C +-+⋅-∠=⋅=⋅⋅，解得PC =，sin 3PFC ∠=，所以：4sin 31rPFC ∠==，解得6r =，343V r =π=球，由以上计算可知：P ABC -为正三棱锥，故111sin 4332ABC V S d AB AC BAC r =⋅⋅=⋅⋅⋅∠⋅粽11432332627=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，=.故选：B.9．BCD【分析】先写出需要的点的坐标，然后利用空间向量分别计算每个选项即可.【详解】由题可知，2,0,0,()0,0,0D,()2,2,1E,()1,0,2F,()12,2,2B,()10,2,2C，所以1DB==A错误；()0,2,1AE=,()12,2,2AC=-，所以111·cos,AE ACAE ACAE AC=B正确；()0,2,1AE=,()1,0,2AF=-，记()4,1,2n=-，则0,0AE AFn n==，故,AE AFn n⊥⊥，因为AE AF A⋂=,,AE AF⊂平面AEF，所以()4,1,2n=-垂直于平面AEF，故选项C正确；B =2,0,0，所以点D到平面AEF的距离·21DA ndn===，故选项D正确；故选：BCD10．BCD【分析】对于A，由1CP BP BC BBμ==-即可判断；对于B，由[]11,0,1B P BP BB BCλλ=-=∈和11//B C平面ABC即可判断；对于C，分别取BC和11B C的中点D和E，由BP BD=+1BBμ即1DP BBμ=即可判断；对于D，先求证1A E⊥平面11BB C C，接着即可求证1B P⊥平面1A EB，进而即可求证1A B⊥平面1AB P.【详解】对于A，当1λ=时，[]1,0,1CP BP BC BBμμ=-=∈，又11CC BB=，所以1CP CCμ=即1//CP CC，又1CP CC C=，所以1C C P、、三点共线，故点P在1CC上，故A错误；对于B ，当1μ=时，[]11,0,1B P BP BB BC λλ=-=∈，又11B C BC =，所以111B P B C λ= 即111//B P B C ，又1111B B C P B = ，所以11B C P 、、三点共线，故点P 在棱11B C 上，由三棱柱性质可得11//B C 平面ABC ，所以点P 到平面ABC 的距离为定值，故B 正确；对于C ，当12λ=时，取BC 的中点11,D B C 的中点E ，所以1//DE BB 且1DE BB =，BP BD =+[]1,0,1BB μμ∈ ，即1DP BB μ= ，所以DP E D μ= 即//DP DE，又DP DE D ⋂=，所以D E P 、、三点共线，故P 在线段DE 上，故C 正确；对于D ，当11,2λμ==时，点P 为1CC 的中点，连接1,A E BE ，由题111A B C △为正三角形，所以111A E B C ⊥，又由正三棱柱性质可知11A E BB ⊥，因为1111BB B C B = ，111BB B C ⊂、平面11BB C C ，所以1A E ⊥平面11BB C C ，又1B P ⊂平面11BB C C ，所以11A E B P ⊥，因为1111B C BB CC ==，所以11B E C P =，又111π2BB E B C P ∠=∠=，所以111BB E B C P ≌，所以111B EB C PB ∠=∠，所以1111111π2PB C B EB PB C C PB ∠+∠=∠+∠=，设BE 与1B P 相交于点O ，则1π2B OE ∠=，即1BE B P ⊥，又1A E BE E = ，1A E BE ⊂、平面1A EB ，所以1B P ⊥平面1A EB ，因为1A B ⊂平面1A EB ，所以11B P A B ⊥，由正方形性质可知11A B AB ⊥，又111AB B P B = ，11B P AB ⊂、平面1AB P ，所以1A B ⊥平面1AB P ，故D 正确.故选：BCD.【点睛】思路点睛：对于求证1A B ⊥平面1AB P ，可先由111A E B C ⊥和11A E BB ⊥得1A E ⊥平面11BB C C ，从而得11A E B P ⊥，接着求证1BE B P ⊥得1B P ⊥平面1A EB ，进而11B P A B ⊥，再结合11A B AB ⊥即可得证1A B ⊥平面1AB P .11．BC【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到122AB AA CG +≠ ；B 选项，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案；C 选项，利用空间向量点到直线距离公式进行求解；D 选项，利用异面直线夹角公式进行求解.【详解】A 选项，以A 为坐标原点，1,,DA AB AA所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()10,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,2,0,1,2,1,1,0A B A G Q C ----，()()()110,1,1,1,1,1,1,0,0B C D --，()()()10,2,2,0,1,0,0,0,1CG AB AA =-==，则()()()1220,2,00,0,20,2,2AB AA CG +=+=≠，A 错误；B 选项，平面1111D C B A 的法向量为()0,0,1m =，()()()0,1,21,1,01,2,2CQ =---=-，设直线CQ 与平面1111D C B A 所成角的大小为θ，则2sin cos ,3CQ m CQ m CQ m θ⋅===⋅，B 正确；C 选项，()10,0,1CC =，点1C 到直线CQ 的距离为3d ==，C 正确；D 选项，()()()1,0,00,1,01,1,0BD =--=--，设异面直线CQ 与BD 所成角大小为α，则cos cos ,6CQ BD CQ BD CQ BDα⋅=====⋅，D 错误.故选：BC 12．18/0.125【分析】根据正三柱性质建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可得结果.【详解】取11B C 的中点为1M ，连接1,MM AM ，由正三棱柱性质可得11,,AM MM BM MM AM BM ⊥⊥⊥，因此以M 为坐标原点，以1,,AMBM MM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：易知()11,0,0,0,,2,0,0,022A B M ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设CN 的长为a ，且0a >，可得10,,2N a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；易知1110,,,,,2222MN a AB ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若1⊥MN AB ,则1112022MN AB a ⋅=-⨯+= ,解得18a =，所以当CN 的长为18时，使1⊥MN AB .故答案为：1813．23【分析】建立空间直角坐标系，求出平面PAD 的一个法向量m 及PG，由PG 与平面PAD 所成角θ，根据sin cos ,m PG m PG m PGθ⋅==⋅即可求解.【详解】因为PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以,,DA DC DP 两两垂直，以D 为坐标原点，,,DA DC DP的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,0,1P ，()3,0,0A ，()3,3,0B ，()0,3,0C ，则重心()2,2,0G ，因而()2,2,1PG =- ，()3,0,0DA = ，()0,0,1DP =，设平面PAD 的一个法向量为(),,m x y z =，则300m DA x m DP z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1y =则()0,1,0m = ，则22sin cos ,133m PG m PG m PG θ⋅====⨯⋅，故答案为：23.14．117m【分析】先根据线面角的定义求得5tan tan EMO EGO ∠=∠，从而依次求EO ，EG ，EB ，EF ，再把所有棱长相加即可得解．【详解】如图，过E 做EO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，过E 分别做EG BC ⊥，EM AB ⊥，垂足分别为G ，M ，连接OG ，OM ，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠，所以5tan tan EMO EGO ∠=∠．因为EO ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以EO BC ⊥，因为EG BC ⊥，EO ，EG ⊂平面EOG ，EO EG E = ，所以⊥BC 平面EOG ，因为OG ⊂平面EOG ，所以BC OG ⊥，同理，OM BM ⊥，又BM BG ⊥，故四边形OMBG 是矩形，所以由10BC =得5OM =，所以EO 5OG =，所以在直角三角形EOG 中，EG =在直角三角形EBG 中，5BG OM ==，8EB ==，又因为55255515EF AB =--=--=，所有棱长之和为2252101548117⨯+⨯++⨯=．故答案为：117m15．(2)当2AE =时，直线1A D 与平面1D EC 【分析】（1）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面1D EC 的一个法向量，平面1DCD 的一个法向量，利用向量法可求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；（2）设AE m =，可求得平面1D EC 的一个法向量，直线的方向向量1DA，利用向量法可得sin θ=.【详解】（1）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，当点E 在棱AB 的中点时，则1(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,0)E C D A D ，则1(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)ED EC DA =--=-=，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1·0·0n ED x y z n EC x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩ ，令1x =，则1,2y z ==，所以平面1D EC 的一个法向量为(1,1,2)n =，又平面1DCD 的一个法向量为(1,0,0)DA =，所以·cos ,·DA n DA n DA n=== 所以平面1D EC 与平面1DCD（2）设AE m =，则11(0,0,1),(1,,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,1)E m C D A D ，则11(1,,1),(1,2,0),(02),(1,0,1)ED m EC m m DA =--=--≤≤=，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1·0·(2)0n ED x my z n EC x m y ⎧=--+=⎪⎨=-+-=⎪⎩ ，令1y =，则2,2x m z =-=，所以平面1D EC 的一个法向量为(2,1,2)n m =-，设直线1A D 与平面1D EC 所成的角为θ，则11||sin ||||n DA n DA θ===令4[2,4]m t -=∈，则sin θ=当2t =时，sin θ取得最小值，最小值为5.16．(2)10(3)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据空间两点间距离公式，即得答案；（2）根据空间向量的夹角公式，即可求得答案；（3）求出1C M ，1C N，BN 的坐标，根据空间位置关系的向量证明方法，结合线面垂直的判定定理，即可证明结论.【详解】（1）如图，建立以点O 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴的空间直角坐标系．依题意得(0,1,0),(1,0,1)B N ，∴BN == （2）依题意得，()()()()111,0,2,0,1,0,0,0,0,0,1,2A B C B ，∴1(1,1,2)BA =- ，1(0,1,2)CB =，113BA CB =⋅，1BA1CB所以11111cos ,BA CB BA CB BA CB ⋅=⋅（3）证明：()()()10,0,2,0,1,0,1,0,1C B N ，11,,222M ⎛⎫⎪⎝⎭．∴111,,022C M ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()11,0,1C N =- ，()1,1,1BN =-，∴1111(1)10022C M BN ⋅=⨯+⨯-+⨯= ，1110(1)(1)10C N BN ⋅=⨯+⨯-+-⨯=，∴1C M BN ⊥ ，1C N BN ⊥，即11,C M BN C N BN ⊥⊥，又1C M ⊂平面1C MN ，1C N ⊂平面1C MN ，111= C M C N C ，∴BN ⊥平面1C MN ．17．(2)存在点M ，使得//BM 平面PCD ，14AM AP =.【分析】（1）取AD 的中点为O ，连接,PO CO ，由面面垂直的性质定理证明⊥PO 平面ABCD ，建立空间直角坐标系求解直线PB 与平面PCD 所成角的正切值即可；（2）假设在PA 上存在点M ，使得()01PM PA λλ=≤≤，由线面平行，转化为平面的法向量与直线的方向向量垂直，求解参数即可.【详解】（1）取AD 的中点为O ，连接,PO CO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以⊥PO 平面ABCD ，又AC CD =，所以CO AD ⊥，PA PD ⊥，2AD =，所以1PO =，AC CD ==2CO =，所以以O 为坐标原点，分别以,,OC OA OP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，0,0,1，()2,0,0C ，()0,1,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0D -，所以()2,0,1PC =- ，()0,1,1PD =--，()1,1,1PB =- ，设平面PCD 的一个法向量为 =s s ，则00PC m PD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，200x z y z -=⎧⎨--=⎩，令1,x =则2,2z y ==-，所以()1,2,2m =-，设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，sin cos ,m PB m PB m PB θ⋅====，所以cos 3θ==，所以tan θ所以直线PB 与平面PCD所成角的正切值2.（2）在PA 上存在点M ，使得()01PM PA λλ=≤≤，所以()0,1,1PA =- ，所以()0,,PM PA λλλ==-，所以()0,,1M λλ-，所以()1,1,1BM λλ=---，因为//BM 平面PCD ，所以BM m ⊥ ，即()()121210λλ---+-=，解得34λ=，所以存在点M ，使得//BM 平面PCD ，此时14AM AP =.18．(1)总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明详见解析(2)存在，Q 是PA 的靠近P 的三等分点，理由见解析.【分析】（1）通过证明BD ⊥平面PAG 来证得平面PBD ⊥平面PAG .（2）建立空间直角坐标系，利用平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值来列方程，从而求得Q 点的位置.【详解】（1）折叠前，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，由于,M N 分别是边BC ，CD 的中点，所以//MN BD ，所以MN AC ⊥，折叠过程中，,,,,MN GP MN GA GP GA G GP GA ⊥⊥⋂=⊂平面PAG ，所以MN ⊥平面PAG ，所以BD ⊥平面PAG ，由于BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAG .（2）存在，理由如下：当平面PMN ⊥平面MNDB 时，由于平面PMN 平面MNDB MN =，GP ⊂平面PMN ，GP MN ⊥，所以GP ⊥平面MNDB ，由于AG ⊂平面MNDB ，所以GP AG ⊥，由此以G 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知())(),2,0,,0,1,0,P D B N PB --=- ()A，(PA = ，设()01PQ PA λλ=≤≤ ，则(()(),0,3,0,GQ GP PQ GP PA λ=+=+=+-= ，平面PMN 的法向量为()11,0,0n = ，()(),DQ DN ==，设平面QDN 的法向量为()2222,,n x y z = ，则()2222222200n DQ x y z n DN y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，故可设()21n λλ=--+ ，设平面QDN 与平面PMN 所成角为θ，由于平面QDN 与平面PMN所成角的余弦值为13，所以1212cos n n n n θ⋅==⋅解得13λ=,所以当Q 是PA 的靠近P 的三等分点时，平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为13.19．(1)证明见解析(2)8(3)5【分析】（1）根据条件建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量证明线面关系即可；（2）利用空间向量研究线面夹角，结合二次函数的性质计算最大值即可；（3）设BM tBC = ，利用空间向量基本定理及三点共线的充要条件得出AH ，利用向量模长公式及导数研究函数的单调性计算最值即可.【详解】（1）由于四边形ABCD 是菱形，且60ABC ∠= ，取CD 中点G ，则AG CD ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，可以A 为中心建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,,,0,0,1,B C D P G -，所以()()()1,,2,0,1PC BD BP =-=-=- ，由()01BE PF BD PCλλ==<≤，可知,,BE BD PF PC EF EB BP PF BD BP PC λλλλ==∴=++=-++ ()42,0,1λλ=--，易知()AG = 是平面PAB 的一个法向量，显然0EF AG ⋅= ，且EF ⊄平面PAB ，即//EF 平面PAB；（2）由上可知()()()1,,DP PF DF λλλλ+==+-=+- ，设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =r，则200n BP x z n PC x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1x =，则2,3z y ==，2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设直线DF 与平面PBC 所成角为α，则sin cos ,n DF n DF n DF α⋅==⋅ ，易知35λ=时，()2min 165655λλ-+=，即此时sin α取得最大值8；（3）设()(](),0,0,12,0BM t BC t t AM AB BM t ==-∈⇒=+=- ，由于,,H M P 共线，不妨设()1AH xAM x AP =+- ，易知AM AP ⊥，则有()()22010AH PM AH AM AP x AM x AP ⋅=⋅-=⇒--= ，所以22114451x t t AM ==-++ ，则()()2CH CA AH t x x =+=--- ，即()()2222454454655445t CH t t x t x t t --=-+-++=+-+ 记()(]()2450,1445t f t t t t --=∈-+，则()()()2228255445t t f t t t --+'=-+，易知22550t t -+>恒成立，所以()0f t '<，即()f t 单调递减，所以()()min 9155f t f CH ≥=-⇒==.。

2021-2022学年广东省珠海市高一上学期期末考试数学试卷含详解

2021-2022学年广东省珠海市高一上学期期末考试数学试卷含详解
C.函数 是偶函数D.函数 是奇函数
C
【分析】根据奇偶性的定义判断即可；
【详解】解：因为函数 是偶函数，函数 是奇函数，所以 、 ，
对于A：令 ，则 ，故 是非奇非偶函数，故A错误；
对于B：令 ，则 ，故 为奇函数，故B错误；对于C：令 ，则 ，故 为偶函数，故C正确；
对于D：令 ，则 ，故 为偶函数，故D错误；
（2）求出 整体的范围，再结合正弦函数的单调性求解单调区间和值域.
【小问1详解】
；
函数 的最小正周期为 ，
函数 的对称轴方程为 ；
【小问2详解】 ，
，
时，函数 单调递减，即 时，函数 在 上单调递减；
时，函数 在单调递增，即 时，函数 在 上单调递增.
，
函数 的值域为 .
21.果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本 （万元）与果树数量 （百棵）之间的关系如下表所示.
【小问1详解】
，
.【小问2详解】
，
.
，
.
.
20.已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期及函数 的对称轴方程；
（2）若 ，求函数 的单调区间和值域.
（1）最小正周期为 ，对称轴方程为
（2）函数 在 上单调递减，在 上单调递增；值域为
【分析】（1）先通过降幂公式化简成 ，再按照周期和对称轴方程进行求解；
1.已知集合 ，下列选项正确的是（）
A. B. C. D.
B
【分析】由已知集合，判断选项中的集合或元素与集合A的关系即可.
【详解】由题设， 且 ，
所以B正确，A、C、D错误.
故选：B
2.已知集合 ， 或 ，则 （）

2023-2024学年广东省珠海市香洲区九年级(上)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年广东省珠海市香洲区九年级(上)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年广东省珠海市香洲区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各数是一元二次方程的根的是( )A. B. 4 C. D. 32.在下列图形中，中心对称图形是( )A. 等边三角形B. 平行四边形C. 等腰梯形D. 正五边形3.下列成语中，表示必然事件的是( )A. 水中捞月B. 守株待兔C. 水涨船高D. 刻舟求剑4.如图是关于x的二次函数的图象，则下列结论正确的是( )A.B.C.D.5.如图，点A在图象上，轴于点B，且的面积为4，则k的值为( )A. 2B. 4C. 8D. 126.如图所示，在中，，，AD，OB相交于点C，那么的度数是( )A.B.C.D.7.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是( )A. B.C. D.8.如图，AE是直径，半径OD与弦AB垂直于点C，连接若，，则CE的长为( )A. 8B.C.D.9.如图，等腰直角三角形ABC，斜边，D是AB中点，点E为边BC上一动点，直线DE绕点D 逆时针旋转交AC于点F，则的值为( )A. 2B.C.D.10.下列命题：①关于x的方程是一元二次方程，则；②二次函数的顶点在x轴上，则；③如果，那么反比例函数与的图象肯定没有交点；④不透明的盒中放有除颜色外无其他差别的x枚黑棋和y枚白棋，从盒中随机取一枚棋子取到黑棋的概率为若盒中的黑棋增加一倍，白棋数量不变，则从盒中随机取一枚棋子取到黑棋的概率为其中正确命题的序号为( )A. ①④B. ②③C. ②③④D. ①②③④二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.外观相同的10件产品中有两件不合格，现从中随机抽取一件进行检测，抽到不合格产品的概率为______.12.如图，菱形ABCD的对角线交点是坐标原点O，已知点，则点C的坐标为______.13.已知二次函数的对称轴是直线，则常数______.14.若点和都在反比例函数的图象上，则______.15.二次函数的图象与x轴交于点A，B，，则常数m的值为______.16.如图，点C是半圆ACB上一动点，直径，分别以AC，BC为直径向外作半圆，若阴影面积总和为，则AC的值为______.三、解答题：本题共8小题，共72分。

广东省揭阳市普宁市2022-2023学年高二上学期期末教学质量测试数学试题(含答案解析)

广东省揭阳市普宁市2022-2023学年高二上学期期末教学质量测试数学试题(含答案解析)

