《数学分析》14无穷小量与无穷大量

§５ 无穷小量与无穷大量教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。

会利用它们求某些函数的极限。

教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。

引言在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：lim 0n n a →∞=. 我们称之为无穷小数列。

通过前面几节对函数极限的学习。

我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。

例如：limsin 0,x x →= 20lim 0,x x →=我们给这类函数一个名称——“无穷小量”。

既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量。

一、无穷小量1．定义１：设f 在某00()U x 内有定义。

若0lim ()0x x f x →=，则称f 为当0x x →时的无穷小量。

记作：0()0(1)()f x x x =→.（类似地可以定义当00,,,,x x x x x x x +-→→→+∞→-∞→∞时的无穷小量）。

例：(1,2,),sin ,1cos kx k x x =-都是当0x →时的无穷小量；是当1x -→时的无穷小量；21sin ,xx x是x →∞时的无穷小量。

2．无穷小量的性质 （１）先引进以下概念定义２（有界量）若函数g 在某00()U x 内有界，则称g 为当0x x →时的有界量，记作：0()(1)()g x O x x =→.例如：sin x 是当x →∞时的有界量，即sin (1)()x O x =→∞; 1sinx是当0x →时的有界量，即1sin(1)(0)O x x=→. 注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若0()0(1)()f x x x =→，则0()(1)()f x O x x =→. 区别：“有界量”与“有界函数”。

一般在谈到函数f 是有界函数或函数f 是有界的，意味着存在Ｍ>０，f 在定义域内每一点x ，都有|()|f x M ≤。

这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界。

（２）性质性质１ 两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。

性质２ 无穷小量与有界是的乘积为无穷小量。

性质３ 0lim ()()x x f x A f x A →=⇔-是当0x x →时的无穷小量⇔0lim(())0x x f x A →-=.例如；21lim sin0x x x→=，2300lim()0,lim sin 0x x x x x x →→±==.问题：两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑：22222200000sin 2lim 0,lim ?,lim 1,lim 1,lim 2x x x x x x x x x x x x x xx →→→→→=====. 引申：同为无穷小量，20lim 0x x x →=，而20lim x xx→不存在？这说明“无穷小量”是有“级别”的。

这个“级别”表现在收敛于０（或趋近于０）的速度有快不慢。

就上述例子而言，这个“级别”的标志是x 的“指数”，当0x →时，x 的指数越大，它接近于０的速度越快。

这样看来，当0x →时，2x 的收敛速度快于x 的收敛速度。

所以其变化结果以2x 为主。

此时称2x 是（当0x →时）x 的高阶无穷小量，或称0x →时， x 是2x 的低阶无穷小量。

一般地，有下面定义：１． 无穷小量阶的比较（主要对0x x →叙述，对其它类似） 设当0x x →时，,f g 均为无穷小量。

（１）若0()lim0()x x f x g x →=，则称0x x →时f 为g 的高阶无穷小量，或称g 为f 的低阶无穷小量，记作0()0(())()f x g x x x =→. 即0()0(())()f x g x x x =→⇔0()lim0()x x f x g x →=. 例 10lim 0k k x x x +→=⇒10()(0)k kx x x +=→，001cos lim lim tan 01cos 0(sin )(0)sin 2x x x x x x x x →→-==⇔-=→.问题 2111limlim(1)01x x x x x →→-=-=+，此时是可说210(1)(1)x x x -=+→？ 引申 与上述记法：0()0(())()f x g x x x =→相对应有如下记法：0()(())()f x O g x x x =→，这是什么意思？含义如下：若无穷小量f 与g 满足关系式00(),()()f x L x U xg x ≤∈，则记作0()(())()f x O g x x x =→. 例如，（１）21cos ()(0)x O x x -=→，(2sin )()(0)2x x O x x +=→.（２）若00()0(())()()(())()f x g x x x f x O g x x x =→⇒=→.注 等式0()0(())()f x g x x x =→，0()(())()f x O g x x x =→等与通常等式的含义不同的。

这里的等式左边是一个函数，右边是一个函数类（一类函数），而中间的“＝”叫的含义是“∈”。

例如：1cos 0(sin )(0)x x x -=→，其中0()0(sin )|lim 0()x f x x f g x →⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，而上述等式表示函数1cos x -∈0()|lim 0()x f x f g x →⎧⎫=⎨⎬⎩⎭。

