生活中的二次曲面
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几种二次曲面及其标准方程
第九节几种二次曲面及其标准方程
我们把三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面，平面叫一次曲面。
怎样了解三元二次方程所表示的曲面的形状呢？方法之一是用坐标面和平行
于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。
利用截痕法我们讨论了几种特殊的二次曲面。
一、椭球面
当时，表示球心在原点的球面。
二、抛物面
，（椭圆抛物面）
当时，开口朝上；时，开口朝下。
当时，方程表示面上的抛物线绕轴旋转而成的旋转抛物面。
，（双曲抛物面，又称马鞍面）
三、双曲面
单叶双曲面
双叶双曲面
四、锥面
椭圆锥面
当时，方程表示圆锥面. 例1 指出下列方程在空间表示什么曲面？
（1）
（2）
（3）
（4）
解（1）椭球面，半轴分别为。
（2）顶点在，开口朝下的抛物面。
（3）顶点在原点，开口朝上的上半个圆锥。
（4）顶点在，开口朝下的下半个圆锥。
二次曲面双曲面反射
二次曲面双曲面反射1. 引言在光学中，反射是指光线从一个介质到另一个介质的界面上发生改变方向的现象。
而二次曲面双曲面反射则是指光线在经过二次曲面双曲面后发生反射的现象。
本文将详细介绍二次曲面、双曲面以及二次曲面双曲面反射的相关概念和原理。
2. 二次曲面二次曲面是指由二次方程定义的平滑的几何体。
一般来说，它可以分为四类：椭圆、抛物线、双曲线和退化情况。
2.1 椭圆椭圆是由一个平行于坐标轴的平截头圆锥与一个垂直于坐标轴的平截头圆锥相交得到的。
其数学表达式为：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1其中a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半径。
2.2 抛物线抛物线是由一个垂直于坐标轴的平截头圆锥与一个与之相切于顶点的平截头圆锥相交得到的。
其数学表达式为：y = ax^2 + bx + c其中a、b和c为常数，a不等于零。
2.3 双曲线双曲线是由一个垂直于坐标轴的平截头圆锥与一个与之不相交的平截头圆锥相交得到的。
其数学表达式为：(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1其中a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的半径。
2.4 退化情况退化情况指二次曲面在某些特殊条件下所呈现出来的形状。
例如，当椭圆或双曲线在一个方向上的半径趋近于无穷大时，它们会退化成一条直线。
3. 反射定律反射定律是描述入射光线和反射光线之间关系的基本规律。
根据反射定律，入射光线、法线和反射光线三者共面，并且入射角等于反射角。
这意味着入射光线从一个介质到另一个介质发生反射时，其传播方向发生改变但仍在同一平面内。
4. 双曲面反射双曲面反射是指光线在经过双曲面后发生反射的现象。
与其他曲面不同的是，双曲面具有特殊的几何形状，导致光线在其上发生反射时产生一些独特的现象。
4.1 焦点和直径对于双曲线而言，它有两个焦点和两条直径。
焦点是指离开双曲线两个端点等距离的点，而直径则是通过焦点并且垂直于主轴的直线。
4.2 反射特性当光线从一个介质到达双曲面时，根据反射定律会发生反射。
常用的二次曲面方程及其图形
双叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
图形
标准方程
x2 y 2 1a 0，b 0 a2 b2
y2 x2 1a 0，b 0 a2 b2
F1 c， 0
焦点坐标
a, b, c
F2 c， 0
F1 0， c
F2 0，c
c 2 a 2 b 2 c a 0，c b 0
x 2 y 2 x1 x 2 y 2 2 pz1
2
3)
z1 =z 时，得到：
x2 y2 z 2 p 2 p
3、 双曲抛物面（鞍型曲面）
方程为：
x2 y2 z （p 与 q 同号） 2 p 2q
4、 双曲面
方程为： 单叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
1、 椭圆球
x 方程为： a
曲线为：
2 2
y2 z2 2 2 1 b c
-------------------（1）
1） 2）
由方程（1）可知
x2 y2 z2 1 ， 1 ， 1， b2 c2 a2
其与三个坐标平面的交线为：
x2 y2 2 1 a2 b
z=0
x2 z2 1 a2 c2
1） 当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 2 1 a2 b
2）
当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
Z= z1
z1 2 x2 y2 1 a2 b2 c2
-------------椭圆
3）
当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线
几种常见的二次曲面共36页文档
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❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
几种常见的ห้องสมุดไป่ตู้次曲面
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
常见的二次曲面
(1)
所确定的曲面称为椭球面.
