第6章拉普拉斯方程和格林函数法

n 在该点的值： u f
n 第二边值值问题也称牛曼（Neumann）问题.
以上两个边值问题都是 区域内部求拉普拉斯方程的解.
这样的问题称为内问题.
6．2 格林公式
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设 是以足够光滑的曲面 为边界的有界区域， P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z) 在 上连续的，在 内具有一阶连续偏导数的任意函数， 则成立如下
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以 u1, u2 表示定解问题的两个解，则它们的差 v u1 u2 必是原问题满足零边界条件的解，
对于狄氏问题， v 满足
2v 0,在内; v 0, 对于牛曼问题， v 满足
（*）
2v 0,在内;
v
n
0,
（**）
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在格林第一公式中取 u v u1 u2 则得
的奥-高公式
P x
Q y
R z
d
[P cos(n, x) Q cos(n, y) Rcos(n, z)]dS,
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下面来推导高斯公式的两个推论. 设函数 u( x, y, z) 和 v( x, y, z) 在 上具有一阶连续
偏导数，在 内具有连续的二阶偏导数.
f 满足
fdS 0.
(iii) 平均值公式
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设函数 u(M )在某区域 内是调和的，M是0
内任一点， Ka 表示以 M为0 中心，以 a 为半径，
且完全落在区域 内部的球面，则成立下列平均值公式
1
u(M0 ) 4 a2 Ka udS.
证明 将调和函数的积分表达式应用于球面 Ka
且有
1 r
1 a
,
n
1 r
r
1 r
1 a2
,
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1 u 1 u
dS
dS 0
r Ka
a Ka n
即证
(iv)拉普拉斯方程解的唯一性问题
利用格林公式讨论拉普拉斯方程解的唯一性问题， 可以证明如下的结论： （1）狄利克莱问题的解是唯一确定的； （2）牛曼问题的解除了相差一常数外也是唯一确定的.
0
v
v n
dS
(
gradv
)2
d
.
由条件(*)或(**)得 ( gradv)2d 0,
故在 内必有 gradv 0,
v v v 0, v C. x y z
对于狄氏问题，由 u 0,得C 0.故v 0.
6．3 格林函数
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在格林第二公式中取 u,v 均为调和函数，则得
r
1 r2
1
2
,
因此
u
1 r
dS
n
1
2
udS
1
2
u 4 2
4 u,
同理可得
u
1 r
dS
n
1
2
udS
1
2
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u 4 2 4 u,
将此两式代入(#)可得
u
n
1 r
1 r
u n
dS
4
u
4
u n
0.
现在令 0, 则得
1
1 1 u(M )
u(M0 ) 4
第一边值问题也称为狄利克莱(Dirichlet)问题， 拉普拉斯方程的连续解称为调和函数.所以，狄氏问题 也可以换一种说法：在区域 内找一个调和函数， 它在边界 上的值为已知.
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（2）第二边值问题 在某光滑的闭曲面 上给出
连续函数 f ，要求寻找这样一个函数 u( x, y, z) 它在 中是调和函数，在 上连续，在 上任一点处法向导数 u存在，并且等于已知函数 f
内 v1 r
是连续可微的.
在公式(4.9)中取 u 为调和函数 取 v 1 ，并以 r
K 代替该公式中的 ，得
(u2 1 1 2u)d
u
1 r
1
u
dS
,
K
rr
n r n
#
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因为在
K
内 2u 0,2 1 r
0.
而在球面
上
1 r
n
1 r
1
v
.
r ( x x0 )2 ( y y 0 )2 (z z0 )2
通常称它为三维拉普拉斯方程的基本解
由于 v
1在 r
内有奇异点 M0
,我们作一个以 M0
为中心，以充分小的正数 为半径的球面 ,
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在 内挖去 所包围的球域 K 得到区域 K
（如图），在 K
0
v
u n
u
v n
dS .
将上式与积分表达式相减得
u(M0 )
u
v n
1
4
1 n rMM0
1
4 rMM0
v
u n
dS
.
如果能选取调和函数 v 使满足
于是有
1
v
,
4 rMM0
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1
u(M0 ) u n 4 rMM0 v dS.
令
1
G(M , M0 ) 4 rMM0 v,
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第6章 拉普拉斯方程的格林函数法
6.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
三维拉普拉斯方程
2u
2u x 2
2u y2
2u z 2
0.
作为描述稳定和平衡等物理现象的拉普拉斯方程， 它不能提初始条件.至于边界条件，应用得较多的 是如下两种边值问题.
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（1）第一边值问题 在空间 ( x, y, z) 中某一区域 的边界 上给定了连续函数 f ，要求这样一个函数 u( x, y, z) ，它在闭域 (或记作 )上连续，在 内存在二阶偏导数且满足拉普拉斯方程，在 上与已知函数 f 相重合，即 u f .
dS
grad
u grad
v
d.
( u 2v
v 2u)d
u
v n
v
u n
dS
.
————第二格林公式
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利用格林公式我们可以推出调和函数的一些基本性质.
(i)调和函数的积分表达式
设 M0( x0 , y0 , z0是) 内某一固定点，求调和函数 在这点的值，为此，构造一个函数
1
u(M )
n
rMM0
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rMM0
dS, n
(ii)牛曼内问题有解的必要条件
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设 u 是在以 为边界的区域 内的调和函数，
在 上有一阶连续偏导数，则在公式(6.9)中取
u为所给的调和函数，取 v 1，就得到
u
dS 0
由此可得牛曼内问题
n
u
n
f
有解的必要条件为函数
在高斯公式中令 P u v ,Q u v , R u v ,
x
y
z
则有
(u
2v )d
u x
v x
u y
v y
u z
v z
d
v
u
n
dS
,
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(u
2v
)d
u
v n
dS
grad
u grad
v
d.
上式称为第一格林公式，
在上式中交换 u,v位置，则得
(v
2u)d
v
u n