广东省揭阳市普宁市2022-2023学年高二上学期期末教学质量测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线2310x y ++=在y 轴上的截距为（）A ．12B ．12-C ．13D ．13-2．已知空间向量()0,1,4a = ，()1,1,0b =-，则a b += （）AB ．19C ．17D 3．已知数列{}n a 是等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，318S =，则6S =（）A ．54B ．71C ．81D ．804．若椭圆22:1(0)9+=>x y C m m 上一点到C 的两个焦点的距离之和为2m ，则m =（）A ．1B ．3C ．6D ．1或35．双曲线的一个焦点与抛物线224x y =的焦点重合，它的一条渐近线的倾斜角为60°，则该双曲线的标准方程为（）A ．2215418y x -=B ．2215418x y -=C ．221279y x -=D ．221927x y -=6．在空间四边形ABCD 中，AB CD AC BD AD BC ++等于（）A ．1-B ．0C ．1D ．不确定7．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O (0，0)，A (3，0)，动点P (x ，y )满2PAPO=，则动点P 轨迹与圆22(2)2x y -+=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，当n N *∈时，n a ，1n 2+，1n a +成等差数列，若2020n S =，且23a <，则n 的最大值为（）A ．63B ．64C ．65D ．66二、多选题9．已知数列{}n a 中，13a =，且111n n a a +=-+，则能使3n a =的n 可以是（）A ．4B ．14C ．21D ．2810．设椭圆22:12x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，则下列说法中正确的有（）A ．离心率2e =B ．过点1F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，则2ABF △的周长为C ．若P 是椭圆C 上的一点，则12PF F △面积的最大值为1D ．若P 是椭圆C 上的一点，且1260F PF ∠=︒，则12PF F △11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，下列四个结论中正确的是（）A ．直线1BC 与直线1AD 所成的角为90︒B ．1B D ⊥平面1ACDC ．点1B 到平面1ACD 的距离为2D ．直线1B C 与平面1ACD 所成角的余弦值为312．已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:20l x y ++=，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ，则下列结论正确的是（）A ．四边形MAPB 面积的最小值为4B ．四边形MAPB 面积的最大值为8C ．当APB ∠最大时，PA =D ．当APB ∠最大时，直线AB 的方程为x y +=三、填空题13．直线:10l x y +-=被圆22:6430C x y x y ++--=截得的弦长为___________.14．在空间直角坐标系O xyz -中，向量()1,3,2v =-为平面ABC 的一个法向量，其中()1,1,A t -，()3,1,4B ，则向量AB的坐标为______．15．将数列{n }按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：（1），(2，3)，(4，5，6)，…，则第22组中的第一个数是_________16．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点()1,2M ，点P 为抛物线上的任意一点，则PM PF +的最小值为_________.四、解答题17．已知直线()123:10,:20(0,0),:l a x y a l ax by a b l y x -+-=+-=>>=，直线1l 与3l 相交于点P ；(1)求点P 的坐标；(2)若2l 经过点P 且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求实数,a b 的值.18．如图，一抛物线型拱桥的拱顶O 离水面高4米，水面宽度10AB =米．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持平．(1)问船只能否顺利通过该桥？(2)已知每增加一层货箱，船体连货物高度整体上升4cm ；每减少一层货箱，船体连货物高度整体下降4cm ．且货物顶部与桥壁在竖直方向需留2cm 间隙方可通过，问船只最多增加或减少几层货箱可恰好能从桥下中央通过？19．已知圆C 的方程为：2224690()x y mx y m m R +--+-=∈.(1)求m 的值，使圆C 的周长最小；(2)过(1,2)P -作直线l ，使l 与满足（1）中条件的圆C 相切，求l 的方程，并求切线段的长.20．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 满足AB AD ⊥，AB BC ⊥，SA ⊥底面ABCD ，且1SA AB BC ===，0.5=AD .(1)证明AD ∥平面SBC ；(2)求平面SBC 与平面SAD 的夹角.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S .()*22n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题.①24b =，48b =；②2b 是1b 和4b 的等比中项，872T =.若公差不为0的等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，且______，求数列n n T na ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n A .22．已知ABC的两个顶点坐标分别为(B C ，该三角形的内切圆与边,,AB BC CA 分别相切于P ，Q ，S三点，且||2=AS ABC 的顶点A 的轨迹为曲线E ．(1)求E 的方程；(2)直线11:2l y x =-交E 于R ，V 两点．在线段VR 上任取一点T ，过T 作直线2l 与E 交于M ，N 两点，并使得T 是线段MN 的中点，试比较||||TM TN ⋅与||||⋅TV TR 的大小并加以证明．参考答案：1．D【分析】将0x =代入直线方程求y 值即可.【详解】令0x =，则20310y ⨯++=，得13y =-.所以直线在y 轴上的截距为13-.故选：D 2．D【分析】先求出a b +的坐标，再求出其模【详解】因为()0,1,4a = ，()1,1,0b =-，所以()1,0,4a b +=，故a b += 故选：D.3．C【分析】利用等差数列的前n 项和公式求解.【详解】∵{}n a 是等差数列，11a =，∴31333318S a d d =+=+=，得5d =，∴61656675812S a d ⨯=+=+=.故选：C.4．B【分析】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案.【详解】若9m >，则由2=m 得1m =（舍去）；若09m <<，则由26m =得3m =．故选：B.5．C【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程得到a ，b 关系，求解即可．【详解】解：抛物线224x y =的焦点：(0,6)，可得6c =，且双曲线的焦点坐标在y 轴上，因为双曲线的渐近线的倾斜角为60︒，所以ab=223a b =，又22236c a b =+=，所以227a =，29b =，所求双曲线方程为：221279y x -=．故选：C ．6．B【分析】令,,AB a AC b AD c ===，利用空间向量的数量积运算律求解.【详解】令,,AB a AC b AD c ===，则AB CD AC DB AD BC ++ ，()()()a cb b ac c b a =-+-+- ，0a c a b b a b c c b c a =-+-+-=.故选：B 7．A【分析】首先求得点P 的轨迹，再利用圆心距与半径的关系，即可判断两圆的位置关系.2=，化简为：()2214x y ++=，动点P 的轨迹是以()1,0-为圆心，2为半径的圆，圆22(2)2x y -+=是以()2,0为半径的圆，两圆圆心间的距离32d =<所以两圆相交.故选：A 8．A【分析】根据等差中项写出式子，由递推式及求和公式写出62S 和64S ，进而得出结果.【详解】解：由n a ，1n 2+，1n a +成等差数列，可得121++=+n n a a n ，n N *∈则123a a +=，347a a +=，5611a a +=，L可得数列{}n a 中，每隔两项求和是首项为3，公差为4的等差数列.则6231303314195320202S ⨯=⨯+⨯=<，6432313324208020202S ⨯=⨯+⨯=>，则n 的最大值可能为63.由121++=+n n a a n ，n N *∈，可得1223+++=+n n a a n .()()()63123456263S a a a a a a a =+++++++ 159125a =++++ 113130315420152a a ⨯=+⨯+⨯=+因为123a a +=，123a a =-，23a <，即23a ->-，所以10a >，则63120152015S a =+>，当且仅当15a =时，632020S =，符合题意，故n 的最大值为63.故选：A.【点睛】本题考查等差数列的性质和递推式的应用，考查分析问题能力，属于难题.9．AD【分析】由已知条件计算可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，从而可求得答案【详解】因为13a =，且111n n a a +=-+，所以211114a a =-=-+，3211411314a a =-=-=-+-+，431134113a a =-=-=+-+，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列，所以313,k a k N +=∈，所以n 可以是1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，……故选：AD 10．BCD【分析】根据给定条件结合各选项中的问题，逐一分析计算即可判断作答.【详解】由椭圆22:12x C y +=得：长半轴长a =1b =，半焦距1c =，对于A，椭圆的离心率e =A 错误；对于B ，因弦AB 过焦点F 1，则2ABF △的周长为1212||||||||44AF AF BF BF a +++==，B 正确；对于C ，令点P 的纵坐标为P y ，于是得△12PF F 面积1211||||2||122P P S F F y c y b =⋅=⋅⋅≤=，当且仅当点P 为短轴端点时取“=”，C 正确；对于D ，由余弦定理得：222212121212||||||2||||cos60(||||)F F PF PF PF PF PF PF =+-︒=+123||||PF PF -，即()()2212223c a PF PF =-，解得124||||3PF PF =，因此，△12PF F面积为12114||||sin 2323S PF PF π==⨯D 正确.故选：BCD 11．BD【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标得到11BC AD =，即可判断选项A ；利用向量法证明111,B D AD B D AC ⊥⊥，即可判断选项B ；利用向量法求出点1B 到平面1ACD 的距离即可判断选项C ；利用向量法求出直线B 1C 与平面1ACD 所成角的余弦值即可判断选项D.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：111(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)A B C B C D .A ：11(1,0,1),(1,0,1)BC AD =-=-，因为11BC AD =，所以11//BC AD ，因此该选项不正确；B ：11(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)B D AD AC =---=-=-，因为111(1,1,1)(1,0,1)0,(1,1,1)(1,1,0)0B D AD B D AC ⋅=---⋅-=⋅=---⋅-=，所以111,B D AD B D AC ⊥⊥，而11,,AC AD A AC AD =⊂ 平面ACD 1，因此1B D ⊥平面ACD 1，所以该选项正确；C ：因为1BD ⊥平面ACD 1，所以1B D 是平面ACD 1的法向量，1(1,0,1)B C =--，所以点B 1到平面ACD 1的距离为1113B C B DB D⋅=，因此该选项不正确；D ：设直线B 1C 与平面1ACD 所成角为θ，则111111sin cos 3B C B D B C B D B C B Dθ⋅=⋅=⋅，所以直线B 1C 与平面1ACD因此该选项正确.故选：BD.12．AD【分析】分析可知当MP l ⊥时，四边形MAPB 面积最小，且APB∠最大，利用三角形的面积公式可判断A 、B 选项，分析出四边形MAPB 为正方形，利用正方形的几何性质可判断C 、D 选项.【详解】如下图所示：由圆的几何性质可得MA PA ⊥，MB PB ⊥，圆()1,1M ，半径为2，对于A ，由切线长定理可得PA PB =，又因为MA MB =，MP MP =，所以，PAM PBM ≅ ，所以四边形MAPB 的面积22PAM S S PA AM PA ==⋅=△，因为PA ==MP l ⊥时，MP 取最小值，且min MP ==，所以，四边形MAPB 的面积的最小值为24S =，故A 正确；对于B ，因为MP 无最大值，即PA 无最大值，故四边形MAPB 面积无最大值，故B 错误；对于C ，因为APM ∠为锐角，2APB APM ∠=∠，且2sin AM APM MPMP∠==，故当MP 最小时，APM ∠最大，此时APB ∠最大，此时2PA =，故C 错误；对于D ，由上可知，当APB ∠最大时，2PA PB MA MB ====且90PAM ∠= ，故四边形MAPB 为正方形，且有MP l ⊥，直线:20l x y ++=，()1,1M ，则MP 的方程为y x =，联立20y x x y =⎧⎨++=⎩，可得11x y =-⎧⎨=-⎩，即点()1,1P --，由正方形的几何性质可知，直线AB 过线段MP 的中点()0,0O ，此时直线AB 的方程为y x =-，故D 正确．故选：AD ．13．【分析】利用勾股定理求得弦长.【详解】因为圆C 的圆心为(3,2)-，半径r 4=，圆心到直线l 的距离d =故直线l 被圆C 截得的弦长为=.故答案为：14．()2,2,4【分析】根据向量()1,3,2v =-为平面ABC 的一个法向量，由0AB v ⋅=求解.【详解】因为()1,1,A t -，()3,1,4B ，所以()2,2,4AB t =- ，又因为向量()1,3,2v =-为平面ABC 的一个法向量，所以()1232240AB v t ⋅=⨯+⨯-⨯-= ，解得0=t ，所以()2,2,4AB = ，故答案为：()2,2,415．232【分析】由已知，第n 组中最后一个数即为前n 组数的个数和，由此可求得第21组的最后一个数，从而就可得第22组的第一个数.【详解】由条件可知，第21组的最后一个数为21(121)1234521=2312⨯+++++++= ，所以第22组的第1个数为232.故答案为：23216．3【分析】根据抛物线的定义可求最小值.【详解】如图，过P 作抛物线准线1y =-的垂线，垂足为Q ，连接MQ ，则213PM PF PM PQ MQ +=+≥≥+=，当且仅当,,M P Q 共线时等号成立，故PM PF +的最小值为3，故答案为：3.17．(1)()1,1P (2)1a b ==【分析】（1）通过联立1l 和3l 的方程来求得P 点的坐标.（2）先求得直线2l 的横纵截距，利用2l 与两坐标轴围成的三角形的面积列方程来求得,a b .【详解】（1）依题意0,0a b >>，由()10a x y a y x⎧-+-=⎨=⎩解得1x y ==，所以()1,1P .（2）依题意0,0a b >>，由于2l 经过点P ，所以20,2a b a b +-=+=①，由20ax by +-=令0x =得2y b=，令0y =得2x a =，所以12222,12ab b a ab⨯⨯===②，由①②解得1a b ==.18．(1)货箱能顺利通过该桥；(2)增加26层.【分析】（1）以O 为原点，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示平面直角坐标系．求出抛物线的方程为2254x y =-，可设C (3,4)-，过C 作AB 的垂线，交抛物线于D ，求出||CD 即得解；（2）求出货物超出高度即得解.【详解】（1）以O 为原点，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示平面直角坐标系．设抛物线方程为2x my ＝，根据题意知点B 在抛物线上；∴25＝—4m ，∴254m =-，∴2254x y =-；可设C (3,4)-，过C 作AB 的垂线，交抛物线于D ，则02594y =-，∴03625y =-．∵3664(4) 1.52525CD =---=>．∴货箱能顺利通过该桥．（2）由题知，货物超出高度为64(1.5)100106()25cm -⨯=，因为每增加一层船体连货物高度整体上升4cm ，且货物与桥壁需留下2cm 间隙．所以需要增加层数为1062264-=层，因此，船只能顺利通过该桥，可以增加26层可恰好能从中央通过．19．(1)3m =(2)直线方程为1x =或34110x y --=，切线段长度为4【分析】（1）先求圆的标准方程222()(2)(3)4x m y m -+-=-+，由半径最小则周长最小；（2）由3m =，则圆的方程为：22(3)(2)4x y -+-=，直线和圆相切则圆心到直线的距离等于半径，分直线与x 轴垂直和直线与x 轴不垂直两种情况进行讨论即可得解.进一步，利用圆的几何性质可求解切线的长度.【详解】（1）2224690x y mx y m +--+-=，配方得：222()(2)(3)4x m y m -+-=-+，当3m =时，圆C 的半径有最小值2，此时圆的周长最小.（2）由（1）得，3m =，圆的方程为：22(3)(2)4x y -+-=.当直线与x 轴垂直时，1x =，此时直线与圆相切，符合条件；当直线与x 轴不垂直时，设为(1)2y k x =--，2=，解得34k =，所以切线方程为31144y x =-，即34110x y --=.综上，直线方程为1x =或34110x y --=.圆心与点P 的距离d ==，4=.20．(1)证明见解析(2)4π【分析】（1）由已知结合线面平行判定定理可得；（2）建立空间直角坐标系，由向量法可解.【详解】（1）∵AB AD ⊥，AB BC ⊥，∴AD BC ∥，又AD ⊂平面SBC ，BC ⊄平面SBC ，∴BC ∥平面SAD ；（2）∵SA ⊥平面ABCD 且AB 、ADC ⊂平面ABCD ，∴SA AB ⊥，SA AD ⊥，又∵AB AD ⊥，故分别以,,AD AB AS 所在直线为x 轴，y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标系，如图所示：由1SA AB BC ===，12AD =，可得：(0,0,0)A ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C ，1(,0,0)2D ，(0,0,1)S ，由已知SA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，SA AB ⊥，AB AD ⊥，SA AD A = ，SA ，AD ⊂平面SAD ，所以AB ⊥平面SAD ，AB∴ 为平面SAD 的一个法向量，且(0,1,0)AB = ；设(,,)n x y z = 为平面SBC 的一个法向量，则n BC ⊥ ，n SB ⊥ ，n BC ∴⋅= ，0n SB ⋅= ，(1,0,0)BC = ，(0,1,1)SB =- ，00x y z =⎧∴⎨-=⎩，令1z =，则0x =，1y =，(0,1,1)n ∴= ，设平面SAD 与平面SBC 的夹角大小为θ，12cos |cos ,|212AB n θ∴=<>==⨯ ，由(0,]2πθ∈得：平面SCD 与平面SAB 的夹角大小为.4π21．（1）2n n a =；（2）选择①：332n n +-；选择②：332nn +-.【解析】（1）由数列n a 与n S 的关系转化条件为()122n n a a n -=≥，结合等比数列的性质即可得解；（2）设数列{}n b 的公差为d ，若选择①，由等差数列的通项公式列方程可得12b d ==，进而可得2n Tn n =+，再结合错位相减法即可得解；若选择②，由等比中项的性质结合等差数列的通项公式、前n 项和公式可得12b d ==，再结合错位相减法即可得解.【详解】（1）当1n =时，11122a S a ==-，可得12a =；当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以1122n n n n n a S S a a --=-=-，即()122n n a a n -=≥，因为120a =≠，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1222n n n a -=⋅=；（2）设数列{}n b 的公差为d ，若选择①，由题意11438b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得12b d ==；所以()21222n n n T n n n -=⨯+⨯=+，由（1）得，2n n a =，所以()2111222n n n nn T n n n n na n ++===+⨯⋅，所以()12111112312222n n nA n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯，()231111123122222n n n A n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯，两式相减得()23411111111222222n n n A n +⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-+⨯ ⎪⎝⎭()1111114213311122212n n n n n -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-+⨯=--，所以332n n n A +=-；若选择②，有2214b b b =⋅，即()()21113b d b b d +=⋅+，即21b d d =，因为0d ≠，所以1b d =，所以8187728362T b d d ⨯==+=，解得12b d ==，所以()21222n n n T n n n -=⨯+⨯=+，由（1）得，2nn a =，所以()2111222n n n n n T n n n n na n ++===+⨯⋅，所以()12111112312222n n nA n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯，()231111123122222n n n A n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯.两式相减，得()23411111111222222n n n A n +⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-+⨯ ⎪⎝⎭()1111114213311122212n n n n n -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-+⨯=--，所以332n n n A +=-.【点睛】关键点点睛：（1）当条件中同时出现n a 与n S ，要注意n a 与n S 关系的应用；（2）要明确错位相减法的适用条件和使用方法，细心运算.22．(1)221(0)4x y y +=≠(2)大小关系不确定；证明见解析【分析】（1）由题可得||||4AB AC +=，可得轨迹为椭圆，即可求出方程；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，代入椭圆，相减可得斜率关系，利用弦长公式求出21||||||4TM TN MN ⋅=，再求出||||⋅TV TR 可比较.【详解】（1）由内切圆的性质得||||2||||4||+=+=>AB AC AS BC BC ，所以曲线E 是以B ，C 为焦点，4为长轴长的椭圆，且A ，B ，C 不共线，则2,a c ==2221b a c =-=，故E 的方程为221(0)4x y y +=≠．（2）当T 不为坐标原点时，设()()1122,,,M x y N x y ，则221122221,41,4x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得()()()()1212121214+-=-+-y y y y x x x x ，即1214=-l l k k ，所以212l k =，设21:2=+l y x m ，联立方程组221,2440,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+-=⎩整理得222220x mx m ++-=，221212840,2,22∆=->+=-=-m x x m x x m ．因为T 是线段MN 的中点，所以()()222121211||||||44⎡⎤⋅==-+-⎣⎦TM TN MN x x y y ()()2212125542164⎡⎤=+-=-⎣⎦x x x x m ．联立方程组221,2440,y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩解得,⎛ ⎭⎝⎭V R ．联立方程组1,21,2y x y x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得,2⎛⎫- ⎪⎝⎭m T m ，所以()25||||))24⋅==-TV TR m m m ，故||||||||⋅=⋅TM TN TV TR ．当T 为坐标原点时，由对称性知，5||||[1,4),||||,||||2⋅∈⋅=⋅TM TN TV TR TM TN 与||||⋅TV TR 的大小关系不确定．。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析

