运用动态规划模型解决最短路径问题
邮递员问题最短路径的解法

邮递员问题最短路径的解法1. 简介邮递员问题是指一个邮递员需要按照一定的顺序访问多个地点,并返回起始地点的问题。
邮递员需要选择一条最短的路径,以最小化总行驶距离或时间。
2. 问题描述邮递员问题可以具体描述为:给定一个地图,地图上有多个地点,每个地点都有一个坐标和一个编号。
邮递员需要从起始地点出发,依次访问所有地点,并最终返回起始地点。
3. 算法解法解决邮递员问题的算法有很多种,下面介绍两种常见的解法。
3.1. 蚁群算法蚁群算法是一种模拟自然界蚁群觅食行为的算法。
在蚁群算法中,每只蚂蚁都只能看到局部信息,通过蚂蚁之间的合作和信息交流,最终找到整个系统的全局最优解。
蚁群算法解决邮递员问题的基本步骤如下: 1. 初始化蚂蚁的位置,通常将蚂蚁放置在起始地点。
2. 蚂蚁按照一定的规则选择下一个要访问的地点,例如选择离当前位置最近且未访问过的地点。
3. 更新蚂蚁的位置和访问状态,标记已经访问过的地点。
4. 重复步骤2和步骤3,直到所有地点都被访问过。
5. 计算蚂蚁行走的路径长度,并保存最短路径。
3.2. 动态规划算法动态规划算法是一种通过拆分问题,定义问题的状态,以及定义状态之间的关系,从而逐步求解问题的算法。
动态规划算法解决邮递员问题的基本步骤如下: 1. 定义子问题:将整个问题拆分为多个子问题,每个子问题表示从起始地点出发,经过一部分地点,并最终返回起始地点的最短路径。
2. 定义状态:根据子问题的定义,确定状态的表示方法,例如使用一个二维数组来表示子问题的最短路径长度。
3. 状态转移方程:根据子问题之间的关系,建立状态之间的转移方程,例如使用动态规划的递推公式计算子问题的最短路径。
4. 解决子问题:按照子问题的顺序,依次计算每个子问题的最优值,并保存中间结果。
5. 求解原问题:根据子问题的最优值,计算原问题的最优值,并得到最短路径。
4. 算法比较蚁群算法和动态规划算法是两种常见的解决邮递员问题的方法,它们各有优缺点。
数学模型在求最短途径问题中的应用

科技 一向导
◇ 职业教育◇
数学模型在求最短途径问题中的应用
张 若 男 ( 州工业贸易学校 河南 郑州 郑
4 00 ) 5 0 7
【 要 】 日常生活和 生产中, 摘 在 我们 经常遇到 求最短路径的 问题 。 随着科技 的发展 , 学模 型已广泛应 用到社会 生活的各个领域 。 数 我们 可 以通过 建立动态规划数 学模 型解决求最短路 径问题 . 具有广泛的实际意义。本文的完成将 对于研 究交通诱导 系统的 实际应 用提供更 完整 的理 论 指导并具有一定的实用价值 。 【 关键 词】 数学模 型 ; 动态规 划 ; 最短路 径
例如 :
有一张城市地图 , 如下图所示 , 每个结点代表城市 , 边上 的加权值 道从城市 A到城市 B的众多路径中 。 选择哪一条路 径的路 途最短。经 ,, 济管理 中的货 物存贮 、 设备更新 、 资源分 配、 任务均衡 、 系统可靠性 等 表示城市 问距 离。在此介绍如何找 出某 人从 城市 A经城 市 B cD到 达城市 E的最短路径的方法 问题 . 都可 以运用 同样原理来解决 。 K= , K= I 2, K= 3, K= 4 随着科技 的飞速发展 , 计算机技术 、 网络技术 和通讯技术 已逐步 问题分析与求解 : 渗入到交通领域 随着计算机 的迅猛普及 以及信息技术 的发 展 . 地理 把 整个过程划分 4个 阶段 , K表示 , = , 34 用 K 12, ,. 信息系( eor i n r ao yt e . G ga hc f m t n S s s p I o i m 简称 G S 到 日益广泛和深 I得 ) K 1 = ( 阶段) A结 点到 B 第一 : 从 级结点∞1B ; , 2) 入的应用 交通 网络在城市发展 中占有至关重要 的地位 . 最短路径算 K2 = ( 阶段) B级结点 1 2) 第二 : 从 , 到级结点( 1c ) C , 2; 法是交通 网络分析 的核心 . 已成为 G S T中的一个研 究热点 。最 现 I— K3 = ( 阶段) c 第三 : 级结点( l c ) 从 c , 2 到级结点( 1 2 3; D, , ) D D 短路径 问题是 资源分配 、 路线设计及分析等优化 问题 的基 础 。网络分 K 4 四阶段) D级结点( 1 2 3 E结点。 =( 第 : 从 D, , ) D D 到 析是空 间分析 的一个重要方 面. 网络分析 中最基本最 关键的问题是最 显然 , 个结点间距离 一定 , d‘表示 , d = ,。 每两 用 () , 且 ( 0 ) 短路径 问题 。它是许 多领域 中选择最优 问题 的基 础 , 在交通 网络分析 中占有重要地 位 经典 的最短路径算法一 Djs r i t 算法是 目 ka 前多数 系 统解决 最短 路径问题 采用的理论基 础 目 提出的解 决此类 最短路 径的算 法有多种。 是总体来说这 些 前 但 算法 采用的数据结 构及其实现 方法 由于受 到当时计算机 硬件发展 水 平 的限制 . 将空 间存储 问题放 到了一个很 重要的位置 . 以牺牲适 当的 时间效率来换取空间节省。算法思想都 比较难于理解 , 实现起来 也比
二维数组最短路径问题

二维数组最短路径问题
二维数组最短路径问题可以使用动态规划来解决。
给定一个包含非负整数的m x n网格,要求找出一条从左上角到右下角的路径,使得路径上的数字总和为最小。
每次只能向下或者向右移动一步。
思路分析:
1.定义一个dp数组,dp[i][j]表示从左上角到达(i,j)位置的最小路径
和。
2.初始化dp数组的第一行和第一列与网格数组相同。
3.对于其他位置(i,j),从上方位置(i-1,j)和左方位置(i,j-1)到达(i,j)的最
小路径和为上方位置和左方位置的最小路径和与网格数组(i,j)的值之和。
4.最终的答案为dp数组的右下角位置的值。
代码实现:
def minPathSum(grid):
if not grid or not grid[0]:
return 0
m, n = len(grid), len(grid[0])
dp = [[0] * n for _ in range(m)]
dp[0][0] = grid[0][0]
for i in range(1, m):
dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
for j in range(1, n):
dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]
for i in range(1, m):
for j in range(1, n):
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j] return dp[m-1][n-1]
时间复杂度为O(mn),空间复杂度为O(mn)^。
用动态规划模型求解最短路问题的研究

