等值梁法

(7q1 8q2 )l 2 1 (7 34.6 8 78.5) 7 2 171.8 MC MB 120 2 120 2
269.4 kN⋅m
3. CD段梁 CD段梁的受力如下图所示，两端均为固支，将原梯形 分布荷载看成一矩形荷载q1 = qC = 78.5kN和一三角形 荷载q2 = qD - qC = 116.2 - 78.5 = 37.7kN的叠加，由结构 力学可求得：
3.6 多道支撑（锚杆）挡土桩墙计算
多道（层）支撑（锚杆）挡土桩的计算方法很多，有 等值梁法；二分之一分担法；逐层开挖支撑支承力不 变法；弹性地基梁法（m法）；有限元计算法等。
3.6.1 等值梁法
一、计算步骤
多道支撑等值梁法计算原理与单道相同，但须计算固 端弯矩，求出弯矩后尚须进行分配，最后计算各支点 反力。
q1 = qD = 116.2kN，q2 = 150.6 - 116.2 = 34.4kN，q3 = 150.6kN。从《建筑结构静力计算手册》P162 、P164 、 P166可以查得：
M DF qb q1 a 2 a 2 q2 a 2 a 12 a 3 b (2 ) [8 9 ( ) 2 ] 3 [1 ( ) 2 ] 8 l 24 l 5 l 6 5 l
将a = 5.5m，b = 0.69m，l = 6.19m，q1 = 116.2kN，q2 = 34.4kN，q3 = 150.6kN代入上式，可以计算得到：MDF = -637 kN⋅m
（六）弯矩分配
1. 背景知识 由结构力学知：
M Iμ μ k M I g k I
M kCI CI k M Iμ k
上述各次计算结果可以用下表清晰表达：
B
分配系数 固端弯矩 171.8 -171.8
表3-4 C
0.391 0.609 +269 -280.4
D
0.58 0.42 +303.4 -637
Baidu Nhomakorabea
F
D一次分配传递 C一次分配传递 D二次分配传递 C二次分配传递 D三次分配
最后杆端弯矩 （近似） 171.8 -171.8
y eaH 150.6 0.69m γ( K P K a ) 217.9
（三）绘制基坑支护简图
图3-33 基坑支护简图
图3-34 连续梁计算简图
（四）求各支点的荷载集度（没有考虑c!）
qA = qKa= 10×0.33 = 3.3kN/m2 ___ qB = qKa + γ AB K a 3.3 + 19×5×0.33=34.6kN/m2 同理可求： qC = 78.5kN/m2 qD = 116.2kN/m2 qE = 150.6kN/m2
② 再对C支点进行弯矩分配 MCg ' = MCg + MCDC = (-11) + 96.8 = 86.8 kN⋅m 与其相应的分配弯矩和传递弯矩分别为： MCBµ = 0.391×86.8 = -33.9 kN⋅m， MCDµ = 0.609×86.8 = -52.7 kN⋅m MDCC = (1/2)×(-52.7) = -26.4 kN⋅m 此时，C点达到了基本平衡，D点又有了新的不平衡弯 矩 MDg ' = MDCC = -26.4 kN⋅m，不过已经小于原先的不 平衡弯矩。按照完全相同的步骤，继续依次在结点C和 D消去不平衡弯矩，则不平衡弯矩将越来越小。经过若 干次同样的计算以后，到传递力矩小到可以忽略不计 时，便可停止进行。此时，挡土桩墙已非常接近其真 实平衡状态。
远端为铰支座时： SIk = 3iIk， CIk = 0 其中iIk = EI/lIk，并称为杆件的线刚度。 在前面的分段计算中得到的固定端C、D的弯矩不能相 互平衡，需要继续用刚刚介绍的弯矩分配法来平衡支 点C、D的弯矩。 2. 求分配系数 固端C：SCB = 3iCB = (3/7)EI，SCD = 4iCD = (4/6)EI = (2/3)EI， S CI = SCB + SCD = (23/21)EI
（七）求各支点反力
根据连续梁各支点的弯矩平衡，并参照下图，可以 容易求得各支点反力。
参照图（a），根据MA = 0求R'B
RB 5 3.3 5 5 5 (34.6 3.3) 2 5 171 .8 2 2 3
R'B= 94.8kN 同样，参照图（b），可以求得： R''B = 114.5 kN R'C = 281.4kN 参照图（c），可以求得： R''C = 153.6kN R'D = 430.5kN DF段受力比较复杂，计算时应当小心。参照图（d）
+96.8 -33.9 -52.7 +7.6 -3.0 -4.6
+193.5 +140.1 -26.4 +15.2 +11.1 -2.3 +1.3 +1.0
+485 -485
232.6 -232.6
通过以上计算，得到各支点的弯矩为： MB = -171.8 kN⋅m MC = -232.6 kN⋅m MD = -485 kN⋅m MF = 0
二、工程实例计算
北京京城大厦为超高层建筑，地上52层，地下4层，建筑面 积110270m2，地面以上高183.53m，基础深23.76m (设计按 23.5m计算)，采用进口488mm×30mmH型钢桩挡土，桩中 间距1.1m，三层锚杆拉结。地质资料如下图所示。
对各土层进行加权平均后得：重度 = 19kN/m3，内摩 擦角 = 300，粘聚力c = 10kPa。23m以下为砂卵石，p = 350 ~ 430，潜水位在23 ~ 30m深的圆砾石中，深10m， 地面荷载按10kN/m2计算。
μk I SI k SI j
以上各式中：MIg是固定端I上的不平衡弯矩；MIk 为会 交于固定端I的第k根杆上的分配弯矩；MkIC为会交于固 定端I的第k根杆上另一端的弯矩，称为传递弯矩； Ik 为会交于固定端I的第k根杆上的弯矩分配系数；CI k称 为传递系数；SIk称为劲度系数。 在等截面杆件的情况下，各杆的劲度系数和传递 系数如下： 远端为固定支座时： SIk = 4iIk， CIk = 1/2 = 0.5
