人教版初中数学九年级下册比例式、等积式的常见证明方法PPT课件

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相似三角形复习——比例式等积式的几种常见证明方法PPT课件

P
利用等积式代换
G
C
D
A
E
B
第4页/共13页
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D F
C E
A
B
BE2=EA·E
C
A
B D
E C
F
P AC:AB=AD:BD
G
C
D
A
B
E
EC2=EA·EB
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C
A
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B
在这一个图形中,有两个垂直,有
____对相似,三有___对互余的角,有
_分四__别__是组对应成比例的线段,五它们
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1.通过本节课的学习，你有什么收获？还有什么困惑吗？
2.你对自己本节课的表现满意吗？为什么？
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作业纸
老师寄语:若希望成功,当以恒心为良友,以经验为参谋,以信心为光荣, 以希望为哨兵。
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再见
欢迎多提宝贵意见
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感谢您的观看！
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1.已知:如图, ∠ACB=90°,AD=DB,DE⊥AB 于D交AC于E,交BC的延长线于F,试说明: DC2=DE·DF
利用相似
A
三角形的
性质
D E
F
C
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2. 如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD, AB⊥BC,对角线AC⊥BD,垂足为E,AD=BD, 过点E作EF∥AB交AD于F, 试说明（1）AF=BE （2） AF2=AE·EC
利用等线段代换
D F

C E
A
B
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3.已知,如图,在△ABC中, ∠BAC=90°, AD⊥BC,垂足为D,E是AC的中点,ED的延长线交AB的延长线于点F. 试说明:AB：AC=DF：AF

九年级数学下册第二十七章专题：比例式、等积式的3种证明方法

(2)EF·CG＝DF·BG. 证明：在△AEF 和△ABG 中， ∠AED＝∠B，∠EAF＝∠BAG， ∴△A E F∽△A B G.∴BEGF ＝AAGF . 由(1)知△A DF ∽△A CG.∴DCGF＝AAGF .
∴E F ＝DF .∴E F ·CG＝DF ·B G.
BG CG
∴△A B F ∽△CB E .∴AB BC＝ACFE .
◆类型二等线段代换法 2．【2022 新课标·综合性】如图，AB 为⊙O 的直径， BC，CD 均为⊙O 的切线，射线 CD 交 BA 的延长线于点 E，连接 AD，BD，OC.求证：ED·CD＝OB·BE.
证明：如图，连接 DO， ∵BC，CE 为⊙O 的切线， ∴∠E DO＝∠E B C＝90°，B C＝CD.
又∵∠E ＝∠E ，
∴△E OD∽△E CB . ∴EBDE ＝OBCD. ∴E D·B C＝OD·B E . ∵OD＝OB ，B C＝CD，∴E D·CD＝OB ·B E .
◆类型三等比(或等积)代换法 3．如图，已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 在边 BC 上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F 分别是垂足，连接 E F.求证：AF ·A D＝A E ·A B . 证明：∵∠A CB ＝90°，CF ⊥A D， ∴∠A CD＝∠A F C.又∠CA D＝∠FA C， ∴△A CD∽△A F C.∴A C＝A D.∴A C2＝A F ·A D.同理可
AF AC 证△ACE∽△ABC，∴AC＝AE，即 AC2＝AE·AB.
AB AC ∴A F图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上， ∠AED＝∠B，AG 分别交线段 DE，BC 于点 F，G，且 A D∶A C＝DF ∶CG.求证： (1)AG 平分∠BAC；证明：∵∠DA E ＋∠A E D＋∠A DE ＝180°， ∠B A C＋∠B ＋∠C＝180°，∠A E D＝∠B ， ∴∠ADE＝∠C.在△ADF 和△ACG 中， A D∶A C＝DF ∶CG，∠A DE ＝∠C， ∴△ADF∽△ACG.∴∠DAF＝∠CAG.∴AG 平分∠BAC.

