正弦稳态电路分析和功率计算
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正弦稳态电路的分析功率因数
U cos 220 0.5
发电与供电设备 的容量要求功率 因素较大
A
供电局一般要求用户的 COS 0.85 ，
否则受处罚。
126
常用电路的功率因数
纯电阻电路
★
COS 1
( 0)
纯电感电路或 纯电容电路
COS 0 ( 90)
R-L-C串联电路
0 COS 1
(90 90)
电动机 空载 满载
COS 0.2 ~ 0.3
COS 0.7 ~ 0.9
日光灯 （R-L-C串联电路）
COS 0.5 ~ 0.6 127
提高功率因数的原则：
必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负 载上的电压和负载的有功功率不变。
提高功率因数的措施:
+
并联电容
U
_
I
R +_UR IRL +
j L UL _
IC
1
j C
128
并联电容值的计算
设原电路的功率因数为 cos L，要求补偿到
cos 须并联多大电容？（设 U、P 为已知）
I
+
R +_UR
U
IRL +
j L UL _
_
IC
1
j C
IC
U
L
I
IRL
129
分析依据：补偿前后 P、U 不变。
由相量图可知：
IC I RL sin L I sin
IC
P UI RL cosL
P UI cos
并联前 并联后
U
L
I
IC
IC U XC U C
UC P U cos L
sin L
发电与供电设备 的容量要求功率 因素较大
A
供电局一般要求用户的 COS 0.85 ，
否则受处罚。
126
常用电路的功率因数
纯电阻电路
★
COS 1
( 0)
纯电感电路或 纯电容电路
COS 0 ( 90)
R-L-C串联电路
0 COS 1
(90 90)
电动机 空载 满载
COS 0.2 ~ 0.3
COS 0.7 ~ 0.9
日光灯 （R-L-C串联电路）
COS 0.5 ~ 0.6 127
提高功率因数的原则：
必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负 载上的电压和负载的有功功率不变。
提高功率因数的措施:
+
并联电容
U
_
I
R +_UR IRL +
j L UL _
IC
1
j C
128
并联电容值的计算
设原电路的功率因数为 cos L，要求补偿到
cos 须并联多大电容？（设 U、P 为已知）
I
+
R +_UR
U
IRL +
j L UL _
_
IC
1
j C
IC
U
L
I
IRL
129
分析依据：补偿前后 P、U 不变。
由相量图可知：
IC I RL sin L I sin
IC
P UI RL cosL
P UI cos
并联前 并联后
U
L
I
IC
IC U XC U C
UC P U cos L
sin L
《电路基础》第22讲 正弦稳态电路的计算
已知：U=115V , U1=55.4V ,
U2=80V , R1=32 , f=50Hz 求： 线圈的电阻R2和电感L2 。
解一： I U1 / R1 55.4 / 32
U
I
(R1 R2 )2 (L)2
U2
I
R22 (L)2
115
55.4
(32 R2 )2 (314L)2 32
80
55.4
i2 0.182 2 cos(314t 20) A
i3 0.57 2 cos(314 t 70) A
14
例4. 已知：IS 490o A , Z1 Z 2 j30Ω
Z3 30Ω , Z 45Ω 求：I.
Z2 I
解： 法一：电源变换
IS
Z1 Z3 Z
Z1
//
Z3
30( j30) 30 j30
∑i (t) = 0 ∀t ∑I= 0
∑u (t) = 0 ∀t ∑U= 0
3. 基本元件VCR（VAR）的相量形式
UR RIR
UR RIR
UL jL IL
U L LIL
UC
1
jC
IC
j
1
C
IC
UC
1
C
IC
∑Im = 0 ∑Um = 0
u i
u
i
2
u
i
2
7
3. 感抗、容抗、电抗、复阻抗、感纳、容纳、电纳、复导纳
i2 R1 i1
i3 C
+
R2
_u
L
I1 I2 R1
I3
j 1 C
+
R2
U _
Z1
Z2
jL
第9章 正弦稳态电路的分析
§9.3 电路的相量图
例1： 应用相量图求图示电路的电压表的读数。
解：RC串联电路， I 设参考相量：= I 00 A I· + 8V + R 画相量图： + 1 · 先画参考相量： 如图（a）所示， U V jwC 11V I， 再画相量 UR , UR 与相量 I 同相， 再画相量 UC， UC 相量滞后 I90º 。 · UR 而 U=UR+UC ·I· 因此得直角三角形，所以 · UC U
1 | Y |= , φz = -φy |Z |
RL串联电路如图，求在w＝106rad/s时的等效并 例 联电路。 50W 解 RL串联电路的阻抗为：
X L = w L = 106 0.06 10-3 = 60W
0.06mH
Z = R jX L = 50 j60 = 78.150.20 W
z
但有受控源时，可能会出现
| j z | 90
或
| j y | 90
其实部将为负值，其等效电路要设定受控 源来表示实部；
注意
③一端口N0的两种参数Z和Y具有同等效用，彼 此可以等效互换，其极坐标形式表示的互换 条件为
| Z || Y |= 1
jz j y = 0
6. 阻抗（导纳）的串联和并联 ①阻抗的串联
