常用近似公式
定积分的近似计算方法
定积分的近似计算方法定积分近似计算方法指的是利用数值计算方法来估算给定函数在一定区间上的积分值。
这些方法常常用于当函数在该区间内无法求得解析式时，或者解析式难以求得的情况下。
下面将介绍常用的数值积分近似计算方法。
一、矩形法矩形法即将积分区间等分为若干小区间，然后在每个小区间中选择一个代表点，将函数在该点的函数值作为近似积分的值。
具体可以分为左矩形法、右矩形法和中矩形法。
1.左矩形法左矩形法即取每个小区间的左端点作为代表点，近似积分的值为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Δx * [f(a) +f(a+Δx) + … + f(a+(n-1)Δx)]其中，Δx=(b-a)/n，n为区间的等分数。
2.右矩形法右矩形法即取每个小区间的右端点作为代表点，近似积分的值为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Δx * [f(a+Δx) + f(a+2Δx) + … +f(a+nΔx)]其中，Δx=(b-a)/n，n为区间的等分数。
3.中矩形法中矩形法即取每个小区间的中点作为代表点，近似积分的值为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Δx * [f(a+Δx/2) + f(a+3Δx/2) + … +f(a+(2n-1)Δx/2)]其中，Δx=(b-a)/n，n为区间的等分数。
二、梯形法梯形法是通过将积分区间上的曲线拟合为多个梯形来近似计算定积分的方法。
将积分区间[a,b]等分为n个小区间，然后在每个小区间上用两个端点处的函数值拟合成一个梯形，然后将这些梯形的面积加起来即可得到近似的定积分的值。
具体计算公式为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Δx/2 * [f(a) + 2f(a+Δx) + 2f(a+2Δx)+ … + 2f(a+(n-1)Δx) + f(b)]其中，Δx=(b-a)/n，n为区间的等分数。
三、辛普森法辛普森法是通过将积分区间上的曲线拟合为多个二次多项式的方法。
将积分区间[a,b]等分为n个小区间，每两个相邻区间拟合成一个二次多项式。
常用的七个近似计算公式
常用的七个近似计算公式在日常生活和工作中，我们经常需要进行一些近似计算。
这些计算可以帮助我们快速估算一些数据，提高工作效率。
下面介绍七个常用的近似计算公式，希望对大家有所帮助。
一、圆周率的近似值。
圆周率是数学中一个重要的常数，通常用希腊字母π表示。
它的精确值是一个无限不循环小数，但在实际计算中，我们通常使用3.14作为圆周率的近似值。
这个近似值已经足够精确，可以满足大部分计算的需求。
二、平方根的近似值。
平方根是一个常见的数学运算，它表示一个数的平方根。
在实际计算中，我们通常使用以下近似值来计算平方根：√2≈1.41。
√3≈1.73。
√5≈2.24。
这些近似值可以帮助我们快速计算一些复杂的平方根，提高计算效率。
三、对数的近似值。
对数是另一个常见的数学运算，它表示一个数对于另一个数的幂次运算。
在实际计算中，我们通常使用以下近似值来计算对数：log2≈0.30。
log3≈0.48。
log5≈0.70。
这些近似值可以帮助我们快速计算一些复杂的对数，提高计算效率。
四、三角函数的近似值。
三角函数是数学中常见的函数，它包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在实际计算中，我们通常使用以下近似值来计算三角函数：sin30°≈0.50。
cos45°≈0.71。
tan60°≈1.73。
这些近似值可以帮助我们快速计算一些复杂的三角函数，提高计算效率。
五、指数函数的近似值。
指数函数是数学中常见的函数，它表示一个数的幂次运算。