当‘
,
,
“ 发 点 只有一 个
‘
,
点
则‘
,
。
,
,
。
距离为
一 至此 , 可 得最优决 策 函数序列 气 , 其 中
人
飞 万 。‘
丙
算法 , 矩 阵算法 , 动态规划方法等
枷 算法可用 于计算 网络 图中某一点到各 点的最短距
离 , 但实 际问题 中有时需要求 网络 中所 有各点 之间 的最短 距离 , 如果 仍采用
加 算法分别计 算 ,
效率很低 矩 阵算法可用于 计算所 有节点之 间的最短路 径 , 但计算 量较大 , 适 于用计算机计算 动态规
二
,
,
…,
,
式 中 为 阶段变量 为阶段数 , 。分别 为第 阶段 的状态 变量和决 策变量
动态规划可 分为正 向思维法和逆 向思 维法 , 逆 向思 维法是 指从问题 目标状 态 出发倒 推 回初始状
态或边界状 态 的思维方法 , 而 正 向思维法则正 好与之相反 在运 用求解最短路问题时 , 则有两种解法
划方法主要是研究与解决多阶段决策过程 的最优化问题 , 是求最短路 问题的好算法 , 动态规划方法是
将求解分成多 阶段进行 , 求 出的不 但是全过程 的解 , 而 且包括后部子过程 的一族解 , 在某些情况下 , 实
际问题需要族解时 , 更显其优越性
动态规划所处理的问题 是一个 多阶段 决策间题 , 一 般由初始状态开始 , 通过对中间阶段决策 的选
收稿 日期 二双刃名一 一
— 作者简介 王 百级 盯
, 女 , 白城 师范 学院毅学 系讲 师 , 研 究方 向 橄分 方 权理 论 。
用动态规划模型求解最短路问题 的研究
动态规划实现最短路径问题

动态规划实现最短路径问题⼀、设计最短路径的动态规划算法 <算法导论>中⼀般将设计动态规划算法归纳为下⾯⼏个步骤: 1)分析最优解的结构 2)递归定义最优解的值 3)⾃底向上计算最优解的值 4)从计算的最优解的值上⾯构建出最优解⼆、最短路径的结构 从最优解的结构开始分析(我们假设没有权值为负的路径),对于图G<V,E>的所有结点对最短路径的问题,我们能知道⼀条最短路径的⼦路径都是最短路径。
假设⽤邻接矩阵W=w(ij)来表⽰输⼊带权图,考虑从结点i到结点j的⼀条最短路径p,如果p最多有m(m为有限值)条边。
若i=j,则p的权值为0⽽且不包含其他边。
若i ≠ j,可以将i到j的路径转换为i -> k、k->j。
三、⼀个给定的图 1)给定⼀个有向图 2)我们可以给出这个有向图的邻接矩阵四、C++实现1 #include <iostream>2 #include<fstream>3 #include<sstream>4 #include<vector>5 #include<string>6using namespace std;7const int Max_Num = 100;89 typedef struct Point {10int n; //点的个数11double p[Max_Num];12double q[Max_Num];13int root[Max_Num][Max_Num];14double w[Max_Num][Max_Num];15double e[Max_Num][Max_Num];16 }Point;1718 vector<Point> points;19 vector<string> res;20 vector<int> num;2122void file_read();23void createPoint();24void optimalBST();25void printRoot(Point P);26void printOptimalBST(int i, int j, int r, Point P, ofstream &fileWrite);27 template <class Type>28 Type stringToNum(const string& str) {29 istringstream iss(str);30 Type num;31 iss >> num;32 iss.str("");33return num;34 }3536void file_read() {37string str2, str1 = "", result;38 ifstream fileRead("in.dat");39if (fileRead.is_open()) {40while (getline(fileRead, str2, '\n')) {41if (str2.find("") != -1) {42 str1.append(str2 + "");43 }44else {45 num.push_back(stringToNum<int>(str2));46if (str1 != "") {47 res.push_back(str1);48 }49 str1 = "";50 }51 }52 res.push_back(str1);53 fileRead.close();54 }55 }5657void createPoint() {58string temp;59 Point P;60for (int i = 0; i < res.size(); i++) {61 vector<string> temp_str; //存放按照空格分开后的数字62int n = num[i];63 stringstream input(res[i]);64while (input >> temp) {65 temp_str.push_back(temp);66 }67 P.n = n;68for(int k = 0; k<=n; k++) P.p[k] = stringToNum<double>(temp_str[k]);69for(int k = n + 1; k<temp_str.size(); k++) P.q[k-(n+1)] = stringToNum<double>(temp_str[k]);70 points.push_back(P);71 }72 }7374//根据书上的伪代码:接收概率列表p1....pn和q0.....qn以及规模n作为输⼊计算出e和root75void optimalBST(){76 Point P;77for(int i = 0; i<res.size(); i++) {78 vector<string> temp_str; //存放按照空格分开后的数字79int n = num[i];80string temp;81 stringstream input(res[i]);82while (input >> temp) {83 temp_str.push_back(temp);84 }85 P.n = n;8687for(int k = 0; k<=n; k++) P.p[k] = stringToNum<double>(temp_str[k]);88for(int k = n + 1; k<temp_str.size(); k++) P.q[k-(n+1)] = stringToNum<double>(temp_str[k]); 8990//初始化只包括虚拟键的⼦树91for (int i = 1;i <= P.n + 1;++i){92 P.w[i][i-1] = P.q[i-1];93 P.e[i][i-1] = P.q[i-1];94 }95//由下到上,由左到右逐步计算96for (int len = 1;len <= P.n;++len){97for (int i = 1;i <= P.n - len + 1;++i){98int j = i + len - 1;99 P.e[i][j] = Max_Num;100 P.w[i][j] = P.w[i][j-1] + P.p[j] + P.q[j];101//求取最⼩代价的⼦树的根102for (int r = i;r <= j;++r)103 {104double temp = P.e[i][r-1] + P.e[r+1][j] + P.w[i][j];105if (temp < P.e[i][j])106 {107 P.e[i][j] = temp;108 P.root[i][j] = r;109 }110 }111 }112 }113 points.push_back(P);114 }115 }116117void printOptimalBST(int i, int j, int r, Point P, ofstream &fileWrite){118int root_node = P.root[i][j];//⼦树根节点119if (root_node == P.root[1][P.n]){120//输出整棵树的根121 fileWrite << "k" << root_node << "是根" << endl;122 printOptimalBST(i, root_node - 1, root_node, P, fileWrite);123 printOptimalBST(root_node +1 , j, root_node, P, fileWrite);124return;125 }126127if (j < i - 1){128return;129 }else if (j == i - 1){//遇到虚拟键130if (j < r)131 fileWrite << "d" << j << "是" << "k" << r << "的左孩⼦" << endl;132else133 fileWrite << "d" << j << "是" << "k" << r << "的右孩⼦" << endl;134return;135 }136else{//遇到内部结点137if (root_node < r)138 fileWrite << "k" << root_node << "是" << "k" << r << "的左孩⼦" << endl; 139else140 fileWrite << "k" << root_node << "是" << "k" << r << "的右孩⼦" << endl; 141 }142 printOptimalBST(i, root_node - 1, root_node, P, fileWrite);143 printOptimalBST(root_node + 1, j, root_node, P, fileWrite);144 }145146//输出最优⼆叉查找树所有⼦树的根147void printRoot(Point P){148 cout << "各⼦树的根:" << endl;149for (int i = 1;i <= P.n;++i){150for (int j = 1;j <= P.n;++j){151 cout << P.root[i][j] << "";152 }153 cout << endl;154 }155 cout << endl;156 }157158int main(){159 file_read();160 optimalBST();161 ofstream fileWrite("out.dat");162 Point P ;163for(int i = 0; i<points.size(); i++) {164 P = points[i];165 printRoot(P);166 printOptimalBST(1,P.n,-1, P, fileWrite);167 }168 fileWrite.clear();169return0;170 } 上述代码是将给定的邻接矩阵从⽂件中读取 然后根据输⼊的邻接矩阵求出最短路径。
动态规划算法在路径规划中的应用

