九年级第一章特殊的平行四边形知识点总结教程文件
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形小结与复习教学课件上册数学课件
12/10/2021
(2) 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠1＋∠4＝90°. ∵∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝90°， ∴∠AFD＝90°. 在正方形ABCD中， AD∥BC， ∴∠1＝∠AGB＝30°. 在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝2， ∴AF＝ 3 ，DF＝1. 由(1)得△ABE≌△DAF， ∴AE＝DF＝1， ∴EF＝AF－AE＝ 3 －1.
A
D
∴OA= OC,OB = OD.
O
又∵△ABO是等边三角形,
B
C
∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°.
∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8.
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∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） .
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
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课堂小结
两组对 边平行
一个角是直角且一组邻边相等
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正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再
判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱
形，再判定这个矩形有一个角为直角；③还可以先判
定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．
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例5 如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O 作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交 ∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF.
O A
C
∴AB2=AO2+OB2.
D
∴ △AOB是直角三角形, ∠AOB是直角.
∴AC⊥BD.
∴ □ABCD是菱形
特殊平行四边形知识点归纳
特殊平行四边形知识点归纳1.对角线：特殊平行四边形的对角线分别连接了两对相对顶点，它们相交于一个点，并且该交点将对角线分为两个相等的部分。
2.平行线性质：特殊平行四边形的两对边分别是平行的。
根据平行线的性质，可以推论出特殊平行四边形的一些重要性质，如对边相等和内角和为180度。
3.对角线性质：特殊平行四边形的对角线相等，即对角线BD=AC。
这个性质可以通过两个相似三角形的性质证明得出。
4.垂直线性质：特殊平行四边形的对角线相交于一个垂直点，即∠BOC=90度。
这个性质可以通过垂直线的性质证明得出。
5.邻补角性质：特殊平行四边形的邻补角（共享一条边且内角和为180度的两个角）之和为180度。
这个性质可以通过平行线的性质证明得出。
6.夹角性质：特殊平行四边形的夹角（相邻且共享一条边的两个内角）之和为180度。
这个性质也可以通过夹角的定义和平行线的性质证明得出。
7.对角线中点连线性质：特殊平行四边形的对角线的中点分别连接，即中点E和F相连，则EF平行于对边AB和CD，并且EF=AB=CD。
这个性质可以通过对角线中点连线构造等腰直角三角形的性质证明得出。
特殊平行四边形的这些性质和概念在几何学中有着广泛的应用。
例如，在解决平行四边形的面积、周长、角度和边长等问题时，可以利用这些性质来求解。
特殊平行四边形还与三角形、四边形和多边形等几何图形的关系密切相关，在几何证明和问题求解中起着重要的作用。
总之，特殊平行四边形是一个重要的几何概念，它具有一系列的重要性质和应用。
通过深入理解这些知识点，并善于运用它们来解决问题，可以提高我们的几何学思维能力和分析问题的能力。
特殊的平行四边形章节知识点归纳(全)
5. 矩形的性质
A
D
） ）
O
B
C
（1）∵四边形 ABCD 是矩形
∴∠DAB=∠ABC =∠BCD=∠CDA=90°（
）
（2）∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AC=BD（ OA=OC= OB=OD（
） ）
6. 矩形的判定
A
D
O
B
C
（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，且∠BAD=90°
∴□ABCD 是矩形（
（2）∵四边形 ABCD 是正方形
∴AC=BD（
）
AC⊥BD，且 OA=OC= OB=OD（
8. 正方形的判定
A
D
） ）
）
O
B
C
（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，且∠BAD=90° ，AB=BC
∴□ABCD 是正方形（
）
（2）∵四边形 ABCD 是菱形，且∠BAD=90°
∴菱形 ABCD 是正方形（
）
（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，且 AC=BD
∴□ABCD 是矩形（
）
（3）∵∠DAB=∠ABC =∠BCD =90°
∴四边形 ABCD 是矩形（
）
7. 正方形的性质
A
D
O
B
C
（1）∵四边形 ABCD 是正方形 ∴AB= BC =CD=AD（ ∠DAB=∠ABC =∠BCD=∠CDA=90°（
（正方形既是菱形也是矩形）
4. 菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 四条边相等的四边形是菱形.