用Oxy坐标平面(即z=0)截所给曲面，截痕为椭圆
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
用平行于Oxy坐标平面的平面z=h截所给曲面，截
痕为椭圆
x2 y2 h2 2 2 1 2 , a b c z h.
x y 当h=±c时，截痕为 2 2 0，即截痕缩为一 a b 点.当|h|>c时，截痕为虚椭圆，说明椭球面与平面
用Oyz坐标面截所给曲面，截痕方程为
y2 z2 2 2 1, b c x 0.
无图形.
用平面x=h截所给曲面，其截痕方程为
y 2 z 2 h2 2 2 2 1, b c a x h.
b 2 当|h|>a时，其图形为椭圆，半轴分别为 h a2 a c 2 2 和 h a ； a
方程
x2 y2 z ( p, q同号) 2 p 2q
(5)
所确定的曲面为椭圆抛物面. 若p>0，q>0.利用截痕法可作出其图形.
六、双曲抛物面
x2 y2 z ( p, q同号) 方程 2 p 2q
确定的曲面为双曲抛物面.
(6)
设p>0，q>0.
用Oxy坐标面截所给曲面，截痕为两条直线
由方程
x2 y2 z 2 2 2 1 2 a b c
(3)
所确定的曲面称为双叶双曲面.
用Oxy坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
用平面z=h截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 y2 Βιβλιοθήκη 2 2 2 1 2 , a b c z h.
几种常见的二次曲面
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
o x
y
1 单叶双曲面 x2 y2 z2 2 2 2 a b c 1 双叶双曲面
图形
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M ( x , y , z ) 的坐标也满足方程
x
M
C
o
y
M1
l
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面,所以为 柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间 表示柱面
zl 2
方程 G ( y , z ) 0 表示 柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
二、柱面
定义. 平行定方向的动直线 l沿定曲线C 移动的 产生的曲面叫做柱面, C 叫做准线, l 叫做母线. 一般地,在三维空间 方程 F ( x , y ) 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
z
y
C
l1
x
z
在 xoy 面上， 表示曲线C, 在C上任取一点 M1 ( x , y ,0) , 过此点作
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
z
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 a c y b (或 b) 3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
2 2 2
( a 0) 表示的图形称为二次曲面.
i 1 2 i
6
以下给出几例常用的二次曲面.
o x
y
1 单叶双曲面 x2 y2 z2 2 2 2 a b c 1 双叶双曲面
图形
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M ( x , y , z ) 的坐标也满足方程
x
M
C
o
y
M1
l
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面,所以为 柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间 表示柱面
zl 2
方程 G ( y , z ) 0 表示 柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
二、柱面
定义. 平行定方向的动直线 l沿定曲线C 移动的 产生的曲面叫做柱面, C 叫做准线, l 叫做母线. 一般地,在三维空间 方程 F ( x , y ) 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
z
y
C
l1
x
z
在 xoy 面上， 表示曲线C, 在C上任取一点 M1 ( x , y ,0) , 过此点作
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
z
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 a c y b (或 b) 3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
2 2 2
( a 0) 表示的图形称为二次曲面.
i 1 2 i
6
以下给出几例常用的二次曲面.
几种常用的二次曲面与空间曲线(1)
以 z 轴为中心轴的 圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面
例4：求抛物柱面 x 2y2 和平面 x z 1
的交线 三个坐标面的投影。
解：1. x 2 y2 的母线 L//z轴，则它就是交线在
xoy平面的投影柱面，因此交线在xoy面的投影曲线：
C :
x 2y2
它是xoy面上的一条抛物线。
双曲抛物面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
3、几种常用的空间曲线
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方程
x5
平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
x2 y2 9 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
几种常用的二次曲面与空间曲线
一、旋转曲面 二、柱面 三、几种常用的空间曲线
一、旋转曲面
定义1. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
下面我们重点讨论母线在坐标面,轴是坐标轴的
旋转曲面.