2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。

广东省珠海市中考数学试卷含答案解析

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广东省珠海市中考数学试卷一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．（3分）（•珠海）的倒数是（）A．B．C．2 D．﹣2考点：倒数．分析：根据倒数的定义求解．解答：解：∵×2=1，∴的倒数是2．故选C．点评：倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数2．（3分）（•珠海）计算﹣3a2×a3的结果为（）A．﹣3a5 B．3a6 C．﹣3a6 D．3a5考点：单项式乘单项式．分析：利用单项式相乘的运算性质计算即可得到答案．解答：解：﹣3a2×a3=﹣3a2+3=﹣3a5，故选A．点评：本题考查了单项式的乘法，属于基础题，比较简单，熟记单项式的乘法的法则是解题的关键．3．（3分）（•珠海）一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定根的情况考点：根的判别式．分析：求出△的值即可判断．解答：解：一元二次方程x2+x+=0中，∵△=1﹣4×1×=0，∴原方程由两个相等的实数根．故选B．点评：本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．4．（3分）（•珠海）一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（）A．B． C． D．考点：列表法与树状图法．分析：先列举出同时掷两枚质地均匀的硬币一次所有四种等可能的结果，然后根据概率的概念即可得到两枚硬币都是正面朝上的概率．解答：解：同时掷两枚质地均匀的硬币一次，共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，两枚硬币都是正面朝上的占一种，所以两枚硬币都是正面朝上的概率=．故选D．点评：本题考查了用列表法与树状图法求概率的方法：先利用列表法与树状图法表示所有等可能的结果n，然后找出某事件出现的结果数m，最后计算P=．5．（3分）（•珠海）如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25° B．30° C．40° D．50考点：圆周角定理；垂径定理．分析：由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知∠DOB=2∠C，得到答案．解答：解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，∴=，∴∠DOB=2∠C=50°．故选：D．点评：本题考查了圆周角定理、垂径定理．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）6．（4分）（•珠海）若分式有意义，则x应满足x≠5．考点：分式有意义的条件．分析：根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．解答：解：要使分式有意义，得x﹣5≠0，解得x≠5，故答案为：x≠5．点评：本题考查了分式有意义的条件，分式的分母不为零分式有意义7．（4分）（•珠海）不等式组的解集是﹣2≤x＜3．考点：解一元一次不等式组．分析：首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．解答：解：，由①得：x≥﹣2，由②得：x＜3，不等式组的解集为：﹣2≤x＜3，故答案为：﹣2≤x＜3．点评：此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．8．（4分）（•珠海）填空：x2+10x+25=（x+5）2．考点：完全平方式．分析：完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，从公式上可知．解答：解：∵10x=2×5x，∴x2+10x+52=（x+5）2．故答案是：25；5．点评：本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．要求熟悉完全平方公式，并利用其特点解题9．（4分）（•珠海）用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为3cm．考点：圆锥的计算．分析：根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．解答：解：圆锥的底面周长是：=6π．设圆锥底面圆的半径是r，则2πr=6π．解得：r=3．故答案是：3．点评：本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．10．（4分）（•珠海）如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为1．考点：三角形中位线定理．专题：规律型．分析：由三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的．解答：解：∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16=1．故答案为：1点评：本题主要考查了三角形的中位线定理，关键是根据三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半．三、解答题（一）（共5小题，每小题6分，共30分）11．（6分）（•珠海）计算：﹣12﹣2+50+|﹣3|．考点：实数的运算；零指数幂．专题：计算题．分析：原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用算术平方根定义计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．解答：解：原式=﹣1﹣2×3+1+3=﹣1﹣6+1+3=﹣3．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（6分）（•珠海）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=÷=•（x+1）（x﹣1）=x2+1，当x=时，原式=（）2+1=3．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键13．（6分）（•珠海）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC．（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC=8，CD=5，则CE=3．考点：作图—复杂作图；平行四边形的性质．分析：（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等知作出∠A的平分线即可；（2）根据平行四边形的性质可知AB=CD=5，AD∥BC，再根据角平分线的性质和平行线的性质得到∠BAE=∠BEA，再根据等腰三角形的性质和线段的和差关系即可求解．解答：解：（1）如图所示：E点即为所求．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE是∠A的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠BEA，∴BE=BA=5，∴CE=BC﹣BE=3．故答案为：3．点评：考查了作图﹣复杂作图，关键是作一个角的角平分线，同时考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，平行线的性质和等腰三角形的性质的知识点．14．（6分）（•珠海）某校体育社团在校内开展“最喜欢的体育项目（四项选一项）”调查，对九年级学生随机抽样，并将收集的数据绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图解答下列问题：（1）求本次抽样人数有多少人？（2）补全条形统计图；（3）该校九年级共有600名学生，估计九年级最喜欢跳绳项目的学生有多少人？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）根据喜欢跑步的人数是5，所占的百分比是10%，即可求得总人数；（2）根据百分比的意义喜欢篮球的人数，作图即可；（3）利用总人数乘以对应的百分比即可求解．解答：解：（1）本次抽样的人数：5÷10%=50（人）；（2）喜欢篮球的人数：50×40%=20（人），如图所示：；（3）九年级最喜欢跳绳项目的学生有600×=180（人）．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．15．（6分）（•珠海）白溪镇有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，达到82.8公顷．（1）求该镇至绿地面积的年平均增长率；（2）若年增长率保持不变，该镇绿地面积能否达到100公顷？考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：（1）设每绿地面积的年平均增长率为x，就可以表示出的绿地面积，根据的绿地面积达到82.8公顷建立方程求出x的值即可；（2）根据（1）求出的年增长率就可以求出结论．解答：解：（1）设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得57.5（1+x）2=82.8解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）答：增长率为20%；（2）由题意，得82.8（1+0.2）=99.36万元答：该镇绿地面积不能达到100公顷．点评：本题考查了增长率问题的数量关系的运用，运用增长率的数量关系建立一元二次方程的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出平均增长率是关键．四、解答题（二）（本大题共4小题，每小题7分，共28分）16．（7分）（•珠海）如图，某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点．已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米，塔高AB为123米（AB垂直地面BC），在地面C处测得点E的仰角α=45°，从点C沿CB方向前行40米到达D点，在D处测得塔尖A的仰角β=60°，求点E离地面的高度EF．（结果精确到1米，参考数据≈1.4，≈1.7）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：在直角△ABD中，利用三角函数求得BD的长，则CF的长即可求得，然后在直角△CEF 中，利用三角函数求得EF的长．解答：解：在直角△ABD中，BD===41（米），则DF=BD﹣OE=41﹣10（米），CF=DF+CD=41﹣10+40=41+30（米），则在直角△CEF中，EF=CF•tanα=41+30≈41×1.7+30≈99.7≈100（米）．答：点E离地面的高度EF是100米．点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．17．（7分）（•珠海）已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．考点：二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．分析：（1）直接利用对称轴公式代入求出即可；（2）根据（1）中所求，再将x=4代入方程求出a，b的值，进而解方程得出即可．解答：（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣，∴2a+b=0；（2）解：∵ax2+bx﹣8=0的一个根为4，∴16a+4b﹣8=0，∵2a+b=0，∴b=﹣2a，∴16a﹣8a﹣8=0，解得：a=1，则b=﹣2，∴ax2+bx﹣8=0为：x2﹣2x﹣8=0，则（x﹣4）（x+2）=0，解得：x1=4，x2=﹣2，故方程的另一个根为：﹣2．点评：此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法等知识，得出a，b的值是解题关键．18．（7分）（•珠海）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x 轴，y轴上，函数y=的图象过点P（4，3）和矩形的顶点B（m，n）（0＜m＜4）．（1）求k的值；（2）连接PA，PB，若△ABP的面积为6，求直线BP的解析式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）把P（4，3）代入y=，即可求出k的值；（2）由函数y=的图象过点B（m，n），得出mn=12．根据△ABP的面积为6列出方程n（4﹣m）=6，将mn=12代入，化简得4n﹣12=12，解方程求出n=6，再求出m=2，那么点B（2，6）．设直线BP的解析式为y=ax+b，将B（2，6），P（4，3）代入，利用待定系数法即可求出直线BP的解析式．解答：解：（1）∵函数y=的图象过点P（4，3），∴k=4×3=12；（2）∵函数y=的图象过点B（m，n），∴mn=12．∵△ABP的面积为6，P（4，3），0＜m＜4，∴n（4﹣m）=6，∴4n﹣12=12，解得n=6，∴m=2，∴点B（2，6）．设直线BP的解析式为y=ax+b，∵B（2，6），P（4，3），∴，解得，∴直线BP的解析式为y=﹣x+9．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，三角形的面积，正确求出B点坐标是解题的关键．19．（7分）（•珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．（1）如图1，连接BD，AF，则BD=AF（填“＞”、“＜”或“=”）；（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平移的性质．分析：（1）根据等腰三角形的性质，可得∠ABC与∠ACB的关系，根据平移的性质，可得AC 与DF的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；（2）根据相似三角形的判定与性质，可得GM与HN的关系，BM与FN的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．解答：（1）解：由AB=AC，得∠ABC=ACB．由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得DF=AC，∠DFE=∠ACB．在△ABF和△DBF中，，△ABF≌△DBF（SAS），BD=AF，故答案为：BD=AF；（2）证明：如图：，MN∥BF，△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，=，，∴MG=HN，MB=NF．在△BMH和△FNG中，，△BMH≌△FNG（SAS），∴BH=FG．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了平移的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．五、解答题(三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）20．（9分）（•珠海）阅读材料：善于思考的小在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y=5 即2（2x+5y）+y=5③把方程①带入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1把y=﹣1代入①得x=4，∴方程组的解为．请你解决以下问题：（1）模仿小的“整体代换”法解方程组（2）已知x，y满足方程组．（i）求x2+4y2的值；（ii）求+的值．考点：解二元一次方程组．专题：阅读型；整体思想．分析：（1）模仿小的“整体代换”法，求出方程组的解即可；（2）方程组整理后，模仿小的“整体代换”法，求出所求式子的值即可．解答：解：（1）把方程②变形：3（3x﹣2y）+2y=19③，把①代入③得：15+2y=19，即y=2，把y=2代入①得：x=3，则方程组的解为；（2）（i）由①得：3（x2+4y2）=47+2xy，即x2+4y2=③，把③代入②得：2×=36﹣xy，解得：xy=2，则x2+4y2=17；（ii）∵x2+4y2=17，∴（x+2y）2=x2+4y2+4xy=17+8=25，∴x+2y=5或x+2y=﹣5，则+==±．点评：此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．21．（9分）（•珠海）五边形ABCDE中，∠EAB=∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，且满足以点B为圆心，AB长为半径的圆弧AC与边DE相切于点F，连接BE，BD．（1）如图1，求∠EBD的度数；（2）如图2，连接AC，分别与BE，BD相交于点G，H，若AB=1，∠DBC=15°，求AG•HC的值．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）如图1，连接BF，由DE与⊙B相切于点F，得到BF⊥DE，通过R t△BAE≌R t△BEF，得到∠1=∠2，同理∠3=∠4，于是结论可得；（2）如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P，由△ABE≌△PBC，得到PB=BE=，求出PF=，通过△AEG∽△CHD，列比例式即可得到结果．解答：解：（1）如图1，连接BF，∵DE与⊙B相切于点F，∴BF⊥DE，在R t△BAE与R t△BEF中，，∴R t△BAE≌R t△BEF，∴∠1=∠2，同理∠3=∠4，∵∠ABC=90°，∴∠2+∠3=45°，即∠EBD=45°；（2）如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P，∵∠4=15°，由（1）知，∠3=∠4=15°，∴∠1=∠2=30°，∠PBC=30°，∵∠EAB=∠PCB=90°，AB=1，∴AE=，BE=，在△ABE与△PBC中，，∴△ABE≌△PBC，∴PB=BE=，∴PF=，∵∠P=60°，∴DF=2﹣，∴CD=DF=2﹣，∵∠EAG=∠DCH=45°，∠AGE=∠BDC=75°，∴△AEG∽△CHD，∴，∴AG•CH=CD•AE，∴AG•CH=CD•AE=（2﹣）•=．点评：本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，画出辅助线构造全等三角形是解题的关键．22．（9分）（•珠海）如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=﹣x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F．（1）求证：△ABD∽△ODE；（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）由折叠和矩形的性质可知∠EDB=∠BCE=90°，可证得∠EDO=∠DBA，可证明△ABD∽△ODE；（2）由条件可求得OD、OE的长，可求得抛物线解析式，结合（1）由相似三角形的性质可求得DA、AB，可求得F点坐标，可得到BF=DF，又由直角三角形的性质可得MD=MB，可证得MF为线段BD的垂直平分线，可证得结论；（3）过D作x轴的垂线交BC于点G，设抛物线与x轴的两个交点分别为M、N，可求得DM=DN=DG，可知点M、N为满足条件的点Q，可求得Q点坐标．解答：（1）证明：∵四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知△BCE≌△BDE，∴∠BDE=∠BCE=90°，∵∠BAD=90°，∴∠EDO+∠BDA=∠BDA+∠DAB=90°，∴∠EDO=∠DBA，且∠EOD=∠BAD=90°，∴△ABD∽△ODE；（2）证明：∵=，∴设OD=4x，OE=3x，则DE=5x，∴CE=DE=5x，∴AB=OC=CE+OE=8x，又∵△ABD∽△ODE，∴==，∴DA=6x，∴BC=OA=10x，在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE2=BC2+CE2，即（5）2=（10x）2+（5x）2，解得x=1，∴OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3，当x=10时，代入可得y=，∴AF=，BF=AB﹣AF=8﹣=，在Rt△AFD中，由勾股定理可得DF===，∴BF=DF，又M为Rt△BDE斜边上的中点，∴MD=MB，∴MF为线段BD的垂直平分线，∴MF⊥BD；（3）解：由（2）可知抛物线解析式为y=﹣x2+x+3，设抛物线与x轴的两个交点为M、N，令y=0，可得0=﹣x2+x+3，解得x=﹣4或x=12，∴M（﹣4，0），N（12，0），过D作DG⊥BC于点G，如图所示，则DG=DM=DN=8，∴点M、N即为满足条件的Q点，∴存在满足条件的Q点，其坐标为（﹣4，0）或（12，0）．点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和抛物线与坐标轴的交点等知识．在（1）中利用折叠的性质得到∠EDB=90°是解题的关键，在（2）中，求得E、F的坐标，求得相应线段的长是解题的关键，在（3）中确定出Q点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，难度适中．。

