第四节 条件概率详解
第四节 条件概率总结
第四节一、条件概率 二、乘法公式条件概率三、全概率公式与贝叶斯公式一、条件概率在许多问题中,我们往往会遇到事件 B 已经出 现的条件下求事件A的概率. 这时由于有了附加条 件, 因此称这种概率为事件B发生的条件下，事件 A的条件概率，记作 P(A|B) 同理P(Ｂ|Ａ)表示：事件Ａ发生的条件下，事件 Ｂ发生的概率例1 一个家庭中有两个小孩，已知两个小孩其中一个 是女孩，问两个小孩都是女孩的概率是多少？ （假定生男生女是等可能的） 解 由题意，样本空间为Ω = { (男，男)， (男，女)， (女，男)， (女，女) }A 表示事件“至少有一个是女孩”， B 表示事件“两个都是女孩”，则有 A＝{ (男，女)， (女，男)， (女，女) } B = { (女，女) } 由于事件A已经发生，所以这时试验的所有可能结果 只有三种，而事件B包含的基本事件只占其中的一 1 种， 所以有 P ( B A) =3(1)在这个例子中，若不知道事件A已经发生的信息，那 么事件B 发生的概率为 这里1 P( B) = 4 P( B)≠ P( B A)其原因在于事件 A的发生改变了样本空间，使它由原 来的Ω 缩减为Ω A = A，而 P( B A)是在新的样本空间 Ω A 中由古典概率的计算公式而得到的．上例中计算 P(B|A)的方法并不普遍适用．如果回 到原来的样本空间Ω 中考虑，显然有3 P( A) = 4从而即1 P ( AB) = 4 1 1 P ( B A) = = 4 3 3 4 P ( AB) P( B A ) = P ( A)(2)关系式（2）不仅对上述特例成立，对一般的古典概 型和几何概型问题，也可以证明它是成立的．定义1 设A, B是两个事件，且P( A) > 0，称P ( AB) P( B A ) = P ( A)(3)事件A发生的条件下事件B 发生的条件概率 性质： 设A是一事件，且P(A)>0，则 (1) 对任一事件B，0≤P(B|A)≤1; (2) P(Ω| A) =1 ； 1 1 非负性 非负性 2 2 规范性 规范性 3 3 可列可加性 可列可加性(3) 设B1, B2 ,··· 两两互不相容，则 P[(B1∪B2∪ ···)| A] = P(B1|A)+P(B2|A) + ···(4) P (φ A) = 0.(5) P(B1 ∪ B2 A) = P(B1 A) + P(B2 A) − P(B1 B2 A);(6) P ( B A) = 1 − P ( B A).条件概率的计算根据具体的情况，可选用下列两种方法之一来计算 条件概率P(B|A) （1）在缩减后 ΩA 的样本空间中计算； （2）在原来的样本空间Ω 中，直接由定义计算．条件概率 P(B|A)的样本空间ΩABAB样本空间ΩP( AB) P( B A ) = P( A)缩减的样本空间（即事件A）P( B | A)例2 一袋中有10 个球，其中3个黑球，7个白球， 依次从袋中不放回取两球． （ 1 ）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的 仍是黑球的概率； （ 2 ）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的 也是黑球的概率． 解 记 Ai = { 第 i 次取到黑球 } ( i = 1, 2) （1）可以在缩减的样本空间 ΩA 上计算。
条件概率 全概公式
但 P( ABC ) ≠ P( A)P( B )P(C ) 三事件不是相互独立的, 所以A、B、C三事件不是相互独立的,但它们 是两两独立的。 是两两独立的。 对于多个随机事件， 对于多个随机事件 ， 若 A1，A2， An 是相 L 互独立的， 互独立的，则n 个事件中至少有一个发生的 概率为
= 1 P( A1 U A2 U L U An )
全概率公式: 1、全概率公式: 是两两互斥的事件， 设 A1 , A2 ,L , An 是两两互斥的事件，且
P ( Ai ) > 0, i = 1,2, L, n, 另有一事件 , 它总是 另有一事件B,
之一同时发生， 与 A1 , A2 ,L , An 之一同时发生，则
P(B) = ∑P( Ai )P(B｜Ai )
1500 P U Ai = 1 P( A1 A2 L A1500 ) i =1 = 1 P( A1 ) P( A2 )L P( A1 ) = 1 (1 0.002 )
1500
= 1 e1500 ln (10.002 )
≈ 1 e1500( 0.002 ) = 1 e 3 ≈ 0.95
B AB A
掷出2 例如，掷一颗均匀骰子A＝{掷出2点}， 掷一颗均匀骰子 B={掷出偶数点}，P(A )=1/6， P(A|B)=？ ={掷出偶数点 ={掷出偶数点} )=1/6， ( = 已知事件B发生 发生， 已知事件 发生，此时试验 掷骰子 所有可能结果构成的集合就是B 所有可能结果构成的集合就是 ， B中共有3个元素，它们的出现是 中共有3个元素， 中共有 等可能的，其中只有1个在集A中 等可能的，其中只有1个在集 中， 于是P( 于是 (A|B)= 1/3. )= 容易看到： 容易看到： 1 1 6 P( AB) P(A B ) = = = 3 36 P(B)
概率论第一章第四节条件概率
例3 (摸彩模型) n 张彩票中有一张中奖，从 中不返回地摸取，记 Ai =“第 i 次摸到中奖 券”，i=1,„„,n. 求 P(Ai)= ?