5. 矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形； 有三个角是直角的四边形是矩形.
第一章特殊的平行四边形(教案)
3.提高学生的数学建模能力，将矩形、菱形、正方形的知识应用于解决实际问题，培养学生的数学应用意识和创新意识。
4.培养学生的数据分析能力，通过对特殊平行四边形数据的收集、整理和分析，让学生掌握科学的数据处理方法，形成数据驱动的决策思维。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对特殊的平行四边形的概念和性质掌握得还不错，但在具体的判定方法和应用上，部分学生还存在一定的困难。这让我意识到，在接下来的教学中，我需要更加注重让学生通过实际操作和案例来解决这些问题。
在讲授新课的过程中，我尝试通过日常生活中的实例来引导学生，发现他们对此很感兴趣，这有助于提高学生的学习积极性。然而，我也发现，在理论介绍部分，可能还需要更直观的教具或多媒体辅助，以便让学生更形象地理解矩形、菱形和正方形的性质。
此外，我还发现部分学生在解决综合应用问题时，对面积和周长的计算还不够熟练，容易忽视单位转换和精确计算。针对这个问题，我计划在接下来的课程中增加一些计算练习，帮助学生巩固这方面的知识。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“特殊平行四边形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-面积和周长计算的细节处理：在计算过程中，学生可能会忽视某些细节，如单位的转换、精确计算等，导致最终答案错误。
举例说明：
九年数学上册第一章 特殊的平行四边形
九年数学上册第一章特殊的平行四边形知识点1：平行四边形（复习）1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，用符号“”表示。
2.平行四边形性质：①平行四边形的对边平行且相等。
②平行四边形的对角相等，邻角互补。
③平行四边形的对角线互相平分。
④平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。
（中心对称图形概念：图形绕某一点旋转180°后仍与自身重合。
）3．平行四边形的判定：①两组对边分别相等的四边形。
②两组对边分别平行的四边形。
③一组对边平行且相等的四边形。
④两条对角线互相平分的四边形。
4．平行线之间的距离：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。
知识点2：等腰三角形与等边三角形（复习）1．等腰三角形的性质：①等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）②等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。
（简称“三线合一”）③等腰三角形是轴对称图形，对称轴只有一条。
2．等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形。
②有两个角相等的三角形。
3．等边三角形的性质：①等边三角形的三个内角都相等，每一个角都是60°。
②等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质。
③等边三角形有三条对称轴。
4．等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形。
②三个角都相等的三角形。
（至少有两个角是60°的三角形。
）③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
知识点3：菱形1．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（平行四边形+一组邻边相等=菱形）2．菱形的性质：①菱形的四条边都相等。
②菱形的对角线互相垂直且平分。
③菱形是中心对称图形，对称中心是对角线交点。
④菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线是它的对称轴。
⑤菱形的每一条对角线平分一组对角。
（对角线是角平分线。
）⑥如果一个菱形的内角为60°，则菱形的两边与较短对角线可构成等边三角形。
第一章 特殊平行四边形 小结与复习课件(24张PPT) 北师大版九年级数学上册
第一章 特殊的平行四边形
小结与复习
要点梳理 一、菱形、矩形、正方形的性质
对边
角
平行
对角相等
且四边相等 邻角互补
平行且相等
四个角 都是直角
平行
四个角
且四边相等 都是直角
对角线
互相垂直且平分， 每一条对角线平分
一组对角
互相平分且 相等
互相垂直平分且相 等，每一条对角线
平分一组对角
∴四边形 CEBO 是矩形.
针对训练
3. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
△ABO 是等边三角形，AB = 4，求□ABCD 的面积.
解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， A
D
∴ OA = OC，OB = OD.
