2015-2016(1)管理学第七章线性规划2讲义

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例2 资源利用问题
设 备
已知：三台设备生产两类产品，求最大利润方案。（求 解问题件lingo资源利用问题） 设备台时限 量 (台 时 ) 单 位 产 品 消 耗 设备台时数 (台时/件) 产品Ⅰ A B C 单位产品 利 润 (元 / 件 ) 12 16 15 2 4 0 产品Ⅱ 2 0 5
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三、运筹学的主要内容 引言部分 一、运筹学的学科性质 二、运筹学的产生与发展 三、运筹学的主要内容 四、规划问题相关知识 五、一般线性规划问题及数学模型 六、建立线性规划模型要求
☆ 规划论：线性规划、整数规划、目标规划、非 线性规划、动态规划、随机规划等。 各分枝理论：图论、网络分析、排队论、库存 论、对策论、决策论等。 模拟技术：模型模拟等。
max =2 * x1+3 * x2; 2 *x1+2 *x2 <= 12; x1+2 *x2 <= 8; 4 *x1 <= 16; 4 *x2 <= 12;
目标(objective) ： Max 限制条件 (subject to )：
Global optimal solution found. Objective value: Total solver iterations:
14.00000 2
2 x1+2 x2 12 x1+2 x2 8 16 4 x1 4 x2 12 x10， x2 0
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Variable X1 X2
Value 4.000000 2.000000
Reduced Cost 0.000000 0.000000
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例，河流污染治理问题 解：设A厂每天处理的污水量为x1万立方米 ,B 厂每天处理的污水量为x2万立方米。 因此在A厂到B厂之间应有： （2- x1)/500 ≤ 2/1000 河流经过B厂之后有： [0.8(2 - x1 )+(1.4 - x2 )]/700 ≤ 2/1000 每个工厂的最大排放量为：x1≤2，x2≤1.4 目标函数为两厂用于污水处理的总费用： z=1000x1+800x2
S
5
C
4
E
Operations Research ↓ O.R
一、运筹学的学科性质 引言部分 一、运筹学的学科性质 二、运筹学的产生与发展 三、运筹学的主要内容 四、规划问题相关知识 五、一般线性规划问题及数学模型 六、建立线性规划模型要求
1. 含义 运筹学是一门应用科学，它广泛应用现有的科学技术知 识和数学方法，解决实际中提出的专门问题，为决策者提供 最优决策的定量方法。 概括：运筹学应用系统科学方法，经由模型的建立与测试， 以得到最优决策。 2. 要点：（1）决策科学 （4）模型手段 （2）方法理论 （3）数量分析
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引例
例1： 某工厂在生产过程中需要使用浓度 为80%的硫酸100吨，而市面上只有浓度为 30%，45%，73%，85%，92%的硫酸出售， 每吨的价格分别为400、700、1400、1900 和2500元。问：采用怎样的购买方案，才 能使所需费用最小？
例2：
王经理花费12000元购买了一台微型车，年度维护费用 取决于年初时汽车的役龄，如下表所示。为避免使用旧车 会带来较高的维护费用，王经理可选择卖掉旧车而购买新 车使用的策略，旧车的售价如表示。为简化计算，假定任 何时刻购买新车都需花费12000元，王经理的目标是使净费 用最小。（净费用=购置费+维护费-卖旧车收入）
Байду номын сангаас-34-
例：靠近某河流有A、B两个化工厂（见图），流经A工厂的河 水流量是每天500万立方米。在两个工厂之间有一条流量为每 天200万立方米的支流汇入该河。A厂每天排放污水2万立方米， B厂每天排放这种工业污水1.4万立方米。从A厂排出的工业污 水流到B厂之前，有20%可以自然净化。根据环保要求，河流 中工业污水的含量不应大于0.2%，因此这两个化工厂都需要 各自处理一部分污水。若A厂处理工业污水的成本是每万立方米 1000元，B厂是每万立方米800元。问在满足环保要求的条件 下，每厂各应处理多少污水才能使两个工厂总的污水处理费用 最少。