分析: 注意到 Ai A1 A2 Ai 1 Ai
P( Ai ) P( A1 A2 Ai 1 Ai ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( Ai | A1 A2 Ai 1 )
例4 (波利亚模型)
设罐子中装有 b只黑球、r 只红球. 每次自罐中 任取一只球, 观察其颜色然后放回, 并再放入 c 只 与所取出的那只球同色的球 和d个异色球. 若在 罐中连续取球三次, 试求第一次取到黑球, 第 二、三次取到红球的概率.
提示: 设 Bi (i 1,2,3) 为事件 “第 i 次取到黑球” ,
例8 某地区居民的肝癌发病率为0.04%, 现用甲胎蛋白法检查肝癌.由于技术不 完善,化验结果是存有错误的.已知患 有肝癌的人其化验结果99%呈阳性(即 有病), 而没患肝癌的人其化验结果 99.9%呈阴性(即无病).现某人的检验 结果呈阳性,问他患肝癌的概率是多少?
分析: 记B=“被检查者患肝癌”, A=“被检查者检查结果呈阳性”.
P(An|A1A2 ··An1) ·· ··
例2 某班外出聚餐，拨打餐厅订餐电 话，由于电话号码中的最后一位数字丢 失，故只能随机拨打。求三次之内拨通 电话的概率？
分析：记A=“三次拨通电话”，Ai=“第i次拨 通电话”，则 A= A1UA2UA3.
P( A) 1 P( A ) 1 P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
3.3 贝叶斯（Bayes）公式
已知“结果” ，求“原因” 某人从甲地到乙地，乘飞机、火车、汽 车迟到的概率分别为0.1、0.2、0.3，他等 可能地选择这三种交通工具。若已知他最 后迟到了，求他分别是乘飞机、火车、汽 车的概率.
高考数学条件概率知识点
高考数学条件概率知识点高考中，数学是一门重要的科目，而其中又涉及到概率这个重要的数学分支。
在概率中，条件概率是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和应用概率。
接下来，我们将深入探讨高考数学中的条件概率知识点。
首先，我们来了解一下条件概率的定义。
条件概率是指在一个条件下发生某一事件的概率。
用数学的语言来描述就是：对于两个事件A和B，已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在条件B下的条件概率，记作P(A|B)。
其中，P(A|B)的计算方式为P(A|B)= P(AB)/P(B)。
这里P(AB)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率常常用于解决含有条件约束的概率问题。
举个例子来说，假设有一个罐子里装有两种颜色的球，红球和白球。
已知罐子里有20个球，其中10个红球，10个白球。
现在从罐子中随机抽取一个球，已知这个球是红球，问该球是白球的概率是多少？对于这个问题，首先我们要明确已知条件：已知抽取的球是红球。
设事件A表示抽取的球是白球，事件B表示抽取的球是红球。
现在我们要求的是事件A在事件B条件下发生的概率P(A|B)。
根据条件概率的定义，我们可以得到P(A|B) = P(AB)/P(B)。
进一步分析，P(AB)表示抽取的球既是红球又是白球的概率，显然是不存在的，所以P(AB) = 0。
又因为已知抽取的球是红球，所以P(B) = 10/20 = 1/2。
因此，根据条件概率的计算公式，可以得到P(A|B) = 0/(1/2) = 0。
因此，抽取的球是红球的条件下，该球是白球的概率为0。
除了条件概率的计算，还有一些与条件概率相关的概念和定理。
其中一个重要的概念是独立事件。
如果两个事件A和B满足P(A|B) =P(A)，或者等价地说P(B|A) = P(B)，那么我们称事件A和事件B是相互独立的。
简而言之，两个事件满足条件概率的定义，且条件概率等于事件自身的概率，那么这两个事件就是相互独立的。
条件概率
全概率公式
设B1,B2,…,Bn是n个互不相容的事
n
件,且 P(Bi)>0 (i=1,2,…,n) ,若 A
则 P ( A) P ( Bi ) P ( A | Bi )
i 1 n
i1
Bi
A AB
1
AB
2
AB
B2
n
B1
A B3
P ( A)
P ( B ) P ( A| B
0 . 02 0 . 3 0 . 01 0 . 5 0 . 01 0 . 2 0 . 013 .
