管理运筹学_第二章_线性规划的图解法讲解
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管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
运筹学线性规划图解法
j =1
证明：线性规划 max z =CX s.t. AX=b X≥0 设x(1)≠x(2)为D内任取两点，则Ax(1)=b,Ax(2)=b,x(1) ≥ 0, x(2) ≥ 0,令x为线段x(1) ,x(2)上任一点,既有 x=μx(1)+(1-μ)x(2) (0≤μ≤1) 则 Ax=A[μx(1) + (1-μ) x(2)] (0≤μ≤1) =μAx(1)+Ax(2)-μAx(2) =μb+b–μb=b 又因为 x(1) ≥ 0, x(2) ≥ 0, 0≤μ≤1 所以 x ≥ 0 即 x∈D 证毕
x2 x1+2x2=8
4x2=12
线段Q1Q2上的任意点都是最优解
Q1
Q2 x1
3x1=12
x2 •无可行解 例3：
maxz = 3x1 + 2x2 2x1 + x2 ≤ 2 s.t 3x1 + 4x2 ≥ 12 x , x ≥ 0 1 2
约束条件围不成区域 (又称矛盾方程) x1
•无有限最优解(无界解) 例4：
图解法得出线性规划问题解的几种情况
解的几种情况约束条件图形特点 唯一解 一般围成有限区域,最优值 只在一个顶点达到 无穷多解 在围成的区域边界上,至少 有两个顶点处达到最优值 无可行解 (无 围不成区域 解) 无界解(无解) 围成无界区域 , 且无有限 最优值 方程特点
目标和某一约束 方程成比例 有矛盾方程 缺少一必要条件 的方程
•有唯一解 例1： max z=2x1+ 3x2 s.t. x1+2x2≤8 4x1≤16 x1,x2≥0 画图步骤： 画图步骤 1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值 x2
证明：线性规划 max z =CX s.t. AX=b X≥0 设x(1)≠x(2)为D内任取两点，则Ax(1)=b,Ax(2)=b,x(1) ≥ 0, x(2) ≥ 0,令x为线段x(1) ,x(2)上任一点,既有 x=μx(1)+(1-μ)x(2) (0≤μ≤1) 则 Ax=A[μx(1) + (1-μ) x(2)] (0≤μ≤1) =μAx(1)+Ax(2)-μAx(2) =μb+b–μb=b 又因为 x(1) ≥ 0, x(2) ≥ 0, 0≤μ≤1 所以 x ≥ 0 即 x∈D 证毕
x2 x1+2x2=8
4x2=12
线段Q1Q2上的任意点都是最优解
Q1
Q2 x1
3x1=12
x2 •无可行解 例3：
maxz = 3x1 + 2x2 2x1 + x2 ≤ 2 s.t 3x1 + 4x2 ≥ 12 x , x ≥ 0 1 2
约束条件围不成区域 (又称矛盾方程) x1
•无有限最优解(无界解) 例4：
图解法得出线性规划问题解的几种情况
解的几种情况约束条件图形特点 唯一解 一般围成有限区域,最优值 只在一个顶点达到 无穷多解 在围成的区域边界上,至少 有两个顶点处达到最优值 无可行解 (无 围不成区域 解) 无界解(无解) 围成无界区域 , 且无有限 最优值 方程特点
目标和某一约束 方程成比例 有矛盾方程 缺少一必要条件 的方程
•有唯一解 例1： max z=2x1+ 3x2 s.t. x1+2x2≤8 4x1≤16 x1,x2≥0 画图步骤： 画图步骤 1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值 x2
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
【运筹学】2第二章线性规划图解法
(7, 0)
56
78
9 10
x1
Example 1: Graphical Solution
x2
• Optimal Solution
8 7 6 5 4 3 2 1
12
Objective Function 5x1 + 7x2 = 46
Optimal Solution (x1 = 5, x2 = 3)
34
56
78
9 10
x1
•画图求解 •2）Max z= 7x1 + 5x2 •3）Max z= 5x1 + 10x2 •4）Max z= 5x1 + 5x2
Example 1: Graphical Solution
x2
• Optimal Solution
8 7 6 5 4 3 2 1
12
Objective Function 5x1 + 7x2
第2章 线性规划图解法
第2章 线性规划图解法
2.1 线性规划问题 2.2 图解法 2.3 极点和最优解 2.4 计算机求解 2.5 最小化问题 2.6 特例
2.1 线性规划问题
• 在一定的约束条件（限制条件）下，使得 某一目标函数取得最大（或最小）值，当 规划问题的目标函数与约束条件都是线性 函数，便称为线性规划。 •Linear programming （LP）
2.2 图解法
•唯一解 •无穷多个最优解 •无界解 •无可行解
Example 1: A Maximization Problem
• LP Formulation • •
Max z= 5x1 + 7x2
•
s.t.