1 1 Y= = = 0.0128 - 50.20 W Z 78.150.20 = 0.0082 - j0.0098 S 1 1 R = = = 122 W G 0.0082 1 L = = 0.102 mH 0.0098w
R’
L’
注意
①一端口N0的阻抗或导纳是由其内部的参数、结 构和正弦电源的频率决定的，在一般情况下， 其每一部分都是频率的函数，随频率而变； ②一端口N0中如不含受控源，则有 | j y | 90 | j | 90 或
电路原理-正弦稳态电路的分析
对记录的数据进行分析，验证正 弦稳态电路的原理和性质。
实验结果与讨论
实验结果
通过实验观察和数据记录，可以 得出正弦稳态电路中电压和电流 的波形关系，以及元件参数对波
形的影响。
结果分析
对实验结果进行分析，验证正弦稳 态电路的基本原理，如欧姆定律、 基尔霍夫定律等。
实验讨论
讨论实验中可能存在的误差来源， 如电源稳定性、示波器的测量误差 等。同时，可以探讨如何减小误差、 提高实验精度的方法。
04 正弦稳态电路的分析实例
单相交流电路分析
总结词
分析单相交流电路时，需要计算电流、电压的有效值以及功率等参数，并考虑阻 抗、导纳和相位角等因素。
详细描述
在单相交流电路中，电压和电流都是时间的正弦函数。为了分析电路，我们需要 计算电流和电压的有效值，以及功率等参数。此外，还需要考虑阻抗、导纳和相 位角等因素，以便更准确地描述电路的性能。
实验步骤与操作
3. 观察波形
2. 连接电源
将电源连接到电路中，为电路提 供稳定的交流电压。
使用示波器观察电路中各点的电 压和电流波形，并记录数据。
4. 调整元件参数
通过调整电阻器、电容器和电感 器的参数，观察波形变化，并记 录数据。
1. 搭建正弦稳态电路
5. 分析数据
根据实验要求，使用电阻器、电 容器和电感器搭建正弦稳态电路。
相量法
1
相量法是一种分析正弦稳态电路的方法，通过引 入复数相量来表示正弦量，将时域问题转化为复 数域问题，简化计算过程。
2
相量法的核心思想是将正弦电压和电流表示为复 数形式的相量，并利用相量图进行电路分析。
3
相量法的优点在于能够直观地表示正弦量的相位 关系和幅度关系，简化计算过程，提高分析效率。
第九章 正弦稳态电路的分析
1 1 Y = = −53.13°S = (0.024 − j0.032)S (感 ) 性 eq Zeq 25
9-2
电路的相量图
分析阻抗（导纳） 分析阻抗（导纳）串、并联电路时，可以利用相关的 并联电路时， 电压和电流相量在复平面上组成的电路的相量图。 电压和电流相量在复平面上组成的电路的相量图。 1. 并联电路相量图的画法 并联电路相量图的画法 ① 参考电路并联部分的电压相量。 参考电路并联部分的电压相量。 根据支路的VCR确定各并联支路的电流相量与电压相 ② 根据支路的 确定各并联支路的电流相量与电压相 量之间的夹角。 量之间的夹角。 根据结点上的KCL方程，用相量平移求和法则，画出结点 方程， ③ 根据结点上的 方程 用相量平移求和法则， 上各支路电流相量组成的多边形。 上各支路电流相量组成的多边形。
R = G2GB2 , +
−B X = G2+B2
1 | Y |= , φZ = −φY |Z|
已知：R=15Ω, L=12mH, C=5µF, u =100 2cos(5000t) 例9-1 已知 试求:(1)电路中的电流 i, （瞬时表达式）和各元件的 电路中的电流 瞬时表达式） 试求 电压相量； 电路的等效导纳和并联等效电路 电路的等效导纳和并联等效电路。 电压相量；(2)电路的等效导纳和并联等效电路。 jω L R L R • + • - + UL + + uR - + uL - + + + uS C
第二种分解方法
第一种分解方法： p(t) =UI[cosϕ + cos(2ωt −ϕ)] 第一种分解方法： p UIcosϕ 恒定分量 恒定分量 u i
O
正弦稳态电路的功率公式
正弦稳态电路的功率公式——深入浅出理解正弦稳态电路是电路理论中的基本概念，其功率公式是电学中的热门话题。
本文将深入浅出地介绍正弦稳态电路的功率公式，帮助读者系统地理解和掌握这一重要理论。
首先要明确的是，正弦稳态电路的功率公式是指在周期性交流电源作用下，电路中所传递的功率。
正弦稳态电路中，电流和电压均为正弦波形，其功率公式可以表示为：P=VIcosφ其中，P表示电路的有功功率，V和I分别表示电路中的电压和电流，φ表示电路中电流和电压之间的相位角。
我们可以通过下面的图例来进一步理解这个公式：在图例中，V是电路中的电压，I是电路中的电流，它们的波形均为正弦函数。
在时间t=0时，电流I的相位角为0，电压V的相位角为θ，因此φ的值等于θ。
通过对P=VIcosφ公式的应用，我们可以计算出电路中的有功功率P。
下面举个例子来说明如何求解正弦稳态电路中的功率。
假设我们有一个电路，电压源为220V，电阻为10Ω，交流频率为50Hz，我们需要求解该电路的功率。
首先，我们需要计算电路中的电流，通过欧姆定律可知电流I=V/R，因此I=22A。
接下来，我们需要求解相位角φ。
由于电路中只有电阻，电流和电压之间没有相位差，因此φ=0。
因此，根据功率公式，我们可以计算得到电路中的有功功率P=VIcosφ=22*220*1=4840W。
总之，正弦稳态电路的功率公式是电学中的基本概念，是电路分析和设计中必须掌握的知识点。
本文通过生动的示意图和实例应用，帮助读者深入浅出地理解和掌握正弦稳态电路的功率公式。
无论你是电学专业的学生，还是从事电路设计和调试等工作的工程师，掌握这一知识点都是非常重要的。
第五章正弦稳态电路的分析
正弦电流电路