费用单位：元
役龄(年) 年维护费 交易价格
0 2000
1
2
3
4 12000 1000
5 --0
4000 5000 9000 7000 6000 2000
---
例3：在下述网络图中，从给定的点S出发，要到达
目的地T，数字显示的是两点之间所需费用，请找出 一条花费最少的行走路线。 A
运筹学
B 5 D 5 T
2
3
（二）规划问题研究思想： 1 在资源数量有限（或一定）的前提下， 如何充分利用这些资源，以完成更多的任务 （或产出最大）。 2 在任务量一定的前提下，如何统筹安排 这些任务，才能使消耗的资源最少。
（三）线性规划的定义
定义：线性规划就是由目标函数、约束条件和 非负变量所组成的极值问题。其中目标函数是 变量的线性函数，而约束条件是由线性等式或 线性不等式所表示的。 亦即：线性规划所研究的是具有线性约束条件 的线性极值问题。
运筹学的研究应用已经在管理工作中带来了大 量财富的节约。一般是问题的规模越大、越复 杂，应用的效果越显著。又如，排队论，决策 论，对策论等等 如印度巴罗达市对汽车行车路线和时刻表进行 研究改进，使该市公共汽车的载运系数提高了 11%，由于提高了公共汽车的利用率，减少 使用车辆10%。
2.发展 经济上，学会，图书杂志，大学开课 3.我国的状况 1956年成立运筹学小组，钱学森、许国志为 代表； 大学开课 ，管理专业基础课，1980年成立运 筹学会。
V (a 2 x) 2 x dV 4 ( a 2 x ) x ( a 2 x ) 2 0 令： dx 12 x 2 8ax a 2 0 a a x1 , x2 解得： 2 6 d 2V 8 a 24 x 二阶导数： dx 2 2 d V 极小值 将X1代入： dx 2 4a 0 d 2V 极大值 将X2代入： dx 2 4a 0 2 3 最大体积： max V 27 a （无约束极值问题）
二次世界大战中，各国的运筹学小组广泛进行了 如何提高轰炸效果或侦察效果。 1939年苏联学者康托维奇(JI. B.KaeTOposi.Rr)出版了生产组织与计划中的 数学方法》一书，对列宁格勒胶合板厂的计划任 务建立了一个线性规划的模型，并提出了“解乘 数法”的求解方法，为数学与管理领导科学的结 合作出了开创性的工作。
体积：
例2 资源利用问题
某企业计划生产工Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两种产 品都要分别在A、B、C四种不同设备上加工。 按工艺资料规定，生产每件产品Ⅰ需占用各设 备分别为2、4、0 h，生产每件产品Ⅱ需占用 各设备分别为2 、0 、5h。已知各设备计划期 内用于生产这两种产品的能力分别为12、16 、15h。又知每生产一件产品Ⅰ企业能获得2 元利润，每生产一件产品Ⅱ企业能获得3元利 润，问该企业应安排生产两种产品各多少件， 使总的利润收入为最大。
解：设x1、x2 分别表示Ⅰ、Ⅱ两种产品在计划期 内的产量,则在满足要求：
2 x1 2 x 2 12 4 x 16 1 5 x 2 15 x 0 , x2 0 1
时
使z 2 x1 3 x 2 max
（有约束极值问题） ——线性规划数学模型
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第七章协调控制—运筹学之线性规 划 Linear Programming
引言部分 一、运筹学的学科性质 二、运筹学的产生与发展 三、运筹学的主要内容 四、规划问题相关知识 五、一般线性规划问题及数学模型 六、建立线性规划模型要求
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运筹学
运筹学是二十纪30、40年代初发展起来一门 学科，其主要目的是在决策时为管理人员提供 科学依据，是实现有效管理、正确决策和现代 化管理的重要方法之一。 英文全称：Operational Research(英国)或 者是Operations Research(美国) 朴素的运筹学思想在我国古代文献中就有不少 记载，例如田忌赛马和丁渭主持皇宫的修复等 事。 朴素的运筹学思想在我国古代文献中就有不少 记载，例如田忌赛马和丁渭主持皇宫的修复等 事。 齐王赛马的事是说一次齐王和田忌赛马，规定 双方各出上中下三个等级的马各一匹。如果按 同等级的马比赛，齐王可获全胜，但田忌采取 的策略是以下马对齐王的上马，以上马对齐王 的中马，以中马对齐王的下马，结果田忌反以 二比一获胜。
