2.有理数的概念及分类
课堂教学设计：人教版七年级数学上册——有理数的概念和分类
课堂教学设计：人教版小学七年级数学上册——有理数的概念和分类教学目标：1.知识与技能：o学生能够理解有理数的定义，即可以表示为两个整数之比的数（分母不为0）。
o学生能够识别并分类有理数，包括正有理数、负有理数、零以及它们各自的子集 （正整数、正分数、负整数、负分数）。
2.过程与方法：o通过实例分析，引导学生归纳有理数的特征。
o运用小组讨论和互动问答，加深学生对有理数分类的理解。
o利用数轴直观展示有理数的位置，帮助学生建立数与形的联系。
3.情感态度与价值观：o激发学生对数学的兴趣，培养严谨的数学思维习惯。
o鼓励学生积极参与课堂，培养合作学习和探究学习的能力。
教学重点：•有理数的定义。
•有理数的分类及其子集。
教学难点：•区分有理数与无理数 （虽不作为本节课教学内容，但需简单提及以消除学生混淆）。
•理解负有理数的概念及其在数轴上的表示。
教学准备：•多媒体课件，包含有理数定义、分类图表、数轴示例。
•实物教具，如数轴模型、卡片 （写有不同类型的有理数）。
•学生预习材料，简要介绍有理数的基本概念。
教学过程：1.导入新课（5分钟）o通过生活实例引入，如温度计上的温度、海拔高度、考试成绩的分数等，提问：“这些数值有什么共同特点？”引导学生思考并引出有理数的概念。
2.新知讲授（15分钟）o定义讲解：利用多媒体展示有理数的定义，强调 “两个整数之比”这一核心要素。
o分类介绍：通过PPT或板书，详细讲解正有理数、负有理数、零的分类，并展示它们各自的子集 （正整数、正分数、负整数、负分数）。
o数轴表示：在数轴上标记出不同类型的有理数，帮助学生直观理解其位置关系。
3.合作探究（15分钟）o小组活动：分组发放写有不同有理数的卡片，要求学生根据卡片上的数进行分类，并讨论为什么这样分类。
o汇报交流：各组派代表分享分类结果及理由，教师适时点评，纠正错误理解。
4.巩固练习（10分钟）o例题解析：选取几道典型题目，如判断某数是否为有理数、将有理数归类等，引导学生分析解答。
第二章有理数及其运算回顾与思考(教案)
-难点解释：学生容易混淆异号相乘和相除的结果，需要通过具体例子和图形辅助理解。
-乘方与开方的运算：掌握乘方运算的规则，理解开方运算的基本概念。
-难点解释：乘方运算中负数的偶数次幂和奇数次幂结果的符号问题，以及开方运算中负数的处理。
课堂上，我通过提问和案例分析的方式，让学生们积极参与进来，这样可以更好地了解他们的掌握情况。在实践活动和小组讨论中，我发现学生们对于有理数运算的实际应用表现出较高的兴趣，但有些小组在讨论时仍显得拘谨，可能还需要在以后的课堂中多给予鼓励和支持。
让我印象深刻的是，在讲解有理数性质时，我举例解释了负数的奇数次幂和偶数次幂的区别，学生们对此产生了浓厚的兴趣，纷纷提出自己的疑问。这说明他们在思考问题，这是非常好的现象。但在这一部分，我也意识到讲解得可能还不够透彻，今后需要更加注意引导学生发现规律，加深理解。
1.理解有理数及其运算的概念，培养数学抽象思维和逻辑推理能力。
2.掌握有理数运算方法，提高问题解决能力和数学运算技能。
3.分析有理数在实际问题中的应用，培养数学建模和数学应用的意识。
4.通过探讨有理数运算规律，发展数学探究能力和创新意识。
5.培养良好的数学学习习惯，提高自主学习与合作交流的能力。
6.激发学生对数学学科的兴趣，树立正确的数学观念，增强数学美感。
1.讨论主题：学生将围绕“有理数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
第1讲 有理数的概念(数轴、相反数)
有理数的概念（数轴、相反数）要点一、正数与负数大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、12-、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数． 要点二、有理数的分类1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类：（1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类⎧⎧⎫⎪⎪⎬⎨⎪⎭⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数负整数正分数分数负分数⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零（既不是正数，也不是负数）负整数负有理数负分数 【注】注意以下几个概念的区分：非负数：正数和零；非正数：负数和零；非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零；非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零．要点三、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点四、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.类型一、正数和负数（1）仔细思考以下各对量： ①胜二局与负三局； ②气温为3C -︒与气温升高30C ︒； ③盈利5万元与亏损5万元； ④增加10%与减少20%． 其中具有相反意义的量有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对（2）①我国现采用国际通用的公历纪年法，如果我们把公元2017年记作+2017年，那么，处于公元前500年的春秋战国时期可表示为___________．②如果80m 表示向东走80m ，那么60m -表示________________．③A ，B 两地海拔高度分别是120米，10-米，则B 地比A 地低________米．（3）某饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030(ml)±”字样，请问“60030(ml)±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603ml ，611ml ，589ml ，573ml ，627ml ，问抽查产品的容量是否合格？知识导航典题精练例题1举一反三：【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ） A ．50.0千克 B ．50.3千克 C ．49.7千克 D ．49.1千克【变式2】（1）如果节约16吨水记作+16吨，则浪费6吨水记作__________．（2）在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做+0.22，那么小东跳出了3.85米，记作___________．类型二、有理数的概念及分类（1）下列说法错误的是（ ） A ．0既不是正数也不是负数B ．正整数和负整数统称整数C ．整数和分数统称有理数D ．正有理数包括正整数和正分数（2）把下列各数分别填在所属分类里：5-，0， 3.14-，32， 2.4-，227，327，π， 5.5-，2.4，311-，3.14159，34-，2003①正数：{ }； ②负数：{ }； ③非负整数：{ }； ④分数：{ }； ⑤非正有理数：{ }；举一反三：【变式1】判断题：（1）0是自然数，也是偶数．（ ） （2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ） （3）整数又叫自然数.（ ） （4）非负数就是正数，非正数就是负数.（ ）例题2【变式2】下列四种说法，正确的是( ).(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数【变式3】下列说法正确的是（）A．在有理数中，零的意义仅仅表示没有B．正有理数和负有理数组成全体有理数C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数D．零既不是正数，也不是负数【变式4】把下列各数填入表示它所在的大括号：.