人教版九年级数学下册类比归纳专题比例式、等积式的常见证明方法

人教版九年级数学试题类比归纳专题：比例式、等积式的常见证明方法——直接法、间接法一网搜罗◆类型一三点定型法：找线段对应的三角形，利用相似证明1．如图，在菱形ABCD 中，G 是BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点F ，交AD 于点E ，连接AG .(1)求证：AG ＝CG ； (2)求证：AG 2＝GE ·GF .2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F .(1)若FD ＝2FB ，求FDFC的值；(2)若AC ＝215，BC ＝15，求S △FDC 的值．◆类型二利用等线段代换3．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB .求证：ABAE ＝AC AD.◆类型三找中间比利用等积式代换4．如图，已知CE 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP ，垂足为G ，交CE 于D ，求证：CE 2＝PE ·DE .参考答案与解析1．证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ，∴∠F ＝∠FCD .在△ADG 与△CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，DG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG ，∴∠EAG ＝∠DCG ，AG ＝CG .(2)∵∠EAG ＝∠DCG ，∠F ＝∠DCG ，∴∠EAG ＝∠F .又∵∠AGE ＝∠FGA ，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EGAG，∴AG 2＝GE ·GF .2．解：(1)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ABC ＝∠DCB ＋∠ABC ，∴∠A ＝∠DCB .∵E 是AC 的中点，∠ADC ＝90°，∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠EDA .∵∠BDF ＝∠EDA ，∴∠DCB ＝∠BDF .又∵∠F ＝∠F ，∴△BDF ∽△DCF ，∴FD ∶CF ＝BF ∶FD ＝1∶2.(2)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠BDC ＝∠ACB .∵∠ABC ＝∠CBD ，∴△BDC ∽△BCA ，∴BD ∶CD ＝BC ∶AC ＝15∶215＝1∶2.在Rt △BAC 中，由勾股定理可得AB ＝53，∴S △BDC S △BCA ＝BC 2AB 2＝15，∴S △BDC ＝15×12×215×15＝3.∵△BDF ∽△DCF ，∴S △FBD S △FDC ＝⎝⎛⎭⎫BD CD 2＝14，即S △BDC S △FDC ＝34.∵S △BDC ＝3，∴S △FDC ＝4. 3．证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ABE ＝∠ACB .又∵∠BAE ＝∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴AB AE ＝AC AB .又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝ACAD.4．证明：∵∠ACB ＝90°，CE ⊥AB ，∴∠ACE ＋∠BCE ＝90°，∠ACE ＋∠CAE ＝90°，∴∠CAE ＝∠BCE ，∴Rt △ACE ∽Rt △CBE ，∴CE BE ＝AECE，∴CE 2＝AE ·BE .又∵BG ⊥AP ，CE ⊥AB ，∴∠DEB ＝∠DGP ＝∠PEA ＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠P ＝∠3，∴△AEP ∽△DEB ，∴PE BE ＝AEDE，∴PE ·DE ＝AE ·BE ，∴CE 2＝PE ·DE .习题试解预习法检验预习效果的最佳途径数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。

15.比例式、等积式的常见证明方法

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附赠中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
采青春风
高考总分： 692分(含20分加分) 语文131分数学145分英语141分文综255分毕业学校：北京二中报考高校：北京大学光华管理学院
北京市文科状元
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。‚何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。‛ 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 ‚她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。‛吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。‚她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区
∴
∵AD⊥BC，E为直角边AC中点 ∴DE＝EC ∴∠3＝∠C 又∵∠3＝∠2，∠1＝∠C ∴∠1＝∠2 而∠F是△FBD与△FDA的公共角 ∴△FBD∽△FDA
DF BD AF AD AB DF ∴ AC AF
∴
AB BD AC AD
∴AB· AF＝AC· DF.
方法总结证明线段比例式或等积式时，如果按类型一、类型二的方法仍无法证明，可以尝试将等积式化为比例式，结合图形找到能够与比例式中的两个比分别相等的中间比，从而证明所求证的结果成立.
C
∴∠B＝∠1