例6 两批相同种类的产品各有十二件和 十件,每批产品中各有一件废品,现在先从 第一批产品中任取一件放入第二批中,然 后再从第二批中任取一件,求这时取到废 品的概率 解: A:“取到废品” B:“从第一批中取到的是废品” 有,
而且，前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率.
P ( A1 A 2
B ) P ( A1 B ) P ( A 2
B ) P ( A1 A 2
B)
P(A
B) 1 P(A B)
P ( A1 A 2
B ) P ( A1 B ) P ( A1 A 2
B)
4. 条件概率的计算 1) 用定义计算:
P ( A | B) P ( AB) P ( B) ,
P(B)>0
掷骰子 2)从加入条件后改变了的情况去算
例：A={掷出2点}， B={掷出偶数点} 1
P(A|B）=
3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解: 设A={掷出点数之和不小于10}
条件概率知识点
条件概率知识点一、条件概率的定义。
1. 概念。
- 设A、B为两个事件，且P(A)>0，称P(BA)=(P(AB))/(P(A))为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
- 例如，扔一个骰子，事件A为“骰子的点数为偶数”，P(A)=(3)/(6)=(1)/(2)，事件B为“骰子的点数小于4”，AB表示“骰子的点数为2”，P(AB)=(1)/(6)。
那么在A发生的条件下B发生的条件概率P(BA)=(P(AB))/(P(A))=(frac{1)/(6)}{(1)/(2)}=(1)/(3)。
2. 性质。
- 非负性：对于任意事件B，A（P(A)>0），有P(BA)≥slant0。
- 规范性：P(ΩA) = 1，这里Ω是样本空间。
- 可列可加性：如果B_1,B_2,·s是两两互不相容的事件，则P(bigcup_i =1^∞B_iA)=∑_i = 1^∞P(B_iA)。
二、条件概率的计算方法。
1. 公式法。
- 直接根据定义P(BA)=(P(AB))/(P(A))计算。
- 例如，有一批产品共100件，其中次品10件，从中不放回地抽取两次，每次取一件。
设事件A为“第一次取到次品”，P(A)=(10)/(100)=(1)/(10)；事件B为“第二次取到次品”。
AB表示“第一次和第二次都取到次品”，P(AB)=(10)/(100)×(9)/(99)=(1)/(110)。
那么P(BA)=(P(AB))/(P(A))=(frac{1)/(110)}{(1)/(10)}=(1)/(11)。
2. 缩减样本空间法。
- 当直接计算P(AB)和P(A)比较复杂时，可以考虑缩减样本空间。
- 还是以上面抽取产品的例子，在A发生的条件下，即第一次已经取到了次品，此时样本空间就缩减为99件产品，其中次品还有9件，所以P(BA)=(9)/(99)=(1)/(11)。
三、条件概率的乘法公式。
1. 公式。
- 由P(BA)=(P(AB))/(P(A))可得P(AB)=P(A)P(BA)（P(A)>0）。
第十章 第四节 事件的独立性、条件概率与全概率公式
6．(全概率公式应用致误)在 A，B，C 三地爆发了流感，这三个地区分别有 6%，5%，4%的人患了流感．设这三个地区人口数的比为 3∶1∶1，现从这三个地 区中任选一人，这个人患流感的概率是__________．
答案：52070 解析：由全概率公式可得，现从这三个地区中任选一人，这个 人患流感的概率为 6%×3＋31＋1 ＋5%×3＋11＋1 ＋4%×3＋11＋1 ＝52070 .