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
z2 c2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
二、柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
C
o M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0) , 过此点作 x
D7.5几种常见的二次曲面
高等数学
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25
( p, q同 ) 号
思考与练习
1. 指出下列方程的图形: 方 程
x =5
x +Biblioteka y =92 2平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
x2 y2 + =1 , a2 b2 z =0
高等数学
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17
x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 ( a, b, c为正数) 2 a b c
(3) 截痕:与 z = z1 ( z1 < c)的交线为椭圆:
x
2
2
a (c2 z 2 ) 1 c2
+
y
2
2
z
b (c2 z 2 ) 1 c2
z
f ( y1, z1) = 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M(x, y, z) , 则有
M(x, y, z)
C
M1 (0, y1, z1 )
z = z1,
x + y = y1
2 2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( ± x2 + y2 , z) = 0
高等数学
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12
思考: 思考:当曲线 C 绕 y 轴旋转时,方程如何?
2
2
2
x
y
1) y1 < b 时, 截痕为双曲线:
a c y = y1
高等数学
2 y1 x z 2 =1 2 2 2 2
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25
( p, q同 ) 号
思考与练习
1. 指出下列方程的图形: 方 程
x =5
x +Biblioteka y =92 2平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
x2 y2 + =1 , a2 b2 z =0
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结束
17
x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 ( a, b, c为正数) 2 a b c
(3) 截痕:与 z = z1 ( z1 < c)的交线为椭圆:
x
2
2
a (c2 z 2 ) 1 c2
+
y
2
2
z
b (c2 z 2 ) 1 c2
z
f ( y1, z1) = 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M(x, y, z) , 则有
M(x, y, z)
C
M1 (0, y1, z1 )
z = z1,
x + y = y1
2 2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( ± x2 + y2 , z) = 0
高等数学
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12
思考: 思考:当曲线 C 绕 y 轴旋转时,方程如何?
2
2
2
x
y
1) y1 < b 时, 截痕为双曲线:
a c y = y1
高等数学
2 y1 x z 2 =1 2 2 2 2
几种常见的二次曲面 曲面方程的概念
17
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕
y 轴和
z 轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
球 面
（3）抛物线
y
2
2 pz绕
z 轴；
x 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
15
三、柱面
在平面坐标系 x2 y2 1表示中心在原点的单位圆
如图 设 M( x, y, z),
z
d M1(0, y1, z1)
M F( y, z) 0
(1) z z1
（2）点 M 到 z 轴的距离
o
y
x
d x2 y2 | y1 |
将 z z1, y1 x2 y2 代入
F( y1, z1) 0
10
将 z z1, y1 x2 y2 代入 F( y1, z1) 0
F x, y2 z2 0.
12
例5.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为
的圆锥面方程.
解:在yoz面上,直线 L的方程为
z y cot
z
L
M (0, y, z)
绕 z 轴旋转时, 圆锥面的方程为
z x2 y 2 cot
y
令a cot ,两边平方 x
得方程 F x2 y2 , z 0,
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕
y 轴和
z 轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
球 面
（3）抛物线
y
2
2 pz绕
z 轴；
x 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
15
三、柱面
在平面坐标系 x2 y2 1表示中心在原点的单位圆
如图 设 M( x, y, z),
z
d M1(0, y1, z1)
M F( y, z) 0
(1) z z1
（2）点 M 到 z 轴的距离
o
y
x
d x2 y2 | y1 |
将 z z1, y1 x2 y2 代入
F( y1, z1) 0
10
将 z z1, y1 x2 y2 代入 F( y1, z1) 0
F x, y2 z2 0.
12
例5.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为
的圆锥面方程.
解:在yoz面上,直线 L的方程为
z y cot
z
L
M (0, y, z)
绕 z 轴旋转时, 圆锥面的方程为
z x2 y 2 cot
y
令a cot ,两边平方 x
得方程 F x2 y2 , z 0,
3.3常见二次曲面
解 设动点为P(x,y,z),所求的轨迹为S,由题意可得
x 12 y2 z2 1 x 4 ,
2
化简得
x2 y2 z2 1
433
,
故动点的轨迹S为一椭球面．
例2 已知椭球面的轴与坐标轴重合,且通过椭圆 x2 y2 1 ,与 9 16
点P0(1, 2, 23),求这个椭球面的方程．
和短轴,而 a,b, c 依次称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴．
(3) 范围及有界性
由曲面的方程出发,讨论x,y,z的取值范围,若均有界,则曲面
为有界曲面,否则为无界曲面.