O
又∵△ABO 是等边三角形，
∴ OA = OB = AB = 4，∠BAC = 60°. B
解：四边形 ABCD 是菱形. 理由如下：
过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F.
由 AB∥CD，AD∥BC 知四边形 ABCD 是平
行四边形.
则 S□ABCD = AD ·CF = AB ·CE. 由题意知 CF = CE，∴ AD = AB.
A FD E
BC
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
于点 O，过点 A 作 AE∥BD，过点 D 作 ED∥AC，两
线相交于点 E．
求证：四边形 AODE 是菱形.
证明：∵ AE∥BD，ED∥AC，
∴四边形 AODE 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD，OA = OC = 1 AC，OB = OD = 1 BD.
北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结
北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结第一章特殊的平行四边形一、平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。
（对边）（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）（3）平行四边形的对角线互相平分。
（对角线）（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
3.平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（对边）（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（对边）（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（对边）（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（对角）（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（对角线）4.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
注意：平行线间的距离处处相等。
5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。
（边）（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。
（对角）（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
（对角线）（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3.菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。
（边）（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。
（对角线）4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
北师大版九年级数学上册知识点归纳：第一章特殊平行四边形
第一章特殊平行四边形1.菱形的性质与判定2.矩形的性质与判定3.正方形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※多边形内角和：n边形的内角和等于（n－2）·180°※多边形的外角和都等于360°※在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图开叫做中心对称图形。
※中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段被对称中心平分。
四种特殊四边形的性质边角对角线对称性平行四边对边平行且相等对角相等互相平分中心对称形轴对称中心对矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等称菱形对边平行四条边对角相等互相垂直平分且每条对角线轴对称中心对四种特殊四边形常用的判定方法：面积公式： S 平行四边形=底边长×高=ah S 矩形=长×宽=ab S 菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 2221对角线边长正==S。
初三数学九年级上册知识点——特殊的平行四边形
九年级数学上册知识点特殊的平行四边形一、平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。
（对边）（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）（3）平行四边形的对角线互相平分。
（对角线）（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
3.平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（对边）（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（对边）（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（对边）（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（对角）（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（对角线）4.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
注意：平行线间的距离处处相等。
5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。
（边）（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。
（对角）（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
（对角线）（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3.菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。
（边）（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。
（对角线）4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
新北师版九年级第一章特殊平行四边形知识要点
第一章特殊平行四边形知识要点温故知新：平行四边形1 ：平行四边形的概念：___________________的四边形是平行四边形。
2 :平行四边形的性质（边，角，对角线，对称性）（1）边的性质：平行四边形的对边_____________。
（2）角的性质：平行四边形的对角__________（3）对角线的性质：平行四边形的对角线__________（4）平行四边形是__________。
3:平行四边形的判定方法:（1）___________________四边形是平行四边形（定义）（2）___________________的四边形是平行四边形（3）___________________的四边形是平行四边形（4）___________________四边形是平行四边形一、菱形1：菱形的定义：___________________的__________叫做菱形。
2：菱形的性质：(1) 菱形具有__________的一切性质；(2)菱形的___________________________；(3)菱形的___________________________ ；(4)菱形是__________图形，也是__________图形。
3：判定方法：(1) ________________的__________是菱形；__________(2) ___________________是菱形；(3) ___________________是菱形。
4；菱形的面积:等于___________________________。
二、矩形1：矩形的定义: ___________________的__________叫做矩形。
2：矩形的性质：(1)矩形具有______________的一切性质；(2)矩形的___________________；(3)矩形的__________________；(4)矩形是______________图形。