动态规划算法在路径规划中的应用路径规划在日常生活中随处可见,比如搜索最短路线、规划旅游路线、寻找交通路线等等。
其中,动态规划算法被广泛应用于路径规划领域,可解决诸如最短路径、最小花费路径等问题。
这篇文章将介绍动态规划算法在路径规划中的应用。
一、动态规划算法的基本原理动态规划算法是一种求解多阶段决策问题的优化方法。
它将问题分成多个子问题,并分别求解这些子问题的最优解。
最后通过不断合并子问题的最优解得到原问题的最优解。
其基本思想可以用以下三个步骤来概括:1.确定状态:将原问题分解成若干个子问题,每个子问题对应一个状态。
2.确定状态转移方程:确定每个状态之间的转移关系。
3.确定边界条件:确定初始状态和结束状态。
动态规划算法通常包括两种方法:自顶向下的记忆化搜索和自底向上的迭代法。
其中,自顶向下的记忆化搜索依赖于递归调用子问题的解,而自底向上的迭代法则通过维护状态表来解决问题。
二、动态规划算法在路径规划中的应用路径规划是动态规划算法的一个重要应用场景。
动态规划算法可以用来求解最短路径、最小花费路径、最大价值路径等问题。
这里以求解最短路径为例,介绍动态规划算法在路径规划中的应用。
1.问题定义假设我们需要从城市A走到城市B,中途经过若干个城市。
每个城市之间的距离已知,现在需要求出从城市A到城市B的最短路径。
这个问题可以用动态规划算法来求解。
2.状态定义在这个问题中,我们可以用一个二元组(u, v)表示从城市u到城市v的一条路径。
因此,在求解最短路径问题时,我们需要进行状态定义。
通常情况下,状态定义成一个包含一个或多个变量的元组,这些变量描述了在路径中的某个位置、某种状态和其他有关的信息。
在这个问题中,状态定义为S(i,j),它表示从城市A到城市j的一条路径,该路径经过了城市集合{1, 2, …, i}。
3.状态转移方程状态转移方程描述了相邻状态之间的关系,即从一个状态到另一个状态的计算方法。
在求解最短路径问题时,状态转移方程可以定义为:d(i, j) = min{d(i-1, j), d(i, k) + w(k, j)}其中,d(i,j)表示从城市A到城市j经过城市集合{1, 2, …, i}的最短路径长度。
轴对称最短路径问题7种类型
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轴对称最短路径问题7种类型
轴对称最短路径问题是一种经典的计算几何问题,其目标是在给定图形中找到从起点到终点的最短路径。
根据不同的条件和限制,轴对称最短路径问题可以分为以下七种类型:
1. 简单轴对称最短路径问题:给定一个轴对称图形,起点和终点分别位于对称轴的两侧,求最短路径。
2. 带有障碍物的轴对称最短路径问题:在轴对称图形中存在一些障碍物,起点和终点在障碍物两侧,求最短路径。
3. 多个起点和终点的轴对称最短路径问题:给定多个起点和终点,每个起点和终点都在对称轴的两侧,求所有起点到所有终点的最短路径。
4. 带有权值的轴对称最短路径问题:在轴对称图形中,不同的点或边具有不同的权值,求起点到终点的最短路径。
5. 动态规划解决轴对称最短路径问题:使用动态规划算法解决轴对称最短路径问题,将问题分解为子问题,逐步求解。
6. A*搜索算法解决轴对称最短路径问题:使用A*搜索算法,通过估价函数指导搜索方向,加速求解速度。
7. 双向搜索解决轴对称最短路径问题:从起点和终点同时进行搜索,通过比较两个方向的搜索结果得到最短路径。
以上七种类型是轴对称最短路径问题的常见分类,每种类型都有其特定的解决方法,需要根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
动态规划在最短路径问题中的应用
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动态规划在最短路径问题中的应用动态规划是一种解决复杂问题的方法,它将问题分解成更小的子问题,并通过保存子问题的解来避免重复计算,从而提高解决问题的效率。
最短路径问题是在图或者网络中找到从起点到终点的最短路径的问题,可以使用动态规划算法来解决。
本文将介绍动态规划在最短路径问题中的应用及其算法实现。
一、最短路径问题在最短路径问题中,我们需要在图或网络中找到从一个节点到另一个节点的最短路径。
最短路径可以通过边的权重来衡量,权重可以表示距离、时间、代价等。
最短路径问题有多种变体,其中最常见的是单源最短路径和全源最短路径。
单源最短路径问题是在给定一个起点的情况下,找到该起点到其他所有节点的最短路径。
最常用的算法是Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
二、动态规划原理动态规划通过保存子问题的解来避免重复计算,从而提高算法的效率。
它将问题分解成更小的子问题,并使用递推关系来计算子问题的解。
在最短路径问题中,我们可以使用动态规划来计算从起点到每个节点的最短路径。
首先,我们定义一个一维数组dist[]来保存从起点到每个节点的最短路径长度。
初始化时,dist[]的值为无穷大,表示路径长度未知。
然后,我们从起点开始逐步计算每个节点的最短路径长度。
具体的动态规划算法如下:1. 初始化dist[]为无穷大,起点的dist[]为0。
2. 对于每个节点v,按照拓扑顺序进行如下操作:2.1. 对于节点v的所有邻接节点u,如果dist[v] + weight(v, u) < dist[u],则更新dist[u]。
2.2. 拓扑顺序可以根据节点的拓扑顺序进行计算或者使用深度优先搜索(DFS)算法。
三、算法实现下面是使用动态规划算法解决最短路径问题的示例代码:```// 定义图的邻接矩阵和节点个数int graph[MAX][MAX];int numNodes;// 定义dist[]数组来保存最短路径长度int dist[MAX];// 定义拓扑排序和DFS算法需要的变量bool visited[MAX];stack<int> s;// 动态规划算法求解最短路径void shortestPath(int startNode) {// 初始化dist[]数组为无穷大for (int i = 0; i < numNodes; i++) {dist[i] = INT_MAX;}dist[startNode] = 0;// 拓扑排序或DFS计算每个节点的最短路径长度 for (int i = 0; i < numNodes; i++) {if (!visited[i]) {DFS(i);}}// 输出最短路径长度for (int i = 0; i < numNodes; i++) {cout << "Node " << i << ": " << dist[i] << endl; }}// 深度优先搜索void DFS(int node) {visited[node] = true;for (int i = 0; i < numNodes; i++) {if (graph[node][i] != 0 && !visited[i]) {DFS(i);}}s.push(node);}```以上示例代码演示了使用动态规划算法求解最短路径问题的基本原理和步骤。
最短路径的数学模型