2022-2023学年广东省珠海市珠海东方外语实验学校高二(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年广东省珠海市珠海东方外语实验学校高二(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年广东省珠海市珠海东方外语实验学校高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设函数f （x ）＝x 2+3x ，则lim Δx→0f(1+Δx)−f(1)Δx =（ ） A ．5B ．﹣5C ．2D ．﹣22．函数y ＝e x cos x 的导数为（ ） A ．e x cos xB ．﹣e x cos xC ．e x （sin x +cos x ）D ．e x （cos x ﹣sin x ）3．sin 3π8cos π8=（ ） A ．2+√22B ．2+√24C ．2−√22D ．2−√244．已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，记事件A ＝“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则P （A ）＝（ ） A ．712B ．2945C ．2150D ．29505．一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球10个，红球12个，白球3个，从中任取3个，其中白球的个数记为X ，则等于C 31C 222+C 223C 253的是（ ）A ．P （X ＞2）B ．P （＜X ＜2）C ．P （X ≤1）D ．P （X ＞1）6．若(3x −1√x)n(n ∈N ∗)的展开式中各项系数和为64，则其展开式中的常数项为（ ） A ．540 B ．﹣540 C ．135 D ．﹣1357．若α∈(π，3π2)，tan2α=−cosα2+sinα，则tan α＝（ ） A ．√1515B ．√15C ．√53D ．√1538．设a =4−ln4e 2，b =ln22，c =1e ，则（ ）A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知(x −2)8=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 8x 8，则下列结论正确的是（ ） A ．a 0=28B ．a 8＝1C ．a 1+a 2+⋯+a 8＝1D ．a 0−a 1+a 2−⋯+a 8=3810．如图是函数y ＝f （x ）的导函数f ′（x ）的图象，则下面判断正确的是（ ）A ．f （x ）在（﹣3，1）上是增函数B ．f （x ）在（3，4）上是减函数C ．当x ＝3时，f （x ）取得极小值D ．当x ＝2时，f （x ）取得极大值11．已知∠A =π4，M ，N 分别是∠A 两边上的动点，若MN ＝2，则△AMN 面积的可能取值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知直线l ：x ＝my +t 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A 、B 两点，点F 1，F 2为椭圆C 的左、右焦点，则下列说法正确的有（ ） A ．椭圆C 的离心率为12B ．椭圆C 上存在点P ，使得∠F 1PF 2＝90°C ．当t ＝1时，∃m ∈R ，使得|F 1A →|+|F 1B →|=3 D ．当m ＝1，∀t ∈R ，|F 1A →+F 1B →|≥65三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在等比数列{a n }中，a 1+a 2＝2，a 5+a 6＝4，则a 9+a 10＝ ． 14．曲线y ＝（1+x ）lnx 在点x ＝1处的切线方程为 ．15．已知tan α，tan β是方程x 2+5x ﹣6＝0的两根，则cos2（α+β）＝ ．16．已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n +1={a n +2，n =2k −112a n ，n =2k（k ∈N *），当a ＝1时，a 10＝ ；若数列{a n }的所有项仅取有限个不同的值，则满足题意的所有实数a 的值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知对于任意n ∈N *，函数f （x ）＝x 2+2x 在点（n ，f （n ））处切线斜率为a n ，{b n }是公比大于0的等比数列，b 1＝3，b 3﹣b 2＝18． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设c n =log 3b n +2(n+2)a n，求数列{c n }的前20项和T 20．18．（12分）已知m ，n ，a ∈R ，函数f(x)=13x 3−x 2−3x +2的单调递减区间为A ＝[m ，n ]，区间B ＝[2a ﹣3，a +3]．（1）求函数f （x ）的单调递减区间A ＝[m ，n ]； （2）“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求a 的取值范围．19．（12分）第25届冬季奥林匹克运动会将于2026年举办．某国运动队拟派出甲、乙、丙三人参加自由式滑雪比赛，比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为34；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为45和58；丙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为p 和32−p ，其中12＜p ＜34．（1）求甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性大？ （2）若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为532，求三人中进入决赛的人数ξ的分布列和期望．20．（12分）如图，已知SA 垂直于梯形ABCD 所在的平面，矩形SADE 的对角线交于点F ，G 为SB 的中点，∠ABC ＝∠BAD =π2，SA ＝AB ＝BC =12AD ＝1． （1）求证：BD ∥平面AEG ；（2）求平面SCD 与平面ESD 夹角的余弦值；（3）在线段EG 上是否存在一点H ，使得BH 与平面SCD 所成角的大小为π6？若存在，求出GH 的长；若不存在，说明理由．21．（12分）如图，已知椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a ＞1)，其左、右焦点分别为F 1，F 2，过右焦点F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆于第一象限的点P ，且sin ∠PF 1F 2=13． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点S(0，−13)且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝x2+alnx．（Ⅰ）当a＝﹣2时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若g（x）＝f（x）+2x在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．2022-2023学年广东省珠海市珠海东方外语实验学校高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设函数f （x ）＝x 2+3x ，则lim Δx→0f(1+Δx)−f(1)Δx =（ ）A ．5B ．﹣5C ．2D ．﹣2解：f （x ）＝x 2+3x ， f '（x ）＝2x +3， 则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx =f '（1）＝5． 故选：A ．2．函数y ＝e x cos x 的导数为（ ） A ．e x cos xB ．﹣e x cos xC ．e x （sin x +cos x ）D ．e x （cos x ﹣sin x ）解：∵函数y ＝e x cos x ，∴y '＝e x cos x ﹣e x sin x ＝e x （cos x ﹣sin x ）． 故选：D ． 3．sin 3π8cos π8=（ ） A ．2+√22B ．2+√24C ．2−√22D ．2−√24解：sin 3π8cos π8=cos 2π8=1+cos π42=2+√24． 故选：B ．4．已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，记事件A ＝“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则P （A ）＝（ ） A ．712B ．2945C ．2150D ．2950解：从甲盒中随机取出一个白球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个红球或黑球的概率为P 1=25×510=15， 从甲盒中随机取出一个红球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个白球或黑球的概率为P 2=25×610=625， 从甲盒中随机取出一个黑球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个白球或红球的概率为P 3=15×710=750， 则P （A ）＝P 1+P 2+P 3=15+625+750=2950， 故选：D ．5．一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球10个，红球12个，白球3个，从中任取3个，其中白球的个数记为X ，则等于C 31C 222+C 223C 253的是（ ）A ．P （X ＞2）B ．P （＜X ＜2）C ．P （X ≤1）D ．P （X ＞1）解：由题设，取出的3个球中没有白球的概率为C 223C 253，取出的3个球中有一个白球的概率C 31C 222C 253，所以目标式表示P （X ≤1）． 故选：C ．6．若(3x −1√x )n (n ∈N ∗)的展开式中各项系数和为64，则其展开式中的常数项为（ ）A ．540B ．﹣540C ．135D ．﹣135解：由题意令x ＝1，则2n ＝64，解得n ＝6．∴(3x −1√x )6的通项公式为：T r +1=∁6r（3x 6﹣r ）1√x )r =（﹣1）r ∁6336﹣r x 6−3r 2，令6−3r2=0，解得r ＝4．∴常数项=∁64×32＝135．故选：C ．7．若α∈(π，3π2)，tan2α=−cosα2+sinα，则tan α＝（ ） A ．√1515B ．√15C ．√53 D ．√153解：∵α∈(π，3π2)，∴cos α＜0，且tan2α=−cosα2+sinα， ∴sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin 2α=−cosα2+sinα，∴2（2+sin α）sin α＝2sin 2α﹣1，即sin α=−14，cos α=−√154，∴tanα=sinαcosα=√1515． 故选：A ．8．设a=4−ln4e2，b=ln22，c=1e，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a解：由题意可知，a=4−ln4e2=2−ln2e22=ln e22e22，b=ln22=ln44，c=1e=lnee，设f（x）=lnxx（x＞0），则f'（x）=1−lnx x2，当x∈（0，e）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，又因为4＞e22＞e，所以f（4）＜f（e22）＜f（e），所以b＜a＜c，故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知(x−2)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，则下列结论正确的是（）A．a0=28B．a8＝1C．a1+a2+⋯+a8＝1D．a0−a1+a2−⋯+a8=38解：令x＝0得，a0=28，故A正确；因为（x﹣2）8的通项为T r+1=C8r x8−r(−2)r，所以a8=C80(−2)0=1，故B正确；令x＝1，则a0+a1+a2+⋯+a8=(1−2)8=1，又a0=28，所以a1+a2+⋯+a8=1−28，故C错误；令x＝﹣1，则a0−a1+a2−⋯+a8=(−1−2)8=38，故D正确．故选：ABD．10．如图是函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，则下面判断正确的是（）A．f（x）在（﹣3，1）上是增函数B．f（x）在（3，4）上是减函数C．当x＝3时，f（x）取得极小值D．当x＝2时，f（x）取得极大值解：观察f ′（x ）的图象可知，当x ∈（﹣3，1）时，函数先递减，后递增，故A 错误； 当x ∈（3，4）时，f ′（x ）＜0，函数单调递减，故B 正确； 因为f ′（3）＜0，所以x ＝3不是f （x ）的极值点，故C 错误； 当x ∈（1，2）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x ∈（2，3）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 所以当x ＝2时，f （x ）取得极大值，故D 正确． 故选：BD ．11．已知∠A =π4，M ，N 分别是∠A 两边上的动点，若MN ＝2，则△AMN 面积的可能取值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：根据题意，根据余弦定理：4=AM 2+AN 2−2AM ⋅AN ⋅cos π4=AM 2+AN 2−√2AM ⋅AN ， ∴4≥(2−√2)AM ⋅AN ，即AM ⋅AN ≤4+2√2，当且仅当AM ＝AN 时取等号， ∴S △AMN =12AM ⋅AN ⋅sinπ4≤√2+1，当且仅当AM ＝AN 时取等号， ∴△AMN 的面积可能是1或2． 故选：AB ．12．已知直线l ：x ＝my +t 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A 、B 两点，点F 1，F 2为椭圆C 的左、右焦点，则下列说法正确的有（ ） A ．椭圆C 的离心率为12B ．椭圆C 上存在点P ，使得∠F 1PF 2＝90°C ．当t ＝1时，∃m ∈R ，使得|F 1A →|+|F 1B →|=3 D ．当m ＝1，∀t ∈R ，|F 1A →+F 1B →|≥65 解：由题意得a =2，b =√3，则c ＝1， 对于选项A ，e =ca =12，故A 正确； 对于选项B ，|PF 1|+|PF 2|＝4，|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1|⋅|PF 2| =(|PF 1|+|PF 2|)2−2|PF 1|⋅|PF 2|−|F 1F 2|22|PF 1|⋅|PF 2|=12−2|PF 1|⋅|PF 2|2|PF 1|⋅|PF 2|=6|PF 1|⋅|PF 2|−1≥6(|PF 1|+|PF 2|2)2−1=12， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2时，cos ∠F 1PF 2最小值为12，∵∠F 1PF 2∈（0，π），函数y ＝cos x 在（0，π）上单调递减，即∠F 1PF 2最大为∠F 1PF 2=π3，故B 错误； 对于选项C ，t ＝1时，l ：x ＝my +1，直线过右焦点F 2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x =my +1x 24+y 23=1消去x 整理得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0，Δ＝36m 2+36（3m 2+4）＞0恒成立，∴y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，又|F 1A |+|F 2A |＝4，|F 1B |+|F 2B |＝4，∴|F 1A →|+|F 1B →|=|F 1A |+|F 1B |＝8﹣|F 2A |﹣|F 2B |＝8﹣|AB |， ∵|AB|=√1+m 2|y 1−y 2|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =12(1+m 2)3m 2+4=4−43m 2+4∈[3，4)，∴|F 1A →|+|F 1B →|=8−|AB|∈(4，5]，故C 错误；对于选项D ，m ＝1时，l ：x ＝y +t ，设A （x 3，y 3），B （x 4，y 4）， 则{x =y +t x 24+y 23=1⇒7x 2﹣8tx +4t 2﹣12＝0，由Δ＝64t 2﹣4×7×（4t 2﹣12）＞0，解得−√7＜t ＜√7； ∴x 3+x 4=8t 7，x 3x 4=4t 2−127，∴|F 1A →+F 1B →|=√(x 3+x 4+2)2+(y 3+y 4)2 =√(x 3+x 4+2)2+(x 3+x 4−2t)2=107√t 2+5625t +4925，当t =−2825时，|F 1A →+F 1B →|取到最小值为65，故|F 1A →+F 1B →|≥65，故D 正确．故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在等比数列{a n }中，a 1+a 2＝2，a 5+a 6＝4，则a 9+a 10＝ 8 ． 解：设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 5+a 6=(a 1+a 2)q 4， 即4＝2q 4， 解得q 4＝2，故a 9+a 10=(a 5+a 6)q 4=4×2=8． 故答案为：8．14．曲线y ＝（1+x ）lnx 在点x ＝1处的切线方程为 y ＝2x ﹣2 ． 解：由y ＝（1+x ）lnx ，得y ′＝lnx +1x+1， ∴y ′|x ＝1＝2， 又x ＝1时，y ＝0，∴曲线y ＝（1+x ）lnx 在点x ＝1处的切线方程为y ＝2（x ﹣1）， 即y ＝2x ﹣2． 故答案为：y ＝2x ﹣2．15．已知tan α，tan β是方程x 2+5x ﹣6＝0的两根，则cos2（α+β）＝ 1237．解：依题意，tan α+tan β＝﹣5，tan αtan β＝﹣6， 则tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−51−(−6)=−57， 则cos2（α+β）＝2cos 2（α+β）﹣1=2tan 2(α+β)+1−1=22549+1−1=1237． 故答案为：1237．16．已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n +1={a n +2，n =2k −112a n，n =2k（k ∈N *），当a ＝1时，a 10＝ 6316 ；若数列{a n }的所有项仅取有限个不同的值，则满足题意的所有实数a 的值为 2 ． 解：∵a n +1={a n +2，n =2k −112a n ，n =2k（k ∈N *），∴a 2n +2＝a 2n +1+2=12a n +2， 则a 2n +2﹣4=12（a 2n ﹣4 ） ∵a 1＝a ，∴a 2＝a 1+2＝a +2，故数列{a 2n ﹣4}是以a 2﹣4＝a ﹣2为首项，12为公比的等比数列，∴a 2n ﹣4＝（a ﹣2）(12)n−1，即a 2n ＝（a ﹣2）(12)n−1+4 ∴当a ＝1时，a 10＝（1﹣2）(12)4+4=6316． 因为a 2n ＝a 2n ﹣1+2，所以a 2n ﹣1＝（a ﹣2）(12)n−1+2， 要使{a n }的所有项仅取有限个不同的值，则a ＝2， 此时a 2n ＝4，a 2n ﹣1＝2，否则a ≠2时，{a n }的取值有无穷多个． 故答案为：6316；2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知对于任意n ∈N *，函数f （x ）＝x 2+2x 在点（n ，f （n ））处切线斜率为a n ，{b n }是公比大于0的等比数列，b 1＝3，b 3﹣b 2＝18． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）设c n =log 3b n +2(n+2)a n，求数列{c n }的前20项和T 20．解：（1）已知函数f （x ）＝x 2+2x ， ∴f '（x ）＝2x +2， ∴a n ＝2n +2，又因为b 1＝3，b 3﹣b 2＝18， 所以q 2﹣q ﹣6＝0， 又q ＞0， 解得q ＝3，所以b n =3×3n−1=3n ；（2）已知c n =log 3b n +2(n+2)a n，则c n =n +1(n+1)(n+2)=n +1n+1−1n+2，所以T 20=(1+2+3+⋯⋯+20)+(12−13+13−14+⋯⋯+121−122) =20(1+20)2+(12−122) =231511．18．（12分）已知m ，n ，a ∈R ，函数f(x)=13x 3−x 2−3x +2的单调递减区间为A ＝[m ，n ]，区间B ＝[2a ﹣3，a +3]．（1）求函数f （x ）的单调递减区间A ＝[m ，n ]； （2）“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求a 的取值范围． 解：（1）f ′（x ）＝x 2﹣2x ﹣3，由f ′（x ）≤0，有x 2﹣2x ﹣3≤0，得﹣1≤x ≤3， 所以f （x ）＝x 3﹣3x 2的单调递减区间为A ＝[﹣1，3]； （2）∵B ＝[2a ﹣3，a +3]，∴有2a ﹣3＜a +3得a ＜6， 又x ∈A 是x ∈B 的充分条件，可知A ⊆B ， 有{a ＜6a +3≥32a −3≤−1，得0≤a ≤1，故实数a 的取值范围为[0，1]．19．（12分）第25届冬季奥林匹克运动会将于2026年举办．某国运动队拟派出甲、乙、丙三人参加自由式滑雪比赛，比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为34；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为45和58；丙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为p 和32−p ，其中12＜p ＜34．（1）求甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性大？ （2）若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为532，求三人中进入决赛的人数ξ的分布列和期望．解：（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为P 1=34×34=916； 乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：P 2=45×58=12；丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：P 3=p(32−p)=−p 2+32p ；因为12＜p ＜34，所以12＜P 3=−(p −34)2+916＜916，所以P 1＞P 3＞P 2，即甲进入决赛的可能性最大； （2）设甲、乙、丙都进入决赛的概率为P 4， 则P 4=P 1P 2P 3=916×12×(−p 2+32p)=532， 整理得18p 2﹣27p +10＝0，解得p =23或p =56， 由12＜p ＜34，所以p =23，所以丙在初赛的第一轮和第二轮获胜的概率分别为23、56，两轮中均获胜的概率为：P 3=23×56=59， 进入决赛的人数ξ的可能取值为：0、1、2、3， 所以P(ξ=0)=(1−916)×(1−12)×(1−59)=772， P(ξ=1)=716×12×59+916×12×49+716×12×49=1132， P(ξ=2)=916×12×49+916×12×59+716×12×59=2972， P(ξ=3)=916×12×59=532， 所以ξ的分布列为：所以E(ξ)=0×772+1×1132+2×2972+3×532=233144．20．（12分）如图，已知SA 垂直于梯形ABCD 所在的平面，矩形SADE 的对角线交于点F ，G 为SB 的中点，∠ABC ＝∠BAD =π2，SA ＝AB ＝BC =12AD ＝1． （1）求证：BD ∥平面AEG ；（2）求平面SCD 与平面ESD 夹角的余弦值；（3）在线段EG 上是否存在一点H ，使得BH 与平面SCD 所成角的大小为π6？若存在，求出GH 的长；若不存在，说明理由．解：（1）证明：连接FG ，如图所示：在△SBD 中，F 、G 分别为SD ，SB 的中点，∴FG ∥BD ， 又∵FG ⊂平面AEG ，BD ⊄平面AEG ， ∴BD ∥平面AEG ；（2）由题意得SA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴SA ⊥AB ，SA ⊥AD ， 又∠BAD =π2，∴AB ⊥AD ，则建立以A 为原点，以AB 、AD 、AS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系A ﹣xyz ，如图所示：SA ＝AB ＝BC =12AD ＝1，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，2，0），S （0，0，1），E （0，2，1），G （12，0，12），∴CD →=(−1，1，0)，SC →=(1，1，−1)， 设平面SCD 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅CD →=−x +y =0m →⋅SC →=x +y −z =0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝2， ∴平面SCD 的一个法向量为m →=(1，1，2)， 又平面ESD 的一个法向量为AB →=(1，0，0)，设平面SCD 与平面ESD 夹角为α，由图形可知，二面角C ﹣SD ﹣E 为钝角， ∴cos α＝﹣|cos ＜m →，AB →＞|=|m →⋅AB →||m →|⋅|AB →|=6×1=−√66，故二面角C ﹣SD ﹣E 的余弦值为−√66；（3）假设在线段EG 上存在一点H ，设GH →=λGE →=(−12λ，2λ，12λ)，则BH →=BG →+λGE →=(−12−12λ，2λ，12+12λ)， 由（2）得平面SCD 的一个法向量为m →=(1，1，2)， ∵BH 与平面SCD 所成角的大小为π6，∴sin π6=|cos〈m →，BH →〉|=|−12−12λ+2λ+1+λ|√6×√4λ2+12(1+λ)2=12，即（λ﹣1）2＝0，解得λ＝1，故存在满足题意的点H ，此时GH =|GE →|=3√22． 21．（12分）如图，已知椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a ＞1)，其左、右焦点分别为F 1，F 2，过右焦点F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆于第一象限的点P ，且sin ∠PF 1F 2=13． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点S(0，−13)且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵sin ∠PF 1F 2=|PF 2||PF 1|=13，|PF 1|+|PF 2|=2a ，∴|PF 1|=32a ，|PF 2|=a 2，∵|PF 2|2+|F 1F 2|2=|PF 1|2，|F 1F 2|=2c ， ∴a =√2c ，∵a 2＝c 2+1，∴c =1，a =√2， ∴椭圆方程为：x 22+y 2=1．（2）动直线l 的方程为：y =kx −13， 由 {y =kx −13x 22+y 2=1得(2k 2+1)x 2−4k 3x −169=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1+x 2=4k 3(2k 2+1)，x 1x 2=−169(2k 2+1).Δ=169k 2+649(1+2k 2)=16k 2+649＞0． 由对称性可设存在定点M （0，m ）满足题设，则MA →=(x 1，y 1−m)，MB →=(x 2，y 2−m)，MA →⋅MB →=0⇒x 1x 2+(y 1−m)(y 2−m)=0 ⇒(1+k 2)x 1x 2−k(13+m)(x 1+x 2)+(13+m)2=0 ⇒6（m 2﹣1）k 2+（3m 2+2m ﹣5）＝0，由题意知上式对∀k ∈R 成立，∴m 2﹣1＝0且3m 2+2m ﹣5＝0，解得m ＝1． ∴存在定点M ，使得以AB 为直径的适恒过这个点，且点M 的坐标为（0，1）． 22．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+alnx ． （Ⅰ）当a ＝﹣2时，求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）若g （x ）＝f （x ）+2x在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a 的取值范围． 解：（ I ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞） 当a ＝﹣2时，f ′(x)=2x −2x =2(x+1)(x−1)x 当x 变化时，f ′（x ），f （x ）的值变化情况如下表由上表可知，函数f （x ）单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞） 极小值是f （1）＝1，没有极大值（2）由g(x)=x2+alnx+2x得g′(x)=2x+ax−2x2因为g（x）在[1，+∞）上是单调增函数所以g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立即不等式2x+ax−2x2≥0在[1，+∞）上恒成立即a≥2x−2x2在[1，+∞）上恒成立令∅(x)=2x−2x2则∅′(x)=−2x2−4x当x∈[1，+∞）时，∅′(x)=−2x2−4x＜0∴∅(x)=2x−2x2在[1，+∞）上为减函数∅（x）的最大值为∅（1）＝0∴a≥0故a的取值范围为[0，+∞）。

【KS5U解析】广东省珠海市2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(理科)(a卷) Word版含解析

【KS5U解析】广东省珠海市2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(理科)(a卷) Word版含解析