激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路 （正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
研究正弦电路的意义
1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 占有十分重要的地位。
优 ①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、 点 积分运算后仍是同频率的正弦函数。
②正弦信号容易产生、传送和使用。
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j
F | F | e | F |
j
极坐标式
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几种表示法的关系：
Im
F a jb
F | F | e | F |
j
b |F|
F
O
| F | a b b 或 θ arctan( ) a
2 2
a
Re
a | F | cos b | F | sin
O
F Re
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特殊旋转因子
jF
Im
F
Re
jF
π jπ π π 2 , e cos( ) jsin( ) j 2 2 2
O
F
π j π π π 2 , e cos( ) jsin( ) j 2 2 2
π , e
w 2π f 2π T (3) 初相位
单位： rad/s ，弧度/秒
反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
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注意 同一个正弦量，计时起点不同，初相
位不同。
i
=0
一般规定：| |< 。
O
=/2
wt
=－/2
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正弦稳态电路的功率公式
正弦稳态电路的功率公式在电路中，功率是电能转换的重要指标之一。
而对于正弦稳态电路，我们可以通过一条简单而有效的公式来计算其功率。
本文将详细介绍正弦稳态电路的功率公式，并解释其背后的原理和应用。
一、正弦稳态电路的功率公式正弦稳态电路是指电路中的电流和电压都是正弦波形式，并且其频率保持不变。
在这种情况下，我们可以使用以下功率公式来计算电路中的功率：P = Vrms * Irms * cos(θ)其中，P表示电路的功率，Vrms表示电压的有效值，Irms表示电流的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
二、功率公式的原理解释为了更好地理解功率公式的原理，我们可以从电能转换的角度来解释。
在正弦稳态电路中，电流和电压都是周期性变化的，而功率则是电能转化的速率。
根据能量守恒定律，电路中产生的功率等于电能的消耗速率。
在公式中，Vrms和Irms分别表示电压和电流的有效值。
有效值是指在一个周期内，电压和电流的平方值的平均值的平方根。
有效值可以反映电压和电流的实际大小，而不受正弦波形式的影响。
而c os(θ)则表示电压和电流之间的相位差。
相位差是指电压和电流的波形之间的时间差，它可以是正值、负值或零值。
当相位差为零时，电压和电流完全同相，功率取得最大值。
当相位差为正值或负值时，电压和电流存在一定的错位，功率将减小。
因此，正弦稳态电路的功率公式可以通过电压和电流的有效值以及它们之间的相位差来计算电路的功率。
三、功率公式的应用功率公式在电路分析和设计中有着广泛的应用。
它可以帮助我们计算电路中的功率消耗，并进一步优化电路的设计。
功率公式可以用于计算电路中不同元件的功率消耗。
例如，我们可以通过测量电压和电流的有效值，并计算它们之间的相位差，来确定电阻、电容或电感元件的功率消耗。
功率公式可以用于分析电路中的功率传递和传输效率。
通过计算电路中不同节点的功率，我们可以了解能量在电路中的分布情况，找出能量损失的原因，并进一步改进电路的效率。
第09章正弦稳态电路的分析-2功率计算(丘关源)
cos
I
希望将cos 提高
2、提高线路功率因数的原则 必须保证原负载的工作状态不变。即： 负载上的电压、电流、功率、功率因数……不变。
3、提高线路功率因数的方法
并电容
. I . U
R. IRL
L
. IC
C
并联电容提高线路功率因数的原理
. I . U
R. IRL
L
. IC
C
IC
U
I 2
1
IRL
并联电容C以前：I IRL，U、I的夹角为 1
(P jQ) S 0
或：S总 S1 S2
注意：复功率守恒,不等于视在功率守恒。即∑S≠0 比如串联电路∵U≠U1＋U2 ＋……
∴S≠S1＋S2 ＋……
§9.6 交流电路中的最大功率传输
一、负载获得的有功功率？
I
有源 + 线性 U ZL 网络 -
用戴维南 定理等效
Zi +
US
-
I + U ZL -
设：Zi＝Ri + jXi ， ZL＝ RL + jXL
I US Zi ZL
US us (R i RL )2 ( X i XL )2 iL
I I
负载获有功功率： P RLI 2
( Ri
RL
RLU
2 S
)2 (Xi
XL
)2
P
(R i
RLU
2 S
RL )2 ( X
i
XL )2
二、最大功率传输的条件(什么情况下负载获P max?)