最短路径的数学模型最短路径的数学模型:从A到B的最短路径问题引言:在现实生活中,我们常常需要找到两个地点之间的最短路径,比如从家里到公司的最短路线,或者从一个城市到另一个城市的最短航线。
这种最短路径问题在数学中有一种通用的数学模型,被广泛应用于计算机科学、运筹学以及交通规划等领域。
本文将介绍这个数学模型,并通过一个具体的例子来说明其应用。
一、问题描述:最短路径问题可以被定义为:给定一个图G,其中包含一些节点和连接这些节点的边,每条边都有一个权重(或距离)值,我们希望找到从节点A到节点B的最短路径。
二、数学模型:为了解决最短路径问题,我们需要构建一个数学模型。
这个模型可以使用图论中的图和路径的概念来描述。
1. 图的定义:在最短路径问题中,图G可以被定义为一个由节点和边组成的集合。
其中节点表示地点或位置,边表示连接这些地点的路径。
每条边都有一个权重值,表示从一个地点到另一个地点的距离或成本。
2. 路径的定义:路径是指从一个地点到另一个地点经过的一系列节点和边的组合。
在最短路径问题中,我们希望找到一条路径,使得路径上所有边的权重之和最小。
3. 最短路径的定义:最短路径是指从节点A到节点B的路径中,路径上所有边的权重之和最小的路径。
三、最短路径算法:为了解决最短路径问题,我们需要使用一种算法来计算最短路径。
下面介绍两种常用的最短路径算法:Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
1. Dijkstra算法:Dijkstra算法是一种贪心算法,用于计算带权重的图中节点A到其他所有节点的最短路径。
该算法的基本思想是从起始节点开始,依次选择与当前节点距离最近的节点,并更新到达其他节点的最短路径。
这个过程不断重复,直到找到从节点A到所有其他节点的最短路径。
2. Floyd-Warshall算法:Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法,用于计算带权重的图中任意两个节点之间的最短路径。
该算法通过一个二维数组来存储节点之间的最短路径长度,并不断更新这个数组,直到找到所有节点之间的最短路径。
最短路径问题的动态规划算法

最短路径问题的动态规划算法动态规划是一种解决复杂问题的有效算法。
最短路径问题是指在给定的图中找到从起点到终点路径中距离最短的路径。
本文将介绍动态规划算法在解决最短路径问题中的应用。
1. 最短路径问题简介最短路径问题是图论中的经典问题之一,旨在找到从图中一点到另一点的最短路径。
通常使用距离或权重来衡量路径的长度。
最短路径问题有多种算法可以解决,其中动态规划算法是一种常用且高效的方法。
2. 动态规划算法原理动态规划算法的核心思想是将原问题分解为更小的子问题,并存储已解决子问题的结果,以供后续使用。
通过逐步解决子问题,最终得到原问题的解。
在最短路径问题中,动态规划算法将路径分解为多个子路径,并计算每个子路径的最短距离。
3. 动态规划算法步骤(1)定义状态:将问题转化为一个状态集合,每个状态表示一个子问题。
(2)确定状态转移方程:通过递推或计算得到子问题之间的关系,得到状态转移方程。
(3)确定初始状态:设置与最小子问题相关的初始状态。
(4)递推求解:根据状态转移方程,逐步计算中间状态,直到得到最终解。
(5)回溯路径:根据存储的中间状态,找到最短路径。
4. 动态规划算法示例以经典的Dijkstra算法为例,演示动态规划算法在解决最短路径问题中的应用。
假设有带权重的有向图G,其中节点数为n,边数为m。
算法步骤如下:(1)定义状态:对于图G中的每个节点v,定义状态d[v]代表从起点到节点v的最短距离。
(2)确定状态转移方程:d[v] = min(d[u]+w[u,v]),其中u为节点v 的直接前驱节点,w[u,v]为边(u,v)的权重。
(3)确定初始状态:设置起点s的最短距离d[s]为0,其他节点的最短距离d[v]为无穷大。
(4)递推求解:根据状态转移方程逐步计算中间状态d[v],更新最短距离。
(5)回溯路径:根据存储的前驱节点,从终点t开始回溯,得到最短路径。
5. 动态规划算法的优缺点优点:(1)求解速度快,适用于大规模问题。
动态规划算法有啥用途

动态规划算法有啥用途动态规划算法是一种常用的优化算法,可以在时间和空间上实现高效的计算。
它适用于一系列问题,包括最优化问题、决策问题和计数问题等。
动态规划算法通常用于问题具备「无后效性」(无后效性是指问题的当前状态不会受到未来状态的影响)和「最优子结构」(问题的最优解可以由子问题的最优解推导得到)的情况下。
基本思想是将原问题划分为若干子问题,逐个求解子问题,再根据子问题的最优解推导出原问题的解。
下面将介绍几个典型的应用场景:1. 最短路径问题:最短路径问题是图论中的经典问题,动态规划算法可以高效地解决。
通过构建状态转移方程,可以递推求解从起点到终点的最短路径。
2. 最长公共子序列问题:最长公共子序列问题在字符串处理中非常常见,例如求两个字符串的最长公共子序列长度。
动态规划算法可以通过构建状态转移方程来高效地求解。
3. 背包问题:背包问题是一类经典的组合优化问题,常见的有0-1背包问题、完全背包问题和多重背包问题。
动态规划算法可以用来求解背包问题的最优解。
4. 最大子数组和问题:最大子数组和问题是在一个数列中找到一个连续子数组,使得子数组元素的和最大。
动态规划算法可以用来高效地求解最大子数组和。
5. 最长递增子序列问题:最长递增子序列问题即求解一个序列中最长的子序列,满足子序列中的元素从左到右递增。
动态规划算法可以高效地求解最长递增子序列的长度。
6. 矩阵链乘法问题:矩阵链乘法问题是矩阵计算中常见的优化问题,即给定一系列矩阵,求解它们相乘的最少次数。
动态规划算法可以用来高效地解决该问题。
7. 0-1背包问题:0-1背包问题是指在给定的一组物品中,每个物品可以选择放入背包或不放入背包,目标是使得背包中物品的总价值最大,且背包的容量不能超过一个给定的值。
动态规划算法可以用来求解该问题的最优解。
8. 最大子矩阵和问题:最大子矩阵和问题是在一个二维矩阵中寻找一个子矩阵,使得子矩阵元素的和最大。
动态规划算法可以用来高效地求解最大子矩阵和。
动态规划算法实现多段图的最短路径问题算法设计与分析实验报告