在实际计算中，我们通常使用以下近似值来计算指数函数：e≈2.72。
e^2≈7.39。
e^3≈20.08。
这些近似值可以帮助我们快速计算一些复杂的指数函数，提高计算效率。
六、二次方程的近似解。
二次方程是数学中常见的方程，它表示一个未知数的二次多项式方程。
在实际计算中，我们通常使用以下近似解来计算二次方程：对于二次方程ax^2+bx+c=0，其根的近似解可以使用以下公式计算：x≈(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
测试常用经验公式
常用近似、经验公式（仅供参考）目录1.管柱、管线每米内容积2.测周长知外径3.盐酸溶液浓度4.原油黏度与温度的关系5.孔板系数近似公式6.孔板直径选择公式7.乙级白棕绳拉断力8.钢丝绳拉断力9.管子抗内压强度10.压力容器壁厚计算11.双流程并联测试当量油嘴尺寸12.根据油嘴尺寸测算气井产量13.分离器气出口管线过流能力14.圆管水力计算15.油产量计算公式16.气产量计算公式17.华式度与摄氏度之间的换算18.气井井口压力近似算法1、管柱、管线每米内容积（误差－1.34%）[返回目录]v＝d2/2式中：v—每米内容积，l/md—管柱、管线内径，in.2、测周长知外径（误差－2.54‰，尤其适于不易量直径的场合）[返回目录]d＝c/8式中：d—管子外径，in.c—量得的周长，cm3、盐酸溶液浓度[返回目录]（1）根据比重求盐酸溶液浓度c＝2（γ－1）100%式中：c—浓度，%γ—比重，无量纲。
水=1（2）根据PH值求残酸溶液浓度C=4/10PH4、原油黏度与温度的关系[返回目录]μ=μ020.1（t0—t）式中：μ—在温度t下的原油黏度，cP（厘泊）μ0—已知某特定温度（如50℃）下的黏度，cP（厘泊）t0—已知黏度对应的特定温度（如50℃），℃t—所求黏度的对应温度，℃5、孔板系数近似公式[返回目录]F b≈200d2式中：Fb—孔板系数；d—孔板直径，in.6、孔板直径选择公式[返回目录]d=8.4[Q gas/（P f H w）1/2]1/2=8.4[Q gas2/（P f H w）]1/4式中：d—可选孔板直径，inQ gas—估计气产量，104m3P f—预计分离压力，psiaH w—孔板压差，in.water，可选量程的1/2左右7、乙级白棕绳拉断力[返回目录]F=3d2式中：F—拉断力，kgd—棕绳直径，mm8、钢丝绳拉断力[返回目录]F=0.03σd2式中：F—拉断力，tσ—钢材屈服极限，kg/mm2，约120～220，一般取140～190d—钢丝绳直径，cm9、管子抗内压强度[返回目录]P B=0.0981δσs/R=0.0858δσs/R（安全）式中：P B—抗内压强度，MPaδ—壁厚，mmσs—最小屈服极限，kg/mm2，等于国产钢材钢级号R—管子半径，mm10、压力容器壁厚计算[返回目录]δ=Pd i/（2[σ]φ—P）+C[σ]=σ0/n=σ0/3C=C1+C2式中：δ—要求的壁厚，mmP—工作压力，MPad i—容器内径，mm[σ]—许用应力，MPa，20#=117，16MnR=127σ0—强度指标，MPa，σ0=API钢级标号/0.145≈API钢级标号×7（如碳钢SA-516-70，σ0≈70×7=490MPa）n—安全系数，取3φ—探伤系数，100%探伤=1，20%探伤=0.85C—腐蚀裕量，mm，C≥1.8C1—附加量，6～25mm钢板=0.8；25～80钢板=1.25C2—腐蚀追加值，取1mm11、双流程并联测试当量油嘴尺寸[返回目录]d=（d12+d22）1/2式中：d—当量油嘴尺寸，1/64″d1—1号流程油嘴尺寸，1/64″d2—2号流程油嘴尺寸，1/64″12、根据油嘴尺寸测算气井产量[返回目录]（气中不含或基本不含液体，且要求达到临界流速，即P下游≤0.546P上游）（1）公制单位Q gas=（146～148）d2P上游式中：Q