有限与无限
数学中的“有限与无限”的思想
数学中的“有限与无限”的思想一、知识概述1、有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题.2、把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路.3、积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题.4、立体几何中求球的表面积与体积的推导，实际上是先进行有限次分割，然后再求和、求极限；数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等，这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法.5、有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查,所以我们考前应该予以重视.二、典例分析1.在数列{}n a 在中，542n a n =-，212n a a a an bn ++=+，*n N ∈,其中,a b 为常数，则lim n n n nn a b a b →∞-+的值是 . 【解析】本题根据通项与前n 项和可以求出常数,a b 的值，再对所给的有限项求极限.这里我们要利用已经掌握的无限的结论(即lim 0(||1)nn q q →∞=∈)来解决新的极限问题.【答案】由542n a n =-知，{}n a 是公差为4的等差数列，故123(1)422n n n a a a n -++=+⋅ 2an bn =+，解得2a =，12b =-，从而11()1()4lim lim lim 111()1()4n n n nn n n n n n nb a b a b a b a →∞→∞→∞---===+++. 2. 已知数列{}n a 满足1a a =,111n na a +=+我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当1a =时，得到无穷数列：;.,35,23,2,1 当21-=a 时,得到有穷数列：0,1,21--. （Ⅰ）求当a 为何值时40a =； （Ⅱ）设数列{}n b 满足11b =-, 11()1n n n N b b ++=∈-，求证：a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a ；（Ⅲ）若)4(223≥<<n a n ，求a 的取值范围. 【解析】 这是一道蕴含有限与无限的思想的典型试题. 对于题设的递推关系，随着所给出的初始条件不同，得到的数列既可能是无限数列也可能是有限的数列，第（Ⅱ）问则可以通过有有限次的试验，得出对无限个n b 都可以得到一个有穷数列{a n }的猜想，再用数学归纳法进行证明.或者通过对有限问题的推理直接得到无限问题的解答.第（Ⅲ）问是把对无限个n 都成立的结果，通过有限次分析获得解决.【答案】（Ⅰ）11211111,1,11,n n a a a a a a a a a++==+∴=+=+=34231211321,1.121a a a a a a a a ++=+==+=++ 420.3a a =-=故当时 (Ⅱ) 解法一：11-=b ,11,1111+=-=++n n n n b b b b , 当1b a =时,01112=+=b a , 当2b a =时,111112-==+=b b a ,03=∴a , 当3b a =时,23211b b a =+=,111111223-==+=+=∴b b a a 04=∴a . 一般地, 当n b a =时,,01=+n a 可得一个含有1+n 项的有穷数列121,.,+n a a a . 下面用数学归纳法证明.当1=n 时, 1b a =,显然01112=+=b a ,可得一个含有2项的有穷数列.,21a a 假设当k n =时,k b a =,得到一个含有1+k 项的有穷数列121,.,+k a a a ,其中01=+k a ,则1+=k n 时,1+=k b a ,k k b b a =+=∴+1211,由假设可知, 得到一个含有1+k 项的有穷数列232,,,+k a a a ,其中02=+k a .所以,当1+=k n 时, 可以得到一个含有2+k 项的有穷数列1a ,232,,,+k a a a ,其中02=+k a 由(1),(2)知,对一切+∈N n ,命题都成立. 解法二：11111,, 1.1n n n n b b b b b b ++=-=∴=+- 21132211112{}.11,11,1111,...1111 1.0.n n n n nn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a a b ---+-==∴=+=+=∴=+=+=∴=+=+==-∴=取数列中的任一个数不妨设故a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a .（Ⅲ）)4(223≥<<n a n 即211231<+<-n a ,211<<∴-n a 所以要使)4(223≥<<n a n ,当且仅当它的前一项1-n a 满足211<<-n a .由于()2,12,23⊆⎪⎭⎫ ⎝⎛,所以只须当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,23k a 时,都有⎪⎭⎫⎝⎛∈2,23n a ()5≥n由12234++=a a a ,得2122323<++<a a , 解得0>a . 3．在数列||n a ，||nb 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*N ）.（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++…． 【解析】第（Ⅰ）问由题设可得两个数列的递推关系式，进而得到两个数列的前几项（有限项） ，可以猜出两者的通项公式（无限的问题），再用数学归纳法证明这个无限的问题.第（Ⅱ）问可以通过研究通项公式（无限的问题）直接解决无限的问题.【答案】（Ⅰ）由条件得21112n n n n n n b a a a b b +++=+=，，由此可得2233446912162025a b a b a b ======，，，，，．猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+，．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k 时，结论成立，即2(1)(1)k k a k k b k =+=+，，那么当n=k+1时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kk k k k ka ab a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，,所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知2(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立．（Ⅱ）11115612a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ⎛⎫+++<++++ ⎪+++⨯⨯+⎝⎭...... 111111116223341n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭ (111111562216412)n ⎛⎫=+-<+= ⎪+⎝⎭. 综上，原不等式成立． 三、名校试题1.数列{}n a 中，11a =，2112n n n a a a c +=-+ (1c >为常数，1,2,3,...n =) ，且321.8a a -=（1）求c 的值；（2）① 证明：1n na a +<；② 猜测数列{}n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （3）比较11nk ka =∑与14039n a +的大小，并加以证明. 【解析】第（1）问由通项公式（揭示无限问题）求出有限项23a a 、后可得c 的值；第（2）问通过对有限项的处理证明出结论，从而可猜出{}n a 的极限；第（3）问对得到的递推关系式进行变形，再用作差法求解，需要用到数学归纳法证得2n a <.然后通过前几项（有限项）的比较与第（2）问已证的单调性得到结果.【答案】（Ⅰ）依题意，222211322111111.222222a a a c c a a a c c ⎛⎫=-+=-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 由3218a a -=，得21111122228c c ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2c =，或1c =（舍去）.（Ⅱ）① 证明：因为2211122(2)022n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，当且仅当2n a =时，1n n a a +=.因为11a =，所以10n n a a +->，即1n n a a +< (1,2,3,...n =).② 数列{}n a 有极限,且 lim 2n n a →∞=.（Ⅲ）由21122n n n a a a +=-+，可得11()(2)(2)n n n n n a a a a a ++-=--，从而111122n n n a a a +=---. 因为11a =，所以 111111111111 1.22222nnk k k k k n n a a a a a a ==+++⎛⎫=-=-=- ⎪-----⎝⎭∑∑所以21111111111404139(53)(813)1401401.3923939(2)39(2)nn n n n n n k k n n n a a a a a a a a a a ++++++=+++--+--=--==-⋅-⋅-∑因为11a =，由（Ⅱ）① 得 1n a ≥ (*n ∈N ). （*）下面用数学归纳法证明：对于任意*n ∈N ，有2n a <成立.当1n =时，由11a =，显然结论成立. 假设结论对 (1)n k k =≥时成立，即 2.k a < 因为2211132(1)222n n n n a a a a +=-+=-+，且函数213(1)22y x =-+在1x ≥时单调递增， 所以2113(21)222k a +<-+=.即当1n k =+时，结论也成立. 于是，当*n ∈N 时，有2n a <成立. （**） 根据（*）及（**）得 12n a ≤<.由11a = 及21122n n n a a a +=-+， 经计算可得23313.28a a ==，所以，当1n =时，2114039a a <；当2n =时，312114039a a a +=； 当3n ≥时，由11328n a +<<，得11111(53)(813)1400 , 3939(2)nn n n k kn a a a a a +++=++--=>⋅-∑ 所以1114039nn k ka a+=>∑. 2．数列{}n a 的首项1a =1，前n 项和为n S 满足12(1)n n k S a +=-（常数0k >，*N n ∈）．（1）求证：数列{}n a 是等比数列.（2）设数列{}n a 的公比为()f k ，作数列{}n b ，使13b =，11()n n b f b -=（n =2，3，4，…） 求数列{}n b 的通项公式；（3）设2n n c b =-，若存在*N m ∈，且m n <；使lim n →∞（112m m m m c c c c +++++…1n n c c ++）1<2007，试求m 的最小值．【解析】第（1）问通过对递推关系式的变形得到相邻两项的比，正是利用这两个有限项的比是非零常数来证明该数列是等比数列的.第（2）问也是通过对递推关系式（无限的问题）的变形来求通项公式的（无限的问题）.第（3）问通过抓住通项来求有限项的极限，再根据这个极限求出m 的最小值.【答案】 解：（1）12(1)n n k S a +=- ①当2n ≥时， 12(1)n n k S a -=-②①—②得，12()n n n a k a a +=-即121n n ka k a +=+（2）由①, 1112a k =+，∴1211122n na k k k a ++==+，又21112a a k =+符合上式，∴{}n a 是以1为首项，112k+为公比的等比数列． （2）由（1）知()f k =112k+，∴1111()12n n n b f b b --==+（2n ≥）， ∴112(2)2n n b b --=-.又13b =，即121b -=，1122n n b b -=-， ∴数列{}2n b -是为1首项，12为公比的等比数列． ∴112()2n n b --=，∴112()2n n b -=+．（3）由（2）知112()2n n n c b -=-=，则2111()2n n n c c -+⋅=.∴112lim(m m m m n c c c c +++→∞++…1n n c c ++）=111111lim ...222m m n -+-→∞⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦222n （）（）（） =1111141122lim 132200714m m n --→∞-=<-22n+2（）（）（）， ∴3112669m -<2（），∴9669m ->22. ∵5126691024<<，∴2310m -≥， 6.5m ≥. 又∵*N m ∈，∴m 的最小值为7.四、考点预测(一)考点预测根据近几年各地高考试题和模拟试题来看，有限与无限的思想逐年增加考查广度，我们认为2009年的高考一定会有更多的体现.在题型上来看，热点问题仍然是以数列为载体考查极限的知识和用数学归纳法证题.(二)考点预测题1．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ．【解析】本题设出首项，表示出通项和前n 和（有限项），然后代入求极限.而在求极限的时候，利用到已经掌握的极限知识lim 0n a n →∞=和2lim 0n an→∞=，其中a 为常数.【答案】设首项为1a ，则112(1)21n n n a a a =+-=+-，1(1)22n n n n S a -=+⨯ 21(1)n n a =+-，2222111112222(21)34(1)(1)lim lim lim (1)(1)nn n n n n n n n a n S n n n n a a a a a →∞→∞→∞+--+-+--∴==+-+- 111224(1)(1)3lim3(1)1n n n na a a →∞--++=-+.2.