动态规划算法实现多段图的最短路径问题算法设计与分析实验报告算法设计与分析实验报告实验名称 动态规划算法实现多段图的最短路径问题 评分 实验日期 年 月 日 指导教师 姓名 专业班级 学号一.实验要求1. 理解最优子结构的问题。
有一类问题的活动过程可以分成若干个阶段,而且在任一阶段后的行为依赖于该阶段的状态,与该阶段之前的过程如何达到这种状态的方式无关。
这类问题的解决是多阶段的决策过程。
在50年代,贝尔曼(Richard Bellman )等人提出了解决这类问题的“最优化原理”,从而创建了最优化问题的一种新的算法设计方法-动态规划。
对于一个多阶段过程问题,是否可以分段实现最优决策,依赖于该问题是否有最优子结构性质,能否采用动态规划的方法,还要看该问题的子问题是否具有重叠性质。
最优子结构性质:原问题的最优解包含了其子问题的最优解。
子问题重叠性质:每次产生的子问题并不总是新问题,有些子问题被反复计算多次。
问题的最优子结构性质和子问题重叠性质是采用动态规划算法的两个基本要素。
2.理解分段决策Bellman 方程。
每一点最优都是上一点最优加上这段长度。
即当前最优只与上一步有关。
U s 初始值,u j 第j 段的最优值。
⎪⎩⎪⎨⎧+==≠}.{min ,0ijiji js w u u u3.一般方法1)找出最优解的性质,并刻画其结构特征;2)递归地定义最优值(写出动态规划方程);3)以自底向上的方式计算出最优值;4)根据计算最优值时得到的信息,构造一个最优解。
步骤1-3是动态规划算法的基本步骤。
在只需要求出最优值的情形,步骤4可以省略,步骤3中记录的信息也较少;若需要求出问题的一个最优解,则必须执行步骤4,步骤3中记录的信息必须足够多以便构造最优解。
二.实验内容1.编程实现多段图的最短路径问题的动态规划算法。
2.图的数据结构采用邻接表。
3.要求用文件装入5个多段图数据,编写从文件到邻接表的函数。
4.验证算法的时间复杂性。
最短路径问题的动态规划算法
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最短路径问题的动态规划算法最短路径问题的动态规划算法是一种常用的解决路径优化的方法。
动态规划算法的核心思想是将原问题拆分成若干个子问题,通过递推关系找到最优解。
在最短路径问题中,我们通常希望找到从起点到终点的最短路径。
首先,我们需要定义一个二维数组dp,其中dp[i][j]表示从起点到达坐标(i, j)的最短路径长度。
初始化dp数组,将起点的值设为0,其他位置的值设为无穷大(即表示不可达)。
接下来,我们需要确定动态规划的状态转移方程。
对于任意一个坐标(i, j),它可以从上方的坐标(i-1, j)、左方的坐标(i, j-1)、右方的坐标(i, j+1)、下方的坐标(i+1, j)四个位置中的某一个到达。
因此,可以得到状态转移方程如下:
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i][j+1], dp[i+1][j]) + 1
其中,min表示取其中的最小值。
通过以上状态转移方程,我们可以逐步更新dp数组,直到最终得到终点的最短路径长度。
需要注意的是,动态规划算法的时间复杂度通常是O(n^2),其中n 表示问题规模。
因此,在处理大规模最短路径问题时,需要考虑算法的效率,可能需要进行剪枝等优化操作。
总的来说,最短路径问题的动态规划算法在路径优化领域有着重要的应用价值,通过合理定义状态转移方程和优化算法效率,可以找到从起点到终点的最短路径长度,为路径规划提供有效的解决方案。
利用动态规划算法求解最短路径

态规 划方法 解决 。
动态 规划 是 一 种 思 维 方 法 , 以从 多 方 面 去 考 可
不同 的方面对 动态 规划 有 不 同 的表 述 。动 态 规划 化问题[ 。所谓最短 路径问题就是指给 定起 点及终点 , 察 , 1 并 知道 由起点 到终点的各种可能 的路 径 , 问题 是要找一 可分 为正 向 思维 法 和 逆 向 思 维法 。逆 向思维 法 是 指 条 由起点 到终 点的最短 的路 , 即长度最 短的路 。需要指 从 问题 目标 状 态 出发倒 推 回初 始 状 态 或边 界状 态 的
b 要具有 可分 离性 , . 并可满 足递 推关 系即 :
\
作晷 落19女河 安 人 科主从 计・ 用究 者 介梁 ( 南 本 要 舅厦 研 薯 羿絮 17,, 阳 , , 事 算应j 。 简 : 07 娟5u 一 9) 。 机 片艽 埘
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如果用最优化原理来思考这个问题我们可以注意到最短路径有这样一个特性即最短路径的子路径也必然是最短路径而且最短路径的长度只和各条子路径的最短长度有关2
维普资讯
第 1 4卷 第 5期 20 0 6年 o 9月
河南 机 电高 等 专 科 学 校 学 报
J u n l f n nMe h nc l n lcr a En ie r gC l g o r a o He a c a i d E e ti l gn e i ol e aa c n e
最短 路径 有这样 一个 特性 , 即最 短 路径 的子路 径 也必 然 是最短 路径 , 而且 最短 路 径 的长 度 只和 各 条子 路径
a 是 定义 在 全 过 程 和 所有 后 部子 过 程 上 的数 量 .
函数 。
的最短 长度 有关 由此 , 以把 最 短路 径 问题 用 动 引。 可
在交通运输上使用动态规划求解最短路径