-24，3，2.008，10-3，114，0，()--2，3.14，||--4．正有理数：{ } 非负整数：{ } 负分数：{ }类型三、数轴（1）下面图形是数轴的是（）A．B．C．D．（2）如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_______．（3）已知：点A在数轴上的位置如图所示，点B也在数轴上，且A、B两点之间的距离是2，则点B表示的数是______．（4）在数轴上标出下列各数：0， 4.2，132，2，+7，113，并用“<”连接．举一反三：【变式】（1）如图，表示数轴正确的是（）A．B．C．D．（2）已知点A，点B在数轴上，点A表示数为-2，A、B两点的距离为5，则点B表示的数是________．（3）在数轴上标出下列各数，并用“<”比较它们的大小：-3，+1，122，.-15，5．例题3（4）已知，a b 为有理数，在数轴上的位置如图所示，则a 1，b1，0，1的大小关系为_______________．（1）一个点沿着数轴的正方向从原点起移动2个单位长度后，又向反方向移动6个单位长度，则这个点表示的数是__________．（2）一个小虫在数轴上先向右爬2个单位，再向左爬6个单位，所在位置正好距离数轴原点2个单位，则小虫的起始位置所表示的数是________．（3）数轴上的点A 对应的数是1-，一只蚂蚁从A 点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B 点后，用2秒的时间吃光了B 点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回A 点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？B 点与A 点的距离是多少个单位长度？B 点对应的数是多少？举一反三：【变式】（1）点A 在数轴上距原点为3个单位，且位于原点左侧，若将A 向右移动4个单位，再向左移动2个单位，这时A 点表示的数是________．（2）一只小虫在数轴上先向右爬3个单位，再向左爬7个单位，正好停在-2的位置，则小虫的起始位置所表示的数是（ ） A ．-4 B ．4 C ．2 D ．0类型、相反数（1）2017-的相反数是________，2017与________互为相反数．（2）已知有理数a 、b 在数轴上表示如图，则a 、b 、a -、b -的大小，正确的是（ ） A ．a b a b -<-<< B ．a b b a <-<<-C ．b a a b -<<-< D ．a b b a <<-<-（3）下列说法正确的是（ ） A ．一个数的相反数一定是负数 B ．π和.-314互为相反数 C ．所有的有理数都有相反数 D ．13和31互为相反数例题4例题5举一反三：【变式1】我们可以用字母表示数，比如a 、b 都能代表一个数，在一个数的前面添上“-”号，就得到这个数的相反数．（1）5的相反数是_______；13的相反数是_______，0的相反数是_______，数a 的相反数是________；（2）5-的相反数是_______，12-的相反数是________，4-的相反数是________；数a -的相反数是________；（3）(2)--的相反数是________；(5)+-的相反数是________，数()a -+的相反数是________，数()a --的相反数是_______；()a b ---与________互为相反数．【变式2】下列说法中正确的有( )①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④π的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个或更多化简下列各数中的符号．（1）123⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （2）-(+5) （3）-(-0.25) （4）12⎛⎫+- ⎪⎝⎭（5）-[-(+1)] （6）-(-a)举一反三：【变式1】如果a <0，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数 ①()a -+； ②()a --； ③[()]a -+-； ④[()]a ---； ⑤{[()]}a -+--； ⑥{{{{{[()]}}}}}a -----+--【变式2】（1）37与________互为相反数；a 1-2是________的相反数．（2）()--2的相反数是________；b +4是________的相反数．（3）{[()]}--+-4=________；{[()]}----5与________互为相反数．例题6一、选择题1.如图所示，在数轴上点A 表示的数可能是（ ）A ．1.5 B.-1.5 C.-2.6 D.2.62．从原点开始向右移动3个单位，再向左移动1个单位后到达A 点，则A 点表示的数是( )． A.3 B.4 C.2 D.-23．关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( ) A ．0是整数 B ．0是偶数C ．0是正整数D ．0既不是正数也不是负数 4.下列说法中：（1）0是最小的自然数；（2）0是最小的正数；（3）0是最大的负整数；（4）0属于整数集合；（5）0既非正数也非负数．正确的是（ ） A ．（1）（2）（4） B ．（4）（5） C ．（1）（4）（5） D ．（1）（2）（5） 5.一个数的相反数是非负数，则这个数一定是（ ） A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 6.在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中，互为相反数的是（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④ 7.-（-2）=（ ） A.-2B. 2C.±2D.4二、填空题1.不大于4的正整数的个数为 ．2.已知数轴上有A ，B 两点，A ，B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是 ．3. 既不是正数，也不是负数的有理数是 ．4.如图所示，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上，CD ＝6，点A 对应的数为-1，则点B 所对应的数为 ．5.数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为m , 距离原点等于3.5的点的个数为n , 则3____m n -=.6.已知x 与y 互为相反数，y 与z 互为相反数，又2z =，则z x y -+= .7. 已知－1＜a ＜0＜1＜b ，请按从小到大的顺序排列－1，－a ，0，1，－b 为 ．8.一种零件的长度在图纸上是（03.002.010+-）毫米，表示这种零件的标准尺寸是 毫米，加工要求最大不超过 毫米，最小不小于 毫米.课堂巩固三、解答题9．小敏的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A 、B 、C 、D ，学校位于小敏家西150米，邮局位于小敏家东100米，图书馆位于小敏家西400米． (1)用数轴表示A 、B 、C 、D 的位置(建议以小敏家为原点)．(2)一天小敏从家里先去邮局寄信后．以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟．试问这时小敏约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米?10．把下列各数填在相应的大括号内： 1.2-，３，１，41，0，－14.3，101-，6.20，25-，1056，－７．正分数集合：{ …}； 非负数集合：{ …}；正整数集合：{ …}； 负整数集合：{ …}．11．化简下列各数，再用“<”连接.(1)-(-54) (2)-(+3.6) (3)53⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ (4)245⎛⎫-- ⎪⎝⎭12.若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 是最大的负整数．求代数式的值．13.在数轴上有三个点A ，B ，C 如图所示，请回答：(1)将B 点向左移动3个单位长度后，三个点表示的数谁最小？ (2)与A 点相距3个单位长度的点所表示的数是什么？(3)将C 点左移6个单位长度后，这时B 点表示的数比C 点表示的数大多少？。
