运用动态规划模型解决最短路径问题

运用动态规划模型解决物流配送中的最短路径问题

王嘉俊

（盐城师范学院数学科学学院09（1）班）

摘要：随着现代社会的高速发展，物流配送成为了连接各个生产基地的枢纽，运输的成本问题也成为了企业发展的关键。运费不但与运量有关，而且与运输行走的线路相关。传统的运输问题没有考虑交通网络，在已知运价的条件下仅求出最优调运方案，没有求出最优行走路径。文中提出“网络上的物流配送问题“，在未知运价，运量确定的情况下，将运输过程在每阶段中选取最优策略，最后找到整个过程的总体最优目标，节省企业开支。

关键词：动态规划，数学模型，物流配送,最优路径

1 引言

物流配送是现代化物流系统的一个重要环节。它是指按用户的订货要求, 在配送中心进行分货、配货, 并将配好的货物及时送交收货人的活动。在物流配送业务中, 合理选择配送径路, 对加快配送速度、提高服务质量、降低配送成本及增加经济效益都有较大影响。物流配送最短径路是指物品由供给地向需求地的移动过程中, 所经过的距离最短(或运输的时间最少, 或运输费用最低) , 因此, 选定最短径路是提高物品时空价值的重要环节。[1]

经典的Dijkstra 算法和Floyd 算法思路清楚,方法简便,但随着配送点数的增加,计算的复杂性以配送点数的平方增加,并具有一定的主观性。我国学者用模糊偏好解试图改善经典方法[]5,取得了较好的效果。遗憾的是,模糊偏好解本身就不完全是客观的。文献[]6详细分析了经典方法的利弊之后,提出将邻接矩阵上三角和下三角复制从而使每条边成为双通路径,既适用于有向图也适用于无向图, 但复杂性增加了。为了避免上述方法存在的不足,本文以动态规划为理论,选择合理的最优值函数,用于解决物流配送最短路径问题。

动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。1951年美国数学家Bellman（贝尔曼）等人根据一类多阶段决策问题的特性，提出了解决这类问题的“最优性原理”，并研究了许多实际问题，从而创建了最优化问题的一种新方法——动态规划。

动态规划在工程技术、管理、经济、工业生产、军事及现代控制工程等方面都有广泛的应用，而且由于动态规划方法有其独特之处，在解决某些实际问题时，显得更加方便有效。由于决策过程的时间参数有离散的和连续的情况，故决

策过程分为离散决策过程和连续决策过程。[2]这种技术采用自底向上的方式递推求值，将待求解的问题分解成若干个子问题，先求解子问题，并把子问题的解存储起来以便以后用来计算所需要求的解。简言之，动态规划的基本思想就是把全局的问题化为局部的问题，为了全局最优必须局部最优。

多阶段决策问题是根据问题本身的特点，将其求解的过程划分为若干个相互独立又相互联系的阶段，在每个阶段都需要做出决策，并且在每个阶段的确定后再转移到下一个阶段，在每一个阶段选取其最有决策，从而实现整个过程总体决策最优的目的。[2,4]适合用动态规划方法求解的问题是一类特殊的多阶段决策问题，具有“无后效性”的多阶段决策问题，一般具有以下特点：

(1)可以划分为若干个阶段，问题的求解过程就是对若干个阶段的一系列决

策过程。

(2)每个阶段有若干个可能状态。

(3)一个决策将你从一个阶段的一种状态带到下一个阶段的某种状态。

(4)在任一个阶段，最佳的决策序列和该阶段以前的决策无关。

(5)各阶段状态之间的转换有明确定义的费用，而且在选择最佳决策时有递

推关系（即动态转移方程）。[3]

2 动态规划模型

在现实生活的生产运输中，往往出发地与目的地之间有多种路线可供选择，不同的路线所花费的时间与费用也不同，时间与费用决定着企业的发展，这就需要选择最短的路径来提高效率。为了解决这个问题，将动态规划的理论与方法运用于生产运输中，节约了时间，为：企业的发展提供了契机。建立这个规划模型的具体步骤如下：

○1划分阶段:把所给问题的过程，恰当的划分为若干个相互联系的部分，以便于求解，其中每个部分叫阶段。通常用k表示阶段变量

○2确定状态变量及其取值范围：状态表示在任一阶段所处的，它既是该阶段的起点，又是前一阶段的终点。通常一个阶段有若干个阶段。描述状态的变量称为状态变量。参数

s表示第k阶段的状态变量。该阶段所有可能状态的全体称为

k

s。状态变量要能描述决策过程演变的状态，又要满足无后效状态集合，记为

k

性的要求，而且维数要尽可能地少。

○

3确定决策变量及其取值范围：在某一阶段，当状态给定后，往往可以作出不同的决定，从而确定下一阶段的状态，这种决定称为决策。描述决策的变量称为决策变量，用()k k u s 表示第k 阶段当状态为k s 时的决策变量，它是状态变量k s 的函数。决策变量的取值范围称为决策集合，通常用()k k D s 表示第k 阶段状态为k s 时的允许决策集合。显然有()()k k k k u D s s ∈。

○4建立状态转移方程：状态转移方程描述由一个状态到另一个状态的演变过程。因为某一阶段的状态变量及决策变量取定后，下一阶段的状态就随之而定。用()1

,k k k

T s u s +=表示k 阶段与k+1阶段状态的变换规律

○

5指标函数和最优指标函数值：阶段指标（又称阶段效益）是衡量该阶段决策效果的数量指标，它是整个系统效益的一部分，是阶段状态和阶段决策的函数。用(),k k k d s u 表示在第k 阶段由状态k s 和执行决策()k k u s 所得的效益。

指标函数（又称目标函数）是衡量所实现过程优劣的一种数量指标，它表示系统执行某一策略所产生的效益，它是定义在过程（可以是全过程，也可以是后部子过程）上的数量函数，用

,k n f 表示：

(),,111,,,,,,1,2,k n k n k k k k n f f s u s u s k n +++==

当初始状态给定时，过程的策略就确定了，因而指标函数也就确定，故指标函数是初始状态和策略的函数，即：

[],,,(),k n k n

k k k f f s P s =

指标函数

,k n f 的最优值，称为最优指标函数值，记为()k k

f s ，它表示从第k 阶

段由状态k s 出发到过程结束时所获得的最优指标函数值。在最短路线问题中，,k n

f 表示从第k 阶段的点k s 至终点G 的距离，

()k k

f s 表示由点k s 到G 的最短距离，用(),k k k

d s u 表示在第k 阶段由点k s 到点()1

k k k

u s s +=的距离。

最后得到动态规划的一般模型为：