gas—气产量，m3/dd—油嘴尺寸，mmP上游—上游压力，MPa（2）英制单位Q gas=Cd2P上游（假定上游温度30℃，气比重=0.65）式中：Q gas—气产量，m3/dd—油嘴尺寸，1/64″P上游—上游压力，psiaC—系数，16/64″以下油嘴=0.15；20/64″=0.16 （3）简便公式（近似）Q gas=d2P上游式中：Q gas—气产量，m3/dd—油嘴尺寸，mmP上游—上游压力，psia（4）其他经验公式：（得自四川普光2井）Q气 = 14.5d2P1（T1＞0℃）Q气 = 15d2P1 （T1＜0℃＝式中：d---------孔板直径，mm。
用近似公式开平方
用近似公式开平方我上初中的时候，计算器还没普及，那时每个学生一本《中学数学用表》，可以查到一个数平方根的4位有效数字。
课本里有笔算开平方的方法，但要列竖式，感觉麻烦，没多久就忘了。
高中的时候，知道有近似公式，但不知道怎么用。
最近一个偶然的机会，发现一种简单的近似算法可以很方便地算出一个数平方根的4位有效数字，误差最大不会超过最后一位有效数字的一个点，在没有电脑、计算器的情况下，倒可以一用，我的感觉，比列竖式简单。
一、近似公式1.如果C=a²±b，且b≤a，那么√C≈a±b/2a一般使用这个公式即可达到四位有效数字的要求。
这个公式计算出的结果比真实值略大，如果需要更精确的近似值，可以用下面的公式2.如果C=a²±b，且b≤a，那么√C≈a±b/2a-b²/8a³这个公式比第一个公式多减了b²/8a³，稍麻烦，但精确度可达六七位有效数字，在百度百科里，我称之为“精确开方公式”，一般只在需要更精确数值或某些特殊情况下使用。
下面介绍具体怎么用。
二、公式用法1.四位数的平方根。
也就是1000---9999的平方根首先估计一下最接近方根的两位数。
个位数是0的两位数的平方根容易很算出来，如70²=4900，80²=6400；个位数是５的两位数也很容易心算出来，如果十位上的数字是ｍ，那么把ｍ＊（ｍ＋１），后面再加25就行了，例如85的平方，十位数字是8，那么8*9=72，后面加25，即 7225就是85的平方。
现在算√2882=？50²=2500，而55²=3025,所以√2882在50---55之间，我们估算一下53²=2809，2882=53²+73，73﹥53，不合要求，而2882=54²-34，符合公式要求，所以√2882≈54-34/（54*2）≈54-0.3148=53.6852≈53.69，用计算器验算√2882=53.6842621≈53.68，误差非常微小，只是在保留四位有效数字时增大了误差。
常见麦克劳林公式大全
常见麦克劳林公式大全麦克劳林公式是一种数学工具，用于将复杂的函数表达式近似为一系列简单的函数表达式的和。
它基于泰勒级数展开，在很多科学领域中都有广泛的应用。
下面是一些常见的麦克劳林公式及其应用。
1.e的麦克劳林公式:e^x=1+x+(x^2/2!)+(x^3/3!)+(x^4/4!)+…这个公式可以用来近似计算指数函数e^x的值。
它是麦克劳林公式中最简单常见的形式。
2.正弦函数的麦克劳林公式:sin(x) = x - (x^3/3!) + (x^5/5!) - (x^7/7!) + …这个公式可以用来近似计算正弦函数sin(x)的值。
通过截断级数，我们可以得到不同阶数的近似值。
3.余弦函数的麦克劳林公式:cos(x) = 1 - (x^2/2!) + (x^4/4!) - (x^6/6!) + …这个公式可以用来近似计算余弦函数cos(x)的值，也可以通过截断级数得到不同阶数的近似值。
4.自然对数函数的麦克劳林公式:ln(1+x) = x - (x^2/2) + (x^3/3) - (x^4/4) + …这个公式可以用来近似计算自然对数函数ln(1+x)的值。
5.反正切函数的麦克劳林公式:arctan(x) = x - (x^3/3) + (x^5/5) - (x^7/7) + …这个公式可以用来近似计算反正切函数arctan(x)的值。