将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a．．．．．．记表中的第一列数1247,...a a a a ，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)nn n nb n b S S =-≥． （Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和． 【解析】第（Ⅰ）问从无穷数列{}n a 中抽出它的一个无穷的子数列，由n S 与n b 的递推关系式消去n b ，从而证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷的等差数列. 第（Ⅱ）问就是求从第三行起的每一行所有的这些无穷多项的和. 【答案】（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，221nn n nb b S S =-， 又12n n S b b b =+++，所以1212()1()n n n n n nS S S S S S ---=--， 即112()1n n n n S S S S ---=-，所以11112n n S S --=， 又1111S b a ===．所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列． 由上可知1111(1)22n n n S +=+-=，即21n S n =+． 所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n n n n -=-=-=-++． 因此1122(1)n n b n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩， ，，．≥ （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >．因为12131212782⨯+++==，所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项， 故81a 在表中第13行第三列，因此28113491a b q ==-．又1321314b =-⨯，所以2q =．记表中第(3)k k≥行所有项的和为S，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)k kk kb qS kq k k k k--==-=--+-+≥。
有限与无限的辩证关系
有限与无限的辩证关系
有限与无限是互相依存、互为表里的辩证关系。
有限指的是有界限、
有限度，有始有终，具有局限性和相对性。
而无限则指的是没有界限、没
有限度，无始无终，具有无穷性和绝对性。
有限与无限之间的辩证关系包含了以下几个方面：
1.有限是无限的表现。
有限的存在是无限的一种表现方式，它在无限
的背景下显得更加明显和突出，有限的存在可以是无限存在的体现。
2.无限需要有限的相对性支撑。
无限是相对于有限而言的，没有有限
这个对照，无限就无从谈起。
有限的存在为无限提供了相对性的支撑，使
无限不再是空洞的抽象概念。
3.有限与无限相互转化。
有限和无限之间不是对立的二元对立关系，
而是统一体中相互转化的关系。
有限可以渐进地接近无限，无限也可以通
过有限的表现形式来实现。
4.有限和无限是统一的辩证关系。
有限和无限虽然是两个不同的概念，但它们并不是孤立的，而是联系在一起的。
有限和无限是统一的辩证关系，是相互依存、相互贯通的。
在具体问题中，有限和无限需要相互协调、相
互补充，才能得到更加深入和全面的认识。
自然辩证法有限与无限
海王星
• 同一个过程，采用不同的度 量方法，得到的结果不同。 有限与无限在不同的度量方 法中得到了不同的应用。
土星
大家都知道1÷3=3.333333…… 结果是无限循环的，但是这是局 限在十进制范围内，如果我们换 个想法，改成9进制呢？这时2反 倒除不尽了。 所以这就是一种约定俗成。
天王星
• 在数学领域几乎每部分都有无限性的 问题，数学研究中涉及到的量总要有 有限和无限的情况。 • 不仅如此，对于每个人来说，有限的 生命，面对着一个无限的宇宙，而需 要用一生的时间去追求的真理又是有 限和无限的统一。 • 我们应该辩证的看问题，灵活的运用 各种科学思维方式，正确运用有限和 无限的概念，去解决有限和无限的问是指与其他事物相 对，因而受其他事物影 响或规定，即有条件的 东西。
• 我们地球上的资源像煤炭、石油、 各种金属、非金属等矿藏。 • 此类资源一旦开采、利用就无法恢 复，随着使用，其总量逐渐减少， 直至枯竭。
地球
•无限是指不与任何其他 事物相对，因而也不受 任何其他事物影响或规 定的东西。
有限与无限
美丽的星空
我们看不到尽头
但我们注定会越走越远
• 有限和无限是辩证法的一队范畴， 数学家希尔伯特说过：“数学是研 究无穷的科学。无穷是一个永恒的 谜，没有任何问题可以像无穷那样 深深的触动人的情感，很少有别的 观念能像无穷那样激励理智产生富 有成果的思想，然而也没有任何其 他的概念能像无穷那样需要加以阐 明。”
木星
•
无限则与“有限”相对，组成辩 证法的一对范畴。指无条件的、在 空间和时间上都没有限制的、无始 无终的东西。无限只能通过有限而 存在，但它不能归结为有限的简单 的量的总和，而有限中则包含着无 限。 金星
有限与无限的哲学
有限与无限的哲学有限与无限是哲学中一个重要的概念对立。
有限指的是有限制、有限度、有限量的事物，而无限则指的是无限制、无限度、无限量的事物。
这两个概念在哲学中有着广泛的应用，涉及到宇宙、时间、空间、思维等方面。
一、宇宙的有限与无限在宇宙的层面上，有限与无限的概念常常被用来讨论宇宙的大小和边界。
在古代，人们认为宇宙是有限的，因为他们认为宇宙是一个封闭的球体，没有边界。
但是，随着现代科学的发展，人们逐渐意识到宇宙是无限的，因为宇宙是不断膨胀的，没有边界。
二、时间的有限与无限在时间的层面上，有限与无限的概念常常被用来讨论时间的长度和结束。
在古代，人们认为时间是有限的，因为他们认为时间是一个循环的过程，没有终点。
但是，随着现代科学的发展，人们逐渐意识到时间是无限的，因为时间是不断流逝的，没有终点。
三、空间的有限与无限在空间的层面上，有限与无限的概念常常被用来讨论空间的大小和形态。
在古代，人们认为空间是有限的，因为他们认为空间是一个封闭的球体，没有边界。
但是，随着现代科学的发展，人们逐渐意识到空间是无限的，因为空间是不断膨胀的，没有边界。
四、思维的有限与无限在思维的层面上，有限与无限的概念常常被用来讨论人类的认知能力和思维能力。
在古代，人们认为人类的思维能力是有限的，因为人类只能认识到有限的事物。
但是，随着现代科学的发展，人们逐渐意识到人类的思维能力是无限的，因为人类可以不断地探索和发现新的事物。
总之，有限与无限是哲学中一个重要的概念对立，涉及到宇宙、时间、空间、思维等方面。
在不同的领域中，有限与无限的含义和应用也有所不同，但都是哲学思考的重要内容。
有限集和无限集的举例
有限集和无限集的举例
有限集和无限集是集合论中的重要概念。
有限集是指元素个数有限的集合，而无限集则是元素个数无限的集合。
举个有限集的例子，我们可以考虑一个集合A，其中包含了几种水果，比如苹果、香蕉和橙子。
这个集合A就是一个有限集，因为它包含的元素个数是有限的，即3个。
而无限集的例子可以是自然数集合N，它包含了1, 2, 3, 4, 5……等无穷多个元素，因此是一个无限集。
另一个例子是实数集合R，它包含了所有的实数，也是一个无限集。
除此之外，还有一些特殊的无限集，比如整数集合Z、有理数集合Q等，它们都是无限集合。
通过这些例子，我们可以清晰地理解有限集和无限集的概念。
有限集的元素个数是有限的，而无限集的元素个数是无限的，这是集合论中非常基础的概念。
希望这些例子可以帮助你更好地理解有限集和无限集。
离散数学——有限集与无限集
§4.3 无限集的性质
无限集的性质
定理4.7
一个集合为无限集，则它必含有与其 等势的真子集。
分析：条件是有一无限集M，
结论是必存在无限集M'有M' M且M'~M
需要利用构造法，构造满足上述条件的M' 。
若无限集M是可以排列的，即M={m1，m2…，mn，…},那么 只需在M去掉元素m1，即可得M' 。 若无限集M是不可以排列的，可在M中按一定规律找到一可
.
§4.2 有限集
定理4.6 设有n个有限集合S1，S2，…Sn，则有
n
|S1∪S2∪…Sn |= |Si|-
|Si∩Sj|
i= 1
1ijn
奇数项是加， 偶数项是减。
+
|Si∩Sj∩Sk |+…
1ijkn
+ (-1)n-1 |S1∩S2…∩Sn |
.
§4.2 有限集
例4.4 假定有120个学生，其中100个学生至少要学德、法、英 三种语言的一种，还假定65人学法语，45人学德语，42人学英 语；20人学法语和德语，25人学法语和英语，15人学德语和英 语。请问同时学三种语言的有多少人？仅学一种语言的各有多 少人？
说明：要想证等势，必须找出一一对应的关系。 .
§4.3 无限集的性质
例4.5 自然数集 N={0,1,2,3……}与其子集S={1,3,5……}均为无限集，且N~S
N：0 1 2 3 … n … ↕ ↕ ↕↕ ↕ ↕↕
S: 1 3 5 7 … 2n+1… 此例说明了无限集的一个特性：一个无限集可以同它的一个 真子集等势 。
第四章 有限集与无限集
1
有限集与无限集基本概念
什么是有限责任与无限责任
什么是有限责任与无限责任有限责任与无限责任是两种不同的法律概念，用于描述不同类型的责任承担方式。
下面将详细介绍有限责任和无限责任的定义、特点和区别。
一、有限责任有限责任是指股东或者合伙人在公司或者合伙企业中对债务承担的责任有限。
具体来说，有限责任意味着股东或者合伙人的个人财产不会因为公司或者合伙企业的债务而受到伤害。
如果公司或者合伙企业发生债务违约或者破产，股东或者合伙人只需承担其投资额或者合伙份额的责任，不会承担超过其投资额或者合伙份额的责任。
有限责任的特点如下：1. 责任有限：股东或者合伙人的个人财产与公司或者合伙企业的财产是分开的，个人财产不会因为公司或者合伙企业的债务问题而受到伤害。
2. 分散风险：有限责任可以吸引更多的投资者参预企业，因为他们只需承担有限的风险，不必为企业的债务问题承担过多风险。
3. 便于转让：有限责任使得股东或者合伙人可以很方便地转让他们的股权或者合伙份额，从而实现投资的流动性。
二、无限责任无限责任是指股东或者合伙人在公司或者合伙企业中对债务承担的责任是无限的。
简而言之，无限责任意味着股东或者合伙人的个人财产可能因为公司或者合伙企业的债务问题而受到伤害。
如果公司或者合伙企业发生债务违约或者破产，股东或者合伙人不仅要承担其投资额或者合伙份额的责任，还可能要承担超过其投资额或者合伙份额的责任。
无限责任的特点如下：1. 责任无限：股东或者合伙人的个人财产与公司或者合伙企业的财产是连在一起的，个人财产可能因为公司或者合伙企业的债务问题而受到伤害。
2. 风险较高：无限责任对股东或者合伙人来说风险较高，因为他们需要承担公司或者合伙企业的全部债务责任。
3. 限制转让：无限责任使得股东或者合伙人很难转让他们的股权或者合伙份额，因为潜在的买家可能不愿意承担无限责任的风险。
三、有限责任与无限责任的区别1. 责任范围：有限责任仅限于股东或者合伙人的投资额或者合伙份额，而无限责任则没有限制，可能超过投资额或者合伙份额。
有限与无限存在着辩证关系
有限与无限存在着辩证关系有限与无限是自然界中的两个重要概念，它们之间存在着辩证关系，相互依存、相互转化、相互制约、相互推动。
有限是指数量、尺寸、范围等存在限制，而无限则是指没有限制，能够无限扩展、无限延伸。
在这种对立中，有限和无限又彼此贯通，互相跳跃。
首先，有限与无限是相互依存的。
有限的存在需要无限的构成，而无限的存在只能通过有限的表现来得到体现。
例如一个小小的物体，它只有有限的体积、面积和质量，但它受到无穷无尽的力量的支配。
反过来，一个无限的宇宙所包含的物质却是有限的，它所包含的空间、时间和能量都有限度。
其次，有限和无限之间存在相互转化的关系。
有限在一定条件下可以不断扩展，最终形成无限；而无限也可以被有限化。
例如，人类的技术不断进步，可以让有限的资源得到更高的利用效率，从而得到更大的产出，极大地扩展了有限资源的使用寿命。
另一方面，一个无限的事物，只要它受到限制，就会变成一个有限的事物。
例如，空气是无限的，但是在封闭的空间里，它的体积、成分、温度等都受到限制，变成了有限的物质。
第三，有限和无限之间存在相互制约的关系。
有限的事物缺乏无限的可能性，而无限的事物也无法真正实现，因为它们受到有限的环境和条件的限制。
例如，太阳系中每颗星球都受到各种各样的限制，它们的运动和生命周期都有其固有的局限性。
反过来讲，太阳系的运动轨迹和形成历程也受到整个宇宙的限制和影响。
最后，有限和无限之间还互相推动，相互发展。
有限的存在需要无限的存在推动，才能不断进化和发展；而无限的存在也需要有限的存在推动，才能得以体现和实现。
例如，在科技不断进步的今天，人类对自然界的认知和探索已经取得了很多先前无法想象的成果，同时这些成果又为人类提供了更多的发展空间和机遇。
在有限与无限之间，存在着复杂的相互作用和辩证关系。
它们之间的关系没有绝对的优劣之分，需要既看到有限的限制和无限的延伸，又同时关注它们之间的互动和推动，从而更好地认识和利用自然规律。
论述有限与无限的区别与联系
论述有限与无限的区别与联系有限与无限：物质世界固有的矛盾之一。
反映物质运动在时间和空间上辩证性质的一对哲学范畴。
物质是不灭的、无限的，并且处在永恒的绝对运动之中，物质及其运动的永恒性、无限性，也就是物质的存在形式即时间持续和空间广延的无限性。
物质的时空无限由具体的物质客体的有限时空所构成，并通过具体物质客体在有限时空上的运动和变化表现出来。
有限和无限的范畴，反映了物质世界中客观存在的矛盾和辩证联系。
有限集和无限集的辨证关系数学中的有限和无限是对现实世界的有限和无限的反映。
整个物质世界的发展变化就是有限和无限的统一无限性首先就是指物质世界的无限性，宇宙的无限性。
运动是物质的固有属性，时间和空间是物质的存在方式，物质世界的无限性就表现为时间的无限持续和空间的无限广延。
数学中的无限性就是这种物质世界无限性的反映。
有限则是说一切事物都存在具体的时间和空间之中，因此总是一段时间，有规模的、有界限的。
即一切事物都是具体的事物。
数学中的有限就反映了这种有限性。
有限和无限是对立的统一，它们既是对立的，有区别的，又是相互联系的。
并在一定条件下相互转化的。
数学中的无限和有限也反映了有限与无限相互转化这一点。
例如，整数集是一个无限集合，人们无法得到一个完成了的整数集。
但每个整数又都是有限的。
我们可以得到任意的整数。
任意给出一个数学的对象，我们立即就能判定它是否属于整数集，这样看问题，整数集又是一个完成了的集合，是一个有限的概念。
因此整数集本身就是一个无限和有限的对立统一体。