最新九年级数学上-(特殊)平行四边形知识点理论总结-北师大版
（特殊）平行四边形知识点总结一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2ABCD，读作“平行四边形ABCD”．2．熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S=底高ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．=⨯3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形二、．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；④对称性：轴对称图形（4条）．3．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形；③对角线互相垂直的矩形．④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形；。
北师大九年级数学上册第一章《特殊平行四边形》知识点归纳
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
平行四边形的性质：（边，角，对角线，对称性）（1）边的性质：平行四边形的对边相等。
平行四边形的对边平行。
2．归纳总结矩形的性质：（2）角的性质：平行四边形的对角相等。
（3）对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分。
（4）平行四边形是中心对称图形。
(1)对边平行且相等(2)四个角都是直角；(3)对角线互相平分且相等．；(4)对称性:既是关于对角线的交点成中心对称图形,又以对边的中垂线为对称轴的轴对称图形,有两条对称轴2.平行四边形的判定(5)分割特殊性:矩形的两条对角线把它分割为四个面积相等的等腰三角形3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）。
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（注意：?必须是同一组对边平行且相等，也就是一组对边平行，另一组对边相等时，不一定是平行四边形。
?有两条边相等，并且另外两条边相等的四边形不一定是平行四边形）4．矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；•矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形．因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决5.矩形的判定方法二、菱形的相关知识1.菱形的定义及性质菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形。
菱形的性质：（边，角，对角线，对称性）（1）边的性质：菱形的四条边相等。
(1)有一个角是直角的四边形是矩形(2)对角线相等的平行四边形是矩形（2）角的性质：菱形的对角相等。
(3)有三个角是直角的四边形是矩形（3）对角线的性质：菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是关于对角线的交点成中心对称图形，又以对角线所在直线为对称轴的轴对称图形。
4.矩形具备下列一般平行四边形所不具备的特征：1．矩形的四个角都是直角；2．矩形的对角线互相平分且相等；（5）分割特殊性：菱形的两条对角线把他分割为四个全等的直角三角形2.菱形的判定3．矩形还是轴对称图形；4．矩形的对角线把矩形分成了两对全等的直角三角形；5．矩形的面积等于两邻边的乘积（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）。
最新九年级数学上-特殊平行四边形知识点理论总结-北师大版
精品文档（特殊）平行四边形知识点总结一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2）表示方法：用“”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作ABCD，读作．ABCD”“平行四边形．熟练掌握性质 2 三个方面的特征进行简述的．平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线 1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（2 ）对角线：平行四边形的（3 对角线互相平分； 4）面积：①个面积相等的三角形．；②平行四边形的对角线将四边形分成4（ah S底高= 3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 1②方法：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法：两组对边分别相等的四边形是平行四边形2 3④方法：对角线互相平分的四边形是平行四边形 4⑤方法：一组平行且相等的四边形是平行四边形二、．几种特殊四边形的有关概念精品文档．精品文档（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．（3）正方形：①边：四条边都相等；精品文档．精品文档②角：四角相等；0；45 ③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为④对称性：轴对称图形（4条）．3．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形精品文档．精品文档②有一组邻边相等的矩形；③对角线互相垂直的矩形．④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形；精品文档．。
九年级上学期数学特殊的平行四边形知识点
九年级上学期数学特殊的平行四边形知识点青岛版九年级上学期数学特殊的平行四边形知识点矩形的性质：矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等矩形的对角线相等且互相平分。
特别提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半矩形具有平行四边形的一切性质矩形的判定方法有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(菱形是平行四边形：一组邻边相等)性质：菱形的四条边都相等菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的判定方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形正方形:定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。
性质：正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质。
正方形是轴对称图形，其对称轴为对边中点所在的`直线或对角线所在的直线，也是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。
梯形：定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
等腰梯形：两腰相等的梯形是等腰梯形。
直角梯形：有一个角是直角的梯形是直角梯形等腰梯形的性质：等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线所在的直线是对称轴，等腰梯形同一底边上的两个角相等。
等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形的判定定理同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形等腰梯形的判定方法：先判定它是梯形，再用两腰相等或同一底上的两个角相等来判定它是等腰梯形。
解决梯形问题常用的方法：1.“平移腰”把梯形分成一个平行四边形和一个三角形2.“作高”：使两腰在两个直角三角形中3."平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中4.“延腰”构造具有公共角的两个三角形5.“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形。
[初中数学++]第一章+特殊平行四边形+小结与复习+课件+北师大版九年级数学上册
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又∵∠BAD = 60°， ∴△ABD是等边三角形.