6.指数函数的麦克劳林公式:a^x = 1 + (ln(a)x) + ((ln(a)^2*x^2)/2!) + ((ln(a)^3*x^3)/3!) + …这个公式可以用来近似计算任意底数为a的指数函数a^x的值。
7.幂函数的麦克劳林公式:(x+a)^n = x^n + (nx^(n-1)a) + ((n(n-1)x^(n-2)a^2)/2!) + …这个公式可以用来近似计算幂函数(x+a)^n的值。
8.对数函数的麦克劳林公式:ln(x) = (x-1) - ((x-1)^2/2) + ((x-1)^3/3) - ((x-1)^4/4) + …这个公式可以用来近似计算对数函数ln(x)的值。
用近似公式开平方
用近似公式开平方开平方是一项基本的数学运算，它可以用来求一个数的平方根。
除了直接使用准确的计算公式外，我们还可以使用近似公式来进行快速计算。
在本篇文章中，我们将介绍两个常用的近似公式：二分法和牛顿迭代法。
1.二分法二分法是一种常见的近似算法，它可以用来求一个数的平方根。
该算法的基本思想是通过不断缩小范围，找到一个足够接近的数值，并且满足要求的精度。
以下是二分法求平方根的步骤：-首先，确定一个初始的上下界范围，使得目标数在这个范围内。
-然后，计算上下界的平均值，得到一个中间值。
-判断中间值的平方是否等于目标数，如果是则返回该中间值。
-如果中间值的平方大于目标数，则将中间值作为新的上界。
-如果中间值的平方小于目标数，则将中间值作为新的下界。
-使用新的上下界范围，重复上述步骤，直到达到指定的精度。
二分法的优点是简单易懂，容易实现。
然而，它的缺点是收敛速度相对较慢，特别是对于较大的数值。
2.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种更高级的近似算法，它可以用来求一个数的平方根。
该算法的基本思想是通过不断逼近函数的零点，找到一个数值，并且满足要求的精度。
以下是牛顿迭代法求平方根的步骤：-首先，选择一个初始的猜测值。
-然后，计算猜测值的平方与目标数的差，并将该差值除以猜测值的两倍。
-然后，将上述结果与猜测值相加，并将得到的数值作为新的猜测值。
-使用新的猜测值，重复上述步骤，直到达到指定的精度。
牛顿迭代法的优点是收敛速度较快，特别是对于较大的数值。
然而，它的缺点是算法复杂度较高，并且对于一些初始猜测值，可能会出现发散的情况。
总结起来，二分法和牛顿迭代法是两种常用的近似开平方的方法。
它们各有优缺点，适用于不同的场景。
常用近似公式
e e 3 . (n 1)! (n 1)! (n 1)!
3
如 10 ,
Yunnan University
3 只须 103 , n 6 即 可 ！ (n 1)!
§2. 泰勒公式 例6.
f
(k )
f ( x) sin x, x 0.
( x) sin(x k
f ( n1) (x) n1 Rn ( x) x ，（ 0 1 ） . (n 1)! Rn ( x) ( n 1) 又 f ( ) x 0，（x 0 ） . n x 因此余项又可表示为 Rn ( x) o( x n ).
称为皮亚诺(Peano)余项.
Yunnan University
2
), f
(k )
0, k 2n, (0) n ( 1 ) , k 2n 1,
2 n 1 x3 x5 x sin x x (1) n 3! 5! (2n 1)!
tan x x,
Yunnan University
n
x 1 x 1 , n
e x 1 x.
ln(1 x) x.
1 1 x, 1 x
§2. 泰勒公式
例3. 计算 sin 29 , 3 131 的近似值. 解： sin 29 sin(30 1 )
180 sin (cos ) ( ) 6 6 180 sin(
§2. 泰勒公式 一、利用导数作近似计算
1. 近似计算
是用计算方法得到一定精度的计算结果.