有限和无限是对立的、有区别的，有限集合和无限集合的性质有质的不同。
例如一个有限集和它的任何一个真子集都无法建立一一对立关系，而无限集则可以与它的一个真子集建立一一对应关系。
比如，自然数集和它的一个真子集偶自然数集就可以建立一一对应关系。
再如，一个有限的良序数集，自然数集的一个有限数集必然有最大数和最小数。
但是无限的良序数集则没有这种性质，实数集就没有最大数也没有最小数。
数学中的有限和无限
数学中的有限和无限庄清清摘要本文主要总结了数学中有限与无限的关系，通过实例讨论了无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，并讨论了它们的质的区别以及相互关系，为更好的理解有限和无限的关系提供了一些参考.关键词有限，无限关系1 引言“数学是讲述无限的科学.”这句话是代表20世纪数学界辉煌发展的著名数学家、美国普林斯顿高级研究所魏尔教授的至理名言.怎么听起来，这话让人感觉有些奇特而难以捉摸，但事实上数学中的无限的确蕴含着许多令人不可思议奥秘的东西.然而，以前人们都认为数学是有限的，直到笛卡尔引入的坐标法以及微积分的问世之后，人们才清醒地意识到数学是从有限向无限发展的.这一个发现，结束了初等数学年代而进入了变量数学年代.美国数学史家贝尔说“没有一个一致的数学无限理论,就没有无理数理论，就没有与我们现在所有的即便稍许相似的、任何形式的数学分析,最后,没有分析,像现在存有的大部分数学——包括几何和大部分的应用数学——就不存在了”.由此可见,无限在现代科学数学发展领域中占据着十分重要的地位，甚至可以说，没有无限的延伸，就没有现代的科学数学.在我们的日常生活当中，我们一般都习惯了数学领域的有限性，因为我们所接触的东西大多数都可以摁摁手指或者脚趾就可以数得清楚了，有限的人，有限的杯子，有限的盘子等等，于是无限的领域就像个无底洞，让我们觉得高深莫测了，但是当我们仔细地想一想，就会清楚地发现数学中，无限其实是由有限构成，而有限又包含着无限，两者相互交叉，相互联系，就例如我们生活中最常见的一条绳子，你就可以将它剪成无数的小段一样，另外我们大家所熟悉的自然数序列“1，2，3，4，5，6，7，8，9， ,n , ”，当你一个个数字的去数，你就会发现自然数序列实际上是一个永远在增长着的没完没了的数列，这就是所谓简单而又让人费解的数学中的无限领域，然而，它又恰恰是由一个个有限的单位组成的.无限是如此的神秘，“自古以来，没有别的问题像无限这样深深地激动过人的情绪，没有别的想法像它这样富有成效地焕发过人的精神.同时，也没有别的概念像它这 ”1.它引发了三次数学危机：第一次危机发生在公元前580～568样迫切需要澄清年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比.第二次数学危机发生在十七世纪.十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机.第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾.这三次数学危机都使人们深刻地认识到无限的重要性.下面我们观察一下几个式子再如著名的康托（Cantor）集的构造6即我们所谓的三分点集构造：一段长度为一米的直线段，做以下处理 第一次 我们挖去一个，其长度31，而余下2个，长度31； 第二次 我们挖去两个，其长度91，而余下22个，长度21193；第n 次 我们挖去n 12个，其长度n 31，而余下n 2个，长度n 31； 显然，如此继续下去，直到无穷次后，由于在不断地分割舍弃的过程中，所形成的线段数目越来越多，而长度相对越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，而这个点集就是一个无限集.显然，这构造理论再次说明了有限是由无限组成的.再如，我们所有人都认识的两个简单的自然数0和1，然而在它们之间，我们却可以找得到无数个类似0.5，0.05，，0.1，0.01 这样的数字.另外，随意画出一个正三角形或者正方形或者圆，在其里面，我们可以做出无数个与之相似的正三角形或者正方形或者同心圆，这就是人们常说的无限封闭在有限里面（如下图）1.人们对数学中有限与无限的普遍认识都是，无限怎么都比有限广，比有限大，而无限由有限组成，但是站在不同的角度上面去看待这个问题，我们就会发现有限其实也是由无限组成，这一观点首先是由数学家们提出来的.我们说无限包含有限是无限存在于有限当中.恩格斯说:“无限纯粹是有限组成的，这一近视矛盾，可事情就是这样.” 7无限性是一个摸不着的、虚拟的东西，无限要通过有限展示出来，宇宙中的万物都是无数具体有限的事物构成.其次无限就是内在于有限当中的元素 ，辩证地思考无限，就不能仅仅停留在“无限的有限就构成无限”这一点上，我们必须进一步充分地认识它.从社会哲学的角度上看，任何事物本身就是一个矛盾体，所以任何事物都包含着突破自己.由此可见，离开有限，无限将不再存在.有限中包含着无限是说任何有限的东西都可以无限地分割，从原子向粒子的无限分割,事物会由于自身的矛盾推动而处于不安分的状态当中，于是不停地向比自己更小的事物转变.有限中存在着无限，在0到1的单位长度上存在着无数个有理数点，也存在着无数个无理数点.在整除的关系中约数是有限的，而倍数的个数是无限的，这就是我们说的有限由无限组成.5.无限是有限的延伸说到无限是有限的延伸，那么首先我们要说的就是大家都熟识的数学归纳法了.数|1时，→lim n 7.2 有限转化为无限和二项式定理，那我们能走多远呢？”7数学中的有限与无限就像是一对连体的婴儿，密切相连着，对立却又统一，谁都离不开谁.无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，它们之间矛盾地存在着，这就需要我们用辩证的思维去理解它，去认识它，它所能给我们带来的就是不断地去深思和探究.参考文献：[1]郭华.数学中的有限与无限[N].安阳工程学院学报，2009（1）.[2]华东师范大学数学系.数学分析上册[M].北京：高等教育出版社，2001，23-24.[3]华东师范大学数学系.数学分析下册[M].北京:高等教育出版社，2001，2-54.[4]葛军，涂荣豹.初等数学研究教程[M].江苏：江苏教育出版社，2009，165-168.[5]张永康.试论数学中的有限与无限[N].工程兵工程学院学报，1989（1）.[6]王仲英，郝祥辉.数学中的有限和无限[J].高等数学研究，2007，10（1）：77-82.[7]刘大椿.自然辩证法概论[M].北京：中国人民大学出版社，2008，100-250.[8]李浙生.论数学中的有限与无限[N].辽宁教育学院学报，1994（4）.[9]仲田纪夫[日]著.丁树深译.无穷的奥秘及其演变[M].北京：科学出版社，2001，32-54.Mathematics of finite and infiniteZhuang QingqingAbstract：This paper mainly summarizes the relationship between finite and infinite in mathematics, by an example to discuss the infinite is the basis of finite, infinite is composed of a finite, finite is composed of an infinite, unlimited extension is finite, and discusses the difference and relation of the matter, and provides some referencesfor a better understanding of the finite and the infinite relationship Keywords:finite, infinite11。
有限与无限的辩证关系
有限与无限的辩证关系有限与无限是一对辩证关系，它们在世界的各个领域中都存在着。
无论是时间、空间、知识还是资源，都可以以有限和无限来描述。
这两个概念有时相互制约，有时又相互补充，给人们的思维带来了一定的挑战和启示。
在时间的维度上，有限与无限也存在着辩证关系。
时间是我们生命中最宝贵的资源之一，每个人都只有有限的时间来完成自己的事情。
然而，时间又是无限的，因为时间的流逝是永恒不变的。
我们可以合理利用有限的时间，做更多有意义的事情，并在有限的时间里追求无限的进步和成长。
在空间的维度上，有限与无限也相互作用。
地球上的资源是有限的，人类的生存和发展受到了地球资源的限制。
然而，宇宙是无限的，我们对宇宙的探索和认知是无穷无尽的。
通过科学技术的不断进步，我们可以不断拓展我们的认知边界，从有限的地球走向无限的宇宙。
在知识的维度上，有限与无限也有着辩证关系。
人类的知识是有限的，我们无法掌握所有的知识。
然而，知识的广度和深度是无限的，我们可以不断学习和探索，不断丰富自己的知识储备。
同时，知识的共享和传播也使得人类的知识得以无限传承和发展。
在资源的维度上，有限与无限也相互交织。
地球上的资源是有限的，我们必须合理利用和保护资源，以满足人类的需求。
然而，人类的创造力和创新能力是无限的，我们可以通过创新来解决资源的有限性问题，开发替代资源，实现资源的可持续利用。
有限与无限之间的辩证关系不仅存在于自然界，也存在于社会和人类的思维中。
在社会发展中，资源的分配是有限的，人们的需求是无限的。
因此，社会的公平和正义需要通过合理的制度和规则来实现。
在人类的思维中，有限与无限的辩证关系也常常引发哲学上的思考和争议。
人们对于有限与无限的思考与探索，推动了人类文明的进步和发展。
有限与无限是一对辩证关系，它们在时间、空间、知识和资源等方面相互作用。
我们应该在有限中追求无限，通过合理利用和创新来克服有限的局限，实现个人和社会的发展。
同时，我们也应该珍惜有限，保护资源，避免过度消耗。
数学中的有限和无限
数学中的有限和无限 庄清清摘 要 本文主要总结了数学中有限与无限的关系，通过实例讨论了无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，并讨论了它们的质的区别以及相互关系，为更好的理解有限和无限的关系提供了一些参考.关键词 有限，无限关系1 引言“数学是讲述无限的科学.”这句话是代表20世纪数学界辉煌发展的著名数学家、美国普林斯顿高级研究所魏尔教授的至理名言.怎么听起来，这话让人感觉有些奇特而难以捉摸，但事实上数学中的无限的确蕴含着许多令人不可思议奥秘的东西.然而，以前人们都认为数学是有限的，直到笛卡尔引入的坐标法以及微积分的问世之后，人们才清醒地意识到数学是从有限向无限发展的.这一个发现，结束了初等数学年代而进入了变量数学年代.美国数学史家贝尔说“没有一个一致的数学无限理论,就没有无理数理论，就没有与我们现在所有的即便稍许相似的、任何形式的数学分析,最后,没有分析,像现在存有的大部分数学——包括几何和大部分的应用数学——就不存在了”.由此可见,无限在现代科学数学发展领域中占据着十分重要的地位，甚至可以说，没有无限的延伸，就没有现代的科学数学.在我们的日常生活当中， 我们一般都习惯了数学领域的有限性，因为我们所接触的东西大多数都可以摁摁手指或者脚趾就可以数得清楚了，有限的人，有限的杯子，有限的盘子等等，于是无限的领域就像个无底洞，让我们觉得高深莫测了，但是当我们仔细地想一想，就会清楚地发现数学中，无限其实是由有限构成，而有限又包含着无限，两者相互交叉，相互联系，就例如我们生活中最常见的一条绳子，你就可以将它剪成无数的小段一样，另外我们大家所熟悉的自然数序列 “1，2，3，4，5，6，7，8，9，Λ,n ,Λ”，当你一个个数字的去数，你就会发现自然数序列实际上是一个永远在增长着的没完没了的数列，这就是所谓简单而又让人费解的数学中的无限领域，然而，它又恰恰是由一个个有限的单位组成的.无限是如此的神秘， “自古以来，没有别的问题像无限这样深深地激动过人的情绪，没有别的想法像它这样富有成效地焕发过人的精神.同时，也没有别的概念像它这样迫切需要澄清ΛΛ” []1.它引发了三次数学危机：第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比.第二次数学危机发生在十七世纪.十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机.第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾.这三次数学危机都使人们深刻地认识到无限的重要性.下面我们观察一下几个式子π=++++=+++=+++=+++=+++ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ001.004.01.03;91101101101;71818181;41515151;31003.003.03.0323232我们可以得到无限个数的和可以是个有限数，另外我们还学过微积分，由此我们都知道任何积分都是一个趋于无限过程的结果，各种不同的积分有不同的趋于无限过程与结果.数学中的无限只有在与有限的辩证统一中去考虑，才能被理解，才能被运用，而在数学上，有限与无限的转化条件是：运用分析运算，微积分，极限等等手段来进行的，数学中的有限与无限是那么的复杂，那么下面我们就来探讨数学中有限与无限的区别与联系.2.无限是有限的基础给出两条铅垂线，只要它们没有交点，我们就认为它们是平行的，直线在数学中是没有明确的定义的，我们只知道，直线是可以无限的向两端延伸的，延伸的次数没有限制，延伸的长度也是没有限制的，那么在地面上当它无限延伸的时候，两条直线必定会相交于一点，那就是地心，那么我们说的平行线也就是错误的说法了？未必，只要我们说的那两条直线是有限的就行了，所以那是我们在无限的基础上说的有限.再如，投掷硬币的概率，那是我们在熟悉不过的事情了，我们习惯说投掷一枚硬币得到正反面的概率都是12，假如我投掷硬币十次得到3次正面, 7次反面呢, 那我说投掷硬币得到正面的概率是310，反面的概率是710，你也不能说我的结果是错误的吧.实际上，我们平常说的概率12，那是在做了无数次的实验后得到的近似值，都是以无限为基础而得到的结果.如果没有了无限这个基础，那么我们所得到的概率也是不客观的.有限的运算建立在无限的基础上，无限就像空气一样，虽然你看不到它的存在，但是你却不能忽视它的存在，因为它时时刻刻都在我们身边.另外，10.99999=ΛΛ 正确吗？0n 1lim n =∞→ ，1n11lim n =-∞→ 又正确吗？显然，按照现代的数学知识理论，它是正确的，但是它却又必须要建立在无限的基础上才能被认可.3. 无限是由有限构成的有这样的一个故事，它是出自杰出的数学家大卫希尔伯特之口.一天夜里已经很晚了，一个人走进一家旅店想要住店.店主回答说：“对不起，我们没有任何空房间，但是让我看一下，或许我们能为你找到一个房间”.然后店主离开他的桌子，他不情愿地叫醒他的每位房客，并且请他们换一房间：一号房间的房客搬到二号房间，二号房间的房客搬到三号房间，三号房间的房客搬到四号房间，ΛΛ,如此依此类推下去，直到每个房客都搬到下一个房间为止.