高中数学《简单的三角恒等变换》导学课件北师大必修4
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高中数学第三章三角恒等变形本章整合课件北师大版必修4

专题1
专题2
专题3
应用 1 已知向量 a= cos ������, sin ������ ,b= cos ,-sin
π ,π 2
3 2
3 2
������2
������ 2
, 且������ ∈
.
(1)求a· b及|a+b|; 3 (2)若函数f(x)=a· b-2λ|a+b|的最小值是 - , 求实数λ的值.
1 . 2 3 5 3 1 1
专题1
专题2
专题3
应用 2 已知点 A, B, C 的坐标分别为(3,0),(0,3),(cos α,sin α), α∈
π 3π , 2 2
.
2sin2 ������+sin2������ −1, 求 1+tan������
(1)若| ������������ | = | ������������ |, 求角������的值 ; (2)若������������ ·������������ = 的值.
专题2
专题3
(2)由(1), 得 f (x)=cos 2x-2λ(-2cos x)=cos 2x+4λcos x=2cos 2 x+4λcos x-1=2(cos x+λ)2 -1-2λ2 . 因为 x∈
π ,π 2
, 所以-1≤cos x≤0,
3
所以, 若 λ<0, 则当 cos x=0 时, f (x)min =-1, 与已知条件最小值为 − 2 矛盾, 故舍去. 若 0≤λ≤1, 则当 cos x=-λ 时,f(x)min =-1-2λ2 . 所以-1-2λ2 =− 2 , 解得������ = 2 或 λ=− 2 (舍去). 若 λ>1, 则当 cos x=-1 时, f(x)min =1-4λ. 所以 1-4λ=− 2 , 则������ = 8 , 不满足λ>1, 故舍去. 综上所述, λ=
高中数学第3章三角恒等变换3.1同角三角函数的基本关系课件北师大版必修4

A.13
B.-13
C.
5 3
D.-
5 3
解析:∵α 是第二象限角,∴cos α<0.
∴cos α=- 1-sin2������=- 1- 49=- 35.
答案:D
【做一做2】 若tan α=3,则sin αcos α=
.
解析:原式=sin
αcos
α=sinsi2n���������+���ccooss������2������
探究一
探究二
探究三
探究四
关于sin α和cos α的齐次式的求值
【例2】 已知tan α=3,求下列各式的值:
(1)34csoins������������+-54csoisn������������;(2)3ccooss22������������--s2isni2n���2���������.
又 θ∈(0,π),且 2sin θcos θ=-2245,
所以 sin θ>0,cos θ<0.从而 sin θ-cos θ=75.
又 sin θ+cos θ=15,
解得 sin θ=45,cos θ=-35,
故 tan θ=csoins������������=-43.
比如:asin2α+bsin αcos α+ccos2α
������sin2������+������sin������cos������+������cos2������
=
sin2������+cos2������
=
������tan2������+������tan������+������
tan2������+1 .
高中数学——必修四-简单的三角恒等变换61页PPT

45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ,而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人,越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智,自知者明。胜人者有力,自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
高中数学——必修四-简单的 三角恒等变换
41、实际上,我们想要的不是针对犯 罪的法 律,而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民,就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律,法律受制于情 理。— —托·富 勒
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人,越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智,自知者明。胜人者有力,自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
高中数学——必修四-简单的 三角恒等变换
41、实际上,我们想要的不是针对犯 罪的法 律,而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民,就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律,法律受制于情 理。— —托·富 勒
北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》三角函数的积化和差与和差化积

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7
师:现在暂停读书,这几个公式形式比我们过去学过的其他 三角公式要复杂一些,记好用好这些公式得有一段过程,当 然,千万不要死记硬背,适当做一些练习,掌握这些公式的 实际应用,是可以逐步掌握它们的.让我们看看以下的例 题. 例题 求sin75°·cos15°的值. 请同学们想想有什么办法可以解决这个问题? 生1:考虑到75°±15°都是特殊角,所以想到使用积化和差 公式解决之.
2. cos37.5°·cos22.5°
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10
而sin20°·sin40°·sin80°
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11
(四)课堂小结
本节课,我们学习了三角函数的积化和差公式,虽然这些公式是新出现 的,但它和过去学习的一些三角公式有密切的关系,所以首先应理清他 们的内在联系,这组公式的功能可以把三角函数的积的形式转化为和差 的形式,通过例解及课堂练习,同学们也开始发现这组公式的作用,希 望同学们在今后的学习中记好、用好这一组公式
五、作业
P.231中3;P.236中1、2.
六、教后反思:
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12
第二课时 三角函数的和差化积
一、教与学过程设计 (一)复习积化和差公式 1.请学生复述积化和差公式,教师板书
2.部分作业选讲 ① 证明 cos2αcosα—sin5αsin2α=cos4α·cos3α. 利用积化和差公式,可得
间是有紧密关系的.
师:和、差、倍、半角的三角函数是一组十分重要的公式,它
们在解决三角恒等变换等方面有许多重要应用.但是,光是这
些关系还不足以解决问题,今天我们还要进一步把握它们的内
在联,寻求新的关系式.
(二)引入新课
请学生说出正、余弦的和差完角整版公课件式pp(t 板书)
高中数学北师大版必修四《第3单元第21讲简单的三角恒等变换》课件