若y f ( x)在x0可微，则有
y
y f ( x)
y f ( x0 )x o(x),（x 0 ）
复利近似计算公式
复利近似计算公式复利是指在每经过一个计息期后，都要将所生利息加入本金，以计算下期的利息。
这样，在每一个计息期，上一个计息期的利息都将成为生息的本金，也就是俗称的“利滚利”。
在我们的日常生活中，复利的应用其实挺广泛的。
比如说，你把一笔钱存进银行，银行给你算利息，很多时候就是按照复利的方式来计算的。
咱们先来说说复利的近似计算公式。
一般来说，常见的复利近似计算公式是：A = P(1 + r/n)^(nt) 。
这里面的 A 表示最终的本利和，P 是本金，r 是年利率，n 是每年计息的次数，t 是年数。
为了让大家更好地理解这个公式，我给大家讲个我自己的经历。
有一次，我去参加一个理财讲座，讲师在台上讲复利的魔力。
他举了个例子，假如你有 1 万块钱本金，年利率是 5%，每年复利一次，10 年后你会有多少钱呢？当时我就在台下拿着笔，按照刚刚说的那个公式开始算。
1 万乘以（1 + 5%）的 10 次方，算出来大约是 16289 元。
这时候我就想啊，这每年 5%的利率看着不高，但是经过 10 年的复利，本金居然能增长这么多。
再比如说，你在考虑投资一个理财产品，年利率是 8%，每季度复利一次，投资 5 年。
那咱们用这个公式来算算，本金还是 1 万，n 就变成 4（因为一年有 4 个季度），A = 10000×(1 + 8%÷4)^(4×5) ，算出来大约是 14859 元。
咱们再深入一点，假如你有一笔钱，想通过复利的方式来实现一个比较大的目标，比如买房子的首付款。
假设你需要 50 万，现在有 20 万本金，年利率能达到 6%，每年复利一次，那你算算得多少年能攒够这笔钱？通过公式可以算出大概需要 18 年左右。
从这个例子就能看出，复利虽然厉害，但也需要时间的积累。
而且在实际生活中，利率可能会有波动，每年计息的次数也不一定固定，所以这只是一个近似的计算。
咱们再回到开头说的银行存款。
有时候银行的理财产品宣传页上会写着“复利计息，收益多多”，这时候你就得留个心眼，看看具体的利率和计息方式，自己心里大概算一算能有多少收益。
高等数学：第四讲 微分的近似计算
时，有
y dy
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
近似计算公式
03.近似计算举例
例1 计算sin 31 的近似值(保留到小数点后三位).
解
设 f (x) sin x, 则 f (x) cos x,
x0 30
多少克（铜的密度为8.9g/cm3）.
解
球的体积公式
V
4 πr3, 3
则
V 4πr2 ,
r 1cm, r 0.01cm
V dV V r 4π 12 0.01 0.13
因此每只球需要铜大约：
m 8.9g / cm3 0.13cm3 1.16g.
04.常用的近似计算公式
由近似公式 f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x , 特别地， 取 x0 0, x x ( x 很小), 得到一些工程上常用的近似 计算公式:
即：sin x x.
谢谢
微分的近似 计算
目录
01
引例
02 近似计算的原理
03
近似计算举例
04 常用的近似计算公式
01.引例
计算sin 31 的近似值(保留到小数点后三位).
sin 30 0.5 sin 31 0.5??
02.近似计算的原理
设函数 y f (x)可微，且在x0 有 f (x0) 0 ，当改变量 | x |很小
π, 6
Hale Waihona Puke x 1 π , 180f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
sin 31 sin π cos π π 6 6 180
0.5 3 3.1416 2 180
cosx的帕德近似计算公式
cosx的帕德近似计算公式
在数学中，帕德近似法是一种常用的数值分析方法，用于寻找一
个函数的近似式，并以有限次项的形式表述。
而其中较为常用的帕德
近似法即为对cosx的近似计算公式。
cosx是一个在数学中常见的三角函数，它表示一个角度的余弦值。
在计算中，通常需要对cosx进行计算以便进行各种数学操作，而帕德
近似法是一种高效的计算方法。
其本质是将cosx函数通过分式的形式
进行展开，得到一个近似的函数表达式。
具体的帕德近似计算公式如下：
cosx ≈ (1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6!) / (1 + x^2/2! -
x^4/4! + x^6/6!)