这时，另这个房客吃惊的是一号房间竟然被空出来了.如是他还高兴的搬了进去，然后安顿下来过了一夜.但是，有一个问题让他百思不得其解：为什么让每个房客搬到下一个房间就会把第一个房间空出来了呢？因为这所旅店就是希尔伯特的旅店，它是城里一个据认为有无数房间的旅馆. []6从这个故事中我们可以知道无限是由有限构成的.每一个房间都是有限的，每个房间只可以住一个旅客，就算来了无数个的旅客也是可以入住这所旅店的.如世上的很多东西都是无限的，但组成它的部分都是有限的.我们都知道在数学中自然数是无限的，但组成自然数的每个数都是有限的，例如1，2，3，4，5，6，7，8，，9，10……，这些数都是组成自然数的成分，但是我们众所周知的是只有一个1，只有一个2，只有一个3……也可以说无限是由有限数组成的，[]3再如我们在数学分析中看到的调和级数∑n 1是发散的，但它的任一部分和都是有限的，只是当∞→n 时，部分和才超过任何一个指定的数，其他的发散级数通常也是这样.数学分析中各种收敛性的判断我们都是通过判断部分和来判断整体的收敛或发散.4 有限由无限组成公元前5世纪古希腊时代，在意大利半岛南部的埃利亚有一位叫芝诺的哲学家就留下一个很有意思的“二分说”论——为了从自己现处位置A，走向门的位置B，必须通过AB的中点.从A到AB的中点，其中间还有中点……[]9如此考虑下去，从A到B得有无穷个这类中点.由此可见，有限的AB段即使是很短很短的一段线段也是由无数个类似的中点组成的.最近在书上看到这样的一句话，我觉得引用来这里是一个很好的例子说明有限是由无限组成“一尺之锤，日取其半，万世不竭”[]2.说的就是一尺之长的短棍，今天取其中的一半，明天取其中的一半的一半，后天再取其中的一半的一半的一半，……依次类推下去，你就会发现这仅仅一尺之长的短棍竟然取不尽. 一尺之长的短棍本是一个有限的物体，但它却可以无限地分割下去.这就给我们讲明了其实有限和无限是统一，有限之中有无限，有限是由无限组成的.用数学的语言去表示，那就更加的一目了然.()+∞∈=+++++++=+++++++=+++=+n,1n1n1n1n1n1n1n1n11818181818181818114141414112121ΛΛΛΛΛΛ再如著名的康托（Cantor）集的构造[]6即我们所谓的三分点集构造：一段长度为一米的直线段，做以下处理第一次我们挖去一个，其长度31，而余下2个，长度31；第二次我们挖去两个，其长度91，而余下22个，长度21193=；ΛΛΛΛ第n次我们挖去n12-个，其长度n31，而余下n2个，长度n31；显然，如此继续下去，直到无穷次后，由于在不断地分割舍弃的过程中，所形成的线段数目越来越多，而长度相对越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，而这个点集就是一个无限集.显然，这构造理论再次说明了有限是由无限组成的.再如，我们所有人都认识的两个简单的自然数0和1，然而在它们之间，我们却可以找得到无数个类似0.5，0.05，，0.1，0.01ΛΛ这样的数字.另外，随意画出一个正三角形或者正方形或者圆，在其里面，我们可以做出无数个与之相似的正三角形或者正方形或者同心圆，这就是人们常说的无限封闭在有限里面（如下图）[]1.人们对数学中有限与无限的普遍认识都是，无限怎么都比有限广，比有限大，而无限由有限组成，但是站在不同的角度上面去看待这个问题，我们就会发现有限其实也是由无限组成，这一观点首先是由数学家们提出来的.我们说无限包含有限是无限存在于有限当中.恩格斯说:“无限纯粹是有限组成的，这一近视矛盾，可事情就是这样.”[]7无限性是一个摸不着的、虚拟的东西，无限要通过有限展示出来，宇宙中的万物都是无数具体有限的事物构成.其次无限就是内在于有限当中的元素 ，辩证地思考无限，就不能仅仅停留在“无限的有限就构成无限”这一点上，我们必须进一步充分地认识它.从社会哲学的角度上看，任何事物本身就是一个矛盾体，所以任何事物都包含着突破自己.由此可见，离开有限，无限将不再存在.有限中包含着无限是说任何有限的东西都可以无限地分割，从原子向粒子的无限分割,事物会由于自身的矛盾推动而处于不安分的状态当中，于是不停地向比自己更小的事物转变.有限中存在着无限，在0到1的单位长度上存在着无数个有理数点，也存在着无数个无理数点.在整除的关系中约数是有限的，而倍数的个数是无限的，这就是我们说的有限由无限组成.5.无限是有限的延伸说到无限是有限的延伸，那么首先我们要说的就是大家都熟识的数学归纳法了.数学归纳法是高等数学中一种有关于证明k n =的方法.数学归纳法在中学以及大学中应用得都比较广泛，它是通过有限的步骤推出无限的结果.在数学归纳法中我们一般假定当1n =和k n =时命题成立，然后推导出当1k n +=时命题也成立时，该等式命题就成立，否则不成立，下面我们来举个例子说明一下：用[]4数学归纳法证明在自然数的序列中，()2n n 1n 54321⨯+=++++++ΛΛ.ΛΛΛΛ287654321216543211554321104321632132111=++++++=+++++=++++=+++=++=+=在这里我们看到对于上面的每个等式都有总和∑=（首项+末项）⨯项数÷2，但这只是我们猜测的，于是用数学归纳法证明如下：当1n =时，左边=1，右边=1，左边=右边，等式成立； 当2n =时，左边=321=+，右边=()32221=⨯+，左边=右边，等式成立当k n =时，假设成立，即可得()2k k 1k 54321⨯+=++++++Λ， 那么当1k n +=时，有：左边=()()()()()()()()()[]21k 1k 12k 2k 121k 2k k 11k 2k k 11k k 54321++⨯+=+⨯+=+⨯+⨯+=++⨯+=++++++++Λ右边=()()[]211k k 1++⨯+，左边=右边，即当1k n +=时，等式亦成立.所以可以证得 ()2n n 1n 54321⨯+=++++++ΛΛ对于任何的自然数都成立，通过数学归纳法从而证明了这一个普遍的定理.假如我们无法从有限推到无限的话，那么就算你有超能力，你也没办法证明这个普遍定理，就像你在下象棋的时候，就算你的棋艺很好，你也只是可以推出对手有限步战略，也只能为自己的有限步范围内做好应对准备，再如天气预报一样，天气方面的专家们也只能每天为你更新一下天气情况，今天是不会知道明年今天的天气情况的，彭加勒说：“在这样的情况下我们不能凭借单一的直接直觉洞察算术的普遍真理,为了获得最普遍的定理,我们不得不借助于递归推理,因为这是能使我们从有穷通向无穷的工具” []8.看到上述的数学归纳法，或许直到现在都还会有很多人误以为是“经验归纳法”，但数学归纳法和经验归纳法却有着本质的区别， 即使从名义上看它们都是归纳法的一种.经验归纳法是根据事物有限步伐内的发展情况直接按照人的主观思维推导出一般的规律，无论怎么样，这个规律都是没有被严格数学思维证明成立的，而数学归纳法是一个演绎推理的过程，它是通过用数学的方法来严格证明所得的普遍的定理，因而它能被我们所有人接受. 6.有限与无限有着质的区别有限与无限是对立统一的，它们有着质的区别，但在一定条件下又可以互相化，只有用辩证法才能准确理解和认识有限与无限问题的区别.[]7恩格斯说：“数学只要引入无限大和无限小，它就会引入一个质的差异，这个差异甚至表现为不可克服的质的对立.”任何一个有限集里面都有这最大值与最小值，但是在无限集中却找不到，像()+∞∞-,中就不存在所谓的最大值和最小值.空间中两条铅垂线，当我们考虑的长度比较短时，那么可以认为它们是平行的，但从无限空间领域来考虑这两条铅垂线，它们却是相交于地心这一点的.在有限的范围内我们还看一下数学中常用的结合律显然成立，例如：767117151513131171515131311=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-但是在无限多项的求和定律中就不能运用这些求和定律了，例如：()()()1747453533232174535332321n ,1n 21-n 21751531311=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞∈+++⨯+⨯+⨯ΛΛΛΛΛΛ 在上面式子当中，第三步其实是错误的，是不允许这样做的.事实上,正确的算式应该如下：()()()()()()()()21n ,n121n ,12n n n ,12n 1n 1n ,12n 1n 1-2n n 1-2n n 7474535332321n ,12n 1n 1-2n n 74535332321n ,1n 21-n 21751531311=∞∈+=∞∈+=∞∈++-=∞∈++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞∈+++⨯+⨯+⨯ΛΛΛΛΛΛ 另外，再举一个例子()()()()()()()()21s 12s s-1s s 11111-1s 31s 0-1s 011111-1s 200001-11-11-1s 111111111s ===-+-+-==-+-+-==+++=+++=+-+-+-+-=所以那么，，所以上式中的因为右端括号内的值为为所以答案，故上式由上可知右端括号内为的种种答案ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ从上面我们可以看得出一个式子既可以得到三个答案，不过只可惜这三个答案都是错误的，其产生的原因正是计算无限领域时，不能像计算有限数字那样，随意运用结合律和分配律，由里往外一层层脱掉括号来得出答案s.在有限的集合中，整体大于部分是天经地义的，不容置疑的，但是在无限集合中就成了谬论，因为在无限集合当中，整体跟部分是可以相等，可以一一对应的.对于两个有限集合，如果我们不利用计算集合中元素个数的方法，那么我们怎样知道两个集合哪个包含哪个呢？[]5有人举了一个十分通俗易懂的例子：假如房间中有若干凳子，相当于元素，让人们去坐凳子，每个人只可以坐一张凳子，相等的人数，假如有人坐不到凳子那么这个集合中的元素比人少，相反假如大家都找到凳子,那么凳子数和人数一样多.这种方法推广到无限集中呢？正偶数集是正态数集的真子集，两个子集之间可以找到这样的一一的对应关系：2n n ,,63,42,21↔↔↔↔ΛΛ.任意两个集合只要能建立一一对应关系，就认为它们的数目一样多.后来康托提出了一个新的概念来表示无穷集合的大小，这就是我们在初等数学研究中学习的“基数”，在有限集中基数等于元素的个数，在无限集中，如果能建立一一对应的关系那么它们的基数就相等.我们都知道有限个连续函数之和还是连续函数，但是这个有限和的性质对于无限级数是不成立的.在我们学习过的知识里面我们还能举出无限个例子来说明有限和无限之间有着质的区别，在这里就不多说了.7.有限与无限之间相互转化7.1 无限转化为有限在数学中我们一般通过有限项之和的极限来定义无限项之和，通过有限维空间来研究无限维空间，这就是由无限转化为有限.例如：要证2n n n 28642+=+++++ΛΛ对于一切自然数都成立的话，那么要我们一一验证是不可能的，我们毫不犹豫地就要用到数学归纳法，在前面我们已经说过数学归纳法，现在就不再举例子说明.数学归纳法运用的原来是把无限步的推理过程转化为有限步，从而得到结果.在数学分析中我们计算函数的极限也是同样的道理，例如：计算数项级数()ΛΛΛΛ++++⨯+⨯+⨯1n n 1431321211 解：级数的第n 个部分和()1n 111n 1n 131212111n n 1431321211n +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++⨯+⨯+⨯=ΛΛΛΛs 由于11n 11lim lim n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∞→∞→s .还有在无限项的等比数列中求和，我们可以首先算出[]3有限项之和qq a aq aq a s --=+++=11.n1-n n ΛΛ 当||1q <时，qa q q a s -=--=∞→∞→111.lim lim n n n n 7.2 有限转化为无限在初等数学研究中我们习惯于把有限的任一初等函数转化为无穷级数.例如：[]3()()ΛΛΛΛΛΛΛΛ++++++=+-+++-=-+n 4321n 21n 5321212121211!1-n 21!5!3sin x x x x x()()+∞∞-∈++++++=+-+-+-+=,,n!1!31!21!11110242125671285161812112n 32x x x x x e x ΛΛΛΛΛΛ()()()()Λ++++=-+++=+++=++-++=-++=++=++-+=-+=2121211122121112121112121221112211121112121211212Λ+++=⨯++=⨯++=⨯+=⨯+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⨯=5521212134212121312121213421213121213112134213233333在《自然辩证法》恩格斯指出：“数学把某个确定的数，例如二项式，作无穷级数，即化作某种不定的东西，从人的常识来说，这是荒谬的举动，但是，如果没有无穷级数和二项式定理，那我们能走多远呢？”[]7数学中的有限与无限就像是一对连体的婴儿，密切相连着，对立却又统一，谁都离不开谁. 无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，它们之间矛盾地存在着，这就需要我们用辩证的思维去理解它，去认识它，它所能给我们带来的就是不断地去深思和探究.参考文献：[1]郭华.数学中的有限与无限[N].安阳工程学院学报，2009（1）.[2]华东师范大学数学系.数学分析上册[M].北京：高等教育出版社，2001，23-24.[3]华东师范大学数学系.数学分析下册[M].北京:高等教育出版社，2001，2-54.[4]葛军，涂荣豹.初等数学研究教程[M].江苏：江苏教育出版社，2009，165-168.[5]张永康.试论数学中的有限与无限[N].工程兵工程学院学报，1989（1）.[6]王仲英，郝祥辉.数学中的有限和无限[J].高等数学研究，2007，10（1）：77-82.[7]刘大椿.自然辩证法概论[M].北京：中国人民大学出版社，2008，100-250.[8]李浙生.论数学中的有限与无限[N].辽宁教育学院学报，1994（4）.[9]仲田纪夫[日]著.丁树深译.无穷的奥秘及其演变[M].北京：科学出版社，2001，32-54.Mathematics of finite and infiniteZhuang QingqingAbstract：This paper mainly summarizes the relationship between finite and infinite in mathematics, by an example to discuss the infinite is the basis of finite, infinite is posed of a finite, finite is posed of an infinite, unlimited extension is finite, and discusses the difference and relation of the matter, and provides some references for a better understanding of the finite and the infinite relationshipKeywords:finite, infinite。
