数学史上几个重大事件
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近代数学史上的几个重大事件
----欧式几何的平行公设
欧几里德《几何原本》是有史以来用公理 化思想方法建立起来的第一门演绎数学，而且 成为以后很长时期严格证明的典范。《几何原 本》在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑， 对数学的发展起了巨大的作用，基本上完善了 初等几何体系。当然，现在看来由于受当时整 个科学水平的限制，这种公理化方法还是很原 始的，其公理体系还是不完备的。
到了十九世纪五十年代，随着微分几何、射影 几何的进一步发展，为非欧几何寻找模型提供了条 件。 意大利的贝特拉米于 1869 年在其论文《非欧几 何的实际解释》中提出了用欧氏球面作为黎曼几何 的一个解释（欧氏球面的部分大圆被解释成黎曼几 何的直线，球面上的点被解释成黎曼几何的点）。
wk.baidu.com
通过很多第一流的数学家近两千年的大 量工作，第一方案尚未成功。到了十八世 纪中叶，意大利数学家萨克利吸取了前人 正面直接证明而失败的教训，反其道而行 之，改用反证法来证明（将第五公设换成 它的否定，然后推出矛盾，那么就可以证 明第五公设就是一个定理，即不独立于其 它公理），并于1733年公布了他的证明， 但随后不久数学家们发现他的证明有问题。
《原本》的基本结构是由少数不定义的概念 （如点、线、面等）和少量不证自明的命题 （五个公设和五个公理）出发，定义出该体 系中的所有其他概念，推演出所有其他的命 题（定理）。《原本》就是用这种公理化方 法建立起了几何学的逻辑体系，从而成为其 后所有数学的范本。
公设 1. 任意两个点可以通过一条 公理 直线连接。 1等量间彼此相等 2. 任意线段能无限延伸成一 2等量加等量和相等 条直线。 3等量减等量差相等 3. 给定任意线段，可以以其 4完全重合的东西是相等的 一个端点作为圆心，该线 段作为半径作一个圆。 5整体大于部分 4. 所有直角都全等。 5. 若两条直线都与第三条直 线相交，并且在同一边的 内角之和小于两个直角， 则这两条直线在这一边必 定相交。
数学家们从萨克利的错误中得到了启发，锐角假 设（三角形内角和小于180°）尚未导致矛盾，因而 它与其他公理可能是协调的。
一直到十九世纪，由高斯、罗巴切夫斯基、 包耶等许多杰出的数学家作了大量的推导工作 都没有发现矛盾，于是采用锐角假设（三角形 内角和小于 180°）的罗巴切夫斯基几何系统 就产生了。从此也就冲破了欧几里德几何“一 统天下”的旧观念对人们的束缚，使人们意识 到逻辑上无矛盾并不只限于一种几何。
特别是《原本》中第五公设的陈述从字面 上看很不自明，所以人们从两个方面对它产生 了怀疑：第一，第五公设是否正确地反映了空 间的性质；其二、它本身很可能是一个定理。 对于这两个问题，人们从以下几个方面进 行了探讨：一是它能否从其他公理推出；二是 换一个与它等价而本身却又是很自明的公设； 三是换一个与它相反的公设。
萨克利最先使用归谬法来证明第五公设。他 在一本名叫《欧几里得无懈可击》（1733年） 的书中，从著名的“萨克利四边形”出发来证明 平行公设。
萨克利四边形是一个等腰双直角四边 形，如图，其中AC BD, A B且为直角。
C
D
萨克利指出，顶角具有 三种可能性并分别将它们 命名为：
A
B
1、直角假设： C 和D是直角； 2、钝角假设： C 和D是钝角； 3、锐角假设： C 和D是锐角； 可以证明，直角假设与第五公设等价。萨克利的计划是 证明后两个假设可以导致矛盾，根据归谬法就只剩下第 一个假设成立。这样就证明了第五公设。 萨克利在假定直线为无限长的情况下，首先由钝角 假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中他 获得了一系列新奇有趣的结果，如三角形三内角之和小 于两直角；过给定直线外一给定点，有无数多条直线不 与该直线相交，等等。虽然这些结果实际上并不包含任 何矛盾，但萨克利认为它们太不合情理，便以为自己导 出了矛盾而判定锐角假设是不真实的。