2015-2016学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科）（A卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．命题“∀a，b∈R，如果a=b，则a2=ab”的否命题为（）A．∀a，b∈R，如果a2=ab，则a=b B．∀a，b∈R，如果a2=ab，则a≠bC．∀a，b∈R，如果a2≠ab，则a≠b D．∀a，b∈R，如果a≠b，则a2≠ab2．若a＞b，ab≠0，则不等式恒成立的是（）A．2a＞2b B．lg（a﹣b）＞0 C．D．3．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知抛物线x2=4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2，则点M的纵坐标是（）A．0 B．C．1 D．25．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（）A．BD与CF成60°角 B．BD与EF成60°角C．AB与CD成60°角 D．AB与EF成60°角6．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．7．给出如下四个命题：①已知p，q都是命题，若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a＞b，则3a＞3b﹣1”的否命题为“若a≤b，则3a≤3b﹣1”；③命题“对任意x∈R，x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R，x02+1＜0”；④“a≥0”是“∃x∈R，使得ax2+x+1≥0”的充分必要条件．其中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．②③④ D．②④8．已知等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且S3，S9，S6成等差数列，则q3等于（）A．﹣1或B．1或﹣C．1 D．﹣9．双曲线C与椭圆+=1有相同的焦距，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则双曲线C的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣y2=1或y2﹣=1C．x2﹣=1或y2﹣=1 D．y2﹣=110．已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2}C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2}11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（）A．B．C．D．12．设u（n）表示正整数n的个位数，例如u（23）=3．若a n=u（n2）﹣u（n），则数列{a n}的前2015项的和等于（）A．0 B．2 C．8 D．10二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将正确答案填在答题卡上）13．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则B=．14．在等差数列{a n}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=．15．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，，，则可用表示为=．16．已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆C交于M，N两点，则△F2MN的周长为．17．已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为3，则实数k的值为．18．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是．三、解答题19．在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a+c=5，且b=，求△ABC的面积．20．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．21．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA=AD=2，AB=BC=1，Q为PD中点．（Ⅰ）求证：PD⊥BQ；（Ⅱ）求直线BQ与平面PCD所成角的正弦值．22．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a n b1+a n﹣1b2+…+a1b n，n∈N*，求T n．23．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的一个端点到它的左焦点距离为2，直线l：y=kx与椭圆C交于M，N两点，P为椭圆C上异于M，N的点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线PM，PN的斜率都存在，判断PM，PN的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；（Ⅲ）求△PMN面积的最大值．2015-2016学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．命题“∀a，b∈R，如果a=b，则a2=ab”的否命题为（）A．∀a，b∈R，如果a2=ab，则a=b B．∀a，b∈R，如果a2=ab，则a≠bC．∀a，b∈R，如果a2≠ab，则a≠b D．∀a，b∈R，如果a≠b，则a2≠ab【考点】四种命题．【分析】根据命题若p，则q的否命题是若￢p，则￢q，写出它的否命题即可．【解答】解；“∀a，b∈R，如果a=b，则a2=ab”的否命题是∀a，b∈R，如果a≠b，则a2≠ab．故选：D．【点评】本题考查了命题与它的否命题之间的关系，解题时应熟悉四种命题之间的关系，是基础题．2．若a＞b，ab≠0，则不等式恒成立的是（）A．2a＞2b B．lg（a﹣b）＞0 C．D．【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由a＞b，ab≠0，可得2a＞2b，lg（a﹣b）可能等于大于小于0，与的大小关系不确定，＜1或1．即可得出．【解答】解：∵a＞b，ab≠0，∴2a＞2b，lg（a﹣b）可能等于大于小于0，与的大小关系不确定，＜1或1．综上：只有A正确．故选：A．【点评】本题考查了函数与不等式的性质，属于基础题．3．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划的应用．【专题】数形结合．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x=1，y=1时z max=3．故选C．【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．已知抛物线x2=4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2，则点M的纵坐标是（）A．0 B．C．1 D．2【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出y p+1=2，求得y p．【解答】解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1，根据抛物线定义，∴y p+1=2，解得y p=1．故选：C．【点评】本题主要考查抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等，常可用来解决涉及抛物线焦点的直线或焦点弦的问题．5．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（）A．BD与CF成60°角 B．BD与EF成60°角C．AB与CD成60°角 D．AB与EF成60°角【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】由正方体的平面展开图，还原成正方体，利用正方体的结构特征，得到BD与CF 成0°角，BD与EF成90°角，AB与CD成60°角，AB与EF成90°角．【解答】解：由正方体的平面展开图，还原成如图所示的正方体，∵BD∥CF，∴BD与CF成0°角，故A错误；∵BD∥平面A1EDF，EF⊂平面A1EDF，∴BD与EF成90°角，故B错误；∵AE∥CD，∴∠BAE是AB与CD所成角，∵△ABE是等边三角形，∴∠BAE=60°，∴AB与CD成60°角，故C正确；∵AB∥A1D，又A1D⊥EF，∴AB与EF成90°角，故D错误．故选：C．【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用．6．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；等比数列．【专题】计算题．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．【点评】本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用．7．给出如下四个命题：①已知p，q都是命题，若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a＞b，则3a＞3b﹣1”的否命题为“若a≤b，则3a≤3b﹣1”；③命题“对任意x∈R，x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R，x02+1＜0”；④“a≥0”是“∃x∈R，使得ax2+x+1≥0”的充分必要条件．其中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．②③④ D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】①根据复合命题之间的关系进行判断；②根据否命题的定义进行判断”；③根据全称命题的否定是特称命题进行判断；④根据充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：①已知p，q都是命题，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故①错误；②命题“若a＞b，则3a＞3b﹣1”的否命题为“若a≤b，则3a≤3b﹣1”；故②正确，③命题“对任意x∈R，x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R，x02+1＜0”；故③正确，④若a＜0，则判别式△=1﹣4a＜0，此时ax2+x+1≥0有解，即“a≥0”是“∃x∈R，使得ax2+x+1≥0”的充分必要条件错误，故④错误，故正确的命题为②③，故选：B【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据复合命题，四种命题之间的关系以及含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．8．已知等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且S3，S9，S6成等差数列，则q3等于（）A．﹣1或B．1或﹣C．1 D．﹣【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得q≠1，由求和公式可得+=2，解关于q的方程可得．【解答】解：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1．∵a1≠0，∵S3+S6≠2S9，与已知矛盾，故q≠1．由题意可得S3+S6=2S9，∴+=2可得整理得q3（2q6﹣q3﹣1）=0，由q≠0得方程2q6﹣q3﹣1=0．分解因式可得（2q3+1）（q3﹣1）=0，∵q≠1，q3﹣1≠0，∴2q3+1=0，∴q3=故选：D【点评】本题考查等差数列和等比数列的综合应用，涉及分类讨论的思想，属中档题．9．双曲线C与椭圆+=1有相同的焦距，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则双曲线C的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣y2=1或y2﹣=1C．x2﹣=1或y2﹣=1 D．y2﹣=1【考点】双曲线的标准方程；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出椭圆的焦距，从而得到双曲线的焦距，再由双曲线的渐近线方程，能求出双曲线的标准方程．【解答】解：∵椭圆+=1中，c==，∴焦距|F1F2|=2c=2，∵双曲线C与椭圆+=1有相同的焦距，一条渐近线方程为x﹣2y=0，∴设双曲线方程为，λ≠0化为标准方程，得：，当λ＞0时，c==，解得λ=1，∴双曲线方程为；当λ＜0时，c==，解得λ=﹣1，∴双曲线方程为．∴双曲线方程为﹣y2=1或y2﹣=1．故选：B．【点评】本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线、椭圆的简单性质．10．已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2}C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2}【考点】其他不等式的解法；一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的单调性可得解集．【解答】解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，故可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x＞﹣1，而10x＜可化为10x＜，即10x＜10﹣lg2，由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2故选：D【点评】本题考查一元二次不等式的解集，涉及对数函数的单调性及对数的运算，属中档题．11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（）A．B．C．D．【考点】直线与平面垂直的性质；平面与平面之间的位置关系．【专题】压轴题；阅读型．【分析】先找符合条件的特殊位置，然后根据符号条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平面AC的交线得到结论．【解答】解：根据题意可知PD=DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”设AB的中点为N，根据题目条件可知△PAN≌△CBN∴PN=CN，点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”故动点M的轨迹肯定过点D和点N而到点P与到点N的距离相等的点为线段PC的垂直平分面线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线故选A【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及公理二等有关知识，同时考查了空间想象能力，推理能力，属于基础题12．设u（n）表示正整数n的个位数，例如u（23）=3．若a n=u（n2）﹣u（n），则数列{a n}的前2015项的和等于（）A．0 B．2 C．8 D．10【考点】数列的求和．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】根据定义求出数列{a n}的前几项的值，根据取值得到数列的周期性即可得到结论．【解答】解：由定义可得a1=0，a2=2，a3=6，a4=2，a5=0，a6=0，a7=2，a8=﹣4，a9=﹣8，a10=0，数列{a n}的前10项和为0，又数列{a n}是周期为10的周期数列，故S2015=10．故选D．【点评】本题主要考查数列的求和，利用条件得到数列的周期性是解决本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将正确答案填在答题卡上）13．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则B=45°．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由已知及正弦定理可得sinB==，根据大边对大角由b＜a可得B∈（0，60°），即可求B的值．【解答】解：△ABC中，∵，∴由正弦定理可得：sinB===，∵b＜a，∴B∈（0，60°），∴B=45°．故答案为：45°．【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角等知识在解三角形中的应用，属于基础题．14．在等差数列{a n}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=74．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据等差数列的性质所有下标之和相同的两项之和相等，看出第三项与第七项的和等于第四项与第六项的和等于第二项与第八项的和，得到结果．【解答】解：等差数列{a n}中，a3+a7=37，∵a3+a7=a2+a8=a4+a6=37∴a2+a4+a6+a8=37+37=74，故答案为：74【点评】本题考查等差数列的性质，这是经常用到的一个性质的应用，注意解题要灵活，不要出现数字运算的错误是一个送分题目．15．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，，，则可用表示为=﹣+﹣．【考点】空间向量的加减法．【专题】数形结合；数形结合法；空间向量及应用．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用空间向量的线性运算，即可用，，表示出．【解答】解：如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，且，，，所以=++=﹣+=﹣+﹣=﹣+﹣．故答案为：﹣+﹣．【点评】本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，是基础题目．16．已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆C交于M，N两点，则△F2MN的周长为8．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的定义可知|F1M|+|F2M|和|F1N|+|F2N|的值，进而把四段距离相加即可求得答案．【解答】解：利用椭圆的定义可知，|F1M|+|F2M|=2a=4，|F1N|+|F2N|=2a=4，∴△MNF2的周长为|F1M|+|F2M|+F1N|+|F2N|=4+4=8．故答案为：8．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．解题的关键是利用椭圆的定义．17．已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为3，则实数k的值为．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，然后代入三角形面积公式求得实数k的值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（2，2k+2），∴|AB|=2k+2，则，即k=．故答案为：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．18．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是7+4．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】log4（3a+4b）=log2，可得3a+4b=ab，a，b＞0.＞0，解得a＞4．于是a+b=a+=+7，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵log4（3a+4b）=log2，∴=，∴，∴3a+4b=ab，a，b＞0．∴＞0，解得a＞4．a+b=a+=+7≥7+=，当且仅当a=4+2时取等号．∴a+b的最小值是7+4．故答案为：7+4．【点评】本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．三、解答题19．在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a+c=5，且b=，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）在锐角△ABC中，由条件利用正弦定理求得sinB的值，即可求得B的值．（2）由余弦定理求得a2+c2﹣ac=7，再由a+c=5，所以ac=6，由此求得△ABC的面积．【解答】解：（1）在锐角△ABC中，，由正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以sinB=，因为三角形ABC为锐角三角形，所以B=．（2）由余弦定理b2=a2+c2﹣2ac•cosB 得a2+c2﹣ac=7，∵a+c=5，所以ac=6，所以△ABC的面积为=．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．20．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又p∧q为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；（2）先由￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围．【解答】解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q 真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]【点评】充要条件要抓住“大能推小，小不能推大”规律去推导．21．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA=AD=2，AB=BC=1，Q为PD中点．（Ⅰ）求证：PD⊥BQ；（Ⅱ）求直线BQ与平面PCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）建立以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴的空间直角坐标系，证明•=0，即可证明PD⊥BQ；（Ⅱ）求出平面PCD的法向量，利用向量的夹角公式求直线BQ与平面PCD所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，又AD⊥AB，如图，建立以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴的空间直角坐标系．…由已知，PA=AD=2，AB=BC=1，AD∥BC．所以A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）…又Q为PD中点，所以Q（0，1，1）．所以=（0，2，﹣2），=（﹣1，1，1），所以•=0，…所以PD⊥BQ．…（Ⅱ）解：设平面PCD的法向量为=（a，b，c），则∵=（0，2，﹣2），=（﹣1，1，0），∴，…令c=1，得a=b=1，∴=（1，1，1）．…∵=（﹣1，1，1），∴直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为=．…【点评】本题考查直线与直线垂直的证明，考查直线BQ与平面PCD所成角的正弦值的求法，正确运用向量法是解题的关键．22．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a n b1+a n﹣1b2+…+a1b n，n∈N*，求T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求；（2）方法一、求得==﹣=c n﹣c n+1，再由裂项相消求和，化简整理即可得到所求；方法二、三运用数列的求和方法：错位相减法和等比数列的求和公式，计算即可得到所求．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1=b1=2，得，由条件得方程组，故；（2）法一：=，又因为==﹣=c n﹣c n+1（令）所以T n=2n[（c1﹣c2）+（c2﹣c3）+…+（c n﹣c n+1）]=2n（c1﹣c n+1）=10•2n﹣2（3n+5）；法二：=，令，，两式相减得到：=，所以，所以．法三：T n=a n b1+a n﹣1b2+a n﹣2b3+…+a2b n﹣1+a1b n即，则，两式相减得到：==5•2n+1﹣6n﹣10=10•2n﹣2（3n+5）．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和和错位相减法，考查化简整理的能力，属于中档题．23．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的一个端点到它的左焦点距离为2，直线l：y=kx与椭圆C交于M，N两点，P为椭圆C上异于M，N的点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线PM，PN的斜率都存在，判断PM，PN的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；（Ⅲ）求△PMN面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由已知，=，且a=2，所以c=1，b=，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线PM，PN的斜率都存在，利用点差法，即可得出PM，PN的斜率之积是定值；（Ⅲ）求出点P到直线l：y=kx的距离最大值，|MN|，即可求△PMN面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，=，且a=2，所以c=1，b=．所以椭圆C的方程为．…（Ⅱ）设P（x0，y0），M（x1，y1），n（﹣x1，﹣y1），则M，P的坐标代入椭圆方程，两式作差得=﹣．所以，当PM，PN的斜率都存在时，PM，PN的斜率之积是定值﹣．…（Ⅲ）过点P作与平行且与椭圆的相切的直线，设切线方程为y=kx+t，代入椭圆方程，得（3k2+4）x2+8ktx+4t2﹣12=0．令△=0，得|t|=．…这时，直线y=kx+t与直线l：y=kx的距离就是点P到直线l：y=kx的距离最大值．所以，点P到直线l：y=kx的距离最大值d=．又由y=kx与椭圆方程，解得|x1|=．所以|MN|=2|x1|=．所以，△PMN面积的最大值为=2…【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．2016年2月27日。

2019-2020学年广东省珠海市七年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

2019-2020学年广东省珠海市七年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

2019-2020学年广东省珠海市七年级（上）期中数学试卷1. −13的相反数是( )A. 3B. −3C. 13D. −132. 在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做+0.22，那么小东跳出了3.85米，记作( )A. −0.15B. +0.22C. +0.15D. −0.223. 2018年10月24日港珠澳大桥全线通车，它是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，大桥总长度55000米．数字55000用科学记数法表示为( )A. 55×103B. 5.5×104C. 0.55×105D. 5.5×1034. 若3x m y 3与−2x 2y n 是同类项，则( )A. m =1，n =1B. m =2，n =3C. m =−2，n =3D. m =3，n =25. 下列各式计算正确的是( )A. −8−5=−3B. 4a +3b =7abC. 3x 2−x 2=3D. −2−(−6)=46. 多项式x 3y +y −3是( )A. 三次三项式B. 四次二项式C. 三次二项式D. 四次三项式7. 化简a −(b −c)正确的是( )A. a −b +cB. a −b −cC. a +b −cD. a +b +c8. 已知|x|=3，|y|=7，且xy >0，则x +y 的值等于( )A. 10B. 4C. ±10D. ±49. 已知x −2y +3=8，则整式2x −4y 的值为( )A. 5B. −5C. −10D. 1010. 定义新运算：“⊗”，规定a ⊗b =15a −3b ，则10⊗(−2)的计算结果为( )A. −20B. 10C. 8D. −1211. 单项式−2x 2y 的系数是______，次数是______． 12. “比x 的2倍小5的数”用代数式表示为______．13. 比较大小12______13，−|−2|______−(−2)(填“<”、“>”或“=”) 14. 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则2(a +b)−3cd =________．15. 船在静水中的速度为m 千米/小时，河的水流速度为n 千米/时，那么船在这条河中逆水行驶的速度为______千米/小时．16. 在数轴上表示a 、b 两个实数的点的位置如图所示，则化简|a −b|−|a +b|的结果是______． 17. 计算：(−314)+(−234)+10−1.518. −22−16÷(−4)×(−34)．19. 先化简，再求值：5x 2−2(2x 2−1)−3，其中x =−2．20. 数轴上的点分别对应的数是：+5，−1.5，23，−4，0画数轴，在数轴上将上述的点表示出来，并用“<”连接21.某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品10袋，用以检测每袋的重量是否符合标准，超过或不足标准重量的部分用正数或负数来表示(单位：克)，记录如下表：袋数21322与标准重量的+0.5+0.8+0.6−0.4−0.7差值(1)与标准重量相比较，这10袋样品总计超过或不足多少克？(2)若每袋的标准重量为50克，每克的生产成本2元，求这批样品的总成本．22.如图是某小区的一块长为b米、宽为2a米的长方形草地，现在在该长方形的四个顶点处分别修建一个半径为a米的扇形花台．(1)求修建后剩余草坪(阴影部分)的面积：(用含a，b的式子表示)(2)当a=10，b=40时，草坪的面积是多少平方米？(π取3.14)23.观察下面三行数：(1)若第1行的第n个数为m，那么第3行的第n个数为______(用含m的代数式表示)；(2)探索第1行数中的规律，并用含n的代数式表示第n个数______；(3)取每行的第6个数，计算这三个数的和．24.通常用作差法可以比较两个数或者两个式子的大小(1)如果a−b>0，则a______b；如果a−b=0，则a______b；如果a−b<0，则a______b：(用“>”、“<”、“=”填空)(2)已知A=7m2−7m+3，B=6m2−4(74m−12)，请用作差法比较A与B的大小．25.如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足|a+2|+(c−8)2=0，b=1，(1)a=______，c=______；(2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合．(3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和8个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC.则AB=______，AC=______，BC=______.用含t的代数式表示)(4)请问：3AB−(2BC+AC)的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，请求其值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：−13的相反数是13， 故选：C ．一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号．本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了正数和负数，注意高于标准用正数表示，低于标准用负数表示。

广东省汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学试题(含答案)

广东省汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学试题(含答案)

试卷类型：A汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷选择题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知32i -+是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则q 的值为（ ）A.26B.-26C.13D.-132.若空间中四条不同的直线1l ，2l ，3l ，4l 满足12l l ⊥，23l l ⊥，34l l ⊥，则下面结论正确的是（ ）A.14l l ⊥B.14l l ∥C.1l ，4l 既不垂直也不平行 D.1l ，4l 的位置关系不确定3.已知1tan 3α=-，则sin 2α=（ ）A.35 B.35- C.35± D.45±4.已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a =（ ）A.1B.33C.65D.-15.对于变量Y 和变量x 的成对样本观测数据，用一元线性回归模型()()20,Y bx a eE e D e σ=++⎧⎨==⎩得到经验回归模型ˆˆˆy bx a =+，对应的残差如图所示，则模型误差（）A.满足一元线性回归模型的所有假设B.不满足一元线性回归模型的()0E e =的假设C.不满足一元线性回归模型的()2D e σ=的假设D.不满足一元线性回归模型的()0E e =和()2D e σ=的假设6.通过随机询问某中学110名学生是否爱好跳绳，得到如下22⨯列联表.已知()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，()210.8280.001Pχ≥=，根据小概率值0.001α=的独立性检验，以下结论正确的是（ ）性别跳绳男女合计爱好402060不爱好203050合计6050110A.爱好跳绳与性别有关B.爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001C.爱好跳绳与性别无关D.爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.0017.在ABC 中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则cos A =（ ）C. D.8.某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15m .在该海湾某一固定点，大海水深d （单位：m ）与午夜24：00后的时间t （单位：h ）的关系由函数()104cos d t t =+表示，则上午9：00潮水的涨落速度为（精确到0.01m /h ，参考数据：33sin 30.140.0027≈≈）（ ）A.3.00B.-1.64C.1.12D.-2.15二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知点O ､N ､P 在ABC 所在平面内，则（）A.若OA OB OC ==，则点O 是ABC 的外心B.若0NA NB NC ++=，则点N 是ABC 的重心C.若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 是ABC 的内心D.若0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，则ABC 是等腰三角形10.已知函数()ππsin sin cos 66f x x x x a ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1，则（ ）A.1a =-B.()f x 的最小正周期为2πC.()f x 在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D.()f x 的图象按向量π,16a ⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，所得图象过原点11.已知点()2,3P --和以点Q 为圆心的圆()()22129x y -+-=，以PQ 为直径，点Q '为圆心的圆与圆Q 相交于A ､B 两点，则（ ）A.圆Q '的方程为()()()()12230x x y y -++-+=B.PA 与PB 两条直线中，有一条直线的斜率不存在C.直线AB 的方程为3560x y +-=D.线段AB第II 卷非选择题三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出()81x +的展开式中系数最大的项：__________.13.已知一正四面体状木块V ABC -的棱长为3，点P 为侧面VAC 的重心，过点P 将木块锯开，使截面平行于直线VB 和AC ，则截面周长为__________.14.设椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为e ，双曲线22221x y a b -=e 的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132n n a S +=+，*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，在数列{}n d 中是否存在3项m d ､k d ､p d （其中m ､k ､p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.16.（本小题满分15分）在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ､F 分别在棱1BB ､1DD 上，且1AE A B ⊥，1AF A D ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面AEF ；（2）当3AD =，4AB =，15AA =时，求平面AEF 与平面11D B BD 的夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数()()e 211x x f x x -=-.（1）作出()y f x =的大致图象，并说明理由；（2）讨论函数()12e 1x a g x x =---的零点个数.18.（本小题满分17分）甲公司现有资金200万元，考虑一项投资计划，假定影响投资收益的唯一因素是投资期间的经济形势：若投资期间经济形势好，投资有25%的收益率；若投资期间经济形势不好，投资有10%的损益率.如果不执行该投资计划，损失为1万元.现有如下两个方案，方案一执行投资计划；方案二聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经济形势，聘请费用为5000元，若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好，则执行投资计划；若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好，则不执行该计划.以往的资料表明，投资咨询公司乙预测不一定正确.投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势好的概率是0.8；投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7.假设根据权威资料可以确定，投资期间经济形势好的概率是0.4，经济形势不好的概率是0.6.（1）求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率；（2）根据获得利润的数学期望的大小，甲公司应该执行哪个方案？说明理由.19.（本小题满分17分）抛物线具有光学性质：由其焦点F 发出的光线经抛物线上的点M （不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.由光路可逆知，反之也成立.（1）已知平行于x 轴的光线l 从点()(),20P m m >发出，经抛物线22y x =上的点A 反射后，再经该抛物线上另一点B ，最后沿BQ 方向射出，若射线BP 平分ABQ ∠，求实数m 的值；（2）光线被抛物线上某点反射，其实是被抛物线在该点处的切线反射.对于一般的抛物线()220y px p =>，请证明上述抛物线的光学性质.汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学科参考答案与评分标准第I 卷题号1234567891011答案ADBACCDBABDABABD1.【解析】实系数一元二次方程的两根互为共轭复数，由韦达定理得2|32i |132q=-+=；2.【解析】利用长方体易得；3.【解析】2222sin cos 2tan 3sin2sin cos tan 15ααααααα===-++；4.【解析】1353353a a a a ++==，同理433a =，故公差2d =-，所以204161a a d =+=；5.【解析】由残差图的点没有均匀分布在水平带状区域内可知：不满足()2e D σ=的假设；6.【解析】计算得20.0017.810.828χα≈<=，说明没有充分证据作此推断；7.【解析】作AD BC ⊥于D ，设BC a =，则2,,33a a AD BD CD AB AC =====，故由余弦定理可求得Cos A ；8.【解析】由导数的意义知，上午9:00潮水的涨落速度为()()()()()2294sin94sin 634sin6Cos3Cos6sin342sin31sin 312sin 3sin3d ⎡⎤=-=-+=-+=--+-⎣⎦'()344sin 33sin3=-()440.002730.14 1.64;=⨯⨯-⨯≈-9.【解析】由外心定义，A 正确；设D 是AB 中点，由0NA NB NC ++= 得2NC ND =-，B 正确；由PA PB PB PC ⋅=⋅ 得()0PB PC PA PB AC ⋅-=⋅=，即PB AC ⊥，同理，PC AB ⊥，故点P 是ABC 的垂心，C 错误；设AB ACAF AB AC=+，则AF 为BAC ∠的平分线，又AF BC ⊥，故D 正确；10.【解析】化简得()π2sin 6f x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故21a +=，A 正确；显然，B 正确；π6u x =+在π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，且5π7π,126u ⎛⎫∈⎪⎝⎭，而sin u 在5π7π,126⎛⎫⎪⎝⎭上没有单调性，故C 错误；设()f x 的图象按向量π,16a ⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，得到函数()g x 的图象，则()π2sin 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，D 错误；11.【解析】设点(),M x y 为圆Q '上任一点，由0MP MQ ⋅=知，A 正确；显然，PA 与PB 为圆Q 的切线，若有一条的斜率不存在，则其方程必为2x =-，它到圆心Q 的距离为3，与圆Q 半径相等，符合题意，故B 正确；圆Q 与圆Q '的方程相减得直线AB 的方程为3540x y +-=，故C 错误；圆心Q 到直线AB，所以AB ==，故D 正确；第II 卷12.【解析】8(1)x +的展开式中系数最大的项也即是二项式系数最大的项，即4458T C x =；13.【解析】由线面平行的性质定理知，截面的两组对边分别与AC 和VB 平行，与AC 平行的边长为2，与VB 平行的边长为1，故周长为6；14.【解析】依题意，0b a <<，故e ⎫=⎪⎪⎭；15.【答案】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则当1n =时：1132a q a =+，①当2n =时：()211132a q a a q =++，②由①②解得：12,4a q ==，所以数列{}n a 的通项公式121242n n n a --=⨯=；（2）设数列{}n d 中存在3项m k p d d d ､､成等比数列，则2k m p d d d =⋅，因为2113211n n n n a a d n n -+-⨯==++，所以2212121323232111k m p k m p ---⎛⎫⨯⨯⨯=⋅ ⎪+++⎝⎭，即()()()22242223232(1)11m p k k m p +--⨯⨯=+++；又因为m k p ､､成等差数列，所以2k m p =+，所以()()2(1)11k m p +=++，化简得22k k mp m p +=++，所以2k mp =，又m k p ､､各不相等，所以222()4m p k mp k +=<=，矛盾.从而假设不成立，故在数列{}n d 中不存在3项,,m k p d d d 成等比数列.16.【答案】（1）证明：因为()()110AC AE A B BC AE BC AE BC AB BE ⋅=+⋅=⋅=⋅+=，所以1AC AE ⊥，因为()()110AC AF A D DC AF DC AF DC AD DF ⋅=+⋅=⋅=⋅+= ，所以1AC AF ⊥，又AE AF A ⋂=，故1AC ⊥平面AEF ；（2）以点D 为原点，分别以直线1DA DC DD ､､为x y z ､､轴，建立空间直角坐标系，则()()13,4,0,0,0,5DB DD ==设平面11DBB D 的法向量为(),,n x y z =，则150340n DD z n BD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取()4,3,0n =- ，由（1）知：()13,4,5A C =--是平面AEF 的一个法向量所以，111cos ,n A C n A C n A C⋅==⋅，设平面AEF 和平面11D B BD 的夹角为θ，则1cos cos ,n A C θ==.17.【答案】（1）()f x 的定义域为{}1xx ≠∣，且()()2e 23(1)x x x f x x -=-'，由()0f x '=得：0x =或32x =，列表得：x(),0∞-0()0,131,2⎛⎫ ⎪⎝⎭323,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x '+--+()f x极大值极小值所以，()f x 的递增区间为(),0∞-与3,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭，递减区间为()0,1与31,2⎛⎫⎪⎝⎭，()f x 的极大值为()01f =，极小值为3234e 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当x ∞→-时，()0f x →，且0x <时，()0f x >，当x 从1的左侧无限趋近1时，()f x ∞→-，当x 从1的右侧无限趋近1时，()f x ∞→+又10,2f ⎛⎫=⎪⎝⎭所以函数()y f x =的大致图象如图所示：（2）令()120e 1x a g x x =--=-得：()()e 211x x a f x x -==-，由（1）知，当()32,01,4e a ∞⎧⎫∈-⋃⎨⎬⎩⎭时，()y g x =恰有1个零点；当()320,14e ,a ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭时，()y g x =恰有2个零点；当321,4e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()y g x =没有零点.18.【答案】（1）记B =“投资期间经济形势好”，A =“投资咨询公司预测投资期间经济形势好”，则()()0.4,0.6P B P B ==，()0.8P A B =∣，()()110.70.3,P A B P A B =-=-=∣∣由全概率公式得：()()()()()P A P B P A B P B P A B =+∣∣0.40.80.60.30.5;=⨯+⨯=（2）设采取方案一获得利润X 万元，则X 的分布列是X50-20P 0.40.6设采取方案二获得利润Y 万元，则Y 的所有可能取值为20.5, 1.5,49.5--，(20.5)()((0.18P Y P BA P B P A B =-===∣，( 1.5)(1()10.50.5P Y P A P A =-==-=-=，()()()()49.50.32P Y P BA P B P A B ====∣，Y ∴的分布列为：Y -20.5-1.549.5P0.180.50.32()()500.4200.68,20.50.18 1.50.549.50.3211.4E X E Y ∴=⨯-⨯==-⨯-⨯+⨯=，()(),E X E Y <∴ 甲公司应该选择方案二.19.【答案】（1）依题意可知，直线l 的方程为2y =，由222y y x =⎧⎨=⎩得：()2,2A ，又1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以43AB k =，故直线AB 的方程为4132y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()2413222y x y x x ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=≠⎩得：11,82B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2081BP k m =-，设直线BP 的倾斜角为θ，由2222tan 4tan21tan 13BP AB BP k k k θθθ====--得12BP k =或-2（舍去）所以201812m =-，故418m =；（2）设直线()0y kx b k =+≠与拋物线22(0)y px p =>相切于点M ，由22y kx b y px=+⎧⎨=⎩得：()222220k x kb p x b +-+=，故222Δ(22)40kb p k b =--=，整理得2kb p =，从而(),2,,0b M b F kb k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而()21,2b MF k b k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，取直线MF 的一个方向向量()211,2n k k =-- ，直线()0y kx b k =+≠的一个方向向量为()1,m k =，焦点F 发出的光线经点M 反射，设反射光线斜率为k '，取其一个方向向量为()21,n k '= ，故12cos ,cos ,0m n m n += ，即：=整理得：()2120k k k k ⎡⎤-+⎣'=⎦'，因为1n 与2n 不共线，所以()2120k k k '-+≠，从而0k '=，所以由抛物线焦点F 发出的光线经拋物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.。