数学中的有限和无限
数学中的有限和无限庄清清摘要本文主要总结了数学中有限与无限的关系，通过实例讨论了无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，并讨论了它们的质的区别以及相互关系，为更好的理解有限和无限的关系提供了一些参考.关键词有限，无限关系1 引言“数学是讲述无限的科学.”这句话是代表20世纪数学界辉煌发展的著名数学家、美国普林斯顿高级研究所魏尔教授的至理名言.怎么听起来，这话让人感觉有些奇特而难以捉摸，但事实上数学中的无限的确蕴含着许多令人不可思议奥秘的东西.然而，以前人们都认为数学是有限的，直到笛卡尔引入的坐标法以及微积分的问世之后，人们才清醒地意识到数学是从有限向无限发展的.这一个发现，结束了初等数学年代而进入了变量数学年代.美国数学史家贝尔说“没有一个一致的数学无限理论,就没有无理数理论，就没有与我们现在所有的即便稍许相似的、任何形式的数学分析,最后,没有分析,像现在存有的大部分数学——包括几何和大部分的应用数学——就不存在了”.由此可见,无限在现代科学数学发展领域中占据着十分重要的地位，甚至可以说，没有无限的延伸，就没有现代的科学数学.在我们的日常生活当中，我们一般都习惯了数学领域的有限性，因为我们所接触的东西大多数都可以摁摁手指或者脚趾就可以数得清楚了，有限的人，有限的杯子，有限的盘子等等，于是无限的领域就像个无底洞，让我们觉得高深莫测了，但是当我们仔细地想一想，就会清楚地发现数学中，无限其实是由有限构成，而有限又包含着无限，两者相互交叉，相互联系，就例如我们生活中最常见的一条绳子，你就可以将它剪成无数的小段一样，另外我们大家所熟悉的自然数序列“1，2，3，4，5，6，7，8，9，Λ,n,Λ”，当你一个个数字的去数，你就会发现自然数序列实际上是一个永远在增长着的没完没了的数列，这就是所谓简单而又让人费解的数学中的无限领域，然而，它又恰恰是由一个个有限的单位组成的.无限是如此的神秘，“自古以来，没有别的问题像无限这样深深地激动过人的情绪，没有别的想法像它这样富有成效地焕发过人的精神.同时，也没有别的概念像它Λ”[]1.它引发了三次数学危机：第一次危机发生在公元前580～这样迫切需要澄清Λ568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比.第二次数学危机发生在十七世纪.十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机.第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾.这三次数学危机都使人们深刻地认识到无限的重要性.下面我们观察一下几个式子π=++++=+++=+++=+++=+++ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ001.004.01.03;91101101101;71818181;41515151;31003.003.03.0323232 我们可以得到无限个数的和可以是个有限数，另外我们还学过微积分，由此我们都知道任何积分都是一个趋于无限过程的结果，各种不同的积分有不同的趋于无限过程与结果.数学中的无限只有在与有限的辩证统一中去考虑，才能被理解，才能被运用，而在数学上，有限与无限的转化条件是：运用分析运算，微积分，极限等等手段来进行的，数学中的有限与无限是那么的复杂，那么下面我们就来探讨数学中有限与无限的区别与联系.2.无限是有限的基础3. 无限是由有限构成的有这样的一个故事，它是出自杰出的数学家大卫希尔伯特之口.一天夜里已经很晚了，一个人走进一家旅店想要住店.店主回答说：“对不起，我们没有任何空房间，但是让我看一下，或许我们能为你找到一个房间”.然后店主离开他的桌子，他不情愿地叫醒他的每位房客，并且请他们换一房间：一号房间的房客搬到二号房间，二号房间的房客搬到三号房间，三号房间的房客搬到四号房间，ΛΛ,如此依此类推下去，直到每个房客都搬到下一个房间为止.这时，另这个房客吃惊的是一号房间竟然被空出来了.如是他还高兴的搬了进去，然后安顿下来过了一夜.但是，有一个问题让他百思不得其解：为什么让每个房客搬到下一个房间就会把第一个房间空出来了呢因为这所旅店就是希尔伯特的旅店，它是城里一个据认为有无数房间的旅馆. []64 有限由无限组成公元前5世纪古希腊时代，在意大利半岛南部的埃利亚有一位叫芝诺的哲学家就留下一个很有意思的“二分说”论——为了从自己现处位置A，走向门的位置B，必须通过AB的中点.从A到AB的中点，其中间还有中点……[]9如此考虑下去，从A到B得有无穷个这类中点.由此可见，有限的AB段即使是很短很短的一段线段也是由无数个类似的中点组成的.最近在书上看到这样的一句话，我觉得引用来这里是一个很好的例子说明有限是由无限组成“一尺之锤，日取其半，万世不竭”[]2.说的就是一尺之长的短棍，今天取其中的一半，明天取其中的一半的一半，后天再取其中的一半的一半的一半，……依次类推下去，你就会发现这仅仅一尺之长的短棍竟然取不尽. 一尺之长的短棍本是一个有限的物体，但它却可以无限地分割下去.这就给我们讲明了其实有限和无限是统一，有限之中有无限，有限是由无限组成的.用数学的语言去表示，那就更加的一目了然.再如著名的康托（Cantor）集的构造[]6即我们所谓的三分点集构造：第一次 我们挖去一个，其长度31，而余下2个，长度31； 第二次 我们挖去两个，其长度91，而余下22个，长度21193=； ΛΛΛΛ 第n 次 我们挖去n 12-个，其长度n 31，而余下n 2个，长度n 31； 显然，如此继续下去，直到无穷次后，由于在不断地分割舍弃的过程中，所形成的线这个点集就是一个无限集.显然，这构造理论再次说明了有限是由无限组成的.再如，我们所有人都认识的两个简单的自然数0和1，然而在它们之间，我们却可以找得到无数个类似，，，，ΛΛ这样的数字.另外，随意画出一个正三角形或者正方形或者圆，在其里面，我们可以做出无数个与之相似的正三角形或者正方形或者同心圆，这就是人们常说的无限封闭在有限里面（如下图）[]1.人们对数学中有限与无限的普遍认识都是，无限怎么都比有限广，比有限大，而无限由有限组成，但是站在不同的角度上面去看待这个问题，我们就会发现有限其实也是由无限组成，这一观点首先是由数学家们提出来的.我们说无限包含有限是无限存在于有限当中.恩格斯说:“无限纯粹是有限组成的，这一近视矛盾，可事情就是这样.”[]7无限性是一个摸不着的、虚拟的东西，无限要通过有限展示出来，宇宙中的万物都是无数具体有限的事物构成.其次无限就是内在于有限当中的元素 ，辩证地思考无限，就不能仅仅停留在“无限的有限就构成无限”这一点上，我们必须进一步充分地认识它.从社会哲学的角度上看，任何事物本身就是一个矛盾体，所以任何事物都包含着突破自己.由此可见，离开有限，无限将不再存在.有限中包含着无限是说任何有限的东西都可以无限地分割，从原子向粒子的无限分割,事物会由于自身的矛盾推动而处于不安分的状态当中，于是不停地向比自己更小的事物转变.有限中存在着无限，在0到1的单位长度上存在着无数个有理数点，也存在着无数个无理数点.在整除的关系中约数是有限的，而倍数的个数是无限的，这就是我们说的有限由无限组成.5.无限是有限的延伸说到无限是有限的延伸，那么首先我们要说的就是大家都熟识的数学归纳法了.数学归纳法是高等数学中一种有关于证明k n =的方法.数学归纳法在中学以及大学中应用得都比较广泛，它是通过有限的步骤推出无限的结果.在数学归纳法中我们一般假定当1n =和k n =时命题成立，然后推导出当1k n +=时命题也成立时，该等式命题就成立，否则不成立，下面我们来举个例子说明一下：用[]4数学归纳法证明在自然数的序ΛΛΛΛ287654321216543211554321104321632132111=++++++=+++++=++++=+++=++=+= 在这里我们看到对于上面的每个等式都有总和∑=（首项+末项）⨯项数÷2，但这只是()()()()()()()()()[]21k 1k 12k 2k 121k 2k k 11k 2k k 11k k 54321++⨯+=+⨯+=+⨯+⨯+=++⨯+=++++++++Λ今天的天气情况的，彭加勒说：“在这样的情况下我们不能凭借单一的直接直觉洞察算术的普遍真理,为了获得最普遍的定理,我们不得不借助于递归推理,因为这是能使我们从有穷通向无穷的工具” []8.看到上述的数学归纳法，或许直到现在都还会有很多人误以为是“经验归纳法”，但数学归纳法和经验归纳法却有着本质的区别， 即使从名义上看它们都是归纳法的一种.经验归纳法是根据事物有限步伐内的发展情况直接按照人的主观思维推导出一般的规律，无论怎么样，这个规律都是没有被严格数学思维证明成立的，而数学归纳法是一个演绎推理的过程，它是通过用数学的方法来严格证明所得的普遍的定理，因而它能被我们所有人接受.6.有限与无限有着质的区别有限与无限是对立统一的，它们有着质的区别，但在一定条件下又可以互相化，只有用辩证法才能准确理解和认识有限与无限问题的区别.[]7恩格斯说：“数学只要引入无限大和无限小，它就会引入一个质的差异，这个差异甚至表现为不可克服的质的对立.”任何一个有限集里面都有这最大值与最小值，但是在无限集中却找不到，像()+∞∞-,中就不存在所谓的最大值和最小值.空间中两条铅垂线，当我们考虑的长度比较短时，那么可以认为它们是平行的，但从无限空间领域来考虑这两条铅垂线，它们却是相交于地心这一点的.在有限的范围内我们还看一下数学中常用的结合律显然成立，例如：767117151513131171515131311=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-但是在无限多项的求和定律中就不能运用这些求和定律了，例如：()()()1747453533232174535332321n ,1n 21-n 21751531311=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞∈+++⨯+⨯+⨯ΛΛΛΛΛΛ 在上面式子当中，第三步其实是错误的，是不允许这样做的.事实上,正确的算式应该如下：()()()()()()()()21n ,n121n ,12n n n ,12n 1n 1n ,12n 1n 1-2n n 1-2n n 7474535332321n ,12n 1n 1-2n n 74535332321n ,1n 21-n 21751531311=∞∈+=∞∈+=∞∈++-=∞∈++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞∈+++⨯+⨯+⨯ΛΛΛΛΛΛ 另外，再举一个例子()()()()()()()()21s 12s s-1s s 11111-1s 31s 0-1s 011111-1s 200001-11-11-1s 111111111s ===-+-+-==-+-+-==+++=+++=+-+-+-+-=所以那么，，所以上式中的因为右端括号内的值为为所以答案，故上式由上可知右端括号内为的种种答案ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 从上面我们可以看得出一个式子既可以得到三个答案，不过只可惜这三个答案都是错误的，其产生的原因正是计算无限领域时，不能像计算有限数字那样，随意运用结合律和分配律，由里往外一层层脱掉括号来得出答案s.在有限的集合中，整体大于部分是天经地义的，不容置疑的，但是在无限集合中就成了谬论，因为在无限集合当中，整体跟部分是可以相等，可以一一对应的.对于两个有限集合，如果我们不利用计算集合中元素个数的方法，那么我们怎样知道两个集合哪个包含哪个呢[]5有人举了一个十分通俗易懂的例子：假如房间中有若干凳子，相当于元素，让人们去坐凳子，每个人只可以坐一张凳子，相等的人数，假如有人坐不到凳子那么这个集合中的元素比人少，相反假如大家都找到凳子,那么凳子数和人数一样多.这种方法推广到无限集中呢正偶数集是正态数集的真子集，两个子集之间可以找到这样的一一的对应关系：2n n ,,63,42,21↔↔↔↔ΛΛ.任意两个集合只要能建立一一对应关系，就认为它们的数目一样多.后来康托提出了一个新的概念来表示无穷集合的大小，这就是我们在初等数学研究中学习的“基数”，在有限集中基数等于元素的个数，在无限集中，如果能建立一一对应的关系那么它们的基数就相等.我们都知道有限个连续函数之和还是连续函数，但是这个有限和的性质对于无限级数是不成立的.在我们学习过的知识里面我们还能举出无限个例子来说明有限和无限之间有着质的区别，在这里就不多说了.7.有限与无限之间相互转化无限转化为有限在数学中我们一般通过有限项之和的极限来定义无限项之和，通过有限维空间来研究无限维空间，这就是由无限转化为有限.例如：要证2n n n 28642+=+++++ΛΛ对于一切自然数都成立的话，那么要我们一一验证是不可能的，我们毫不犹豫地就要用到数学归纳法，在前面我们已经说过数学归纳法，现在就不再举例子说明.数学归纳法运用的原来是把无限步的推理过程转化为有限步，从而得到结果.在数学分析中我们计算函数的极限也是同样的道理，例如：计算数项级数()ΛΛΛΛ++++⨯+⨯+⨯1n n 1431321211 解：级数的第n 个部分和 ()1n 111n 1n 131212111n n 1431321211n +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++⨯+⨯+⨯=ΛΛΛΛs 由于11n 11lim lim n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∞→∞→s .还有在无限项的等比数列中求和，我们可以首先算出[]3有限项之和 qq a aq aq a s --=+++=11.n1-n n ΛΛ 当||1q <时，qa q q a s -=--=∞→∞→111.lim lim n n n n 有限转化为无限在初等数学研究中我们习惯于把有限的任一初等函数转化为无穷级数.例如：[]3()()ΛΛΛΛΛΛΛΛ++++++=+-+++-=-+n 4321n 21n 5321212121211!1-n 21!5!3sin x x x x x在《自然辩证法》恩格斯指出：“数学把某个确定的数，例如二项式，作无穷级数，即化作某种不定的东西，从人的常识来说，这是荒谬的举动，但是，如果没有无穷级数和二项式定理，那我们能走多远呢”[]7数学中的有限与无限就像是一对连体的婴儿，密切相连着，对立却又统一，谁都离不开谁.