从椭球面的方程可以看出,对于椭球面上任何一点,均有
x a, y b, z c
,
因此椭球面被完全封闭在一个长方体的内部,此长方体由6 个平面：
椭球面的参数方程
ìïïïïíïïïïî
x= y= z=
a sin j b sin j cosj ,
cos q, sin q,
( 0 ＃j p , 0 ＃q 2p ).
(3.3-6)
由(3.3-6)消去参数 θ 和 即得椭球面的标准方程(3.3-1)．
例1 设动点与点(1,0,0)的距离等于从这点到平面x=4的距离的一 半,试求此动点的轨迹．
x a , y b , z c
围成,这6个平面都与椭球面相切,切点就是椭球面的6个 顶点．由此可知,椭球面是一个有界曲面.
3) 椭球面的图形(形状)
(1) 平行截割法 为了解曲面的大致形状,考虑曲面与一族平行平面的交线,
这些交线都是平面曲线.如果知道了这些平面曲线的形状和变 化趋势,那么曲面的大致形状也就知道了.这种方法称为平行截 割法或等值线法．
几种常见的二次曲面
2、练习题: 下列方程在平面、空间直角坐标系中各表示什么图形，并画出其草图。
) x
z
o y
x
x2
2020年5月13日星期三
) y x
z
o
x
y
y x1
6
) x z
z
x2 y2 4
o y
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、锥面
z
椭圆锥面：
x2 y2 z2 a2 b2 c2 0
y o x
曲面与平面 z = t 相交，得截痕为不同高度、不同大小的椭圆：
x2 y2 z2 a2 b2 a2 1
④ 当 c=b 时，此时为旋转曲面
x2 a2
y2 c2
z2 c2
1
2020年5月13日星期三
17
六、双曲面
1、单叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
z
x
当 a=b 时为旋转单叶双曲面。
2020年5月13日星期三
18
o y
x2 y2 z2 a2 b2 c2 k
叫做柱面。
动直线L叫做柱面的母线，
L
定曲线C叫做柱面的准线。
2020年5月13日星期三
C
3
1）一般地，只含 x, y 而缺 z 的方程 F(x, y)=0在空间直角坐标系中表 示母线平行于 z 轴的柱面，其准线为 xoy 面上的曲线
F(x, y)
例1、 x y 表示R怎样的曲面？
解： 母线平行于 z 轴，准线为 xoy 面上的
点M到 z 轴的距离
d x y y , 将z z1,
y x y 代入 f ( y, z) 得 f ( x y , z)
z
) x
z
o y
x
x2
2020年5月13日星期三
) y x
z
o
x
y
y x1
6
) x z
z
x2 y2 4
o y
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、锥面
z
椭圆锥面：
x2 y2 z2 a2 b2 c2 0
y o x
曲面与平面 z = t 相交，得截痕为不同高度、不同大小的椭圆：
x2 y2 z2 a2 b2 a2 1
④ 当 c=b 时，此时为旋转曲面
x2 a2
y2 c2
z2 c2
1
2020年5月13日星期三
17
六、双曲面
1、单叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
z
x
当 a=b 时为旋转单叶双曲面。
2020年5月13日星期三
18
o y
x2 y2 z2 a2 b2 c2 k
叫做柱面。
动直线L叫做柱面的母线，
L
定曲线C叫做柱面的准线。
2020年5月13日星期三
C
3
1）一般地，只含 x, y 而缺 z 的方程 F(x, y)=0在空间直角坐标系中表 示母线平行于 z 轴的柱面，其准线为 xoy 面上的曲线
F(x, y)
例1、 x y 表示R怎样的曲面？
解： 母线平行于 z 轴，准线为 xoy 面上的
点M到 z 轴的距离
d x y y , 将z z1,
y x y 代入 f ( y, z) 得 f ( x y , z)
z
二次曲面
四、二次曲面 1. 定义: 由x, y, z的二次方程: ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0 所表示的曲面, 称为二次曲面. 其中a, b, …, i, j 为 常数. 研究方法是采用平面截痕法.