2．事件 A 与事件 B 相互独立性
若事件 A 与事件 B 相互独立，则事件 A 的发生不会影响事件 B 发生的概率，
即有
P(B|A) ＝ P(B). 反 之 ， 若
P(B|A) ＝ P(B) 成 立 ， 则
P(AB)
＝ P(A)
P（AB） P（A）
＝
P(A)P(B|A)＝P(A)P(B).
3．n 个事件的相互独立
答案：25 解析：设事件 A 为“解题成功”，即甲乙两个小组至少有一个小 组解题成功，
其概率为 P(A)＝1－1－23 ·1－12 ＝56 ，
事件 B 为“乙小组解题失败”，则 P(AB)＝23 ×1－12 ＝13 ， 所以在解题成功的条件下，乙小组解题失败的概率为
1 P(B|A)＝PP（（AAB）） ＝35 ＝25 .
5．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是 0.2，乙地降雨概率是 0.3.假设在这 段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率 为________．
答案：0.38 解析：设甲地降雨为事件 A，乙地降雨为事件 B，则两地恰有一 地降雨为 A－B ∪－A B，
所以 P(A－B ∪－A B)＝P(A－B )＋P(－A B)＝ P(A)P(－B )＋P(－A )P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.
1.4条件概率
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
从每批产品中不放回地取10件进行检验,若 发现有不合格产品,则认为这批产品不合格， 否则就认为这批产品合格. 求 (1) 一批产品通过检验的概率 (2) 通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率
解
思考2. 检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(A1｜B)= 0.00786
即使你检出阳性，尚可不必过早下结论 你有癌症，这种可能性只有0.786% (平均来 说，1000个人中大约只有8人确患癌症)，此 时医生常要通过再试验来确认.
例 每100件产品为一批, 已知每批产品中次品
用乘法公式容易求出 P(A1A2A3A4) b个白球, r个红球
b bc r rc b r b r c b r 2c b r 3c
=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)
当 c>0 时，由于每次取出球后会增加下一次也 取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发 现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.进一 步，当 c=0 时，放回抽样；当 c=-1 时，不放回抽 样。
第四节 条件概率
一、条件概率的定义及性质
设A，B是两事件，且P(A)>0，称
P AB P ( B | A) P A
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 .
1.条件概率P（•|A）满足概率定义的三条公理，即 1） 对于每一事件B，有P（B|A）≥0; 2） P（ |A）=1 3) 设B1，B2,…两两不相容，则有
全概率公式:
第四节 条件概率
第四节 条件概率及有关公式
例：10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，
4件二等品. 现从这10件中任取一件，记
A={取到一等品}， B={取到正品}
则P( A)
C
1 3
C
1 10
3 10
P( AB) P( A) 3 10
P(B)
C71 C110
7 10
(4) P( A B) 1 P( A B).
(5) 可列可加性 :设 B1, B2,是两两不相容的事件,
则有
P
i 1
Bi
A
i 1
P ( Bi
A).
例1. 设某车间生产的产品中废品占4%，一级品占72%，现从中 任取一件发现为合格品，求它为一级品的概率.
解：令A表示一级品，B表示合格品，则 A B，
P( A) 0，则有
P(Bk | A)
P(Bk )P( A | Bk )
n
,(k 1,, n).
P(Bi )P( A | Bi )
i 1
上式称为贝叶斯公式或逆概率公式.
证：
P(Bk
|
A)
P( ABk P( A)
)
又P( ABk ) P(Bk )P( A Bk )，
n
P( A) P(Bi )P( A Bi ).
CC CC CC CC 解：P(B)
1
7 1
7 10
,
P(AB)
10
1
3 1
1 3
,
P( AB)
9
1 7
1 3
7.
1 1 30
10 9
或
P( AB)
概率论与数理统计(条件概率与全概率公式)
二、全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复 杂事件的概率,它们实质上是加法公式、乘法公式 和条件概率的综合运用.
综合运用
加法公式
乘法公式
条件概率
P(AB)=P(A)+P(B) P(AB)= P(A)P(B|A) P(A|B)= P(AB)/P(B)
A、B互斥
P(A)>0
600 1000
1%
250 1000
4%
150 1000
2%
0.019
(2)
P(B1 A)
P(AB1 ) P(A)
P(B1 )P(A B1 )
3
P(Bi )P(ABi )
i=1
0.6 0.01 0.3158 0.019
所以甲厂应承担约31.58%的经济责任.