无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，它们之间矛盾地存在着，这就需要我们用辩证的思维去理解它，去认识它，它所能给我们带来的就是不断地去深思和探究.参考文献：[1]郭华.数学中的有限与无限[N].安阳工程学院学报，2009（1）.[2]华东师范大学数学系.数学分析上册[M].北京：高等教育出版社，2001，23-24.[3]华东师范大学数学系.数学分析下册[M].北京:高等教育出版社，2001，2-54.[4]葛军，涂荣豹.初等数学研究教程[M].江苏：江苏教育出版社，2009，165-168.[5]张永康.试论数学中的有限与无限[N].工程兵工程学院学报，1989（1）.[6]王仲英，郝祥辉.数学中的有限和无限[J].高等数学研究，2007，10（1）：77-82.[7]刘大椿.自然辩证法概论[M].北京：中国人民大学出版社，2008，100-250.[8]李浙生.论数学中的有限与无限[N].辽宁教育学院学报，1994（4）.[9]仲田纪夫[日]著.丁树深译.无穷的奥秘及其演变[M].北京：科学出版社，2001，32-54.Mathematics of finite and infiniteZhuang QingqingAbstract：This paper mainly summarizes the relationship between finite and infinite in mathematics, by an example to discuss the infinite is the basis of finite, infinite is composed of a finite, finite is composed of an infinite, unlimited extension is finite, and discusses the difference and relation of the matter, and provides some references for a better understanding of the finite and the infinite relationshipKeywords:finite, infinite。
有限与无限名言
有限与无限名言有限与无限名言有限是一种状态，无限是一种追求。
有限和无限的思想在人类的社会生活中很常见，这是人类智慧的结晶，也是人类文明的内涵。
以下是有限与无限名言：有限篇章：1. 世上没有绝对的无限，不过是看不穿而已。
2. 在有限的时间里追寻无限的价值，才是生命中最美丽的信仰。
3. 有限的生命中，留下无限的精神，才是真正的不灭。
4. 有限的东西，争也争不到无限的美好。
5. 有限是我们所处的境地，无限是我们人生的追求。
6. 知道有限，是不怕错过无限的美好。
7. 有限的时间里做无限的事情，每个人都可以做到，只是有没有这个信念而已。
8. 看透有限，品味无限，这是艺术的境界。
9. 有限可以是某种限制，也可以是某种契约。
10. 有限不一定是负面，有些时候它反而激发我们更大的创造力。
无限篇章：1. 无限不只是形式上的展示，更是精神的体现。
2. 追求无限就是追求自我超越。
3. 无限意味着永远有新的发现，新的可能。
4. 无限是人类文明的精神内核，是整个宇宙的追求。
5. 无限需要不断的拓展和探索，这是人类智慧的结晶。
6. 人们不断探索无限的可能，就是对生命的最深刻的理解。
7. 拥有无限的梦想，勇敢地去实现，方能让生命更加灿烂。
8. 求知与追求是人类生命中最高尚的追求，也是无限的奥义。
9. 无限是一种超验的精神存在，是人类生命意义的深刻理解。
10. 无限源于人类智慧，不断学习进取，才能实现内心对无限的追求。
以上是有限与无限名言，我们需要在有限的世界中拥有无限的视野和追求。
只有在这样的追求中，我们才能让有限的生命变得更加灿烂，更加有意义。
数学中的“有限与无限”的思想
数学中的“有限与无限”的思想一、知识概述1、有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题.2、把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路.3、积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题.4、立体几何中求球的表面积与体积的推导，实际上是先进行有限次分割，然后再求和、求极限；数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等，这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法.5、有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查,所以我们考前应该予以重视.二、典例分析1.在数列{}n a 在中，542n a n =-，212n a a a an bn ++=+L ，*n N ∈,其中,a b 为常数，则lim n n n nn a b a b →∞-+的值是 . 【解析】本题根据通项与前n 项和可以求出常数,a b 的值，再对所给的有限项求极限.这里我们要利用已经掌握的无限的结论(即lim 0(||1)nn q q →∞=∈)来解决新的极限问题.【答案】由542n a n =-知，{}n a 是公差为4的等差数列，故123(1)422n n n a a a n -++=+⋅L 2an bn =+，解得2a =，12b =-，从而11()1()4lim lim lim 111()1()4n n n nn n n n n n nb a b a b a b a →∞→∞→∞---===+++. 2. 已知数列{}n a 满足1a a =,111n na a +=+我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当1a =时，得到无穷数列：;.,35,23,2,1K 当21-=a 时,得到有穷数列：0,1,21--. （Ⅰ）求当a 为何值时40a =； （Ⅱ）设数列{}n b 满足11b =-, 11()1n n n N b b ++=∈-，求证：a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a ；（Ⅲ）若)4(223≥<<n a n ，求a 的取值范围. 【解析】 这是一道蕴含有限与无限的思想的典型试题. 对于题设的递推关系，随着所给出的初始条件不同，得到的数列既可能是无限数列也可能是有限的数列，第（Ⅱ）问则可以通过有有限次的试验，得出对无限个n b 都可以得到一个有穷数列{a n }的猜想，再用数学归纳法进行证明.或者通过对有限问题的推理直接得到无限问题的解答.第（Ⅲ）问是把对无限个n 都成立的结果，通过有限次分析获得解决.【答案】（Ⅰ）11211111,1,11,n n a a a a a a a a a++==+∴=+=+=Q34231211321,1.121a a a a a a a a ++=+==+=++ 420.3a a =-=故当时 (Ⅱ) 解法一：11-=b Θ,11,1111+=-=++n n n n b b b b , 当1b a =时,01112=+=b a , 当2b a =时,111112-==+=b b a ,03=∴a , 当3b a =时,23211b b a =+=,111111223-==+=+=∴b b a a 04=∴a . 一般地, 当n b a =时,,01=+n a 可得一个含有1+n 项的有穷数列121,.,+n a a a Λ. 下面用数学归纳法证明.当1=n 时, 1b a =,显然01112=+=b a ,可得一个含有2项的有穷数列.,21a a 假设当k n =时,k b a =,得到一个含有1+k 项的有穷数列121,.,+k a a a Λ,其中01=+k a ,则1+=k n 时,1+=k b a ,k k b b a =+=∴+1211,由假设可知, 得到一个含有1+k 项的有穷数列232,,,+k a a a Λ,其中02=+k a .所以,当1+=k n 时, 可以得到一个含有2+k 项的有穷数列1a ,232,,,+k a a a Λ,其中02=+k a 由(1),(2)知,对一切+∈N n ,命题都成立. 解法二：11111,, 1.1n n n n b b b b b b ++=-=∴=+-Q 21132211112{}.11,11,1111,...1111 1.0.n n n n nn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a a b ---+-==∴=+=+=∴=+=+=∴=+=+==-∴=Q 取数列中的任一个数不妨设故a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a .（Ⅲ）)4(223≥<<n a n 即211231<+<-n a ,211<<∴-n a 所以要使)4(223≥<<n a n ,当且仅当它的前一项1-n a 满足211<<-n a .由于()2,12,23⊆⎪⎭⎫ ⎝⎛,所以只须当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,23k a 时,都有⎪⎭⎫⎝⎛∈2,23n a ()5≥n由12234++=a a a ,得2122323<++<a a , 解得0>a .3．在数列||n a ，||n b 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*N ）.（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++…． 【解析】第（Ⅰ）问由题设可得两个数列的递推关系式，进而得到两个数列的前几项（有限项） ，可以猜出两者的通项公式（无限的问题），再用数学归纳法证明这个无限的问题.第（Ⅱ）问可以通过研究通项公式（无限的问题）直接解决无限的问题.【答案】（Ⅰ）由条件得21112n n n n n n b a a a b b +++=+=，，由此可得2233446912162025a b a b a b ======，，，，，．猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+，．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k 时，结论成立，即2(1)(1)k k a k k b k =+=+，，那么当n=k+1时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kk k k k ka ab a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，,所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知2(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立．（Ⅱ）11115612a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ⎛⎫+++<++++ ⎪+++⨯⨯+⎝⎭...... 111111116223341n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭ (111111562216412)n ⎛⎫=+-<+= ⎪+⎝⎭. 综上，原不等式成立． 三、名校试题1.数列{}n a 中，11a =，2112n n n a a a c +=-+ (1c >为常数，1,2,3,...n =) ，且321.8a a -=（1）求c 的值；（2）① 证明：1n na a +<；② 猜测数列{}n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （3）比较11nk ka =∑与14039n a +的大小，并加以证明. 【解析】第（1）问由通项公式（揭示无限问题）求出有限项23a a 、后可得c 的值；第（2）问通过对有限项的处理证明出结论，从而可猜出{}n a 的极限；第（3）问对得到的递推关系式进行变形，再用作差法求解，需要用到数学归纳法证得2n a <.然后通过前几项（有限项）的比较与第（2）问已证的单调性得到结果.【答案】（Ⅰ）依题意，222211322111111.222222a a a c c a a a c c ⎛⎫=-+=-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 由3218a a -=，得21111122228c c ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2c =，或1c =（舍去）.（Ⅱ）① 证明：因为2211122(2)022n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，当且仅当2n a =时，1n n a a +=.因为11a =，所以10n n a a +->，即1n n a a +< (1,2,3,...n =).② 数列{}n a 有极限,且 lim 2n n a →∞=.（Ⅲ）由21122n n n a a a +=-+，可得11()(2)(2)n n n n n a a a a a ++-=--，从而111122n n n a a a +=---. 因为11a =，所以 111111111111 1.22222nnk k k k k n n a a a a a a ==+++⎛⎫=-=-=- ⎪-----⎝⎭∑∑所以21111111111404139(53)(813)1401401.3923939(2)39(2)nn n n n n n k k n n n a a a a a a a a a a ++++++=+++--+--=--==-⋅-⋅-∑因为11a =，由（Ⅱ）① 得 1n a ≥ (*n ∈N ). （*）下面用数学归纳法证明：对于任意*n ∈N ，有2n a <成立.当1n =时，由11a =，显然结论成立. 假设结论对 (1)n k k =≥时成立，即 2.k a < 因为2211132(1)222n n n n a a a a +=-+=-+，且函数213(1)22y x =-+在1x ≥时单调递增， 所以2113(21)222k a +<-+=.即当1n k =+时，结论也成立. 于是，当*n ∈N 时，有2n a <成立. （**） 根据（*）及（**）得 12n a ≤<.