3.注意公式中“1”的妙用
1 = sin2α + cos2α , 1 = 2cos2α - cos2α , 1 = cos2α+2sin2α.
► 探究点1 三角函数式的求值
1 (1)[2010·课标全国卷] 若 cosα=-45,α 是第三象
限的角,则 sinα+π4 =(
)
72 A.- 10
72 B. 10
► 探究点3 三角函数式的证明
4 求证:
1+sicnoαsα.
α-sinα 1+sinα+cosα
cosα = 1+sinα -
[解答]
因
为
cosα 1+sinα
-
sinα 1+cosα
=
cosα+cos2α-sinα-sin2α
=
1+sinα+cosα+sinαcosα
cosα-sinα cosα+sinα+1 1+sinα+cosα+sinαcosα
[答案] (1)D (2)D
[ 解 析 ] (1)
1+1 22
1+1cos2α
22
=
1+1 cos2α =
22
1+1cosα= cos2α,由于 135°<α<180°,故 cosα<0,所
22
2
2
2
以化简结果为-cosα2 .
(2)f(sin2α) - f( - sin2α) = 1-sin2α - 1+sin2α =
北师大版 高中数学
简单的三角 恒等变换
1.三角函数基本公式的变形
(1)1+sinα=sinα2 +cosα2 2; (2)1-sinα=sinα2 -cosα2 2; (3)1+cosα=2cos2α2 ;
(4)1-cosα=2sin2α2 ;
1 = sin2α + cos2α , 1 = 2cos2α - cos2α , 1 = cos2α+2sin2α.
► 探究点1 三角函数式的求值
1 (1)[2010·课标全国卷] 若 cosα=-45,α 是第三象
限的角,则 sinα+π4 =(
)
72 A.- 10
72 B. 10
► 探究点3 三角函数式的证明
4 求证:
1+sicnoαsα.
α-sinα 1+sinα+cosα
cosα = 1+sinα -
[解答]
因
为
cosα 1+sinα
-
sinα 1+cosα
=
cosα+cos2α-sinα-sin2α
=
1+sinα+cosα+sinαcosα
cosα-sinα cosα+sinα+1 1+sinα+cosα+sinαcosα
[答案] (1)D (2)D
[ 解 析 ] (1)
1+1 22
1+1cos2α
22
=
1+1 cos2α =
22
1+1cosα= cos2α,由于 135°<α<180°,故 cosα<0,所
22
2
2
2
以化简结果为-cosα2 .
(2)f(sin2α) - f( - sin2α) = 1-sin2α - 1+sin2α =
北师大版 高中数学
简单的三角 恒等变换
1.三角函数基本公式的变形
(1)1+sinα=sinα2 +cosα2 2; (2)1-sinα=sinα2 -cosα2 2; (3)1+cosα=2cos2α2 ;
(4)1-cosα=2sin2α2 ;
高中数学必修四课件§3-2 简单的三角恒等变换课件

号决定,φ 与点(a,b)同象限.( √ )
3.sin x+ 3cos x=2sinx+π6.( × )
提示
sin x+
3cos
x=212sin
x+
3 2 cos
x=2sinx+π3.
2 题型探究
PART TWO
题型一 应用半角公式求值
例1
已知 sin θ=45,52π<θ<3π,求 cos
2θ和 tan
要证原式,可以证明11+ +ssiinn
4θ-cos 4θ+cos
44θθ=1-2tatnanθ2θ.
∵左边=sin sin
4θ+1-cos 4θ+1+cos
4θ= 2sin 4θ 2sin
2θcos 2θcos
2θ+2sin22θ 2θ+2cos22θ
= 2sin 2cos
2θcos 2θsin
2θ+sin 2θ+cos
知识点二 辅助角公式
辅助角公式:
asin x+bcos x=
a2+b2sin(x+θ).其中tan
θ=ba
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若 α≠kπ,k∈Z,则 tan
α2=1+sicnoαs
1-cos α
= α
sin α
恒成立.(
√
)
2.辅助角公式 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ),其中 φ 所在的象限由 a,b 的符
跟踪训练 2
1-sin 化简:
α-cos
αsin
α2+cos
α 2(-π<α<0).
2-2cos α
解
三角恒等变换简单的三角恒等变换ppt

