行列式的计算及应用毕业论文

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目录

1. 行列式的定义及性质 (1)

1.1 行列式的定义 (1)

1.1.1 排列 (1)

1.1.2 定义 (1)

1.2 行列式的相关性质 (1)

2. 行列式的计算方法 (5)

2.1 几种特殊行列式的结果 (5)

2.1.1 三角行列式 (5)

2.1.2 对角行列式 (5)

2.2 定义法 (5)

2.3 利用行列式的性质计算 (5)

2.4 降阶法 (6)

2.5 归纳法 (7)

2.6 递推法 (8)

2.7 拆项法 (9)

2.8 用德蒙德行列式计算 (10)

2.9 化三角形法 (10)

2.10 加边法 (11)

2.11 拉普拉斯定理的运用 (12)

2.12 行列式计算的Matlab实验 (13)

3. 行列式的应用 (15)

3.1 行列式应用在解析几何中 (15)

3.2 用行列式表示的三角形面积 (16)

3.3 应用行列式分解因式 (16)

3.4 利用行列式解代数不等式 (17)

3.5 利用行列式来证明拉格朗日中值定理 (18)

3.6 行列式在实际中的应用 (18)

总结 (21)

参考文献 (22)

附录1 (22)

附录2 (23)

附录3 (24)

谢辞 (24)

1. 行列式的定义及性质 1.1 行列式的定义

1.1.1 排列[1]

在任意一个排列中，若前面的数大于后面的数，则它们就叫做一个逆序，在任意一个排列中，逆序的总数就叫做这个排列的逆序数.

1.1.2 定义[1]

n 阶行列式

nn

n n n n

a a a a a a a a a D

21

22221

11211

=

就相当于全部不同行、列的n 个元素的乘积

n

nj j j a a a 2121 (1-1-1)

的代数和，这里n j j j 21是n ,,2,1 的一个排列，每一项（1-1-1）都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，（1-1-1）是正值，当n j j j 21是奇排列时，（1-1-1）是负值.这一定义可以表述为

n n

n nj j j j j j j j j nn

n n n

n

a a a a a a a a a a a a D

21212121)

(21

22221

11211

)1(∑-=

=

τ

， (1-1-2)

这里

∑

n

j j j 21表示对所有n 级排列求和.

由于行列指标的地位是对称的，所以为了决定每一项的符号，我们也可以把每一项按照列指标排起来，所以定义又可以表述为

n i i i i i i i i i nn n n n

n

n n a a a a a a a a a a a a D

21)(21

22221

11211

212121)1(∑-==

τ.

（1-1-3） 1.2 行列式的相关性质

记 nn

n n n n

a a a a a a a a a D 21

22221

112

11

=

,nn

n n

n n a a a a a a

a a a D 212

2212

12111

'=,

则行列式'D 叫做行列式D 的转置行列式.

性质1 行列式和它的转置行列式是相等的[2]. 即D D ='. 证明：记D 中的一般项n 个元素的乘积是

,

2121n nj j j a a a

它处于D 的不同行和不同列，所以它也处于'D 的不同行和不同列，在'D 中应是

,

2121n j j j n a a a

所以它也是'D 中的一项.反之, 'D 的每一项也是D 的一项，即D 和'D 有相同的项.再由上面（1-2）和（1-3）可知这两项的符号也相同，所以D D ='.

性质2 nn

n n in i i n

nn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a

21

211121121

21

11211=. 证明：

in

in i i i i nn

n n in i i n A ka A ka A ka a a a ka ka ka a a a +++=

22112

1

2111211

.

)(21

2

1

112112211nn

n n in i i n

in in i i i i a a a a a a a a a k A a A a A a k =+++=

性质3 如果行列式的某行(列)的元素都为两个数之和[2]

，如

nn

n n n

n n a a a c b c b c b a a a D 21221111211+++=，