2. 几种常见二次曲面.
x z2 (1) 椭球面 2 + 2 + 2 = 1 a b C
y
3° 类似地, 依次用平面x = 0,平面y = 0截割, 得椭圆:
y2 z2 2 + 2 =1 , b c x =0
x 2 z 2 + a c y = 0
2 2
=1
.
特别: 当a=b=c时, 方程x2 + y2 + z2 = a2 , 表示 球心在原点o, 半径为a的球面.
2
z
y2
O 1° 用平面z = 0去截割, 得椭圆 o 2 x2 y 2 + 2 =1 x a b z =0 2° 用平面z = k去截割(要求 |k | ≤ c), 得椭圆 x2 y2 k2 2 + 2 = 1− 2 a b c z = k 当 |k | ≤ c 时, |k |越大, 椭圆越小; 当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.
3° 类似地，用平面 x = k 去截割, 截线是抛物线.
k 2 y2 2 + 2 =z a b x = k
当k = 0 时 , 为 z =
y b
2 2
.
x (2) 椭圆抛物面: 2 + 2 = z a b
2
y2
z
2. 几种常见二次曲面.
x z2 (1) 椭球面 2 + 2 + 2 = 1 a b C
y
3° 类似地, 依次用平面x = 0,平面y = 0截割, 得椭圆:
y2 z2 2 + 2 =1 , b c x =0
x 2 z 2 + a c y = 0
2 2
=1
.
特别: 当a=b=c时, 方程x2 + y2 + z2 = a2 , 表示 球心在原点o, 半径为a的球面.
2
z
y2
O 1° 用平面z = 0去截割, 得椭圆 o 2 x2 y 2 + 2 =1 x a b z =0 2° 用平面z = k去截割(要求 |k | ≤ c), 得椭圆 x2 y2 k2 2 + 2 = 1− 2 a b c z = k 当 |k | ≤ c 时, |k |越大, 椭圆越小; 当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.
3° 类似地，用平面 x = k 去截割, 截线是抛物线.
k 2 y2 2 + 2 =z a b x = k
当k = 0 时 , 为 z =
y b
2 2
.
x (2) 椭圆抛物面: 2 + 2 = z a b
2
y2
z
7.常见的二次曲面
z
2 2 2
o x
y
2
由于椭球面方程只含 x , y, z的平方项， 因此，椭球面关于原点 、坐标面、坐标轴 都是对称的，原点是椭 球面的中心.
(1)范围：
x a,
y b,
z c,
y b, z c
椭球面包含在由平面x a ,
围成的长方体内. 因此椭球面是有界曲面.
§7 常见的二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面. 我们将用坐标面和平行于坐标面的平面与二次 曲面相截，考察其截痕的形状和性质，从而了 解二次曲面的图形，这种方法称为截痕法.
1
一、椭球面
x y z 方程 2 2 2 1 (a 0, b 0, c 0) a b c 表示的曲面叫做椭 球 面.
6
x2 y2 z2 2 2 1. 2 a b c
z
如果 a b, 椭球面是由 y2 z2 平面上的椭圆 2 2 1 绕 x b c z 轴旋转而成的, 叫做旋 转 椭球面.
o
y
如果 a b c, 则 x y z a , 此时
2 2 2 2
方程表示一个球面 .
(1)
用平面x x0 去截曲面（ 1 ），得
2 x0 这是x x0面上的抛物线.顶点在 x ， 0 ， ， 0 2 p 对称轴平行于z轴，开口朝下.
27
x y z 2 p 2q
图形如下：
2
2
设 p 0, q 0
z
y
o
x
28
2 2
当z变动时，这种椭圆的中心都 在z轴上. 与平面 z z1 ( z1 0) 不相交.
x
o
2 2 2
o x
y
2
由于椭球面方程只含 x , y, z的平方项， 因此，椭球面关于原点 、坐标面、坐标轴 都是对称的，原点是椭 球面的中心.
(1)范围：
x a,
y b,
z c,
y b, z c
椭球面包含在由平面x a ,
围成的长方体内. 因此椭球面是有界曲面.
§7 常见的二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面. 我们将用坐标面和平行于坐标面的平面与二次 曲面相截，考察其截痕的形状和性质，从而了 解二次曲面的图形，这种方法称为截痕法.