该公式可根据需要进行推导，但实现过程并不容易。
因此，通常
需要借助计算机等工具来完成帕德近似计算。
需要注意的是，帕德近似法只是一种近似计算方法，其结果仅为cosx的近似值，与精确计算结果仍有一定误差。
在实际应用中，我们
需要根据需要进行精度取舍，并对结果进行有效的验证。
此外，需要注意的是，帕德近似计算公式对于不同的x取值范围
适用性不同。
当x的取值较大，如绝对值超过90°时，使用该公式的
结果误差会逐渐增大，因此在实际应用中需要根据需要进行适当的调整。
综上所述，帕德近似法是一种高效的数值分析方法，适用于对cosx等函数进行快速的近似计算。
通过在实际应用中的灵活运用，我们可以更加高效地进行各种数学计算操作。
利用微分近似计算
利用微分近似计算
微分近似是一种常用的数值计算方法，用于估计函数在某一点的导数值。
它可以通过计算函数在给定点附近的斜率来近似导数。
微分近似的公式可以表示为：
f'(x) ≈ (f(x + h) - f(x)) / h
其中，f'(x) 是函数 f 在点 x 处的导数近似值，h 是一个足够小的数值，用于确定点 x 和 x+h 的距离。
我们可以通过选择一个适当的 h 值来进行微分近似计算。
一般情况下，较小的 h 值会提供更准确的结果，但也可能增加计算的复杂性和误差。
因此，选择合适的 h 值需要根据具体问题和要求进行权衡。
需要注意的是，微分近似只能提供导数的近似值，并不代表准确的导数值。
在实际应用中，我们可以通过减小 h 的值和使用更精确的数值计算方法来提高微分近似的准确性。
10个常用麦克劳林公式
10个常用麦克劳林公式麦克劳林公式是一种使用泰勒级数展开的方法，用于近似计算函数在其中一点附近的值。
它的基本思想是将一个复杂的函数表示为无限个简单的多项式项之和。
下面是10个常用的麦克劳林公式：1.正弦函数的麦克劳林公式：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...2.余弦函数的麦克劳林公式：cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...3.指数函数的麦克劳林公式：e^x=1+x+(x^2)/2!+(x^3)/3!+...4.对数函数的麦克劳林公式：ln(1+x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ...5.正切函数的麦克劳林公式：tan(x) = x + (x^3)/3 + (2x^5)/15 + (17x^7)/315 + ...6.反正切函数的麦克劳林公式：arctan(x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 - (x^7)/7 + ...7.双曲正弦函数的麦克劳林公式：sinh(x) = x + (x^3)/3! + (x^5)/5! + (x^7)/7! + ...8.双曲余弦函数的麦克劳林公式：cosh(x) = 1 + (x^2)/2! + (x^4)/4! + (x^6)/6! + ...9.双曲正切函数的麦克劳林公式：tanh(x) = x - (x^3)/3 + (2x^5)/15 - (17x^7)/315 + ...10.双曲反正切函数的麦克劳林公式：arctanh(x) = x + (x^3)/3 + (x^5)/5 + (x^7)/7 + ...这些公式在数学和工程领域中经常被使用，可以用于近似计算各种函数的值。
麦克劳林公式展开的级数可以根据需要进行截断，截断后的级数项数越多，近似结果越精确。
近似求积公式
近似求积公式在数学中，求解积分是一项非常重要的任务。
但是，对于很多函数，我们很难找到其精确的积分表达式。
因此，我们需要一些近似的方法来求解积分。
近似求积公式是这样一种方法，它通过将积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间上使用某种简单的函数来代替原函数，从而得到一个近似的积分值。
这种方法的优点是计算简单，但是精度相对较低。
在实际应用中，我们需要根据具体的情况来选择合适的近似求积公式。
常见的近似求积公式有梯形公式、辛普森公式、牛顿-科茨公式等。
下面我们将分别介绍这些公式的原理和应用。
梯形公式梯形公式是最简单的一种近似求积公式。
它的原理是将积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间上使用线性函数来代替原函数。
具体来说，梯形公式的积分公式为：$$int_a^b f(x)dxapprox frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]$$ 其中，$a$和$b$分别是积分区间的左右端点，$f(x)$是被积函数。
公式中的近似积分值等于积分区间两端点处函数值之和的一半乘以积分区间的长度。
梯形公式的应用非常广泛。
它常用于计算定积分的近似值，特别是当被积函数难以求解其精确积分时。