x1
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
运筹学02-线性规划的图解法
10
s.t
约束条件
(2) 线性规划模型标准形式
价值系数
Max
技术系数
Z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 ,, xn 0 b1,b2 , ,bm 0
若线性规划问题有可行解，但无有限最优解，则可 行域必然是无界的； 若线性规划问题无可行解，则可行域必为空集。
9
2.3 线性规划问题的标准形式
(1) 线性规划模型一般形式
目标函数
MaxMin
Z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn , b1 a x a x a x , b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x , b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , , xn 0
27
2.4.2 约束条件中右边系数 bj 的灵敏度分析
当约束条件中右边系数 bj 变化时，线性规划的可行域发生 变化，可能引起最优解的变化。 考虑例1的情况： 假设设备台时增加10个台时，即 b1变化为310，这时可行 域扩大，最优解为 60，x2 = 250 。 变化后的总利润 - 变化前的总利润 = 增加的利润 (50×60+ 100×250) - (50 × 50+100 × 250) = 500 ， x2 = 250 和 x1 + x2 = 310 的交点 x1 =
s.t
约束条件
(2) 线性规划模型标准形式
价值系数
Max
技术系数
Z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 ,, xn 0 b1,b2 , ,bm 0
若线性规划问题有可行解，但无有限最优解，则可 行域必然是无界的； 若线性规划问题无可行解，则可行域必为空集。
9
2.3 线性规划问题的标准形式
(1) 线性规划模型一般形式
目标函数
MaxMin
Z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn , b1 a x a x a x , b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x , b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , , xn 0
27
2.4.2 约束条件中右边系数 bj 的灵敏度分析
当约束条件中右边系数 bj 变化时，线性规划的可行域发生 变化，可能引起最优解的变化。 考虑例1的情况： 假设设备台时增加10个台时，即 b1变化为310，这时可行 域扩大，最优解为 60，x2 = 250 。 变化后的总利润 - 变化前的总利润 = 增加的利润 (50×60+ 100×250) - (50 × 50+100 × 250) = 500 ， x2 = 250 和 x1 + x2 = 310 的交点 x1 =
04第二章 线性规划的图解法 管理运筹学课件
50 40 30 B 20 10
③
10
20
30
40
50
x1
一、目标函数中的系数的灵敏度分析
• -， • 0 ≤ c1≤3750，最优解不变
•当c1 =1500不变时，
• 1000 ≤ c2，最优解不变
二、约束条件中常数项的灵敏度分析
max Z=1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2 65 ① 2x1+ x2 40 ② 3x2 75 ③ 30 x1,x2 0 ④ 3x1+2x2 66 20 x1=16/3 x2=25 Z=70500 可见资源A每增加一个单 位就可以多获得500元的 利润.
n
i 1,2,… , m j 1,2,… , n
2、矩阵式
…… …… ………………... ……
… … …
3、向量式
…
…
…
…
…
当z值不断增加时，该直线
§2
线性规划的图解法
②
50 40
x2 = -（3/5）x1 +Z/2500
沿着其法线方向向右上方移 动。
唯一最优解
max Z=1500x1+2500x2 ① 30 s.t. 3x1+2x2 65 ① 2x1+ x2 40 ② 3x2 75 ③ x1,x2 0 ④ 20 由图示可知最优点为B （5，25），最优值为70000 10 可行域、可行解 最优解、最优值
线性规划问题解的特点和几种 可能情况：
• 线性规划问题的可行解的集合是凸集
• 凸集的极点（顶点）的个数是有限的 • 最优解如果存在只可能在凸集的极点上取 得，而不可能发生在凸集的内部 • 线性规划问题的解可能是：唯一解、无穷 多最优解、无界解和无可行解(无解)
③
10
20
30
40
50
x1
一、目标函数中的系数的灵敏度分析
• -， • 0 ≤ c1≤3750，最优解不变
•当c1 =1500不变时，
• 1000 ≤ c2，最优解不变
二、约束条件中常数项的灵敏度分析
max Z=1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2 65 ① 2x1+ x2 40 ② 3x2 75 ③ 30 x1,x2 0 ④ 3x1+2x2 66 20 x1=16/3 x2=25 Z=70500 可见资源A每增加一个单 位就可以多获得500元的 利润.