初中数学 有理数的概念
有理数的概念一、正数和负数在数学发展历史上，从发现自然数开始，随着人类文明进步，我们又逐渐定义了分数和小数等.在生活和学习中，我们会需要记录一些具有相反意义的量，比如：零下4︒C 和零上6︒C ，收入20元和支出30元，向东30米和向西100米等等．这些数据不仅意义相反，而且表示一定的量，为了表示它们，我们定义了正负数：1．用正负数表示相反意义的量：我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表示，给数字前面加上正号表示正数，加上负号表示负数．【例】以上几个例子分别记为：4-︒C 和6+︒C ，20+元和20-元，30+米和100-米.2．正数：像30、+6、12、π这样的数叫做正数，正数都大于零；3．负数：在正数前面加上“-”号的数叫做负数，比如：20-、3.14-、0.001-、172-．【注】①表示正数时，“+”号可以省略，但表示负数时，“-”号一定不能省略；②数0既不是正数也不是负数．二、有理数的概念及分类1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类：（1）有理数按性质分类：⎧⎧⎫⎪⎪⎬⎨⎪⎭⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数负整数正分数分数负分数 （2）有理数按符号分类 ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零（既不是正数，也不是负数）负整数负有理数负分数（3）小数的分类【注】注意以下几个概念的区分：非负数：正数和零；非正数：负数和零；非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零；非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零．⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数——不可化成分数，是无理数——可化成分数，是有理数三、数轴1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素；①原点：表示数0的点；②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向； ③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度.2．数轴的画法（1）画一条水平直线；（2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方．【例】一个标准的数轴： 【注】画数轴的常见错误：①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样；③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 错误类型 错误示例三要素缺失单位长度不统一方向不统一3．数轴与有理数的关系①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示； 但数轴上的点不一定代表有理数，比如π． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 4．数轴与数学思想①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系；②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零． 四、相反数&倒数1．相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0．【例】5+与5-互为相反数；5-是5+的相反数；【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“5-是相反数”是错误的. 2．相反数的性质：（1）代数性质：若a 与b 互为相反数，则0a b +=；反之，若0a b +=，则a 与b 互为相反数．（2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的．2-•1-012 021-010122-01 1231-01 20111- 11-3．倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数．【例】2与12，3-与13-，38-与83-．4．负倒数：乘积为1-的两个有理数互为负倒数．【例】2与12-，3-与13，38-与83．【注】①0没有倒数，也没有负倒数；②倒数是它的本身的数1或-1． 五、绝对值1．绝对值：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a ． 2．绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩3．绝对值的性质： （1）非负性：||0a ≥；（2）双解性：若||||a b =，则a b =或a b =-．【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0．例如，若||||||a b c ++=0，则a =0，b =0，c =0．（1）仔细思考以下各对量： ①胜二局与负三局；②气温为3C -︒与气温升高30C ︒； ③盈利5万元与亏损5万元；④增加10%与减少20%．其中具有相反意义的量有（ ） A ．1对 B ．2对C ．3对D ．4对（2）①我国现采用国际通用的公历纪年法，如果我们把公元2017年记作+2017年，那么，处于公元前500年的春秋战国时期可表示为___________．②如果80m 表示向东走80m ，那么60m -表示________________．③A ，B 两地海拔高度分别是120米，10-米，则B 地比A 地低________米．（3）学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030(ml)±”字样，请问“60030(ml)±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603ml ，611ml ，589ml ，573ml ，627ml ，问抽查产品的容量是否合格？【解析】（1）C ；[①③④具有相反意义]；模块一正数和负数例题1（2）①500-年，②向西走60m ，③130； （3）“(ml)600±30”表示每瓶饮料容量最小可以是()ml 600-30，最大可以是()ml 600+30，抽出的5瓶容量均在()ml 600-30与()ml 600+30之间，因此合格． 【提示】通过这道例题反复强调，正数和负数可以表示相反意义的量．（1）下列说法错误的是（ ）A ．0既不是正数也不是负数B ．正整数和负整数统称整数C ．整数和分数统称有理数D ．正有理数包括正整数和正分数（2）把下列各数分别填在所属分类里：5-，0， 3.14-，32， 2.4-，227，327，π， 5.5-，.24，311-，3.14159，34-，2003①正数：{ }； ②负数：{ }； ③非负整数：{ }； ④分数：{ }； ⑤非正有理数：{ }；（3）在下表适当的空格里打上“√”号．整数 分数 正数 负整数正分数非负数非负整数无理数 0.-15-3.+062 14.031π98-【解析】（1）B ；（2）①正数：{32，227，327，π，.24，3.14159，2003}； ②负数：{5-，34-， 3.14-， 2.4-， 5.5-，311-}；③非负整数：{0，32，2003}； 模块二有理数的概念及分类例题2④分数：{ 3.14-， 2.4-，227，327， 5.5-，.24，311-，3.14159，34-}；⑤非正有理数：{5-，0， 3.14-， 2.4-， 5.5-，311-，34-}；（2）整数 分数 正数 负整数正分数 非负数 非负整数 无理数 0 √ √ √ .-15√ -3 √ √ .+062 √ √ √ √ 14 √ √ √ √ .031√ √ √ √ π√ √ √ 98-√【提示】能化成分数的小数一律视作分数。