证比例式或等积式的七种技巧课件人教版九年级数学下册

又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°， ∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP. ∴CBNP＝BCMP ，助线构造出 △BPM 和 △CNP ，将要证
的四条线段转化在这两个三角形中，利用已知条件证两三角形相似，从而得出结论．
5.如图，在 Rt△ABC 中，AD 是斜边 BC 上的高，∠ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F.求证：BBFE＝ABBC.
【证明】由题意得∠BDF＝∠BAE＝90°. ∵BE 平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABE. ∴△BDF∽△ BAE.∴BADB＝BBFE. ∵∠BAC＝∠BDA＝90°，∠ABC＝∠DBA， ∴△ABC∽△ DBA．∴ABBC＝BADB.∴BBFE＝ABBC.
1.三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．已知：如图，在△ABC 中，AD 是角平分线．求证：AABC＝BDDC.
【证明】如图，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E.∴∠1＝∠E，∠2＝∠3. ∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠1＝∠2.∴∠3＝∠E.∴AC＝AE. ∵AD∥CE，∴AABE＝BDDC，∴AABC＝BDDC.
3.如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点， AP 的垂直平分线分别交 AB ， AC 于点 M ， N. 求证： BP·CP＝BM·CN.
【证明】如图，连接PM，PN. ∵MN是AP的垂直平分线， ∴MA＝MP，NA＝NP. ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 又∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°. ∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.
4.如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB．试判断ADDB＝BFFC 是否成立，并说明理由．

人教版初中数学九下小专题(七) 比例式、等积式的三种证明方法

AD于点E ，连接AG. （1）求证：AG＝CG；
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先锋图书（2）求证：AG2＝GE·GF.
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先锋图书方法二等线段代换法 3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，点E在对角线AC上，且满足∠ADE＝
∠BAC. （1）求证：CD·AE＝DE·BC；
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先锋图书（2）以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交边BC于点F，连接AF.求证：AF2＝ CE·CA.
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先锋图书方法三找中间比利用等积式代换法 4.如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，
作BG⊥AP，垂足为G，交CE于点D.求证：CE2＝PE·DE.
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先锋图书
（2）求证：BG·CG＝GF·GH. 证明：（2）同（1）中的方法，同理可证：△BGH∽△FGC， ∴BG∶GF＝GH∶CG，∴BG·CG＝GF·GH.
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先锋图书 2.如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点.连接CG并延长，交BA的延长线于点F，交
先锋图书
小专题（七）比例式、等积式的三种证明方法
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方法一三点定型法 1.如图，BD，CE分别是△ABC的两边上的高，过点D作DG⊥BC于点G，分别交CE
及BA的延长线于点F，H. （1）求证：DG2＝BG·CG；
证明：（1）∵BD⊥AC，DG⊥BC， ∴∠BDC＝∠DGC＝90°， ∴∠DBC＋∠DCG＝∠GDC＋∠DCG， ∴∠GDC＝∠DBC， ∴△BGD∽△DGC， ∴BG∶DG＝DG∶CG，即DG2＝BG·CG.