中图分类号 :T 3 P 11
Байду номын сангаас
文献标识码 :A
文章编号 :1 7 — 7 2 (0 8 5 0 8 — 2 6 1 4 9 一 2 0 )— 0 1 0
Ab t c : l n i h t e t a s o t t o y t m d v l p e t p o l u o e a t n i n t e e s h x e s sr tA o g w t h r n p r a i n s s e e e o m n , e p e p t m r t e t o o r l a e t e e p n e a i t a s o t t o n r n p r a i n. D n m c p o r m i g h s a r a y a p i d t r j c e h i u , c n m a a e e t i d s r y a i rg a m n a l ed p le o p o e t t cn q e eo o y m n gm n ,n u t y
f el of i d dy ami p g m i n c ro ra ng. he T pa er s dy mi pr r m i t o es o e ch p u e na c og am ng he ri t s ar th s rt t ou e n he e ho es r t i t
摘 要:随着我 国交通 运输事业 的发展 ,降低 运输成本 成为 日益关注 的问题 。动态规划在工程技 术 、经济管理 、工 业生产 、交通运输等众 多领域都有广泛 的应用 ,其 中最短路径问题是 动态规划在管理领域 的一个重要应用。本文通过具体 实 例说 明动态规划在 交通运输方面求解最短路径的过程 ,方 法简便 ,思路清晰。
动态规划在数学中的应用

动态规划在数学中的应用动态规划(Dynamic Programming)是一种常见的算法思想,可以用来解决多种复杂的问题。
尽管它最初是为解决计算机科学中的问题而设计的,但动态规划在数学领域中也发挥着重要的作用。
本文将探讨动态规划在数学中的应用。
一、最短路径问题最短路径问题可以说是动态规划在数学中的一个经典应用。
假设我们有一个带权重的有向图,权重代表连接两个节点之间的距离或成本。
我们的目标是找到两个给定节点之间的最短路径。
动态规划可以通过计算子问题的最短路径来逐步构建整个图的最短路径。
这个过程可以通过递归或者迭代的方式实现。
通过将问题分解为子问题,动态规划可以高效地解决最短路径问题。
二、背包问题背包问题是一个经典的组合优化问题,在数学中也有很多实际应用。
假设我们有一个背包,其容量为C,同时有一系列重量为w1, w2, ...,wn的物品以及它们的价值v1, v2, ..., vn。
我们的目标是在不超过背包容量的前提下,选择一组物品使得它们的总价值最大化。
动态规划可以很好地解决背包问题。
我们可以定义一个二维数组dp 来记录在前i个物品中,背包容量为j时的最大总价值。
通过填充这个数组,我们可以得到最终的最大总价值。
三、最长公共子序列问题最长公共子序列问题是另一个动态规划在数学中的应用。
给定两个序列,我们的目标是找到它们的最长公共子序列。
子序列是指在原序列中按照相同的顺序选择出来的元素,不一定需要相邻。
通过动态规划,我们可以定义一个二维数组dp来记录前i个字符和前j个字符之间的最长公共子序列的长度。
通过填充这个数组,我们可以逐步构建最长公共子序列,并求得最终的长度。
四、最优搜索二叉树问题最优搜索二叉树问题是动态规划在数学中的另一个应用。
给定一个有序序列,我们需要构建一个二叉搜索树(Binary Search Tree)使得查找代价最小。
二叉搜索树是一种满足左子树小于根节点,右子树大于根节点的二叉树。
通过动态规划,我们可以定义一个二维数组dp来记录在前i个元素中构建最优搜索二叉树的查找代价。
解最短路径问题的两种方法及其应用
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解最短路径问题的两种方法及其应用
最短路径问题是指在一张带权图中找到两个节点之间最短的路径。
最短路径问题是许多计算机科学和应用领域中的一个基本问题。
以下是解决这个问题的两种方法:
1. Dijkstra算法:Dijkstra算法是解决最短路径问题的一种
基本算法,它是基于贪心思想的。
该算法首先确定起始点到其他节
点的距离(记为d),然后不断扩大已确定最短距离的节点集,直
到覆盖所有节点。
Dijkstra算法适用于单源最短路径,即从一个节
点到所有其他节点的最短路径。
2. Floyd算法:Floyd算法也是一种经典的解决最短路径问题
的算法,它是一个动态规划算法。
该算法利用动态规划的思想,通
过比较任意两个节点之间经过第三点(中转点)的路径长度,更新
路径长度。
Floyd算法适用于多源最短路径,即从任意两个节点之
间的最短路径。
这两种算法可广泛应用于各种计算机科学和应用领域,如网页
排名算法、图像处理、计算机网络等。
在实际应用中,我们需要根
据实际问题的特点,选择最适合的算法。
最短路径问题解题技巧

最短路径问题解题技巧
解决最短路径问题可以使用以下的技巧:
1. Dijkstra算法:Dijkstra算法是解决带权重有向图的单源最短
路径问题的经典算法。
它采用贪心策略,从起点开始,依次确定与起点距离最短的节点,然后通过这个节点更新与其相邻节点的距离,直到到达目标节点。
2. Bellman-Ford算法:Bellman-Ford算法是解决带负权重边的
有向图的单源最短路径问题的算法。
它采用动态规划的思想,通过多次迭代,逐步更新各个节点的最短路径。
3. Floyd-Warshall算法:Floyd-Warshall算法是解决带权重有向图的所有节点对之间的最短路径问题的算法。
它采用动态规划的思想,通过多次迭代,逐步更新各个节点对之间的最短路径。
4. A*算法:A*算法是一种启发式搜索算法,用于解决带权重
的有向图的单源最短路径问题。
它综合考虑节点的实际距离和启发函数预测的剩余距离,选择当前最有可能达到目标的节点进行搜索。
5. SPFA算法:SPFA算法是Bellman-Ford算法的一种优化版本,用于解决带负权重边的有向图的单源最短路径问题。
它采用队列来存储待更新的节点,避免了重复更新节点的操作,从而提高了算法的效率。
以上是几种常用的解决最短路径问题的算法技巧,根据具体问
题的要求和图的特征,选择适合的算法可以较好地解决最短路径问题。
动态规划应用动态规划解决问题的思路与技巧