有理数有关概念
第一章有理数 1.1 有理数的有关概念【知识点回顾】 1. 正数和负数：大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数，负数就是在正数前面加上符号“-”。
0既不是正数，也不是负数。
2. 有理数的分类：不同的分类标准可以将有理数进行不同的分类：①先将有理数按“整”和“分”的属性分，再按每类数的“正”、“负”分，即得如下分类表：②先将有理数按“正”和“负”的属性分，再按每类数的“整”、“分”分，即得如下分类表：3. 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
原点、正方向和单位长度是数轴的三要素。
数轴上的点的意义：一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示a 的点在原点的___右___边，与原点的距离是___a___个单位长度；表示－a 的点在原点的__左___边，与原点的距离是___a __个单位长度。
4.相反数：像2和-2,5和-5这样只有符号不同的两个数叫相反数．两个互为相反数的数，在数轴上的对应点（0除外），是在原点两旁，•并且距离原点相等的两个点．即：互为相反数的两个数在数轴上的对应点关于原点对称．我们把a 的相反数记为－a ，并且规定0的相反数就是0．5. 绝对值：我们把在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |。
绝对值的一般规律：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数。
即：①若a ＞0，则|a |=a ；②若a ＜0，则|a |=–a ；③若a =0，则|a |=0；或写成：。
绝对值的非负性：由绝对值的定义可知：不论有理数a 取何值，它的绝对值总是正数或0(通常也称非负数)，绝对值具有非负性，即|a |≥0。
{负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0⎩⎨⎧⎩⎨⎧{{负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0⎩⎨⎧)0()0()0(0<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=a a a a a a【例题分析】【例1】数学测验班平均分80分，小华85分，高出平均分5分记作+5，小松78分，记作。
(完整版)有理数和无理数的概念
有理数和无理数 1定义：有理数：我们把能够写成分数形式
n
m (m 、n 是整数，n≠0)的数叫做有理数。
无理数：①无限②不循环小数叫做无理数。
如圆周率、√2（根号2）等。
2有理数的分类
整数和分数都可以写成分数的形式，它们统称为有理数。
零既不是正数，也不是负数。
有限小数和无限循环小数都可以看作分数，也是有理数。
3无理数的两个前提条件：（1）无限（2）不循环
4区别：（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。
（2）任何一个有理数后可以化为分数的形式，而无理数则不能。
实数的分类
实数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无理数正无理数无理数负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0
注意： 通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。
如果用字母表示数，则a ＞0表明a 是正数；a ＜0表明a 是负数；a 0表明a 是非负数；a 0表明a 是非正数。
几个易混淆概念
⎪⎩⎪⎨⎧正数非负数0 ⎪⎩⎪⎨⎧负数非正数0 ⎪⎩⎪⎨⎧正整数非负整数0 ⎪⎩
⎪⎨⎧负整数非正整数0。
有理数复习
5、有理数比较大小 、
⑴利用数轴：数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边数的大。 利用数轴：数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边数的大。 有理数比较法则： ⑵有理数比较法则： 正数大于0 负数小于0 正数大于负数； 正数大于0，负数小于0，正数大于负数； 两个负数，绝对值大的反而小。 两个负数，绝对值大的反而小。 比较大小: >”、 <”或 =”填空 填空） 例10 比较大小: （用“>”、“<”或“=”填空） -3.3 < 0 , 6 > -8 ,0
|=16,则 ____。 例7 若|x|=16,则x = ±16 。 |=16, ____ 、 、 、 __个 例8 绝对值不大于3的整数有 7 个，分别是±3、 ±2、 ±1、0 。 绝对值不大于3 __ 表示数轴上数a、 两点间的距离 两点间的距离． 表示数轴上数 应用： ⑷应用： |a – b|表示数轴上数 、b两点间的距离． 、 。 在数轴上与表示- 的点相距4 例9 在数轴上与表示-1的点相距4个单位长度的点表示的数是 3、-5
−12 1) = −4 ( 3 −24 = 3 ( 2) −16 2
⑸乘方： 乘方：
①概念：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方。 概念：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方。 a n = a × a × ⋯× a 求法： ②求法： 乘方运算可以化为乘法运算进行： 乘方运算可以化为乘法运算进行： 符号法则：正数的任何次幂都是正数。 ③符号法则：正数的任何次幂都是正数。 n 负数和分数的乘方书写时 的乘方书写时， 负数和分数的乘方书写时， 负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数。 负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数。 一定要把整个负数和分数 0的任何次幂都是 。 的任何次幂都是0。 的任何次幂都是 小括号括起来 括起来。 用小括号括起来。 例13 计算： 计算：
有理数的概念及使用知识点整理
（一）有理数的基本概念1、正数和负数（1）、大于0的数叫做正数。
（2）、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。
（3）、数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。
（4）、在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。
2、有理数(1)凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，如：-（-2）=4，这个时候的a=-2。
π不是有理数；(2)有理数的分类:①⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)自然数＜====＞0和正整数；a ＞0 ＜====＞a 是正数； a ＜0 ＜====＞a 是负数； a ≥0＜====＞a 是正数或0＜====＞a 是非负数； a ≤0＜====＞a 是负数或0＜====＞a 是非正数.3、数轴【重点】（1）、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