返回
例7 甲箱中有5个正品3个次品，乙箱中有4个正品3个
接下来我们介绍贝叶斯公式来解决这类问题
贝叶斯公式 P19
设S是试验E的样本空间， B1, B2 ,是SB的n 一个划 分， 且 P(Bi）>0(，i=则1,2对, 任n一) 事件A，有
P(B k
A )=
P(ABk ) P(A)
=
P(Bk )P(A Bk )
n
P(B）i P(A Bi )
k 1, 2,
P( A1)P( A3
|
A1 )
2 5% 3
1 30
（2）
P( A2 A3)
P( A2 )P( A3 |
A2 )
1 3% 1
3
100
返回
例5(P18) 一口袋中装有a 只白球，b 只红球，每次随 机取出一只，然后把原球放回，并加进与抽出的球同 色的球 c只。连续摸球三次，试求第一、第二次取到 白球，第三次取到红球的概率。 解 设 A表i 示事件“第 i 次取到白球’’ （i=1,2,3)
条件概率
P ( AB ) P ( A)
0 .4 0 .8
0 .5 .
由于条件概率也是概率，故具有概率的三个性质： (1) 非负性 0≤P(A|B)≤1; (2) 规范性 P(Ω|B)=1； (3) 可列可加性 对于两两互不相容的事件A1，A2，…， 有
P ( Ai | B )
P ( AB ) P ( B ) P ( A | B ) P ( A) P ( B | A)
关于条件概率的计算， 往往采用如下两种方法： (1) 在缩减的样本空间上直接计算. (2) 利用公式计算. 例1 设某种动物由出生而活到20岁的概率为0.8，活到25岁的 概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率？ 解 设A={活到20岁}，B={活到25岁}， 则 P(A)=0.8, P(B)=0.4. 由于AB，有AB=B，因此P(AB)= P(B)=0.4， 于是所求概率为
1.4 全概率与逆概率公式
一、全概率公式
一个复杂事件A若能分解成若干个互不相容的简单事件的 和，则求得这些简单事件的概率，再利用可加性即可得到复 杂事件A的概率. 定理 设事件B1，B2，„， Bn为样本空间Ω 的一个分割， 即Bi两两不相容，P(Bi)>0 (i n Bi =1,2, „,n)，且 i1 则对任意事件A，有
Hale Waihona Puke n,(i=1，2，„，n).
P ( B i) P ( A | B i)
i 1
贝叶斯公式的应用
如果把样本空间的一个划分B1, B2, …, Bn看作是导致事 件A发生的各种原因，如果A发生了，求P(Bj|A)可以用贝叶斯 公式.
B1
B
2
…
第四节 条件概率
P(C D1 ) 0.3, P(C D2 ) 0.4
P(C ) P (C D1 ) P ( D1 ) P (C D2 ) P ( D2 )
P (C ) 1 P (C )
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A. 得
练习题
甲市下雨， 设A B 乙市下雨 ，由以往的气
象记录知 P ( A) 0.3, P ( B ) 0.4 ，P ( AB ) 0.28. （1）求 P( A B), P( B A), P( B A), P( A B), P( A B) （2）说明两市下雨有牵连.
则 A1 , A2 , A3就是 的一个划分, 这是因为
A1 A2 A3
Ai Aj , i, j 1, 2,3.
问题 从该厂产品中任取一件是次品的概率是多少?
分析：设 B 为“取到次品”, 显然, P(B)不易直接求出, 但知道 了各车间的次品率及各车间的产量份额,即
答案 P( A B) P( AB) 0.7 P( B) P( B A) P( AB) 0.93 P( A)
P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.42
因为 P( A B) 0.7
P( A) 0.3
如果 P( A B) 0.3 呢 ?
(4) P(( A 1A 2 ) B) P( A 1 B) P( A 2 B) P( A 1A 2 B);
( 5 ) P ( A B ) 1 P ( A B ).
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计算方法
法一：利用定义中的公式
条件概率
Probabilit
条件概率的性质
Probabilit
例 某科动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25 岁的概率为0.56,求现年为20岁的动物活到25岁的概率.
解 ：设A表示“活到20岁以上”的事件，B表示“活
Probabilit
到25
P（A）=0.7,P(B)=0.56，且B A.