n
i 1,2,… , m j 1,2,… , n
2、矩阵式
…… …… ………………... ……
… … …
3、向量式
…
…
…
…
…
当z值不断增加时，该直线
§2
线性规划的图解法
②
50 40
x2 = -（3/5）x1 +Z/2500
沿着其法线方向向右上方移 动。
唯一最优解
max Z=1500x1+2500x2 ① 30 s.t. 3x1+2x2 65 ① 2x1+ x2 40 ② 3x2 75 ③ x1,x2 0 ④ 20 由图示可知最优点为B （5，25），最优值为70000 10 可行域、可行解 最优解、最优值
线性规划问题解的特点和几种 可能情况：
• 线性规划问题的可行解的集合是凸集
• 凸集的极点（顶点）的个数是有限的 • 最优解如果存在只可能在凸集的极点上取 得，而不可能发生在凸集的内部 • 线性规划问题的解可能是：唯一解、无穷 多最优解、无界解和无可行解(无解)
第二章 线性规划的图解法(简)
第二节 图解法
在线性规划中，对一个约束条件中没使用的资源或能力的大小称 之为松弛量。记为Si。
第二节 图解法
像这样把所有的约束条件都写成等式 ，称为线性规划模型的标准化，所得结果 称为线性规划的标准形式。
第二节 图解法
同样对于≥约束条件中，可以增加一些代表
最低限约束的超过量，称之为剩余变量，把≥约
第二章 线性规划的图解法
主要内容：
§1 问题的提出 （什么是线性规划） §2 图解法 §3 图解法的灵敏度分析
重点和难点
重点： （1）线性规划问题的主要概念 （2）线性规划问题的数学模型 （3）线性规划图解法的过程 （4）阴影价格的定义和灵敏度分析 难点： 灵敏度分析
第一节 问题的提出
约束条件对偶价格小于零时，约束条件
右边常数增加一个单位，就使得最优目
标函数值减少一个其对偶价格。
第三节 图解法的灵敏度分析
对目标函数值求最小值的情况下， 当对偶价格大于零时，约束条件右边常数增加 一个单位就使其最优目标函数值减少一个其对 偶价格； 当对偶价格等于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，并不影响其最优目标函数值； 当对偶价格小于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，就使得其最忧目标函数值增加一个 其对偶价格。
具有上述3个特征的问题为线性规划问题。
第一节 问题的提出
我们的仸务就是要选择一组或多组方案，使目
标函数值最大或最小。从选择方案的角度说，
这是规划问题。从使目标函数值最大或最小的
角度说，就是优化问题。
线性规划数学模型的一般表示方式
max(min) f ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n s.t. a x a x a x m2 2 mn n m1 1 x1 , x2 , , xn n : 变量个数 ; m : 约束行数 ; n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; b j : 右端项; aij : 技术系数 (, )b1 (, )b2 (, )bm 0
运筹学第二章线性规划的图解法
3 2 4 2 40
5 50
2
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 3
【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型 为：
max Z 40 x1 30 x2 50 x3
3 x1 x2 2 x3 200 2 x 2 x 4 x 200 2 3 1 4 x1 5 x2 x3 360 2 x 3 x 5 x 300 2 3 1 x1 0，x2 0，x3 0
最优解X=(50,30,10);Z=3400
2013年12月29日星期日
产品 资源 设备A 设备B
甲 乙 3 2 1 2
丙
现有资 源 200 200
2 4
材料C
材料D 利润（元/ 件）
4
2 40
5
3 30
1
5 50
360
300
3
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 4
2013年12月29日星期日
(约束条件)
6
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 7
x2
3 x1 2 x2 6
3 x1 2 x2 6
o
2013年12月29日星期日
x1
3 x1 2 x2 6
7
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 11
x2 例3.1
40
max Z 3 x1 4 x2
2 x1 x2 40 x1 1.5x2 30
(15,10)
管理运筹学 线性规划的图解法课件
