电磁场与电磁波例题详解
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
电磁场与电磁波例题详解
————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:
第1章 矢量分析
例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。
解:点M 的坐标是1,0,1000===z y x ,则该点的标量场值为
0)(0200=-+=z y x φ。其等值面方程为 :
0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z +=
例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x
++=的矢量线方程。
解: 矢量线应满足的微分方程为 :
z
y dz
y x dy xy dx 222== 从而有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==z y dz xy
dx y
x dy xy dx 2222
解之即得矢量方程⎩⎨⎧=-=2
2
21c y x x
c z ,c 1和c 2是积分常数。
例1.3 求函数xyz z xy -+=22ϕ在点(1,1,2)处沿方向角
3
,4
,3
π
γπ
βπ
α=
=
=
的方向导数。
解:由于
1)
2,1,1(2)
2,1,1(-=-=∂∂==M M yz
y x ϕ, 02)
2,1,1()
2,1,1(=-=∂∂==M M xz
xy y
ϕ,
32)
2,1,1()
2,1,1(=-=∂∂==M M xy
z z
ϕ,
2
1cos ,22cos ,21cos ===
γβα 所以
1cos cos cos =∂∂+∂∂+∂∂=
∂∂γϕβϕαϕϕz
y x l
M
例1.4 求函数xyz =ϕ在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。
解:点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为
1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l
++=-+-+-=
其单位矢量
3147
31433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5,
10,
2)
2,1,5()2,1,5()2,1,5()
2,1,5()
2,1,5()
2,1,5(==∂∂==∂∂==∂∂xy
z
xz
y
yz
x
ϕ
ϕϕ
所求方向导数
314
123
cos cos cos =
⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ l z y x l
M
ϕγϕβϕαϕϕ
例1.5 已知z y x xy z y x 62332222--++++=ϕ,求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。
解:由于)66()24()32(-+-++++=∇z a x y a y x a z y x
ϕ
所以 623)
0,0,0(z y x a a a
---=∇ϕ ,36)
1,1,1(y x a a +=∇ϕ
例1.6 运用散度定理计算下列积分:
⎰⋅++-+=S
z y x S d z y xy a z y x a xz a I
)]2()([2322
S 是0=z 和2
2
22y x a z --=所围成的半球区域的外表面。
解:设:)2()(2322z y xy a z y x a xz a A z y x ++-+=
则由散度定理⎰⎰⋅=⋅∇τ
τs
S d A d A
可得
50
420
20
420
2022225
2sin sin )(a dr
r d d d drd r d r d y x z d A S d A I a
a
s
πθθϕϕ
θθτ
ττπ
π
π
π
τ
ττ====++=⋅∇=⋅=⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
例1.7 试求A ⋅∇和A
⨯∇:
(1) 2
2332y x a z x a z xy a A z y x ++=
(2) ϕϕϕsin cos ),,(22r a r a z r A z r
+=
(3) θθθϕθϕθcos 1
sin 1sin ),,(2r a r a r a r A r ++=
解:
323200)
1(z y z y z
A y A x A A z
y x =++=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇
)
23()23()2(32222322
2332xyz z x a xy z xy a x y x a y x z x z xy z y x a a a A A A z y x a a a A z y x z y x z y x z y x -+-+-=∂∂∂∂∂∂=
∂∂∂∂∂∂=⨯∇
ϕϕϕϕϕcos 3)sin (0)cos (11)(1)
2(23r r z
r r r z A A r rA r r A z r =∂∂++∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇
]
sin sin 2cos )]sin 0()sin 20()0cos ([1sin 0cos 112222ϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕr a r a r a r a r a r r a r r r z r a a r a r A rA A z r a a r a r A z r z r z r z r z r
+-=++-+-=∂∂∂∂∂∂=
∂∂∂∂∂∂=
⨯∇