梯形公式的精度相对较低，但是计算简单，因此在实际应用中经常被使用。
辛普森公式辛普森公式是一种比梯形公式更精确的近似求积公式。
它的原理是将积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间上使用二次函数来代替原函数。
具体来说，辛普森公式的积分公式为：$$int_a^b f(x)dxapprox frac{b-a}{6}[f(a)+4f(frac{a+b}{2})+f(b)]$$其中，$a$和$b$分别是积分区间的左右端点，$f(x)$是被积函数。
公式中的近似积分值等于积分区间两端点处函数值加上中点处函数值的四倍再加上积分区间的长度的一半的函数值之和的一半。
辛普森公式比梯形公式更精确，因为它在每个小区间上使用了二次函数来代替原函数，与原函数更加接近。
零点泰勒公式
零点泰勒公式零点泰勒公式是微积分中的一种常用近似方法，它利用函数在某一点的信息来近似估计该点附近的函数值。
在数学和物理学的应用中，零点泰勒公式是解决问题的有效工具。
零点泰勒公式的原理是将函数在某一点展开成幂级数，然后利用级数的前几项来近似表示函数。
具体来说，对于一个光滑的函数f(x)，零点泰勒公式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots其中，f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数，f''(a)表示函数f(x)在点a 处的二阶导数，f'''(a)表示函数f(x)在点a处的三阶导数，依此类推。
利用零点泰勒公式，我们可以通过已知点处的函数值和导数值来近似估计其他点处的函数值。
这在实际问题中非常有用，特别是当我们无法直接计算函数在某一点的精确值时。
举个例子来说明零点泰勒公式的应用。
假设我们要计算函数f(x) = \sin(x)在点x=0.1附近的函数值，但我们只知道函数在x=0的函数值和导数值。
我们可以利用零点泰勒公式来近似计算。
我们知道f(0) = \sin(0) = 0，f'(0) = \cos(0) = 1。
代入零点泰勒公式，我们得到：f(x) = 0 + 1(x-0) + \frac{-\sin(0)}{2!}(x-0)^2 + \frac{-\cos(0)}{3!}(x-0)^3 + \cdots化简后，我们得到：f(x) = x - \frac{x^3}{6} + \cdots现在，我们可以利用这个近似公式来计算f(x)在x=0.1附近的函数值。
代入x=0.1，我们得到：f(0.1) \approx 0.1 - \frac{0.1^3}{6}通过计算，我们得到f(0.1) \approx 0.0998*******。
阶乘近似公式
阶乘近似公式
阶乘是数学中一个重要的概念，指从1到某个正整数n的所有正整数相乘所得的结果，常用符号表示为n!。
阶乘近似公式是指通过一些特定的方式对阶乘进行估算，并得出一个近似值。
在实际应用中，阶乘近似公式是非常重要的，它可以帮助我们快速计算非常大的阶乘。
其中最常用的近似公式是斯特林公式，它可以表示为：
n!≈√2πn (n/e)ⁿ
其中π是圆周率，e是自然对数的底数，n代表阶乘的内容。
由于斯特林公式是一种逼近公式，因此得到的结果只是一个近似值，而非精确值。
那么为什么我们需要使用阶乘近似公式呢？主要是因为当n非常大时，计算n!本身会很麻烦，而且计算机内存很容易就无法承载下这么大的数值。
使用阶乘近似公式，我们可以通过一些简单的计算得到更为精确的结果，并且避免了繁琐的计算。
除了斯特林公式之外，还有许多其他的阶乘近似公式，如高斯公式、拉根公式等等。
每种公式都有其适用的场合和计算精度，需要根据具体情况进行选择和使用。
在使用阶乘近似公式时，还需要注意一些问题。
例如，当n比较小时，直接计算n!可能更为快捷，且精确度更高。
另外，由于阶乘近
似公式只是一种近似估算方式，并不是精确计算，因此在应用时需要注意误差范围和误差控制。
总之，阶乘近似公式在实际应用中非常重要，它可以帮助我们快速计算非常大的阶乘，并且减少计算机资源的占用。
但是使用近似公式需要注意精确度和误差控制等问题，以便得到更为准确和可靠的结果。
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§2. 泰勒公式
上例中，尽管他们的绝对误差相等，但明显地，轴长 （120毫米）的精度要比键销（12毫米）的精度高。可见， 一个量的近似精度依赖于其绝对误差和这个量本身的大小， 故需计算绝对误差占总长度的百分比. 例如：
轴： 键销：
0.03 100% 0.025%, 120.03
且 P2 (0) f (0), P2(0) f (0), P2(0) f (0).
一般地，可用 n 次多项式
f (x) Pn (x) a0 a1x a2 x2 an xn , （n阶近似）
且பைடு நூலகம்
Pn (0)
f (0),
Pn(0)
f (0), ,
例如：设计一根轴长度120毫米，加工后量得120.03毫米， 误差为 |120 120.03| 0.03 毫米.