它满足以下要求：① 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；② 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； ③ 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2，-3…（2）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
（3）、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。
数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。
注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。
（4）、一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数-a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。
4、相反数（1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
有理数知识点及习题
第一章有理数一、有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。
①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。
2.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数0 正有理数负整数正分数有理数有理数0 （0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数二、数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。
注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素；⑶同一数轴上的单位长度要统一；(4)所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。
3.利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴上点的移动规律根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。
三、相反数⒈相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；⑶0的相反数是它本身。
2.相反数的性质与判定⑴任何数都有相反数，且只有一个；(2)互为相反数的两数和为0，即a，b互为相反数，则a+b=03.相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
北师大版七年级上册2.1有理数及其分类(教案)
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调有理数的定义和分类这两个重点。对于难点部分，如负分数的理解，我会通过举例和数轴来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟个与有理数相关的实际问题，如温度变化、收入支出等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的数轴操作。这个操作将演示有理数的大小比较和分类。
举例：强调整数和分数都属于有理数的范畴，如3、-5、2/3、-4/5都是有理数。
（2）有理数的分类：掌握有理数的分类，能正确区分整数、正分数和负分数。
举例：通过具体的例子，让学生理解正分数和负分数的概念，如2/3是正分数，-3/4是负分数。
（3）有理数的性质：理解并掌握有理数的性质，为后续的有理数运算打下基础。
3.有理数的性质：
a.任何两个有理数相加，其结果仍为有理数；
b.任何两个有理数相乘，其结果仍为有理数；
c.任何非零有理数的倒数是有理数。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几方面：
1.培养学生的数学抽象能力：通过引导学生探究有理数的定义和分类，使其理解数的概念的拓展，提高数学抽象思维能力。
在实践活动环节，学生们的参与度较高，分组讨论和实验操作进行得也比较顺利。但时间安排上可能有些紧张，导致部分小组的成果展示不够充分。在以后的教学中，我可以适当调整时间分配，确保每个小组都有足够的时间展示他们的成果。
在学生小组讨论环节，我发现有些学生在讨论中过于依赖课本，缺乏自己的思考。为了培养学生的独立思考能力，我可以在讨论前提供一些引导性的问题，鼓励他们提出自己的观点。
有理数的概念与运算
有理数的概念与运算有理数是数学中的一种重要概念，它包括整数和分数。
本文将介绍有理数的定义及其基本运算，以及一些与有理数相关的重要性质和应用。
一、有理数的定义有理数是可以表示为两个整数的比值的数。
有理数包括正有理数、负有理数和零。
有理数的表示形式可以为分数或小数。
在分数表示中，分子为整数，分母为非零整数。
在小数表示中，可以是有限小数、循环小数或无限不循环小数。
例如，-2、0、1/3、-5/4都是有理数。
其中，-2是一个整数；0可表示为0/1或0/2，即0也是一个有理数；1/3是一个分数；-5/4也是一个分数。
二、有理数的四则运算有理数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面将逐个介绍这些运算。
1. 加法有理数的加法遵循下列规则：同号相加，异号相减。
具体表达为：- 同号相加时，将它们的绝对值相加，结果的符号与原来的符号相同；- 异号相加时，将较大的绝对值减去较小的绝对值，结果的符号取绝对值较大的数的符号。
例如，-2 + (-3) = -5； 1/2 + 1/3 = 5/6； -1/4 + 3/4 = 2/4 = 1/2。
2. 减法有理数的减法可以转化为加法运算。
即 a - b = a + (-b)。
根据加法的规则，可得出有理数的减法规则。
例如，2 - 5 = 2 + (-5) = -3。
3. 乘法有理数的乘法遵循下列规则：同号得正，异号得负。
具体表达为：- 同号相乘时，结果为正，即符号相同；- 异号相乘时，结果为负，即符号相反。
例如，2 * 3 = 6； -4 * (-2) = 8； 2 * (-5) = -10。
4. 除法有理数的除法可以转化为乘法运算。
即 a ÷ b = a * (1/b)。
根据乘法的规则，可得出有理数的除法规则。
例如，8 ÷ 4 = 8 * (1/4) = 2。
三、有理数的性质与应用有理数具有以下重要性质：1. 闭性有理数集合对于四则运算是封闭的，即有理数进行加减乘除运算的结果仍然是有理数。
有理数的概念和分类
有理数的概念和分类一、有理数的概念和分类1、有理数（1）有理数的定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。
整数和分数统称为有理数。
（2）有理数的分类① 按整数和分数的关系，有理数分为整数和分数。
其中整数分为正整数、0、负整数；分数分为正分数、负分数。
② 按正数、0和负数的关系，有理数分为正有理数、0、负有理数。
其中正有理数分为正整数、正分数；负有理数分为负整数、负分数。
2、数轴（1）数轴的定义在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：① 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；② 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；③ 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，$\cdots\cdots$；从原点向左，用类似方法依次表示$-1$，$-2$，$-3$，$\cdots\cdots$（分数和小数也可以用数轴表示）。