----欧式几何的平行公设
欧几里德《几何原本》是有史以来用公理 化思想方法建立起来的第一门演绎数学，而且 成为以后很长时期严格证明的典范。《几何原 本》在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑， 对数学的发展起了巨大的作用，基本上完善了 初等几何体系。当然，现在看来由于受当时整 个科学水平的限制，这种公理化方法还是很原 始的，其公理体系还是不完备的。
到了十九世纪五十年代，随着微分几何、射影 几何的进一步发展，为非欧几何寻找模型提供了条 件。 意大利的贝特拉米于 1869 年在其论文《非欧几 何的实际解释》中提出了用欧氏球面作为黎曼几何 的一个解释（欧氏球面的部分大圆被解释成黎曼几 何的直线，球面上的点被解释成黎曼几何的点）。
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通过很多第一流的数学家近两千年的大 量工作，第一方案尚未成功。到了十八世 纪中叶，意大利数学家萨克利吸取了前人 正面直接证明而失败的教训，反其道而行 之，改用反证法来证明（将第五公设换成 它的否定，然后推出矛盾，那么就可以证 明第五公设就是一个定理，即不独立于其 它公理），并于1733年公布了他的证明， 但随后不久数学家们发现他的证明有问题。
《原本》的基本结构是由少数不定义的概念 （如点、线、面等）和少量不证自明的命题 （五个公设和五个公理）出发，定义出该体 系中的所有其他概念，推演出所有其他的命 题（定理）。《原本》就是用这种公理化方 法建立起了几何学的逻辑体系，从而成为其 后所有数学的范本。
公设 1. 任意两个点可以通过一条 公理 直线连接。 1等量间彼此相等 2. 任意线段能无限延伸成一 2等量加等量和相等 条直线。 3等量减等量差相等 3. 给定任意线段，可以以其 4完全重合的东西是相等的 一个端点作为圆心，该线 段作为半径作一个圆。 5整体大于部分 4. 所有直角都全等。 5. 若两条直线都与第三条直 线相交，并且在同一边的 内角之和小于两个直角， 则这两条直线在这一边必 定相交。
数学家们从萨克利的错误中得到了启发，锐角假 设（三角形内角和小于180°）尚未导致矛盾，因而 它与其他公理可能是协调的。
一直到十九世纪，由高斯、罗巴切夫斯基、 包耶等许多杰出的数学家作了大量的推导工作 都没有发现矛盾，于是采用锐角假设（三角形 内角和小于 180°）的罗巴切夫斯基几何系统 就产生了。从此也就冲破了欧几里德几何“一 统天下”的旧观念对人们的束缚，使人们意识 到逻辑上无矛盾并不只限于一种几何。
特别是《原本》中第五公设的陈述从字面 上看很不自明，所以人们从两个方面对它产生 了怀疑：第一，第五公设是否正确地反映了空 间的性质；其二、它本身很可能是一个定理。 对于这两个问题，人们从以下几个方面进 行了探讨：一是它能否从其他公理推出；二是 换一个与它等价而本身却又是很自明的公设； 三是换一个与它相反的公设。
萨克利最先使用归谬法来证明第五公设。他 在一本名叫《欧几里得无懈可击》（1733年） 的书中，从著名的“萨克利四边形”出发来证明 平行公设。
萨克利四边形是一个等腰双直角四边 形，如图，其中AC BD, A B且为直角。
C
D
萨克利指出，顶角具有 三种可能性并分别将它们 命名为：
A
B
1、直角假设： C 和D是直角； 2、钝角假设： C 和D是钝角； 3、锐角假设： C 和D是锐角； 可以证明，直角假设与第五公设等价。萨克利的计划是 证明后两个假设可以导致矛盾，根据归谬法就只剩下第 一个假设成立。这样就证明了第五公设。 萨克利在假定直线为无限长的情况下，首先由钝角 假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中他 获得了一系列新奇有趣的结果，如三角形三内角之和小 于两直角；过给定直线外一给定点，有无数多条直线不 与该直线相交，等等。虽然这些结果实际上并不包含任 何矛盾，但萨克利认为它们太不合情理，便以为自己导 出了矛盾而判定锐角假设是不真实的。