P
pdt
T0
1
T
T 0
[UI
cos
( u
正弦稳态电路分析和功率计算
仍为感性。
(5) 导纳三角形
Y G B
2 2
|Y|
|Y|
|B| G
(6) 导纳是频率的函数
Y(j) = G() + jB()
例 已知 R = 15 , L = 10mH , C = 100µ F , 求 uS(t)分别 2 cos 500 t V 2 cos 3000 t V 为 120 与 120 时的稳态电 流 i(t)，并画出相量图。
1 I 记为 Y。 即 Y 。单位：西门子（S）. Z U
元件
I
Y
U
I Y U
—— 欧姆定律的相量形式
U Z I
1 I Y Z U
一端口
+ U
I
N0
—— 输入阻抗 (导纳)
N 只含阻抗与受控源
3. 分析
I Y U
(1) 元件与不含独立源的一端口的 VCR 统一表达为： ，不再表现为微积分的关系； I Y U I (2) Y 为一复数，记为 Y = G + jB . U 其中： G — 电导分量 (S)； B — 电纳分量 (S) 1 BL — 感纳 BC = C — 容纳； L I I I 2 2 (3) Y Y i u Y G B U U U
正弦稳态电路：（ m个网孔，m个网孔电流 Im1 , Im2 , … Imm）
Z Im Im2 Z Im m U 11 1 Z 12 1 m S 11 I Z I Z I U Z 21 m 1 22 m 2 2m m m S22 Z I Z I Z I U 1 m 1 m 2 m 2 m mm m Sm m m
电路分析基础-7正弦稳态功率的计算-精选文档
平均功率实际上是网络内电阻消耗的功率，亦称为有功 功率。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压电流有效 值有关，而且与 cos 有关，这是交流和直流的主要区别, 主要由于电压、电流存在相位差。
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7.2.2 无功功率 Q (reactive power)
Q UIsin φ
def
单位：var (乏)。
P UI cos 单位：W
单位：var Q UI si n
S UI 单位：VA
Q P tan
S P Q
2 2
S
P
Q
功率三角形
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7.2.4-6 R、L、C元件的有功功率和无功功率 i + u i + u i + u C L R
2 2 P UI cos UI cos 0 UI I RU / R
X
P UI cos U I R
U R
I G
P UI cos φ UI G
U
+
U
I G
G
IB
_
B
I B
I
Q UI sin φ UI B
为 的有功分量 称 I I G 为 的无功分量 称 I I
B
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例
+
U _
三表法测线圈参数。 已知 f =50Hz，且测得U=50V， I=1A，P=30W。 I * A * W 方法一 解 R V S UI 50 1 50 V A Z LΒιβλιοθήκη 吸收无功为正 吸收无功为负
2 2 2 2
S P Q IR X I Z
2 2
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7.2.2 无功功率 Q (reactive power)
Q UIsin φ
def
单位：var (乏)。
P UI cos 单位：W
单位：var Q UI si n
S UI 单位：VA
Q P tan
S P Q
2 2
S
P
Q
功率三角形
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7.2.4-6 R、L、C元件的有功功率和无功功率 i + u i + u i + u C L R
2 2 P UI cos UI cos 0 UI I RU / R
X
P UI cos U I R
U R
I G
P UI cos φ UI G
U
+
U
I G
G
IB
_
B
I B
I
Q UI sin φ UI B
为 的有功分量 称 I I G 为 的无功分量 称 I I
B
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例
+
U _
三表法测线圈参数。 已知 f =50Hz，且测得U=50V， I=1A，P=30W。 I * A * W 方法一 解 R V S UI 50 1 50 V A Z LΒιβλιοθήκη 吸收无功为正 吸收无功为负
2 2 2 2
S P Q IR X I Z
2 2
第九章-正弦稳态电路的分析
（举例略）
例：9-4-2如图，列出节点电压相量方程
33
-j5Ω
1
2
5Ω 10o A
j12Ω
j5Ω -j10Ω
10Ω -j0.5A
设节点与参考节 点如图
(1 5
1 j10
1 j12
1 )U j5 1
(
1 - j5
1 )U j12 2
00
A
I 2
3
.
1
4
-
300
A
I 3.14300 A
R jωL IU2S（略）
练习9-7
习题：9-1 （b）、（e）
23
9-3 （4）
9-7 9-11
说明：9-7 求R、L时，习题解答单纯根据相量电 路列方程求解较麻烦，借助相量图分析得 到电流电压相量，然后，由
Z
R
jωL
U I
部分答案参考：
9 （1 b)Zin 2 j, Yin 0.4 j0.2
=2A。求电流表 A 读数
1
I
解：利用KCL建立电路方程
+
U
-
A
R1
-j 1
A1 I1
I2 A2
R2
1、设I2 20O
I 1
R1
U
j1 ωC
U00
1 ωC
j1 ωC
I1 1A
I1 14 5O
I14 5O
ωC
2 、I I1 I2 0 . 7 0 7 j 0 . 7 0 7 2 I 2 . 7 0 72 0 . 7 0 72 2.8( A )
Yeq Y1 Y2 Yn — 端口等效导纳
两个阻抗并联，则等效导纳：
Y
Y 1
例：9-4-2如图，列出节点电压相量方程
33
-j5Ω
1
2
5Ω 10o A
j12Ω
j5Ω -j10Ω
10Ω -j0.5A
设节点与参考节 点如图
(1 5
1 j10
1 j12
1 )U j5 1
(
1 - j5
1 )U j12 2
00
A
I 2
3
.