（2）数轴上的点和有理数一般地，设$a$是一个正数，则数轴上表示数$a$的点在原点的右边，与原点的距离是$a$个单位长度；表示数$-a$的点在原点的左边，与原点的距离是$a$个单位长度。
3、相反数（1）相反数像2和$-2$，5和$-5$这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
一般地，$a$和$-a$互为相反数，特别地，0的相反数是0。
这里，$a$表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0。
（2）几何意义互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点位于原点的两侧且到原点的距离相等；反之，位于原点的两侧且到原点的距离相等的点所表示的两个数互为相反数。
（3）相反数的性质任何一个数都有相反数，而且只有一个。
正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0。
4、绝对值（1）绝对值的定义一般地，数轴上表示数$a$的点与原点的距离叫做数$a$的绝对值，记作$|a|$。
有理数的概念和运算法则
有理数的概念和运算法则一、有理数的概念1.有理数的定义：有理数是可以表示为两个整数比的数，包括正整数、负整数、0、正分数和负分数。
2.整数：正整数、负整数和0。
3.分数：正分数和负分数，分子和分母都是整数，且分母不为0。
4.真分数：分子小于分母的分数。
5.假分数：分子大于或等于分母的分数。
6.带分数：由一个整数和一个真分数组成的数。
二、有理数的运算法则1.加法法则：a.同号相加，取相同符号，并把绝对值相加。
b.异号相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
c.0加任何数等于任何数。
d.任何数加0等于任何数。
2.减法法则：a.减去一个数等于加上这个数的相反数。
b.减法可以转化为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数。
3.乘法法则：a.同号相乘，取相同符号，并把绝对值相乘。
b.异号相乘，取相反符号，并把绝对值相乘。
c.0乘任何数等于0。
d.任何数乘0等于0。
4.除法法则：a.同号相除，取相同符号，并把绝对值相除。
b.异号相除，取相反符号，并把绝对值相除。
c.除以0没有意义，除数不能为0。
5.乘方法则：a.正数的任何正整数次幂都是正数。
b.负数的任何正整数次幂都是负数。
c.正数的任何负整数次幂都是正数。
d.负数的任何负整数次幂都是正数。
e.0的任何正整数次幂都是0。
f.0的任何负整数次幂都没有意义。
三、有理数的混合运算1.运算顺序：a.先算乘方。
b.再算乘除。
c.最后算加减。
d.同级运算，从左到右依次进行。
e.如果有括号，先算括号里面的。
2.运算律：a.加法结合律：三个数相加，可以先算任意两个数的和，结果不变。
b.乘法结合律：三个数相乘，可以先算任意两个数的积，结果不变。
c.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，结果不变。
d.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，结果不变。
e.分配律：一个数乘以两个数的和，等于这个数分别乘以这两个加数，然后把乘积相加。
四、有理数的应用1.化简：将复杂的分数或带分数化为简化形式。
第1章 有理数-第02讲 有理数的概念及分类(学生版)
第02讲有理数的概念及分类1、有理数的分类整数和负数统称为有理数。
分类如下：(1)按整数、分数的关系分类：(2)按正数、负数与0的关系分类： 要点诠释：(1)有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.(2)分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．2、含“非”的有理数正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数；负整数和零统称为非正整数．一、题型一、有理数的概念及分类例1.有理数的分类：(1)有理数按照定义分类：(2)有理数按照符号分类；例2.因为有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以有限小数与无限循环小数都是_______．例3.正分数和负分数统称为______．例4.各数中，哪些数是整数，但是不是正数？哪些数是分数，但不是负数？2,1 3,0,-7,0.24,-0.3,-29________是整数，但是不是正数；_______是分数，但不是负数例5.下列语句中正确的有 ()①所有整数都是正数；②所有正数都是整数；③自然数都是正数；④分数是有理数；⑤在有理数中除了正数就是负数．A.1个B.2个C.3个D.4个例6.下列说法正确的是()A.所有的整数都是正数B.不是正数的数一定是负数C.0是最小的有理数D.整数和分数统称有理数例7.把下列各数填入相应的集合里：+5，-12，4.2，0，-5.37，37，-3．(1)自然数集合：{ ⋯}；(2)整数集合：{ ⋯}；(3)分数集合：{ ⋯}；(4)负有理数集合：{ ⋯}．题型二、带“非”字有理数例8.“正数和0”统称为_______；“负数和0”统称为_______．“正整数和0”统称为________；“负整数和0”统称为_________．例9.下列说法中：①0是最小的的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤-π2是有理数；⑥平方等于它本身的数有±1；⑦无限小数都不是有理数；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为()A.7个B.6个C.5个D.4个例10.下列说法中：①有理数不是正数就是负数；②正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；③非负数就是正数和0；④π6不仅是分数，而且还是有理数；⑤无限小数不一定是有理数；⑥259是无限不循环小数，所以不是有理数．其中正确的说法的个数为()A.4个B.3个C.2个D.1个例11.已知下列各数-8，2.1，19，3，0，-2.5，10，-1中，其中非负数的个数是()A.2个B.3个C.4个D.5个例12.下面说法中正确的有()A.非负数一定是正数B.有最小的正整数，有最小的正有理数C.0既不是整数，也不是负数D.正整数和正分数统称正有理数例13.绝对值不大于3.14的非负整数有_______例14.把下列各数填在相应的大括号内：+3,-58,0,6.21,100,-1,|-4|,0.010010001,-(+1.2),17%正数集合{⋯}整数集合{⋯}负分数集合{⋯}非负有理数{⋯}．1._____和______统称为有理数．2.(1)整数包括_________、_________、_________．(2)零_____整数，但零_____正整数，也______负整数．3.下列说法错误的是()A.最小自然数是0B.最大的负整数是-1C.没有最小的负数D.最小的整数是04.在下列各数中，负分数有()-1，-3.141559，2，-13，13，0，12，-5%，34A.1个B.2个C.3个D.4个5.下列说法正确的是()A.正数和负数统称为有理数B.正整数包括自然数和零C.零是最小的整数D.非负数包括零和正数6.把下面的数填入它所属于的集合的大括号内(填序号)①-5.3，②+5，③20%，④0，⑤-27，⑥-7，⑦-∣-3∣，⑧-(-1.8)正数集合{}整数集合{}分数集合{}有理数集合{}7.