广东省广州市铁一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

广东省广州市铁一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

广州市铁一中学2024-2025学年第一学期10月月考高二数学本试卷共4页，19小题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、单项选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分。

1．已知空间的一组基，则可以与向量，构成空间的另一组基的向量是（）A ．B ．C ．D ．2．空间中一个静止的物体用三根绳子悬挂起来，已知三根绳子上的拉力大小分别为1N 、2N 、3N ，且三根绳子中任意两根绳子的夹角均为，则该物体的重力大小为（）A ．B ．C ．D ．3．“”是“直线和直线平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图，在平行六面体中，为、的交点．若，，则向量（）A ．B．C D ．5．已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．6．如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点、分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱、、分别交于、、，设四面体的体积为，则的最小值为（）{,,}a b c2a b c -- a b c ++ 22a b +2a b- 3a c+ 32b c+ 60︒NN5N6N4a =()1:220l a x ay +++=()()2:1210l a x a y -+--=1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D ,AB a AD b == 1AA c =BM =1122a b c-++ 1122a b c++1122a b c--+ 1122a b c-+ ()2,1A -()3,B m 1m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦AB π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦π5π0,,π36⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭π2π0,,π63⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ ππ5π,,π326⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ABCD V M BC E F DM N AF N αAB AC AD O P Q AOPQ V 'V V'A．B ．C ．D ．7．在棱长为的正方体中，M ，N 分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（）．A ．B ．C ．D ．8．如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，、分别为直线、上的动点，则线段的最小值为（）ABCD二、多项选择题：本大题3小题，每小题6分，共18分。

2020-2021学年广东省梅州市高二上学期期末考试数学试题 解析版

2020-2021学年广东省梅州市高二上学期期末考试数学试题 解析版

2020-2021学年广东省梅州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．命题“∃x0∈（0，+∞），x02+1≤2x0”的否定为（）A．∀x∈（0，+∞），x2+1≤2x B．∀x∈（0，+∞），x2+1＞2xC．∀x∈（﹣∞，0]，x2+1≤2x D．∀x∈（﹣∞，0]，x2+1＞2x2．已知直线l1：mx﹣2y+1＝0，l2：x﹣（m﹣1）y﹣1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若向量，，且，则实数λ的值是（）A．0B．1C．﹣2D．﹣14．已知圆C的圆心是直线x+y+1＝0与直线x﹣y﹣1＝0的交点，直线3x+4y﹣11＝0与圆C 交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为（）A．x2+（y+1）2＝18B．C．（x+y）2+y2＝18D．5．已知双曲线的一个焦点与抛物线y2＝﹣12x的焦点重合，则此双曲线的离心率为（）A．6B．C．D．6．若函数f（x）＝2x+在区间[0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．a≥0B．a≥2C．a＜2D．a≤27．一个矩形铁皮的长为16cm，宽为10cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为x（cm），小盒子的容积为V（cm3），则（）A．当x＝2时，V有极小值B．当x＝2时，V有极大值C．当时，V有极小值D．当时，V有极大值8．设函数f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x）若f（x）+f'（x）＞1，f（0）＝2020，则不等式e x f（x）＞e x+2019的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（2019，+∞）C．（2019，+∞）D．（0，+∞）二、多项选择题（共4小题）.9．设f（x），g（x）都是单调函数，其导函数分别为f'（x），g'（x），h（x）＝f（x）﹣g （x），下列命题中正确的是（）A．若f'（x）＞0，g'（x）＞0，则h（x）单调递增B．若f'（x）＞0，g'（x）＜0，则h（x）单调递增C．f'（x）＜0，g'（x）＞0，则h（x）单调递减D．若f'（x）＜0，g'（x）＜0，则h（x）单调递减10．下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（）A．设A，B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线B．设定C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P 的轨迹为椭圆C．方程2x2﹣5x+2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率D．双曲线与椭圆有相同的焦点11．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，下列式子中正确的是（）A．a1+c1＝a2+c2B．a1﹣c1＝a2﹣c2C．c1a2＞a1c2D．12．关于函数，下列说法正确的是（）A．x0＝2是f（x）的极小值点B．函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点C．存在正整数k，使得f（x）＞kx恒成立D．对任意两个正实数x1，x2，且x1≠x2，若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＞4三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．直线l过坐标原点且与线y＝e x相切，则l的方程为．14．已知过点的椭圆C的焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），则椭圆C的标准方程是．15．如图，桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面的高度约为米（精确到0.1米）．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长均为2，O是底面正方形ABCD中心，E为PC 中点，则直线OE与直线PD所成角的余弦值为．四、解答题：解答应写出文字说明。

2019-2020学年广东省珠海市香洲区七年级(上)期末数学试卷解析版

2019-2020学年广东省珠海市香洲区七年级(上)期末数学试卷解析版

2019-2020学年广东省珠海市香洲区七年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.1．（3分）﹣7的倒数（）A．﹣B．7C．﹣7D．2．（3分）2019年10月1日，天安门广场迎来新中国成立以来的第15次国庆阅兵．据统计，截止至当天下午6点，央视新闻置顶的“国庆阅兵”阅读数已超过34亿．数据34亿用科学记数法表示为（）A．0.34×1010B．3.4×109C．3.4×108D．34×1083．（3分）物体的形状如图所示，则从上面看此物体得到的平面图形是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，某同学家在A处，现在该同学要去位于D处的同学家，请帮助他选择一条最近的路线是（）A．A→B→M→D B．A→B→F→D C．A→B→E→F→D D．A→B→C→D5．（3分）下列去括号正确的是（）A．a﹣（3b﹣c）＝a﹣3b﹣c B．a+3（2b﹣3c）＝a﹣6b﹣9cC．a+（b﹣3c）＝a﹣b+3c D．a﹣2（2b﹣3c）＝a﹣4b+6c6．（3分）若x＝1是方程2x+m﹣6＝0的解，则m的值是（）A．﹣4B．﹣8C．4D．87．（3分）下列各等式的变形中，等式的性质运用正确的是（）A．由＝0，得x＝2B．由x﹣1＝4，得x＝5C．由2a＝3，得a＝D．由a＝b，得＝8．（3分）如图，点A在点O的北偏西60°的方向上，点B在点O的南偏东20°的方向上，那么∠AOB的大小为（）A．110°B．120°C．140°D．170°9．（3分）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（）A．|b|＜|a|B．a＞b C．ab＞0D．a+b＝010．（3分）把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，则大正方形的周长与小正方形的周长的差是（）A．a+2b B．a+b C．3a+b D．a+3b二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．11．（4分）比较大小：﹣2﹣3．12．（4分）若单项式3x2y3与单项式﹣2x2y n﹣1是同类项，则n的值是．13．（4分）若∠A＝34°，则∠A的余角的度数为度．14．（4分）若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则x+y＝．15．（4分）若x2+2xy＝﹣2，xy﹣y2＝4，则x2+xy+y2的值是．16．（4分）商家把某商品的进价增加20%定为售价出售，后因库存积压降价出售，结果还盈利8%，则这种商品按原售价的折出售．17．（4分）设x、y是任意两个有理数，规定x与y之间的一种运算“⊕”为：若对任意有理数x、y（x≠y），x⊕y＝，若2⊕a＝0，则a的值是．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18．（6分）计算：（﹣1）4+4÷（﹣0.25）﹣|﹣3|．19．（6分）解方程：＝1﹣．20．（6分）如图，点M为AB中点，BN＝AN，MB＝3cm，求AB和MN的长．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21．（8分）如图是一个长方体纸盒的表面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数．（1）填空：a＝，b＝；（2）先化简，再求值：（2a2﹣5b）﹣3（a2﹣b）．22．（8分）的士司机李师傅从上午9：00～10：15在东西方向的九洲大道上营运，共连续运载八批乘客．若规定向东为正，向西为负，李师傅营运八批乘客里程如下：（单位：千米）+2，﹣3，+3，﹣4，+5，+4，﹣7，﹣2．（1）将最后一批乘客送到目的地时，李师傅位于第一批乘客出发地的东面还是西面？距离出发地多少千米？（2）若的士的收费标准为：起步价10元（不超过2.5千米），超过2.5千米，超过部分每千米2.6元．则李师傅在上午9：00～10：15一共收入多少元？（精确到1元）23．（8分）某小组6名同学参加一次知识竞赛，共答20道题，每题分值相同，答对得分，答错或不答扣分，下面是前5名同学的得分情况（如表）：序号答对题数答错或不答题数得分118284217m76320010041919251010n（1）表中的m＝，n＝；（2）该小组第6名同学说：“这次知识竞赛我得了0分”，请问他的说法是否正确？如果正确，请求出这位同学答对了多少题；如果不正确，请说明理由．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）已知点O为直线AB上一点，将一个直角三角板COD的直角顶点放在点O处，并使OC边始终在直线AB的上方，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠DOE＝70°，则∠AOC＝°；（2）如图1，若∠DOE＝α，求∠AOC的度数；（用含α的式子表示）（3）如图2，在（2）的条件下，若在∠AOC的内部有一条射线OF，满足∠BOE＝（∠AOF﹣∠DOE），试确定∠AOF与∠DOE之间的数量关系，并说明理由．25．（10分）如图1，已知数轴上有三点A，B，C．点A，C对应的数分别是﹣40和20，点B是AC的中点．（1）请直接写出点B对应的数：；（2）如图2，动点P，Q分别从A，C两点同时出发向左运动，点P，Q的速度分别为2个单位长度/秒，3个单位长度/秒，点E为线段PQ的中点．设运动的时间为t秒（t＞0）．①当t为何值时，点B与点E的距离是5个单位长度？②当点E在点A的右侧时，m▪AE+QC的值不随时间的变化而改变，请求出m的值．2019-2020学年广东省珠海市香洲区七年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.1．【解答】解：﹣7的倒数是﹣，故选：A．2．【解答】解：34亿＝3400000000＝3.4×109．故选：B．3．【解答】解：该几何体从上面看到的平面图有两层，第一层一个正方形，第二层有3个正方形．故选：C．4．【解答】解：根据两点之间的线段最短，可得D、B两点之间的最短距离是线段DB的长度，所以想尽快赶到同学家玩，一条最近的路线是：A→B→F→D．故选：B．5．【解答】解：A、原式＝a﹣3b+c，故本选项不符合题意．B、原式＝a+6b﹣9c，故本选项不符合题意．C、原式＝a+b﹣3c，故本选项不符合题意．D、原式＝a﹣4b+6c，故本选项符合题意．故选：D．6．【解答】解：把x＝1代入方程得：2+m﹣6＝0，解得：m＝4，故选：C．7．【解答】解：由＝0，得x＝0，故选项A错误；由x﹣1＝4，得x＝5，故选项B正确；由2a＝3，得a＝，故选项C错误；由a＝b，得＝（c≠0），故选项D错误；故选：B．8．【解答】解：如图，∵点A在点O北偏西60°的方向上，∴OA与西方的夹角为90°﹣60°＝30°，又∵点B在点O的南偏东20°的方向上，∴∠AOB＝30°+90°+20°＝140°．故选：C．9．【解答】解：由数轴上点的位置得：a＜0＜b，且|a|＞|b|，∴ab＜0，a+b＜0，故选：A．10．【解答】解：设小正方形的边长为x，则a﹣2x＝b+2x，则4x＝a﹣b，所以大正方形的周长﹣小正方形的周长＝4（a﹣2x）﹣4x＝4a﹣12x＝4a﹣3a+3b＝a+3b．故选：D．二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．11．【解答】解：在两个负数中，绝对值大的反而小，可求出﹣2＞﹣3．故答案为：＞．12．【解答】解：∵单项式3x2y3与单项式﹣2x2y n﹣1是同类项，∴n﹣1＝3，解得n＝4．故答案为：413．【解答】解：∠A的余角＝90°﹣34°＝56°．14．【解答】解：∵|x﹣2|与+（y+3）2＝0，∴|x﹣2|＝0，（y+3）2＝0，∴x＝2，y＝﹣3，∴x+y＝2+（﹣3）＝﹣1．故填﹣1．15．【解答】解：x2+2xy＝﹣2①，xy﹣y2＝4②，①﹣②得：x2+2xy﹣（xy﹣y2）＝﹣2﹣4，x2+2xy﹣xy+y2＝﹣6，x2+xy+y2＝﹣6，故答案为：﹣6．16．【解答】解：设每件进价为a元，按原售价的x折出售．由题意，得（1+20%）a×0.1x﹣a＝8%a解得x＝9．答：按原售价的9折出售．故答案是：9．17．【解答】解：根据题意得：当a＜2时，4+3a﹣7＝0，即a＝1；当a＞2时，﹣6+2a﹣7＝0，即a＝，综上，a的值是1或，故答案为：1或三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18．【解答】解：原式＝1+（﹣16）﹣31﹣19＝﹣18．19．【解答】解：去分母得：2（4x+1）＝6﹣3（2x﹣1），去括号得：8x+2＝6﹣6x+3，移项合并得：14x＝7，解得：x＝0.5．20．【解答】解：∵点M为AB中点，∴AB＝2MB＝6cm，∴AN+NB＝6cm，∵BN＝AN，∴2BN+NB＝6cm∴NB＝2cm∴MN＝MB﹣NB＝1cm．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21．【解答】解：（1））∵纸盒中相对两个面上的数互为相反数，∴观察图形可知，a＝﹣1，b＝3．故答案为：a＝﹣1，b＝3；（2）原式＝2a2﹣5b﹣3a2+3b＝﹣a2﹣2b当a＝﹣1，b＝3时原式＝﹣（﹣1）2﹣2×3＝﹣7．22．【解答】解：（1）（+2）+（﹣3）+（+3）+（﹣4）+（+5）+（+4）+（﹣7）+（﹣2）＝﹣2答：李师傅距第一批乘客出发地的西面，距离出发地2千米．（2）（3﹣2.5）+（3﹣2.5）+（4﹣2.5）+（5﹣2.5）+（4﹣2.5）+（7﹣2.5）＝11（千米）10+10+（10×6+11×2.6）＝108.6≈109（元）答：李师傅上午9：00～10：15一共收入约109元．23．【解答】（1）由于共有20道题，m＝20﹣17＝3，∴由同学3可知：答对一题可得5分，由第3位同学可知答对一题得5，设答错或不答扣x分，则从第1位同学可列方程：18×5﹣2x＝84，解得：x＝3，n＝10×5﹣3×10＝20，故答案为：（1）3，20（2）设这位同学答对y道题，则他答错或不答（20﹣y）题，则5y﹣3（20﹣y）＝0，解得：y＝，因为m不是整数，所以这位同学的说法不正确．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24．【解答】解：（1）∵∠DOE＝70°，∠COD＝90°∴∠COE＝90°﹣70°＝20°，∵OE平分∠BOC．∴∠COE＝∠BOE＝20°∴∠AOC＝180°﹣2∠COE＝140°，故答案为：140．（2）解：∠DOE＝α，∠COD＝90°∴∠COE＝90°﹣α，∵OE平分∠BOC∴∠BOC＝2∠COE＝180°﹣2α，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α；（3）∠AOF+∠DOE＝180°，∵∠BOE＝（∠AOF﹣∠DOE），∴2∠BOE＝∠AOF﹣∠DOE，∴∠BOC＝∠AOF﹣∠DOE，∴180°﹣∠AOC＝∠AOF﹣∠DOE，∵∠DOE＝α，∠AOC＝2α，∴∠AOC＝2∠DOE，∴180°﹣2∠DOE＝∠AOF﹣∠DOE，∴∠AOF+∠DOE＝180°，即∠AOF与∠DOE互补．25．【解答】解：（1）点B对应的数是﹣10；故答案为：﹣10（2）①PB＝AB+AP＝﹣10﹣（﹣40）+2t＝30+2tPQ＝20﹣（﹣40）+2t﹣3t＝60﹣t，∵E是PQ的中点，∴PE＝PQ＝（60﹣t）＝30﹣t当E在B的左侧时，BE＝PB﹣PE＝30+2t﹣（30﹣）＝BE＝t＝5，∴t＝2，当E在B的右侧时∴BE＝PE﹣PB＝30﹣t﹣（30+2t）＝t∴BE＝t＝5，∴t＝﹣2答：当t＝2时，点B与点E的距离是5个单位长度．②依题意，得：AE＝+40＝30﹣t，QC＝3t，∴mAE+QC＝m（30﹣t）+3t＝30m+（m+3）t，∵mAE+QC的值不随时间的变化而改变∴m+3＝0，解得：m＝；，答：当m＝时，mAE+QC的值不随时间的变化而改变。