1
4
-
300
A
I 3.14300 A
R jωL IU2S（略）
练习9-7
习题：9-1 （b）、（e）
23
9-3 （4）
9-7 9-11
说明：9-7 求R、L时，习题解答单纯根据相量电 路列方程求解较麻烦，借助相量图分析得 到电流电压相量，然后，由
Z
R
jωL
U I
部分答案参考：
9 （1 b)Zin 2 j, Yin 0.4 j0.2
=2A。求电流表 A 读数
1
I
解：利用KCL建立电路方程
+
U
-
A
R1
-j 1
A1 I1
I2 A2
R2
1、设I2 20O
I 1
R1
U
j1 ωC
U00
1 ωC
j1 ωC
I1 1A
I1 14 5O
I14 5O
ωC
2 、I I1 I2 0 . 7 0 7 j 0 . 7 0 7 2 I 2 . 7 0 72 0 . 7 0 72 2.8( A )
Yeq Y1 Y2 Yn — 端口等效导纳
两个阻抗并联，则等效导纳：
Y
Y 1
正弦稳态电路的功率公式
正弦稳态电路的功率公式1.有功功率：有功功率表示电路中能转化为其他形式的功率，通常是用于实现有用功能的功率。
在正弦稳态电路中，有功功率可以通过电压和电流的乘积来计算。
对于单相电路，有功功率的公式如下：P = V × I × cos(θ)其中，P表示有功功率，V表示电流的有效值，I表示电压的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
在三相电路中，有功功率的公式如下：P = √3 × V × I × cos(θ)其中，P表示有功功率，V表示电压的有效值，I表示电流的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
2.无功功率：无功功率表示电路中产生的电能不能被转化为其他形式的功率，它主要是用来提供电路元件的无效功率。
在正弦稳态电路中，无功功率可以通过电压和电流的乘积来计算。
对于单相电路，无功功率的公式如下：Q = V × I × sin(θ)其中，Q表示无功功率，V表示电流的有效值，I表示电压的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
在三相电路中，无功功率的公式如下：Q = √3 × V × I × sin(θ)其中，Q表示无功功率，V表示电压的有效值，I表示电流的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
3.视在功率：视在功率表示电路中的总功率，它等于有功功率和无功功率的向量和。
在正弦稳态电路中，视在功率可以通过电压和电流的乘积来计算。
对于单相电路，视在功率的公式如下：S=V×I其中，S表示视在功率，V表示电流的有效值，I表示电压的有效值。
在三相电路中，视在功率的公式如下：S=√3×V×I其中，S表示视在功率，V表示电压的有效值，I表示电流的有效值。
4.功率因数：功率因数表示有功功率和视在功率之间的比率，它反映了电路中有效功率的利用率。
功率因数通常用cos(θ)表示，在正弦稳态电路中，功率因数可以通过有功功率和视在功率的比值来计算。
正弦稳态电路的功率、 复功率 、最大功率传输
有功功率守恒 无功功率守恒
S UI S1 S 2 (U1 U 2 ) I 视在功率不守恒
14
3. 功率因数的提高
功率因数：
P cos S
功率因数反映了用电设备的有功功率占供电设备 视在功率的比重。 一般用电设备多为感性负载（可等效为电阻和电 感的串联电路），导致电路的功率因数较低。
UR
电压三角形
I
+ U _
IG G
IB jB
IG
IB
P UI cosφ UIG U Q UI sinφ UI B
I
称 I G 为 I 的有功分量 称 I B 为 I 的无功分量
9
电流三角形
|Z|
R
X
|Y|
G
B
U
UR
UX
I
IG
IB
P
S
Q
相似三角形 5. 正弦交流电路功率的测量
§9-4 正弦稳态电路的功率
I
+
U
-
无源 线性 网络
u (t ) 2U cos t i (t ) 2 I cos(t φ)
φ u i
1. 瞬时功率p(t)
p(t ) u (t )i(t ) 2U cos t 2 I cos(t φ)
UI[cos φ cos( 2t φ)] 第一种分解方法 UI cos φ(1 cos 2t ) UI sin sin 2t
讨论：ZL=RL+jXL获得最大功率的条件？ 1）讨论 ZL=RL+jXL可任意改变的情况 ① 先假设RL不变，XL可变。 当XL = -Xeq时，Z＝Req+RL，P达到最大。
正弦稳态电路的分析
一、阻抗 1. 一端口的阻抗 不含独立电源N0 ，当它在正弦电源激励下处于稳 不含独立电源N 态时，端口的电压、电流都是同频率的正弦量， 态时，端口的电压、电流都是同频率的正弦量，即 u = 2U cos(ωt +ϕ ) U = U∠ϕ →ɺ
u u
9-1 阻抗与导纳
0
i = 2I cos(ωt +ϕi ) I = I∠ϕi →ɺ 则它的端电压相量与端电流相量的比 阻抗Z 值定义为该一端口N 值定义为该一端口N0的(复)阻抗Z，即
ɺ 解: 选择 U'作为参考相量
ɺ IR
ɺ U'
α =45°
ɺ IC
∵ωL = 200×0.25 = 50Ω= R ∴IR = IL 由几何关系得: 由几何关系得:
ɺ IL
ɺ US ɺ UC
ɺ ɺ ɺ IC = I R + I L ɺ ɺ ɺ US = U′ +UC
UC =US =100V, U′ =100 2V U′ ∴IR = IL = = 2 2A , IC = 2IR = 4A , R IC 1 UC ∴ = ,C= = 2×10−4 F = 200µF ωC IC ωUC
def
R jX
|Z|——阻抗 的模； ϕ Z ——阻抗角； 阻抗Z的模 阻抗角； 阻抗 的模； 阻抗角 R——等效电阻；X——等效电抗。 等效电阻； 等效电抗。 等效电阻 等效电抗 为实数， 称为感性阻抗， (R为实数，X>0称为感性阻抗，X<0称 为实数 X>0称为感性阻抗 X<0称
ɺ U U Z === = ∠(ϕu −ϕi ) =| Z | ∠ϕZ = R + jX ɺ I I
第九章 正弦稳态电路的分析
20 正弦稳态电路的一般分析及最大平均功率传输
南京理工大学自动化学院
习题
例：已知Z1= 200+j100 , Z2= 500+j1500 , 要求 I 2 与U 已知Z 相差 90o，求R = ?