线性规划的应用领域
生产计划
线性规划可以用于制定生产计划，优 化资源配置，提高生产效率。
物流优化
线性规划可以用于优化物流配送路线 、车辆调度等问题，降低运输成本。
金融投资
线性规划可以用于金融投资组合优化 ，实现风险和收益的平衡。
资源分配
线性规划可以用于资源分配问题，如 人员、资金、设备等资源的合理分配 ，提高资源利用效率。
束条件。
线性规划的目标是在满足一系列 限制条件下，使某一目标函数达
到最优值。
线性规划问题通常表示为求解一 组变量的最优值，使得这些变量 满足一系列线性等式或不等式约
束。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型由决策变量、目标函数和约束条 件三部分组成。
输标02入题
决策变量是问题中需要求解的未知数，通常表示为 $x_1, x_2, ldots, x_n$。
01
03
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
04
目标函数是问题要优化的函数，通常表示为$f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
03
绿色发展与线性规 划的结合
将可持续发展理念融入线性规划 ，实现资源节约、环境友好的发 展目标。
THANKS
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约束条件
生产计划问题通常受到资源限制、市场需求和生 产能力等约束条件的限制。
详细描述
生产计划问题通常涉及到如何分配有限的资源， 以最大化某种目标函数（如利润）。通过图解法 ，我们可以将约束条件和目标函数在二维平面上 表示出来，从而找到最优解。
第二章 线性规划的图解法
例2.某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产 品的生产，已知生产单位产品所需的设备台 时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制， 如下表：
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 Ⅰ 1 2 0 50 元 Ⅱ 1 1 1 100 元 资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ 产品才能使工厂获利最多？
第二章 线性规划的图解法
问题1具体数据如表所示：
资源 单耗 资源 煤(t) 电(kw.h) 油(t) 单位产品价格 9 4 3 7 4 5 10 12 360 200 300 产品 甲 乙 资源限量
提出和形成问题
建立模型
求解
结果的分析和应用
第二章 线性规划的图解法
在本例中
决策变量： 甲、乙产品的计划产量，记为x1 ，x2； 目标函数： 总收入记为f,则 f=7x1 +12x2 ，为体现对其求极大化， 在f 的前面冠以极大号Max，
第二章 线性规划的图解法 例2：.某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至 少350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原 料至少购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同， 各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料需 要2个小时，加工每吨B原料需要1小时，而公司总共 有600个加工小时。又知道每吨A原料的价格为2万元， 每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需要的 前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A，B 两种原料，使得购进成本最低？
第二章 线性规划的图解法
★线性规划模型的三个基本要素：
（也是所有规划问题的三个基本要素）：
（1）决策变量：甲、乙产品的产量x1 ，x2 决策变量：需要决策的量，即等待求解的未知数。 （2）目标函数：总收入最大，Max f = 7 x 1 +12 x 2 目标函数：想要达到的目标，用决策 变量的表达式表示。 （3）约束条件： 约束条件：由于资源有限，为了实现 目标有哪些资源限制，用决策变量的 等式或不等式表示。
管理运筹学第2章 线性规划的图解法
i
i
MinZ e1i e2i
i
i
s.t.eβ10i-,eβ21i无 符yi 号 β限0 制β1xi
e1i , e2i 0,i 1,2,, n
还可以加上一些特定的需求.例如,要求必须过某 一点.
16
线性规划问题的应用举例(回归分析)
新标准:最小化最大绝对误差.