电磁学
在电磁学中,三角恒等变换可以用来描述电场和 磁场的变化规律。
光学
在光学中,三角恒等变换可以用来描述光的干涉 和衍射等现象。
05
总结与展望
总结
内容详尽
该PPT详细讲述了三角恒等变换的基本概念、公式和技巧,内容 全面且易于理解。
实用性强
通过丰富的例题和练习题,帮助学生掌握三角恒等变换的运用, 提高解题能力。
揭示函数性质
通过三角恒等变换,可以 进一步揭示三角函数的性 质和特点,为研究三角函 数提供有力的工具。
三角恒等变换的应用
解析几何
在解析几何中,常常需要 用到三角恒等变换来研究 点、线、圆等几何对象的 性质和位置关系。
微积分
在微积分中,三角恒等变 换被广泛应用于解决与极 坐标有关的问题,如计算 面积、体积等。
等变换的应用。
感谢您的观看
THANKS
总结词
利用泰勒级数展开式,将一个函数展开成幂级数形式。
详细描述
泰勒级数展开式是一种将一个函数展开成幂级数形式的方法。通过选择不同的幂级数展开式,我们可以得到不 同的形式的结果。在三角恒等变换中,我们常常利用泰勒级数展开式来进行幂级数展开式的计算,从而得到我 们需要的结论。
04
三角恒等变换在解题中的 应用
在几何中的应用
证明三角形全等
利用三角恒等变换可以证明两 个三角形全等,从而得出它们
的对应边和对应角相等。
计算角度和长度
通过三角恒等变换,可以计算出 三角形中的角度和边的长度,以 及三角形的高和中线等。
证明平行和垂直
利用三角恒等变换可以证明两条直 线平行或垂直,从而得出线段之间 的比例关系。
在代数中的应用
积化和差与和差化积公式可以将两个角度的积与和差表示为只含有一个角度的三角函数形式。积化和 差与和差化积公式可以用于解决一些涉及两个不同角度的乘积或和差的问题,例如求两个角的积、证 明恒等式等。
在电磁学中,三角恒等变换可以用来描述电场和 磁场的变化规律。
光学
在光学中,三角恒等变换可以用来描述光的干涉 和衍射等现象。
05
总结与展望
总结
内容详尽
该PPT详细讲述了三角恒等变换的基本概念、公式和技巧,内容 全面且易于理解。
实用性强
通过丰富的例题和练习题,帮助学生掌握三角恒等变换的运用, 提高解题能力。
揭示函数性质
通过三角恒等变换,可以 进一步揭示三角函数的性 质和特点,为研究三角函 数提供有力的工具。
三角恒等变换的应用
解析几何
在解析几何中,常常需要 用到三角恒等变换来研究 点、线、圆等几何对象的 性质和位置关系。
微积分
在微积分中,三角恒等变 换被广泛应用于解决与极 坐标有关的问题,如计算 面积、体积等。
等变换的应用。
感谢您的观看
THANKS
总结词
利用泰勒级数展开式,将一个函数展开成幂级数形式。
详细描述
泰勒级数展开式是一种将一个函数展开成幂级数形式的方法。通过选择不同的幂级数展开式,我们可以得到不 同的形式的结果。在三角恒等变换中,我们常常利用泰勒级数展开式来进行幂级数展开式的计算,从而得到我 们需要的结论。
04
三角恒等变换在解题中的 应用
在几何中的应用
证明三角形全等
利用三角恒等变换可以证明两 个三角形全等,从而得出它们
的对应边和对应角相等。
计算角度和长度
通过三角恒等变换,可以计算出 三角形中的角度和边的长度,以 及三角形的高和中线等。
证明平行和垂直
利用三角恒等变换可以证明两条直 线平行或垂直,从而得出线段之间 的比例关系。
在代数中的应用
积化和差与和差化积公式可以将两个角度的积与和差表示为只含有一个角度的三角函数形式。积化和 差与和差化积公式可以用于解决一些涉及两个不同角度的乘积或和差的问题,例如求两个角的积、证 明恒等式等。
新版高中数学北师大版必修4课件:第三章三角恒等变形 3.1.1