把下列各数填入它所在的集合里：-2，7，-23，0，2015，0.618，3.14，-1.732，-5，+3①正数集合：{___________________________________⋯}②负数集合：{___________________________________⋯}③整数集合：{___________________________________⋯}④非正数集合：{_________________________________⋯}⑤非负整数集合：{_______________________________⋯}⑥有理数集合：{_________________________________⋯}【答案】①正数集合：{7，2015，0.618，3.14，+3⋯}；②负数集合：{-2，-23，-1.732，-5，⋯}；③整数集合：{-2，7，0，2015，-5，+3⋯}；④非正数集合：{-2，-23，0，-1.732，-5，⋯}；⑤非负整数集合：{7，0，2015，+3⋯}；⑥有理数集合：{-2，7，-23，0，2015，0.618，3.14，-1.732，-5，+3⋯}【分析】根据有理数的分类即可得出答案．【详解】解：①正数集合：{7，2015，0.618，3.14，+3⋯}②负数集合：{-2，-23，-1.732，-5，⋯}③整数集合：{-2，7，0，2015，-5，+3⋯}④非正数集合：{-2，-23，0，-1.732，-5，⋯}⑤非负整数集合：{7，0，2015，+3⋯}⑥有理数集合：{-2，7，-23，0，2015，0.618，3.14，-1.732，-5，+3⋯}。
有理数的概念
知识整合二——有理数的概念一、正数和负数的概念1、正数：大于0的数，叫做正数。
正数比0大。
2、在正数前面加“－”(读作负)号的数，叫做负数。
负数比0小。
&零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。
注意：1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号。
2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。
二、有理数的概念1、有理数：整数和分数统称为有理数。
注意：（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。
但是本节中的分数不包括分母是1的分数。
（2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。
（3）“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。
2、整数包括正整数、零、负整数。
3、分数包括正分数和负分数。
三、有理数的分类1、按整数、分数的关系分类：2、按正数、负数与0的关系分类：注意：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。
如果用字母表示数，则a＞0表明a 是正数；a＜0表明a是负数；a0表明a是非负数；a0表明a是非正数。
四、数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴数轴的定义包含三层含义：一，数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二，数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；三，原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）。
五、数轴的画法1、画一条直线（一般画成水平的直线）。
2、在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。
3、确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。
4、选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3……；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为－1，－2，－3……注：（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取；（2）确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点，从原点向右，依次表示为2，4，6，……；从原点向左，依次表示为－2，－4，－6，……；六，相反数的概念1、相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。
有理数的定义与分类
有理数的定义与分类有理数是数学中的一类数，指可以表示为两个整数的比值的数。
在数学中，有理数包括整数、分数和小数等形式，是数轴上的有理点。
1. 有理数的定义有理数是指可以表示为a/b的形式，其中a和b为整数（b ≠ 0）。
其中，a称为有理数的分子，b称为有理数的分母。
有理数的定义可以用数学符号表示为：Rational numbers = {a/b | a ∈ Z, b ∈ Z and b ≠ 0}2. 有理数的分类有理数可以根据其表示形式进行分类。
2.1 整数整数是有理数的一种特殊形式，可以表示为分母为1的有理数。
整数包括自然数、负整数和0。
例如，整数3、-5和0都是有理数。
2.2 分数分数是有理数的另一种形式，可以表示为两个整数的比值。
分数包括正分数、负分数和零分数。
例如，1/2、-3/4和0/1都是有理数。
2.3 小数小数是有理数的一种常见形式，可以表示为整数部分和小数部分的组合。
小数可以分为有限小数和循环小数。
2.3.1 有限小数有限小数是小数部分有限的小数表示形式。
例如，0.25和-2.75都是有限小数。
2.3.2 循环小数循环小数是小数部分具有无限循环的小数表示形式。
循环小数的循环部分可以是1个或多个数字循环。
例如，1/3可以表示为0.3333...，其中3会无限循环。
3. 有理数的例子以下是一些常见的有理数的例子：3.1 整数-5, 0, 23.2 分数1/2, -3/4, 5/13.3 小数0.25, -2.75, 0.3333...通过以上的例子可以看出，有理数可以以不同的形式呈现，但它们都满足可以表示为两个整数的比值。
有理数在数学中具有重要的地位，并广泛应用于各种数学问题和实际应用中。
总结：有理数是可以表示为两个整数的比值的数。
其定义包括整数、分数和小数。
有理数可以根据其表示形式进行分类，包括整数、分数和有限小数、循环小数。
有理数在数学中具有重要的地位，是数学研究和实际应用中不可或缺的概念。
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有理数的有关概念和分类
知识要点
1、一个整数a 和一个非零整数b 的比是有理数（rational number ），例如：12，-53
，155
，实际上所有的整数都可以写成分数的形式． 2、有理数分类，有理数可以按形式以及正负分类：
3．数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。
数轴上右边的数总比左边的数大。
数轴上的点不都代表有理数
4. 相反数：只有符号不同的两个数叫相反数。
0的相反数是0。
判断互为相反数的两种方法：①从式子上看，若0a b +=，则a b 与互为相反数；②从直观上看a a -与是互为相反数。
一、夯实基础 (一)选择题
1.下列表示的数轴中，正确的是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
2.有理数a 、b 、c 在数轴上所对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是
( )
A ．b ＞c ＞0＞a
B ．a ＞b ＞c ＞0
C ．b ＞0＞a ＞c
D ．a ＞c ＞b ＞0
3.如图，A 、B 、C 、D 、E 为某未标出原点的数轴上的五个点，且AB ＝BC ＝CD ＝DE ，则点D 所表示的数是( ) A ．10 B ．9
C ．6
D ．0 4.