1
一、椭球面
x y z 方程 2 2 2 1 (a 0, b 0, c 0) a b c 表示的曲面叫做椭 球 面.
6
x2 y2 z2 2 2 1. 2 a b c
z
如果 a b, 椭球面是由 y2 z2 平面上的椭圆 2 2 1 绕 x b c z 轴旋转而成的, 叫做旋 转 椭球面.
o
y
如果 a b c, 则 x y z a , 此时
2 2 2 2
方程表示一个球面 .
(1)
用平面x x0 去截曲面（ 1 ），得
2 x0 这是x x0面上的抛物线.顶点在 x ， 0 ， ， 0 2 p 对称轴平行于z轴，开口朝下.
27
x y z 2 p 2q
图形如下：
2
2
设 p 0, q 0
z
y
o
x
28
2 2
当z变动时，这种椭圆的中心都 在z轴上. 与平面 z z1 ( z1 0) 不相交.
x
o
直纹二次曲面在现实生活中的应用分析
直纹二次曲面在现实生活中的应用分析
直纹二次曲面是一种几何形状，它是由一条直线和一个二次曲线组成的。
它在现实生活中
有着广泛的应用，下面我们就来分析一下它在现实生活中的应用。
首先，直纹二次曲面可以用于制造汽车轮胎。
汽车轮胎的表面是由一条直线和一个二次曲线组成的，这就是直纹二次曲面。
这种几何形状可以使轮胎更加耐磨，更加耐用，从而提高汽车的安全性。
其次，直纹二次曲面也可以用于制造飞机机翼。
飞机机翼的表面也是由一条直线和一个二
次曲线组成的，这也是直纹二次曲面。
这种几何形状可以使飞机机翼更加稳定，更加耐用，从而提高飞机的安全性。
此外，直纹二次曲面还可以用于制造建筑物的外墙。
建筑物的外墙也是由一条直线和一个
二次曲线组成的，这也是直纹二次曲面。
这种几何形状可以使建筑物的外墙更加坚固，更
加耐用，从而提高建筑物的安全性。
总之，直纹二次曲面在现实生活中有着广泛的应用，它可以用于制造汽车轮胎、飞机机翼和建筑物的外墙，从而提高汽车、飞机和建筑物的安全性。
二次曲面应用案例
二次曲面应用案例
二次曲面是在三维空间中由二次方程定义的曲面。
它们在许多领域都有广泛的应用，下面列举几个常见的案例。
1. 光学设计：二次曲面在光学系统中被广泛应用，例如透镜、反射镜等。
通过合理设计二次曲面的曲率和位置，可以实现对光线的聚焦、分散、成像等功能。
这在相机、望远镜、显微镜等光学设备中都有重要的应用。
2. 机械工程：二次曲面在机械设计中也有广泛的应用。
例如，在汽车制造中，车身的曲面设计往往采用二次曲面来提高空气动力学性能。
在航空航天领域，飞行器的外形设计也通常采用二次曲面以提高飞行性能。
3. 数学建模：二次曲面在数学建模中具有重要的作用。
例如，在物理学中，二次曲面可以用来描述物体的形状、运动轨迹等。
在经济学中，二次曲面可以用来建立供需曲线、收益函数等模型。
4. 地质勘探：地球科学中的地质勘探也使用了二次曲面。
例如，在地震勘探中，地球内部的地层结构可以通过分析地震波在地下传播的路径来推断。
而地震波的传播路径往往可以用二次曲面来描述。
这些只是二次曲面在各个领域中的一些应用案例，实际上二次曲面在许多其他领域中也有着广泛的应用。
通过合理地利用二次曲面的性质和特点，可以有效地解决各种实际问题。
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截痕法所得结果：
平 面 截 痕
xoy面及其平行平面 yoz面及其平行平面 zox面及其平行平面
一点或椭圆 一点或椭圆 一点或椭圆
二、抛物面 1、椭圆抛物面
方程
x2 y2 2 z 2 a b
截痕法所得结果：
平 面 截 痕
xoy面及其平行平面 yoz面及其平行平面 zox面及其平行平面
一点或椭圆 抛物线 抛物线
•
你知道吗？
• 在数学史上，除公认的笛 卡尔以外，和笛卡尔同时 代的法国业余数学家费马 也是解析几何的创建者之 一。 • 费尔马是一个业余从事数 学研究的学者，对数论、 解析几何、概率论三个方 面都有重要贡献。
• 费马(Pierre de Fermat， 1601～1665）法国著 名数学家
名师大贡献
2、双曲抛物面 2 2 x y 2 z 方程 2 a b
截痕法所得结果：
平 面 截 痕
xoy面及其平行平面 yoz面及其平行平面 zox面及其平行平面
两条直线或双曲线 抛物线 抛物线
三、双曲面 1、单叶双曲面
x2 y2 z2 方程 2 2 1 2 a b c
截痕法所得结果：
平 面 截 痕
• 2、双曲抛物面：
x2 y 2 2 z 2 a b
• 以下两个建筑你能说 出它们所包含的曲面 类型吗？
生活中的双曲面
• 1、单叶双曲面：
x2 y2 z2 1 a 2 b2 c2
• 2、双叶双曲面：
x2 y 2 z 2 2 2 2 1 a b c
• 看到这两个图形你能 想到什么？
• 2、椭圆锥面：