由11a = 及21122n n n a a a +=-+， 经计算可得23313.28a a ==，所以，当1n =时，2114039a a <；当2n =时，312114039a a a +=； 当3n ≥时，由11328n a +<<，得11111(53)(813)1400 , 3939(2)nn n n k kn a a a a a +++=++--=>⋅-∑ 所以1114039nn k ka a+=>∑. 2．数列{}n a 的首项1a =1，前n 项和为n S 满足12(1)n n k S a +=-（常数0k >，*N n ∈）．（1）求证：数列{}n a 是等比数列.（2）设数列{}n a 的公比为()f k ，作数列{}n b ，使13b =，11()n n b f b -=（n =2，3，4，…） 求数列{}n b 的通项公式；（3）设2n n c b =-，若存在*N m ∈，且m n <；使lim n →∞（112m m m m c c c c +++++…1n n c c ++）1<2007，试求m 的最小值．【解析】第（1）问通过对递推关系式的变形得到相邻两项的比，正是利用这两个有限项的比是非零常数来证明该数列是等比数列的.第（2）问也是通过对递推关系式（无限的问题）的变形来求通项公式的（无限的问题）.第（3）问通过抓住通项来求有限项的极限，再根据这个极限求出m 的最小值.【答案】 解：（1）12(1)n n k S a +=- ①当2n ≥时， 12(1)n n k S a -=-②①—②得，12()n n n a k a a +=-即121n n ka k a +=+（2）由①, 1112a k =+，∴1211122n na k k k a ++==+，又21112a a k =+符合上式，∴{}n a 是以1为首项，112k+为公比的等比数列． （2）由（1）知()f k =112k+，∴1111()12n n n b f b b --==+（2n ≥）， ∴112(2)2n n b b --=-.又13b =，即121b -=，1122n n b b -=-， ∴数列{}2n b -是为1首项，12为公比的等比数列． ∴112()2n n b --=，∴112()2n n b -=+．（3）由（2）知112()2n n n c b -=-=，则2111()2n n n c c -+⋅=.∴112lim(m m m m n c c c c +++→∞++…1n n c c ++）=111111lim ...222m m n -+-→∞⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦222n （）（）（） =1111141122lim 132200714m m n --→∞-=<-22n+2（）（）（）， ∴3112669m -<2（），∴9669m ->22. ∵5126691024<<，∴2310m -≥， 6.5m ≥. 又∵*N m ∈，∴m 的最小值为7.四、考点预测(一)考点预测根据近几年各地高考试题和模拟试题来看，有限与无限的思想逐年增加考查广度，我们认为2009年的高考一定会有更多的体现.在题型上来看，热点问题仍然是以数列为载体考查极限的知识和用数学归纳法证题.(二)考点预测题1．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ．【解析】本题设出首项，表示出通项和前n 和（有限项），然后代入求极限.而在求极限的时候，利用到已经掌握的极限知识lim 0n a n →∞=和2lim 0n an→∞=，其中a 为常数.【答案】设首项为1a ，则112(1)21n n n a a a =+-=+-，1(1)22n n n n S a -=+⨯ 21(1)n n a =+-，2222111112222(21)34(1)(1)lim lim lim (1)(1)nn n n n n n n n a n S n n n n a a a a a →∞→∞→∞+--+-+--∴==+-+- 111224(1)(1)3lim3(1)1n n n na a a →∞--++=-+.2.将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a．．．．．．记表中的第一列数1247,...a a a a ，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)nn n nb n b S S =-≥． （Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和． 【解析】第（Ⅰ）问从无穷数列{}n a 中抽出它的一个无穷的子数列，由n S 与n b 的递推关系式消去n b ，从而证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷的等差数列. 第（Ⅱ）问就是求从第三行起的每一行所有的这些无穷多项的和. 【答案】（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，221nn n nb b S S =-， 又12n n S b b b =+++L ，所以1212()1()n n n n n nS S S S S S ---=--， 即112()1n n n n S S S S ---=-，所以11112n n S S --=， 又1111S b a ===．所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1111(1)22n n n S +=+-=，即21n S n =+． 所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n n n n -=-=-=-++． 因此1122(1)n n b n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩， ，，．≥ （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >．因为12131212782⨯+++==L ，所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项， 故81a 在表中第13行第三列，因此28113491a b q ==-g ．又1321314b =-⨯，所以2q =．记表中第(3)k k≥行所有项的和为S，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)k kk kb qS kq k k k k--==-=--+-+g≥。
有限和无限
有限与无限存在着辩证关系：有限和无限是物质世界中存在的客观予盾，是物质的运动在时间和空间上表现出来的辩证联系。
因此，有限和无限的关系是辩证的，是对立的统一。
具体表现在：①无限由有限构成、无限不能脱离有限而独立存在。
物质世界就其整体说，它在时间和空间上都是无限的，但它却是由无数具体物质客体的有限时间和空间构成的。
物质的时空无限性并不是抽象的、同有限相分离的，而总是和具体物质客体的时空有限性相联结；有限并不存在于无限之外，它是构成无限的环节、部分和因素。
没有具体物质客体的时空有限性，物质世界的无限性也就不存在。
②有限包含着无限，有限体现着无限。
有限事物的发展变化、它们生生灭灭的无穷链条，本身就是物质无限性的表现形式。
任何具体的、确定的事物在时间和空间上都有自己的界限，但由于事物运动、变化和发展的本性，有限的界限必然不断被打破、被否定而趋于无限。
有限事物原有界限的打破、事物由一种质态向另一种质态的转化，就体现着物质的变化和发展的无限趋势。
这种无限的趋势并不存在于有限之外，而是包含在有限之中并通过有限形式表现出来。
因此，同有限不能脱离无限一样，无限也不能脱离有限。
③有限和无限的辩证统一，表现在任何一个物质客体中。
在一定意义上说，每一物质客体既是有限的又是无限的，是有限和无限的统一。
每一物质客体总是存在于一定的时间和空间界限之内，这是它的有限性。
但是它又有着变化和发展的无限能力，有着内部和外部无数联系以及不可穷尽的特性和结构层次，这又是它的无限性。
在这个意义上，可以说，每一有限的物质客体都是一个无限的宇宙，是有限和无限的统一绝对与相对马克思主义哲学认为，世界上一切事物既包含有相对的方面,又包含有绝对的方面,任何事物都既是绝对的，又是相对的。
宇宙中的各个具体事物和每个具体过程都是有条件的、有限的、相对的，而整个宇宙的存在和发展又是无条件的、无限的、绝对的。
绝对和相对，有限和无限等于同一个世界的部分、阶段。
绝对和相对的关系，是辩证的统一。
有限与无限
1、有限与无限有限和无限是辩证法的一对范畴，数学家希尔伯特说：“数学是研究无穷的科学。
无穷是一个永恒的谜,没有任何问题可以像无穷那样深深的触动人的情感, 很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想, 然而也没有任何其他的概念能向无穷那样需要加以阐明。
”，Einstein讲：“有限与无限的问题是数学中最有趣而又最复杂的问题。
”有限是指与其他事物相对，因而受其他事物影响或规定，即有条件的东西；无限是指不与任何其他事物相对，因而也不受任何其他事物影响或规定的东西。
对于有限和无限不能仅从数量方面来理解。
有限的东西固然有其确定的数量规定，但这只是有限性的表现形式之一；它所固有的质，才决定了它是它自身而不是他物，同时也就构成对它自身和对他物的一种限制。
无限作为对有限的超越或否定，实质上是对一切质的和量的规定及其关系不断扬弃的过程。
这种绝对的认识有一个重大的障碍。
正如可认识的物质的无限性，是由纯粹有限的东西所组成一样，绝对地进行认识的思维的无限性，是由无限多的有限的人脑所组成的，而人脑是一个挨一个地和一个跟一个地从事这种无限的认识，常做实践上的和理论上的蠢事，从歪曲的、片面的、错误的前提出发，循着错误的、弯曲的、不可靠的途径行进，往往当真理碰到鼻尖上的时候还是没有得到真理（普利斯特利）。
在数学的学习和研究中，几乎在每一个部分，都有无限性的问题。
数学研究所问题中所涉及到的量，总要有有限和无限的情况。
时空的无限性和人类的有限性的矛盾，是人类认识宇宙的最大的问题，是一个不易逾越的难题。
人类生活在无限宇宙中极为细小的一个角落，若把地球看着宇宙的一粒尘埃，那么生活在地球表面的人类的活动空间有多么的渺小不言而喻。
人类生活在无限宇宙无始无终时间长河中的一个极短的瞬间，而每个个体的生存时间就更短了；人类的个体是认识宇宙的主体，除了艰难的维持生存的劳作外，可供认识宇宙的时间就寥寥无几了！人类生存的时空局限，规定了人类的有限性，限制了人类对无限宇宙的认识活动，使人类不能直接接触和观察一些必须了解研究的客观对象，造成众多人类直接观察无法达到的死角，给人类的认识带来了一些盲区和空白。
有限数和无限数的概念
有限数和无限数的概念有限数和无限数是数学中的重要概念。
在数学中，数可以分为有限数和无限数两种。
有限数是指可以被计数且数量有限的数，而无限数则是指数量无限的数。
有限数的特点有限数有以下几个特点：1. 可以被计数：有限数是可以被计数的，因为它们的数量是有限的。
例如，我们可以数到10，这是一个有限数。
2. 数量有限：有限数的数量是有限的，即它们不会无限增长。
无论有限数的大小如何，它们的数量总是有限的。
3. 可以进行基本运算：有限数可以进行加法、减法、乘法和除法等基本运算。
我们可以对有限数进行各种数学操作。
无限数的特点无限数具有以下几个特点：1. 数量无限：无限数的数量是无限的，即它们没有终止点。
例如，正整数的数量是无限的，没有最大的正整数。
2. 不能被计数：无限数不能被计数，因为它们的数量是无限的。
我们无法精确地数到无限数的数量。
3. 无法进行准确的计算：由于无限数的数量是无限的，因此无法进行准确的计算。
我们无法通过简单的运算得到准确的结果。
有限数和无限数的应用有限数和无限数在数学和现实生活中都有重要的应用。
在数学中，有限数和无限数是研究其他数学概念和理论的基础。
例如，在微积分中，我们使用无限数的概念来研究极限和导数等概念。
在现实生活中，有限数和无限数的应用广泛。
例如，在金融领域，我们使用有限数进行投资和计算利息。
而在物理学中，我们使用无限数来描述连续变化和无限小量的概念。
结论有限数和无限数是数学中重要的概念。
它们具有不同的特点和应用，对于我们理解数学和应用数学知识都具有重要意义。
了解有限数和无限数的概念有助于我们深入理解数学的本质和应用领域。
参考文献:。
论述有限与无限的区别与联系
论述有限与无限的区别与联系有限与无限：物质世界固有的矛盾之一。
反映物质运动在时间和空间上辩证性质的一对哲学范畴。
物质是不灭的、无限的，并且处在永恒的绝对运动之中，物质及其运动的永恒性、无限性，也就是物质的存在形式即时间持续和空间广延的无限性。
物质的时空无限由具体的物质客体的有限时空所构成，并通过具体物质客体在有限时空上的运动和变化表现出来。
有限和无限的范畴，反映了物质世界中客观存在的矛盾和辩证联系。
有限集和无限集的辨证关系数学中的有限和无限是对现实世界的有限和无限的反映。
整个物质世界的发展变化就是有限和无限的统一无限性首先就是指物质世界的无限性，宇宙的无限性。
运动是物质的固有属性，时间和空间是物质的存在方式，物质世界的无限性就表现为时间的无限持续和空间的无限广延。
数学中的无限性就是这种物质世界无限性的反映。
有限则是说一切事物都存在具体的时间和空间之中，因此总是一段时间，有规模的、有界限的。
即一切事物都是具体的事物。
数学中的有限就反映了这种有限性。
有限和无限是对立的统一，它们既是对立的，有区别的，又是相互联系的。
并在一定条件下相互转化的。
数学中的无限和有限也反映了有限与无限相互转化这一点。
例如，整数集是一个无限集合，人们无法得到一个完成了的整数集。
但每个整数又都是有限的。
我们可以得到任意的整数。
任意给出一个数学的对象，我们立即就能判定它是否属于整数集，这样看问题，整数集又是一个完成了的集合，是一个有限的概念。
因此整数集本身就是一个无限和有限的对立统一体。
有限和无限是对立的、有区别的，有限集合和无限集合的性质有质的不同。
例如一个有限集和它的任何一个真子集都无法建立一一对立关系，而无限集则可以与它的一个真子集建立一一对应关系。
比如，自然数集和它的一个真子集偶自然数集就可以建立一一对应关系。
再如，一个有限的良序数集，自然数集的一个有限数集必然有最大数和最小数。
但是无限的良序数集则没有这种性质，实数集就没有最大数也没有最小数。
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一、微分三角形（以直代曲：三线同一）
如右图，MQP即微分三角 形（特征三角形），即以 dx,dy为直角边，dL为斜边的 三角形。
MQ x dx, QP dy,
弦MN 切线长MP(观点） dL(弧微分） = MN .