.
+
I
.
Z1 Z2
I2
U
_
R
.
.
R = 2kΩ
电路
南京理工大学自动化学院
习题
例：已知Uab=100 2 V, 两并联支路的平均功率为100W， 已知U 两并联支路的平均功率为100W， (1)阻抗 阻抗Z (2)整个电路的 cos ϕ = 0.707 ，且ϕ < 0 。求(1)阻抗Z=？(2)整个电路的
ZL
取ZL= |Zeq| = 5 时，可获Pmax: |Z
P2 max
电路
10 5 × 100 25 W<P = 5× = = 1max 2 2 80 4 8 +4
南京理工大学自动化学院
2
8.5 最大平均功率的传输
除非作特别说明， 除非作特别说明，通常所说的负载获得最大平均功率 PLmax为最佳共轭匹配时负载获得的平均功率。 为最佳共轭匹配时负载获得的平均功率。
.
电路
8.4 正弦稳态电路的一般分析方法
解：首先画出时域电路对应的相量模型，并采用网孔法： 首先画出时域电路对应的相量模型，并采用网孔法：
g
I1
3
g
.
-j2 j4
g
g
+ _U s
I2
Ia
Ib
+ g _ 2 I1
.
I1 = I a , I 2 = I b (3 + j4) I a − ( j4) I b = U S = 10∠0o (3 + j4) I a − j4 I b = 10 ⇒ − j4 I a + ( j4 − j2) I b = −2 I 1 (2 − j4) I a + j2 I b = 0
习题
例：已知Z1= 200+j100 , Z2= 500+j1500 , 要求 I 2 与U 已知Z 相差 90o，求R = ?
.
+
I
.
Z1 Z2
I2
U
_
R
.
.
R = 2kΩ
电路
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习题
例：已知Uab=100 2 V, 两并联支路的平均功率为100W， 已知U 两并联支路的平均功率为100W， (1)阻抗 阻抗Z (2)整个电路的 cos ϕ = 0.707 ，且ϕ < 0 。求(1)阻抗Z=？(2)整个电路的
ZL
取ZL= |Zeq| = 5 时，可获Pmax: |Z
P2 max
电路
10 5 × 100 25 W<P = 5× = = 1max 2 2 80 4 8 +4
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2
8.5 最大平均功率的传输
除非作特别说明， 除非作特别说明，通常所说的负载获得最大平均功率 PLmax为最佳共轭匹配时负载获得的平均功率。 为最佳共轭匹配时负载获得的平均功率。
.
电路
8.4 正弦稳态电路的一般分析方法
解：首先画出时域电路对应的相量模型，并采用网孔法： 首先画出时域电路对应的相量模型，并采用网孔法：
g
I1
3
g
.
-j2 j4
g
g
+ _U s
I2
Ia
Ib
+ g _ 2 I1
.
I1 = I a , I 2 = I b (3 + j4) I a − ( j4) I b = U S = 10∠0o (3 + j4) I a − j4 I b = 10 ⇒ − j4 I a + ( j4 − j2) I b = −2 I 1 (2 − j4) I a + j2 I b = 0
第6章(3)正弦稳态电路的功率
1 T P = ∫ p (t )dt = UI cos ϕ = UI λ T 0
单位：瓦 (6.5-3)
在正弦稳态情况下，平均功率不仅与电压、电流的有 效值有关，而且与电压、电流的位相差有关。 式中 λ = cos ϕ 称为功率因数(power factor) ϕ = ϕu − ϕi 称功率因数角(power-factor angle) 通常所说的功率，都是指平均功率而言。平均功 率又叫有功功率(active power)。
Q = UI sin ϕ = UI sin ϕ Z
(6.5-27)
②Reactive Power in Terms of Z or Y : 对于不含 独立源的一端口，无功功率也可以 用阻抗或导纳计算。根据式(6.5-6)和(6.5-18)， (6.5-18)，即 2 * * (6.5-28a) Q = Im(UI ) = Im( ZII ) = I Im( Z ) = I 2 X (ω )
p (t ) = UI cos ϕ + UI cos(2ωt + 2ϕu − ϕ ) = UI cos ϕ + UI cos ϕ cos(2ωt + 2ϕu ) + UI sin ϕ sin(2ωt + 2ϕu )
(6.5-2) 上式中第一项始终大于(或小于、或等于零)，它是 瞬时功率中的不可逆部分；第二项是瞬时功率中的 可逆部分，其值正负交替，说明能量在外施电源和 二端网络之间来回交换。
第六章 正弦电路的稳态分析