动态规划应用动态规划解决问题的思路与技巧动态规划应用 - 动态规划解决问题的思路与技巧动态规划(Dynamic Programming)是一种常见的算法思想,用于解决一些具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
通过将大问题划分为小问题,并将小问题的解存储起来以避免重复计算,可以在一定程度上优化问题的求解过程。
本文将介绍动态规划的应用,并提供一些思路与技巧。
一、动态规划的基本思路动态规划问题通常可以由以下步骤解决:1. 定义状态:将问题划分成若干子问题,并确定每个子问题需要记录的状态。
2. 定义状态转移方程:通过分析子问题之间的关系,建立状态转移方程,以表达子问题的最优解与更小规模子问题的关系。
3. 初始化边界条件:确定最小规模子问题的解,并初始化状态转移方程中需要用到的边界条件。
4. 递推求解:按照状态转移方程的定义,从较小规模的子问题开始逐步推导出较大规模的问题的解。
5. 求解目标问题:根据最终推导出的状态,得到原始问题的最优解。
二、动态规划的技巧与优化1. 滚动数组:为了降低空间复杂度,可以使用滚动数组来存储状态。
滚动数组只记录当前状态与之前一部分状态相关的信息,避免了存储所有状态的需求。
2. 状态压缩:对于某些问题,可以将状态压缩成一个整数,从而大幅减小状态的数量。
例如,当问题中涉及到某些特定的组合或排列时,可以使用二进制位来表示状态。
3. 前缀和与差分数组:对于某些问题,可以通过计算前缀和或差分数组,将问题转化为求解累加或差对应数组中的某个区间的值的问题,从而简化计算过程。
4. 贪心思想:有些动态规划问题可以结合贪心思想,在每个阶段选择局部最优解,然后得到全局最优解。
5. 双重循环与多重循环:在实际解决问题时,可以使用双重循环或多重循环来遍历状态空间,求解问题的最优解。
三、动态规划的实际应用动态规划广泛应用于各个领域,包括但不限于以下几个方面:1. 最短路径问题:例如,求解两点之间的最短路径、最小生成树等。
利用动态规划法求解运输问题的最短路径
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K n n 5 0 3 C ia (K n n hpD s na dR sac s tt K n igS i B i ig u mig6 0 9 , hn )。 u migS i ei n eerhI tue u m n hp ul n g ni d
E up n oLd , n n 5 0 , hn ) q ime tC .t .Ku mig6 0 5 C i a 1
.
K y od :y a c rga n ; h ot tP t ; ls g eio e rsD n mip ormmi T e h r s a Mutt e c i w g s e- h ia d s n
中 图分 类 号 : H1 , 2 1 文献标 识 码 : T 60 2 - 3 A
孙 晓 燕 李 自良 彭雄 凤 傅 亚力 梁志 强 2 ห้องสมุดไป่ตู้
( 昆明理工大 学 机 电工程 学院 , 昆明 6 0 9 ) 5 0 3
( 昆 明船 舶设 备集 团有 限公 司 昆船设 计研 究院 , 昆明 6 0 5 ) 5 0 1
Th y a i r g a e d n m c p o r mm ig a p id t ov n h h r s - a h o r n p r t n p obe n p l o s lig t e s o t t p t f a s o t i r l m e e t ao
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运用动态规划模型解决物流配送中的最短路径问题王嘉俊(盐城师范学院数学科学学院09(1)班)摘要:随着现代社会的高速发展,物流配送成为了连接各个生产基地的枢纽,运输的成本问题也成为了企业发展的关键。
运费不但与运量有关,而且与运输行走的线路相关。
传统的运输问题没有考虑交通网络,在已知运价的条件下仅求出最优调运方案,没有求出最优行走路径。
文中提出“网络上的物流配送问题“,在未知运价,运量确定的情况下,将运输过程在每阶段中选取最优策略,最后找到整个过程的总体最优目标,节省企业开支。
关键词:动态规划,数学模型,物流配送,最优路径1 引言物流配送是现代化物流系统的一个重要环节。
它是指按用户的订货要求, 在配送中心进行分货、配货, 并将配好的货物及时送交收货人的活动。
在物流配送业务中, 合理选择配送径路, 对加快配送速度、提高服务质量、降低配送成本及增加经济效益都有较大影响。
物流配送最短径路是指物品由供给地向需求地的移动过程中, 所经过的距离最短(或运输的时间最少, 或运输费用最低) , 因此, 选定最短径路是提高物品时空价值的重要环节。
[1]经典的Dijkstra 算法和Floyd 算法思路清楚,方法简便,但随着配送点数的增加,计算的复杂性以配送点数的平方增加,并具有一定的主观性。
我国学者用模糊偏好解试图改善经典方法[]5,取得了较好的效果。
遗憾的是,模糊偏好解本身就不完全是客观的。
文献[]6详细分析了经典方法的利弊之后,提出将邻接矩阵上三角和下三角复制从而使每条边成为双通路径,既适用于有向图也适用于无向图, 但复杂性增加了。
为了避免上述方法存在的不足,本文以动态规划为理论,选择合理的最优值函数,用于解决物流配送最短路径问题。
动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。
1951年美国数学家Bellman(贝尔曼)等人根据一类多阶段决策问题的特性,提出了解决这类问题的“最优性原理”,并研究了许多实际问题,从而创建了最优化问题的一种新方法——动态规划。
动态规划在工程技术、管理、经济、工业生产、军事及现代控制工程等方面都有广泛的应用,而且由于动态规划方法有其独特之处,在解决某些实际问题时,显得更加方便有效。
由于决策过程的时间参数有离散的和连续的情况,故决策过程分为离散决策过程和连续决策过程。
[2]这种技术采用自底向上的方式递推求值,将待求解的问题分解成若干个子问题,先求解子问题,并把子问题的解存储起来以便以后用来计算所需要求的解。
简言之,动态规划的基本思想就是把全局的问题化为局部的问题,为了全局最优必须局部最优。
多阶段决策问题是根据问题本身的特点,将其求解的过程划分为若干个相互独立又相互联系的阶段,在每个阶段都需要做出决策,并且在每个阶段的确定后再转移到下一个阶段,在每一个阶段选取其最有决策,从而实现整个过程总体决策最优的目的。
[2,4]适合用动态规划方法求解的问题是一类特殊的多阶段决策问题,具有“无后效性”的多阶段决策问题,一般具有以下特点:(1)可以划分为若干个阶段,问题的求解过程就是对若干个阶段的一系列决策过程。
(2)每个阶段有若干个可能状态。
(3)一个决策将你从一个阶段的一种状态带到下一个阶段的某种状态。
(4)在任一个阶段,最佳的决策序列和该阶段以前的决策无关。
(5)各阶段状态之间的转换有明确定义的费用,而且在选择最佳决策时有递推关系(即动态转移方程)。
[3]2 动态规划模型在现实生活的生产运输中,往往出发地与目的地之间有多种路线可供选择,不同的路线所花费的时间与费用也不同,时间与费用决定着企业的发展,这就需要选择最短的路径来提高效率。
为了解决这个问题,将动态规划的理论与方法运用于生产运输中,节约了时间,为:企业的发展提供了契机。
建立这个规划模型的具体步骤如下:○1划分阶段:把所给问题的过程,恰当的划分为若干个相互联系的部分,以便于求解,其中每个部分叫阶段。
通常用k表示阶段变量○2确定状态变量及其取值范围:状态表示在任一阶段所处的,它既是该阶段的起点,又是前一阶段的终点。
通常一个阶段有若干个阶段。
描述状态的变量称为状态变量。
参数s表示第k阶段的状态变量。
该阶段所有可能状态的全体称为ks。
状态变量要能描述决策过程演变的状态,又要满足无后效状态集合,记为k性的要求,而且维数要尽可能地少。
○3确定决策变量及其取值范围:在某一阶段,当状态给定后,往往可以作出不同的决定,从而确定下一阶段的状态,这种决定称为决策。
描述决策的变量称为决策变量,用()k k u s 表示第k 阶段当状态为k s 时的决策变量,它是状态变量k s 的函数。