下
列
结
论
正确
的
有
（
）
①任何有理数都有相反数；②符号相反的两个数互为相反数； ③表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等； ④若有理数a ，b 互为相反数，则它们一定异号. A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5.若a ＜－1，则a ，－a ，1a ，-1
a
的大小关系是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
6. 点A 在数轴上表示＋2，将点A 沿数轴向左平移3个单位到点B ，则点B 所示的有理数是( ) A ．3
B ．－1
C ．5
D ．－1或3
7. 若m ＋n ＝0，n ＋p ＝0，且m －q ＝0，则( ) A ．p 与q 相等
B ．m 与p 互为相反数
C ．m 与n 相等
D ．n 与q 相等
8. 已知两个有理数a ，b ，如果ab ＜0，且a ＋b ＜0，那么( )． A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＜0，b ＞0
C ．a ，b 异号
D ．a ，b 异号，且负数的绝对值较大
9. 一个动点M 从数轴上距离原点4个单位长度的位置向右运动2s,到达点A 后立即返回,运动7s 到达点B,若动点M 运动的速度为每秒2个单位长度,则此时点B 在数轴上所表示的数是( )
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩
⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨
⎧负分数负整数负有理数正分数正整数
正有理数有理数0
A．-6B．-14C．-6或-14D．0
10. 若0＜m＜1，m、m2、1
m
的大小关系是( )
A ．B．C．D．
（二）填空题
1. 把下列各数填入相应的大括号里。
2，－，0，23%，，2014，，，π，－ 1
(1)正有理数集合{________ …}
(2)负有理数集合{________ …}
(3)负分数集合{________ …}
(4)非负整数集合{________ …}
2. －(－3)＝________；－[－(－3)]＝________；－{－[－(－3)]}＝________．
由上述结果可总结出：________ ．
利用上述探究结果，直接写出下列各式的化简结果：(1)－[－(a－b)]＝________；(2)－{＋[－(2x－1)]}＝________；
(3)＋{－[－(－x－y)]}＝________．
3.一个数乘以什么数，可以得到它的相反数？答：_____________________________。
一个数除以什么数，可以得到它的相反数？答：________ _____________________。
4.数轴上A点表示-3,B,C?两点表示的数互为相反数,且点B到点A的距离是2,则点C表示的数应该是________.
5. 若a=＋，则－a= ___________；若a=－1
4
，则－a= ___________；若－a=1，则a= ____________；若－a=－2，则a=______________.
二、能力提高
1.比较1＋a与1－a的大小，首先要比较a与－a的大小，而a与－a的大小由a的正负确定．
2.已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为－3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．
(1)如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是________．
(2)数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由．(3)如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N 分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，点N的距离相等？
3.如图所示，数轴上线段AB＝2(单位长度)，CD＝4(单位长度)，点A在数轴上表示的数是－10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长
度／s的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度／s的速度向左匀速运动．
(1)问运动多少秒时，BC＝8(单位长度)．
(2)当运动到BC＝8(单位长度)时，点B在数轴上表示的数是多少？
4.已知A，B在数轴上分别表示a，b．（1）对照数轴填写下表：
a6－6－6－62－
b404－4－10－
A，B两点间的
距离
（2）若A，B两点间的距离记为d，试问d和a，b有何数量关系？（3）找出所有符合条件的整数点P，使它到10和－10的距离之和为20，并求所有这些整数的和．（4）找出（3）中满足到10和－10的距离之差大于1而小于5的整数点P．
三、思维拓展
1.一滴墨水洒在一个数轴上，如图所示，试根据图中标出的数值，求出被墨
迹盖住的整数共有多少个？2.（1）如果数轴上点A到原点的距离为3，请你在数轴上标出这个点；（2）如果数轴上点B到原点的距离为5，请你在数轴上标出这个点；（3）根据上述两小题，你能求出点A与B之间的距离吗？如果能，请写出这个值；如果不能，请说明理由．
3.已知数轴上有A和B两点，A，B之间的距离为1，点A与原点0的距离为3，那么所有满足条件的点B与原点0的距离之和等于多少？
四、跟踪训练
1. 张明的家、学校、车站、文化宫坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A，B，C，D．车站位于张明家东100米，学校位于张明家西150米，文化宫位于张明家西400米．（1）用数轴表示A，B，C，D的位置（以张明家为原点，向东为正方向）．（2）某日张明从家中去车站办完事后，又以每分钟50米的速度步行往文化宫方向走了约8分钟，试问这时张明大约在什么位置？离文化宫和学校各约多少米？
2.化简下列各数的符号：（1）－［－（＋）］；（2）＋［－（＋）］；（3）；（3）－［＋（－）］.
3.某车间生产一批圆形机器零件，从中抽取6件进行检验，超过规定直径长度的毫米数记为正数，不足规定直径长度的毫米数记为负数，检验记录如下:。