注： i) 如果一端口只由R、L、C等无源元件组成，则功率 因数角φ＝阻抗角φZ，且|φZ|≤900，所以平均功率P≥0， 一端口吸收能量。根据能量守恒可知，P为一端口中电阻 元件所消耗的总功率（∵L、C元件不耗能）。 ii) 如果一端口除无源元件外尚有受控源(亦有功率因 数角φ＝阻抗角φZ)， |φZ|可能＞900。其平均功率P为负 值，说明该一端口对外提供能量。 iii) 如果一端口内含有独立电源，则功率因数角φ为 端口电压与端口电流的位相差。P可能为正，也可能为负 值。即一端口可能吸收能量，也可能对外提供能量。
单位：瓦 (6.5-3)
在正弦稳态情况下，平均功率不仅与电压、电流的有 效值有关，而且与电压、电流的位相差有关。 式中 λ = cos ϕ 称为功率因数(power factor) ϕ = ϕu − ϕi 称功率因数角(power-factor angle) 通常所说的功率，都是指平均功率而言。平均功 率又叫有功功率(active power)。
Q = UI sin ϕ = UI sin ϕ Z
(6.5-27)
②Reactive Power in Terms of Z or Y : 对于不含 独立源的一端口，无功功率也可以 用阻抗或导纳计算。根据式(6.5-6)和(6.5-18)， (6.5-18)，即 2 * * (6.5-28a) Q = Im(UI ) = Im( ZII ) = I Im( Z ) = I 2 X (ω )
p (t ) = UI cos ϕ + UI cos(2ωt + 2ϕu − ϕ ) = UI cos ϕ + UI cos ϕ cos(2ωt + 2ϕu ) + UI sin ϕ sin(2ωt + 2ϕu )
(6.5-2) 上式中第一项始终大于(或小于、或等于零)，它是 瞬时功率中的不可逆部分；第二项是瞬时功率中的 可逆部分，其值正负交替，说明能量在外施电源和 二端网络之间来回交换。
第六章 正弦电路的稳态分析
注： i) 如果一端口只由R、L、C等无源元件组成，则功率 因数角φ＝阻抗角φZ，且|φZ|≤900，所以平均功率P≥0， 一端口吸收能量。根据能量守恒可知，P为一端口中电阻 元件所消耗的总功率（∵L、C元件不耗能）。 ii) 如果一端口除无源元件外尚有受控源(亦有功率因 数角φ＝阻抗角φZ)， |φZ|可能＞900。其平均功率P为负 值，说明该一端口对外提供能量。 iii) 如果一端口内含有独立电源，则功率因数角φ为 端口电压与端口电流的位相差。P可能为正，也可能为负 值。即一端口可能吸收能量，也可能对外提供能量。
电路原理6.5.6正弦稳态电路的功率 - 正弦稳态电路的功率2
P吸
24I
2
40I
2 R
24 (2.5)2
40 (1.5)2
240
W
Q发 USI sin φ 160 2.5(0.8) 320 Var
Q吸
18I
2
30
I
2 C
50I
2
18(2.5)2 30 22 50(2.5)2 320 Var
第6章 正弦交流电路的稳态分析
六、功率的测量
D26型功率表面板
•
+
•
•
+ U1
– IC
j30Ω +
US –
+• – U 2 j50Ω
•
U3
–
U&3 ( j50)I& ( j50) 2.553.1o 125 36.9o (100 j75)V
US U1 U2 U3 j75 60 100 j75 1600V P发 USI cosφ 160 2.5 0.6 240 W
单位：VA
S P2 Q2
S
Q
P
功率三角形
Z
X
R
阻抗三角形
Y
－
B
G
导纳三角形
第6章 正弦交流电路的稳态分析
电压、电流的有功分量和无功分量： (以感性负载为例，设 U U0o )
UX
UR I UR
I R
U UX
+ U_
+
UR
_+ U_X
U R I UI cos P
称U&R为U&的有功分量
jX U X I UI sin Q
五、 复功率
为了用相量 U&和 I&来计算功率，引入“复功率 S ”。
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i(t)
uS(t)
iR
iL iC
R LC
(1) +j IC IR O 66
US +1
I I = 19.7 –66 A
(2) IC +j I
IL
I = 33 76 A
Z = 3.64 –76
Z = 6.09 66 Y = 0.164 –66 S
O 76IR
US +1
IL
Y = 0.275 76 S
二、阻抗和导纳的串并联 （9 - 2）
Req = R1 + R2 + … + Rn
Zeq = Z1 + Z2 + … + Zn
Uk
Zk Zeq
U
Z1
Zeq + R1
Req
U Zn
Rn
I
Z2
R2
•••
+
Zk RUkk
•••
Yeq
Geq
Y1 Y2
G1 G2
•••
Yk
Gk
Ik
•••
Yn
Gn
Geq = G1 + G2 + … + Gn
二、导纳
1. 定义 阻抗的倒数 称为导纳。
元件 (一端口) 在正弦稳态下，电流相量与电压相
量（关联参考方向）之比为元件 (一端口) 的导纳，
记为
Y。
即
Y
1 Z
UI。单位：西门子（S）.
