2018年高考理科数学第一轮复习教案34 不等关系与不等式

第一节不等关系与不等式

不等式的概念和性质

了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．

知识点一实数的大小顺序与运算性质的关系

(1)a>b⇔a－b>0；

(2)a＝b⇔a－b＝0；

(3)a

必备方法比较大小的常用方法：

(1)作差法

一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．

(2)作商法

一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论(注意所比较的两个数的符号)．

[自测练习]

1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N 的大小关系是()

A．MN

C．M＝N D．不确定

解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，

又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.

∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.

答案：B

知识点二不等式性质

易误提醒

1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．

[自测练习]

2．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1

b C ．a 2>b 2

D ．a 3>b 3

解析：当c <0时，ac >bc 不成立，故A 不正确，当a ＝1，b ＝－3时，B 、C 均不正确，故选D.

答案：D

3．若a >b >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A.b a >b ＋1a ＋1

B ．a ＋1a >b ＋1

b C ．a ＋1b >b ＋1

a

D.2a ＋b a ＋2b >a b

解析：由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1

a ，故选C. 答案：C

4．已知a <0，－1

⎭

⎬⎫－1

⇒a

又ab >0，∴ab >ab 2>a . 答案：ab >ab 2>a

考点一 利用不等式(组)表示不等关系|

1．将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x ，构成一个钝角三角形，试用不等式(组)表示x 应满足的不等关系．

解：由题意知⎩⎪⎨⎪

⎧

5－x >0，(5－x )＋(12－x )>13－x ，

(5－x )2＋(12－x )2<(13－x )2.

2．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A ，B 两台设备上加工，在A ，B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A ，B 两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．

解：设甲、乙两种产品的产量分别为x 件，y 件，由题意可知，

⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋2y ≤400，

2x ＋y ≤500，

x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .

利用不等式(组)表示不等关系的一个注意点及一个关键点： 关键点：准确将题目中的文字语言转化为数学符号语言． 注意点：要注意“不超过”，“至少”，“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义．

考点二 不等式性质及应用|

1．(2016·大庆质检)若a 1a B.1a >1b C ．|a |>|b |

D ．a 2>b 2

解析：由a 1a

不成立，选A. 答案：A

2．(2016·武汉调研)若实数a ，b ∈(0,1)，且满足(1－a )b >1

4，则a ，b 的大小关系是( )

A ．a

B ．a ≤b

C ．a >b

D ．a ≥b

解析：∵a ，b ∈(0,1)，∴1－a >0，又(1－a )b >14， ∴14<⎝

⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 22，12<1－a ＋b

2，即b －a >0，故选A. 答案：A

3．设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1

b ”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：法一：因为a ＋1a －⎝ ⎛

⎭⎪⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab ，所以若a >b >1，显然a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab >0，则充分性成立；当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1

b 成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立，故选A.

法二：令函数f (x )＝x ＋1x ，则f ′(x )＝1－1x 2＝x 2

－1

x 2，可知f (x )在(－

∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，所以“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1

b ”的充分不必要条件，选A.

答案：A

运用不等式性质求解问题的两个注意点

1．解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推理判定失误．

2．对于不等式的常用性质，要注意弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据．

考点三 比较大小|