决策变量的取值范围称为决策集合,通常用()k k D s 表示第k 阶段状态为k s 时的允许决策集合。
显然有()()k k k k u D s s ∈。
○4建立状态转移方程:状态转移方程描述由一个状态到另一个状态的演变过程。
因为某一阶段的状态变量及决策变量取定后,下一阶段的状态就随之而定。
用()1,k k kT s u s +=表示k 阶段与k+1阶段状态的变换规律○5指标函数和最优指标函数值:阶段指标(又称阶段效益)是衡量该阶段决策效果的数量指标,它是整个系统效益的一部分,是阶段状态和阶段决策的函数。
用(),k k k d s u 表示在第k 阶段由状态k s 和执行决策()k k u s 所得的效益。
指标函数(又称目标函数)是衡量所实现过程优劣的一种数量指标,它表示系统执行某一策略所产生的效益,它是定义在过程(可以是全过程,也可以是后部子过程)上的数量函数,用,k n f 表示:(),,111,,,,,,1,2,k n k n k k k k n f f s u s u s k n +++==当初始状态给定时,过程的策略就确定了,因而指标函数也就确定,故指标函数是初始状态和策略的函数,即:[],,,(),k n k nk k k f f s P s =指标函数,k n f 的最优值,称为最优指标函数值,记为()k kf s ,它表示从第k 阶段由状态k s 出发到过程结束时所获得的最优指标函数值。
在最短路线问题中,,k nf 表示从第k 阶段的点k s 至终点G 的距离,()k kf s 表示由点k s 到G 的最短距离,用(),k k kd s u 表示在第k 阶段由点k s 到点()1k k ku s s +=的距离。
最后得到动态规划的一般模型为:()())()()({}()111,,0,,1,1,k k k k kk k k k k k u D s k k f s opt d s u f u s f s k n n +∈++⎧=+⎪⎨⎪==-⎩()k kf s 为从状态k s 出发到终点的最优效益,“opt ”是optimization (最优化)的缩写[]23 实例分析为进一步说明该方法的有效性和实用性,先将该方法运用于某物流配送网络中:设某物流配送网络图由9个配送点组成,点0A 为配送中心,9A 为终点,试求自9A 到图中任何配送点的最短距离。
图中相邻两点的连线上标有两点间的距离[]1首先根据网络图以及上面的建模方法我们可以将运输过程划分成三个阶段,分别为:第一阶段0A ,第二阶段1357,,,A A A A ,第三阶段2468,,,A A A A ,显然两点之间直线路径小于折线路径 阶段变量用k 表示;状态变量k A 表示k 阶段初可能的位置; 决策)(kkf A 表示k 阶段初可能选择的路线;由后向前逐步推移计算最优路径:当k=3时,由2468,,,A A A A 到9A 只有一条路线,故()32f A =16,()34f A =8,()38f A =4,()36f A =14当k=2时,出发点有1357,,,A A A A 三个,若从1A 出发,只有一个选择,至2A ,所以()21f A =27从3A 出发,有两个选择,至24,A A ,所以())()()()(232322323434,516min min 18108,d A A f A f A d A A f A ⎧⎫++⎫⎧⎪⎪⎪===⎨⎬⎨⎬++⎪⎩⎭⎪⎪⎭⎩从5A 出发,有两个选择,至46,A A ,所以())()()()(254342525636,168m in m in 19154,d A A f A f A d A A f A ⎧⎫++⎫⎧⎪⎪⎪===⎨⎬⎨⎬++⎪⎩⎭⎪⎪⎭⎩从7A 出发,有两个选择,至68,A A ,所以())()()()(276362727838,114min min 151214,d A A f A f A d A A f A ⎧⎫++⎫⎧⎪⎪⎪===⎨⎬⎨⎬++⎪⎩⎭⎪⎪⎭⎩最短路线是769A A A →→当k=1时,出发点有0A 一个,若从0A 出发,至1A ,所以()10f A =31 若从0A 出发,至3A ,所以()10f A =25 若从0A 出发,至5A ,所以()10f A =27 若从0A 出发,至7A ,所以()10f A =24由上面计算得到最优路径()10f A =24,最优路径为0769A A A A →→→由本实例我们可以总结出动态规划的优越性所在: (1)求解过程,结果清晰明了; (2)能得到一组解,有利于分析结果; (3)易于确定全局最优解;4 结论用动态规划解决多阶段决策问题可以提高效率,而且思路清晰简便,同时易于实现,虽然使用动态规划方法也有一定的限制,如状态变量必须满足无后效性,不考虑路况,天气等不确定因素对行程的影响,并且只适用一些维数相对较低的问题等。
但是可以看到,动态规划的应用是很广的,已成功解决了许多实际问题,具有一定的实用性。
本文将动态规划思想运用到求解物流配送中的最短路径问题中,其优点在于思路清晰,方法简便,理论可靠,在实际运用中取得了良好的效果。
但是本文只考虑了一个起点的应用实例,在实际中有可能存在多个起点的情况,因此我们可以考虑将其进行改进,使之更好的运用在实际中,为企业的发展提供更多的帮助。
Using the dynamic programming model isused to solve the shortest path problemlogistics distributionWangjiajunAbstract: with the rapid development of modern society, the logistics distribution became connected each production base hub, transportation cost problem has become the key to the development of the enterprise.Freight volume, and not only from about transportation and walking routes related. Traditional transport problems did not consider the traffic network, under the condition of the known freight rate only find out optimal scheduling solutions, not asked the optimal walk path.This paper put forward "Internet logistics distribution problem", volume in unknown rate, the case, will determine the transportation process is divided into several stages, in each phase of the selection of the optimum strategy, finally found the whole process of the overall optimum target, save enterprise spending.Keywords: dynamic planning, mathematical model, the logistics distribution, optimal path[参考文献][1]蒋琦玮,陈治亚物流配送最短径路的动态规划方法研究[J].系统工程,2007,25(4):27-29[2]戴朝寿,孙世良数学建模简明教程[M].高等教育出版社,2007.7[3]孙晓燕,李自良,彭雄凤,傅亚力,梁志强利用动态规划法求解运输问题的最短路径.机械设计与制造,2010,2[4]陈理荣数学建模导论,1999[5 ]韩世莲,李旭宏,刘新旺.物流运输网络模糊最短路径的偏好解[J ].交通运输学报,2005,5(2):122~126.[6 ]周程,物流配送路径优化策略研究[J ].武汉理工大学学报,2005,29(5):797~800.。