电阻
IR R
UR
YR
IR UR
1 R
电感
IL jL
UL
YL
IL UL
1 jL
电容
IC
j 1 C
UC
YC
思考：Z 1 , Y 1
Y
Z
(1) |Z| 与 |Y| 关系如何？
(2) Z 与 Y 关系如何？
| Z | 1 |Y|
Z = Y
(3) R，X，G，B 关系如何？
R
G G2 B2
,
X
G
2
B
B2
G
R R2 X2
,
B
R
2
X
X
2
G 1 ,B 1 RX
9 - 2, 3, 4 正弦稳态电路的分析
IC UC
jC
二、导纳
1. 定义 阻抗的倒数 称为导纳。
元件 (一端口) 在正弦稳态下，电流相量与电压相
量（关联参考方向）之比为元件 (一端口) 的导纳，
记为
Y。
即
Y
1 Z
UI。单位：西门子（S）.
元件 I Y
U
I Y U
—— 欧姆定律的相量形式
一端口
I
+
U
N0
Z
U I
Y
1 Z
I U
—— 输入阻抗 (导纳)
3. 分析 U Z I
(1) 元件与不含独立源的一端口的 VCR 统一表达为： U Z I，不再表现为微积分的关系；
(2)
Z
U I
为一复数，记为
Z
=
R
+
jX
.
其中： R — 电阻分量( )； X — 电抗分量()
XL = L — 感抗；
XC
1 C
—
容抗
(3)
Z
U I
U I
u i
= R + jX = |Z| Z
一、两类约束的相量形式与电阻电路两类约束形式的
比较
电阻电路形式
正弦稳态下 的相量形式
KCL : KL
KVL :
VCR :Βιβλιοθήκη ik 0kuk 0
k
u = R ·i
i = G ·u
Ik 0
k
Uk 0
k
U Z I
I Y U
结论：直流电阻电路的分析方法和所有结论都可以 “移植”到正弦稳态分析的相量模型中来。
i(t)
uS(t)
iR
iL iC
R LC
(1) +j
IC IR
O 66
US +1
I I = 19.7 –66 A
(2) IC +j I = 33 76 A
I Z = 3.64 –76
O 76IR IL
US +1
IL
Z = 6.09 66
(6) 阻抗是频率的函数 Z(j) = R() + jX()
一、阻抗
9-1 阻抗和导纳
1. 元件的阻抗
元件在正弦稳态下，电压相量与电流相量（关联
参考方向）之比为元件的阻抗，记为 单位：欧姆（）.
Z。即
Z
U I
。
电阻
IR R
UR
ZR
UR IR
R
电感 IL jL
UL
ZL
UL IL
jL
电容
IC
j 1 C
UC
ZC
UC IC
j 1 C
一、阻抗
9-1 阻抗和导纳
Z R2 X2
Z
arctg
X R
ZU I
Z = u – i
(4) 阻抗的性质
Z
UI
U I
u i = R + jX = |Z| Z
i) X > 0 , Z > 0 , u – i > 0 , 电压超前于电流， 称阻抗 Z 呈感性；
ii) X < 0 , Z < 0 , u – i < 0 , 电压滞后于电流， 称阻抗 Z 呈容性；
1. 元件的阻抗
元件在正弦稳态下，电压相量与电流相量（关联
参考方向）之比为元件的阻抗，记为 单位：欧姆（）.
Z。即
Z
U I
。
元件 I Z
U
U Z I
—— 欧姆定律的相量形式
2. 一端口的阻抗
对于不含独立源的一端口，在正弦稳态下其端口
电压相量与端口电流相量（关联参考方向）之比为
一端口的阻抗，记为 Z。单位：欧姆（）.
iii) B = 0 , Y = 0 , i – u = 0 , 电流与电压同相， 称导纳 Y 呈阻性；
思考：感性的阻抗对应的导纳的性质如何？
仍为感性。
(5) 导纳三角形 Y G2 B2
(6) 导纳是频率的函数
|Y|
|B|
|Y|
G
Y(j) = G() + jB()
例 已知 R = 15 , L = 10mH , C = 100µF , 求 uS(t)分别 为 120 2 cos500t V与 120 2 cos3000t V 时的稳态电 流 i(t)，并画出相量图。
N 只含阻抗与受控源
3. 分析 I Y U
(1) 元件与不含独立源的一端口的 VCR 统一表达为：
I Y U，不再表现为微积分的关系；
(2)
Y
I U
为一复数，记为
Y
=
G
+
jB
.
其中： G — 电导分量 (S)；B — 电纳分量 (S)
BL
1 L
—
感纳
BC = C — 容纳；
(3)
Y
UI
I U
Yeq = Y1 + Y2 + … + Yn
iii) X = 0 , Z = 0 , u – i = 0 , 电压与电流同相， 称阻抗 Z 呈阻性；
(5) 阻抗三角形
Z R2 X2
|Z|
|X|
|Z|
R
例 已知 R = 15 , L = 10mH , C = 100µF , 求 uS(t)分别 为 120 2 cos500t V与 120 2 cos3000t V 时的稳态电 流 i(t)，并画出相量图。
i u
Y G2 B2
Y I U
= G + jB = |Y| Y
Y
arctg
B G
Y = i – u
(4) 导纳的性质
Y
I U
I U
i u = G + jB = |Y| Y
i) B > 0 , Y > 0 , i – u > 0 , 电流超前于电压， 称导纳 Y 呈容性；
ii) B < 0 , Y < 0 , i – u < 0 , 电流滞后于电压， 称导纳 Y 呈感性；