–整数规划问题
• 考虑短期排班的问题
–对午休换班进行建模
• 考虑每个工人
–允许工人有不同的偏好
29
套裁下料问题
例某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢
各一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所
用原料最省？
方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 方案 5 方案 6 方案 7 方案 8
产品名称
规格要求
单价（元/kg）
甲 原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25%
50
乙 原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50%
35
丙
不限
25
原材料名称
1 2 3
每天最多供应量
100 100 60
单价（元/kg） 65 25 35
9
线性规划应用举例
解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。 这样我们建立数学模型时，要考虑：
x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
20
关于决策变量的选择的启示
第2章 线性规划的图解法
在标准形式中，要求右端项必须每一个分量非 对各个约束引进不同的松弛变量。 负。当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该 等式约束两端同时乘以-1，得到：-ai1 x1-ai2 x2… -ain xn = -bi。
管 理 运 筹 学
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§2 图 解 法
对于只有两个决 策变量的线性规划问 题，可以在平面直角 坐标系上作图表示线 性规划问题的有关概 念，并求解。 下面通过例1详细 讲解其方法：
例1.目标函数： Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件： s.t. x1 + 2 x1 + x2 ≤ x2 ≤ x2 ≤ x1 ≥ x2 ≥ 300 (A) 400 (B) 250 (C) 0 (D) 0 (E)
X2=0
x1
管 理 运 筹 学
x1
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§2 图 解 法
（2）对每个不等式(约束条件)，先取其等式在坐标系中作直 线，然后确定不等式所决定的半平面。
400 300 200 100 100 200 300 300
x1+x2=300
200 100
2x1+x2=400
2x1+x2≤400
100
200
300
x1+x2≤300
x2 B C z=27500=50x1+100x2 z=20000=50x1+100x2 D z=0=50x1+100x2 E x1
A z=10000=50x1+100x2
图2-2
管 理 运 筹 学
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§2 图 解 法
• 线性规划的标准化内容之一：——引入松驰变量（含义是 线性规划的标准化内容之一： 资源的剩余量） 例1 中引入 s1， s2， s3 模型化为 目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3 约束条件：s.t. x1 + x2 + s1 = 300 2 x1 + x2 + s2 = 400 x2 + s3 = 250 x1 , x2 , s1 , s2 , s3 ≥ 0 对于最优解 x1 =50 x2 = 250 ， s1 = 0 s2 =50 s3 = 0 说明：生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ产品将消耗完所有 可能的设备台时数及原料B，但对原料A则还剩余50千克。
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x1, x2, s1,s2,s3≥0.
（注意松弛变量符号为正，而剩余变量符号为负）
15
§2.3图解法的灵敏度分析
松弛变量和剩余变量看成决策变量，用Xi来表示，得到
线性规划的标准形式:
目标函数：max(或min) Z=c1x1+c2x2+…+cnxn 约束条件： a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
问题的解：
Z=10000=50x1+100x2
最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得
最大利润27500元。
7
松弛变量
最佳决策为x1=50, x2=250，此时z=27500。
Ⅰ Ⅱ 资源限制
资源消耗
设备 1 1 300台时 50+250=300台时
原料A 2 1 400千克 2×50+250=350千克
3．用决策变量表示目标函数。 4．用决策变量表示达到目标必须遵循的约束条件。
线性规划的数学模型一般形式为:
目标函数： max (min) Z=c1x1+c2x2+…+cnxn 约束条件： a11x1+a12x2+…+a1nxn≤( =, ≥) b1,
a21x1+a22x2+…+a2nxn≤( =, ≥) b2, ………………………… am1x1+am2x2+…+amnxn≤( =, ≥) bm,
问题2：固定C1=50，则C2在什么范围内变动时，B仍为最优解? 固定C1=50，则50≤C2<+∞时B仍为最优解。
问题3：C1和C2都变化时，例如C1=60,C2=50，B是否仍为最优解?
-2(直线G的斜率)≤－C1/C2=－1.2 ≤-1(直线E的斜率)，此时
其最优解在C点(x1=100, x2=200) .
Q点为最 优解，坐标 为(250,100), 此时f=800
Q
f=2x1+3x2=800
100
300
X1=125
500 600 x1
购买A原料250吨，B原料100吨，可使成本最小为800万元.
14
分析: 最优决策x1=250,x2=100下购买原料A与B共
250+100=350吨，正好达到约束条件的最低限；而原料 A的购进量250吨比约束低限125吨多了125吨。所需加 工时间2×250+1×100=600正好用尽公司的加工能力。
2x1+x2+s2=400,
x2+s3=250, x1,x2,s1,s2,s3≥0
如何把模型化为 标准型？
三个特征：
一、约束条件为等式；
二、约束条件右端常数项非负；
三、所有变量非负。
称为线性规划的标准形式。
9
线性规划问题解的情况：
1．若有最优解，一定能在可行域的顶点取得。
2．无穷多个最优解的情况。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1
x2 -3x1+2x2=6
-3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
3
Z=3=X1+X2
注意啊
1
可行域无界，目标函数值可
-1
以增大到无穷大，无最优解。
原因：模型忽略了必要
如何建立模型？
3
设工厂生产x1个Ⅰ产品和x2个Ⅱ产品,相应的利润
z=50 x1+100x2 。问题的数学模型如决下策：变量
目标函数： max z=50x1+100x2，
约束条件：
x1+x2≤300，
台时数
2 x1+x2≤400，
原材料A
x2≤250,
原材料B
x1≥0, x2≥0.
目标函数为线性函数，约束条件也为线性的，这样
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2, ………………………… am1x1+am2x2+…+am nxn=bm. x1, x2,…,xn≥0.