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（一）规划问题
引言部分 一、运筹学的学科性质 二、运筹学的产生与发展 三、运筹学的主要内容 四、规划问题相关知识 五、一般线性规划问题及数学模型 六、建立线性规划模型要求
例1 用边长为a的正方形铁皮做成一个容器，问 如何裁剪能使其容积最大。
解：见图 设高为x，则：
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1938年7月，波得塞(Bawdsey)雷达站的 负责人罗伊(A. P. Rowe)提出立即进行整个 防空作战系统运行的研究，并用 “Operational Research”一词作为这方 面研究的描述，这就是O.R.(运筹学)这个名词 的起源。 运筹学小组的活动，开始局限于对空军战术的 研究，以后扩展到海军和陆军，并参与战略决 策的研究。这种研究在美国、加拿大等国很快 得到效法。
线性规划问题的数学模型的构成: 1.一组决策变量； 2.一组线性约束条件；(变量的线性等式或不等式) 3.一个线性目标函数。（变量的线性函数，求最大化或求 最小化。）
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五、 一般线性规划问题及数学模型
引言部分 一、运筹学的学科性质 二、运筹学的产生与发展 三、运筹学的主要内容 四、规划问题相关知识 五、一般线性规划问题及数学模型 六、建立线性规划模型要求
（一） 问题的提出 例：某企业计划生产甲、乙两种产品，该两种产品均需经A、B、 C、D四种不同设备加工，按工艺资料规定，在各种不同设备上的 加工时间及设备加工能力、单位产品利润如表中所示。问:如何安排 产品的生产计划,才能使企业获利最大? （求解见lingo-两产品极值 问题）
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将模型整理得: min z=1000x1+800x2 s.t. x1 ≥1 0.8x1+x2≤1.6 x1 ≤2 x2 ≤1.4 x1 ≥0 ,x2 ≥0
Lingo求解
代码 输出
min =1000*x1+800*x2; x1 >=1; 0.8*x1 + x2 <=1.6 ; x1 <=2 ; x2 <=1.4;
设 备 产品
A
B
C
D
单位利润
甲产品 乙产品
加工能力
2 2 12
1 2 8
4 0 16
0 4 12
2 3
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设 备 产品
A
B
C
D
单位利润
甲产品 乙产品
2 2 12
1 2 8
4 0 16
0 4 12
2 3
Lingo求解
代码 输出
建立模型：
设 产品的产量
加工能力
甲x1件 ，乙 x2件，则 z=2 x1+3 x2
丁渭修皇宫的故事发生在北宋时代，皇宫因火 焚毁，由丁渭主持修复工作。他让人在宫前大 街取土烧砖，挖成大沟后灌水成渠，利用水渠 运来各种建筑用材料，工程完毕后再以废砖乱 瓦等填沟修复大街，做到减少和方便运输，加 快了工程进度。
说明在已有的条件下，经过筹划、安排，选择 一个最好的方案，就会取得最好的效果。可见 ，筹划安排是十分重要的。
（5）多学科结合 （ 6）优化分析
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二、运筹学的产生与发展 引言部分 一、运筹学的学科性质 二、运筹学的产生与发展 三、运筹学的主要内容 四、规划问题相关知识 五、一般线性规划问题及数学模型 六、建立线性规划模型要求
1.产生 第二次世界大战中，英国，军事上，防空，海上护航 运筹学这个名词的正式使用是在1938年，当时英 国为解决空袭的早期预警，做好反侵略战争准备，积 极进行“雷达”的研究。但随着雷达性能的改善和配 置数量的增多，出现了来自不同雷达站的信息以及雷 达站同整个防空作战系统的协调配合问题。