P( A | B)
4 P( AB) 10
Probabilit
4 5
4 4 10 P( AB) P( A | B) 5 5 P( B) 10
B
AB A
条件概率的定义
定义1.4.1 设（Ω，F ，Ｐ）为一概率空间， Ａ∈ F ，Ｂ∈ F ，且Ｐ（B）＞０，在“已 知事件Ｂ 已经发生”的条件下，“事件 Ａ 发生”的条件概率Ｐ(A|B)定义为:
Probabilit
Probabilit
4、 根据以往的临床记录，某种诊断癌 症的试验具有如下的效果：若以A表示事 件“试验反应为阳性”，以C表示事件” 被诊断者患有癌症”，则有P（A|C） =0.95，P( A | C ) 0.95 ．现在对自然人群 进行普查，设被试验的人患有癌症的概率 为0.005。即P(C)＝0.005。试求P(C|A)
Probabilit
Probabilit
4
四、贝叶斯公式
全概率公式的逆问题 设在进行随机试验中该事件B已发生，问 在这条件下，各原因发生的条件概率是多 少？
Probabilit
A1 A2
A3
B A4 A7
A5 A6 A8
四、贝叶斯公式
Probabilit
概率与统计中的条件概率知识点总结
概率与统计中的条件概率知识点总结条件概率是概率论中重要的概念之一，用来描述在给定其中一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
下面是关于条件概率的一些重要知识点的总结。
一、条件概率的定义条件概率是指在其中一事件已经发生的条件下，另一事件发生的概率。
用符号表示为P(A，B)，读作“在事件B发生的条件下，事件A发生的概率”。
二、乘法法则乘法法则是计算条件概率的基本原理。
乘法法则的表达式为P(A∩B)=P(A，B)*P(B)，其中P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率。
三、条件概率的性质1.若A、B是两事件，且P(B)≠0，则P(B，A)=P(A∩B)/P(A)。
2.若A、B是两事件，且P(A)≠0、P(B)≠0，则P(A∩B)=P(A，B)*P(B)=P(B，A)*P(A)。
四、独立事件与条件概率事件A与事件B相互独立是指事件A的发生与否不受事件B的影响，即P(A，B)=P(A)，P(B，A)=P(B)。
若A、B相互独立，则P(A∩B)=P(A)*P(B)。
五、全概率公式与贝叶斯定理全概率公式是概率论中一个重要的公式，用于计算在不同条件下事件的概率。
全概率公式的表达式为P(A)=ΣP(A，B_i)*P(B_i)，其中B_1、B_2、..、B_n是一组互不相交的事件，它们组成了全样本空间。
贝叶斯定理是由全概率公式推导而来，用于计算在已知一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
贝叶斯定理的表达式为P(Bi，A)=P(A，Bi)*P(Bi)/ΣP(A，B_j)*P(B_j)，其中P(A，Bi)表示事件A在已知事件Bi发生的条件下发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，Σ表示求和。
六、条件概率的应用条件概率在现实生活中有广泛应用，例如：1.医学诊断：通过病人的症状和检查结果，计算得出其中一种疾病的概率。
2.飞机维修：根据过去的维修记录，计算特定零部件故障的概率。
3.金融风险评估：根据过去的市场数据，计算其中一种投资的收益率。
A新高考数学--第四节-事件的相互独立性与条件概率全
第四节 事件的相互独立性与条件概率
(1)在具体情境中，结合古典概型，了解条件概率和两个事件相互独立的概念， 能计算简单随机事件的条件概率；(2)结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系， 会用乘法公式计算概率；(3)结合古典概型，会利用全概率公式计算概率．
目录
CONTENTS
1
知识 逐点夯实
2
考点 分类突破
[提速度]
(多选)一个质地均匀的正四面体，四个面分别标有数字 1,2,3,4，拋掷这个正四面体
一次，观察它与地面接触的面上的数字得到样本空间 Ω＝{1，事件 G＝{2,4}，则
()
A．E 与 F 不是互斥事件
B．F 与 G 是对立事件
C．E 与 F 是独立事件
(3,1)共 2 个，所以 P(B|A)＝29． 答案：C
2．(2022·玉溪期末)某气象台统计，该地区下雨的概率为145，既刮四级以上的风
又下雨的概率为110．设事件 A 为该地区下雨，事件 B 为该地区刮四级以上的
风，则 P(B|A)＝__________． 1
解析：由题意知 P(A)＝145，P(AB)＝110，故 P(B|A)＝PPAAB＝140＝38． 15
重点三 全概率公式 一般地，设 A1，A2，…，An 是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且
第四节 条件概率.ppt(浙大)
3)
全概率公式还可以从另外一个角度去理解， B1 B2 … Bn
注 （1）若P(A)>0，同样可定义 ( )
P ( AB ) P ( B | A) = P ( A)
（2）条件概率P（•|B）满足概率定义的三条公理， 即 1. 对于每一事件A，有P（A/B）≥0;
2. P（Ω|B）=1 3. 设A1，A2……两两不相容，则有
∞ ∞ P U Ai B = ∑ P ( Ai B ) i =1 i =1
第四节 条件概率
一、条件概率的定义
直观上，用来表示在事件A发生的条件下，事件B 发生的可能性大小的数，称为在事件A发生的条件下 事件B发生的条件概率。记为P(A|B).