根据α所在的象限分别求出sin α的值,最后求出tan α的值.
目标导航
知识梳理
题型一
题型二
题型三
题型四
解∵cos
α=
8 17
>
0,
且cos
α≠1,
∴α 是第一或第四象限角.
当 α 是第一象限角时,
sin α=
1-cos2 ������ =
1-
8 17
2
=
15 17
,
∴tan
α=
sin������ cos������
������ ������
=
tan ������-3 tan ������+1
=
− 5.
3
(2)sin2α+sin αcos α+2
sin2 ������ + sin������cos������ + 2(sin2������ + cos2 ������)
=
sin2 ������ + cos2 ������
随堂演练
反思已知tan α的值,求关于sin α,cos α的分式值的问题,有以下两 种情况:
(1)若分子、分母中sin α,cos α的次数相同(称为齐次式),由cos α≠0,令分子、分母同除以cosnα(n∈N*),将待求式化为关于tan α的 表达式,再整体代入tan α的值求解.
(2)若待求式形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α,注意可将分母“1”化 为sin2α+cos2α,进一步转化为关于tan α的表达式,然后求值.
知识梳理
典例透析
12345
1
若
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- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
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=
( ������������������ -������������������ )(������������������ +������������������ )
������ ������
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ( ������������������ +������������������ ) ������ ������
行分析研究得到数学结论,即求得数学模型的解.
(4)
检验 :检验上述所求的解是否符合实际意义,把数
学结论还原为实际问题的解答,从而得出实际问题的解.
1
cos cos π 的值是( A ).
������ ������
������
������
A.������
【解析】原式= =
2
������ ������������������������ ������ ������
2
������
������
.
������ ������
【解析】由 sin( +θ )= 可知,cos θ = ,
������
������
则 cos 2 θ =2cos θ -1=2×( ) -1=- .
������ ������������
������
2
������
4
已知 0<α<������ ,0<β<������ ,且 3sin β=sin(2α+β),4tan������ =1tan2 ������ ,求 α+β 的值.
问题2 三角恒等变换的要求是什么?
(1)化简:要求使三角函数式化为最简,项数尽量少,名称
尽量少,次数尽量低,分母尽量不含三角函数,根号内尽量不含
三角函数,能求值的要求值. (2)求值:要注意角的范围,三角函数值的符号之间的联 系与影响,较难的问题需要根据三角函数值进一步缩小角的 范围.
(3)证明:是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边
,或右边变同于左边,或将左右都进行变换使其左右相等.
问题3 三角恒等变换有哪些技巧?
(1)常值的代换:如“1”的代换就是一种特殊的常值
代换.
(2)切化弦:当化简式中既含有正弦、余弦,又含有正 切,利用同角的基本三角函数关系式 处在于减少了三角函数名称. 将正切化 为正弦和余弦,这就是“切化弦”的思想方法,切化弦的好
������ ������
=
������������������������
������+������������������������
=
������ ������ ������ ������������
-
=-2.
3
若 sin( +θ)= ,则 cos 2θ=
������ ������
������ ������
A.2
B.������
������
������ ������ ������ ������+������������������ ������
������-������������������
=( C )�����
【解析】依题意得 sin α =- ,则
������
������ ������ ������ ������+������������������ ������
【解析】由 4tan =1-tan 得 tan α =
������ ������ ������
2������
������
������
������
������
������ ������ ������ ������- ������������������������ ������
������������������������
问题1 代数式变换与三角变换有什么不同呢?
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于三角变换 ,由于不同的三角函数不仅会有结构形式方面的差异,而且还会
有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三
角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此 为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角恒等变换的重要 特点.
第6课时
简单的三角恒 等变换
能运用和角公式、差角公式和二倍角公式进行简单的恒 等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三 组公式不要求记忆).
前面我们学习了和角、差角及二倍角公式,初步体会到三
角恒等变换在解题中的作用,本节课我们将在之前的基础上继 续探究公式在更多方面的运用,体会学习公式的重要意义.
������
������- ������������������
=
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������������������ +������������������ ������ ������
������������������ -������������������
cos π ������·2sin
������ ������ ������������ ������
= ������·2sin cos cos sin π = .
������ ������������������������ ������
若 cos α=- ,α 是第三象限的角,则
������
������
(3)升幂与降幂公式:sin2α =
cos2α= ,
,
α +β β -α 2α +β
问题4 三角应用问题解答的一般步骤是什么?
(1)
分析 :审读题意,分清已知与未知,理解数学关系, 建模 :根据已知条件与求解目标,设角建立三角
画出示意图. (2) 式,选择适当三角函数模型. (3)
求解 :利用三角变换,对所建立的三角函数模型进
������
B.������
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
������
C.-������
������������ ������ ������ ������������������������
������
������
D.1
= .
������
������
由 3sin[(α +β )-α ]=sin[(α +β )+α ], 得 tan(α +β )=2tan α , ∴tan(α +β )=1.又∵0<α < ,0<β < ,