为方便起见，记作1cos 0(sin ).x x -=（２）若存在正数Ｋ和Ｌ，使得在某00()U x 上有()()f x K Lg x ≤≤，则称f 与g 为当0x x →时的同阶无穷小量。

但需要注意：0()lim()x f x g x →不存在，并不意味着f 与g 不全为同阶无穷小量。

如001lim lim (2sin )0x x x x x →→=+=，001(2sin )1limlim(2sin )x x x x x x→→+=+不存在。

但1(2sin )13x x x +≤≤，所以x 与1(2sin )x x+为当0x →时的同阶无穷小量。

由上述记号可知：若f 与g 是当0x x →时的同阶无穷小量，则一定有：0()(())()f x O g x x x =→。

（３）若0()lim1()x x f x g x →=，则称f 与g 是当0x x →时的等价无穷小量，记作0()()()f x g x x x →.例如：１）0sin lim 1sin (0)x xxx x x→=⇒→; ２）2202(1cos )lim 11cos (0)2x x x x x x→-=⇒-→. 对于“等价无穷小量”有下面的重要的结论，它在求极限问题中有重要作用，称为求极限的“等价量法”。

定理 设函数f 、g 、h 在00()U x 内有定义，且有0()()()f x g x x x →. (1) 若lim ()()x x f x h x A →=，则0lim ()()x x g x h x A →=；(2) 若0()lim,()x x h x B f x →=，则0()lim.()x x h x B g x →= 例１． 求0limsin 4x x arctgxx→.例２． 求极限03sin lim sin x x tgx xx→-. 注：在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代, 而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代。

３．小结以上讨论了无穷小量，无穷小量性质。

无穷小量比较。

两个无穷小量可比较的特征——其商是有界量。

但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。

例如021lim sinlim 0x x x x x x x →→==. 二、无穷大量１．问题 “无穷小量是以０为极限的函数”。

能否仿此说“无穷大量是以∞为极限的函数”。

答：按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的，讲Ａ为函数()f x 当0x x →时的极限，意味着Ａ是一个确定的数，而“∞”不具有这种属性，它仅仅是一个记号。

所以不能简单地讲“无穷大量是以∞为极限的函数”。

但是，确实存在着这样的函数，当0x x →时，()f x 与()or ∞+∞-∞无限接近。

例如：１）1()f x x =，当0x →时，1x 与∞越来越接近，而且只要x 与０充分接近，1x 就会无限增大；２）1()1f x x =-，当1x →时，也具有上述特性。

在分析中把这类函数()f x 称为当0x x →时有非正常极限∞。

其精确定义如下： ２．非正常极限定义２（非正常极限） 设函数()f x 在某00()U x 内有定义，若对任给的Ｍ>0，存在0δ>，当0000(;)(())x U x U x δ∈⊂时有|()|f x M >，则称函数()f x 当0x x →时有非正常极限∞，记作lim ()x x f x →=∞。

注：１）若“|()|f x M >”换成“()f x M >”，则称()f x 当0x x →时有非正常极限+∞；若换成(),f x M <- 则称()f x 当0x x →时有非正常极限-∞，分别记作0lim (),lim ()x x x x f x f x →→=+∞=-∞.2) 关于函数f 在自变量x 的其它不同趋向的非正常极限的定义，以及数列{}n a 当n →∞时的非正常极限的定义，都可类似地给出。

例如：lim ()0x f x M →+∞=-∞⇔∀>，当x M >时，()f x M <-;lim 0n n a M →∞=+∞⇔∀>，0N ∃>，当n N >时，n a M >.３．无穷大量的定义定义３．对于自变量x 的某种趋向（或n →∞），所有以,or ∞+∞-∞为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量。

例如：21x当0x →时是无穷大量；(1)xa a >当x →+∞时是无穷大量。

注：１）无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数;２）若f 为0x x →时的无穷大量，则易见f 为00()U x 上的无界函数，但无界函数却不一定是无穷大量。

例如；()sin f x x x =在()U +∞上无界，但lim ()x f x →+∞≠∞;３）如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量，也可以定义高阶无穷大量、同阶无穷大量等概念。

４．利用非正常极限定义验证极限等式 例３ 证明201limx x→=+∞.例４ 证明；当1a >时，lim xx a →+∞=+∞。