例 设有100件的某一批产品，其中有5件不合格品，而
5件产品中又有了3件是次品，2件是废品。现任意在 100件产品中抽取一件，求 1）抽得的是废品的概率； 2）已知抽得的是不合格品,它是废品的概率。
2．计算
一般有两种方法： (1)由条件概率定义：P(A|B)=P(AB)/P(B) ) （在原样本空间中求P(AB)、P(A)） (2)按古典概型公式： P(B|A)=NAB/NA ) （在压缩后的样本空间中考虑）
例1：100件产品，其中5件不合格品，5件不合格品中又
有3件是次品，2件废品。在100件中任意抽一件。 求（1）抽得是废品B的概率; （2）已知抽得的是不合格品A，它是废品 的概率P(B|A)。
1.乘法公式 1.乘法公式 由条件概率定义，若P(B)>0，则P(AB)=P(A|B)P(B) 若P(A)>0,则P(AB)=P(B|A)P(A) 上述公式可推广到任意有穷多个事件时的情形，例如， 设A，B，C为事件，且P(AB) (AB)>0，则 (AB) P(ABC)= P(A)P(B|A)P(C|AB) 这里，注意到由假设P(AB)>0可推得P(A)≥P(AB)>0. 一般，设A1,A2,…,An为n个事件，n≥2,且P(A1A2…An-1)>0， 则有: P(A1A2…An )= P(A1)•P(A2|A1)… •P(An-1|A1A2…An-2)•P(An|A1A2…An-1)
条件概率学习指南
条件概率学习指南
什么是条件概率？
条件概率是指在给定某一条件下，事件发生的概率。
设A和B 是两个事件，P(A|B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率的计算方法
计算条件概率需要使用以下公式：
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的性质
条件概率具有以下性质：
1. 非负性：条件概率始终是非负的，即P(A|B) ≥ 0。
2. 归一性：对于一个全面的条件空间，条件概率的和等于1，即P(S|B) = 1，其中S表示样本空间。
3. 相对性质：如果事件B发生，事件A的条件概率增加，即P(A|B) > P(A)。
4. 乘法公式：条件概率可以通过乘法公式计算，即P(A∩B) = P(A|B) * P(B)。
条件概率的应用
条件概率在实际生活中有广泛的应用，例如：
1. 疾病诊断：根据某些症状的出现，计算某种疾病的概率。
2. 金融风险评估：根据市场因素和经济数据的变化，评估某种金融风险的概率。
3. 机器研究：在分类和预测问题中，使用条件概率进行模型训练和预测。
总结
条件概率是概率论中的重要概念，可以帮助我们理解和分析随机事件之间的关系。
通过计算事件在给定条件下发生的概率，我们可以在实际问题中应用条件概率进行推理和预测。
希望本指南对您研究条件概率有所帮助！
> 注意：本文档为简要的条件概率学习指南，仅介绍了基本概念和应用。
在实际应用中，可能会涉及更复杂的问题和方法，请进一步深入学习和研究。
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… A2 A1
…
A1B， A2B，…，AnB
B
…
An
…
…
是B 的一个划分。
概率论意义：若A1，A2，···，An是S的一个划分， 则， A1，A2，···，An任意两个不可能同时发生但 必有一个发生。
例:A S,A与A组成样本空间一个划分.