设计一个键销长度12毫米，加工后量得12.03毫米， 误差为 |12 12.03| 0.03 毫米.
称这种误差为绝对误差，表明了一个量与它的近似值之间 的差值，反映了某种近似程度.
即一次多项式 P1(x) f (0) f (0)x 是f (x)在x 0点的 一阶近似. P1(0) f (0), P1'(0) f (0).
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§2. 泰勒公式
为提高近似精度，可用二次多项式
f (x) P2 (x) a0 a1x a2 x2 , （二阶近似）
即
a0 f (0),
P (n) n
(0)
f (n) (0).
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§2. 泰勒公式
为确定系数a0 , a1, , an , 对Pn (x)逐次求导，直到n阶, 并令x 0，得
Pn (0) a0 f (0), Pn(0) a1 f (0),
Pn(0) 2!a2 f (0), , Pn(n) (0) n!an f (n) (0).
s
2s
D2
因 一般相当小，故
D1
s
tan tan 0 1 ，即 tan .
cos2 0
于是 tan D1 D2 （弧度）,
2s
1弧度 57.3.
从而 57.3 D1 D2 28.6 D1 D2 （角度）.
2s
s
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§2. 泰勒公式
设x x0 x，x x x0，则有 f (x) f (x0 ) f (x0 )( x x0 ), （| x x0 | 充分小）.
这就是利用导数作近似计算的公式. 它表明，当 x与x0充分接近时，可以用切线 y f (x0 ) f (x0 )( x x0 ) 近似地代替曲线y f (x). 即曲线y f (x)在x的纵坐标 f (x)近似等于其在(x0 , f (x0 ))的切线在x的纵坐标
对于函数y f (x)，若由x计算y时，x有误差x，则
由此算出的y值有绝对误差
| y || f (x x) f (x) | | f (x)x |,（当| x | 很小时）
和相对误差
y | f (x)x | 100%.
y
| f (x) |
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§2. 泰勒公式
例4. 多次测量一根圆钢, 测得其直径的平均值为D＝50毫米， 绝对误差不超过0.05毫米. 试计算其截面积, 并估计其误
差. 解： 圆面积 S D2, 截面积为
4
S (50)2 1962.5 毫 米2 ,
4
S的绝对误差：
S | D D | 50 0.05 3.925 毫米2,
2
2
相对误差：
S
S
D D
2
D2
1 0.2% 500
4
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二、Taylor 公式 简单函数
§2. 泰勒公式
近似 多项式 表示
复杂的函数
考虑 y f (x)，当| x | 充分小时，有
f (x) f (0) f (0)x o(x), 从而 f (x) f (0) f (0)x.
§2. 泰勒公式
例2. 开方的近似计算. 设y f (x) 1 x，若| x | 很小，则 1 x 1 1 x. 2
常用近似公式（ | x | 充分小）：
sin x x, tan x x,
n 1 x 1 x , n
1 1 x, 1 x
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0.03 100% 0.25%, 12.03
称这样的百分比为相对误差. 显然，轴长精度比键销 长的精度高得多. 一般地，有定义：
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§2. 泰勒公式
Def : 若一个量A的近似值是a，则 | A a | 叫做绝对误差，而 100% 叫做相对误差.
a
)
6
6 180
1 3 0.4849 .
2 2 180
查表得 0.4848
3
131
3
53
6
3
53
(1
6 53
)
53
1
6 53
16 5(1 3 53 ) 5.08
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§2. 泰勒公式
2.误差估计
——是估计近似值与精确值的差
ex 1 x. ln(1 x) x.
§2. 泰勒公式
例3. 计算 sin 29, 3 131 的近似值.
解： sin 29 sin(30 1)
sin( )
6 180
x 29，x0 30，
x
x0
1
.
180
sin
(c
os
) (
f (x0 ) f (x0 )( x x0 ).
当x0 0且 | x | 充分小时，有 f (x) f (0) f (0)x.
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§2. 泰勒公式
例1. 如图，加工圆锥台时计算刀架应取角 .
D1 D2
解：tan 2 D1 D2 .