广东省中山市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷含详解

广东省中山市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷含详解
A.2B.3C. D.4
【答案】B
【解析】
【分析】由 ，两边平方后展开整理，即可求得 ，则 的长可求．
【详解】解： ，
，
， ，
， ，
．
，
，
故选： ．
【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4.已知等比数列 的各项均为正数，前 项和为 ，若 ，则
1.“ ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
∴“ ”是“ ”的充分必要条件．
故选C
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．
2.在等差数列 中，若 的值是
11.已知点 和点 ，直线 ， 的斜率乘积为常数 ，设点 的轨迹为 ，下列说法正确的是（）
A.存在非零常数 ，使 上所有点到两点 ， 距离之和为定值
B.存在非零常数 ，使 上所有点到两点 ， 距离之和为定值
C.不存在非零常数 ，使 上所有点到两点 ， 距离之差的绝对值为定值D.不存在非零常数 ，使 上所有点到两点 ， 距离之差的绝对值为定值
【详解】根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2 ，
则∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2 ，
在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝ ，
则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，
则有 ＝ ，变形可得BC＝ ＝ ＝ ，

2019-2020学年广东省珠海市香洲区七年级(上)期末数学试卷(解析版)

2019-2020学年广东省珠海市香洲区七年级(上)期末数学试卷(解析版)

2019-2020学年广东省珠海市香洲区七年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分.每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑）1．如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作（）A．﹣3℃B．﹣2℃C．+3℃D．+2℃2．港珠澳大桥全长约为55000米，将数据55000科学记数法表示为（）A．0.55×105B．5.5×104C．55×103D．550×102 3．如图所示的几何体从上面看得到的图形是（）A．B．C．D．4．若x﹣3＝2y，则x﹣2y的值是（）A．2B．﹣2C．3D．﹣35．下列计算中，正确的是（）A．x+x2＝x3B．2x2﹣x2＝1C．x2y﹣xy2＝0D．x2﹣2x2＝﹣x26．商店对某种手机的售价作了调整，按原售价的8折出售，此时的利润率为14%，若此种手机的进价为1200元，设该手机的原售价为x元，则下列方程正确的是（）A．0.8x﹣1200＝1200×14%B．0.8x﹣1200＝14%xC．x﹣0.8x＝1200×14%D．0.8x﹣1200＝14%×0.8x7．若一个角等于它的补角，则这个角的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°8．下列图形可以作为一个正方体的展开图的是（）A．B．C．D．9．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品按220元销售，可获利10%，则这件商品的进价为（）A．240元B．200元C．160元D．120元10．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为18，我们发现第一次输出的结果为9，第二次输出的结果为12，……，则第10次输出的结果为（）A．0B．3C．5D．6二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上）11．某天上午的气温是6℃，夜晚下降了10℃，则夜晚的气温为℃．12．将57000用科学记数法表示为．13．若关于x的方程ax＝6﹣2x的解是x＝2，则a＝．14．计算：90°﹣53°17′＝．15．对于有理数a、b，定义a*b＝3a+2b，化简x*（x﹣y）＝．16．如图，两个正方形边长分别为2、a（a＞2），图中阴影部分的面积为．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．计算：﹣22÷×+|﹣|18．解方程：+1＝19．如图，以直线AB上的点O为端点作射线OC、OD，满足∠AOC＝54°，∠BOD＝∠BOC，求∠BOD的度数．(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分）20．先化简，再求值：，其中x＝2，y＝3．21．如图，已知线段a、b（a＞b）．（1）求作一条线段AB，使AB＝2a﹣b（不写作法，不要求证明，但要保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，如果a＝4，b＝2，且点C为AB的中点，求线段BC的长．22．某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品若干袋，用以检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足标准质量的部分用正数或负数来表示（单位：克），记录如下表：（1）若表中的一个数据不小心被墨水涂污了，请求出这个数据；（2）若每袋的标准质量为50克，每克的生产成本2元，求这批样品的总成本．(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)23．以下是两张不同类型火车的车票：（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）：（1）根据车票中的信息填空：两车行驶方向，出发时刻（填“相同”或“不同”）；（2）已知该动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A，B两地之间的距离；（3）在（2）的条件下，请求出在什么时刻两车相距100km？24．已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，并在∠MON内部作射线OC．（1）如图1，三角板的一边ON与射线OB重合，且∠AOC＝150°．若以点O为观察中心，射线OM表示正北方向，求射线OC表示的方向；（2）如图2，将三角板放置到如图位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON＝2∠NOC，求∠AOM 的度数；（3）若仍将三角板按照如图2的方式放置，仅满足OC平分∠MOB，试猜想∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．25．已知多项式3x6﹣2x2﹣4的常数项为a，次数为b．（1）设a与b分别对应数轴上的点A、点B，请直接写出a＝，b＝，并在数轴上确定点A、点B的位置；（2）在（1）的条件下，点P以每秒2个单位长度的速度从点A向B运动，运动时间为t秒：①若PA﹣PB＝6，求t的值，并写出此时点P所表示的数；②若点P从点A出发，到达点B后再以相同的速度返回点A，在返回过程中，求当OP＝3时，t为何值？2019-2020学年广东省珠海市香洲区七年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分.每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑）1．【分析】根据倒数的定义求解即可．【解答】解：﹣2得到数是﹣，故选：C．【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一数的倒数的关键．2．【分析】根据长方形的周长＝2（长+宽）先列出代数式，再化简即可．【解答】解：∵长方形的周长＝2（长+宽）＝2[（a+b）+a]＝2（2a+b）＝4a+2b．故选：B．【点评】本题考查了列代数式和整式的化简．掌握长方形的周长和边间关系是解决本题的关键．3．【分析】根据两点之间，线段最短解答即可．【解答】解：某同学沿直线将三角形的一个角（阴影部分）剪掉后，发现剩下部分的周长比原三角形的周长小，能较好地解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短．故选：D．【点评】本题考查的是线段的性质，掌握两点之间，线段最短是解题的关键．4．【分析】根据同类项的定义和合并同类项的法则解答．【解答】解：A、2a与3b不是同类项，不能合并，故本选项错误．B、2a3与3a2不是同类项，不能合并，故本选项错误．C、原式＝0，故本选项正确．D、原式＝2a2，故本选项错误．故选：C．【点评】考查了合并同类项，明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的．5．【分析】根据等式的性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．【解答】解：A.3+x＝5，等式两边同时减去3得：x＝5﹣3，A项错误，B.3x﹣（1+x）＝0，去括号得：3x﹣1﹣x＝0，B项正确，C.y＝0，等式两边同时乘以2得：y＝0，C项错误，D.7x＝﹣4，等式两边同时除以7得：x＝﹣，D项错误，故选：B．【点评】本题考查了等式的性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．6．【分析】根据数轴得出a＜0＜b，|a|＞|b|，进而可得出ab＜0，a+b＜0，﹣a＞0，对比后即可得出选项．【解答】解：从数轴可知：a＜0＜b，|a|＞|b|，∴ab＜0，a+b＜0，﹣a＞0，即选项A，B，C均正确；选项D错误，故选：D．【点评】本题考查了数轴和有理数的运算，能根据数轴得出a＜0＜b和|a|＞|b是解此题的关键．7．【分析】根据互补的两个角的和等于180°解答．【解答】解：设这个角的度数是x，则它的补角为：180°﹣x，∵这一个角等于它的补角，∴180°﹣x＝x，解得：x＝90°，即这个角的度数为90°．故选：A．【点评】本题考查了互为补角的定义，熟记概念是解题的关键．8．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【解答】解：A、不能作为一个正方体的展开图，故本选项错误；B、不能作为一个正方体的展开图，故本选项错误；C、能作为一个正方体的展开图，故本选项正确；D、不能作为一个正方体的展开图，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了几何体的展开图，属于基础题，注意培养自己的空间想象能力．9．【分析】这件商品的进价为x元，根据利润＝销售价格﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：这件商品的进价为x元，根据题意得：220﹣x＝10%x，解得：x＝200．故选：B．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．10．【分析】根据运算程序可推出第三次输出的结果为6，第四次输出的结果为3，第五次输出的结果为6，第六次输出的结果为3，…，依此类推，即可推出从第三次开始，第偶数次输出的为3，第奇数次输出的为6，可得第10此输出的结果为3．【解答】解：∵第二次输出的结果为12，∴第三次输出的结果为6，第四次输出的结果为3，第五次输出的结果为6，第六次输出的结果为3，…，∴从第三次开始，第偶数次输出的为3，第奇数次输出的为6，∴第10次输出的结果为3．故选：B．【点评】本题主要考查了有理数的乘法和加法运算，关键在于每次输出的结果总结出规律．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上）11．【分析】气温下降用减法，上升用加法，列式计算即可．【解答】解：∵上午的气温是6℃，夜晚下降了10℃，∴夜晚的气温为：6﹣10＝﹣4（℃）．故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查有理数的加减法，减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．12．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将57000用科学记数法表示为：5.7×104．故答案为：5.7×104．【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13．【分析】把x＝2代入方程ax＝6﹣2x，得到关于a的一元一次方程，解之即可．【解答】解：把x＝2代入方程ax＝6﹣2x得：2a＝6﹣2×2，解得：a＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．14．【分析】根据1°＝60′进行解答．【解答】解：原式＝36°43′．故答案是：36°43′．【点评】考查了度分秒的换算．度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．15．【分析】原式利用题中的新定义化简即可得到结果．【解答】解：根据题中的新定义得：原式＝3x+2（x﹣y）＝3x+2x﹣2y＝5x﹣2y，故答案为：5x﹣2y【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．【分析】利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积得到阴影部分的面积＝【解答】解：阴影部分的面积＝【点评】本题考查了整式的混合运算：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．【分析】先算乘除，再算加减即可解答本题．【解答】解：﹣22÷×+|﹣|＝﹣4×＝﹣6+＝﹣5．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算顺序．18．【分析】依次去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．【解答】解：去分母得：3（x﹣1）+12＝4x，去括号得：3x﹣3+12＝4x，移项得：3x﹣4x＝3﹣12，合并同类项得：﹣x＝﹣9，系数化为1得：x＝9．【点评】本题考查了解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．19．【分析】依据邻补角的定义，即可得到∠BOC的度数，再根据∠BOD＝∠BOC，即可得到∠BOD的度数．【解答】解：∵∠AOC＝54°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝126°，又∵∠BOD＝∠BOC，∴∠BOD＝×126°＝42°．【点评】本题主要考查了角的计算，解决问题的关键是利用邻补角的定义求得∠BOC的度数．(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分）20．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝x﹣2x+y2+y2﹣3x＝﹣4x+y2，当x＝2，y＝3时，原式＝﹣8+9＝1，【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．21．【分析】（1）在射线AP上依次截取AE＝EF＝a，在EF上截取FB＝b，则线段AB满足条件；（2）先计算出AB的长，然后根据线段中点的定义得到BC的长．【解答】解：（1）如图，AB为所作；（2）∵a＝4，b＝2，∴AB＝2×4﹣2＝6，∵点C为AB的中点，∴BC＝AB＝3．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．22．【分析】（1）设被墨水涂污了的数据为x，根据题意列方程，即可得到结论；（2）根据题意计算计算即可．【解答】解：（1）设被墨水涂污了的数据为x，则0.5×2+0.8×1+0.6×3+（﹣0.4）×2+（﹣0.7）x＝1.4，解得：x＝2，故这个数据为2；（2）[50+1.4÷（2+1+3+2+2）]×（2+1+3+2+2）×2＝1002.8元，答：这批样品的总成本是1002.8元．【点评】本题考查了正数和负数，利用有理数的加法运算是解题关键．(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)23．【分析】（1）根据车票中的信息即可看到两张票都是从A地到B地，所以方向相同，但出发时间分别是20：00与21：00，所以出发时刻不同；（2）可设A，B两地之间的距离为s，而两车同时到达终点，于是可列方程﹣1＝，解方程即可求出两地距离；（3）两车相距100km可以分追及之前与追及之后两种情况为考虑，但同时也要考虑两种情况的存在性．【解答】解：（1）车票中的信息即可看到两张票都是从A地到B地，所以方向相同；两车出发时间分别是20：00与21：00，所以出发时刻不同；故答案为相同，不同．（2）设A ，B 两地之间的距离为s ，根据题意可得﹣1＝解得s ＝600答：A ，B 两地之间的距离为600km ．（3）设在高铁出发t 小时后两车相距100km ，分追及前与追及后两种情况①200（t +1）﹣300t ＝100 解得 t ＝1；②300t ﹣200（t +1）＝100 解得t ＝3但是在（2）的条件下，600÷300＝2即高铁仅需2小时可到达B 地，所以第②种情况不符合实际，应该舍去．答：在（2）的条件下，在高铁出发1h 时两车相距100km ．【点评】本题考查的是一元二次方程在行程问题中的应用，根据题意准确列出方程是解题的关键．24．【分析】（1）根据∠MOC ＝∠AOC ﹣∠AOM 代入数据计算，即得出射线OC 表示的方向； （2）根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解；（3）令∠NOC 为β，∠AOM 为γ，∠MOC ＝90°﹣β，根据∠AOM +∠MOC +∠BOC ＝180°即可得到∠AOM 与∠NOC 满足的数量关系．【解答】解：（1）∵∠MOC ＝∠AOC ﹣∠AOM ＝150°﹣90°＝60°，∴射线OC 表示的方向为北偏东60°；（2）∵∠BON ＝2∠NOC ，OC 平分∠MOB ，∴∠MOC ＝∠BOC ＝3∠NOC ，∵∠MOC +∠NOC ＝∠MON ＝90°，∴3∠NOC +∠NOC ＝90°，∴4∠NOC ＝90°，∴∠BON ＝2∠NOC ＝45°，∴∠AOM ＝180°﹣∠MON ﹣∠BON ＝180°﹣90°﹣45°＝45°；（3）∠AOM＝2∠NOC．令∠NOC为β，∠AOM为γ，∠MOC＝90°﹣β，∵∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°，∴γ+90°﹣β+90°﹣β＝180°，∴γ﹣2β＝0，即γ＝2β，∴∠AOM＝2∠NOC．【点评】此题考查了角的计算，余角和补角，本题难度较大，关键是熟练掌握角的和差倍分关系．25．【分析】（1）根据多项式的常数项与次数的定义分别求出a，b的值，然后在数轴上表示即可；（2）①根据PA﹣PB＝6列出关于t的方程，解方程求出t的值，进而得到点P所表示的数；②在返回过程中，当OP＝3时，分两种情况：（Ⅰ）P在原点右边；（Ⅱ）P在原点左边．分别求出点P运动的路程，再除以速度即可．【解答】解：（1）∵多项式3x6﹣2x2﹣4的常数项为a，次数为b，∴a＝﹣4，b＝6．如图所示：故答案为﹣4，6；（2）①∵PA＝2t，AB＝6﹣（﹣4）＝10，∴PB＝AB﹣PA＝10﹣2t．∵PA﹣PB＝6，∴2t﹣（10﹣2t）＝6，解得t＝4，此时点P所表示的数为﹣4+2t＝﹣4+2×4＝4；②在返回过程中，当OP＝3时，分两种情况：（Ⅰ）如果P在原点右边，那么AB+BP＝10+（6﹣3）＝13，t＝；（Ⅱ）如果P在原点左边，那么AB+BP＝10+（6+3）＝19，t＝．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，路程、速度与时间关系的应用，数轴以及多项式的有关定义，理解题意利用数形结合是解题的关键．。

广东省珠海市2024年春季高考模拟考试数学试卷

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一、单选题1.已知函数，则的图象大致为（ ）A．B．C．D．2. 将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，至多两人，则甲乙不在同一路口的分配方案共有（ ）A ．81种B ．72种C ．36种D ．24种3. 新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展．下面是2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收情况，则下列说法错误的是（）A ．2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2021年我国数字出版业营收超过2017年我国数字出版业营收的2倍C ．2021年我国新闻出版业营收超过2017年我国新闻出版业营收的1.5倍D ．2021年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一4. 若，，，则（ ）A．B．C．D．5.若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（ ）A．B．C．D．6.若集合，集合（ ）A．B．C．D．广东省珠海市2024年春季高考模拟考试数学试卷广东省珠海市2024年春季高考模拟考试数学试卷二、多选题三、填空题四、解答题7.三棱锥的四个顶点都在表面积为的球O 上，点A在平面的射影是线段的中点，，则平面被球O 截得的截面面积为（ ）A．B．C．D．8. 设 a ＞b ＞1，，给出下列三个结论：①＞ ；②＜ ； ③ ，其中所有的正确结论的序号是A ．①B ．① ②C ．② ③D ．① ②③9. 下列说法正确的是（ ）A ．若事件A 和事件B互斥，B ．数据2，7，4，5，16，1，21，11的第70百分位数为11C ．若随机变量，，则D ．已知y 关于x 的回归方程为，则样本点的残差的绝对值为2.210. 已知，下列不等式恒成立的是（ ）A．B．C．D．11. 过抛物线C ：的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列判断正确的是（ ）A ．可能为锐角三角形B．过点且与抛物线C 仅有一个公共点的直线有2条C ．若，则的面积为D．最小值为12. 在棱长为的正方体中，是棱的中点，点在棱上运动（不与端点重合），则下列结论正确的是（ ）A ．三棱锥的体积为B．直线与平面所成角的正弦值可能是C ．三棱锥外接球的表面积的最小值为D ．平面截正方体所得的截面各边长的平方和的最大值是13. 已知复数，是虚数单位，则的虚部为________.14. 假设云南省40万学生数学模拟考试的成绩近似服从正态分布，已知某学生成绩排名进入全省前9100名，那么该生的数学成绩不会低于____________分.（参考数据：，）15.设为的反函数，则___________.16. 已知点M 是椭圆C：上一点，，分别为椭圆C 的上、下焦点，，当，的面积为.(1)求椭圆C 的方程：(2)设过点的直线和椭圆C 交于两点A ，B ，是否存在直线，使得与（O 是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.17.已知定义域为的函数是奇函数，当时，.（1）求在上的解析式；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率，且过点，A，B分别是C的左、右顶点．(1)求C的方程；(2)已知过点的直线交C于M，N两点（异于点A，B），试证直线MA与直线NB的交点在定直线上．19. 已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．20. 2020年11月1日，我国开展第七次全国人口普查，它是中国特色社会主义进入新时代、第一个百年奋斗目标即将实现、开启全面建设社会主义现代化国家新征程的一项基础性工作，将为我们科学制定“十四五”规划和社会民生政策等提供重要信息支撑，具有重大而深远的意义.大国点名，没你不行.全国每个家庭每位居民都是人口普查的参与者和受益者，都有义务如实填报人口普查信息.齐心协力共同高质量完成人口普查任务.为了保障普查顺利进行，某市选取一个小区进行试点，该试点小区共有A类家庭(指公务员，机关干部，教师，高级白领族等)200户，B类家庭(指农民，留守老人族，打工族，低收入族等)300户，普查情况如下表所示：普查对象类顺利不顺利合计别A类家庭180200B类家庭60300合计（1）补全上述列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“此普查试点小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；（2）普查领导小组为了了解公民对这次普查的认识情况，准备采取分层抽样的方法从该试点小区抽取5户家庭户主，再从这5户家庭户主中，随机抽取2户家庭户主进行谈话交流，求至少有1户家庭户主是来自A类家庭的概率.参考公式：，其中.参考数据：P(K2≥P0.100.050.0250.0100.001)k 2.706 3.841 5.024 6.63510.82821. 对于函数，把称为函数的一阶导，令，则将称为函数的二阶导，以此类推得到n阶导.为了方便书写，我们将n阶导用表示.(1)已知函数，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.(2)现定义一个新的数列：在取作为数列的首项，并将作为数列的第项.我们称该数列为的“n阶导数列”①若函数（），数列是的“n阶导数列”，取Tn为的前n项积，求数列的通项公式.②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减数列且为无穷数列，请写出它并证明此结论.（写出一个即可）。

广东省珠海市2024年春季高考模拟考试数学试卷(3)

广东省珠海市2024年春季高考模拟考试数学试卷(3)