九年级下册数学(人教)课件：专题训练比例式、等积式的证明

二、等线段代换法 4．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交 AD于F，∠ECA＝∠D.求证：AC·BE＝CE·AD.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴BC＝AD，CD∥AB，AD∥ BC，∴∠D＝∠DAE＝∠B，∵∠ECA＝∠D∴∠ECA＝∠B，又∵∠E ＝∠E，∴△EAC∽△ECB，∴ABCC＝CBEE，∴AC·BE＝CE·BC，∴AC·BE ＝CE·AD
三、找中间比 7．如图，在△ABC 中，∠A＝90°，AD⊥BC 于 D，E 为直角边 AC 的中点，过 D，E 作直线交 AB 的延长线于 F.求证：AB·AF＝AC·DF.
解：先证△CBA∽△ABD，得AABC＝ABDD①，再证△DBF∽△ADF，得ABDD ＝DAFF②，由①②得AABC＝DAFF，∴AB·AF＝DF·AC
五、等积代换法 9．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F.求证：AAEF＝AACB.
解：证△ADE∽△ABD 得 AD2＝AE·AB，同理可得 AD2＝AF·AC，∴ AE·AB＝AF·AC，∴AAEF＝AACB
专题训练比例式、等积式的证明
一、三点定型法 1．如图，在▱ABCD 中，E 是 AB 延长线上的一点，DE 交 BC 于 F. 求证：DACE＝ACDF .
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AE∥DC，∠A＝∠C，∴∠ CDF＝∠E，∴△DAE∽△FCD，∴DACE＝ACDF
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC 交CA的延长线于D，交AB于E.求证：AM2＝MD·ME.
四、两次相似问题 8．如图，在▱ABCD 中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为 M，N. (1)求证：△AMB∽△AND； (2)求证：AAMB ＝MACN.

秋人教版九年级数学下册(湖北专版)习题讲评课件：专题：比例式、等积式的证明方法(共16张PPT)

•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/192021/9/19Sunday, September 19, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 7:13:00 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/192021/9/192021/9/19Sep-2119-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/192021/9/192021/9/19Sunday, September 19, 2021
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/192021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月19日星期日2021/9/192021/9/192021/9/19 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/192021/9/19September 19, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/192021/9/192021/9/192021/9/19

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A
F E
P
B
D
C
如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F.求证：BP2＝PE·PF.
证明：连接PC
A
∵AB＝AC，AD是中线
∴AD垂直平分BC
F ∴BP＝CP
E
∴∠1＝∠2
P
3
4
∵AB＝AC
1
2
B
D
C
∴∠1+∠3＝∠2＋∠4
∴∠3＝∠4
典例精解
类型三：找中间比利用等积式代换
如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90 °，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
A
1
E
B
32DCF Nhomakorabea如图，在△ABC中，已知∠A＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
比例式、等积式的证明是初中几何非常常见的题型，同时也是令许多学生头疼的一种题型，特别是在一些图形复杂、线段较多的题目中，往往令人眼花瞭乱无从下手.
等积式的证明有没有技巧呢？其实只要我们冷静分析，我们将会发现许多等积式的证明也是有规律可循的。
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A
1
E
B
3
2D
C
F
证明：∵∠A＝90°，AD⊥BC ∴∠1＝∠C＝90°－∠ABC 而∠BDA＝∠ADC ＝90° ∴△ABD∽△CAD
∴ AB BD AC AD
∵AD⊥BC，E为直角边AC中点 ∴DE＝EC ∴∠3＝∠C 又∵∠3＝∠2，∠1＝∠C ∴∠1＝∠2 而∠F是△FBD与△FDA的公共角 ∴△FBD∽△FDA
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方法总结
证明线段比例式或等积式时，通常先找所涉及的线段位于哪两个三角形中，再证明所属的两个三角形相似。
典例精解
类型二：利用等线段代换如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F.求证：BP2＝PE·PF.
∴∠4＝∠F 而 ∠ CPE 是 △ CPE 和
△FPC的公共角 ∴△CPE∽△FPC ∴PE∶PC＝PC∶PF ∴PC2＝PE·PF ∴BP2＝PE·PF
∵CF∥AB
∴∠3＝∠F
方法总结
运用类型一的方法证明线段的比例式或等积式时，如果相关的线段不在某两个三角形中，则需要将其中的某条线段用与之相等的另一条线段替换，再按类型一的方法证明.
∴ DF BD AF AD
∴ AB DF AC AF
∴AB·AF＝AC·DF.
方法总结
证明线段比例式或等积式时，如果按类型一、类型二的方法仍无法证明，可以尝试将等积式化为比例式，结合图形找到能够与比例式中的两个比分别相等的中间比，从而证明所求证的结果成立.