AO
B
C
∴ AB = BD = 6， AO 3 3，AC 6 3.
D
针对训练
1. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
AB = 5 ，OA = 2，OB = 1. 求证：□ABCD 是菱形.
证明：在 △AOB 中，
第一章 特殊的平行四边形
小结与复习
复习回顾
特殊四边形的关系
平行四边形
矩形 有一个角是直角且邻边相等
菱形
正方形
几种特殊四边形的性质：
边
角
四个角 矩形 平行且相等
都是直角
对角线
对称性
中心对称图形 互相平分且相等
轴对称图形
菱形
平行
对角相等
且四边相等 邻角互补
互相垂直平分
中心对称图形 轴对称图形
正方 平行
B
∵ AB = 5，OA = 2，OB = 1. ∴ AB2 = AO2 + OB2.
A
O
C
∴ △AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角. D
∴ AC⊥BD.
∴ □ABCD 是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形).
2. 如图，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，猜想
重叠部分的四边形 ABCD 是什么形状？说说你的理由.
两组对 边平行
一个角是直角且一组邻边相等
巩固练习，深化提高
1. 一个菱形的两条对角线的长分别为 4 cm 和 8 cm，求 它的边长. 【选自教材P26 复习题 第1题】
2 5 cm
2. 如图，若四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 О，
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第一章特殊平行四边形
一、矩形
1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2、矩形的性质：
(1)对边平行且相等。
(2)矩形的四个角都是直角。
(3)矩形的对角线相等。
(4)矩形是轴对称、中心对称图形。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4、矩形的图形分解 OA=OB=OC=OD
5、矩形的判定
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形．
(2)有三个角是直角的四边形是矩形．
(3)对角线相等的平行四边形是矩形．
注意：①用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说有一角是直角的四边形，不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形．
②用定理证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形．也就说明：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形．
二、菱形
1．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
注意：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．
2．菱形的性质
(1)具有平行四边形的一切性质． (2)菱形的四条边都相等．
(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
(4)菱形是轴对称、中心对称图形． (5) 菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半．
3．菱形的判定：
(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2)四边都相等的四边形是菱形．
(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意：①对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形．
O
D C B A
三．正方形
1．正方形的概念：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
从正方形的定义可知正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，所以既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，
它们的包含关系如图：
2．正方形的性质
(1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等．
(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴．
(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形．
(6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等．
(7)正方形的面积：若正方形的边长为a ，对角线长为b ，则22
2
b a S ==． 3．正方形的判定
(1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种：
①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等．
②先证它是菱形，再证它有一个角为直角．
(2)判定正方形的一般顺序：①先证明它是平行四边形，②再证明它是菱形(或矩形)；③最后证明它是矩形(或菱形)．
四、三角形中位线定理：
（1）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
、
（2）过三角形一边的中点，平行于另一边的直线，必平分第三边。
五、中点四边形
1、连接任何四边形各边中点所得的四边形都是平行四边形
2、中点四边形的形状只与原四边形的对角线相等和垂直有关，若不相等也不垂直是平行四边形；若相等是菱形；若垂直是矩形；若相等且垂直是正方形。
1．如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86 cm，对角线长是13 cm，那么矩形的周长是多少？
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC.
(1)求证：△ADC≌△ECD；
(2)若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．
3．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
4．如图，已知在▱ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点，BD是对角线，AG∥BD交CB的延长线于点G.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？证明你的结论．
5．如图，已知菱形ABCD，AB＝AC，点E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，CF.
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)若AB＝8，求菱形的面积．
6．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE＝∠CDF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)连接DB交EF于点O，延长OB至G，使OG＝OD，连接EG，FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由．
7．如图，在矩形ABCD中，点M，N分别是AD，BC的中点，点P，Q分别是BM，DN的中点．
(1)求证：△MBA ≌△NDC；
(2)四边形MPNQ是什么特殊四边形？请说明理由．。