一、单选题二、多选题1.设为数列的前n项和，若，且存在，，则的取值集合为（ ）A．B．C．D．2. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则（ ）A．B．C．D．3. 设为非零向量，则“”是“存在整数，使得”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 直线过抛物线的焦点，且交抛物线于、两点，交其准线于，已知，，则（ ）A．B．C．D．5. 2022年，我国彩电、智能手机、计算机等产量继续排名全球第一，这标志着我国消费电子产业已经实现从“跟随”到“引领”的转变，开启了高质量发展的新时代．如图是2022年3月至12月我国彩电月度产量及增长情况统计图（单位：万台，%），则关于这10个月的统计数据，下列说法正确的是（）（注：同比，即和去年同期相比）A ．这10个月我国彩电月度产量的中位数为1726万台B ．这10个月我国彩电月度平均产量不超过1600万台C ．自2022年9月起，各月我国彩电月度产量均同比下降D ．这10个月我国彩电月度产量同比增长率的极差不超过0.46.已知向量满足，则与的夹角为（ ）A．B．C．D．7. 已知集合，则（ ）A．B．C．D．8. 已知，则（ ）A．B．C．D．9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ）A ．展开式共7项B ．项系数为280C ．所有项的系数之和为2187D ．所有项的二项式系数之和为128广东省珠海市2024年春季高考模拟考试数学试卷(3)广东省珠海市2024年春季高考模拟考试数学试卷(3)三、填空题四、解答题10.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若，，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．在区间上单调递增D ．的图象关于直线对称11. 下列结论正确的是（ ）A ．若，则B ．函数的最小值为2C ．若，则D ．函数有最小值212. 已知双曲线：（，）的一条渐近线的方程为，且过点，椭圆：（）的焦距与双曲线的焦距相同，且椭圆的左右焦点分别为，过的直线交于（），两点，则下列叙述正确的是（ ）A ．双曲线的离心率为2B．双曲线的实轴长为C．点的横坐标的取值范围为D．点的横坐标的取值范围为13. 设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．14.在中，，，是上的点，平分，若，则的面积为__________.15. 已知函数是奇函数,且当时,.若函数是的反函数,则_______.16.已知椭圆的右焦点为F ，A为椭圆上一点，为坐标原点，直线与椭圆交于另一点，直线与椭圆交于另一点（点B 、D 不重合）．(1)设直线，的斜率分别为，，证明：；(2)点为直线上一点，记的斜率分别为，若，求点的坐标．17. “疫苗犹豫”，即尽管疫苗可及，却迟迟未接种或拒绝接种疫苗的现象.成人接种新冠疫苗的犹豫，主要原因是对感染新冠肺炎的风险缺乏了解，心存侥幸，认为即使不接种也未必会感染，对感染的后果也认识不足.现从某小区未接种的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.(1)求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；(2)现先从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中抽到2人的概率.18.已知等比数列的公比为，记，分别为数列，的前项和．(1)若，求；(2)若，求．19. 已知椭圆的焦点坐标为和，且椭圆经过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆的上、下顶点分别为点和，动点在圆上，动点在椭圆上，直线、的斜率分别为、，且.证明：、、三点共线.20.已知数列中，，，记数列的前项的乘积为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求证：.21. 如图，在直三棱柱中，在棱上.（1）若为的中点，求证:平面平面；（2）若为上的一动点，当三棱锥的体积为，求.。

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19-20学年广东省珠海市高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∀x∈R，x2−1>0”的否定是()A. ∀x∈R，x2−1≤0B. ∃x0∈R，x02−1>0C. ∃x0∈R，x02−1≤0D. ∀x∈R，x2−1<02.等比数列{a n}满足a3=16，a15=14，则a6=()A. ±2B. 2C. 4√2D. ±4√23.已知实数a<b，那么()A. a−b<0B. a−b>0C. a2<b2D. 1a <1b4.不等式x2−2x−5>2x的解集是()A. {x|x≥5或x≤−1}B. {x|x>5或x<−1}C. {x|−1<x<5}D. {x|−1≤x≤5}5.已知实数x，y满足约束条件{y≤2x+y≥4x−y≤1，则z=3x+y的最小值为()A. 11B. 12C. 8D. 36.设x∈R，则“|x−2|<1”是“x2+x−2>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件7.若椭圆x25+y2m=1的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m 的值为()A. 1B. 2C. 4D. 68.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”其大意：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据题中的已知条件，若要使织布的总数不少于20尺，则该女子所需的天数至少为()A. 10B. 9C. 8D. 79.已知P为抛物线y2=8x上一点，F为该抛物线焦点，若A点坐标为(3,2)，则|PA|+|PF|最小值为()A. √5B. 5C. 7D. 1110.直线l与椭圆C:x22+y23=1交于A，B两点，若线段AB的中点为(1,1)，则直线l的斜率为()A. 1B. 32C. −32D. −111.在△ABC中，B=45°，D是BC边上一点，AD=√13，AC=4，DC=3，则AB的长为()A. 5√22B. 3√62C. 3√3D. 2√612.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值为()A. 23B. √53C. 2√55D. √55二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）13.在△ABC中，若(a+c)(a−c)=b(b+c)，则∠A=________．14.已知x>0，则7−x−9x的最大值为________．15.已知点A(−2,0)，P为圆C：(x+4)2+y2=16上任意一点，若点B满足2PA=PB，则点B的坐标为________．16.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠BAD=∠A1AD=∠A1AB=60°，AB=AD=AA1=1，则对角线AC1的长度为______．17.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y2−x2=1相交于A、B两点，若▵ABF为等边三角形，则p=_______．18.设等差数列{a n}满足a2=5，a6+a8=30，则数列{1a n2−1}的前n项和等于________．19.如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角，若A+C=180∘，AB=6，BC=4，CD=5，AD=5，则四边形ABCD面积是______ ．20.已知F1，F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）21.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边，bcosC=3acosB−ccosB．(Ⅰ)求cosB；(Ⅱ)若△ABC的面积是2√2，且b=2√2，求a和c的值．22.已知{a n}是等比数列，满足a2=2，a4a5=128，数列{b n}满足b1=1，b2=2，且{b n+1a n}为2等差数列．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和．23.已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．(1)求证：BD⊥平面PAC。

(2)若点E为PC的中点，求二面角D−AE−B的大小．24.已知f(x)=x2−(3a+4)x+1(a∈R)．(1)若对任意的，不等式f(x)>0上恒成立，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式f(x)<−2a2−5a−2．25.如图，N(1,0)是圆M：(x+1)2+y2=16内一个定点，P是圆上任意一点.线段NP的垂直平分线和半径MP相交于点Q．(Ⅰ)当点P在圆上运动时，点Q的轨迹E是什么曲线？并求出其轨迹方程；(Ⅱ)过点G(0,1)作一条直线l，与曲线E交于A，B两点，点A关于原点O的对称点为D，求ΔABD 面积S的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：命题为全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x0∈R，x02−1≤0，故选：C根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2.答案：D解析：解：等比数列{a n}中，a3=16，a15=14，∴a15a3=q12=1416=164，∴q3=2√2；∴a6=a3⋅q3=16×2√2)=±4√2．故答案为：D．根据等比数列的通项公式，求出q的值，再求a6的值．本题考查了等比数列的通项公式的应用问题，也考查了学生灵活的计算能力，是基础题目．3.答案：A解析：本题主要考查了不等式的比较大小，属于基础题．解：实数a<b，则a−b<0，故A正确，B错误，若a=−2，b=0，则a2>b2，故C错误，若a=1，b=2，则1a >1b，故D错误．故选A．4.答案：B解析：解：不等式x 2−2x −5>2x ⇔x 2−4x −5>0⇔(x −5)(x +1)>0⇒x >5或x <−1， 故选：B ．将不等式转化为一元二次不等式，利用因式分解法，可求得结论．本题考查了一元二次不等式的解法，求解的关键在于求出对应方程的根，能用因式分解法的就用因式分解法．5.答案：C解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，利用绵竹市的几何意义，通过数形结合即可的得到结论．解：由约束条件{y ≤2x +y ≥4x −y ≤1作出可行域如图，联立{y =2 x +y =4，解得A(2,2)， 化目标函数z =3x +y 为y =−3x +z ，由图可知，当直线y =−3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为z =3×2+2=8．故选C ．6.答案：A解析：本题主要考查了充分条件，必要条件，以及绝对值不等式，一元二次不等式的解法，属于基础题．根据充分条件，必要条件的定义求解即可．解：由|x−2|<1，解得1<x<3，由x2+x−2>0，解得x<−2或x>1，则(1,3)是{x|x<−2或x>1}的真子集，即“|x−2|<1”是“x2+x−2>0”的充分不必要条件．故选A．7.答案：C解析：根据椭圆的几何性质解答即可．解：因为椭圆的一个焦点坐标为(1,0)，所以椭圆的焦点在x轴上且c=1，由题意得5−m=1，解得m=4．故选C．8.答案：D解析：本题主要考查了等比数列在生茶生活中的实际应用，试题比较基础属于基础题，解题时要认真审题，熟记等比数列的通项公式和前n项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．分析：由等比数列的前n项和公式求出女子每天分别织布531尺，由此利用等比数列前n项和公式能求出要使织布的总尺数不少于20尺，该女子所需的天数至少为多少天．解：设该女第一天织布x尺，则x(1−25)1−2=5，解得x=531，所以前n织布的尺数为531(2n−1)，由531(2n−1)⩾20，得2n⩾125，解得n的最小值为7．故选D．9.答案：B解析：本题考查抛物线的定义和性质的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．利用抛物线的定义，转化为A 到准线的距离就是|PA|+|PF|的最小值，即可得出结论．解：将x =3代入抛物线方程y 2=8x ，得y =±2√6，∵2√6>2，∴A 在抛物线内部．设抛物线上的点P 到准线l ：x =−2的距离为d ，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d ，所以当PA ⊥l 时，|PA|+d 最小，最小值为5．故选B ．10.答案：C解析：本题考查直线的斜率，考查点差法，中点的坐标公式的应用，为中档题．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用点差法求直线的斜率即可．解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{x 122+y 123=1,x 222+y 223=1两式相减得y 1−y 2x 1−x 2=−32⋅x 1+x 2y 1+y 2=−32， 所以直线l 的斜率为−32． 11.答案：D解析：本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理，属于基础题．先根据余弦定理求出∠C 度数，最后根据正弦定理可得答案．解：在△ADC 中，AD =√13，AC =4，DC =3，由余弦定理得cosC =AC 2+DC 2−AD 22×AC×DC =16+9−132×4×3=12， ∴∠C =60°，在△ABC 中，AC =4，∠B =45°，∠C =60°， 由正弦定理得AC sinB =AB sinC ，∴AB =ACsinCsinB =4×√32√22=2√6，故选D ．12.答案：A解析：本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．设AB =1，则AA 1=2，分别以D 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设n⃗ =(x,y ，z)为平面BDC 1的一个法向量，CD 与平面BDC 1所成角为θ，则sinθ=|n ⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||DC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．解：设AB =1，则AA 1=2，分别以D 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则D(0,0，2)，C 1(0,1，0)，B(1,1，2)，C(0,1，2)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−2)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)，设n⃗ =(x,y ，z)为平面BDC 1的一个法向量， 则{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +y =0y −2z =0，取n ⃗ =(2,−2,−1)， 设CD 与平面BDC 1所成角为θ，则sinθ=|n ⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=23，故选A．13.答案：120°解析：本题考查由余弦定理求角的大小．由余弦定理求得cosA，即可求解，解：由(a+c)(a−c)=b(b+c)，得b2+c2−a2=−bc，所以由余弦定理得cosA=−12，所以A=120°．14.答案：1解析：本题考查利用基本不等式求最值的应用，是基础题．首先将原式化简为7−x−9x =7−(x+9x)，再利用基本不等式求出最值．解：因为x>0，则7−x−9x =7−(x+9x)≤7−2√x·9x=1，当且仅当x=9x即x=3时取等号，即7−x−9x的最大值为1，故答案为1．15.答案：(4,0)解析：本题考查圆的方程的应用，．设B(s,0)，P(x,y)，将P代入圆，化简可得8−2s=0,s2−16=0，可得B点坐标．解：设B(s,0)，P(x,y)，由2|PA|=|PB|可得2√(x0+2)2+y02=√(x0−s)2+y02，又P为圆C:(x+4)2+y2=16上的任意一点，则x 02+y 02=−8x 0，即可得(8−2s )x 0+s 2−16=0，因为x 0为(x +4)2+y 2=16上任意点，则8−2s =0,s 2−16=0， 解得s =4，所以点B 的坐标为(4,0)， 故答案为(4,0)．16.答案：√6解析：解：∵AB =AD =AA 1=1，∠BAD =∠BAA 1=∠DAA 1=60°，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1又AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方得AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6． ∴AC 1=√6． 故答案为：√6．根据空间向量可得AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方即可得出答案． 本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．17.答案：2√3解析：本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题．求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p 即可．解：抛物线的焦点坐标为(p 2,0)，准线方程为：x =−p2， 准线方程与双曲线y 2−x 2=1联立可得：y 2−(−p2)2=1， 解得y =±√1+p 24，因为△ABF 为等边三角形，所以√y 2+p 2=2|y|，即p 2=3y 2， 即p 2=3(1+p 24)，解得p =2√3．故答案为2√3．18.答案：n4(n+1)解析：该题考查等差数列的通项公式及数列的求和，可运用裂项相消法求出，考查学生的运用与计算能力． 解：设数列{a n }的公差为d ，由题意可得{a 2=a 1+d =5a 6+a 8=2a 7=2(a 1+6d)=30，解得{a 1=3d =2，即等差数列a n =2n +1， ∴1a n2−1=1(an +1)(a n −1)=14(1n −1n+1)，∴数列{1an2−1}的前n 项的和为：S n =14(1−12+12−13+⋯+1n−1−1n +1n −1n+1) =14(1−1n+1)=n4(n+1)． 故答案为n4(n+1)．19.答案：10√6解析：本题考查了余弦定理和三角形面积公式，属于中档题．连结BD ，根据余弦定理列出方程解出cosA(或cosC)，进而给出sin A ，sin C ，代入面积公式即可． 解：连结BD ，在ΔABD 中，BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅ADcosA =61−60cosA ， 在ΔBCD 中，BD 2=BC 2+CD 2−2BC ⋅CDcosC =41−40cosC ， ∴61−60cosA =41−40cosC ， ∵A +C =180°，∴cosA =−cosC ， ∴cosA =15，∴sinA =sinC =2√65，∴四边形ABCD 的面积为=12×6×5×2√65+12×4×5×2√65=10√6．故答案为10√6．20.答案：√3解析：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和定义法，以及余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．设过F 2与双曲线的一条渐近线y =ba x 平行的直线交双曲线于点P ，运用双曲线的定义和条件可得|PF 1|=3a ，|PF 2|=a ，|F 1F 2|=2c ，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．解：设过F 2与双曲线的一条渐近线y =ba x 平行的直线交双曲线于点P ， 由双曲线的定义可得|PF 1|−|PF 2|=2a ，由|PF 1|=3|PF 2|，可得|PF 1|=3a ，|PF 2|=a ，|F 1F 2|=2c ， 由tan∠F 1F 2P =ba 可得cos∠F 1F 2P =√1+a 2=ac ，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得：|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2−2|PF 2|⋅|F 1F 2|cos∠F 1F 2P ， 即有9a 2=a 2+4c 2−2a ⋅2c ⋅ac ， 化简可得，c 2=3a 2，则双曲线的离心率e =ca =√3． 故答案为√3．21.答案：解：(Ⅰ)由正弦定理得sinBcosC =3sinAcosB −sinCcosB ，即sinBcosC +sinCcosB =3sinAcosB ， 所以sin(B +C)=3sinAcosB ， 又sin(B +C)=sin(π−A)=sinA ． 所以sinA =3sinAcosB ， 因为sinA ≠0， 所以cosB =13； (Ⅱ)由12ac sin B =2√2， 由(Ⅰ)知cosB =13，可得：sin B =2√23， 所以ac =6，又因为b 2=a 2+c 2−2accosB ，即8=a 2+c 2−4， 所以a 2+c 2=12，②， 由①②式解得a =c =√6．解析：本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．(Ⅰ)由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得sinA =3sinAcosB ，结合sinA ≠0，可求cos B 的值．(Ⅱ)由三角形面积公式可求ac =6，利用余弦定理可求a 2+c 2=12，联立即可解得a ，c 的值．22.答案：解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ．由等比数列的性质得a 4a 5=a 2a 7=128， 又a 2=2，所以a 7=64． 所以公比q =√a 7a 25=√6425=2．所以数列{a n }的通项公式为a n =a 2q n−2=2×2n−2=2n−1． 设等差数列{b n +12a n }的公差为d ．由题意，得d =(b 2+12a 2)−(b 1+12a 1)=(2+12×2)−(1+12×1)=32，所以等差数列{b n +12a n }的通项公式b n +12a n =(b 1+12a 1)+(n −1)d =32+(n −1)⋅32=32n ． 所以数列{b n }的通项公式b n =32n −12a n =32n −12⋅2n−1=32n −2n−2(n =1,2,…)． (2)设数列{b n }的前n 项和为T n ． 由(1)知，b n =32n −2n−2(n =1,2,…)．记数列{32n}的前n 项和为A ，数列{2n−2}的前n 项和为B ， 则A =n(32+32n)2=34n(n +1)，B =12(1−2n )1−2=2n−1−12． 所以数列{b n }的前n 项和为T n =A −B =34n(n +1)−2n−1+12=34n 2+34n −2n−1+12．解析：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，培养了学生的综合能力．(1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出； (2)利用等差数列与等比数列的前n 项和公式即可得出．23.答案：解：(1)证明：连接AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ．∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PC ． 又∵AC ∩PC =C ，∴BD ⊥平面PAC ．(2)以点C 为坐标原点，CD 所在的直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则D(1,0，0)，A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1)， 从而DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)． 设平面ADE 和平面ABE 的一个法向量分别为m ⃗⃗⃗ =(a,b,c)，n ⃗ =(a′,b′,c′)， ∴{DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0， {BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，∴{−a +c =0b =0， {a′=0−b′+c′=0, 令c =1，c′=−1，则a =1，b′=−1，∴m ⃗⃗⃗ =(1,0,1)，n ⃗ =(0,−1,−1)． 则cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−1√2×√2=−12，∴<m⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=2π3，∴二面角D −AE −B 的大小为．解析：本题考查直线与平行垂直的判断与性质、考查空间向量求二面角，属于中档题．(1)连接AC，由PC⊥底面ABCD，得到BD⊥PC，再根据BD⊥AC，通过线面垂直的判定定理即可证得结论;(2)建立空间直角坐标系，求出两个平面ADE和平面ABE的法向量，进而求出法向量的夹角的余弦值，从而得到二面角的大小．24.答案：解：(1)对任意的，f(x)=x2−(3a+4)x+1>0恒成立，恒成立，即3a+4<x+1x⩾2(当且仅当x=1时，等号成立)，当x>0时，x+1x∴3a+4<2，即a<−2，3∴实数a的取值范围是(−∞,−2)；3(2)不等式x2−(3a+4)x+1<−2a2−5a−2可化为：x2−(3a+4)x+2a2+5a+3<0，即[x−(a+1)][x−(2a+3)]<0，①当a+1=2a+3，即a=−2时，x∈⌀；②当a+1>2a+3，即a<−2时，2a+3<x<a+1；③当a+1<2a+3，即a>−2时，a+1<x<2a+3；综上：当a=−2时，不等式解集为⌀；当a<−2时，不等式解集为(2a+3,a+1)；当a>−2时，不等式解集为(a+1,2a+3)．解析：本题考查不等式恒成立问题和含有参数的一元二次不等式的求解．(1)根据题意，对任意的，f(x)=x2−(3a+4)x+1>0恒成立，即3a+4<x+1x 恒成立，利用基本不等式求出x+1x的最小值即可；(2)分a+1=2a+3，a+1>2a+3，a+1<2a+3，三种情况讨论，即可求出结果．25.答案：解：(Ⅰ)由题意得|QM|+|QN|=|QM|+|QP|=|MP|=4>2=|MN|，根据椭圆的定义得点Q 的轨迹E 是以M 、N 为焦点的椭圆，∴a=2，c=1∴b=√3，∴轨迹方程为x24+y23=1;(Ⅱ)由题意知为点O 到直线l 的距离)，设l 的方程为y=kx+1，联立方程得{y=kx+1x24+y23=1，消去y 得(3+4k2)x2+8kx−8=0设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=−8k3+4k2，x1⋅x2=−83+4k2，则|AB|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=4√6⋅√1+2k2⋅√1+k23+4k2，又d=√1+k2，∴SΔABD=|AB|⋅d=4√6⋅√1+2k23+4k2，令√1+2k2=t，由k2⩾0，得t⩾1，∴SΔABD=4√6t2t2+1=4√62t+1t，t⩾1，易证y=2t+1t在(1,+∞)递增，∴2t+1t ⩾3，SΔABD⩽4√63，∴ΔABD面积S 的最大值4√63.解析：本题考查与椭圆有关的轨迹方程问题，以及直线和椭圆的位置关系.解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析解答即可．(Ⅰ)由已知条件推导出|QM|+|QN|=4，由椭圆定义得动点Q的轨迹是椭圆，由此能求出点Q的轨迹C的方程．(Ⅱ)设l 的方程为y=kx+1，联立方程得{y=kx+1x24+y23=1，消去y 得(3+4k2)x2+8kx−8=0，由此利用弦长公式和点到线的距离公式求得∴SΔABD=4√6⋅√1+2k23+4k2，进而求得结果.。

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