• 用公式（3-25）可以计算出土压力零点y = 0.69m • 按公式（3-26）有：
x 6RF 6 388 3.2m (KP K A ) 217.9
• t = y + x = 3.9 • 实际H型钢桩长27m，入土3.5m，已入砂卵石层，故不 需要埋入更深。
（十一）悬臂段H型钢的变形
eaH1 = qKa = 10×0.33 = 33kPa eaH2 = HKa = 19×23.5 ×0.33 = 147.3kPa eaH = eaH1 + eaH1 = 33 + 147.3 = 150.6 kPa
(Kp – Ka) = 19(11.8 – 0.33) = 217.9kN/m3
（一）计算土压力系数
取 = (2/3) p = 25o，则： Ka = tan2(45o - /2) = tan230o = 0.33
KP [ cos 36 0 cos 25 0 sin( 36 0 25 0 ) sin 36 0 ]2 11.8
（二）计算土压力零点(近似零弯矩点) 距基坑 坑底的距离y
悬臂段为5m，但施工时必须多挖50cm深才能作锚杆， 因此须按5.5m悬臂计算。图3-39为桩顶变形计算简图。
(11q1 4q2 )l 4 fA 120EI
=16.4mm 图3-39 桩顶变形计算简图 因H型钢桩中心距为1.1m ,故须乘1.1 ,同时考虑土体变 形乘以3，桩顶变形为 16.4×1.1×3 = 54mm
3.6.2 二分之一分担法
• 二分之一分担法是多支撑连续梁的一种简化计算方法， 计算较为简便。 • Terzaghi和Peck根据对柏林和芝加哥等地铁工程基坑挡 土结构支撑受力的测定，以包络图为基础，用二分之一 分担法将支撑轴力转化为土压力，提出了图3-12所示的 土压力分布。反之，如土压力分布已知（设计计算时必 须确定土压力分布），则可以用二分之一分担法来计算 多道支撑的受力。这种方法不考虑支撑桩、墙的变形， 求支撑所受的反力时，直接将土压力、水压力平均分配 给每一道支撑，然后求出正负弯矩、最大弯矩，以确定 挡土桩的截面及配筋。显然，这种计算简单方便。计算 简图如图3-40所示。
① 首先对D支点进行弯矩分配 MDCµ = - µ DC MDg = - 0.58 × (-333.6) = +193.5 kN⋅m MDF µ = - µ DF MDg = - 0.42 × (-333.6) = +140.1 kN⋅m 由于C点是固支，MDCµ 将对其产生传递弯矩： MCDC = CDCMDCµ = 0.5 × 193.5 = 96.8kN⋅m 而F点是简支， MDFµ 不会对其产生传递弯矩。
（九）反力核算
土压力及地面荷载共计： 3.3×23.5 + (150.6-3.3)×23.5/2 + 150.6× 0.69/2 = 1860.4kN 支点反力共计： RB+RC+RD+RF = 1938.8kN 误差： (1938.8-1860.4)/1860.4 = 4.2%
（十）H型钢的插入深度计算
B μ C (3 / 7)
(23 / 21)

3 21 9 = 0.391 7 23 23
µ D = 1 - µ B = 1-0.391 = 0.609 C C
– 固端D 与固端C类似，可求得： – µDC = 0.58， µDF = 0.42 3. 分配弯矩 由于D点的不平衡力矩MDg = MDC + MDF = 303.4 – 637 = -333.6 kN⋅m，C点的不平衡力矩MCg = MCB + MCD = 269.4 - 280.4 = -11 kN⋅m 。显然应当：
M CD
q1 l 2 q 2 l 2 78.5 6 2 37.7 6 2 -280.7 kN⋅m 12 30 12 30
M DC
q1 l 2 q 2 l 2 78.5 6 2 37.7 6 2 303.4 kN⋅m 12 20 12 20
4. DEF段梁 DEF 段梁如下图所示，D 端固定，F 点为零弯矩点， 简支。将原多边形分布荷载看成一个矩形分布荷载和 两个三角形分布荷载的叠加。
（五）分段计算连续梁各固定端的弯矩
1. AB段 AB段为悬臂梁 MAB = 0 MBA = 3.3×5×(5/2) + (1/2)×(34.6 - 3.3)×5×(5/3) = 171.7kN⋅m
2. BC段梁 梁BC段的受力如下图所示，B支点荷载q1 = qB = 34.6kN， C支点荷载q2 = qC = 78.5kN，由结构力学可求得：
6.19 RF 116 .2 5.5 5.5 5.5 34.4 2 5.5 0.69 150 .6 0.69 ( 5.5) 2 2 3 2 3
RF = 388kN
• 各支点反力为：
RB RB RB 94.8 114.5 209.3kN RC RC RC 281.4 153.6 435kN RD RD RD 430.5 476 906.5kN RF = 388kN
根据MF = 0，可以列出下式：
6.19RD 116.2 5.5 (
5.5 5.5 34.4 5.5 0.69) ( 0.69) 2 2 3 0.69 150.6 2 0.69 485 2 3
RD'' = 476kN 根据MD = 0，可以列出下式：
（八）复核488型钢的强度
进口SM50及488×30的截面系数Wx = 2910cm3，[σ] = 200MPa，计算最大弯矩为485kN⋅m，H型钢中心距为 1.1m，因此： Mmax = 485×1.1=533.5kN⋅m， σmax = Mmax / Wx = 183.3MPa < [σ] = 200MPa 强度满足要求