例：S={南理工全体本科生} Ai=“南理工本科i年级学生” i=1,2,3,4 “南理工本科生中男学生” “南理工本科生中女学生”
P(B)＝P(A)P(B | A)+P( A)P(B | A)
全概率公式的证明:
由于A1, A2,…, An两两互不相容
Ai B AjB Ai Aj B
得 A1B, A2 B, , An B 也两两互不相容；
n
B Ai B
i 1
所以由概率的有限可加性，得
21 3 2 2
(2)P(B)
P52
5
(红球, B——第二次取到红球
S=
A
B
显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S 中的两个事件，其中A含有NA个样本点,AB含有 NAB个样本点，则
P(B | A) N AB NAB N S P( AB) N A NA N S P( A)
解：设Ai为第i次取球时取到白球，i=1,2,3,4,则 P( A1A2 A3 A4 ) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 )P( A4 | A1A2 A3 )
P(
A1)
2 5
P(
A2
|
A1)
3 6
3 P( A3 | A1 A2 ) 7
4 P( A4 | A1 A2 A3 ) 8
一、条件概率
例1设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每
次取一个，取后不放回， （1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率; （2）求第二次取到红球的概率 （3）求两次均取到红球的概率
解：设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球
(1)P(B
|
A)
1 4
这就是利用缩减的样本空间来做的
一般地，设A、B是S中的两个事件，则
P(B | A) P(AB) P( A)
称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率
“条件概率”是“概率”吗？
条件概率的性质:(P(A) ≠0) (1) P(B|A) ≥0 (2)P(S|A)=1 (3)对一列两两互不相容的事件 A1, A2 ,···, 有 P( A1 A2 ···|A ) ＝ P(A1|A) ＋P(A2|A)+
N A 60 N AB 40
P(B | A) N AB 2 NA 3
这就是利用缩减的样本空间来做的
二、乘法公式
设A、B S，P（A）>0,则 P(AB)＝P(A)P(B|A)
上式就称为事件A、B的概率乘法公式。
上式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)
···
例2 条件加法公式 设A,B,C是样本空间S中的三个事件,且P(C)≠0,试用 概率的运算性质证明: P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(AB|C)
证:
P(A B | C) P[(A B) C] P(AC BC)
P(C)
P(C)
P(AC) P(BC) P(ABC) P(AC) P(BC) P(ABC)
3 P( A1 A2 A3 A4 ) 70
例5 利用乘法公式求交集的概率
例6 利用乘法公式求交集的概率 例6 一批零件共100个，其中有10个次品，依次做 不放回的抽取三次，求第三次才抽到合格品的概率？
解：令 Ai = “第 i 次抽到合格品.” i = 1, 2, 3
则所求的事件为：A1 A2 A3
而 PA 1 PA 1 1 7
所以
PB
A
6 8
6
88
77
8
PAB 6
8
例4 缩减的样本空间法求概率 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、白两色， 分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一 只红球，试求该红球是新球的概率。
红白 解：设A——从盒中随机取到一只红 新 40 30 球. B——从盒中随机取到一只新球. 旧 20 10
P(C)
P(C) P(C) P(C)
P(A | C) P(B | C) P(AB | C) #
例 3 用公式法求条件概率
已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩， 求该家庭至少有一个男孩的概率．
解：设 A={ 3个小孩至少有一个女孩 } B={ 3个小孩至少有一个男孩 }
所求概率为
PB
A
PAB PA
定理1、设A1，…, An是S的一个划分，且 P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，
则对任何事件B S有
n
P(B)＝ P( Ai )P(B | Ai ) 上式称为 全概率公式 。 i 1
P(B)＝P(A1)P(B | A1)+P( A2 )P(B | A2 )
P(B)＝P(A1)P(B | A1)+P(A2 )P(B | A2)+P(A3)P(B | A3)
1.4 条件概率
袋中有十只球，其中九只白球，一只红球， 十人依次从袋中各取一球(不放回)，问
第一个人取得红球的概率是多少？ 第二 个人取得红球的概率是多少？
若已知第一个人取到的是白球，则第二个人 取到红球的概率是多少？
若已知第一个人取到的是红球， 则第二个人取到红球的概率又是 多少？
已知事件A发生的条件下，事件B发生的概 率称为A条件下B的条件概率，记作P(B|A)
P( A1A2 A3 ) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 )
10 9 90
100 99 98
0.0083
三、全概率公式与贝叶斯公式
定义： 事件组A1，A2，…，An (n可为)，称为 样本空间S的一个划分，若满足：
n
(i) Ai S;
i 1
(ii) Ai Aj , (i j), i, j 1,2,...,n.
一般地，有下列公式： P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1)
例5 盒中有3个红球，2个白球，每次从盒中任取一只 ，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色 相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得 白球、第3、4次取得红球的概率。作业4.4可参照此例题