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
6
2x1+x2=400
400 阴影部分的每
一点都是这个线
性规划的可行解，
而此公共部分是
可行解的集合，
100
称为可行域。
x2
Z=27500=50x1+100x2
B
X2=250
100
300
x1
B点为最优解， 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。
X1+X2=300
例2、某公司因生产需要，共需A, B两种原料至少
350吨，其中A原料至少125吨。每吨A原料价格2万元， 每吨B原料价格3万元。又知加工每吨A原料需2小时， 加工每吨B原料需1小时，公司共有600个加工小时。
在满足生产需要的前提下，在公司加工能力的范围内， 如何购买A, B两种原料，能使购进成本最低?
解：设x1为购进原料A的吨数，x2为购进原料B的吨
数。则此线性规划的数学模型如下：
目标函数： 约束条件：
mxi1n+xfx=21≥≥23x1512+053，，x2， 2x1+x2≤600,
x1,x2≥0.
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x2
图解法：
500
300 X1+X2=350 100
2X1+X2=600 f=2x1+3x2=1200
2x1+x2≤410，
可行域扩 大了，但并没
影响最优解和最优值，最
x2 300 B
A
Z=50x1+100x2
C 100
1设备台时获利500/10=50 元。 x1
O 100 D300 X1+X2=300
X1+X2=310
你知道对偶价格吗？
21
对偶价格的概念
约束条件右边常数项增加一单位而使最优目标函数值 得到改进的数量称为这个约束条件的对偶价格。
例1中台时约束条件的对偶价格为50元。
若例1中原料A增加了10千克，则原料A的约束变为
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二、约束条件中常数项bj的灵敏度分析
当约束条件的常数项bj变化时，其线性规划的可行
域也将变化，这样就可能引起最优解的变化。
假设例1中增加了10个设备台时，这样设备台时的
约束就变为：x1+x2≤310.
400 x2 A B B′
Z=50x1+100x2
扩大了可行域，新的最优
解：B′点(x1=60, x2=250)， 此时Z=28000，比原来增 加了500元，相当于每增加
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的 一些系数ci, aij, bj发生变化时，对最优解产生的影响。
灵敏度分析的重要性：
1、ci, aij, bj这些系数可能是估计值，不一定精确； 2、这些系数会随市场条件的变化而变化。例如原 材料价格、劳动力价格的变化都会影响这些系数；
有了灵敏度分析就不必为应付这些变化而不停求 其新的最优解，也不必因系数估计的精确性而对求 得的最优解存有怀疑。
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。
记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为
标准型：
目标函数： 约束条件：
minx1+f x=22-xs11=+335x02+，0s1+0s2+0s3
x1-s2=125,
2x1+x2+s3=600,
的模型称之为线性规划。如果目标函数或约束条件是 非线性的则称为非线性规划。
满足约束条件的解称为该线性规划的可行解。使
得目标函数最大(或最小)的可行解称为该线性规划的
最优解。
4
线性规划问题建模过程：
1．理解问题，搞清在什么条件下，追求什么样的目标。 2．定义决策变量，决策变量(X1，X2, …, Xn)的每一组值 表示问题的一个解决方案；
直线G (2X1+X2=400,斜率-2) 直线E(X1+X2=300,斜率-1)
c1, c2变动时，最优解的变化情况：
1、当-1≤ -c1/c2 ≤0 时，最优解仍在B点.
直线E的斜率≤ -c1/c2≤直线F的斜率。目标函数的直线在E与 F之间变动。故最优解仍然是B点。
2、当-2≤-c1/c2≤-1 时， 最优解在C点. 3、当-c1/c2≤-2 时，最优解在D点.
原料B 0 1 250千克 1×250=250千克．
约束条件中没使用的资源或能力称之为松弛量。
用Si表示松弛量，对最优解 x1=50,x2=250来说：
约束条件
松弛变量的值
设备台时数
s1=0
原料A
s2=50
原料B
s3=0
8
线性规划标准型
加了松弛变量后例1的数学模型可写成：
目标函数：max z=50x1+100x2+0s1+0s2+0s3， 约束条件： x1+x2+s1=300,
Z=0=X1+X2
的约束条件。
X1-X2=1 1 2 3 x1
Z=1=X1+X2
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4．无可行解的情况。
比如例1中增加一个约束条件4x1+3x2≥1200：