x2 y 2 z 2 0 a 2 b2 c 2
• 吃过吧！
生活中的球面
• 1、球面：
x2 y 2 z 2 a 2
• 2、椭球面：
x2 y 2 z 2 1 a 2 b2 c2
• 玩过吗？:-）
生活中的抛物面
• 1、椭圆抛物面：
x2 y 2 2 z 2 a b
xoy面及其平行平面 yoz面及其平行平面 zox面及其平行平面
椭圆 双曲线 双曲线
2、双叶双曲面
x2 y2 z2 方程 2 2 2 1 a b c
截痕法所得结果：
平 面 截 痕
xoy面及其平行平面 yoz面及其平行平面 zox面及其平行平面
一点或椭圆 双曲线 双曲线
你有没有发现？
世一 事 的 行 一 个 次 生 界直 物 世 色 架 茶 曲 活 里生 ， 界 色 飞 杯 面 中 。活 你 ， 的 机 ； ， 还 在会留曲、大小有 奇发心面一到到各 幻现身构座一一式 的原边成建辆支各 曲来的了筑轿笔项 面我每多。车、的 的们个彩行、一二 •
生活中的二次曲面
组员：
大知识小背景
• 十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对 几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿 着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略 发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这 些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几 何的出现。 在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、 旋转曲面。椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中被广泛应用。 比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门 在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电 望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。
截痕法研究二次曲面
截痕法：通过研究坐标面或其平行平面与二次曲面
相截，考察其交线（即截痕）的形状，然
后加以综合，得出曲面全ห้องสมุดไป่ตู้的方法。
下面看一下几种特殊二次曲面与坐标平面相截所得截 痕。
一、椭球面
方程
x2 y 2 z 2 2 2 1 (a 0, b 0, c 0) 2 a b c
•
•
•
•
生活中的柱面
• 1、圆柱面：
x2 y 2 a2
• 2、椭圆柱面：
x2 2 py 0
• 3、双曲柱面：
x2 y2 1 a 2 b2
• 4、抛物柱面：
x2 y2 2 1 a2 b
生活中的锥面
• 1、圆锥面：
x2 y 2 z 2 2 2 0 2 a a c
• 1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼 奥斯失传的《平面轨迹》一书。他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一 些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论 进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰写了仅有 八页的论文《平面与立体轨迹引论》。 费马于1636年与当时的大数学家梅森、罗贝瓦尔开始通信，对自己的 数学工作略有言及。但是《平面与立体轨迹引论》的出版是在费马去世14年 以后的事，因而1679年以前，很少有人了解到费马的工作，而现在看来，费 马的工作却是开创性的。 《平面与立体轨迹引论》中道出了费马的发现。他指出：“两个未知 量决定的—个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。”费 马的发现比勒奈· 笛卡儿发现解析几何的基本原理还早七年。费马在书中还对 一般直线和圆的方程、以及关于双曲线、椭圆、抛物线进行了讨论。 笛卡儿是从一个轨迹来寻找它的方程的，而费马则是从方程出发来研 究轨迹的，这正是解析几何基本原则的两个相对的方面。 在1643年的一封信里，费马也谈到了他的解析几何思想。他谈到了柱 面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面，指出：含有三个未知量的方程表示 一个曲面，并对此做了进一步地研究