常用近似公式

P (n) n
(0)

f (n) (0).
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§2. 泰勒公式
为确定系数a0 , a1, , an , 对Pn (x)逐次求导，直到n阶, 并令x 0，得
Pn (0) a0 f (0), Pn(0) a1 f (0),
Pn(0) 2!a2 f (0), , Pn(n) (0) n!an f (n) (0).
§2. 泰勒公式
例4. 多次测量一根圆钢, 测得其直径的平均值为D＝50毫米， 绝对误差不超过0.05毫米. 试计算其截面积, 并估计其误
差. 解： 圆面积 S D2, 截面积为
4
S (50)2 1962.5 毫 米2 ,
4
S的绝对误差：
S | D D | 50 0.05 3.925 毫米2,
2
2
相对误差：
S
S

D D
2
D2
1 0.2% 500
4
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二、Taylor 公式 简单函数
§2. 泰勒公式
近似 多项式 表示
复杂的函数
考虑 y f (x)，当| x | 充分小时，有
f (x) f (0) f (0)x o(x), 从而 f (x) f (0) f (0)x.
例如：设计一根轴长度120毫米，加工后量得120.03毫米， 误差为 |120 120.03| 0.03 毫米.
设计一个键销长度12毫米，加工后量得12.03毫米， 误差为 |12 12.03| 0.03 毫米.
称这种误差为绝对误差，表明了一个量与它的近似值之间 的差值，反映了某种近似程度.
f (x0 ) f (x0 )( x x0 ).
当x0 0且 | x | 充分小时，有 f (x) f (0) f (0)x.
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§2. 泰勒公式
例1. 如图，加工圆锥台时计算刀架应取角 .
D1 D2
解：tan 2 D1 D2 .

)
6
6 180
1 3 0.4849 .
2 2 180
查表得 0.4848
3
131
3
53
6
3
53
(1
6 53
)
53
1
6 53
16 5(1 3 53 ) 5.08
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§2. 泰勒公式
2.误差估计
——是估计近似值与精确值的差
即
a0 f (0),
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§2. 泰勒公式
上例中，尽管他们的绝对误差相等，但明显地，轴长 （120毫米）的精度要比键销（12毫米）的精度高。可见， 一个量的近似精度依赖于其绝对误差和这个量本身的大小， 故需计算绝对误差占总长度的百分比. 例如：
轴： 键销：
0.03 100% 0.025%, 120.03
即一次多项式 P1(x) f (0) f (0)x 是f (x)在x 0点的 一阶近似. P1(0) f (0), P1'(0) f (0).
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§2. 泰勒公式
为提高近似精度，可用二次多项式
f (x) P2 (x) a0 a1x a2 x2 , （二阶近似）
§2. 泰勒公式
设x x0 x，x x x0，则有 f (x) f (x0 ) f (x0 )( x x0 ), （| x x0 | 充分小）.
这就是利用导数作近似计算的公式. 它表明，当 x与x0充分接近时，可以用切线 y f (x0 ) f (x0 )( x x0 ) 近似地代替曲线y f (x). 即曲线y f (x)在x的纵坐标 f (x)近似等于其在(x0 , f (x0 ))的切线在x的纵坐标
s
2s
D2
因 一般相当小，故
D1

s
tan tan 0 1 ，即 tan .
cos2 0
于是 tan D1 D2 （弧度）,
2s
1弧度 57.3.
从而 57.3 D1 D2 28.6 D1 D2 （角度）.
2s
s
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§2. 泰勒公式
例2. 开方的近似计算. 设y f (x) 1 x，若| x | 很小，则 1 x 1 1 x. 2
常用近似公式（ | x | 充分小）：
sin x x, tan x x,
n 1 x 1 x , n
1 1 x, 1 x
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ex 1 x. ln(1 x) x.
§2. 泰勒公式
例3. 计算 sin 29, 3 131 的近似值.
解：பைடு நூலகம்sin 29 sin(30 1)
sin( )
6 180
x 29，x0 30，
x

x0

1

.
180

sin


(c

os
) (
对于函数y f (x)，若由x计算y时，x有误差x，则
由此算出的y值有绝对误差
| y || f (x x) f (x) | | f (x)x |,（当| x | 很小时）
和相对误差
y | f (x)x | 100%.
y
| f (x) |
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0.03 100% 0.25%, 12.03
称这样的百分比为相对误差. 显然，轴长精度比键销 长的精度高得多. 一般地，有定义：
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§2. 泰勒公式
Def : 若一个量A的近似值是a，则 | A a | 叫做绝对误差，而 100% 叫做相对误差.
a
且 P2 (0) f (0), P2(0) f (0), P2(0) f (0).
一般地，可用 n 次多项式
f (x) Pn (x) a0 a1x a2 x2 an xn , （n阶近似）
且
Pn (0)
f (0),
Pn(0)
f (0), ,