这里的无穷体现在两个方面： 第一，曲线长是折线长的无穷和（极限）； 第二， dx,dy应理解成无穷小量. 意义即微元素法.例： 1) L = a dL=a
70 4002 5600(牛) 571.4(千克), F 2000
Q 70(千克力) 571.4(千克力), 641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
四、非周期函数=周期为无穷大的函数
任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 都可表示为下面的傅里 叶级数:
二、希腊人的“无穷观”
哲学家文献上找到最早提出无限的古希腊是阿那克西曼德 （B.C611-B.C547), Thales的学生。 他写了一篇最早的科学论文，他得出结论说，原始物质是 他称的阿派龙（apeiron）或无限。 阿拉克西曼德认为 ‚无限 没有开始,但却是其他事物的开始或本原, 它是不朽的,不可摧 毁的,所以是神圣的。‛这个思想后来被原子论者发展了。 阿拉克西曼德是第一位思考人类起源的哲学家。 他还首次绘制了世界地图而享有荣誉。 他第一个认为地球表面是曲面（圆柱）的， 赫拉克利特（Heraclitus，约公元前530年—前470年）， 名言：人不能两次踏入同一河流。 理念：世界的本源是火，万物皆变，按一定的规律（逻各 斯类似中国的‚道‛）永恒的变化着。
芝诺悖论（3，4）
悖论3的目的是否定时空的不可分性：如果时间和空间是由不 可分的小瞬刻组成的，那么，飞箭在运动的任一小瞬刻必有一 个确定的位置，因此是静止的，从而证明运动是不可能的。
问：时间与空间究竟是否连续（无穷可分）？
悖论的理解
第四个问题简单，只需考虑相对运动即可。 但是，前三个悖论都涉及到无穷，涉及到:
化为
F d
3
数学意义: 计算复杂微积分 求解微积分方程
其中，F
f t e jt dt .
f t ，
F .
付氏变换：F F
付氏逆变换：f t F
1
五、 无穷大与无穷小的种种关联
D 1
k
y f ( x)
y
M
x
1 . 以 D 为圆心, 为半径 O k 作圆(如图), 称此圆为曲线在点M 处的曲率圆 .
观点：曲线弧均可视为由圆弧微元素叠加而成的。从而 揭示了研究方法：以圆代曲（二次近似）。
x2 例：飞机沿抛物线 y 4000 (单位为米 )俯冲飞行, 在原 点 O 处速度为 v 400米 / 秒, 飞行员体重 70千克.求俯冲到 原点时,飞行员对座椅的压力.
于是 Protagoras向欧特勒斯说： “我决定打官司，如果这场官 司中你败诉，那么，根据法庭判决，你应该付给我另一半学费； 如果这场官司中你胜诉，那么，按照合同规定，你应付我另一 半学费，因为这是你第一次出庭胜诉；总之，不管你胜诉还是 败诉，都要付给我另一半学费。” Euathlus反唇相击道：“恰恰相反，如果我在这场官司中败诉， 那么，根据合同规定，我用不着付另一半学费，因为我第一次出 庭没有打赢官司；如果我在这场官司中胜诉，那么，根据法庭的 判决，我也用不着付另一半学费；总之，无论我胜诉还是败诉， 都用不着付另一半学费。”
例5
世界上没有绝对的真理
请问：这句话是绝对真理吗？
例6
例7 例8
任何东西都是不可知的。
我只知道一件事，那就是什么都不知道。（苏格拉底）。 下面有两句话是错的. 2+3=1， 3-3=0，2+2=4.
请问：例6，7，8中哪些判断是对的？ 理解：以上悖论有两个特点：自我相关（自我指称），否定 命题。 感想：如果留意观察，则不难发现，悖论就在我们身边。
e jnwt cos n t j sin n t
n
cne jnt
即有：fT ( t )
n
Байду номын сангаас
cne jn t
( 2)
an jbn ,n N cn 2 其中， . n , c c n n n
1 f t lim fT ( t ) t 2
“无穷多个数相加可能是有限数吗” ？
又，‚在每一个瞬间，运动物体速度都为零（静止）吗‛？这涉及到 无穷小量的问题。 再，任一区间无限可分，即为无穷大量，这个无穷大是实无穷还是潜 无穷？
这些问题知道19世纪末才能明白回答。
芝诺的功绩在于他多次发起关于动和静、无限和有限、连续和离 散的关系的讨论。引起人们对他提出的这些悖论的关注与研究。芝诺 悖论至今依然回味无穷，还有很多人在研究.
a0 fT ( t ) (an cos n t bn sin n t ) 2 n1
(1)
这公式告诉我们： 自然界中的所有波均可分解成正弦波, 因此傅里叶级数特别有用。 但是,他不适用于非周期函数,怎么办呢？为回答 这 个问题，我们先把上式化简.
fT ( t )
A
H
D
J
E
L K I F
G
B
BC DE DI DJ BD DF DE DK
C
注：他们没有零。因为零与无穷是一样的可怕（无穷小 为无穷大的倒数）
亚里士多德论无穷
亚里士多德是明确地区分潜无穷和实无穷的第一人。对无穷分类可 能始于他反对实无穷的存在。 ‚数,甚至脱离感性事物的数,也不能是无限的。因为数或者有数的事 物都是可以计数的;那么,如果可计数的事物能被计数,无限也就可以被穿 越过去了。‛ ‚事物被说成‘存在’,一种是指潜能的存在,另一种是现实的存在。 而无限,一种是指加起来的无限,一种是分起来的无限。‛ 亚里斯多德只承认潜无穷。但是他也意识到了 ‚分起来的无限‛， 这里自然包含无穷小（无限的另一表现形式） 历史告诉我们：以阿基米德为代表的希腊人对无穷的认识已经很深刻
2)dy QP QN ydx S = dy .
a b
b
b
dx dy ；
2 2
二、微元素法
微元素法的基本思想是：研究对象都是由无穷 多同类型微粒（同类型微元素）叠加而成的。因此， 找出这类微粒，确定其分布范围就可以了。
例如：一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，池内盛满 了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？
1. 无穷大=无穷小的倒数 ？ 2.如何理解‚远在天涯与近在咫尺‛？ 例：球极投影与复变函数；倒代换的意义； 3. 平行直线与无穷远直线（射影几何）的理解
芝诺悖论（1,2）
二分法：运动不存在。 理由：位移事物在达到目的地之前必须先抵达一半处‛
A
E D C B
阿克琉斯论证： 阿克琉斯永远追不上先跑的乌龟。 理由：他必须首先跑到乌龟的出发点，因此乌龟必然永远领先。‛
A B C D
悖论1,2的目的是不承认空时的连续性（无限可分性）：
如果时间和空间真是连续的，无限可分的，那么，有限的长度包含有 无穷多个点，于是就不可能在有限的时间内通过有限的长度，从而证明运 动是不可能的。
y
Q
o
x
P
解，设飞行员的重力为Q，飞行员对座椅的压力为P，则 如图,受力分析
F Q P,
视飞行员在点o作匀速圆周运动, F
O点处抛物线轨道的曲率半径
mv 2
.
x 1 y x 0 y x 0 . x 0 0, 2000 2000 1 . 曲率半径为 2000 米. 得曲率为 k x x0 2000
一、如何理解悖论？悖论中的“无穷观”
什么是悖论（ paradox）？ 这里引用逻辑学家 A.A. 弗兰克的表述：如果某一理 论的公理和推理规则看上去是合理的，但在这个理论中却 推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命 题，它表现为两个矛盾命题的等价式，那么，我们就说这 个理论产生了一个悖论。 同一理论中可推出两个互相矛盾的命题，即意味着，该 理论中存在这样一个命题（悖论）：由其假可推其真，由其 真可推其假。
根号2是无理数（正方形的对 角线与边长不可公度）的几何 证明上让希腊人感到恐怖，因 为心中，作为描述宇宙规律的 数只能是自然数，或者自然数 的比,如果坚持这样，他们将 面临解题步骤的无穷多步，而 只要涉及无穷，人们的智力就 无能为力。 根号2的发现直接冲击着希 腊人的世界观。这就是所谓的第 一次数学危机。
了。
可以想象：如果不是罗马毁灭，现代数学（文明）至少要提前 1000 年以上
二、 由微积分看数学家们的“无穷观”
• 一、微分三角形（以直代曲：三线同一）
• • • • 二、微元素法 三、曲率圆（以圆代曲） 四、非周期函数=周期为无穷大的函数 五、 无穷大与无穷小的种种关联 （现代宇宙观：物极必反！）
安蒂丰（ Antiphon ,B.C480-B.C411)
‚根据自然，我们大家在各方面都是平等的，并且无论是蛮族人， 还是希腊人，都是如此。在这里，应当适时地注意，所有人自然需求都 是一样的。‛ ——安提丰(约公元前430) 安蒂丰是希腊的数学家、辩论家、政治家．有关安蒂丰的生平历来 争论不一.安蒂丰是雅典‚智人学派‛（又称‚诡辩学派‛）的代表人 物．该学派主要研究目标是‚用数学来了解宇宙是怎样运转的‛ . 安蒂丰主要研究目标是‚几何学三大难题‛.学术界公认他是穷竭 法的创始人，当代极限理论的鼻祖: 据辛普利体斯(Simplicius)记载：安蒂丰先作圆内接正四边形，将其 边数加倍，得到圆内接正八边形，依次类推，直到正多边形的边长小到恰 与它们所在的圆周部分重合，就可以完成化圆为方问题．另一学者瑟米斯 蒂厄斯(Themistius)的记载稍有不同，他认为安蒂丰是从圆内接正三角形 开始的，然后连数依次加倍，最后与圆周重合．该方法的前提条件是注意 正多边形都可化为正方形．这可用毕达哥拉斯(Pythagoras)发现的面积贴 合法来完成.